Phương pháp biến phân trong không gian có thứ tự

  • Số trang: 56 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 21 |
  • Lượt tải: 0
minhtuan

Đã đăng 15929 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH _____________ Văn Hoàng Hữu Vinh PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH _____________ Văn Hoàng Hữu Vinh PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 1 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Tôi xin chân thành cám ơn quí Thầy, Cô khoa Toán trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh và trường ĐHKHTN TP Hồ Chí Minh đã trang bị cho tôi nhiều kiến thức quí báu trong Toán học cũng như trong cuộc sống. Tôi xin cảm ơn bạn bè và người thân đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn. Tp. Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2011 Học viên Văn Hoàng Hữu Vinh 2 LỜI CAM ĐOAN Mặc dù trong quá trình làm luận văn này, tôi đã nghiên cứu, tìm hiểu và tham khảo ở sách vở, các bài báo toán học của các tác giả và luận văn của các khóa trước, tôi có sử dụng các kết quả đã được chứng minh để hoàn thành luận văn của mình, nhưng tôi xin cam đoan không sao chép các luận văn đã có và tôi xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm với lời cam đoan của mình. 3 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ................................................................................................... 1 T 0 T 0 LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................. 2 T 0 T 0 MỤC LỤC ......................................................................................................... 3 T 0 T 0 MỘT SỐ KÍ HIỆU ............................................................................................ 4 T 0 T 0 MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 5 T 0 T 0 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................................... 5 T 0 T 0 2. Mục tiêu của luận văn ................................................................................................... 5 T 0 T 0 3. Phương pháp nghiên cứu............................................................................................... 6 T 0 T 0 4. Nội dung của luận văn................................................................................................... 6 T 0 T 0 Chương 1. PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN KẾT HỢP VỚI THỨ TỰ ............ 7 T 0 T 0 1.1. Các khái niệm ............................................................................................................. 7 T 0 T 0 1.2. Sự tồn tại nghiệm và nhiều nghiệm cho ánh xạ lớp C .......................................... 