Tài liệu Phương pháp giải các chủ đề căn bản hình học 12

516.0076 NGlTTJnS. LE HOANH PHO PH561P I I I II I "T^t •^va ren luyer» -g, kl nang W T i l a m bai_' , NHA XUAT BAN DAI HOC QUOC GIA HA NOI NGlTr.TbS. LE HOANH PHO CAC CHUDE CAN BAN T BOI D I / O N G H O C S I N H GIOI THIJVIBJTiWHBINHTHUAN N H A XUAT B A N D A I HOC QUOC GIA HA NQ\ 16 Hang Chuo'i - Hai Ba Trang - Ha Npi Dien thoai: Bien tap-Che" ban: (04) 39714896: Hanh chinh: (04) 39714899: Tong bien tap: (04) 39715011 Fax: (04)39714899 rjc Chiu trdch nhiem xuat ^ ^ ban: Gidm doc - Tong bien tap: TS.PHAM T H I TRAM NGUYEN KHOI Che' ban: N H AS A C H H O N G A N Siia bdi: NGOC L A M Bien tap: Trinh bay bia: MINH V O T H I THITA Ddi tdc lien ket xuat ban: N h a sach H O N G A N SACH L I E N KET CAC CHU DE CAN BAN HINH HOC 12 Ma so: 1L- 155OH2014 • In 2.000 cudn, khd 17 x 24cm tai Cong ty Co phan Van hoa Van Lang. Giay phep xuat ban so: 463-2014/CXB/09-99 OHQGHN, ngay 14/03/2014 Quyet dinh xuat ban so: 153LK-TN/QO-NXB OHQGHN. In xong va nop luu chieu quy II nam 2014. Nham muc dfch giup cac ban hoc sinh I6p 10, Idp 11, Idp 12 nam vQng kien thufc can ban ve mon Toan ngay tCr luc vao THPT cho den khi chuan bj thi Tot nghiep, tuyen sinh Cao dang, Dai hoc, tac gia da bien scan bo sach P H U O N G P H A P G I A I gom 6 cuon: - CAC C H U D E CAN B A N DAI SO 1 0 - CAC C H U DE CAN BAN HINH HQC 1 0 - CAC C H U D E C A N B A N DAI S O - GIAI TICH 1 1 - CAC CHU DE CAN BAN HINH HOC 11 - C A C C H U D E C A N B A N GIAITl'CH 1 2 - CAC C H U DE CAN BAN HINH HQC 12 TCr nen Toan can ban nay, cac ban c6 the nang cao dan dan, bo sung va md rpng kien thufc va phifdng phap giai Toan, ren luyen ky nang lam bai va tC/ng bade giai dung, giai gpn cac bai tap, cac bai toan kiem tra, thi cCf. Cuon C A C C H U D E C A N B A N H J N H H Q C 1 2 nay cd 15 chu de vdi npi dung la phan dang Toan, tdm tat kien thufc va phadng phap giai, cac chu y; phan tiep theo la cac bai toan chpn Ipc can ban minh hpa vdi nhieu dang loai va mifc dp; phan cuoi la 8 bai tap cd hudng dan hay dap so. Du da CO gang kiem tra trong qua trlnh bien scan song khdng tranh khoi nhufng sai sot ma tac gia chua thay het, mong don nhan cac gdp y cua quy ban doc, hpc sinh de Ian in sau hoan thien hon. Tac gia L E HOANH PHb O CHU D E I KHOI Dfi DIEN Vfl PHEP D0I HINH DANG TOAN • 1. KHOI DA DIEN Hinh da dien va khoi da dien - Hinh da dien gom mot so hint hgn da gidc phang thod man hai dieu kien: (1) Hai da gidc hai ki hodc khong co diem chung. hodc cd moi dinh chung, hoac CO moi cgnh chung. (2) Moi cgnh cua moi da gidc la cgnh chung cua dung hai da gidc. - Hinh da dien chia khong gian lam hai phdn: phdn ben trong vd phdn ben ngodi. Hinh da dien ciing vai phdn ben trong cua no goi la khoi da dien. - Moi khoi da dien co the phdn chia dugc thdnh nhitng khoi tic dien. Moi da gidc cua hinh H duac goi la mot mat cua khoi da dien. Cdc dinh, cdc cgnh cua moi mat con goi la dinh, cgnh ciia khoi da dien. Cdc diem nam trong hinh H con goi la diem trong cua khoi da dien. Khoi chop va khSi long tru - Khoi da dien duac goi la khoi chop, khoi chop cut neu no duac giai hgn bai mot hinh chop, hinh chop cut. Tuang tu cho khoi chop n-gidc, khoi chop cut ngidc, khoi chop deu. khoi tit dien,... - Khoi da dien duac goi la khoi Idng Iru neu no duac giai hgn bai mot hinh Idng tru, tuang tu cho khoi hop, khoi hop chu nhdt, khoi lapphuang... - Phdn chia va lap ghep cdc khoi da dien: Moi khoi chop vd khoi Idng tru ludn CO the phdn chia dugc thdnh nhitng khoi tit dien bang nhieu cdch khdc nhau. Chiiy: 1) Dgc so O-le ciia khoi da dien loi: D6i v&i moi khoi da dien loi H, ta ki hieu D la so dinh. C Id so cgnh, M la so mat cua H ihi co dgc so Z(H) = D-C + M = 2. 