Tài liệu Phương pháp chia miền đối với phương trình song điều hòa

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ DIỆP ANH PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ DIỆP ANH PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60. 46. 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Môc lôc Më ®Çu 2 Ch­¬ng 1. C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n 6 1.1. C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ c¸c kh«ng gian hµm 1.2. Lý thuyÕt vÒ ph­¬ng tr×nh elliptic 1.3. Ph­¬ng ph¸p lÆp vµ c¸c s¬ ®å lÆp c¬ b¶n Ch­¬ng 2. . . . . . . . . . 6 . . . . . . . . . . . . . . . 14 . . . . . . . . . . . 21 Ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i ph­¬ng tr×nh elliptic cÊp 2 28 2.1. Giíi thiÖu vÒ ph­¬ng ph¸p chia miÒn . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2. Ph­¬ng ph¸p chia miÒn Saito-Fujita 2.3. Ph­¬ng ph¸p chia miÒn Dang Quang A-Vu Vinh Quang . . . 39 2.4. Ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n biªn hçn hîp m¹nh . . . 47 Ch­¬ng 3. . . . . . . . . . . . . . . 33 Ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa 3.1. Giíi thiÖu vÒ ph­¬ng tr×nh song ®iÒu hßa 3.2. Ph­¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa b»ng ph­¬ng ph¸p 55 . . . . . . . . . . . 55 ph©n r· vÒ d·y hai bµi to¸n elliptic . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3. Ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa víi ®iÒu kiÖn biªn Dirichlet 3.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa víi ®iÒu kiÖn biªn hçn hîp m¹nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 KÕt luËn 81 Tµi liÖu tham kh¶o 83 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Më ®Çu Trªn thùc tÕ, nhiÒu bµi to¸n trong khoa häc kü thuËt th«ng qua m« h×nh hãa to¸n häc ®­îc ®­a ®Õn viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n biªn ®èi víi ph­¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng. Trong ®ã rÊt Ýt bµi to¸n lµ c¸c tr­êng hîp ®¬n gi¶n (miÒn h×nh häc lµ miÒn ®¬n gi¶n, hÖ sè cña ph­¬ng tr×nh lµ hÖ sè h»ng, ...) cã thÓ t×m ®­îc nghiÖm t­êng minh b»ng ph­¬ng ph¸p gi¶i tÝch. Cßn ®¹i ®a sè c¸c tr­êng hîp kh¸c th× nghiÖm t­êng minh kh«ng cã hoÆc rÊt phøc t¹p. H¬n n÷a, mét sè bµi to¸n trong thùc tÕ chØ yªu cÇu t×m nghiÖm cña bµi to¸n t¹i mét sè ®iÓm rêi r¹c nµo ®ã. Khi ®ã, chóng ta buéc ph¶i sö dông c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i gÇn ®óng, chñ yÕu lµ ph­¬ng ph¸p sè nh­ ph­¬ng ph¸p sai ph©n, ph­¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n. C¸c ph­¬ng ph¸p nµy rêi r¹c hãa bµi to¸n vµ hÇu hÕt ®Òu ®­a vÒ viÖc gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh cì lín, dÉn ®Õn nhu cÇu ph¸t triÓn c¸c ph­¬ng ph¸p h÷u hiÖu ®Ó gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh l­íi. Tuy nhiªn, khi miÒn h×nh häc lµ miÒn phøc t¹p, d÷ liÖu hoÆc c¸c hÖ sè cña ph­¬ng tr×nh lµ gi¸n ®o¹n th× viÖc ¸p dông mét ph­¬ng ph¸p nµo ®ã cho c¶ miÒn sÏ gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n. V× vËy trong nhiÒu n¨m qua, ng­êi