17 1 T 0 T 0 1.3. Sự tồn tại nghiệm cho lớp ánh xạ lớp C ............................................................... 31 2 T 0 T 0 Chương 2. ĐỊNH LÝ MOUNTAIN PASS TRONG KHOẢNG THỨ TỰ.... 47 T 0 T 0 2.1. Các kết quả chuẩn bị ................................................................................................ 47 T 0 T 0 2.2. Định lý Mountain Pass trong khoảng thứ tự ............................................................ 50 T 0 T 0 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 53 T 0 T 0 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 54 T 0 T 0 4 MỘT SỐ KÍ HIỆU C 1 (U ,  ) Không gian các hàm Φ :U →  có đạo hàm cấp một liên tục trên U . C 1 (U ,  ) Không gian các hàm Φ :U →  có đạo hàm cấp một liên tục trên U . C ∞ (U ,  ) Không gian các hàm Φ :U →  có đạo hàm mọi cấp trên U . I Ánh xạ đồng nhất. inf Φ ( C ) Cực tiểu của Φ trên C . int ( P ) Phần trong của P . ∂B Biên của tập B . = Γ Số phần tử của tập Γ . L(E) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ E → E . εn  0 (ε n ) là dãy giảm hội tụ đến 0 . Kc Cr ( Φ, H , c ) :={u ∈ H | Φ ( u ) =c, Φ ' ( u ) =0} im ( β ) Tập ảnh của ánh xạ β . deg loc ( Φ ', u0 , 0 ) Bậc tôpô địa phương của Φ ' trên một lân cận của u0 tại 0 . F 0 ( x, h ) Đạo hàm theo hướng Clarke của hàm F tại x đối với hướng h . 5 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nhiều bài toán của Khoa học tự nhiên, Y học, Kinh tế học,…đưa đến việc nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm, cấu trúc của tập nghiệm, xây dựng nghiệm xấp xỉ cho các phương trình phi tuyến trong các không gian trừu tượng. Hai phương pháp cơ bản để nghiên cứu các phương trình phi tuyến là phương pháp điểm bất động và phương pháp biến phân. Sự kết hợp phương pháp điểm bất động với sử dụng các tính chất thứ tự của không gian đưa tới sự ra đời của Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự. Lý thuyết này hình thành từ những năm 1940 và được phát triển hoàn thiện cho đến ngày nay. Nó cho phép nghiên cứu sâu hơn các tính chất của nghiệm như tính dương, tính lồi,… cũng như chỉ ra sự tồn tại của dãy đơn điệu để tính gần đúng nghiệm. Sự kết hợp phương pháp biến phân với sử dụng thứ tự mới chỉ bất đầu được nghiên cứu từ những năm 1980. Hướng nghiên cứu này chưa nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà Toán học và kết quả thu được cũng chưa nhiều. Do đó việc tìm hiểu về hướng nghiên cứu này để đi sâu hơn là công việc có ý nghĩa và hứa hẹn cho những kết quả mới. 2. Mục tiêu của luận văn Tìm hiểu và trình bày một cách hệ thống, chi tiết các kết quả ban đầu về phương pháp biến phân trong không gian có thứ tự. 6 3. