SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN
TRƯỜNG THPT NGUYỄN SIÊU
--------***-------
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG PHÁP DỰNG THIẾT DIỆN
VÀ CÁC DẠNG TOÁN
LIÊN QUAN TỚI THIẾT DIỆN
Lĩnh vực:
Người viết:
Tổ:
Đơn vị:
Toán học
Nguyễn Ngọc Minh
Toán- Tin
Trường THPT Nguyễn Siêu
Hưng Yên, tháng 2- 2014
PHẦN I: MỞ ĐẦU
TÊN ĐỀ TÀI:
PHƯƠNG PHÁP DỰNG THIẾT DIỆN
VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI THIẾT DIỆN
I. Lý do thực hiện đề tài
I.1. Cơ sở lý luận:
Bài toán dựng thiết diện trong môn hình học không gian là bài toán khó
đối với học sinh THPT bởi đây là môn học có phần trừu tượng. Dạng toán liên
quan đến thiết diện cũng khá đa dạng và thường xuyên có mặt trong các đề thi
đại học, cao đẳng hàng năm.
Việc giải quyết một bài toán dựng thiết diện không hề đơn giản, yêu cầu
người giải không chỉ nắm vững kiến thức cơ bản mà còn phải biết vận dụng linh
hoạt, sáng tạo và phải cần được thực hành nhiều.
I.2. Cơ sở thực tiễn
Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” khi nhắc đến hình học không
gian, cho rằng rất khó thực hiện được, bằng chứng khi các em đi thi đại học, cao
đẳng các em nói rằng bài toán hình không gian thường để cuối nếu có thời gian
thì làm còn không còn thời gian thì thôi.
Nguyên nhân là các em khó liên hệ giữa hình thật và hình biểu diễn, sự
liên hệ logic giữa các yếu tố trong không gian yếu nên nhiều bài toán dễ thành
khó đối với các em.
Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy và học
chuyên đề hình học không gian, đem lại cho học sinh cách nhìn thấu đáo về bài
toán thiết diện, giúp các em định hướng được đường hướng giải cho dạng bài tập
này, tôi viết thành chuyên đề riêng về thiết diện và các dạng toán liên quan.
I.3. Khảo sát thực tế trước khi thực hiện đề tài:
Cho học sinh lớp 11 (48 em) làm bài tập sau:
Cho hình chóp đều S.ABC đỉnh S chiều cao h, đáy là tam giác đều cạnh a.
Qua AB dựng một mặt phẳng vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện theo a
và h.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
(Đề thi ĐH giao thông vận tải năm 2001 khối A)
1
Kết quả như sau:
+ 27,08% (13/48) học sinh kẻ đồng thời AH SC, BK SC rồi không biết
kết luận thế nào, có em kết luận thiết diện là tứ giác AHKB.
+ 33,33% (16/48) học sinh kẻ AH SC (hoặc BH SC) rồi khẳng định tam
giác AHB là thiết diện cần dựng mà không lí luận gì (không biết lí giải tại
sao).
+ 18,75 % (9/48) học sinh kẻ BH SC sau đó chứng minh CHB = CHA
(cgc) suy ra AH SC thiết diện là tam giác AHB.
+ 20,84 % (10/48) học sinh biết gọi M là trung điểm AB và chứng minh
AB (SMC) sau đó dựng MH SC được thiết diện là tam giác AHB.
Nguyên nhân:
Ít em học sinh nghĩ đến việc gọi M là trung điểm AB để tạo ra mặt phẳng
phụ chứng minh AB SC từ đó kẻ MH SC suy ra thiết diện bởi vấn đề thiết
diện không được cung cấp kiến thức một cách bài bản để học sinh có định
hướng phát hiện vấn đề (sách giáo khoa phần lí thuyết đề cập rất ít về vấn đề
này).
Vì những lý do trên nên tôi đã chọn đề tài này.