ta ®· vµ ®ang ph¸t triÓn c¸c ph­¬ng ph¸p víi môc ®Ých chÝnh lµ ®­a c¸c bµi to¸n biªn trong miÒn h×nh häc phøc t¹p vÒ mét d·y c¸c bµi to¸n biªn trong miÒn h×nh häc ®¬n gi¶n ®Ó cã thÓ sö dông c¸c thuËt to¸n h÷u hiÖu ®· ®­îc ph¸t triÓn cho c¸c miÒn ®¬n gi¶n nµy. C¸c ph­¬ng ph¸p trªn cã tªn gäi lµ c¸c ph­¬ng ph¸p chia miÒn (Domain Decomposition Methods). T­ t­ëng chÝnh cña c¸c ph­¬ng ph¸p chia miÒn lµ t×m c¸ch x¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ biªn trªn c¸c ®­êng biªn ph©n chia th«ng qua mét ph­¬ng ph¸p lÆp ®Ó chuyÓn viÖc gi¶i bµi to¸n trong miÒn phøc t¹p vÒ viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n trong c¸c miÒn ®¬n gi¶n tõ ®ã thu ®­îc nghiÖm cña bµi to¸n gèc. Trong nhiÒu n¨m qua, lý thuyÕt vÒ ph­¬ng ph¸p chia miÒn ®· vµ vÉn ®ang ®­îc liªn tôc ph¸t triÓn. C¸c bµi to¸n th­êng ®­îc xÐt ®Õn lµ c¸c bµi to¸n 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn biªn elliptic tuyÕn tÝnh d¹ng lµ miÒn Lu = f, x ∈ Ω, trong ®ã L lµ to¸n tö elliptic, Ω d chiÒu (d = 2, 3) víi biªn Lipschitz ∂Ω, f lµ hµm thuéc kh«ng gian L2 (Ω). Gi¶ sö miÒn Ω ®­îc chia thµnh hai miÒn con kh«ng giao nhau Ω1 , Ω2 . Ta kÝ hiÖu Γ = Ω1 ∩ Ω2 , gi¶ sö Γ lµ biªn Lipschitz (d − 1) chiÒu. XuÊt ph¸t tõ c«ng thøc ®a miÒn vµ ph­¬ng tr×nh Steklov-Poincare, c¸c ph­¬ng ph¸p chia miÒn ®­îc ph¸t triÓn tõ c¸c s¬ ®å lÆp c¬ b¶n sau: 1. S¬ ®å Dirichlet-Neumann: XuÊt ph¸t tõ λ lµ gi¸ trÞ hµm ch­a biÕt trªn biªn ph©n chia, tiÕn hµnh gi¶i lÇn l­ît hai bµi to¸n trong hai miÒn: Bµi to¸n Dirichlet trong miÒn Ω1 vµ bµi to¸n Neumann trong miÒn Ω2 . Tõ ®ã, ng­êi ta x©y dùng s¬ ®å lÆp ®Ó hiÖu chØnh gi¸ trÞ hµm trªn biªn ph©n chia. Ph­¬ng ph¸p nµy ®· ®­îc xÐt ®Õn bëi c¸c t¸c gi¶ Bjorstad vµ Windlund (1986), Bramble, ... (1986), Funaro, ... (1988), Marini vµ Quarteroni (1988, 1989). 2. S¬ ®å Neumann-Neumann: XuÊt ph¸t tõ λ lµ gi¸ trÞ hµm ch­a biÕt trªn biªn ph©n chia, tiÕn hµnh gi¶i lÇn l­ît hai bµi to¸n trong hai miÒn: Bµi to¸n Dirichlet trong miÒn Ω1 vµ bµi to¸n Dirichlet trong miÒn Ω2 . ViÖc x©y dùng s¬ ®å lÆp ®Ó hiÖu chØnh gi¸ trÞ hµm trªn biªn ph©n chia ph¶i dùa vµo kÕt qu¶ cña hai bµi to¸n d¹ng Neumann trong hai miÒn. Ph­¬ng ph¸p nµy ®­îc nghiªn cøu bëi c¸c t¸c gi¶ Agoshkov, Lebedev (1985), Bourgat, ... (1989). 3. S¬ ®å Robin: XuÊt ph¸t tõ (0) u2 trong miÒn Ω2 , tiÕn hµnh gi¶i lÇn l­ît hai bµi to¸n Robin trong hai miÒn Ω1 , Ω2 . ViÖc hiÖu chØnh gi¸ trÞ hµm trªn biªn ph©n chia ®­îc thùc hiÖn th«ng qua s¬ ®å lÆp khi gi¶i lÇn l­ît hai bµi to¸n ®ã. Ph­¬ng ph¸p nµy ®­îc nghiªn cøu bëi t¸c gi¶ Agoshkov (1988), Lion (1990). Ta thÊy r»ng, c¬ së cña c¸c ph­¬ng ph¸p trªn ®Òu xuÊt ph¸t tõ viÖc x¸c ®Þnh gi¸ trÞ hµm trªn biªn ph©n chia, tõ ®ã x©y dùng c¸c s¬ ®å lÆp d¹ng hai líp ®èi víi c¸c ph­¬ng tr×nh to¸n tö. ViÖc nghiªn cøu tÝnh héi tô cña c¸c s¬ ®å lÆp sö dông kÕt qu¶ cña c¸c kh«ng gian Sobolev vµ to¸n tö Steklov-Poincare. Ph­¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cÊp cao mµ tiªu biÓu lµ ph­¬ng tr×nh song ®iÒu hßa lµ líp ph­¬ng tr×nh vÉn cßn ®ang thu hót