Phương pháp giải tích trong rẽ nhánh và ứng dụng

  • Số trang: 60 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 15 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 26946 tài liệu

Mô tả:

Mục lục Lời nói đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 9 1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Toán tử liên hợp, giá trị riêng, véc tơ riêng . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Toán tử Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Toán tử liên tục Lipschitz, toán tử thế năng . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Định lý hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh 3 9 13 2.1 Lý thuyết rẽ nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh . . . . . . . . . . . 17 2.2.1 Một vài kí hiệu và bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2 Các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Ứng dụng 50 3.1 Kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Kết luận 57 i Lời nói đầu Lý thuyết rẽ nhánh nghiên cứu những phương trình phụ thuộc tham số, đặc biệt nó tìm những giá trị của tham số mà tại đó cấu trúc tập nghiệm bị thay đổi. Thời gian gần đây, lý thuyết này được sử dụng nhiều để giải quyết những vấn đề nảy sinh trong vật lý học, sinh học và những môn khoa học tự nhiên khác. Nhiều kết quả của lý thuyết rẽ nhánh đã và đang giải quyết có hiệu quả những vấn đề nảy sinh trong khoa học cũng như trong thực tế cuộc sống và vai trò của nó ngày càng trở nên quan trọng hơn. Việc nghiên cứu những nghiệm rẽ nhánh đối với phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số đã được nhiều người quan tâm và nghiên cứu trong nhiều đề tài khoa học. Với một tham số của phương trình đã cho có nghiệm, với sự thay đổi của tham số, tính duy nhất của nghiệm có khi không được bảo đảm, nó có thể có hai hoặc nhiều nghiệm khác nhau. Về mặt toán học ta có thể mô tả như sau: Cho F là một hàm số trên tích của không gian Metric (Λ, d) với D là lân cận của điểm 0 của không gian định chuẩn (X, k.k) vào không gian định chuẩn (Y, k.k). Giả thiết rằng với λ có v(λ) để F (λ, v(λ)) = 0. Bằng cách tịnh tiến, ta có thể giả thiết v(λ) = 0. Mỗi nghiệm (λ, 0) được gọi là nghiệm tầm thường của 1 Lời nói đầu phương trình F (λ, v) = 0, (λ, v) ∈ Λ × D. (1) Ta sẽ tìm những nghiệm tầm thường (λ, 0) mà tại những lân cận của nó có tính chất với δ >0, >0 cho trước, tồn tại nghiệm không tầm thường (λ, u) ∈ Λ × D của phương trình trên với d(λ, λ) < δ và 0 < kuk < . Nghiệm tầm thường (λ, 0) này sẽ được gọi là nghiệm rẽ nhánh của phương trình (1), λ được gọi là điểm rẽ nhánh. Những bài toán nghiên cứu nghiệm rẽ nhánh của phương trình (1) được gọi là bài toán rẽ nhánh. Trong lý thuyết rẽ nhánh, người ta thường để cập tới những bài toán sau: (i) Sự tồn tại nghiệm rẽ nhánh; (ii) Tồn tại những