2) Hinh lang tru deu: hinh lang tru dung (c6 canh ben vuong gdc vai mat day) va CO day la da giac deu. 3) Hinh chop deu: day la da giac deu va cac canh ben bang nhau. Bai toan 1: Chung minh r^ng nSu khoi da dien c6 cac mat la tarn giac thi so mat phai la so chin. Hay chi ra nhung khoi da dien nhu the voi so mat bang 4,6,8,10. Gidi Goi s6 canh cua kh6i da dien la C, s6 mat la M . V i moi mat c6 ba canh va moi canh lai chung cho hai mat nen 3M = 2C. Suy ra M la so chan. Sau day la mot so khoi da dien so cac mat tam giac la 4,6, 8,10. Bai toan 2: Chung minh rang moi dinh ciia mot hinh da dien la dinh chung cua it nhat ba canh va la dinh chung ciia it nhat ba mat. Gidi Ta dung phan chung. Neu xuat phat tu mot dinh nao do chi c6 hai canh, thi moi canh nhu thd la canh cua chi mot da giac, trai voi dieu kien trong dinh nghia cua hinh da dien. Vay moi dinh phai la dinh chung cua it nhat la ba canh, va vi vay no ciing phai la dinh chung cua ba mat. Bai toan 3: Chung minh rSng ndu khoi da dien c6 moi dinh la dinh chung cua ba canh thi s6 dinh phai la so chSn. Gidi Gia su khoi da dien c6 C canh va c6 D dinh. V i moi dinh la dinh chung cua ba canh va moi canh c6 hai dinh nen 3D 2C. Vay D phai la so chan. Bai toan 4: Chung minh rSng nSu kh6i da dien c6 cac mat la tam giac va m6i dinh la dinh chung cua ba canh thi do la khoi tu dien. Gidi Goi A la mot dinh cua kh6i da dien. Theo gia thiet, dinh A la dinh chung cho ba canh, ta goi ba canh do la AB, AC, AD. Canh AB phai la canh chung cua hai mat tam giac, do la hai mat ABC va ADB (vi qua dinh A chi c6 3 canh). c 6 Tuomg tir, ta c6 cac mat tam giac ACD va BCD. Vay Ichoi da dien do cliinh la khoi tu dien ABCD. Bai toan 5: Chung minh rang, so goc cua tat ca cac mat gap doi so canh cua khoi da dien. Suy ra so goc chan. Gidi Goi so goc la G va so canh cua khoi da dien la C. Trong moi mat la da giac thi so goc bang so canh, ma so canh dugc tinh 2 Ian nen G = 2C, do do G chEn. Bai toan 6: Chung minh khong ton tai khoi da dien c6 mot so le mat va moi mat lai CO mot so le canh. Giai Gia su ton tai khoi da dien c6 so mat la M le va moi mat chua so le canh Ci, i=l,2,...,M. Ta CO so goc cua khoi da dien: G = C, + C 2 +... + C M ^ G le: v6 ly. Vay khong ton tai kh6i da dien thoa de bai. Bai toan 7: Hay phan chia mot khoi tu dien thanh ba khoi tu dien bed hai mat phang. Giai A Cho kh6i tu dien ABCD. Lay diem M va N phan biet nam giiia C va D. Bang hai mat phang (ABM) va (ABN), ta chia khoi tu dien da cho thanh ba khoi tu dien: ABCN, ABNM va ABMD. Bai toan 8: Hay phan chia mot khoi tu dien thanh bon khoi tu dien bai hai mat phang. Giai A Cho kh6i tu dien ABCD. Lay diem M nam giiia A va B, diem N nam giua C va D. Bang hai mat phang (MCD) va (NAB), ta M/_ chia khoi tu dien da cho thanh bon khoi tu dien: B• AMCN, AMND, BMCN va, BMND. Bai toan 9: Hay phan chia mot khoi hop thanh nam khoi tu dien. Giai B Co t h i phan chia khoi hop ABCD.A'B'C'D' thanh nam khoi tu dien sau day: ABDA', CBDC, B'A'C'B, D'A'C'D va, BDA'C. DANG TOAN 2. PHEP Ddfl HINH Phep den hinh - Mot phep hien hinh F trong khdng gian duac goi la phep dai hinh neu no hdo toan khoang each giita hai diem hat ky: neu F bien hai diem bat ki M, N Idn luat thanh hai diim M', N' thi M'N' = MN. Phep dai hinh bien duang thdng thanh duang thdng, matphdng thanh matphdng... Hap thanh cua nhung phep dai hinh la phep dai hinh. Cdc phep d&i hinh dqc biet - Phep dong nhdt: Phep dai hinh bien diem M bdt ki thanh chinh no. - Phep tinh tien: Phep tinh tien theo vecta v Id phep bien hinh bien moi diem M thanh diem M' sao cho M M ' = v . - Phep doi xung qua duang thdng (phep doi xung true): Cho duang thdng d, phep doi xicng qua duang thdng d la phep bien hinh bien moi diem thudc d thanh chinh no vd bien moi diem M khdng thudc d thanh diem M' sao cho trong mat phdng (M, d). d Id dmrng trung true cua dogn thdng MM'. - Phep doi xirng qua mot diem (phep doi xung tdm): Cho diem O, phep doi xicng qua diem O la