sù quan t©m rÊt lín cña 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn rÊt nhiÒu nhµ c¬ häc, kü s­ vµ c¸c nhµ to¸n häc. Trong vßng ba thËp niªn qua nhiÒu ph­¬ng ph¸p míi, h÷u hiÖu gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn ®· ®­îc nghiªn cøu vµ ph¸t triÓn. Cïng víi sù ph¸t triÓn m¹nh mÏ cña m¸y tÝnh ®iÖn tö , c¸c ph­¬ng ph¸p sè ®· trë thµnh c«ng cô ®¾c lùc ®Ó gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n kü thuËt tuy nhiªn vÉn cã kh«ng Ýt t¸c gi¶ ®· sö dông ph­¬ng ph¸p gÇn ®óng gi¶i tÝch nh­ ph­¬ng ph¸p b×nh ph­¬ng cùc tiÓu, ph­¬ng ph¸p nghiÖm c¬ b¶n ®Ó gi¶i líp ph­¬ng tr×nh song ®iÒu hßa. ViÖc nghiªn cøu thuËt to¸n chia miÒn gi¶i ph­¬ng tr×nh song ®iÒu hßa lµ mét lÜnh vùc cÇn nghiªn cøu. Néi dung chÝnh cña luËn v¨n tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ vÒ lý thuyÕt vµ thùc nghiÖm tÝnh to¸n ®èi víi ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n biªn cho ph­¬ng tr×nh elliptic cÊp hai vµ bµi to¸n song ®iÒu hßa víi ®iÒu kiÖn biªn Dirichlet hoÆc ®iÒu kiÖn biªn hçn hîp m¹nh víi t­ t­ëng hiÖu chØnh gi¸ trÞ hµm hoÆc ®¹o hµm trªn biªn ph©n chia. Néi dung luËn v¨n gåm cã ba ch­¬ng: Ch­¬ng 1: Tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ c¸c kh«ng gian Sobolev, ph­¬ng tr×nh elliptic, lý thuyÕt vÒ ph­¬ng ph¸p lÆp gi¶i ph­¬ng tr×nh to¸n tö. ®©y lµ nh÷ng kiÕn thøc quan träng lµm nÒn t¶ng cho c¸c kÕt qu¶ sÏ tr×nh bµy trong c¸c ch­¬ng tiÕp theo cña luËn v¨n. Ch­¬ng 2: Tr×nh bµy ba ph­¬ng ph¸p chia miÒn: Ph­¬ng ph¸p SaitoFujita, ph­¬ng ph¸p Dang Quang A-Vu Vinh Quang vµ ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n biªn hçn hîp m¹nh trªn c¬ së cña ph­¬ng ph¸p chia miÒn tæng qu¸t. Trong ®ã ph­¬ng ph¸p Saito-Fujita xuÊt ph¸t tõ t­ t­ëng hiÖu chØnh hµm trªn biªn ph©n chia th«ng qua ph­¬ng ph¸p lÆp trªn c¬ së s¬ ®å lÆp Dirichlet-Neumann, cßn ph­¬ng ph¸p Dang Quang A-Vu Vinh Quang xuÊt ph¸t tõ viÖc hiÖu chØnh gi¸ trÞ ®¹o hµm trªn biªn ph©n chia b»ng c¸ch tiÕn hµnh gi¶i lÇn l­ît hai bµi to¸n trong hai miÒn: Bµi to¸n Neumann trong miÒn Ω1 vµ bµi to¸n Dirichlet trong miÒn Ω2 . Ch­¬ng 3: Giíi thiÖu tæng quan vÒ ph­¬ng tr×nh song ®iÒu hßa vµ tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ cña ph­¬ng ph¸p chia miÒn ®èi víi bµi to¸n song ®iÒu hßa, trªn c¬ së ph©n r· bµi to¸n song ®iÒu hßa vÒ d·y hai bµi to¸n elliptic cïng 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn c¸c kÕt qu¶ vÒ ph­¬ng ph¸p chia miÒn cho bµi to¸n biªn elliptic cÊp hai, luËn v¨n ®· tr×nh bµy ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa víi ®iÒu kiÖn biªn Dirichlet, ®­a ra mét sè kÕt qu¶ thùc nghiÖm tÝnh to¸n ®Ó kiÓm tra sù héi tô cña hai ph­¬ng ph¸p SF vµ ph­¬ng ph¸p AQH, c¶i tiÕn c¸c s¬ ®å chia miÒn vµ so s¸nh tèc ®é héi tô cña c¸c ph­¬ng ph¸p, ®ång thêi còng tr×nh bµy ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa víi ®iÒu kiÖn biªn hçn hîp m¹nh. C¸c kÕt qu¶ thùc nghiÖm tÝnh to¸n trong luËn v¨n ®· sö dông th­ viÖn ch­¬ng tr×nh TK2004 trªn c¬ së thuËt to¸n thu gän khèi l­îng tÝnh to¸n cña Samarskij