II. Phương pháp nghiên cứu:
1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
2. Phương pháp điều tra lí luận thực tiễn
3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
4. Phương pháp thống kê
III. Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán dựng thiết diện giữa mặt phẳng và hình chóp, hình lăng trụ.
Các bài toán tính toán liên quan đến thiết diện, các bài toán liên quan đến phân
chia khối đa diện…
IV. Bố cục đề tài
Đề tài gồm hai phần nội dung chính:
Phần thứ nhất: Cách dựng thiết diện
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
2
Ở phần này, tác giả tập trung phân tích phương pháp dựng thiết
diện trong trường hợp tổng quát, trong trường hợp có quan hệ song song,
quan hệ vuông góc. Phương pháp được thể hiện qua một số ví dụ chọn
lọc.
Phần thứ hai: Một số bài toán liên quan đến thiết diện.
Trong phần này, tác giả đi vào hai bài toán liên quan đến thiết diện:
- Tính diện tích thiết diện và bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của diện tích thiết diện.
- Tính tỉ số thể tích khối đa diện khi được phân chia bởi thiết diện.
Phần này dùng để dạy cho học sinh lớp 12.
V. Ứng dụng thực tế
Dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh lớp 11, 12 học sinh
ôn thi đại học, học sinh ôn thi học sinh giỏi.
Thời gian nghiên cứu: 01 năm.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
3
PHẦN II: NỘI DUNG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN THIẾT
1. Khái niệm thiết diện (mặt cắt): Cho hình T và mặt phẳng (P). Phần mặt
phẳng của (P) nằm trong T được giới hạn bởi các giao tuyến sinh ra do (P)
cắt một số mặt của T được gọi là thiết diện (mặt cắt).
2. Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao
tuyến của chúng nếu có cũng song song với hai đường thẳng ấy hoặc
trùng với một trong hai đường thẳng ấy.
3. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao
tuyến của chúng nếu có cũng song song với đường thẳng đó.
4. Các cách xác định mặt phẳng:
+ Biết ba điểm không thẳng hàng
+ Hai đường thẳng cắt nhau.
+ Một điểm nằm ngoài một đường thẳng.
+ Hai đường thẳng song song.
5. Một số lưu ý:
- Giả thiết mặt phẳng cắt là (P), hình đa diện là T.
- Dựng thiết diện là bài toán dựng hình nhưng chỉ cần nêu phần dựng và
phần biện luận nếu có.
- Đỉnh của thiết diện là giao của mặt phẳng (P) và các cạnh của hình T
nên việc dựng thiết diện thực chất là tìm giao điểm của (P) và các cạnh
của T.
- Mặt phẳng (P) có thể không cắt hết các mặt của T.
- Các phương pháp dựng thiết diện được đưa ra tùy thuộc dạng giả thiết
của đầu bài.
- Các bài toán liên quan tới thiết diện thường là:
+ Tính diện tích thiết diện
+ Tìm vị trí mặt phẳng (P) để thiết diện có diện tích lớn nhất, nhỏ
nhất
+ Thiết diện chia khối đa diện thành 2 phần có tỉ số cho trước
(hoặc tìm tỉ số giữa 2 phần).
- Các ví dụ được đánh thứ tự liên tục từ đầu cho đến hết chuyên đề.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
4
B. NỘI DUNG CHÍNH
I. Một số phương pháp dựng thiết diện
I.1. Mặt phẳng (P) cho dạng tường minh: Ba điểm không thẳng hàng, hai
đường thẳng cắt nhau hoặc một điểm nằm ngoài một đường thẳng….
1. Phương pháp giải
Trước tiên ta tìm cách xác định giao tuyến của (P) với một mặt của T
(thường được gọi là giao tuyến gốc). Trên mặt phẳng này của T ta tìm thêm giao
điểm của giao tuyến gốc và các cạnh của T nhằm tạo ra thêm một số điểm
chung. Lặp lại quá trình này với các mặt khác của T cho tới khi tìm được thiết
diện.
2. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD, AB > CD).
Gọi I, J là trung điểm SB, SC. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt
phẳng (AIJ).