nhánh nghiệm; (iii) Tìm những giá trị tham số tại đó tính duy nhất bị phá vỡ; (iv) Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm rẽ nhánh; (v) Nghiên cứu số nhánh nghiệm; (vi) Nghiên cứu cấu trúc của các tập nghiệm rẽ nhánh; (vii) Nghiên cứu sự rẽ nhánh tại vô cùng; (viii) Nghiên cứu sự rẽ nhánh toàn cục; Sau đây là một số ví dụ về lý thuyết rẽ nhánh trong hoạt đông thực tiễn: 1. Thời tiết; 2. Quá trình sinh trưởng của sinh vật; 3. Dòng chảy của các con sông; 4. Quá trình sống, yêu đương và trưởng thành của con người; 2 Lời nói đầu 5. Sự phát triển của một xã hội; 6. Sự phát triển của nền kinh tế trong một thời kỳ; 7. Sự phát triển gen của các tế bào sinh vật; 8. Các phản ứng hóa học, vật lý; Có rất nhiều phương pháp toán học khác để nghiên cứu những bài toán trên như: + Phương pháp biến phân đã được Wainberg và Krasnoselski đưa ra từ những năm 50 của thế kỷ trước trong [13], [14], [15]; + Phương pháp Tôpô sử dụng bậc ánh xạ đã được Krasnoselski đưa ra trong [3], [6]; +Phương pháp giải tích cho những toán tử khả vi dựa trên các định lý hàm ẩn đã được trình bày trong [4], [10]. Mỗi phương pháp được ứng dụng cho một phương trình khác nhau. Dựa vào định lý hàm ẩn, ta dễ dàng thấy rằng mọi điểm rẽ nhánh đều là giá trị riêng của phần tuyến tính của phương trình. Tuy nhiên không phải giá trị riêng nào của phần tuyến tính cũng là điểm rẽ nhánh. Ví dụ: Xét hệ phương trình vi phân: u00 + λ(u + v(u2 + v 2 )) = 0, trong (0, 1) (2) v 00 + λ(v − u(u2 + v 2 )) = 0, trong (0, 1) (3) u(0) = u(1) = v(0) = v(1) = 0. (4) Dễ thấy phần tuyến tính của hệ này có giá trị riêng bội hai λn với n = 1, 2, . . . . Ta nhân phương trình (2) với v và phương trình (3) với u sau đó ta lấy tích phân của từng phương trình và sử dụng điều kiện (4) rồi trừ hai phương trình đó cho 3 Lời nói đầu nhau thì được Z1 λ (u2 + v 2 ) dx = 0. 0 Như vậy, ta suy ra u = v = 0. Tức là với mỗi n thì λn không phải là điểm rẽ nhánh. Rất nhiều những công trình của các tác giả khác nhau cho bài toán (i) − (iii) với các phương pháp biến phân, Tôpô, giải tích cho những trường hợp đặc biệt, tham số là số thực dạng T (v) − λC(v) = 0 (λ, v) ∈ R × D. Phương pháp giải tích đối với lý thuyết rẽ nhánh dựa trên tư tưởng của Liapunov - Schmidt trong [4] sử dụng phép chiếu và đưa phương trình nghiên cứu thành hai phần: một phần nằm trong không gian hữu hạn chiều với số chiều là p; phần còn lại nằm trong không gian vô hạn chiều trực giao. Tức là, ta chuyển bài toán về p + 1 phương trình p ẩn. Phần nằm trong không gian hữu hạn chiều thường được gọi là phương trình rẽ nhánh. Phương trình ở trong không gian vô hạn chiều thì giải được duy nhất nghiệm. Nếu phương trình rẽ nhánh giải được thì bài toán cũng giải được. Trong luận văn này, ta nghiên cứu sự rẽ nhánh bằng phương pháp giải tích để chỉ ra khi nào thì giá trị riêng của phần tuyến tính là nghiệm rẽ nhánh và tìm hiểu một vài ứng dụng của nó. Luận văn gồm ba chương: Chương 1. "Kiến thức chuẩn bị" trình bày một số kiến thức cơ bản trước khi tiếp cận với lý thuyết rẽ nhánh, bao gồm một số định nghĩa và định lý được sử dụng trong việc chứng minh các bổ đề và các định lý trong lý thuyết rẽ nhánh. 