A. - Nikolaev E. ®­îc lËp tr×nh trong m«i tr­êng Matlab trªn m¸y tÝnh PC. MÆc dï ®· rÊt cè g¾ng song luËn v¨n kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. Em rÊt mong nhËn ®­îc sù chØ b¶o ®ãng gãp ý kiÕn cña c¸c thÇy c« gi¸o vµ b¹n bÌ ®ång nghiÖp cho b¶n luËn v¨n hoµn chØnh h¬n. Th¸i Nguyªn, ngµy 18 th¸ng 09 n¨m 2009. Häc viªn §ç DiÖp Anh 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Ch­¬ng 1 C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n Trong ch­¬ng nµy, chóng t«i tr×nh bµy nh÷ng kÕt qu¶ lý thuyÕt quan träng vÒ c¸c kh«ng gian Sobolev, ph­¬ng tr×nh elliptic víi kh¸i niÖm nghiÖm yÕu vµ ®Þnh lý tån t¹i duy nhÊt nghiÖm, c¸c bÊt ®¼ng thøc Poincare, lý thuyÕt vÒ ph­¬ng ph¸p lÆp gi¶i ph­¬ng tr×nh to¸n tö... Nh÷ng kiÕn thøc c¬ së vµ kÕt qu¶ ®­îc tham kh¶o tõ c¸c tµi liÖu [ 4, 5, 6, 7, 11, 17]. 1.1. 1.1.1. C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ c¸c kh«ng gian hµm Kh«ng gian Gi¶ sö C k (Ω̄) Ω lµ mét miÒn bÞ chÆn trong kh«ng gian Euclid n chiÒu Rn vµ Ω̄ lµ bao ®ãng cña hµm ®Õn cÊp Ω. Ta ký hiÖu C k (Ω̄)(k = 0, 1, 2, ...) lµ tËp c¸c hµm cã ®¹o k kÓ c¶ k trong Ω, liªn tôc trong Ω̄. Ta ®­a vµo C k (Ω̄) chuÈn X kukC k (Ω̄) = max |Dα u(x)|, (1.1) |α|=k trong ®ã x∈Ω̄ α = (α1 , . . . , αn ) ®­îc gäi lµ ®a chØ sè lµ vect¬ víi c¸c täa ®é nguyªn kh«ng ©m, |α| = α1 + · · · + αn , ∂ α1 +···+αn u D u= ∂x1 α1 ...∂xn αn α Sù héi tô theo chuÈn nµy lµ sù héi tô ®Òu trong ®¹o hµm cña chóng ®Õn cÊp Ω̄ cña c¸c hµm vµ tÊt c¶ k kÓ c¶ k . Râ rµng tËp C k (Ω̄) víi chuÈn (1.1) lµ mét kh«ng gian Banach. 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 1.1.2. Kh«ng gian Gi¶ sö LP (Ω) Ω lµ mét miÒn trong Rn vµ p lµ mét sè thùc d­¬ng. Ta ký hiÖu LP (Ω) lµ líp c¸c hµm ®o ®­îc f x¸c ®Þnh trªn Ω sao cho Z |f (x)|p dx < ∞ (1.2) Ω Trong LP (Ω) ta ®ång nhÊt c¸c hµm b»ng nhau hÇu kh¾p trªn Ω. Nh­ vËy c¸c phÇn tö cña LP (Ω) lµ c¸c líp t­¬ng ®­¬ng c¸c hµm ®o ®­îc tháa m·n (1.2) vµ hai hµm t­¬ng ®­¬ng nÕu chóng b»ng nhau hÇu kh¾p trªn Ω. V× |f (x) + g(x)|p 6 (|f (x)| + |g(x)|)p 6 2p (|f (x)|p + |g(x)|p ) nªn râ rµng LP (Ω) lµ mét kh«ng gian vÐc t¬. Ta ®­a vµo LP (Ω) phiÕm hµm ||.||p ®­îc x¸c ®Þnh bëi 1/p  Z   p |u(x)| dx ||u||p =   (1.3) Ω §Þnh lÝ 1.1 (BÊt ®¼ng thøc Hoder). NÕu 1 < p < ∞ vµ u ∈ LP (Ω), v ∈ LP (Ω) th× uv ∈ LP (Ω) vµ Z |u(x)v(x)|dx 6 ||u||p ||v||p, (1.4) Ω trong ®ã ®èi víi p, = p/(p − 1), tøc lµ 1 1 + , = 1, p, p p ®­îc gäi lµ sè mò liªn hîp p. §Þnh lÝ 1.2 (BÊt ®¼ng thøc Minkowski). NÕu 1 < p < ∞ th× ||f + g||p 6 ||f ||p + ||g||p §Þnh lÝ 1.3 Kh«ng gian (1.5) LP (Ω) víi 1 6 p 6 ∞ lµ mét kh«ng gian Banach. 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 1.1.3. Kh«ng gian §Þnh nghÜa 1.1 ph­¬ng trong Cho W 1,p (Ω) Ω lµ miÒn trong Rn . Hµm u(x) ®­îc gäi lµ kh¶ tÝch ®Þa Ω nÕu u(x) lµ mét hµm cho trong Ω vµ víi mçi x0 ∈ Ω ®Òu tån t¹i mét l©n cËn §Þnh nghÜa 1.2 ω cña x0 ®Ó u(x) kh¶ tÝch trong ω . Cho Ω lµ miÒn trong Rn . Gi¶ sö u(x), v(x) lµ hai hµm kh¶ tÝch ®Þa ph­¬ng trong Z Ω sao cho ta cã hÖ thøc ∂kϕ u dx = (−1)k k k 1 n ∂x1 ...