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu mang tính lý thuyết, thu thập tài liệu, phân tích và tổng hợp các tài liệu thu được để trình bày các kết quả trong tài liệu theo hiểu biết của mình một cách có hệ thống và chi tiết. Các phương pháp chứng minh: phương pháp trực tiếp, phương pháp minimax; sử dụng tính chất của thứ tự sinh bởi nón, sử dụng bậc tôpô. 4. Nội dung của luận văn Chương 1. Phương pháp biến phân kết hợp với thứ tự 1.1. Các khái niệm 1.2. Sự tồn tại nghiệm và nhiều nghiệm cho ánh xạ lớp C 1.3. Sự tồn tại nghiệm cho lớp ánh xạ lớp C 2 Chương 2. Định lý Mountain Pass cho khoảng thứ tự 2.1. Các kết quả chuẩn bị 2.2. Định lý 1 7 Chương 1. PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN KẾT HỢP VỚI THỨ TỰ 1.1. Các khái niệm Ta bắt đầu với bài toán mà cấu trúc thứ tự không được đòi hỏi. Cho ( H , (.,.) ) là không gian Hilbert thực và Φ ∈ C 1 (U ,  ) , với ∅ ≠ U ⊂ H , U mở. Với hai số thực c, d , và tập ∅ ≠ C ⊂ U , C đóng, ta định nghĩa Cr ( Φ, C , d ) := {u ∈ C | Φ ( u ) = d , Φ ' ( u ) = 0} Cr ( Φ, C )=:  Cr ( Φ, C , e ) e∈ Φ d := Φ −1 ( ( −∞; d ]) , Φ c := Φ −1 ([ c; +∞ ) ) , Φ dc := Φ d ∩ Φ c • Φ d =: int ( Φ d ) . Ta nói Φ thỏa điều kiện Palais-Smale trên C (kí hiệu là ( PS )C ) nếu: với mọi dãy ( un ) ⊂ C , Φ ' ( un ) → 0, Φ ( un ) → d ∈  thì ( un ) tiền compact. Tập D = D ( Φ, C ) được định nghĩa = D: {σ : [0,1] × C → C liên tục | σ ( 0,.) = I và ánh xạ t → Φ (σ ( t , u ) ) không tăng với mọi u ∈ C } , được gọi là Φ − họ trên C . Dễ dàng chứng tỏ rằng: nếu σ , σˆ ∈ D thì ánh xạ σ * σˆ xác định bởi t ∈ [0;1 2] σˆ ( 2t , u ) σ * σˆ =  σ ( 2t − 1, σˆ (1, u ) ) t ∈ [1 2;1] là thuộc D . Do đó “ * ” xác định một ánh xạ từ D × D → D . Ta có bổ đề sau về tính chất của Φ − họ (chứng minh được cho trong [5]). 8 Bổ đề 1.1.1 Cho H là không gian Hilbert thực, ∅ ≠ C ⊂ U , C đóng và lồi, U mở. Giả sử Φ ∈ C 1 (U ,  ) thỏa ( PS )C và gradient ∇Φ có thể được phân tích ∇Φ= I − K , KC ⊂ C . Khi đó Φ − họ trên C , D = D ( Φ, C ) , có tính chất sau: với mọi số thực d ∈  , ε 0 > 0 , và lân cận tương đối W ⊂ C của Cr ( Φ, C , d ) thì tồn tại ε ∈ ( 0, ε 0 ] và một ánh xạ σ ∈ D sao cho ( ( σ {1} × ( Φ d +ε ∩ C ) \W )) ⊂ Φ d −ε ∩C . Lưu ý 1.1.1 Nếu  Cr ( Φ, C , e ) = ∅ và giả thiết của bổ đề 1.1.1 đúng thì tồn tại e∈[ c ,d ] ( ) σ ∈ D ( Φ, C ) sao cho σ {1} × ( Φ d ∩ C ) ⊂ Φ c ∩ C . Chứng minh Thật vậy, do [ c, d ] compact nên tồn tại d i , c ≤ d1 < d 2 < ... < d k ≤ d và ε i > 0 , i = 1,..., k , sao cho ([ d i − ε i , d i + ε i ])i =1,...,k phủ [ c, d ] và σ i ∈ D (áp dụng bổ đề 1.1.1 trước rồi sử dụng tính compact của [ c, d ] ) thỏa ( ) σ i {1} × ( Φ d +ε ∩ C ) ⊂ Φ d −ε ∩ C . i i ( i i ) Đặt σ := ... ( (σ 1 * σ 2 ) * σ 3 ) * ... * σ k , thì σ thỏa ( ) σ {1} × ( Φ d ∩ C ) ⊂ Φ c ∩ C .  