Giải:
Ta có mặt phẳng cắt qua ba điểm
không thẳng hàng A, I, J. Có 2 giao
tuyến gốc là AI, IJ.
Kéo dài AD cắt BC tại K, kéo dài
IJ cắt SK tại E ta có E là điểm chung
của (AIJ) và (SAD).
Nối AE cắt SD tại F ta có AF, FJ
là các đoạn giao tuyến tiếp theo.
Thiết diện là tứ giác AIJF.
Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ các điểm M, N nằm trong các đoạn
thẳng AD, AB. Dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (MNC’).
Giải:
Ta có MN là đoạn giao tuyến gốc. Ta tìm thêm giao điểm của MN và các
cạnh hình bình hành ABCD.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
5
Kéo dài MN cắt CB. CD tại E, F ta có thêm 2 giao điểm mới. Nối C’E cắt
BB’ tại I, nối C’F cắt DD’ tại J.
Ta được thiết diện là ngũ giác MNIC’J.
Nhận xét: Trường hợp giao tuyến gốc chưa tìm thấy ngay, thì để dựng nó
thường phải giải bài toán phụ: Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm nằm trong các
tam giác DAB, DBC, ABC. Dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng
(MNP).
Giải:
Chưa có giao tuyến gốc giữa
mặt phẳng cắt và tứ diện. Mặt
phẳng(MNP) có điểm chung P với
mặt phẳng (ABC) nên để tìm điểm
chung nữa ta tìm giao điểm O của
MN với (ABC). Kéo dài DM cắt AB
Hình a
tại M1, kéo dài DN cắt BC tại N1
mặt phẳng (DM1N1) chứa MN cắt (ABC) theo giao tuyến M 1N1 nên O là giao
điểm của MN và M1N1
OP là giao tuyến gốc. Nối OP cắt AB. BC tại E, F.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
6
Tùy theo vị trí OP trong tam
giác ABC ta có thiết diện là tứ
giác EFIK (hình a) hoặc tam giác
EFI (hình b)
Khi MN // M1N1 thì giao tuyến
gốc là đường thẳng qua P song
song với M1N1.
Hình b
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng
(ABCD) sao cho d song song với BD, M là trung điểm cạnh SA. Hãy xác định
thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (M, d) trong các trường
hợp:
a. Đường thẳng d không cắt cạnh nào của đáy ABCD.
b. Đường thẳng d đi qua điểm C.
Giải:
a) d là giao tuyến gốc ta tìm
thêm giao điểm của d với các
cạnh tứ giác ABCD Gọi H, E, F
là giao điểm của AB. AC, AD
với d.
Xét (M, d) và (SAB) có M, H
chung nối MH cắt SB tại N ta có
một đoạn giao tuyến MN. Tương
tự nối ME cắt SC tại P, nối MF
cắt SD tại Q.
Thiết diện là tứ giác MNPQ.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
7
b) Tương tự phần a. lúc này
E �C thiết diện là tứ giác
MNCQ.
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi. Gọi M, N là trọng tâm các
tam giác SAB và SAD; E là trung điểm CB. Xác định thiết diện của hình chóp
khi cắt bởi mặt phẳng (MNE).
Giải:
Gọi I là trung điểm SA.
Ta có M thuộc BI, N thuộc DI.
Từ
IM 1 IN
� MN / / BD .
IB 3 ID
Xét mặt phẳng (MNE) và mặt
phẳng (ABCD) có E chung và
MN // BD nên (MNE) cắt
(ABCD) theo giao tuyến EF //
BD (F CD).
Ta có EF là giao tuyến gốc. Gọi G là giao điểm EF và AD ta có G là điểm
chung của (MNE) và (SAD). Nối GN cắt SD, SA tại P, Q, nối QM cắt SB tại K,
nối KE, PF. Ta có thiết diện là ngũ giác EFPQK.
Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng tính chất: Nếu 2 mặt phẳng lần
lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng
song song với hai đường thẳng đó.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
8
I.2. Mặt phẳng (P) được cho bởi các tính chất song song
I.2.1. Mặt phẳng (P) đi qua d và song song với đường thẳng d, chéo nhau với
đường thẳng l.
1. Phương pháp
Trên (P) mới có đường thẳng d, để (P) xác định ta dựng đường thẳng d’
cắt d và d’ // l.
Cách dựng: Ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d sao cho giao điểm A của
d và (Q) dựng được ngay. Trong mặt phẳng (Q) ta dựng d’ qua A và d’ // d khi
đó (P) xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau d và d’.
2. Ví dụ
Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, H là điểm
thuộc cạnh SC. Dựng thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) chứa AH và
song song với BD.
Giải:
Chọn mp (SBD) chứa BD. Gọi O là
giao điểm AC và BD. Đường thẳng AH
cắt mặt (SBD) tại I là giao điểm của AH
và SO. Trong mp (SBD) kẻ qua I đường
thẳng song song với BD, gọi M, N là giao
điểm của đường thẳng đó và SB. SD. Mặt
phẳng (P) là mặt phẳng chứa AH và MN.
Thiết diện là tứ giác AMHN.
Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm AB và N là điểm thuộc cạnh
CD không trùng với C và D. Mặt phẳng (P) chứa MN và song song với BC.
a. Hãy xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P).
b. Xác định vị trí N trên CD sao cho thiết diện là hình bình hành.
Giải:
a. Chọn mặt phẳng (ABC) BC ta có M là giao điểm của MN và (ABC).
Qua M kẻ ME // BC (E thuộc AC) thì (P) xác định bởi MN, ME.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
9
(P) và (BCD) có N chung và chứa
hai đường thẳng song song nên
(P) (BCD) theo giao tuyến NF //
BC (F BD), nối MF, EN.
Thiết diện là tứ giác MENF.
b. Theo cách dựng thiết diện ở phần
a) thiết diện là hình thang MENF
1
(ME // NF) ta có ME BC nên để
2
MENF là hình bình hành thì
1
NF BC hay N là trung điểm CD.
2
Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tứ diện, E là điểm thuộc cạnh BC.
Hãy dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P) qua EG và song song với
AD.
Giải:
H.1
H.2
Gọi I, J lần lượt là trung điểm BC, AD thì G là trung điểm IJ. Ta có mặt
phẳng (IAD) chứa G và AD // (P) (IAD) cắt (P) theo giao tuyến qua G và
song song với AD cắt AI, ID tại M và N.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
10
Nối EM cắt AC tại F, nối EN cắt CD tại K.
nếu E trùng với I thì thiết diện không tồn tại
nếu E không trùng với I thì thiết diện là tam giác EFK.
Tuỳ theo E thuộc IB hay I thuộc IC ta có cách vẽ theo H.1 hoặc H.2.
I.2.2. Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M song song với hai đường thẳng chéo
nhau d và l.
1. Phương pháp
Ta xét 2 mặt phẳng (M, d) và (M, l) mỗi mặt phẳng này chứa một
đường thẳng qua M song song với d và l. Mặt phẳng (P) là mặt phẳng
chứa hai đường thẳng vừa dựng.
2. Ví dụ
Ví dụ 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trọng
tâm tam giác SBD. Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M
song song với SB. AC.
Giải:
Gọi O là giao điểm AC và
BD. Ta có trọng tâm M thuộc
SO. Mặt phẳng (M,SB) là (SBD)
trong mp này kẻ qua M đường
thẳng song song với SB cắt SD,
DB tại N, K.
Mặt phẳng (M, AC) là mặt
phẳng (SAC) nên qua M kẻ
đường thẳng song song với AC cắt SA. SC tại P, I vậy (P) chứa NK, PI.
Xét mp (P) và mp (ABCD) có điểm K chung và (P) // AC nên (P) cắt đáy
(ABCD) theo giao tuyến qua K và song song với AC cắt AB. BC tại E, F.