4 Lời nói đầu Chương 2. "Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh" trình bày các khái niệm cơ bản về phép chiếu trong không gian Banach và lược đồ Liapunov - Schmidt (xem [4]) để chuyển phương trình toán tử về hệ phương trình gồm hai phần: phần dễ giải thường nằm trong không gian vô hạn chiều và phần khó giải nằm trong không gian hữu hạn chiều. Nhờ lược đồ này, ta nghiên cứu sự rẽ nhánh của phương trình phụ thuộc tham số. Cho X là không gian Banach với chuẩn k.k. D là tập mở chứa 0 trong X và Λ là một tập mở của không gian định chuẩn, F : Λ × D −→ X là toán tử phi tuyến. Ta xét sự rẽ nhánh của phương trình (1) với F (λ, v) có dạng F (λ, v) = T (v) − L(λ, v) − H(λ, v) − K(λ, v), trong đó, T : X −→ Y là toán tử tuyến tính liên tục, L(λ, .) là toán tử tuyến tính liên tục với λ ∈ Λ cố định, H : Λ × D −→ Y và K : Λ × D −→ Y là các toán tử phi tuyến liên tục sao cho ∀λ ∈ Λ ta có H(λ, 0) = K(λ, 0) = 0, với (λ, 0) là nghiệm tầm thường của phương trình (1). Cho λ ∈ Λ, theo định lý hàm ẩn ta chỉ ra được điều kiện cần để (λ, 0) là nghiệm rẽ nhánh của phương trình (1) là ker(T − L(λ, .)) 6= 0. Giả thiết ker(T − L(λ, .)) = Span{v 1 , v 2 , . . . , v p } là không gian con sinh bởi các véc tơ v 1 , v 2 , . . . , v p ∈ X. Gọi (T − L(λ, .))∗ là toán tử liên hợp của T − L(λ) và ker(T − L(λ, .))∗ 6= ∅. Giả sử ker(T − L(λ, .))∗ = Span{ψ 1 , ψ 2 , . . . , ψ p } là không gian con sinh bởi các véc tơ ψ 1 , ψ 2 , . . . , ψ p ∈ Y ∗ . Trong đó Y ∗ là không gian liên hợp của Y . Tiếp theo để chỉ ra sự tồn tại nghiệm rẽ nhánh của phương trình (1) ta đưa ra ba giả thiết: 5 Lời nói đầu ∀v ∈ D, α ∈ [0, 1]. Giả thiết 1. αL(λ, v) = L(αλ, v), Giả thiết 2. H là toán tử liên tục Lipschitz trên Λ × D tức tồn tại hằng số C1 sao cho ||H(λ, v) − H(λ0 , v 0 )|| ≤ C1 (|λ − λ0 | + ||v − v 0 ||), trong đó (λ, v), (λ0 , v 0 ) ∈ Λ × D. Ngoài ra, tồn tại một số thực a > 1 và hàm thực ρ : R −→ R với ρ = ρ(δ) thỏa mãn lim ρ(δ) = 0 sao cho: δ→0 (i) PY H(λ, tv) = ta PY H(λ, v), (ii) α−a P ∀(λ, v) ∈ Λ × D, t ∈ [0, 1]; λ , αv → 0 khi α → 0+ đều theo v với v ∈ D, và YK a−1 1+α   ||K(λ, v) − K(λ0 , v 0 )|| ≤ ρ(|λ − λ0 |Λ + ||v − v 0 ||)(|λ − λ0 |Λ + ||v − v 0 ||), với mọi (λ, v), (λ0 , v 0 ) ∈ Λ × D. Trong đó PY là phép chiếu từ không gian Banach Y lên không gian Y1 = { y ∈ Y | h y, ψ i i = 0 , i = 1, 2, . . . , p }. Ta định nghĩa ánh xạ A : Rp −→ Rp , A = (A1 , A2 , . . . , Ap ) với * + p p X   X  Ai (x) = xj v j − H λ, T xj v j , ψ i , j=1 j=1 i = 1, 2, . . . , p và x = (x1 , x2 , . . . , xp ) ∈ Rp .   