Sử dụng bổ đề 1.1.1 ta có kết quả tồn tại đầu tiên của điểm tới hạn. 9 Mệnh đề 1.1.1 Cho H là không gian Hilbert thực, ∅ ≠ C ⊂ U , C đóng và lồi, U mở. Giả sử Φ ∈ C 1 (U ,  ) thỏa ( PS )C và gradient ∇Φ có thể được phân tích ∇Φ= I − K , KC ⊂ C , và Φ | C bị chặn dưới. Khi đó ∅ ≠ Cr ( Φ, C , d ) = Φ dd ∩ C , trong đó = d inf Φ ( C ) . Chứng minh Cr ( Φ, C , d ) = ∅.  Giả sử Cr := Khi đó tồn tại ε > 0 (do bổ đề 1.1.1) và σ ∈ D := D ( Φ, C ) với ( ) σ {1} × ( Φ d +ε ∩ C ) ⊂ Φ d −ε ∩ C , điều này vô lý vì Φ d +ε ∩ C ≠ ∅ và d inf Φ ( C ) ). Φ d −ε ∩ C = ∅ (do = Do đó Φ dd ∩ C ⊃ Cr ≠ ∅ ( Cr ⊂ Φ dd ∩ C là hiển nhiên).  Để chứng tỏ bao hàm thức ngược lại, ta giả sử rằng tồn tại u ∈ ( Φ dd ∩ C ) \Cr . Khi đó, vì H là không gian Hilbert nên là không gian tách, suy ra tồn tại một lân cận tương đối W ⊂ C của Cr sao cho u ∉W . Theo bổ đề 1.1.1, tồn tại σ ∈ D và ε > 0 mà σ (1, u ) ∈Φ d −ε ∩ C = ∅ , điều này lại vô lý.  Cho đến giờ chúng ta đã không sử dụng cấu trúc thứ tự. Bây giờ ta giới thiệu khái niệm này. 10 Cho X là tập khác rỗng. Một thứ tự trong X, kí hiệu là “ ≤ ”, là một quan hệ trong X mà có tính chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu. Cặp ( X , ≤ ) được gọi là một tập có thứ tự. Với mọi x, y ∈ X , tập [ x, y ] := {z ∈ X : x ≤ z ≤ y} được gọi là khoảng thứ tự giữa x và y . Nếu X là không gian tuyến tính thực, một thứ tự tương thích với cấu trúc tuyến tính, tức là thỏa mãn i. x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z, ∀z ∈ X , ii. x ≤ y ⇒ α x ≤ α y , ∀α ∈  + = [0, ∞[ , được gọi là một thứ tự tuyến tính. Cặp ( X , ≤ ) được gọi là không gian vectơ có thứ tự (viết tắt là OVS). Xét một OVS X và một tập P := {x ∈ X : 0 ≤ x}. Tập P có những tính chất sau C1 . P + P ⊂ P , C2 .  + P ⊂ P , C3 . P ∩ ( − P ) ={0} . Một tập con khác rỗng P của một không gian vectơ thực thỏa mãn các tính chất C1 − C3 được gọi là một nón. Ta có nhận xét i. Mỗi nón là tập lồi. ii. Với một nón P trong không gian vectơ thực X, ta có thể xác định một thứ tự tuyến tính bởi x ≤ y ⇔ y − x∈P, mà được gọi là thứ tự cảm sinh bởi nón P . Ta viết x > y :⇔ y ≤ x và y ≠ x . x  y :⇔ x − y ∈ int ( P ) 11 Tập P \ {0} = {x ∈ X | x > 0} được gọi là nón dương. Khi X = ( X , . ) là không gian Banach được sắp thứ tự bởi một nón P, thì X sẽ là một không gian Banach có thứ tự ( viết tắt là OBS) nếu thứ tự cảm sinh bởi P là tương thích với cấu trúc tuyến tính của X và với tôpô của nó; tức là, " ≤ " là thứ tự tuyến tính và nón P là đóng. Một nón được gọi là toàn phần (total) nếu