Ngũ giác EFINP là thiết diện cần dựng.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
11
Ví dụ 10: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có M là điểm thuộc AD. Dựng thiết
diện của hình hộp cắt bởi (P) qua M song song với BD và AC’.
Giải:
Nhận xét: Mặt phẳng (M, BD) là
(ABCD) còn mặt phẳng (M, AC’)
khó xác định hơn.
Vậy ta chỉ cần mặt phẳng (M,
BD). (P) cắt (ABCD) theo giao
tuyến qua M và song song với BD
cắt AB. CB. CD lần lượt tại N, F, E.
(P) sẽ là mặt phẳng qua E, F và
song song với AC’ (trở thành bài
toán 1).
EF cắt AC tại I nên (P) (ACC’A’) theo giao tuyến qua I và song song với
AC’ nó cắt CC’ tại J. Nối JE cắt DD’ tại G, JF cắt BB’ tại H.
Thiết diện là ngũ giác MNHJG.
Chú ý: Nếu mặt phẳng (M, l) khó xác định thì ta chỉ cần xét mặt phẳng (M, d)
(gọi là mặt phẳng (P). Trong mặt phẳng (P) này dựng d’ qua M và song song
với l thì (P) là mặt phẳng chứa d’ và song song với l.
Ví dụ 11: Cho lăng trụ OAB.O’A’B’. Gọi M, E, F lần lượt là trung điểm OA.
OB. OE, H là điểm thuộc AA’ sao cho AH = 2 HA’. Dựng thiết diện của lăng
trụ cắt bởi mặt phẳng (P) trong các trường hợp:
a. Qua F song song với B’E và A’O
b. Qua M song song với A’E và OH.
Giải:
a. Ta có mặt phẳng (OBB’O’) mặt phẳng qua F và song song B’E, mặt phẳng
qua F và song song với A’O khó xác định hơn.
Trong mp (OBB’O’) qua F kẻ đường thẳng song song với B’E và cắt
O’B’ tại K. (P) là mặt phẳng chứa FK và song song A’O.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
12
Kéo dài FK cắt OO’ tại I, khi đó ta được OO ' 2OI 2 A ' J nên A ' JIO
là hình bình hành. Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua I đường thẳng d song
song OA’ thì d cắt OA. AA’ lần lượt tại M, J là trung điểm của OA. AA ' .
Mặt phẳng (P) cắt (OAB) theo giao tuyến FM nên sẽ cắt (O’A’B’) theo
giao tuyến KQ // FN (Q thuộc B’A’). Thiết diện là ngũ giác FKQJM. (H1)
H1
H2
b. Mặt phẳng qua M và song song với OH là mp (OAA’O’) còn mặt phẳng qua
M và song song với A’E khó xác định hơn. Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua
M đường thẳng song song với OH cắt AA’ tại L. (P) là mặt phẳng chứa ML và
song song với A’E.
Trong mặt phẳng (A’AE) kẻ LT // A’E (T thuộc AE)
Khi đó T là điểm chung của (P) và (OAB).
Nối MT cắt AB tại G.
Thiết diện là tam giác MLG. (H2).
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
13
I.2.3. Mặt phẳng (P) qua điểm M và song song với mặt phẳng (Q).
1. Phương pháp
Dựa vào tính chất: Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song
song thì phải cắt mặt phẳng còn lại và giao tuyến của chúng song song.
Chọn mặt phẳng (R) chứa M có giao tuyến với (Q) là a
Khi đó (P) (R) = a’,a’ // a. a’ qua M.
Ta tìm thêm giao điểm của a’ với các cạnh của đa giác trong (R).
Tiếp tục quá trình với các giao điểm mới cho tới khi dựng được thiết diện.
2. Ví dụ
Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD). Điểm M
thuộc cạnh BC không trùng với B và C. Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi
mặt phẳng (P) qua M và song song với mặt phẳng (SAB). Thiết diện là hình gì?
Giải:
Ta có (ABCD) chứa M, (ABCD) (SAB) = AB nên (P) cắt (ABCD) theo
giao tuyến MN // AB (NAD).