∂xn Ω ®èi víi mäi ®ã, Z vϕdx Ω ϕ(x) ∈ C0k (Ω), k = k1 + ... + kn , ki ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n). Khi v(x) ®­îc gäi lµ ®¹o hµm suy réng cÊp k cña u(x). KÝ hiÖu ∂ku . v(x) = ∂x1 k1 ...∂xn kn §Þnh nghÜa 1.3 Gi¶ sö p lµ mét sè thùc, 1 ≤ p < ∞, Ω lµ miÒn trong Rn . W 1,p (Ω) ®­îc ®Þnh nghÜa nh­ sau:   ∂u W 1,p (Ω) = u | u ∈ Lp (Ω), ∈ Lp (Ω), i = 1, 2, ..., n , ∂xi Kh«ng gian Sobolev trong ®ã c¸c ®¹o hµm trªn lµ c¸c ®¹o hµm suy réng. Víi p = 2, ta kÝ hiÖu W 1,2 (Ω) = H 1 (Ω), nghÜa lµ   ∂u H 1 (Ω) = u | u ∈ L2 (Ω), ∈ L2 (Ω), i = 1, 2, ..., n . ∂xi Bæ ®Ò 1.1 i) Kh«ng gian W 1,p (Ω) lµ kh«ng gian Banach víi chuÈn n X ∂u kukW 1,p (Ω) = kukLp (Ω) + ∂xi p . L (Ω) i=1 H 1 (Ω) lµ kh«ng gian Hilbert víi tÝch v« h­íng  n  X ∂u ∂v (u, v)H 1 (Ω) = (u, v)L2 (Ω) + , , ∀u, v ∈ H 1 (Ω). ∂xi ∂xi L2 (Ω) i=1 ii) Kh«ng gian 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 1.1.4. Kh¸i niÖm biªn liªn tôc Lipschitz. §Þnh lý nhóng §Þnh nghÜa 1.4 MiÒn Ω ®­îc gäi lµ cã biªn liªn tôc Lipschitz nÕu nã giíi néi vµ tån t¹i c¸c h»ng sè d­¬ng (r) ®Þa ph­¬ng x1 (r) α, β vµ mét sè h÷u h¹n m c¸c hÖ täa ®é (r) (r) (r) (r) , x2 , ..., xn vµ m hµm ar (x1 , x2 , ..., xn−1 ), r = 1, 2, ..., m liªn tôc trong c¸c khèi (n − 1) chiÒu K (r) (r) |xi | < α, i = 1, 2, ..., n − 1 sao cho i) Mçi ®iÓm x cña biªn ∂Ω cã thÓ biÓu diÔn trong Ýt nhÊt mét hÖ täa ®é d¹ng (r) (r) (r) (r) (r) (r) x = (x1 , x2 , ..., xn−1 , ar (x1 , x2 , ..., xn−1 )). ii) C¸c ®iÓm (r) (r) (r) (r) x = (x1 , x2 , ..., xn−1 , xn ) tháa m·n (r) |xi | < α, i = 1, 2, ..., n − 1 vµ (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) ar (x1 , x2 , ..., xn−1 ) < x(r) n < ar (x1 , x2 , ..., xn−1 ) + β hoÆc (r) (r) (r) ar (x1 , x2 , ..., xn−1 ) − β < x(r) n < ar (x1 , x2 , ..., xn−1 ) n»m trong hoÆc n»m ngoµi (r) iii) Mçi hµm ar (x1 (r) Ω. (r) , x2 , ..., xn−1 ), r = 1, 2, ..., m tháa m·n ®iÒu kiÖn Lips(r) chitz trªn khèi K (r) , tøc lµ víi mäi (x1 (r) (r) (r) (r) K (r) , tån t¹i h»ng sè d­¬ng L sao cho (r) (r) (r) (r) (r) (r) |ar (x1 , x2 , ..., xn−1 ) − ar (y1 , y2 , ..., yn−1 )| ≤ (r) (r) (r) (r) ≤ L[(x1 − y1 )2 + ... + (xn−1 − yn−1 )2 ]1/2 . §Þnh lÝ 1.4 i) NÕu Gi¶ sö biªn ∂Ω lµ liªn tôc Lipschitz. Khi ®ã: 1 ≤ p < n th× W 1,p (Ω) ⊂ Lq (Ω) lµ: - Nhóng compact ®èi víi q ∈ [1, p∗ ), trong ®ã 1 1 1 = − . p∗ p n 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (r) , x2 , ..., xn−1 ), (y1 , y2 , ..., yn−1 ) ∈ http://www.Lrc-tnu.edu.vn - Nhóng liªn tôc víi p = n th× W 1,n (Ω) ⊂ Lq (Ω) lµ nhóng compact nÕu q ∈ [1, +∞). ii) NÕu iii) NÕu 1.1.5. q = p∗ . p > n th× W 1,p (Ω) ⊂ C 0 (Ω) lµ nhóng compact. Kh¸i niÖm vÕt cña hµm §Þnh nghÜa 1.5 Kh«ng gian Sobolev W01,p (Ω) ®­îc ®Þnh nghÜa nh­ c¸c bao ®ãng cña kh«ng gian c¸c hµm kh¶ vi v« h¹n cã gi¸ compact trong øng víi chuÈn cña Ω t­¬ng W 1,p (Ω). H01 (Ω) ®­îc ®Þnh nghÜa bëi Kh«ng gian H01 (Ω) = W01,2 (Ω). §Þnh lÝ 1.5 i) NÕu Gi¶ sö biªn ∂Ω lµ liªn tôc Lipschitz. Khi ®ã: 1 ≤ p < n th× W01,p (Ω) ⊂ Lq (Ω) lµ: - Nhóng compact ®èi víi - Nhóng liªn tôc