Tài liệu Phương pháp bài toán ngược trong dạy học môn toán ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM Khoa Toán  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: PHƯƠNG PHÁP BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Phương pháp giảng dạy GVHD : Th.S-GV.C Nguyễn Văn Vĩnh SVTH : Lê Thị Ngọc Phượng THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 5-2001 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM Khoa Toán  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: PHƯƠNG PHÁP BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Phương pháp giảng dạy GVHD : Th.S-GV.C Nguyễn Văn Vĩnh SVTH : Lê Thị Ngọc Phượng THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 5-2001 MỤC LỤC A.Đặt vấn đề .............................................................................................................................. 1 B. ................................................................................................................................................ 5 CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN.............................................................................................. 5 1. Cơ sở triết học: ............................................................................................................ 5 2. Cơ sở tâm lí học: ......................................................................................................... 5 3.Cơ sở logic: .................................................................................................................. 7 CHƢƠNG II: CÁC PHƢƠNG ÁN ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP BÀI TOÁN NGƢỢC..... 9 PHẦN I: PHƢƠNG ÁN ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁPBÀI TOÁN NGƢỢC ( Hình Học) .......................................................................................................................................... 13 1. Cấu trúc định lý......................................................................................................... 13 2. Thiếp lập mệnh đề đảo ; ............................................................................................ 14 2.1.Thiết lập mệnh đề đảo sử dụng phép nghịch đảo của chứng minh : ................... 23 2.2. Thiết lập mệnh để đảo bằng cách thay đổi phần giái thích: ............................... 25 2.3. Lập mệnh đề đảo bằng việc lựa chọn khái niệm loại: ........................................ 26 2.4. Lập mệnh để đảo bằng việc tìm các hệ quả: ...................................................... 29 3.Phƣơng pháp chứng minh mệnh để đảo ..................................................................... 33 3.1.Phƣơng pháp sử dung định lý thuận để chứng minh đảo : .................................. 33 3.2.Phƣơng pháp cực hạn trong chứng minh bài toán ngƣợc: .................................. 35 4.Bài toán quỹ tích ........................................................................................................ 38 5. Bài tập vận dụng phƣơng pháp bài toán ngƣợc. ....................................................... 40 PHẦN II : PHƢƠNG ÁN ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP BÀI TOÁN NGƢỢC (Đại sốGiải Tích) .......................................................................................................................... 60 CHƢƠNG III: TỔ CHỨC DẠY HỌC BẰNG PHƢƠNG PHÁP BÀI TOÁN NGƢỢC (Qua một số tiết học ở THCS) ............................................................................................. 85 Bài 1:HÌNH CHỮ NHẬT ............................................................................................. 85 Bài 2:Hằng Đẳng Thức (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ........................................................... 