phep bien hinh bien moi diem M thanh diem M' sao cho OM + OM ' = 0 , hay O la trung diem cua MM'. - Phep ddi xicng qua mat phdng (P) la phep bien hinh bien mdi diem thudc (P) thanh chinh no vd bien mdi diem M khdng thudc (P) thdnh diem M' sao cho (P) Id mat phdng trung true cua dogn thdng MM'. Hai hinh bang nhau - Hai hinh da dien goi Id bdng nhau neu eo mot phep dai hinh bien hinh nay thdnh hinh kia. Ddi vai cdc khdi da dien Idi: Neu phep dai hinh F bien tap cdc dinh cua khdi da dien Idi H thdnh tap cdc dinh ciia khdi da dien Idi H' thi F bien H thdnh H'. Dinh ly: Hai hinh tic dien ABCD vd A 'B'C'D' bdng nhau niu chiing eo cdc egnh tuang icng bdng nhau, nghia Id AB -= A'B', BC = B'C, CD = CD', DA = D'A', AC = A'C, BD = B'D'. Bai toan 1: Cho hai diem phan biet A, B va phep doi hinh f biln A thanh A, biSn B thanh B. Chung minh rang f bien moi diem M nam tren ducmg thang AB thanh diem M . Gidi Ta CO f(A) = A, f(B) = B. 8 Gia su diem M thuoc duong thang A B va f ( M ) = M ' . K h i do M ' thuoc duomg M n g A B va A M = A M ' , B M = B M ' . Suy ra M ' triing M , turc la f bi^n M thanh chinh no. Vay f bien mpi diem M nam tren duong thang A B thanh chinh diem M . Cho tam giac A B C va phep dai hinh f bien tarn giac A B C thanh chinh no, tuc la f ( A ) = A , f(B) = B, f(C) = C. Chung minh rang f bien moi diem M cua mp(ABC) thanh chinh no, tuc la f ( M ) = M . Bai toan 2: Gidi V i f(A) = A , f(B) = B va f(C) = C nen f bign mp(ABC) thanh mp(ABC). Bai vay nSu M thuoc mp(ABC) va f ( M ) = M ' thi M ' thuoc mp(ABC) va A M = A M ' , B M = BM', C M = CM'. Neu M ' va M phan biet thi ba diem A , B, C thuoc duong thang trung true cua doan thang M M ' tren mp(ABC), trai vai gia thiet A B C la tam giac. Vay f ( M ) = M . Bai toan 3: Cho t u dien A B C D . Chung to rang phep dai hinh bien moi diem A , B, C, D thanh chinh no phai la phep dong nhat. Gidi Gia su phep dai hinh f bien cac diem A , B, C, D thanh chinh cac diem do, tuc la f(A) = A , f(B) = B, f(C) = C, f(D) = D. Ta chung minh rang f bien diem M bat k i thanh M . That vay gia su M ' = f ( M ) va M ' khac vai M . K h i do v i phep dai hinh khong lam thay doi khoang each giCra hai dikm nen A M = A M ' , B M = B M ' , C M = C M ' , D M = D M ' , suy ra b6n di^m A , B, C, D nam tren mat phang trung true cua doan M M ' , dieu do trai vai gia thidt A B C D la hinh t u dien. Vay M ' triing vai M va do do f la phep dong nhk. Bai toan 4: Cho hai t u dien A B C D va A'B'C'D' c6 cac canh tucmg ung b ^ g nhau: A B = A'B', BC = B'C, C D = C D ' , D A = D'A', D B = D'B', A C = A ' C . Chung minh rang c6 khong qua mot phep dai hinh bien cac diem A , B, C, D Ian luat thanh cac diSm A', B', C , D'. Gidi Gia su CO hai phep dai hinh f i va f2 deu bien cac diem A , B, C, D Ian luat thanh cac di^m A ' , B', C , D'. Neu f| va f2 khac nhau thi eo it nhat mot diem M sao cho neu M i = f i ( M ) va M2 = f2(M) thi M l va M2 la hai diem phan biet. Khi do v i fi va deu la phep dai hinh nen A ' M i = A M va A'M2 = A M , vay A ' M i = A'M2, tuang t u B ' M i = B'M2, C'Mi = C'M2, D ' M i = D'M2, do do b6n dikm A\, C, D' cung nam tren mat phang trung true cua doan thang M1M2, trai vai gia thi^t A'B'C'D' la hinh t u dien. Do do vai mpi diem M ta deu c6 f i ( M ) = f2(M), tuc la hai phep dai hinh fi va T2 trung nhau. 9 I Vay CO khong qua mot phep dai hinh biln cac di6m A, B, C, D \hn lugt thanh cac dilm A', B', C, D'. Bai toan 5: Cho hai tam giac bang nhau ABC va A'B'C (AB = A'B', BC = B'C, AC = A'C). Chung minh rang c6 dung hai phep dai hinh, mSi phep bien tam giac ABC thanh tam giac A'B'C. Cho truac tam giac ABC. Co nhirng phep dai hinh nao bien tam giac ABC thanh chinh no? Gidi Tren duong thang a vuong goc vai mp(ABC) tai A lay diem D khac A, tren duong thang a' vuong goc vai mp(A'B'C') tai A' c6 hai diem phan biet Di va D2 sao cho A'Di = A'D2 = AD. Ta CO cac hinh tu dien ABCD, A'B'C'Di va A'B'C'Dz CO cac canh tuang ung bang nhau. Neu f la phep dai hinh bien tam giac ABC thanh tam giac A'B'C thi hoac f bien D thanh.Dj hoac f bien D thanh D2. Vay CO diing hai phep dai hinh bien tam giac ABC thanh tam giac A'B'C. Do la phep dai hinh fi h'lkn tu dien ABCD thanh tu dien A'B'C'D, va phep dai hinh fi bien tu dien ABCD thanh tu dien A'B'C'D2. Day la truong hop rieng khi hai tam giac ABC va A'B'C trung nhau. Vay ta c6 hai phep doi hinh bien ABCD thanh chinh no: do la phep dong nhSt va phep d6i ,xung qua mp(ABC). Bai toan 6: Cho tu dien deu ABCD va phep doi hinh f bien ABCD thanh chinh no, nghia la bien moi dinh cua tu dien thanh mot dinh cua tu dien. Tim tap hop cac diem M trong khong gian sao cho M = f(M) trong cac truong hop sau day: a) f(A) = B, f(B) = C, f(C) = A b) f(A) = B, f(B) = A, f(C) = D c) f(A) = B, f(B) = C, f(C) = D Gidi a) Theo gia thiet f(A) = B va f(B) = C, f(C) = A. Do do f(M) = M khi va chi khi M A = MB = MC. Suy ra tap hop cac diem M la true cua duong tron ngoai ti^p tam giac ABC. b) Theo gia thiSt f(A) = B, f(B) = A, f(C) = D. Do do f(M) = M khi va chi khi M A = MB va MC = MD, tuc la M d6ng thai •nam tren cac mat phang trung true cua AB va CD. Suy ra tap hop cac diem M la duong thing di qua trung dikm cua AB va CD. c) Theo gia thilt f(A) = B, f(B) = C, f(C) = D. Do do f(M) = M khi va chi khi MA = MB = MC = MD. Suy ra tap hop cac diem M gom mot dikm duy nhk la trong tam tu dien ABCD. 10 Bai toan 7: Chung minh rang cac phep tinh tien, phep doi xung tam la cac phep dai hinh. Giai - Neu phep tinh tien theo vecta v b i l n hai diSm M , N ISn lugt thanh hai d i l m M', N' thi M M ' = N N ' = v , suy ra M N = M ' N ' va do do M N = M ' N ' . Vay phep tinh tien la mot phep dai hinh. - Neu phep doi xung tam O bien hai diem M , N ISn luat thanh hai diSm M ' , N ' thi O M ' = - O M , O N ' = - O N . Suyra: M ' N ' = O N ' - O M ' = - O N + O M = N M Do do M ' N ' = M N , suy ra phep doi xung tam O la mot phep dai hinh. Bai toan 8: Chung minh rang cac phep doi xung true, doi xung qua mat phSng la cac phep dai hinh. Gidi - Gia su phep doi xung qua duang t h i n g d bi§n hai diem M , N Ian lugt thanh hai diem M ' , N ' . Goi H va K Ian luoft la trung diem cua M M ' va N N ' , ta c6: M N + M ' N ' = 2HK, M N - M ' N ' = HN - H M - HN'+HM' = N' N + M M ' V i hai vecta M M ' va N N ' deu vuong goc vai H K nen: ( M N + NTN').(MN - isof')= 2HK(hrN + M M ' ) = 0 SuyraMN = M ' N ' hay M N = M ' N ' . Vay phep doi xung qua d la phep dai hinh. - Gia su phep doi xung qua mat phang (P) bien M , N thanh M ' , N ' . N6u M , N thupc (P) thi M ' s M , N ' = N nen M ' N ' = M N . Neu CO it nhat mot trong hai diem M , N khong nam tren (P) thi qua bon diem M , N , M ' , N ' CO mot mat phang (Q) ( M M ' va N N ' cung vuong goc v a i (P) nen song song vai nhau). Goi A la giao tuyen cua (P) va (Q) thi trong mp(Q), phep doi xiing qua duang thang A bien hai diem M , N thanh hai diem M ' va N ' nen M N = M ' N ' . Bai toan 9: Chung minh 2 hinh lap phuomg c6 canh bang nhau thi bang nhau. Giai Gia su ABCD.A'B'C'D' va MNPQ.M'N'P'Q' la hai hinh lap phuang c6 canh d k bang a. Hai t u dien A B D A ' va M N Q M ' c6 cac canh tuang ung bang nhau nen bang nhau, tire la CO phep dai hinh F bien cac diem A , B, D , A' Ian lugt thanh M , N , Q, M ' . 