Khi đó, Ai (x) = A1 (x), A2 (x), . . . , Ap (x) ∈ Rp là toán tử liên tục. Giả thiết 3. Giả sử Giả thiết 1, 2 là thỏa mãn, ánh xạ A được định nghĩa như trên là toán tử liên tục khả vi, x ∈ Rp , x 6= 0 sao cho A(x) = 0 6 Lời nói đầu và γ = det  ∂A i ∂xk  (xk ) 6= 0. i,k=1,...,p Ta sẽ chỉ ra rằng với  > 0 cho trước và Giả thiết 1 − 3 được thỏa mãn thì (λ, 0) là một nghiệm rẽ nhánh của phương trình (1). Hơn vậy, nếu δ > 0 thì tồn tại một lân cận I3 của 0 trong R sao cho với mỗi α ∈ I3 , α 6= 0, có thể tìm được x(α) = (x1 (α), x2 (α), . . . , xp (α)) ∈ U ∗ trong đó U ∗ là một lân cận của x 6= 0 trong Rn . Ngoài ra ta có thể tìm được một nghiệm không tầm thường (λ(α), v(α)) của phương trình (1) với p X λ và v(α) = |α|xj (α)v j + o |α| λ(α) = a−1 1 + |α|   khi α → 0 j=1 thỏa mãn |λ(α) − λ| < δ và 0 < kv(α)k < . Từ kết quả này ta có được một số hệ quả của bài toán tìm nghiệm rẽ nhánh của phương trình (1). Khi viết bản luận văn này tác giả đã sử dụng các tài liệu [5], [7], [8], [10], trong đó đã nêu ra được điều kiện đủ để giá trị riêng của phần tuyến tính là điểm rẽ nhánh và công thức biểu diễn nghiệm của phương trình theo véc tơ riêng. Chương 3. "Ứng dụng" trình bày một số ứng dụng của lý thuyết rẽ nhánh cho hệ phương trình trong vật lý bán dẫn tại siêu hộp G ⊂ Rn , n = 1, 2, 3. Hệ phương trình này đã được Roosbroeck đưa ra đầu tiên vào năm 1950 trong bài báo [11]. Luận văn được hoàn thành tại Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy hướng dẫn GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, người đã trực tiếp giúp đỡ và chỉ đạo tận tình 7 Lời nói đầu tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và viết bản luận văn này. Xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo phản biện đã đọc và có những nhận xét quý báu cho bản luận văn này và tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban lãnh đạo Viện Toán học, trung tâm đào tạo sau đại học, các thầy cô và cán bộ công nhân viên của Viện Toán học đã quan tâm giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu tại Viện Toán học. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Tự nhiên, Ban giám hiệu trường Cao đẳng Sư phạm Tỉnh Điện Biên; xin cảm ơn gia đình và các bạn lớp cao học Toán K19 - Viện Toán học đã quan tâm, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và viết bản luận văn này. Hà Nội, ngày 15 tháng 08 năm 2013 Phạm Thị Thu Phương 8 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản trước khi tiếp cận với lý thuyết rẽ nhánh, bao gồm một số định nghĩa và định lý được sử dụng trong việc chứng minh các bổ đề và các định lý trong lý thuyết rẽ nhánh. 