X= P − P và được gọi là nón sinh nếu X= P − P . Một toán tử T : U ⊂ X → X được gọi là bảo toàn thứ tự (hoặc tăng) nếu x ≤ y ⇒ Tx ≤ Ty , được gọi là bảo toàn thứ tự ngặt (hoặc tăng ngặt) nếu x > y ⇒ Tx > Ty , và được gọi là bảo toàn thứ tự mạnh (hoặc tăng ngặt) nếu x ≤ y ⇒ Tx  Ty , tức là Ty − Tx ∈ int P . Với kết quả chính trong phần này thì Mệnh đề 1.1.2 là hữu ích. Mệnh đề 1.1.2 Cho ( H , P ) là không gian Hilbert thực có thứ tự, ∅ ≠ U ⊂ H , U mở, và Φ ∈ C 1 (U ,  ) và gradient ∇Φ có thể được phân tích ∇Φ= I − K , trong đó K compact và bảo toàn thứ tự. Hơn nữa, giả sử u0 ∈U là một điểm tới hạn của Φ . Khi đó với mọi ε > 0 mà Bε := {u ∈ H | u − u0 ≤ ε } ⊂ U thì tồn tại u + ≥ u0 , u − ≤ u0 , u ± ∈ Bε và λ ± ∈  + sao cho Φ ' ( u ± ) + λ ± ( u ± − u0 ) = 0 12 ( inf Φ ( B ) ∩ {u ∈ H | u ≤ u }) = Φ (u ) . inf Φ Bε ∩ {u ∈ H | u ≥ u0 } = Φ (u+ ) ε − 0 Chứng minh Ta có thể giả sử u0 = 0 và chỉ xét trường hợp u + . Từ giả thiết suy ra Φ là nửa liên tục dưới yếu theo dãy. ( Suy ra tồn tại u + ∈ Bε ∩ P thỏa Φ ( u + ) =inf Φ Bε ∩ P ) (1.1.1) Nếu u + = 0 ta có đpcm. Do đó ta có thể giả sử u + > 0 và đặt= ρ: ( ( ) Đặt w :=− Φ ' ( u + ) − Φ ' ( u + ) , u + ρ −2 u + u + > 0 (vì u + ≠ 0 ). ) ( ⇒ ( w, u + ) = 0) Tồn tại ρˆ > 0 thỏa u + + tw ≠ 0 và (( ) ) t Φ ' ( u + ) , u + ρ −2 − 1 + 1 ≥ 0 ∀t ∈ [0; ρˆ ] (chọn ρˆ < u+ w và ρˆ > 0 đủ nhỏ). Vì Φ ' = I − K nên u + + tw = (1 − t (1 − (Φ ' (u ) , u ) ρ )) u + −2 + + tKu + > 0 ∀t ∈ [0; ρˆ ] . Đặt a (t ) = u + + tw −1 ρ ( u + + tw ) ⇒ a ∈ C 1 ([0; ρˆ ] , H ) và a ( t ) ∈ P ∩ B ε . Ta dễ dàng tính được rằng d 2 Φ (a (t )) = − w ≤ 0 . (do ( w, u + ) = 0 ) dt t =0 13 Mặt khác vì t → Φ ( a ( t ) ) là khả vi liên tục và do ( Φ ( u + ) =inf Φ Bε ∩ P ) nên Φ ( u + ) = Φ ( a ( 0 ) ) ≤ Φ ( a ( t ) ) ∀t ∈ [0; ρˆ ] ⇒ d Φ (a (t )) ≥ 0 . dt t =0 Do đó w = 0 . Suy ra Φ ' (u+ ) + λ +u+ = 0 (với λ + = − ( Φ ' ( u ) , u + ) ρ −2 ) ( (1.1.2) ) Do u + thỏa Φ ( u + ) =inf Φ Bε ∩ P và Bε ∩ P lồi, suy ra ( Φ ' ( u ) , u − u ) ≥ 0 , ∀u ∈ B + + ε ∩P (1.1.3) Cho u = 0 và do (1.1.2), (1.1.3) ta đạt được ( ) 0= Φ ' (u+ ) + λ +u+ , u+ ≤ λ + ρ 2 ( u+ 2 = ( u + , u + ) ). Vì ρ > 0 ta suy ra λ + ≥ 0 .  ( ) (hoặc cho u = 0 ⇒ Φ ' ( u + ) , −u + ≥ 0 ⇒ λ + ≥ 0 do ρ > 0 ) Trước khi ta đưa ra một sự phân loại các điểm tới hạn, ta giới thiệu khái niệm E-chính quy cho một toán tử T : H ⊃ U → H . Cho E, F là các không gian Banach thực. Nếu E ⊂ F và ánh xạ E → F : u → u là liên tục thì ta viết E F. 14 Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi một toán tử T : H ⊃ U → H là E-chính quy nếu tồn tại một dãy hữu hạn ( Ei= )i 0... n +1 (i) E = E0 E1 các không gian Banach thực thỏa mãn … En