Tài liệu Phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực - bồi dưỡng hsg toán 12

Chuyên đề bồi dưỡng HSG MATHVN.COM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Hồ Đình Sinh I. DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp này là khi thấy số phương trình trong hệ ít hơn số ẩn. Tuy nhiên có những hệ số phương trình bằng số ẩn ta cũng có thể sử dụng phương pháp này. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình nghiệm dương: ìx + y + z = 3 ï í 3 ïî(1 + x )(1 + y)(1 + z ) = 1 + xyz ( ) 3 ( Giải: VT = 1 + x + y + z + ( xy + yz + zx ) + xyz ³ 1 + 3 3 xyz + 3 3 ( xyz)2 + xyz = 1 + 3 xyz ) 3 Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: ìï x + 1 + x + 3 + x + 5 = y - 1 + y - 3 + y - 5 í 2 2 ïî x + y + x + y = 80 Giải: ĐK: x ³ -1;y ³ 5 Ta thấy rằng nếu ta thay x=y-6 thì phương trình thứ nhất VT=VP. Do đó, ta xét các trường hợp sau: Nếu x>y-6 thì VT>VP. Nếu x1 hay x<1 hệ vô nghiệm. +) Nếu x>1 Þ 2 = z5 - z 4 - 2z2 x > z5 - z 4 + 2z2 Þ ( z - 1)( z 4 + 2 z + 2) < 0 2 1ö 3 æ Do z + 2 z + 2 = ç z 2 - ÷ + ( z + 1)2 + > 0 nên z<1. 2ø 4 è Tương tự, ta có y>1 Þ x<1 suy ra vô lý. 4 +) Nếu x<1 Tương tự trên ta cũng suy ra được điều vô lý. Vậy x=y=z=1 là nghiệm của hệ. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1: Giải hệ: 2 2 2 ïì xy + yz + zx = x + y + z a) í 6 6 6 ïî x + y + z = 3 ì x 2 + y2 + z2 = 3 îx + y + z = 3 b) í Bài 2: Giải hệ ì x3 y = 9 í î3x + y = 6 ĐS: VN Bài 3: Giải hệ ìï xz = y + 2 í ïî x + z = 2 y ( x- y+ z ) ĐS: (2;2;2) Bài 4: Giải hệ ìï y3 + x 2 = 64 - x 2 y í 2 3 ïî( x + 2) = y + 6 ĐS: (0;2) Bài 5: Giải hệ ìï x + 1 + x + y = 3 í 2 ïî x + ( y - 4) + 5 = 5 ĐS: (0;4) Bài 6: ì3 x 3 + y + x 2 = 4 ï í ïî x 2 - 1 + x + y 2 = 1 ĐS: (1;0) Bài 7. Giải hệ ìï x 3 + y 2 = 2 í 2 2 ïî x + xy + y - y = 0 ĐS: VN Bài 8: Giải hệ ìï x 2 + y 2 + z 2 = 1 í 2 2 ïî x + y - 2 xy + 2 yz - 2 xz + 1 = 0 HD: Hệ đã cho tương đương với Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 3 Chuyên đề bồi dưỡng HSG MATHVN.COM ìï x 2 + y 2 + z 2 = 1 í 2 ïî( x - y) - 2 z( x - y) + 1 = 0 Từ phương trình thứ nhất ta được: -1 £ z £ 1 Từ phương trình thứ hai : x-y tồn tại Û z 2 - 1 ³ 0 Û z ³ 1 Suy ra z = ±1 . Bài 9: Giải hệ ìx 2 = y + 1 ï 2 íy = z +1 ïz 2 = x + 1 î HD: Đây là hệ mà vai trò của x, y, z như nhau. Giả sử x ³ y ³ z. Suy ra z 2 - 1 ³ x 2 - 1 ³ y 2 - 1 Û z 2 ³ x 2 ³ y 2 (*) Xét x £ 0 hoặc z ³ 0 . Từ (*) suy ra x=y=z. Vậy chỉ có trường hợp x>0 và z<0 . Khi đó z 2 = x + 1 > 1 Þ z < -1 Þ y 2 = z + 1 < 0 vô lý. Vậy hệ có 2 nghiệm là x=y=z= 1± 5 . 