11 Vi F la phep dai hinh nen F bien hinh vuong lhanh hinh vuong, do do F bien diem C thanh diem P, bien diem B' thanh N', bien diem D' thanh Q' va bien diem C thanh P'. Vay hai hinh lap phuong da cho bang nhau. Bai toan 10: Cho hinh lap phuong ABCD.A'B'C'D'. Chung minh rang: a) Cac hinh chop A.A'B'C'D' va C'.ABCD hkng nhau. b) Cac hinh lang tru ABC.A'B'C va AA'D'.BB'C bang nhau. Gidi a) Goi O la tarn cua hinh lap phuorng. V i phep doi xung tam O bien cac dinh cua hinh chop A.A'B'C'D' thanh cac dinh cua hinh chop C'ABCD. Vay hai hinh chop do bang nhau. b) Phep d6i xung qua mp(ADC'B') bien cac dinh cua hinh lang tru ABC. A'B'C thanh cac dinh cua hinh lang tru AA'D'.BB'C nen hai hinh lang tru do bang nhau. DANG TOAN a 3. CAC PHEP DOfl HINH DAC BIET Phep tilth tien Phep tinh tien theo vecta v la phep hien hinh hien moi diem M thdnh diem M' sao cho M M ' ^ v . Cac phep doi xung - Phep doi xicng qua duang thdng (phep doi xung true): Cho duang thdng d, phep doi xung qua duang thdng d la phep hien hinh hien moi diem thuoc d thdnh chinh no va hien moi diem M khong thuoc d thdnh diem M' sao cho trong mat phdng (M, d). d la duang trung true ciia doan thdng MM'. - Phep doi xicng qua mot diem (phep doi xicng tam): Cho diem O, phep doi xicng qua diem O la phep hien hinh hien moi diem M thdnh diem M' sao cho OM OM ' = 0 , hay O la trung diem cua MM'. - Phep doi xicng qua mat phdng (P) Id phep hien hinh hien moi diem thuoc (P) thanh chinh no va hien moi diem M khong thuoc (P) thdnh diem M' sao cho (P) id mat phang trung true cua doan thdng MM'. Yeu to doi xmtg t w r - Hinh H co tam doi xung khi c6 phep doi xung qua tam hien hinh H thdnh chinh no. - Hinh H co true doi xicng khi co phep doi xicng qua true hien hinh H thdnh chinh no. - Hinh H CO mat doi xicng khi co phep doi xiing qua mat phdng hien hinh H thdnh chinh no. 12 Bai toan 1: Cho hinh lap phuong ABCD.A'B'C'D'. Tim a) Tam doi xung b) Mat d6i xung Gidi a) Tam doi xung O la giao diem eua 4 duong cheo AC, BD', CA' va DB'. c) True doi xung. b) Goi a la mat doi xung cua hinh lap phuong thi c phep doi xung qua a bien hinh vuong ABCD thanh chinh no, hoae thanh hinh vuong chung canh hoae A:^--V D' thanh hinh vuong A'B'C'D'. B' Tir do thi hinh lap phuong c6 9 mat phang doi xung la 3 mat phang trung true cua cac canh va 6 mat phang chua hai canh doi. c) 9 true doi xung gom 3 true cua cae mat va 6 duong thang di qua trung diem cua hai canh doi. Bai toan 2: Cho hinh tu dien deu ABCD. a) Tim tit ca eac true doi xung. b) Tim tat ca cac mat phang doi xung. Gidi a) Tu dien deu ABCD eo 3 true doi xung la 3 duong thang di qua trung diem 2 canh doi dien (duong trung binh). b) Tu dien deu ABCD c6 6 mat phang doi xung. do la cae mat phang trung true eua eac canh. Bai toan 3: Tim cac mat phang doi xung eua eac hinh sau day: a) Hinh chop tu giac deu. b) Hinh chop cut tam giac deu. e) Hinh hop chij nhat ma khong c6 mat nao la hinh vuong. Gidi a) Hinh chop tu giac ddu S.ABCD c6 4 mat phang doi xung: mp(SAC), mp(SBD), mat phang trung true eua AB (dong thai eua CD) va mat phang trung true cua AD (dong thai ciia BC). b) Hinh chop cut tam giac deu ABC.A'B'C c6 ba mat phang doi xung, do la ba mat phang trung true cua ba canh AB, BC, CA. e) Hinh hop chu nhat ABCD.A'B'C'D' (ma khong c6 mat nao la hinh vuong) eo ba mat phang doi xung, do la ba mat phang trung true cua ba canh AB,AD, AA'. 1 S \ A. 13 Bai toan 4: Chung minh rang mot hinh chop Idiong c6 tarn doi xung. Gidi Truac h i t ta thay rang neu mot hinh chop c6 tarn doi xung O, thi so mat chSn. That vay neu M la diem bat k i thuoc mot mat nao do cua hinh chop, thi diem M ' doi xung vai M phai thuoc mot mat hinh chop (vi phep doi xung bien mat thanh mat, canh thanh canh va dinh thanh dinh). Dieu do chung to moi cap mat ciia hinh chop ung vai mot doan thang M M ' . V i so cac doan nhu vay la nguyen, nen so mat la chan. Vay day ciia hinh chop c6 tam doi xung la da giac vai so le canh nen O khong thuoc mat phang day va khong thuoc cac mat ben. Goi (T) la thiet dien cua hinh chop di qua O va song song vai day ((T) ton tai v i phep doi xung qua O bien dinh hinh chop thanh diem thuoc day chop), khi do (T) la da giac c6 tam doi xung lai CO so le canh (vi cac canh cua (T) chi nam tren cac mat xung quanh cua hinh chop). Mau thuan do chung minh bai