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1. Một không gian định chuẩn X là một không gian vectơ, trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X , ta có một số ||x|| gọi là chuẩn của nó, sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) ||x|| ≥ 0, ∀ x ∈ X ; ||x|| = 0 ⇔ x = 0, (ii) ||λx|| = |λ|||x||, với mọi x ∈ X , mọi λ ∈ R, (iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀ x, y ∈ X . Định nghĩa 1.1.2. Một dãy cơ bản (dãy Cauchy) trong không gian định chuẩn X là một dãy xn ∈ X sao cho lim ||xn − xm || = 0. m,n→∞ 9 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.1.3. Nếu trong không gian định chuẩn X mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức: ||xn − xm || → 0 −→ ∃x0 ∈ X sao cho xn −→ x0 , thì không gian ấy được gọi là không gian định chuẩn đủ hay không gian Banach. Cho X là không gian tuyến tính. Nếu trên X có một hàm song tuyến tính, đối xứng h·, ·i : X × X → R thỏa mãn hx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ X , hx, xi = 0 thì x = 0. Ta gọi X là không gian tiền Hilbert. Hơn vậy, nếu ta định nghĩa kxk = p hx, xi, thì (X, k.k) là không gian định chuẩn. Nếu không gian này đủ thì (X, h·, ·i) được gọi là không gian Hilbert. 1.2 Toán tử liên hợp, giá trị riêng, véc tơ riêng Cho hai không gian vectơ bất kỳ X và Y . Một ánh xạ A : X −→ Y gọi là một ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu (i) A(x1 + x2 ) = A(x1 ) + A(x2 ), (ii) A(αx) = αA(x) với ∀x ∈ X, ∀α ∈ R. Để cho gọn ta viết Ax thay cho A(x) để chỉ phần tử ứng với x trong ánh xạ A. Toán tử A được gọi là liên tục nếu xn → x0 luôn kéo theo Axn → A(x0 ) với mọi dãy {xn } ∈ X , x0 ∈ X . Toán tử A được gọi là bị chặn nếu có một hằng số K > 0 để cho (∀x ∈ X) kAxkY ≤ KkxkX Định lý. Một toán tử tuyến tính A : X → Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn. 10 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Cho X và Y là hai không gian Banach với X ∗ = {f |f : X −→ R} và Y ∗ = { g|g : Y −→ R } tương ứng là các không gian đối ngẫu của X và Y . Cho A : X −→ Y là một toán tử tuyến tính liên tục. Toán tử liên hợp A∗ : Y ∗ −→ X ∗ của A là toán tử tuyến tính, được xác định bởi công thức: hA∗ y, xi = hy, Axi (x ∈ X, y ∈ Y ∗ ). Cho X là không gian Hilbert, toán tử tuyến tính liên tục A : X → X gọi là đối xứng nếu ta có hAy, xi = hy, Axi. Ta nói một toán tử tuyến tính A trong không gian Banach X là hoàn toàn liên tục nếu nó biến mỗi tập bị chặn thành một tập hoàn toàn bị chặn. Một toán tử đối xứng hoàn toàn liên tục A bao giờ cũng có một giá trị riêng λ với |λ| = kAk. Ta nói một số λ là giá trị riêng của toán tử A : X −→ X nếu phương trình Ax = λx có nghiệm không tầm thường (nghĩa là x 6= 0). Khi ấy nghiệm x này gọi là một véc tơ riêng của A, ứng với trị riêng λ . 