víi ii) NÕu iii) NÕu 1 1 1 = − . p∗ p n q ∈ [1, p∗ ), trong ®ã q = p∗ . p = n th× W01,n (Ω) ⊂ Lq (Ω) lµ nhóng compact nÕu q ∈ [1, +∞). p > n th× W01,p (Ω) ⊂ C 0 (Ω) lµ nhóng compact. §Þnh lÝ 1.6 Gi¶ sö ( Ω ®Þnh lý vÕt) lµ tËp më trong Rn víi biªn ∂Ω lµ liªn tôc Lipschitz. Khi ®ã, tån t¹i duy nhÊt mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc γ : H 1 (Ω) −→ L2 (∂Ω) sao cho víi bÊt kú gäi lµ vÕt cña u ∈ H 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω) ta cã γ(u) = u|∂Ω . Hµm γ(u) ®­îc u trªn ∂Ω. §Þnh nghÜa 1.6 Gi¶ sö biªn ∂Ω lµ liªn tôc Lipschitz. Kh«ng gian H 1/2 (∂Ω) ®­îc gäi lµ miÒn gi¸ trÞ cña ¸nh x¹ vÕt γ , tøc lµ H 1/2 (∂Ω) = γ(H 1 (Ω)). 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn §Þnh lÝ 1.7 i) H 1/2 (∂Ω) lµ kh«ng gian Hilbert víi chuÈn Z Z Z |u(x) − u(y)|2 2 2 kukH 1/2 (∂Ω) = |u(x)| dSx + dSx dSy . |x − y|n+1 ∂Ω ii) Tån t¹i mét h»ng sè ∂Ω ∂Ω Cγ (Ω) sao cho: kγ(u)kH 1/2 (∂Ω) ≤ Cγ (Ω)kukH 1 (Ω) , Khi ®ã, ∀u ∈ H 1 (Ω). Cγ (Ω) ®­îc gäi lµ h»ng sè vÕt. Bæ ®Ò 1.2 Gi¶ sö biªn ∂Ω lµ liªn tôc Lipschitz. Kh«ng gian H 1/2 (∂Ω) cã c¸c tÝnh chÊt sau: i) TËp {u|∂Ω , u ∈ C ∞ (Rn )} trï mËt trong H 1/2 (∂Ω). ii) Nhóng H 1/2 (∂Ω) ⊂ L2 (∂Ω) lµ compact. iii) Tån t¹i ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc g ∈ H 1/2 (∂Ω) 7−→ ug ∈ H 1 (Ω) víi γ(ug ) = g vµ tån t¹i h»ng sè C1 (Ω) chØ phô thuéc miÒn Ω sao cho kug kH 1 (Ω) ≤ C1 (Ω)kgkH 1/2 (∂Ω) , Bæ ®Ò 1.3 Gi¶ sö biªn ∀g ∈ H 1/2 (∂Ω). ∂Ω lµ liªn tôc Lipschitz. Khi ®ã H01 (Ω) = {u | u ∈ H 1 (Ω), γ(u) = 0}. §Þnh lÝ 1.8 (BÊt ®¼ng thøc Poincare) Tån t¹i h»ng sè CΩ sao cho: kukL2 (Ω) ≤ CΩ k∇ukL2 (Ω) , ∀u ∈ H01 (Ω). Chøng minh Gi¶ sö réng bëi I lµ mét kho¶ng trong Rn chøa Ω, u ∈ H01 (Ω). Ta kÝ hiÖu u e lµ më 0 cña u vµo I . Ta cã u e ∈ H01 (I) vµ kukL2 (Ω) = ke ukL2 (I) ; k∇ukL2 (Ω) = k∇e ukL2 (I) . 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn (1.6) ®Ó chøng minh ®Þnh lý ®óng víi Ω lµ kho¶ng bÊt kú trong Rn, kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta chøng minh ®Þnh lý ®óng víi Víi Ω = (0, a)n . ∀u ∈ C0∞ (Ω) ta cã Z 0 xn u(x) = u(x , xn ) = 0 ∂u 0 (x , t)dt. ∂xn Ta l¹i cã 2  ∂u 0 (x , t).1dt ≤ ∂xn 0  Z xn   ∂u 0 2   ≤xn  ∂xn (x , t) dt ≤ 0  Z a  ∂u 0 2   ≤a  ∂xn (x , t) dt. 0 Z  |u(x)|2 =  xn LÊy tÝch ph©n hai vÕ bÊt ®¼ng thøc trªn Ω ta ®­îc: 2 Z Z  Z   ∂u 2 2 2   u dx ≤ a |∇u|2 dx,  ∂xn  dx ≤ a Ω Ω Ω tøc lµ kukL2 (Ω) ≤ ak∇ukL2 (Ω) , Do ®ã bÊt ®¼ng thøc trªn ®óng víi NÕu ∀u ∈ C0∞ (Ω). ∀u ∈ H01 (Ω). Ω lµ mét tËp më giíi néi bÊt kú, lu«n tån t¹i kho¶ng I víi c¸c c¹nh phô thuéc vµo ®­êng kÝnh cña Ω tháa m·n Ω ⊂ I . Theo trªn, ®Þnh lý ®óng víi kho¶ng I , kÕt hîp víi (1.6) ta suy ra ®Þnh lý ®óng víi Ω. NhËn xÐt 1.1  BÊt ®¼ng thøc Poincare cã ý nghÜa r»ng: kuk = k∇ukL2 (Ω) lµ mét chuÈn trªn H01 (Ω), t­¬ng ®­¬ng víi chuÈn cña H 1 (Ω) ®­îc x¸c ®Þnh bëi kuk2H 1 (Ω) = kuk2L2 (Ω) + k∇uk2L2 (Ω) . 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn §Þnh lÝ 1.9 (BÊt ®¼ng thøc Poincare më réng) Gi¶ sö biªn ∂Ω liªn tôc Lipschitz, tËp ®ãng, rêi nhau, Γ1 ∂Ω = Γ1 ∪ Γ2 , trong ®ã Γ1 , Γ2 cã ®é ®o d­¬ng. Khi ®ã, tån t¹i h»ng sè CΩ lµ c¸c sao cho kukL2 (Ω) ≤ CΩ k∇ukL2 (Ω) ∀u ∈ H 1 (Ω), γ(u) = 0 trªn Γ1 . 