2 Bài 10: ( Olympic-tỉnh Gia lai 2009) Giải hệ phương trình 2 2 2 ïì x + y + z + 2 xy - zx - zy = 3 í 2 2 ïî x + y + yz - zx - 2 xy = -1 HD: Phương trình đã cho tương đương với ìï( x + y )2 - z( x + y) + z 2 - 3 = 0 í 2 ïî( x - y) - z( x - y) + 1 = 0 ĐS: (1;0;2) , (-1;0;2). II. TÍNH CÁC ĐẠI LƯỢNG CHUNG Ví dụ 1: Cho abc>0. Giải hệ phương trình ì xy = a ï í yz = b ï zx = c î Giải: Do abc>0 nên hệ đã cho tương đương với Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 4 Chuyên đề bồi dưỡng HSG MATHVN.COM éì bc êïz = a êï ê ïï ab êí y = é ì xy = a c êï êï ê ï ê í yz = b ê ï x = ac ì xy = a ï ê b ê îï ï î xyz = abc Ûê Ûê í yz = b ê ì xy = a êì bc ï( xyz )2 = abc êï î êïz = a ê í yz = b êï êï ê ïï ab ëê î xyz = - abc êí y = c êï êï ac êï x = b ëêïî Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ì x + y + xy = 1 ï í x + z + xz = 2 ï y + z + yz = 5 î (*) HD Giải: ì( x + 1)( y + 1) = 2 ï (*) Û í( x + 1)( z + 1) = 3 ï( y + 1)( z + 1) = 6 î Từ đây các em có thể giải tiếp một cách dể dàng. Ví dụ 3: Giải hệ ì x 2 + 2 yz = x ï 2 í y + 2 zx = y ï z 2 + 2 xy = z î (*) HD Giải: ì x 2 + 2 yz = x ì x 2 + 2 yz = x ï 2 ï (*) Û í x - y 2 + 2 yz - 2 xz = x - y Û í( x - y)( x + y - 2 z - 1) = 0 ï x 2 - z 2 + 2 yz - 2 xy = x - z ï( x - z )( x + z - 2 y - 1) = 0 î î Từ đây các em có thể giải tiếp một cách dể dàng. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN: Giải các hệ phương trình sau: Bài 1: ì xy = 2 ï a) í yz = 6 ï zx = 3 î ì xy + x + y = 11 ï b) í yz + y + z = 5 ï zx + z + x = 7 î ì xy + x + y = 7 ï c) í yz + y + z = -3 ï xz + x + z = -5 î ì xy + xz = 8 ï d) í yz + xy = 9 ï xz + zy = -7 î Bài 2: Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 5 Chuyên đề bồi dưỡng HSG MATHVN.COM ì x ( x + y + z ) = 2 - yz ï a) í y( x + y + z ) = 3 - xy ï z( x + y + z ) = 6 - xy î ì xy + y + 2 x + 2 = 4 ï b) í yz + 2 z + 3 y = 6 ï xz + z + 3x = 5 î ì x + xy + y = 1 ï c) í y + yz + z = 4 ï z + zx + x = 9 î Bài 3: ì x 2 + 2 yz = x ï a) í y 2 + 2 zx = y ï z 2 + 2 xy = z î ì y 2 - xz = b ï b)* í z 2 - xy = b (a,b Î R) ï x 2 - yz = a î ìx2 + y + z = 3 ï c) í y 2 + x + z = 3 ïz2 + x + y = 3 î ìxyz=x+y+z ïyzt=y+z + t ï d) í ï ztx = z + t + x ïîtxy = t + x + y III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Đôi khi bài toán sẽ phức tạp nếu ta giải hệ với ẩn (x ,y ,z) nhưng chỉ sau một phép đặt a=f(x), b=f(y); c=f(z) … thì hệ sẽ đơn giản hơn. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: ì x 2 ( y + z )2 = (3x 2 + x + 1) y 2 z 2 ï 2 2 2 2 2 í y ( x + z ) = (4 y + y + 1) x z ï z 2 ( x + y)2 = (5z 2 + z + 1) x 2 y 2 î Giải: Nếu x=0 suy ra được y=z=0 Þ ( x; y; z) = (0;0;0) là nghiệm của hệ. Với x ¹ 0; y ¹ 0; z ¹ 0 chia cả hai vế cho x 2 y 2 z 2 ta thu được ìæ y + z ö2 1 1 ïç ÷ = 3+ + 2 x x ïè yz ø ï 2 1 1 ïæ x + z ö = 4+ + 2 íç ÷ y y ïè xz ø 2 ï ïæ x + y ö = 5 + 1 + 1 ïçè xy ÷ø z z2 î 1 x 1 y Đặt a = ; b = ; c = 1 Ta nhận được z ì( a + b )2 = c 2 + c + 5 ï 2 ï 2 í( b + c ) = a + a + 3 ï 2 2 ïî( a + c ) = b + b + 4 (1) (2) (3) Lấy (2)-(3) ta được: (a-b)[2(a+b+c)+1]=1. Lấy (1)- (3) ta được: (b-c)[2(a+b+c)+1)=1 . Suy ra a-b=b-c Þ a+c=2b thay vào (3) ta được 3b2 - b - 4 = 0 . Từ đây các em có thể giải tiếp. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: ìï x 3 ( 6 + 21y ) = 1 í 3 ïî x ( y - 6) = 21 Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 6 Chuyên đề bồi dưỡng HSG MATHVN.COM HD: Nếu giải hệ với ẩn (x;y) thì ở đây ta thật khó để thấy được được phương hướng giải. 1 z 3 ìï z = 21y + 6 í 3 ïî y = 21z + 6 Nhưng mọi chuyện sẽ rõ ràng khi ta đặt x = . Khi đó dưa về hệ Đây là hệ đối xứng loại 2. Các em hãy giải tiếp. Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau: 12 ì xy ïx + y = 5 ï 18 ï yz = í ïy + z 5 ï xz 36 = ï î x + z 13 HD: Nghịch đảo 2 vế của từng phương trình sau đó đặt ẩn phụ. Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau: ì2 x + x 2 y = y ï 2 í2 y + y z = z ï2 z + z 2 x = x î Giải: Hệ đã cho tương đương với: ì2 x = y(1 - x 2 ) ï 2 í2 y = z(1 - y ) ï2 z = x (1 - z 2 ) î Khi x = ±1; y = ±1; z = ±1 không là nghiệm của hệ trên nên hệ đã cho tương đương với ì 2x ïy = 1 - x2 ï 2y ï íz = 1 - y2 ï ï 2z ïx = 1 - z2 î (1) (2) (3) pö æ -p Đặt x = tan a ; ç < a < ÷ thì 2ø è 2 2 tan a = tan 2a 1 - tan 2 a 2 tan 2a (2) Û z = = tan 4a 1 - tan 2 2a 2 tan 4a (3) Û x = = tan 8a = tan a 1 - tan 2 4a ka Þ tan a = tan 8a Û a = (k Î Z ) 7 -p p -p ka p -7 7 0; "t Î R . Xét hàm số f (t ) = - Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 9 Chuyên đề bồi dưỡng HSG MATHVN.COM 2 1 f '(t ) = - (4t + 3)(2t 2 + 3t + 3) 3 6 3 f '(t ) = 0 Û t = 4 3 4 Từ đó ta có: f(t) tăng nếu t £ - và f(t) giảm nếu t ³ - 3 4 3 thì hàm f(t) tăng: 4 Giả sử hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ; z0 ) · Xét t £ - Nếu x0 < y0 thì f ( x0 ) < f ( y0 ) Þ z0 < x0 Þ f ( z0 ) < f ( x0 ) Þ y 0 < z0 suy ra x0 > z0 > y0 Điều này vô lý. Như vậy hệ chỉ có nghiệm khi x0 = y0 = z0 , thế vào ta đươc 2 x03 + 2 x02 + 3 x0 = 0 Û ( x0 + 1)(2 x02 + 3) = 0 Û x0 = -1 Suy ra hệ có nghiệm x=y=z=-1. 3 hàm f(t) giảm ; Chứng minh tương tự ta cũng được nghiệm x=y=x=-1 4 3 nhưng nghiệm này loại vì x;y;z ³ - . 4 · Xét với t ³ - Kết luận hệ có nghiệm duy nhất x=y=z=-1. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ì x - sin y = 0 ï í y - sin z = 0 ï z - s inx=0 î Giải: Xét hàm số f(x)=sin t, khi đó có dạng ì x = f ( y) ï í y = f (z) ïz = f ( x) î æ p pö æ p pö Hàm f(t) có tập giá trị I = [-1;-1] Ì ç - ; ÷ . Hàm f(t) đồng biến trên ç - ; ÷ . Do đó è 2 2ø è 2 2ø hàm f(t) đồng biến trên I . Giả sử hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ; z0 ) . Nếu x0 < y0 thì f ( x0 ) < f ( y0 ) Þ z0 < x0 Þ f ( z0 ) < f ( x0 ) Þ y 0 < z0 suy ra x0 > z0 > y0 . Điều này vô lý. Vì vậy hệ đã cho trở thành ìx = y = z í î x - s inx=0 (*) Xét hàm