1.3 Toán tử Fredholm Cho X , Y là hai không gian Banach, cho A : X −→ Y là một toán tử tuyến tính với A∗ : Y ∗ −→ X ∗ là toán tử liên hợp. Xét các không gian con ker A = {x ∈ X|Ax = 0} và ker A∗ = {y ∈ Y ∗ |A∗ y = 0}. Các không gian này được gọi là không gian riêng của A và A∗ . Nếu dim ker A = p (p < +∞) và dim ker A∗ = q là toán tử Fredholm với chỉ số s = p − q . 11 (q ≤ p, q < +∞) thì A được gọi Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1.4 Toán tử liên tục Lipschitz, toán tử thế năng Cho X và Y là các không gian định chuẩn, ta nói rằng (i) Toán tử f : X −→ Y là liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho ||f (x) − f (y)||Y ≤ L||x − y||X với mọi x, y ∈ X , (ii) f là Lipschitz địa phương tại x nếu tồn tại lân cận U 3 x để f là Lipschitz trên U . Xét toán tử A : X → X ∗ , A được gọi là toán tử thế năng nếu tồn tại hàm khả vi f : X → R sao cho A(x) = ∂f (x), với ∂f (x) là vi phân của f tại x. 1.5 Định lý hàm ẩn Cho X , Y và Z là các không gian Banach, U ⊂ X ×Y là một tập mở, f : U −→ Z là một ánh xạ liên tục tại điểm (a, b) ∈ U thỏa mãn các điều kiện sau: (i) f (a, b) = 0, (ii) Đạo hàm riêng fy0 tồn tại trong U và liên tục tại (a, b), (iii) fy0 (a, b) ∈ Isom(Y, Z), (hay fy0 (a, b) là ánh xạ 1 − 1 và lên). Khi ấy, tồn tại một lân cận mở V1 của a trong X , một lân cận mở V2 của b trong Y sao cho V1 × V2 ⊂ U , và một ánh xạ g : V1 −→ V2 liên tục tại a sao cho với ∀(x, y) ∈ V1 × V2 ta có f (x, y) = 0 ↔ y = g(x). 12 Chương 2 Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh 2.1 Lý thuyết rẽ nhánh Trong suốt chương này X , Y luôn được coi là không gian Banach thực với đối ngẫu tương ứng là X ∗ và Y ∗ . Chuẩn và tích vô hướng giữa các phần tử của X , X ∗ và Y , Y ∗ được kí hiệu theo thứ tự là ||.|| và h·, ·i. Λ là một tập con mở của không gian định chuẩn. Chuẩn của không gian định chuẩn chứa Λ hạn chế trên Λ được kí hiệu là |.|Λ . Gọi D là tập mở chứa 0 trong X . Xét toán tử phi tuyến F : Λ × D −→ Y, với D là bao đóng của D trong X . Nếu với mỗi λ ∈ Λ tồn tại v(λ) ∈ D sao cho F (λ, v(λ)) = 0 thì (λ, v(λ)) được gọi là nghiệm tầm thường của phương trình F (λ, v) = 0, Bằng cách tịnh tiến, ta luôn có thể giả thiết v(λ) = 0, ∀λ ∈ Λ, thật vậy ∼ Đặt F (λ, v(λ)) := F (λ, v(λ) + v(λ)), 13 (2.1) Chương 2. Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh ∼ ⇒ F (λ, v(λ)) = 0 ⇔ F (λ, 0) = 0. ⇒ (λ, 0) là nghiệm tầm thường của phương trình (2.1) Một nghiệm tầm thường (λ, 0) được gọi là nghiệm rẽ nhánh của phương trình (2.1) nếu ∀δ > 0, ∀ > 0, ∃(λ, v) ∈ Λ × D là nghiệm không tầm thường với |λ − λ|Λ < δ và 0 < ||v|| < . Hay nói cách khác, (λ, 0) là nghiệm rẽ nhánh của phương trình (2.1) nếu (λ, 0) ∈ cl{(λ, v) ∈ Λ × D|F (λ, v) = 0, v 6= 0}, với cl(A) là bao đóng của tập A. Khi đó, λ được gọi là điểm rẽ nhánh. Những bài toán nghiên cứu nghiệm rẽ nhánh của phương trình (2.1) được gọi là bài toán rẽ nhánh. Trong luận văn này ta luôn xét phương trình (2.1) với F (λ, v) = T (v) − L(λ, v) − H(λ, v) − K(λ, v), tức là phương trình T (v) = L(λ, v) + H(λ, v) + K(λ, v), trong đó T : X −→ Y là toán tử tuyến tính liên tục; L(λ, .) : X −→ Y là toán tử tuyến tính liên tục với λ ∈ Λ cố định; H : Λ × D −→ Y và K : Λ × D −→ Y. là các toán tử phi tuyến liên tục sao cho với mọi λ ∈ Λ, ta có H(λ, 0) = K(λ, 0) = 0 . 