toan. Cho hai duang thang song song a va a', hai mat phang (P) va (P') cung vuong goc vai a. T i m phep tinh tien bien a thanh a' va bien (P) thanh (P'). Bai toan 5: Gidi Goi O la giao diem cua a va (P), O' la giao diem cua a' va (P'). K h i do phep tinh tien theo vecta v = 0 0 ' se bien a thanh a' va bien (P) thanh (P'). Bai toan 6: Chung minh rang hop thanh cua cac phep tinh tien la mot phep tinh tiSn. Gidi Gia su T i va T2 Ian lugt la cac phep tinh tien theo vecta v, va v^ . Neu T| bien diem M thanh diem M i va T2 bien M i thanh M2 thi hop thanh T2 o T i bien diem M thanh diem M2. V i M M , = V, va M j M ^ = v , nen M M , = M M , + M , M 2 = v, + Vj Vay T2 o T i la phep tinh tien theo vecta v, + v , . Mot each tong quat: hop thanh cua n phep tinh tien da cho la mot phep tinh tien CO vecta tinh tien bang tong cac vecta cua cac phep tinh tien da cho. Cho t u dien A B C D noi tiep mat cau (S) ban kinh R = A B , mot diem M thay d6i tren mat cku. Goi C, D', M ' la cac d i l m sao cho: CC'= D D ' = M M ' = A B . Chung minh rang neu BC'D'M' la hinh tu dien thi tam mat cau ngoai tiep tu dien do nam tren (S). Bai toan 7: Gidi Phep tjnh tiSn T theo vecta v = A B biSn A thanh B, C thanh C , D thanh D' va M thanh M ' , tuc la bi6n t u dien A C D M thanh t u dien BC'D'M'. Do do T bien tam O cua mat cau (S) ngoai tiep t u dien A C D M thanh tam O' cua mat cau ngoai tiep t u dien BC'D'M', tuc la 0 0 ' = v = AB. V i OO' = A B = R nen dikm O' n i m tren mat cku (S). 14 Bai toan 8: Cho t u dien A B C D . Goi A i , B|, C i , D i \an lugt la trong tarn cac tarn giac BCD, A C D , A B D , A B C . V a i d i l m M hk k i trong khong gian ta goi M i la anh ciia M qua phep tinh tien A A , , M 2 la anh ciia M i qua phep tinh tien theo BB| , M3 la anh cua M 2 qua phep tinh tien theo CC, , M 4 la anh cua M 3 qua phep tinh tien theo DD, . Chung minh rang M trung vai M 4 . Gidi Ta CO M 4 la anh cua M qua 4 phep tinh tien lien tiep. Hop thanh phep tinh tien do la mot phep tinh tien theo vecta V = AA^ + BB^ + CCJ + DD^ Goi G la trong tarn t u dien, theo tinh chat trong tam t h i : V = - - G A - - G B - - G C - - G D = - - ( G A + GB + GC + G D ) = 6 3 3 3 3 3 Do do M trung v a i M 4 . Bai toan 9: Cho phep dai hinh f thoa man dieu kien phep hgp thanh cua f va f la phep dong nhat: f o f = e, biet rang c6 mot diem I duy nhat sao cho f bien I thanh chinh no. Chung minh rang f la phep doi xung tam. Gidi V a i mot diem M bat k i khac 1, ta goi M ' la anh cua M qua f, khi do M va M ' khong trung nhau. V i f o f = e nen f bien M ' thanh M , vay f bi^n doan thang M M ' thanh doan thang M ' M . Tu do suy ra f bien trung diem doan thang M M ' thanh chinh no va v i vay, theo gia thiet trung diem M M ' phai la diem I . Vay f la phep doi xung qua tam I . Bai toan 10: Chung minh rang hop thanh ciia mot so chan cac phep doi xung tam la mot phep tinh tien, hop thanh cua mot so le cua phep doi xung tam la phep doi xung tam. Gidi - Gia su D i va D2 la cac phep doi xung tam c6 tam Ian lugt la Oi va O2. Goi M la mot diem bat k i , M i = D i ( M ) va M ' = D 2 ( M i ) thi phep hgp thanh D2 o D i bien M thanh M ' . Ta c6: M M ' = MM, + M , M ' = 2 0 , M , + 2M,0, Suy ra D2 o D i la phep tinh tien theo vecta v = = 2 0 ^ 20,0, - V a i diem M ta lay M i doi xung vai M qua O, va lay M ' sao cho M , M ' = v . Khi do hap thanh T o Dobien M thanh M ' . V —• Neu goi I la trung diem cua M M ' thi 01- V ~. 