En +1 = H . (ii) Toán tử T cảm sinh những toán tử liên tục Ti ∈ C (U i , Ei −1 ) , với = i 1...n + 1 , trong đó U= i : Ei ∩ U được trang bị Ei − tôpô. Ta có bổ đề sau Bổ đề 1.1.2 Cho T : H ⊃ U → H là E-chính quy. Giả sử ( wk ) ⊂ E ( uk ) ⊂ U , ( vk ) ⊂ E , và ( λk ) ⊂ [1; +∞ ) là các dãy, và w0 ∈ E , v0 ∈ E , u0 ∈U ∩ E sao cho Tuk + w= λk ( uk − vk ) , k và uk → u0 trong H, vk → v0 trong E, wk → w0 trong E. Khi đó ( uk ) ⊂ E ∩ U và uk → u0 trong E. Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh ( uk ) ⊂ E ∩ U . Vì Tuk + w= λk ( uk − vk ) nên uk = vk + k 1 λk (Tuk + wk ) . Vì vk → v0 trong E, wk → w0 trong E nên vk → v0 trong Ei , wk → w0 trong Ei , với mọi = i 0... n + 1 . Vì uk → u0 trong H = En +1 , và Ti ∈ C (U i , Ei −1 ) nên ta có = T ( uk ) Tn +1 ( uk ) → T ( u0 ) trong En . 15 Suy ra ( uk ) ⊂ En , và do đó uk → u0 trong En . Lập luận tương tự, vì uk → u0 trong En nên T= ( uk ) Tn ( uk ) → T ( u0 ) trong En−1 . Suy ra ( uk ) ⊂ En−1 , và do đó uk → u0 trong En−1 . Tiếp tục như vậy, ta có ( uk ) ⊂ E0 = E và uk → u0 trong E .  Kết hợp mệnh đề 1.1.2 và bổ đề 1.1.2 mang lại điều có ích sau Hệ quả 1.1.1 Cho giả thiết như trong mệnh đề 2 và giả sử thêm K là E-chính quy với không gian Banach thực E H . Giả sử u0 ∈ E ∩ U là điểm tới hạn của Φ và không là cực tiểu địa phương của Φ + := Φ |U + , với U + := {u ∈U | u ≥ u0 } . ( ={u ∈ H | u ≥ u0 } ∩ U ) Khi đó tồn tại một dãy ( un ) ⊂ U + ∩ E sao cho Φ ( un ) < Φ ( u0 ) ∀n ∈  và un → u0 trong E . Kết quả tương tự đúng cho Φ − nếu u0 ko là cực tiểu địa phương của Φ− . Chứng minh Do u0 ko là cực tiểu địa phương của Φ + , áp dụng mệnh đề 1.1.2 tồn tại một dãy ( un ) ⊂ U + sao cho un − u0 ≤ n −1 ( un → u0 trong H ) và ( ) Φ ( un= ) inf Φ ∂B un ( u0 ) ∩ U + < Φ ( u0 ) Φ ' ( un ) + λn ( un − u0= ) 0, λn ≥ 0 . Đặt µn := 1 + λn ( ≥ 1) , suy ra Kun − u= 0 ). µn ( un − u0 ) ( Φ ' ( u0 ) = 0 16 Do điều kiện K là E-chính quy, theo bổ đề 1.1.2 ta được un → u0 trong E.  Ta xét điều kiện ( Φ ) như sau: (Φ ) ( H , P ) là không gian Hilbert thực có thứ tự, ∅ ≠ U ⊂ H , U mở, và Φ ∈ C 1 (U ,  ) và gradient ∇Φ có thể được phân tích ∇Φ= I − K , trong đó K compact, bảo toàn thứ tự và E -chính quy với không gian Banach thực E H thỏa int E ( P ∩ E ) ≠ ∅ . Thế năng b của K là ánh xạ biến mỗi khoảng thứ tự [u, v ] ⊂ U thành tập bị chặn và toán tử K 0 : U ∩ E → E cảm sinh bởi K là bảo toàn thứ tự mạnh. Chú ý rằng điều kiện ( Φ ) suy ra điều kiện ( PS )[u ,v ] đúng với mọi khoảng thứ tự trong U. Lưu ý 1.1.2 Cho Φ ∈ C 1 (U ,  ) thỏa điều kiện ( Φ ) và giả sử = C: [u0 , u ] ⊂ U là khoảng thứ tự sao cho KC ⊂ C và u > u0 , Φ ' ( u0 ) = 0 , u ∈ E . Khi đó, nếu u0 là cực tiểu địa phương của Φ | C thì nó là cực tiểu địa phương của Φ |U + . Chứng minh Ta có thể giả sử u0 = 0 . Dùng phản chứng, giả sử 0 không là cực tiểu địa phương của Φ |U + . Do hệ quả 1.1.1, tồn tại một dãy ( un ) ⊂ U + ∩ E sao cho Φ ( un ) < Φ ( 0 ) ∀n ∈  và un → 0 trong E (với U + := {u ∈U | u ≥ 0}). 