87 C.KẾT LUẬN .......................................................................................................................... 90 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 A. ĐẶT VẤN ĐỀ (1) Trong giai đoạn hiện nay, mối quan tâm của giáo viên đối với các kiến thức về tâm lí học dạy học đƣợc tăng lên đáng kể. Điều này là dễ hiểu bởi lẽ, sự hoàn thiện tay nghề của giáo viên về cơ bản phụ thuộc vào việc ngƣời thầy sử dụng các kiến thức về tâm lí học dạy học nhƣ thế nào, ở mức độ nào. Các khả năng hoàn thiện phƣơng pháp làm việc của giáo viên hoàn toàn phụ thuộc vào kĩ năng điều khiển hợp lí các hoạt động tƣ duy của học sinh trong quá trình dạy học.Để tiến hành điều khiển các hoạt động tƣ duy của học sinh lẽ tất nhiên ngƣời thầy phải dựa trên các kiến thức về tâm lý học dạy học, tức là dựa vào hệ thống các tính quy luật đã đúc kết trong đó những kiến thức về tâm lí học, về lí luận dạy học, phải dựa trên phƣơng pháp tƣơng hợp áp dụng hệ thống các tính quy luật trong dạy học môn Toán. "Phƣơng pháp bài toán ngƣợc" trong dạy học môn Toán ở trƣờng phổ thông có thể giúp ngƣời thầy điều khiển hợp lí và tích cực hóa các hoạt động tƣ duy của học sinh và là cách tiếp cận tốt nhằm đạt đƣợc các mục đích đặt ra trong dạy học. (2) Qua các lần cải cách giáo dục ở nƣớc ta, trên thực tế phƣơng pháp giáo dục, đào tạo thay đổi rất ít. So với sự thay đổi của mục tiêu và nội dung thì phƣơng pháp giáo dục thay đổi không nhiều và hiện nay khá lạc hậu so với thế giới. Nhìn chung, việc dạy học của chúng ta vẫn làm cho học sinh thụ động, hoặc là tuy có những biểu hiện tích cực mà vẫn cứ thụ động trong quá trình học tập. Các phƣơng pháp dạy học truyền thống tuy có đặt vấn đề và giải quyết vấn đề tích cực hóa quá trình nhận thức của học sinh nhƣng vẫn đặt nó trong khuôn khổ cứng nhắc của lối dạy học truyền thụ một chiều, nặng về vai trò của thầy và chƣa đánh giá đúng mức vai trò hoạt động năng động, sáng tạo, tự thích ứng của học sinh trong 1 xã hội phát triển. Việc đổi mới các phƣơng pháp dạy học phải bổ khuyết mặt yếu kém nói trên, nâng trình độ phát triển đa dạng, phức hợp, toàn diện của hoạt động dạy học theo yêu cầu ngày càng cao của xã hội phát triển. SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng |1 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 (3) " Phƣơng pháp bài toán ngƣợc " đƣợc hiểu là sự áp dụng một cách đồng bộ các nhiệm vụ dạy học : a) Nghiên cứu một cách hợp lí và đồng thời các phép toán và các thao tác, đảo ngƣợc của nhau nhƣ : - phép cộng - Phép trừ - Phép nhân - Phép chia - Phép nâng lên lũy thừa - phép khai căn - Nhóm các số hạng vào trong ngoặc - Bỏ dấu ngoặc -Logarit hóa - Phép mũ hóa b) Trong quá trình dạy học môn Toán, một điều rất quan trọng là so sánh các khái niệm đối lập nhau khi xem xét chúng đồng thời. Chẳng hạn: - Định lý thuận - Định lý đảo - Hàm số - Hàm số ngƣợc - Hàm số tuần hoàn - Hàm không tuần hoàn - Các hàm tang - Hàm giảm Nói chung là các bài toán thuận và ngƣợc của nhau. Ví du: Thuận : Vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = ax2 + bx +c Ngƣợc: Tìm tam thức bậc hai cho biết tọa độ các điểm nào đó của Parabol. c) Có thể so sánh đối chiếu các khái niệm cùng loại hoặc các khái niệm tƣơng tự, chẳng hạn: - Phƣơng trình - Bất phƣơng trình - Cấp số cộng - Cấp số nhân - Phép hợp các tập hợp - Phép giao các tập hợp - Phép hội các mệnh đề - Phép tuyển các mệnh đề - Đạo hàm - Tích phân hay so sánh hai cách phân chia của cùng một tập hợp các đối tƣợng theo các dấu hiệu khác nhau ... d) Có thể so sánh đối chiếu các phƣơng pháp giải Toán với nhau, chẳng hạn nhƣ: SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng |2 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 - Giải hệ phƣơng trình = phƣơng pháp đồ thị - Giải hpt = pp giải tích - Chứng minh định lý hoặc giải toán