15 Vay diem I c6 dinh. Suy ra T o Do la phep doi xung qua I . Tuong ty Do o T la phep doi xung qua diem I' ma 01' = — - Vi hop thanh cua hai phep doi xung tam la mot phep tinh tien nen hop thanh cua 2n phep d6i xung tam la hop thanh cua n phep tinh tien va do do la mot phep tjnh tien. Hop thanh cua 2n + 1 phep doi xung tam la hop thanh cua mot phep tinh tien va mot phep doi xung tam nen la mot phep doi xung tam. Bai toan 11: Chung minh rang: a) Hop thanh cua hai phep doi xung true c6 cac true doi xung song song la mot phep tinh tien b) Hop thanh cua mot phep doi xung true va mot phep tinh tien theo vecta vuong goc vai true doi xung la mot phep doi xung true. Gidi a) Gia su Da va Db la cac phep doi xung true c6 true Ian lucrt la cac duong thang a va b song song vai nhau. Lay hai diem I va J Ian lugt nam tren a va b sao cho IJ 1 a. Vai diem M bat ki, ta goi Mi = Da(M) va M' = Db(Mi) Ihi phep hop thanh Db o Da bien M thanh M'. Neu goi H la trung diem cua M M | va K la trung diem cua M | M ' thi: M M ' = M M , + M , M ' = 2HM, + 2M|K = 2HK = 2IJ Vay hop thanh Db o Da chinh la phep tinh tien theo vecta v = 2 0 . b) Gia su Da la phep doi xung qua duong thang a,T^ la phep tinh tien theo vecta V vuong goc vai a. V Goi b la anh cua a qua phep tinh tien theo vecta - thi phep tinh tien la hop thanh cua hai phep doi xung Da va Db qua cac duong thang a va b: T = Db o Dg. Boi vay T o Da = Db o Da o Da = Db o e = Db. Goi b' la anh cua a qua phep tinh tien theo vecta - — thi phep tinh tien thanh cua hai phep doi xung Db' va Da qua cac duong thang b' va a: la hop = Dg o Db'. Do do: Da o T- = Da o Da o Db' = e o D^ = D^. 16 Bai toan 12: Goi D la phep doi xung qua do. Gia su D bien duong thang a thanh a) a trung vai a' c) a cat a' mat phang (P) va a la mot duong thang nao duong thang a'. Trong truong hop nao thi: b) a song song vai a' d) a va a' cheo nhau? Gidi a) a trung vai a' khi a nam tren mp(P) hoac a vuong goc vod mp(P). b) a song song vdi a' khi a song song vai mp(P). c) a cat a' khi a cat mp(P) nhimg khong vuong goc vai (P). d) a va a' khong bao gia cat nhau. Bai toan 13: Chung minh: a) Hop thanh cua hai phep doi xung qua hai mat phang song song (P) va (Q) la mot phep tinh tien. b) Hop thanh cua hai phep d6i xung qua hai mat phang (P) va (Q) vuong goc vai nhau la mot phep doi xung qua duong thang. Gidi a) Lay hai diem A va B Ian lugt nam tren (P) va (Q) A» ' sao cho AB J_ (P). Vai mot dikm M bat ki, ta goi M i la M, diem doi xiing vai M qua mp(P) va M ' la diem doi xung vai Ml qua mp(Q). Goi H va K Ian lugrt la trung diem cua M M i va M i M ' thi ta c6: 1M' M M ' = MM, + M , M ' = 2(HM; + M ^ ) = 2HK = 2AB Vay phep hop thanh la phep tinh tien theo vecta 2 A B . b) Goi d la giao tuyen cua (P) va (Q). Vai mot diem M bat ki, ta goi M i la diem doi xung vai M qua mp(P) va M ' la diem doi xung cua Mi qua mp(Q). Neu M nam tren (P) hoac tren (Q) thi M, thay M' la diem doi xung cua M qua d. Neu M khong nam tren ca (P) va (Q) thi ba diem M , M i va M ' xac dinh mat phang (R) vuong goc vai (P) va (Q), do / P I / do vuong goc vai d. q d Goi giao tuyen cua (R) vai (P) va (Q) lugt la p, q, con O la giao diem ciia p va q. n Xet trong mat phang (R) thi diem M' la anh cua diem M qua hop thanh cua phep doi xung qua duong thang p va phep doi xung qua duong thang q. Suy ra O la trung diem ciia M M ' . / Mat khac M M ' _L d nen phep hop thanh la phep doi xung qua duong thang d. THI/ V!EN Ti.^JHolNH THUAN 17 Bai toan 14: Cho mat phang (P) va cho phep dai hinh f c6 tinh chdt: f biSn dikm M thanh diem M ichi va chi khi M nkm tren (P). Chung to rang f la phep d6i xung qua mat phang (P). Gidi "1 , Phep dai hinh f bien moi diem M nam tren (P) thanh M . Vai diem A khong nam tren (P) ta goi a la duang thang di qua A va vuong goc vai (P). Neu H la giao diem cua a va (P), vi f(H) = H nen f bien a thanh duang thang di qua H va vuong goc vai (P), vay f(a) = a. Til do suy ra diem A bien thanh diem A' nkm tren a, A' khac vai A va HA = HA'. Vay (P) la mat phang trung true cua doan thing AA'. Suy ra f la phep doi xung qua mp(P). Bai toan 15: Cho tu dien deu ABCD. Goi M , N Ian lugt la trung dilm cac canh AB va CD. Goi O la trung diem cua doan MN. Chung minh rang vai moi diem K nam trong tu