17 ( ) Do u > 0 nên tồn tại unk sao cho unk ∈ C := [0, u ] và Φ un k < Φ ( 0 ) , mâu thuẫn 0 là cực tiểu địa phương của Φ | C .  Trong phần sau, ta gọi một tập W ⊂ H là một E-lân cận của u0 ∈ E nếu u0 ∈ int E ( E ∩ W ) . Bây giờ ta đưa ra một sự phân loại các điểm tới hạn của những hàm thỏa điều kiện ( Φ ) . 1.2. Sự tồn tại nghiệm và nhiều nghiệm cho ánh xạ lớp C 1 Định nghĩa 1.2.1 Cho Φ ∈ C 1 (U ,  ) thỏa ( Φ ) . Giả sử u0 là điểm tới hạn của ( Φ ) trong U. Đặt U + := {u ∈U | u ≥ u0 } và U − := {u ∈U | u ≤ u0 } và Φ ± :=Φ |U ± . Ta nói rằng u0 thuộc kiểu • I: ⇔ u0 là cực tiểu địa phương của Φ + và Φ − . • 0+ : ⇔ u0 là cực tiểu địa phương của Φ + nhưng không của Φ − . • 0− : ⇔ u0 là cực tiểu địa phương của Φ − nhưng không của Φ + . • X: ⇔ u0 là không là cực tiểu địa phương của Φ + và Φ − và với mọi E- lân cận W của u0 tồn tại một ánh xạ liên tục γ : [0,1] → H , γ ⊂ W ∩ U , với γ ( 0 ) < u0 < γ (1) và sup Φ ( γ ) < Φ ( u0 ) , trong đó γ := γ ([0,1]) . • − I : ⇔ u0 không thuộc các kiểu trên. Ta kí hiệu t ( u0 ) ∈Ξ 0 := {− I ,0− ,0+ , X , I } là kiểu của điểm tới hạn Với một tập con Ξ ⊂ Ξ 0 , ta đặt Cr ( Φ, C , d )Ξ=: Cr ( Φ, C )Ξ=: {u ∈ Cr ( Φ, C , d ) | t ( u ) ∈Ξ} {u ∈ Cr ( Φ, C ) | t ( u ) ∈Ξ}. Nếu Ξ ={a} với một a ∈Ξ 0 , ta đặt u0 . 18 Cr ( Φ, C )a :=Cr ( Φ, C )Ξ và Cr ( Φ, C , d )a :=Φ Cr ( , C , d )Ξ . Kết quả chính của ta trong phần này là định lý sau Định lý 1.2.1 Cho Φ ∈ C 1 (U ,  ) thỏa ( Φ ) . (Φ ) (A) Giả sử u < u là các điểm tới hạn của = C: [ u, u ] ⊂ U trong U thỏa và Cr ( Φ, C ) là hữu hạn. Khi đó (i) Nếu ( t ( u ) , t ( u ) ) ∈ {− I , X ,0− } × {− I , X ,0+ } thì tồn tại w ∈ Cr ( Φ, C ) I . (ii) Nếu ( t ( u ) , t ( u ) ) ∈ {I ,0+ } × {I ,0− } thì tồn tại w ∈ Cr ( Φ, C )− I . (B) Giả sử u < ui , i = 1, 2 là những điểm tới hạn của Φ trong U và u1 , u2 không so sánh được. Hơn nữa, giả sử C := [u, u1 ] ∩ [u, u2 ] ⊂ U , Cr ( Φ, C ) là hữu hạn và t ( u ) ∈{− I , 0− , X }. Khi đó, tồn tại w ∈ Cr ( Φ, C ) I . Nếu u > u i , i = 1, 2 và t ( u ) ∈{− I , 0+ , X } thì ta cũng có kết quả tương tự. (C) Giả sử C=: u ∈U là điểm tới hạn của [u, + ∞]=: {u ∈ H | u ≥ u} ⊂ U , và với Φ t ( u ) ∈ {0+ , I } , Cr ( Φ, C ){I , 0 } = {u} . Hơn + nữa Cr ( Φ, C ) là hữu hạn, điều kiện ( PS )C được thỏa mãn và tồn tại e > u thỏa Φ (e) < Φ (u ) . Khi đó, tồn tại w ∈ Cr ( Φ, C )− I .
- Xem thêm -