bằng -Chứng minh định lý và phƣơng pháp phân tích giải toán bằng pp tổng hợp - Chứng minh bằng phƣơng pháp lập luận - Chứng minh = đồ thị Một trong những kết quả quan trọng thu đƣợc do việc áp dụng những khía cạnh khác nhau trên đây của " Phƣơng pháp bài toán ngƣợc" là tích cực hóa hoạt động của học sinh trong đó tạo cho học sinh có khả năng tự mình phát biểu đƣợc một định lý, lập ra đƣợc một bài toán mới và tìm cách giải chúng. Việc sử dụng phƣơng pháp bài toán ngƣợc cho phép lôi cuốn, thúc đẩy hoạt động nhận thức của học sinh. Thực tiễn dạy học cho thấy: thay vì giải các bài tập khác nhau, nên cho học sinh giải 2 bài tập là ngƣợc của nhau; thay cho việc chứng minh 2 định lý khác nhau của nên cho học sinh chứng minh 2 định lý là ngƣợc của nhau, sẽ có tác dụng kích thích mạnh mẽ hoạt động tƣ duy của học sinh. Ngoài điều đó, do việc học sinh nắm đƣợc các thủ thuật lập các bài toán ngƣợc mà giáo viên có thể thực hiện đƣợc cá nhân hóa việc dạy học, tiếp cận có phân loại đối với học sinh giỏi, khá, trung bình... Hoạt động của học sinh do vậy mà mang đặc trƣng sáng tạo. Học sinh biết tự mình đặt ra các giả thuyết và kiểm tra tính đúng đắn của nó, nhận biết các khẳng định không đúng bằng cách dẫn ra đƣợc các phản ví dụ: Với cách học tập nhƣ vậy, các kiến thức của học sinh trở nên sâu hơn, vững chắc hơn, tƣ duy logic đƣợc phát triển. Xuất phát từ tình hình trên, em đã chọn đề tài " Phƣơng pháp bài toán ngƣợc trong dạy học môn Toán ở trƣờng phổ thông " Nhiệm vụ của đề tài gồm những phần sau: 1.Trình bày cơ sở lí luận của " Phƣơng pháp bài toán ngƣợc ". Nhiệm vụ này đƣợc giải quyết trong chƣơng 1 của luận vãn. 2. Trên cơ sở lí luận ta đề ra phƣơng án áp dụng " Phƣơng pháp bài toán ngƣợc" trong chƣơng trình Toán phổ thông: Hình học, đại số và giải tích. Nhiệm vụ 2 đƣợc giải quyết trong chƣơng I của luận văn. 3. Đề xuất việc tổ chức dạy học bằng" Phƣơng pháp bài toán ngƣợc " (PPBTN) vào một số tiết học ở chƣơng trình Toán phổ thông. Nhiệm vụ 3 đƣợc giải quyết trong chƣơng III của luận văn. ● Để đạt đƣợc yêu cầu đặt ra, phƣơng pháp nghiên cứu bao gồm: SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng |3 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 1. Nghiên cứu một cách có hệ thống các tài liệu về cơ sở lí luận dạy học, cơ sở triết học, tâm lí học và logic học của " PPBTN " 2. Xem xét hệ thống bài tập chƣơng trình phổ thông nghiên cứu vấn đề nào có thể lật ngƣợc lại, để xây dựng những bài toán ngƣợc đào sâu tƣ duy học sinh hơn. 3. Xem xét việc dạy học lí thuyết và vận dụng " PPBTN " đề ra một số tiết học dạy bằng phƣơng pháp này. ● Trong xu hƣớng cải thiện tình hình giảng dạy và học tập ở trƣờng phổ thông hiện nay, em hy vọng khoa luận này với phƣơng pháp dạy học mới phát huy tính sáng tạo của học sinh sẽ đóng góp một phần nhỏ vào công cuộc nâng cao chất lƣợng giáo dục và đào tạo của đất nƣớc. SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng |4 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 B. CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1. Cơ sở triết học: Trong tác phẩm " Bút kí Triết học",V.I.Lênin khẳng định " Hạt nhân của phép biện chứng là sự thống nhất và đấu tranh của các mặt đối lập ". Sự khám phá ra bản chất đối lập của các sự vật và hiện tƣợng, đòi hỏi phải xem xét đồng thời các bộ phận và các mặt đối lập nhau. Nếu nhƣ các bộ phận và các mặt đôi lập không đƣợc nhìn nhận, xem xét đồng thời mà lại tách rời nhau thì chắc chắn mối liên quan giữa chúng sẽ không đƣợc nhận thức sâu sắc, đầy đủ và có cơ sở bằng sự xem xét đồng thời. 2. Cơ sở tâm lí học: a) Nhà tâm lí học ngƣời Bỉ, Jean Piaget, đã rất quan tâm nghiên cứu các thao tác đảo ngƣợc. Ông đã rút ra từ thực nghiệm " Hiệu ứng Piaget": Tuy theo mức độ phức tạp của nhiệm vụ tƣ duy mà vai trò của sự đảo ngƣợc không ngừng tăng lên. Thực nghiệm của Piaget: thực nghiệm đƣợc tiến hành ở trẻ em độ tuổi mẫu giáo Đầu tiên ông rót nƣớc từ 1 bình A ( có chia vạch ) vào bình B rộng và sau đó vào bình C hẹp hơn, lƣợng nƣớc rót vào 2 bình là nhƣ nhau Câu hỏi đƣợc đặt ra : " Nƣớc trong bình B và bình C, ở bình nào nhiều hơn ?”  