Mặt phẳng (SAD) chứa N, (SAD) (SAB) = SA nên (P) cắt (SAD) theo
giao tuyến NE // SA (ESD).
Mặt phẳng (SCB) chứa M và (SCB)
(SAB) = SB
Nên (P) cắt (SBC) theo giao tuyến
MF // SB (F SC). Nối EF, ta được thiết
diện là tứ giác MNEF.
Ta có (P) và (SCD) có MN // CD
(CD // AB) mà (P) (SCD) = EF.
Suy ra EF // MN.
Thiết diện MNEF là hình thang.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
14
Ví dụ 13: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Điểm M thuộc cạnh AD, N thuộc
cạnh D’C’ sao cho AM : MD D’N : NC’ . Dựng thiết diện của hình hộp cắt bởi
mặt phẳng (P) qua MN và song song với mp(C’BD).
Giải:
Theo giả thiết:
AM D ' N
AM
MD
AD
�
MD NC '
D ' N NC ' D ' C '
Theo định lý Talet đảo MN, AD’,
DC’ cùng song song với một mặt
phẳng (P) nên MN // (C’BD).
Ta có (ABCD) chứa M
và (ABCD) (C’BD) = BD
Nên (P) cắt (ABCD) theo giao tuyến
ME // BD (E AB).
Mặt phẳng (CDD’C’) chứa N, (CDD’C’) (C’BD) = C’D nên (P) cắt
(CDD’C’) theo giao tuyến NJ // C’D (J DD’).
Mặt phẳng (P) // BD, B’D’ // BD nên (P) // B’D’.
Mặt phẳng (P) cắt (A’B’C’D’) = NI // B’D’ với I thuộc B’C’.
Mặt phẳng (P) cắt (BB’C’C) = IF // BC’ với F thuộc BB’.
Nối EF, MJ thiết diện là lục giác MEFINJ.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
15
I.3. Mặt phẳng (P) cho bởi các yếu tố vuông góc
I.3.1. Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng d.
1. Phương pháp
Tìm hai đường thẳng a và a’ cùng vuông góc với d khi đó (P) là mặt
phẳng qua M song song với a và a’.
(Dựa vào tính chất: Nếu (P) và đường thẳng a cùng vuông góc với một
đường thẳng d thì a // (P) hoặc a (P)).
2. Ví dụ
Ví dụ 14: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SAB là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, M là trọng tâm tam
giác BCD. Dựng thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M vuông
góc với AB.
Giải:
Gọi I là trung điểm AB ta
có SI AB (do tam giác SAB
đều), BC AB suy ra (P) đi
qua M song song với BC, SI.
Xét mặt phẳng (P) và mặt
phẳng (ABCD) có M chung
và cùng song song với BC nên
P � ABCD EF với
EF
qua M và song song với BC
cắt AB. CD tại E, F.
Tương tự trong (SAB) kẻ qua E đường thẳng song song với SI cắt SB tại
H, trong (SBC) kẻ đường thẳng qua H và song song với BC cắt SC tại G.
Thiết diện là tứ giác EFGH.
Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông
góc với đáy. Dựng thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua A và
vuông góc với SC.
Giải:
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
16
Kẻ AH SC ta có AH (P).
Ta có: BD AC , BD SA
nên BD SC
Vậy (P) chứa AH và song song BD.
Gọi O là giao điểm AC và BD, E là
giao điểm của SO và AH.
Xét mặt phẳng (P) và (SBC) có E chung, (P) // BD nên qua E kẻ đường thẳng
song song với BD cắt SD, SB tại M, N
Ta được thiết diện là tứ giác AMHN.
Ví dụ 16: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông,
CA = CB = a. AA’ = a 2 , M là trung điểm CA. Dựng thiết diện của lăng trụ cắt
bởi mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với A’B.
Giải:
Theo giả thiết tam giác ABC vuông cân
tại C nên AB = a 2 . Tứ giác ABB’A’ là
hình vuông AB’ A’B.