1.1.6. Kh«ng gian Sobolev víi chØ sè ©m §Þnh nghÜa 1.7 KÝ hiÖu H −1 (Ω) vµ H −1/2 (∂Ω) H −1 (Ω) lµ kh«ng gian Banach ®­îc ®Þnh nghÜa bëi H −1 (Ω) = (H01 (Ω))0 , tøc lµ kh«ng gian ®èi ngÉu cña H01 (Ω). ChuÈn cña phÇn tö F ∈ H −1 (Ω) ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau kF kH −1 (Ω) =   hF, uiH −1 (Ω),H 1 (Ω)  0 sup kuk , H01 (Ω) H01 (Ω)\{0} trong ®ã Z hF, uiH −1 (Ω),H01 (Ω) = F udx. Ω Bæ ®Ò 1.4 Cho F ∈ H −1 (Ω). Khi ®ã tån t¹i n+1 hµm f0 , f1 , ..., fn trong L2 (Ω) sao cho F = f0 + n X ∂fi i=1 H¬n n÷a kF k2H −1 (Ω) = inf ∂xi n X (1.7) . k fi k2L2 (Ω) , i=1 trong ®ã infimum lÊy trªn tÊt c¶ c¸c vect¬ (f0 , f1 , ..., fn ) trong [L2 (Ω)]n+1 tháa m·n ®iÒu kiÖn (1.7). 13 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn §Þnh nghÜa 1.8 Gi¶ sö biªn ∂Ω lµ liªn tôc Lipschitz. KÝ hiÖu H −1/2 (∂Ω) lµ kh«ng gian Banach ®­îc ®Þnh nghÜa bëi H −1/2 (∂Ω) = (H 1/2 (∂Ω))0 , tøc lµ kh«ng gian ®èi ngÉu cña kh«ng gian H 1/2 (∂Ω). ChuÈn cña phÇn tö F ∈ H −1/2 (∂Ω) ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau   hF, uiH −1/2 (∂Ω),H 1/2 (∂Ω)  kF kH −1/2 (∂Ω) = sup , k u k 1/2 1/2 H (∂Ω) H (∂Ω)\{0} trong ®ã Z hF, uiH −1/2 (∂Ω),H 1/2 (∂Ω) = F udS. ∂Ω Bæ ®Ò 1.5 Gi¶ sö biªn ∂Ω lµ liªn tôc Lipschitz. Kh«ng gian H −1/2 (∂Ω) cã c¸c tÝnh chÊt sau: i) Nhóng L2 (∂Ω) ⊂ H −1/2 (∂Ω) lµ compact. ii) Tån t¹i ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc v ∈ H(Ω, div) 7−→ v.n ∈ H −1/2 (∂Ω),  2 2 víi kh«ng gian H(Ω, div) = v | v ∈ L (Ω), divv ∈ L (Ω) . v ∈ H(Ω, div) vµ w ∈ H 1 (Ω) th×: Z Z − (divv)wdx = v∇wdx + hv.n, wiH −1/2 (∂Ω),H 1/2 (∂Ω) H¬n n÷a, nÕu Ω 1.2. 1.2.1. Ω Lý thuyÕt vÒ ph­¬ng tr×nh elliptic Kh¸i niÖm nghiÖm yÕu cña ph­¬ng tr×nh XÐt ph­¬ng tr×nh (1.8) −4u = f. Gi¶ sö u ∈ C 2 (Ω), f ∈ C(Ω) vµ ph­¬ng tr×nh (1.8) tháa m·n trong miÒn Ω. Khi ®ã, u(x) ®­îc gäi lµ nghiÖm cæ ®iÓn cña ph­¬ng tr×nh (1.8). 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn LÊy hµm ϕ bÊt kú thuéc D(Ω) = C0∞ (Ω) nh©n víi hai vÕ cña (1.8) råi lÊy tÝch ph©n ta ®­îc Z − Z 4uϕdx = Ω f ϕdx. (1.9) Ω ¸p dông c«ng thøc Green vµo (1.9) vµ kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ϕ|∂Ω = 0 ta cã Z X Z n ∂ϕ ∂u dx = f ϕdx, ∂x ∂x i i i=1 Ω hay Ω Z Z ∇u∇ϕdx = Nh­ng nÕu f ϕdx. Ω Ω Nh­ vËy, nÕu (1.10) u lµ nghiÖm cæ ®iÓn cña ph­¬ng tr×nh (1.8) th× cã (1.10). f ∈C(Ω) th× ph­¬ng tr×nh (1.8) kh«ng cã nghiÖm cæ ®iÓn. VËy, ta cÇn më réng kh¸i niÖm nghiÖm khi §Þnh nghÜa 1.9 Gi¶ sö f ∈ L2 (Ω). u ∈ H 1 (Ω), f ∈ L2 (Ω), u ®­îc gäi lµ nghiÖm yÕu cña ph­¬ng tr×nh (1.8) nÕu (1.10) ®­îc tháa m·n. MÖnh ®Ò 1.1 NÕu u lµ nghiÖm yÕu cña ph­¬ng tr×nh (1.8) vµ u ∈ C 2 (Ω), f ∈ C(Ω) th× u lµ nghiÖm cæ ®iÓn, tøc lµ −4u = f . Chøng minh Gi¶ sö u lµ nghiÖm yÕu cña ph­¬ng tr×nh (1.8), tøc lµ u ∈ H 1 (Ω) vµ ta cã (1.10) víi mäi hµm ϕ ∈ D(Ω), kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn u ∈ C 2 (Ω) ta suy ra Z (4u + f )ϕdx = 0, ∀u ∈ D(Ω). Ω V× D(Ω) trï mËt trong L2 (Ω), 4u + f trùc giao víi mäi ϕ ∈ D(Ω) nªn 4u + f = 0 trong L2 (Ω). Nh­ng v× 4u liªn tôc nªn 4u + f ≡ 0 trong C(Ω). VËy u lµ nghiÖm cæ ®iÓn cña ph­¬ng tr×nh (1.8). 