Trẻ em đa số cho rằng: nƣớc bình C nhiều hơn. SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng |5 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 Để chỉ cho trẻ thấy lƣợng nƣớc 2 bình là nhƣ nhau, Piaget lần lƣợt cho san nƣớc ngƣợc lại lần lƣợt từ bình B và bình C vào bình A. Lúc này, toàn bộ các em lại nói lƣợng nƣớc nhƣ nhau. Chính thao tác đảo ngƣợc làm trẻ thấy đƣợc nƣớc ở bình B và bình C là nhƣ nhau, xóa bỏ đƣợc ngộ nhận. * Nhà sinh lý học thần kinh nổi tiếng ngƣời Nga, Pavlốp, cũng đã có những nghiên cứu về bản chất sinh lý học của các mối liên hệ thuận và đảo trong tƣ duy. Ông cho rằng nếu 2 trung khu thần kinh liên hệ thống nhất với nhau thì các quá trình kích thích tác động diễn ra giữa chúng ở cả 2 hƣớng thuận - ngƣợc. Học thuyết của Pavlốp về các phản xạ có điều kiện đƣợc vận dụng trong quá trình dạy học môn Toán. Các quy tắc định nghĩa, khái niệm, chứng minh định lý, giải toán trong quá trình dạy học trở thành một chuỗi các phản xạ có điều kiện và trở nên vững chắc ở ngƣời học một khi chúng đƣợc lặp đi lặp lại nhiều lần có hệ thống ổn định trong cả 2 chiều thuận và đảo. Chính điều này cho phép chống lại " tính ì" trong tƣ duy. "Sự đối lập đan xen của các tác nhân kích thích tƣơng phản ảnh hƣởng tích cực đến quá trình tƣ duy" - Pavlốp. b) Một sự liên hệ giữa 2 quá trình P1 và P2 diễn ra trong nhận thức, trong đó quá trình thứ nhất P1 diễn ra kéo theo sự xuất hiện của quá trình P2 đƣợc gọi là một liên tƣởng. Chẳng hạn 1 học sinh cấp I nhìn thấy trên bảng có bài toán: 4 + 3 = □ ( quá trình P1 ) Khi đó các em đọc kết quả là 7 ( quá trình P2) Bởi vì quá trình P1 kéo theo sự xuất hiện quá trình P2 ở học sinh nên ta có liên tƣởng ( P1, P2) ở ngƣời học. Nếu chính em học sinh đó biết tách 7 = 3 + □ thì ta nói ở em học sinh có 1 liên tƣởng đảo ngƣợc Việc chuyển từ phép cộng (6 + 5 = 11) sang phép trừ ( 11-6 = 5) Việc chuyển từ phép nhân (4x3=12) sang phép chia (12:3 = 4) Việc chuyển từ định lý thuận sang định lý đảo.... đều dựa trên mối liên hệ thuận và đảo ( các liên tƣởng ) trong tƣ duy học sinh. Nhƣ vậy, mối liên hệ ngƣợc có liên quan đến đặc trƣng tâm lý của quá trình dạy học gắn liền với sự xuất hiện các liên tƣởng. Khi xem xét, đánh giá các sự kiện diễn ra trong quá trình dạy học, chúng ta cần phải phân biệt 2 phạm trù : logic và tâm lí. SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng |6 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 Liên tƣởng là 1 khái niệm tâm lí học, liên tƣởng hoặc là xuất hiện hoặc không xuất hiện. Còn tính đúng, sai của mệnh đề lại là khái niệm logic. Nghệ thuật dạy học là ở chỗ phải củng cố các liên tƣởng cần thiết và đúng đắn, đồng thời sàng lọc các liên tƣởng không cần thiết, không đúng đắn. c) Năng lực Toán học: Krutecxki, nhà tâm lí học ngƣời Nga trong cuốn sách " Tâm lí năng lực Toán của học sinh " cho các năng lực sau là năng lực cơ bản để nắm vững toán học: a.Năng lực khái quát hóa nhanh và rộng các tài liệu Toán học. b.Năng lực cô đặc và thu gọn nhanh quá trình suy luận và hệ thống các phép toán tƣơng ứng trong khi giải toán. c.Năng lực chuyển đổi nhanh và dễ dàng sang quá trình tƣ duy đảo ngƣợc khi nghiên cứu các tài liệu toán học. Chẳng hạn, nếu 1 học sinh biết chuyển nhanh từ việc giải các bài toán số học bằng các phép toán tách rời sang việc giải bài toán bằng cách vận dụng trực tiếp công thức thì ở đây xuất hiện cả năng lực khái quát hóa, cả năng lực thu gọn quá trình suy luận. Ba năng lực Toán nêu ở trên có liên quan chặt chẽ với nhau trong quá