14 Chương 2. Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh Ta sẽ xét sự rẽ nhánh của phương trình (2.1) với F : Λ × D −→ Y là toán tử phi tuyến trong không gian C 1 (Λ × D, Y ) với F (λ, 0) = 0 cho mọi λ ∈ Λ. Ta xét phương trình F (λ, v) = 0 với (λ, v) ∈ Λ × D. Theo khai triển Taylor của hàm F tại (λ, 0) ta có 1 F (λ, v) = F (λ, 0) + F 0 (λ, 0)(v) + F 00 (λ, 0)(v, v) + K1 (λ, v), 2 trong đó 1 K1 (λ, v) = F (λ, v) − F (λ, 0) − F 0 (λ, 0)(v) − F 00 (λ, 0)(v, v). 2 Do (λ, 0) là nghiệm tầm thường của (2.1) nên 1 F (λ, v) = F 0 (λ, 0)(v) + F 00 (λ, 0)(v, v) + K1 (λ, v). 2 Lấy λ1 bất kỳ thuộc Λ, áp dụng khai triển Taylor của F 0 (λ, 0)(v) tại (λ1 , 0) ta có F 0 (λ, 0)(v) = F 0 (λ1 , 0)(v) + Fλ0 (λ1 , 0)(λ − λ1 )(v) 1 0 + Fλλ (λ1 , 0)(λ − λ1 , λ − λ1 )(v) + K2 (λ, 0)(v), 2 trong đó K2 (λ, 0)(v) = F 0 (λ, 0)(v) − F 0 (λ1 , 0)(v) − Fλ0 (λ1 , 0)(λ − λ1 )(v) 1 0 + Fλλ (λ1 , 0)(λ − λ1 , λ − λ1 )(v). 2 Do đó, F (λ, v) = F 0 (λ1 , 0)(v) − Fλ0 (λ1 , 0)(λ1 )(v) + Fλ0 (λ1 , 0)(λ)(v) 1 0 1 + Fλλ (λ1 , 0)(λ − λ1 , λ − λ1 )(v) + F 00 (λ, 0)(v, v) 2 2 + K1 (λ, v) + K2 (λ, 0)(v). 15 Chương 2. Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh Nếu λ1 ∈ Λ sao cho tồn tại v 6= 0 để Fλ0 (λ1 , 0)(λ1 )(v) − F 0 (λ1 , 0)(v) − Fλ0 (λ1 , 0)(λ)(v) = 0, thì ta đặt T (v) = Fλ0 (λ1 , 0)(λ1 )(v) − F 0 (λ1 , 0)(v); L(λ, v) = Fλ0 (λ1 , 0)(λ)(v); 1 H(λ, v) = F 00 (λ, 0)(v, v); 2 K(λ, v) = F (λ, v) + T (v) − L(λ, v) − H(λ, v). Trong trường hợp này phương trình (2.1) của ta có thể viết dưới dạng T (v) = L(λ, v) + H(λ, v) + K(λ, v) trong đó T : X −→ Y là toán tử tuyến tính liên tục; L(λ, .) : X −→ Y là toán tử tuyến tính liên tục với λ ∈ Λ cố định; H : Λ × D −→ Y và K : Λ × D −→ Y. là các toán tử phi tuyến liên tục sao cho với mọi λ ∈ Λ, ta có H(λ, 0) = K(λ, 0) = 0 . Ta sẽ tìm điều kiện cần và đủ để (λ, 0) là nghiệm rẽ nhánh của phương trình (2.1) bằng phương pháp giải tích. 16 Chương 2. Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh 2.2 2.2.1 Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh Một vài kí hiệu và bổ đề Định nghĩa 2.2.1. Cho T và L như ở trên, ta gọi λ ∈ Λ là giá trị riêng của cặp (T, L) nếu tồn tại v ∈ X, v 6= 0 sao cho T (v) = L(λ, v). Xét phương trình T (v) = L(λ, v) + H(λ, v) + K(λ, v), (λ, v) ∈ Λ × D. (2.1) được xác định như trên. Giả sử λ là giá trị riêng của cặp (T, L) sao cho T − L(λ, .) là toán tử Fredholm, tức ker(T − L(λ, .)) = {v ∈ X|T (v) − L(λ, v) = 0}, là không gian con tuyến tính hữu hạn chiều của X , ker(T − L(λ, .))