15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn  1.2.2. • Ph¸t biÓu c¸c bµi to¸n biªn Bµi to¸n Dirichlet XÐt bµi to¸n  −4u = f, x ∈ Ω,  u = ϕ, x ∈ ∂Ω, f ∈ L2 (Ω). trong ®ã Hµm u ∈ H 1 (Ω) ®­îc gäi lµ nghiÖm yÕu cña bµi to¸n (1.11) nÕu u − w ∈ H01 (Ω), trong ®ã (1.12) w lµ hµm thuéc H 1 (Ω), cã vÕt b»ng ϕ vµ Z Z ∇u∇vdx = f vdx, ∀v ∈ H01 (Ω). Ω NhËn xÐt 1.2 tr×nh (1.11) (1.13) Ω - NghiÖm yÕu cña bµi to¸n (1.11) lµ nghiÖm yÕu cña ph­¬ng −4u = f v× ta ®· ®Þnh nghÜa nghiÖm yÕu cña ph­¬ng tr×nh nµy lµ hµm u ∈ H 1 (Ω) tháa m·n (1.13) víi mäi v ∈ C0∞ (Ω) ⊂ H01 (Ω). - NÕu u lµ nghiÖm yÕu cña bµi to¸n (1.11) vµ u, f, ϕ ®ñ tr¬n th× u lµ nghiÖm theo nghÜa cæ ®iÓn. • Bµi to¸n Neumann XÐt bµi to¸n   −4u = f, ∂u   = h, ∂ν trong ®ã x ∈ Ω, (1.14) x ∈ ∂Ω, h ∈ C(∂Ω), f ∈ C(Ω), u ∈ C 2 (Ω) lµ nghiÖm cæ ®iÓn. Nh©n hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh −4u = f víi v ∈ H 1 (Ω) råi lÊy tÝch ph©n ta ®­îc Z − Z v4udx = Ω vf dx. Ω 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn (1.15) ¸p dông c«ng thøc Green vµo (1.15) ta cã Z Z − ∂u v dS + ∂ν ∇u∇vdx = vf dx, Ω Ω ∂Ω Z kÕt hîp víi (1.14) ta suy ra Z Z ∇u∇vdx = Ω §Þnh nghÜa 1.10 NÕu f vdx + Ω 2 hvdS, ∀v ∈ H 1 (Ω). (1.16) ∂Ω h ∈ L (∂Ω), f ∈ L2 (Ω) th× nghiÖm yÕu cña bµi to¸n Neumann (1.14) lµ hµm NhËn xÐt 1.3 Z u ∈ H 1 (Ω) tháa m·n (1.16). Ta míi chØ xÐt nh÷ng tr­êng hîp trªn biªn ∂Ω chØ cho mét lo¹i ®iÒu kiÖn biªn. Trªn thùc tÕ cã thÓ gÆp c¸c bµi to¸n biªn hçn hîp H×nh 1.1    −4u = f, x ∈ Ω,    u = ϕ, x ∈ Γ1 ,      ∂u = h, x ∈ Γ2 . ∂ν Trong tr­êng hîp nµy, ta ®­a vµo kh«ng gian V = {v ∈ H 1 (Ω), v|Γ1 = 0}. Gi¶ sö w ∈ H 1 (Ω) : w|Γ1 = ϕ. Khi ®ã, nghiÖm yÕu cña ph­¬ng tr×nh −4u = f víi c¸c ®iÒu kiÖn biªn trªn lµ hµm u ∈ H 1 (Ω) sao cho u − w ∈ V vµ Z Z ∇u∇vdx = Ω Z vf dx + Ω vhdS, ∀v ∈ V. ∂Ω 17 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 1.2.3. Sù tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm yÕu §Þnh lÝ 1.10 Gi¶ sö H (Lax-Milgram) lµ kh«ng gian Hilbert víi tÝch v« h­íng (v, u). B(v, u) lµ d¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi xøng, liªn tôc, x¸c ®Þnh d­¬ng trªn H, tøc lµ tån t¹i k > 0 sao cho |B(v, u)| ≤ kkvkkuk, vµ tån t¹i ∀u, v ∈ H α > 0 sao cho B(v, v) ≥ αkvk2 , Khi ®ã, mçi phiÕm hµm tuyÕn tÝnh F ∀v ∈ H. giíi néi trªn H cã thÓ biÓu diÔn trong d¹ng F (v) = B(v, z), trong ®ã z∈H ∀v ∈ H, lµ duy nhÊt ®­îc x¸c ®Þnh bëi kzk ≤ (Nãi c¸ch kh¸c lµ víi mäi v ∈ H, F vµ 1 kF k. α bµi to¸n biÕn ph©n B(v, z) = F (v) cã 1 duy nhÊt nghiÖm z ∈ H tháa m·n kzk ≤ kF k). α • Bµi to¸n Dirichlet thuÇn nhÊt XÐt bµi to¸n  −4u = f, x ∈ Ω,  u = 0, x ∈ ∂Ω, trong ®ã (1.17) f ∈ L2 (Ω). Bµi to¸n (1.16) cã nghiÖm yÕu lµ hµm u ∈ H01 (Ω) tháa m·n B(u, v) = F (v), trong ®ã ∀v ∈ H01 (Ω), Z Z ∇u∇vdx, B(u, v) = Ω F (v) = f vdx. Ω 18 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn (1.18)