trình học Toán. Trong đó, năng lực chuyển đổi tƣ duy từ quá trình thuận sang quá trình đảo ngƣợc đƣợc coi là yếu tố khởi đầu, xác định năng lực Toán nói chung ở học sinh. Trên cơ sở tâm lí học vừa nêu ta thấy trong dạy học môn Toán không thể không vận dụng, phƣơng pháp bài toán ngƣợc. Một vấn đề khi đƣợc nhìn nhận đồng thời 2 mặt thuận và đảo thì tính chính xác sẽ đảm bảo tránh tuyệt đối những nghi ngờ, lƣỡng lự. Mà đó là điều quan trọng nhất của việc học Toán. 3.Cơ sở logic: a) Hình vuông logic; Các định lý Toán học dù đƣợc phát biểu dƣới hình thức nào thì về cơ bản đều có thể tách ra thành 2 phần A và B, đồng thời có cấu trúc logic là mệnh đề kéo theo: A=>B Mệnh đề A đƣợc gọi là giả thuyết. Mệnh đề B đƣợc gọi là kết luận. Nếu gọi mệnh đề A => B (1) là mệnh đề thuận thì: ● Mệnh đề : B => A gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề (1) ● Mệnh đề: gọi là mệnh đề phản của mệnh đề (1) SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng |7 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 ● Mệnh đề : gọi là mệnh đề phản đảo của mệnh đề (1) Ta chứng minh đƣợc: Ta có hình vuông logic: b)Đinh lý Gobe: Nhƣ đã biết, nếu mệnh đề thuận A => B đúng thì mệnh đề đảo B =>A có thể đúng và cũng có thể sai. Vấn đề đặt ra trong điều kiện nào, nếu mệnh đề thuận đúng mà không phải đi xem xét tính đúng, sai có thể kết luận ngay trong mệnh đề đảo cũng đúng. Định lý sau đây cho ta cần giải đáp vấn đề đặt ra. * Đinh lý Gobe: Giả sử ta có 1 dãy n các mệnh đề đúng: Ai =>Bi ( i = 1,2,..n) thỏa điều kiện sau: a.Các giả thiết Ai ( i = 1,2,...,n) cũng là tất cả những tình hình có thể xảy ra cùng 1 vấn đề không tƣơng thích. Nghĩa là Ai và Aj (i≠j) không thể đồng thời cùng đúng và bao giờ cũng có 1 cái đúng. b.Các kết luận Bi ( 1 = 1,2,...,n) cũng là tất cả những tình hình có thể xảy ra của cùng 1 vấn đề không tƣơng thích. Khi đó, n mệnh đề đảo Bi => Ai( i = l,2,...,n) cũng đúng. c).Một số hình thức đảo của các mệnh đề có điều kiên phức tạp Thuận Đảo A1A2 =>B • • • Đảo toàn bộ: B => A1A2 Đảo bộ phận: BA1 => A2 Đảo bộ phận: BA2=> A1 A=>B1B2 • • • Đảo toàn bộ :B1 B2 => A Đảo bộ phận: B1 => A Đảo bộ phận: B2 => A A1 v A2 => B • • • Đảo toàn bộ: B => A1 v A2 Đảo bộ phận: B => A1 Đảo bộ phận: B => A2 SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng |8 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 CHƯƠNG II: CÁC PHƯƠNG ÁN ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP BÀI TOÁN NGƯỢC. Nội dung giáo trình toán ở trƣờng phổ thông ở mức độ hoàn toàn cho phép sử dụng "phƣơng pháp bài toán ngƣợc". Chẳng hạn, trong hình học khái niệm định lí đảo đã đƣợc đƣa vào. Ngoài điều đó trong sách giáo khoa đã có các bài tập phát biểu và chứng minh định lí, mệnh đề đảo một số bài toán. Cùng với mệnh đề đảo của các mệnh đề đã cho, các học sinh đã gặp trong khi giải các bài tập giải tích và trong một số chủ đề khác. Tất cả điều đó muốn nói: trong việc dạy học hình học,phƣơng pháp các bài tập đảo của nhau cần đƣợc chú ý đầy đủ. Việc áp dụng phƣơng pháp vào các giờ học đại số và phần đầu giải tích cũng cho phép nắm tốt hơn các phƣơng pháp giải bài tập mặc dù có đặc thù, phƣơng pháp giải riêng. Nhiệm vụ lập các bài toán là đảo của các bài toán đã cho, trong cách giải của chúng trẻ em đã bắt đầu từ cấp I. Làm việc với các bài toán đảo là kinh nghiệm đầu tiên của học sinh khi bình luận (phê phán) toán học tự mình. Rất tiếc thậm chí đến các lớp 4-5, khó phát hiện ra, dù chỉ là các nhận xét cho phƣơng pháp tiến bộ chỉ ra. Để lập đƣợc bài toán đảo, ta đƣa giá trị của các đại lƣợng phải tìm vào phần giả thiết của bài toán, con coi một trong các đại lƣợng đã cho là ẩn. Ví du 1: Cho bài toán thuận:" Từ cùng một địa điểm nhƣng theo hai hƣớng ngƣợc nhau có hai ngƣời đi ra với vận tốc 7Km/h và 8Km/h. Hỏi sau 2 giờ khoảng cách giữa hai ngƣời