∗ = {γ ∈ Y ∗ |(T (v) − L(λ, v))∗ (γ) = 0}, là không gian con tuyến tính hữu hạn chiều của Y ∗ . Giả sử dim ker(T − L(λ, .)) = p dim ker(T − L(λ, .))∗ = q (p < +∞); (q < +∞, q ≤ p). Đặt s = p − q là chỉ số của toán tử Fredholm (T − L(λ, .)). Để đơn giản ta chỉ xét trường hợp s = 0 (trường hợp s > 0 ta nghiên cứu tương tự) Ta có F (λ, 0) = 0. Nếu λ không là giá trị riêng của cặp (T, L) tức ker ( T − L (λ, .)) = { 0 } và (T − L(λ, .)) là ánh xạ 1 − 1 và lên, khi đó theo định lý hàm ẩn từ F (λ, 0) = 0 suy ra (λ, 0) là nghiệm nên tồn tại lân cận 17 Chương 2. Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh V 3 λ, lân cận U 3 0 thỏa mãn (λ, 0) ∈ V × U và tồn tại duy nhất ánh xạ v : V −→ U sao cho F (λ, v(λ)) = 0 ⇒ v(λ) = 0, ∀λ ∈ V. Điều này chứng tỏ với mọi lân cận của (λ, 0) thì (2.1) chỉ có nghiệm dạng (λ, 0) hay (λ, 0) không là nghiệm rẽ nhánh của (2.1). Do đó (λ, 0) là nghiệm rẽ nhánh của (2.1) chỉ khi λ là giá trị riêng của cặp (T, L) hay ker (T − L(λ, .)) 6= { 0 } . Tuy nhiên đây chỉ là điều kiện cần để (λ, 0) là nghiệm rẽ nhánh của (2.1) vì không phải giá trị riêng nào của phần tuyến tính cũng là điểm rẽ nhánh. Vì vậy, để nghiên cứu sự rẽ nhánh của phương trình (2.1) ta đi tìm điều kiện đủ để (λ, 0) là nghiệm rẽ nhánh của nó, với λ là giá trị riêng của cặp (T, L). Giả sử {v 1 , v 2 , . . . v p } là cơ sở của không gian ker(T − L(λ, .)) và giả sử {ψ 1 , ψ 2 , . . . , ψ p } là cơ sở của không gian ker(T − L(λ, .))∗ . Theo định lí Haln - Banach có thể tìm được p phiếm hàm tuyến tính liên tục γ 1 , γ 2 , . . . γ p trên X và p phần tử z 1 , z 2 , . . . z p của Y sao cho: hv i , γ j i = δij =    1 khi i = j   0 khi i 6= j, hz m , ψ n i = δnm =    1 khi n = m   0 khi n 6= m, trong đó i, j, n, m = 1, 2, . . . , p. Ta kí hiệu các tập: X0 = ker(T − L(λ, .)) = [v 1 , v 2 , . . . , v p ]; X1 = {x ∈ X|hx, γ i i = 0, 18 i = 1, 2, . . . , p}; Chương 2. Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh Y0 = [z 1 , z 2 , . . . , z p ]; Y1 = {y ∈ Y |hy, ψ j i = 0, j = 1, 2, . . . , p}, với [z 1 , z 2 , . . . , z p ] kí hiệu cho không gian sinh bởi {z 1 , z 2 , . . . , z p }. Dễ thấy X = X0 ⊕ X 1 ; Y = Y0 ⊕ Y1 , toán tử T − L(λ, .) hạn chế trên X1 là tuyến tính liên tục từ X1 lên Y1 . Tiếp theo ta xét các phép chiếu: PX : X −→ X0 ; PY : Y −→ Y0 ; QX : X −→ X1 ; QY : Y −→ Y1 . xác định bởi : PX (x) = p X j hx, γ iv j ; PY (y) = j=1 p X hy, ψ i iz i ; j=1 QX (x) = x − PX (x) ; QY (y) = y − PY (y). với x ∈ X; y ∈ Y. Do F (λ, v) = 0 ∈ Y , mà mỗi phần tử y ∈ Y = Y0 ⊕ Y1 nên y được biểu diễn dưới dạng y = PY (y) + QY (y) do đó y=0⇔    PY (y) = 0   QY (y) = 0 Vì thế, để tìm nghiệm của phương trình (2.1) ta đi tìm nghiệm của hệ phương trình      PY T (v) − L(λ, v) − H(λ, v) − K(λ, v) = 0,     QY T (v) − L(λ, v) − H(λ, v) − K(λ, v) = 0. 19 (2.2)
- Xem thêm -