dien ta c6 K A + KB + KC + KD > OA + OB + OC + OD. Gidi Ta CO M N la true doi xung cua tu dien dhu ABCD. Goi K' la diem doi xung vai K qua MN, H la giao cua KK' va MN. Ta CO K A + KB = A K + AK' > 2AH va KC + KD - CK + CK' > 2CH. Ta chung minh ring A H + CH > OA + OC. Xet trong mat phang (MCD), dilm A' sao cho tia MA' vuong goc vai M N , ngugc chieu vai tia NC va dp dai MA' = MA. Ta CO HA' - HA nen HA + HC = HA' + H O A'C. V i A'C di qua O nen A'C = OC + OA' = OC + OA. Vay KA + KB + KC + KD > OA + OB + OC + OD. Bai toan 16: Cho lang try dung ABC.A'B'C, c6 day la tam giac can ABC (AB = AC). 1 Yen cac canh AC va A'B' ta lay cac diem tuang ung M va M' sao cho A M = A'M'. Tim tap hop trung diem cua doan MM'. Gidi Goi I , J la trung diem canh ben AA' va giao cac duang cheo hinh chu nhat BCC'B'. Ta CO IJ la true doi xung cua hai doan AC va A'B', do do M va M' d6i xung vai nhau qua IJ. Vay tap hgrp cac trung diem cua M M ' thuoc doan IJ Bai toan 17: Cho mat phing (P) va tu dien ABCD. Vai moi difim M thuoc (P) ta xac dinh diem N theo cong thuc: M A + MB + MC + MD = 2MN . Tim tap hop N , khi M di dong trong (P). 18 Gidi Goi G la trong tarn cua tu dien A B C D thi G c6 dinh. Ta CO MA + M B + M C + M D = 2MN <^ 4 M G = 2MN <=> M G = G N « G M = - G N . Do do N la anh ciia M qua phep doi xung tam G. Vay tap hop N la mat phang d6i xung vai (P) qua G . DANG TOAN ON TAP QUAN HE SONG SONG • 4. Dinh nghia dir&ng va mat song song a //b khi a, h dong phdng vd khong c6 diem chung. a // (P) khi chung khong c6 diem chung. (P) // (Q) khi chung khong co diem chung. Dinh ly song song ca ban Niu a cr (P), a//h,b<^ (P) thi a //(P) Neu (P) chua 2 duang thdng cat nhau ciing song song vai (Q) thi hai mat phang (P)//(Q). Trong tarn tu dien Trong tu dien 3 duang trung binh (dogn noi trung diem 2 cgnh dSi dien) dSng quy tai trung diem ciia moi dogn goi la trong tdm tic dien. Goi G Id trong tdm cua tic dien ABCD thi duang thdng di qua G vd mot dinh cua tu dien se di qua trong tdm ciia mat doi dien vai dinh ay. Niu goi A' Id trong tarn cua mat BCD thi GA = 3GA'. Giao tuyen song song a ll{Q\) 3 a, (P) n (2) = A => A // o allb,\Ja-=ia:^P^b,ar\p^ aIIp,\fy,y(^a = a,yP Mia hay Mlb = allb Dinh ly Talet Hai cat tuyen bat ky dinh ra tren 3 mat phdng doi mot song song cdc dogn tucmg icng ti le. 19 Ddo Igi, tren 2 du&ng cheo nhau Idn luat lay cdc diem A, B, C va A', B', C AB BC theo thu tu, neu = thi AA ', BB', CC' nam tren 3 mat phdng song song. A'B' B'C . y s s s Gdc giCca 2 du&ng titang La gdc giita 2 dirang thdng cung di qua mot diem ndo do vo Idn luat song song vai 2 duang thdng da cho. Bai toan 1: Cho hai hinh binh hanh ABCD va ABEF tam O, O' khong cung nam trong mot mat phang. a) Chung minh OO' song song vai cac mat phang (ADF) va (BCE). b) Goi M va N la trong tam cac tam giac ABD va ABE. Chung minh M N song song vai mat phang (CDEF). Giai a) Ta c6: 0 0 ' // DF, nen: 0 0 ' // (ADF). Tuang tu: 0 0 ' // CE nen 0 0 ' // (BCE). b) Goi I la trung diem cua AB. Trong mp(IDE), vi M , N , la trong tam nen: IM IN ^^,,,T^T, — = — = -1 => M N // DE. ID IE 3 Vi M N khong nam trong (CDEF) nen M N // (CDEF). Bai toan 2: Cho tu dien ABCD. Goi I va J \kn luat la trung diem cua AC va BC. Tren canh BD, \ky di^m K sao cho BK = 2KD. Goi E va F la giao diem ciia duang thang CD va AD vai mat phang (UK). a) Chung minh DE = DC, FA = 2FD va FK// IJ b) Goi M va N la hai diem bat ki Ian luat nam tren hai canh AB va CD. Tim giao diem cua duong thang M N vai mat phang (UK). Giai a) Trong (BCD), CD cit JK tai E nen E la giao diem cua CD vai (UK). Trong tam giac BCD, dung DD' // JK. Vi KD = - KB nen JD' = - JB. 2 2 Vi JB = JC nen JD' = - JC. 2 Suy ra: D'J = D'C. Do do: DE = DC Trong (ACD), A D cSt IE tai F. Day la giao diem cua AD vai (UK). Trong tam giac ACE, A D va EI la hai trung tuyen, nen F la trong tam. 20