bao xa?" Giải: Sau 1 giờ hai ngƣời cách nhau: 7+8=15(Km) Sau 2 giờ hai ngƣời cách nhau: 15.2=30(Km) Để lập bài toán ngƣợc ta đƣa đại lƣợng tìm đƣợc (30Km) vào giả thiết. Còn giả sử cần tìm một trong các đại lƣợng chƣa biết, ta nhận đƣợc các bài toán ngƣợc sau: SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng |9 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 Bài toán la: Từ cùng một điểm nhƣng theo hai hƣớng ngƣợc nhau hai ngƣời đi bộ ra với vận tốc 7Km/h và 8Km/h. Hỏi sau bao lâu thì khoảng cách giữa họ là 30Km? Bài toán lb: Từ cùng một điểm nhƣng theo hai hƣớng ngƣợc nhau hai ngƣời đi ra. Sau hai giờ khoảng cách giữa họ là 30Km. Tìm vận tốc ngƣời thứ hai nếu vận tốc ngƣời thứ nhất là 7Km/h? Khi lập bài toán đảo, nếu ta thay đổi hợp lí các giá trị của các đại lƣợng đã cho sẽ làm cho học sinh nhận thức tốt hơn lời giải các bài tập. Ta có thể xem bài toán sau đây là đảo bài toán một: Bài toán lc: Từ một điểm theo hai hƣớng ngƣợc nhau có hai ôtô đi ra với vận tốc 70Km/h và 90Km/h. Sau bao lâu khoảng cách giữa họ là 480Km? Việc lập một bài toán ngƣợc một cách hợp lí không phải đối với tất cả các bài toán. Trong mỗi trƣờng hợp cụ thể, giáo viên nên giải thích mục đích giáo pháp của bài toán ngƣợc. Để học sinh nắm tốt hơn phƣơng pháp giải cần phải đặt cho học sinh các câu hỏi là ngƣợc với bài toán đã giải ở một mức độ xác định. Trong ví dụ qua ta thấy phƣơng pháp các bài toán ngƣợc nhau không dẫn đến việc thay đổi đơn giản các giả thiết và kết luận của bài toán. Xét ví du 2: Cho bài toán thuận:"Có hai vòi nƣớc chảy vào một cái bể. Vòi một chảy đầy bể trong 5 giờ, vòi hai chảy đầy bể trong 7 giờ. a,Nếu hai vòi cùng chảy từ đầu vào bể thì sau bao lâu bể đầy? b,Nếu có một vòi tháo ra trong 25 giờ thì cạn bể. Vậy khi mở cả ba vòi cùng một lúc trong bao lâu bể đầy nƣớc?" Giải: a,Trong một giờ vòi một chảy đƣợc bể. Trong một giờ vòi hai chảy đƣợc bể. Trong một giờ cả hai vòi chảy đƣợc =>Cả hai vòi chảy đầy bể trong: 1: b,Trong 1 giờ vòi vòi 3 tháo ra bể giờ. bể. =>Trong một giờ cả ba vòi chảy đƣợc: bể. =>Cả ba vòi chảy đầy bể trong: SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 10 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 Ta có các bài toán ngƣợc sau: Bài toán 2a: Hai vòi nƣớc cùng chảy vào bể sau giờ thì đầy. Nếu chảy một mình thì vòi 1 chảy đầy bể trong năm giờ. Hỏi: a, Vòi 2 chảy một mình thì thời gian bao lâu để bể đầy. b, Ngƣời ta mở cả hai vòi cùng chảy vào bể nhƣng sau giờ mới đầy bể vì bấy giờ đáy bể có một lổ thủng. Hỏi lổ thủng này có thể làm cạn bể trong mấy giờ? Xét những bài toán này thật thú vị. Muốn lập và giải đƣợc chúng ngƣời học phải có cái nhìn tổng quát, hiểu kĩ và rõ mối liên quan giữa các đại lƣợng. Thật đáng tiếc, trong sách giáo khoa ta không bắt gặp đƣợc những bài toán ngƣợc này. Chẳng hạn ở sách giáo khoa lớp 6 có bài: 7/40: a, Một vòi chảy đầy bể trong 3 giờ. Hỏi trong 1 giờ vòi chảy bao nhiêu phần bể. Một vòi khác chảy đầy bể trong 4 giờ. Hỏi trong 1 giờ vòi chảy bao nhiêu phần bể? b,Nếu 2 vòi chảy chung thì trong mấy giờ đầy bể? 8/40: Một tổ công nhân làm một mình sửa xong một đoạn đƣờng trong 6 giờ. Tổ khác làm một mình thì sửa xong đoạn đƣờng đó trong 5 giờ. Nếu cả hai tổ cùng làm thì trong một giờ sửa đƣợc mấy phần đoạn đƣờng? Ta có thể hƣớng dẫn học sinh cách lập bài toán ngƣợc và yêu cầu làm bài tập. Xét bài toán 9/43: Vận tốc riêng của chiếc thuyền (tức vận tốc thuyền lúc nƣớc yên lặng) là 6,5 Km/h, vận tốc dòng nƣớc là 2,5 Km/h. Hãy tính thời gian mà thuyền xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B dài 18 Km và thời gian mà thuyền ngƣợc dòng từ B về A. Giải: Vận tốc xuôi dòng bằng 6,5+2,5=9 Km/h giờ Vận tốc ngƣợc dòng bằng 6,5-2,5=4 Km/h giờ Ta có những bài toán ngƣợc sau: Bài 9a: Một con thuyền xuôi dòng từ bến A đến bến B dài 18 Km mất 