Gọi H là trung điểm AB CH AB
CH (ABB’A’) CH A’B.
Vậy (P) qua M và song song với CH, AB’.
Xét mặt phẳng (P) và (ABC) có M chung, (P) // CH nên trong mặt phẳng
(ABC) qua M kẻ đường thẳng song song với CH cắt AB tại N thì
P � ABC MN .
Tương tự trong mặt phẳng (ABB’A’) kẻ qua N đường thẳng song song với
AB’ cắt BB’ tại P. Kéo dài MN cắt BC tại E, nối EP cắt CC’ tại Q, nối MQ được
thiết diện là tứ giác MNPQ.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
17
I.3.2. Mặt phẳng (P) đi qua một đường thẳng d và vuông góc với một đường
thẳng l.
1. Phương pháp
Dựng mặt phẳng phụ (Q) chứa l và vuông góc với d tại một điểm M.
Trong (Q) dựng qua M đường thẳng vuông góc với l tại H khi đó mặt
phẳng (P) là mặt phẳng (H, d).
2. Ví dụ
Ví dụ 17: (ĐH giao thông vận tải năm 2001 khối A) Cho hình chóp đều S.ABC
đỉnh S chiều cao h, đáy là tam giác đều cạnh a. Qua AB dựng một mặt phẳng
(P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện theo a và h.
Giải:
Gọi O là trọng tâm tam giác ABC ta có
SO ( ABC ) khi đó SO AB , gọi M là
trung điểm AB do tam giác ABC đều nên
CM AB vậy AB ( SMC ) .
Trong mp(SMC) kẻ MH SC ta có mặt
phẳng (AHB) SC.
Thiết diện là tam giác AHB.
1
Ta có : SAHB MH . AB .
2
Theo giả thiết AB = a. ta có
MC
a 3
2
, OC
a 3
,
3
a2
SO = h, SC SO OC h
3
a 3
h.
3ah
2
Ta có: MH.SC = SO.MC � MH
a 2 2 3h 2 a 2
h2
3
2
1
3a h
SAHB MH . AB
.
2
4 3h 2 a 2
Nhận xét: Mặt phẳng (Q) trong lý thuyết là mặt phẳng (SMC)
2
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
2
2
18
I.3.3. Mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q)
đã cho (d xiên góc với (Q))
1. Phương pháp
Tìm một đường thẳng a vuông góc (Q) khi đó (P) đi qua d và song song
với a. (Sử dụng tính chất: nếu mặt phẳng (P) và đường thẳng d cùng vuông góc
với (Q) thì hoặc (Q) // d hoặc (Q) d).
2. Ví dụ
Ví dụ 18: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2 cạnh bên
bằng
3 . Gọi M, N là trung điểm AB. AC. Dựng thiết diện của hình chóp cắt
bởi mặt phẳng (P) chứa MN và vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Giải:
Gọi I là trung điểm BC, H là trung điểm
SI. Do hình chóp đều nên BC (SAI)
� BC AH .
Mặt khác: AI AB
3
3 = SA nên
2
tam giác SAI cân ta có AH SI vì vậy
AH (SBC) nên (P) // AH.
(P) qua MN và song song AH.
Cách dựng: Gọi E là giao điểm MN và AI. Trong mặt phẳng (SAI) kẻ qua E
đường thẳng song song với AH cắt SI tại F, F là điểm chung của (P) và (SBC).
Xét mặt phẳng (P) và (SBC) có F chung và MN // BC nên (P) cắt (SBC) theo
giao tuyến qua F và song song với BC cắt SB. SC tại Q, P.
Thiết diện là tứ giác MNPQ.
Ví dụ 19: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông,
CA = CB = a. AA’ = a 2 , M, N, I, K là trung điểm CA. CC’, AB. BB’. Dựng
thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) qua MN và vuông góc với mặt
phẳng (IKC).
Giải:
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
19
- Xem thêm -