số g(x)=x-sin x. Miền xác định D=R; Đạo hàm g '( x ) = 1 - cosx ³ 0,"x Î D Þ hàm số đồng biến trên D. Do đó ta có: Với x=0, ta có g(0)=0 Û phương trình (*) nghiệm đúng. Với x>0 ta có g(x)>g(0)=0 Û Phương trình (*) vô nghiệm. Với x<0 ta có g(x) 0 "x Î R. t2 - t +1 t 2 - t +1 Vậy hàm số f (t ) đồng biến trên R. Do x; y; z đóng vai trò như nhau. Nên không mất tính tổng quát, ta giả sử x ³ y ³ z . Từ hệ phương trình ta có: f ( z ) ³ f ( x) ³ f ( y ) ; nên ta suy ra x = y = z. Bây giờ ta giải phương trình g ( x) = x 3 + 2 x - 3 + ln( x 2 - x + 1) = 0 2x -1 2x 2 + 1 2 Ta có g ' ( x) = 3x + 2 + 2 = 3x + 2 >0 "x Î R. x - x +1 x - x +1 Do đó g (x) là hàm đồng biến và nhận x = 1 là nghiệm. 2 Vậy hệ phương trình có duy nhất nghiệm x = y = z = 1. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN: Giải các hệ phương trình sau: ì2 x + 1 = y 3 + y 2 + y ï 1) í2 y + 1 = z 3 + z 2 + z ï2 z + 1 = x 3 + x 2 + x î ì y 3 - 9 x 2 + 27 x - 27 = 0 ï 2) í z 3 - 9 y 2 + 27 y - 27 = 0 ï x 3 - 9 z 2 + 27 z - 27 = 0 î ì y +1 ïx = 1 + x ï ì2x3 + 3 x 2 - 18 = y3 + y ïï ï z +1 3) í2 y 3 + 3y 2 - 18 = z 3 + z (Olympic-2009) 4) í y = 1 + (Olympic-2008) y ï2 z 3 + 3z 2 - 18 = x 3 + x ï î ï ïz = 1 + x + 1 ïî z 3 2 3 2 ìx = y + y + y - 2 ì x + x + 3x - 4 = y ï ï 5) í y = z 3 + z 2 + z - 2 6) í y3 + y 2 + 3y - 4 = z ïz = x 3 + x 2 + x - 2 ï z 3 + z 2 + 3z - 4 = x î î ì x3 + 3 x - 3 + ln( x2 - x + 1) = y ïï Bài 7: í y3 + 3y - 3 + ln( y2 - y + 1) = z ï 3 2 ïî z + 3z - 3 + ln( z - z + 1) = x Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 11 Chuyên đề bồi dưỡng HSG MATHVN.COM Giải:Ta giả sử (x,y,z) là no của hệ. Xét hàm số f (t ) = t 3 + 3t - 3 + ln(t 2 - t + 1) ta có: f '(t ) = 3t 2 + 3 + 2t - 1 2 > 0 nên f(t) là hàm đồng biến 2 t - t +1 Ta giả sử: x=Max{x,y,z} thì y = f ( x) ³ f ( y) = z Þ z = f ( y) ³ f (z) = x Vậy ta có x=y=z. Vì phương trình x3 + 2 x - 3 + ln( x2 - x + 1) = 0 có nghiệm duy nhất x=1 nên hệ đã cho có nghiệm là x=y=z=1 ì x2 - 2 x + 6 log (6 - y) = x 3 ï ï Bài 8: Giải hệ: í y2 - 2 y + 6 log3 (6 - z) = y (HSG QG Bảng A năm 2006) ï 2 ï z - 2 z + 6 log3 (6 - x) = z î ì x ïlog3 (6 - y) = ï x2 - 2 x + 6 ì f ( y) = g( x) ï y ï ï Giải: Hệ Û ílog3 (6 - z) = Û í f ( z) = g( y) 2 y - 2y + 6 ï ï f ( x) = g( z) î ï z ïlog3 (6 - x) = ïî z2 - 2 z + 6 Trong đó f (t ) = log 3 (6 - t ) ; g (t ) = Ta có f(t) là hàm nghịch biến, g '(t ) = t t - 2t + 6 6-t 2 (t 2 - 2t + 6 với t Î (-¥;6) ) 3 > 0 "t Î (-¥;6) Þ g(t) là hàm đb Nên ta có nếu (x,y,z) là nghiệm của hệ thì x=y=z thay vào hệ ta có: log 3 (6 - x) = x x - 2x + 6 2 phương trình này có nghiệm duy nhất x=3 Vậy nghiệm của hệ đã cho là x=y=z=3. Người biên soạn: Hồ Đình Sinh Email: [email protected] Gửi đăng ở www.mathvn.com Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 12