2 giờ. Biết vận tốc dòng nƣớc là 2.5 Km/h. Tìm vận tốc riêng của thuyền và thời gian thuyền ngƣợc dòng từ B về A? SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 11 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 Bài 9b: Một con thuyền ngƣợc dòng từ bến sông B về bến sông A dài 18Km mất 4,5 giờ với vận tốc riêng là 6,5 Km/h. Hãy tìm xem thuyền bị cản bởi vận tốc dòng nƣớc bao nhiêu và tính thời gian thuyền xuôi dòng từ A đến B. Tuy nhiên ta cũng gặp một số bài toán ngƣợc nhau trong sách giáo khoa. Ví dụ: 4/57: Một cái bể hình hộp chữ nhật có chiều cao 1,5 m, chiều rộng bằng 0,8 chiều cao, chiều dài bằng 120% chiều cao. Tim thể tích bể? Thì bài 5/73 là ngƣợc của nó: Một cái bể hình hộp chữ nhật có chiều dài l,8m, chiều rộng bằng 2/3 chiều dài và thể tích là 3,24m3. Tính chiều cao của bể. Ta có thể bổ sung một bài ngƣợc nữa: Một cái bể hình hộp chữ nhật có chiều rộng 1,2 m. Chiều cao bằng 5/4 chiều rộng và thể tích là 3,24m3. Tinh chiều dài bể. Hoặc bài tập 10b/73 là ngƣợc của bài 2/57. Bài 2/57:Trong thùng có 60 lít xăng. Ngƣời ta lấy ra lần thứ nhất 40%, lần hai 3/10 số xăng đó. Hải trong thùng còn bao nhiêu lít xăng? Bài l0b/73:Sau khi lấy thùng đựng xăng ra lần thứ nhất 4/11 thùng, lần thứ hai 2/5 thùng thì còn lại 131ít. Hỏi thùng khi đầy xăng có bao nhiêu lít? Ta thấy các dạng ngƣợc của bài 2/57 là: Bài 5/98: Bài kiểm tra toán lớp 6A sau khi chấm đƣợc xếp thành ba loại, điểm tốt chiếm 25% tổng số bài, số bài điểm khá chiếm 2/3 tổng số bài, số bài loại trung bình là 4 bài. Tim số học sinh của lớp 6A. Bài 10/73:Sau khi cắt lấy 5/9 tấm vải, rồi lấy một/4 tấm vải thì còn mảnh dài 7m. Hỏi cả tấm vải dài bao nhiêu mét? Qua trên ta thấy "phƣơng pháp bài toán ngƣợc"cũng có đƣợc lƣu ý tới nhƣng chƣa đƣợc xây dựng thành hệ thống, chƣa đƣợc phát triển có qui mô. Thông qua ví dụ trên, chúng ta đặt ra câu hỏi: Việc phát biểu và giải các bài toán ngƣợc có thể mang đến cho học sinh ích lợi gì? ● Thứ nhất, thấy ngay đƣợc: kích thích hoạt động tƣ duy học sinh. Học sinh có cảm giác nhƣ tự bản thân mình biết đặt ra đƣợc bài toán mới và giải quyết nó. ● Thứ hai, học sinh hiểu sâu sắc hơn những mối quan hệ có tính qui luật của các đại lƣợng tham gia vào các quá trình có trong dữ kiện bài toán thuận. SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 12 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 ● Thứ ba,hoạt động tƣ duy diễn ra tạo tiền đề thuận lợi và chuẩn bị về mặt tâm lí tốt cho học sinh trƣớc khi đi tới khái niệm "Định lí đảo" mà học sinh sẽ làm quen trong hình học. PHẦN I: PHƯƠNG ÁN ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁPBÀI TOÁN NGƯỢC ( Hình Học) 1. Cấu trúc định lý Để tạo đƣợc bài toán ngƣợc với bài toán đã cho ta lập mệnh đề đảo với định lý đã cho và kiểm tra tính đúng đắn của nó.Vậy ta phải nắm rõ đƣợc cấu trúc của định lý đó. - Mệnh đề toán học mà tính đúng đắn của nó đòi hỏi đƣợc chứng minh gọi là định lý. - Một định lý bất kì đều có thể tách ra phần : giải thích, giả thiết và kết luận. * Phần giải thích: đƣợc tách ra bằng con đƣờng thiết lập các đối tƣợng và các quan hệ mà trên đó giả thiết và kết luận định lý đã cho. Có thể thay đổi phẩn giải thích trong 1 số giới hạn do tính tới giả thiết. Nhƣ vậy, bất kì định lý nào cũng có thể biểu diễn đƣợc dƣới dạng sau: P / "nếu A thì B ", trong đó P : giải thích A: giả thiết B: kết luận Ví dụ: Từ các tia AC và CA trong cấc nửa mặt phẳng khác nhau đối với đƣờng thẳng AC đƣớc đặt các góc bằng nhau. Nếu qua điểm O trung điểm đoạn AC dựng đƣờng thẳng cắt cạnh của các góc ở điểm B và D thì AB = CD. Ở đây: phần giả thích : gạch dƣới giả thiết: BÂC = A ̂ D và OA = OC SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 13 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 Có thể chuyển 1 bộ phận bất kì của giả thiết vào phần giải thích, chẳng hạn AO = OC. Khi đó giả thiết: Khái niệm phần giải thích cần thiết để giải thích 1 số vấn đề logic, gắn liền với định lý đảo. Chúng ta không cần bắt buộc giải thích cho học sinh. Đối với học sinh chỉ cần làm cho các em hiểu đƣợc trong 1 định lý cần tách đƣợc 2 phần : giả thiết và kết luận. Chẳng hạn: lấy ví dụ: *Định lý : " Tổng các góc kể bù bằng 180° " Việc xác định giả thiết và kết luận còn có nghĩa tách ra không tƣờng minh, ở phần giải thích có thể tiến hành qua trò chuyện - Trong định lý này đối tƣợng nào đƣợc xem xét? - Hai góc. - Điều gì đƣợc nói về chúng ? - Nếu chúng kề bù nhau thì tổng 180°. - Giả thiết của định lý là gì ? - Các góc kề bù. - Còn kết luận ? - Tổng các góc bằng 180° Xét ví du khác: " Trong 1 tam giác cân trung tuyến thuộc cạnh đáy là đường cao". * Trong định lý này đối tƣợng nào đƣợc xem xét ? - Tam giác cân và đoạn thẳng nối đỉnh của tam giác này với điểm trên cạnh đối diện * Cái gì là giả thiết của định lý ? - Trung tuyến * Cần chứng minh cái gì ? - Đoạn thẳng là này chiều cao Nhân xét: Ta có thể dịch chuyển sự bằng nhau của các cạnh của tam giác vào giả thiết của định lý. 2. Thiếp lập mệnh đề đảo ; Nếu định lý đã cho đƣợc phát biểu dƣới dạng mệnh đề : ''Nếu A thì B" hay A => B thì định lý đảo sẽ là " nếu B thì A " hay B =>A ngƣợc lại mệnh đề " Nếu A thì B " thì đảo của nó là " nếu B thì A " Do đó để áp dụng thành công " Phƣơng pháp bài toán ngƣợc " cần thiết hình thành cho học sinh thủ thuật tách ra giả thiết và kết luận của SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 14 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 một định lý hay một bài tập nào đó, dạy cho học sinh phát biểu các mệnh đề dƣới dạng " nếu. . thì ". Việc hình thành thủ thuật này xảy ra khi giải bài tập, mặc dù bản thân thủ thuật nhiều khi không đƣợc nhận thức. Khi tách ra giả thiết và kết luận là giai đoạn cần trên đƣờng đi tới nhận đƣợc mệnh đề đảo, thì chú ý của học sinh đƣợc cố định vào chúng 1 cách có mục đích. Sau khi giả thiết và kết luận đƣợc tách ra thì việc phát biểu mệnh đề đảo là hoàn toàn dễ dàng. Ví dụ : Định lý : "Trong một tam giác cân, trung tuyến dựng từ đỉnh là đƣờng cao " Trong các tài liệu giáo khoa, khẳng định tƣơng ứng đƣợc nói rằng: " Trong tam giác cân, trung tuyến dựng từ đỉnh vừa là đƣờng cao và là đƣờng phân giác" thì khẳng định này cần giải thích rõ cho học sinh ở đây có sự hợp nhất ( gộp ) 2 định lý mà 1 định lý đã đƣợc nêu ở trên. • Hãy phát biểu định lý trên dạng " Nếu A thì B "? -" Nếu tam giác là cân thì trung tuyến là đƣờng cao " - Phát biểu mệnh đề đảo ? -" Nếu trong 1 tam giác, trung tuyến là đƣờng cao thì nó là tam giác cân " Ta chứng minh định lý đảo này là đúng cùng 1 hình vẽ khi chứng minh định lý thuận. Nhận thấy, nếu 1 học sinh nhanh ý sẽ lập đƣợc 1 khẳng định: " Nếu trong 1 tam giác trung tuyến là phân giác thì tam giác đó là cân ". Việc chứng minh hoàn toàn có thể. Trong tài liệu các định nghĩa về các dấu hiệu bằng nhau của các tam giác đƣợc dẫn ra 1 số các khác nhau về việc lập mệnh đề đảo của học sinh. Giả sử cho có thể nói gì về các yếu tố của tam giác ? Các học sinh nhận xét rằng ở các tam giác này (theo đn) Các cạnh và các góc tƣơng ứng bằng nhau SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 15 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 Nhận thấy trên hình vẽ : Â = Â1, AB = A1B1 Sau đó ta kẻ phân giác AD, A1D1 ? - AD = A1D1 - Hãy chứng minh ∆ABD = ∆A1B1D1 ( g.c.g Â1 = Â, AB = A1B1, ̂ ̂ ) Dựa trên đó ta có thể phát biểu định lý sau: " Nếu 2 tam giác ABC và A1B1C1 bằng nhau thì ở chúng các góc A = A1, AB = A1B1 và 2 phân giác AD = A1D1" Hãy phát biểu mệnh đề đảo của định lý đã cho : " Nếu trong các tam giác ABC và A1B1C1 có Â = Â1, AB = A1B1 và 2 phân giác AD = A1D1 thì các tam giác này bằng nhau ". Nhƣ vậy, nhờ giáo viên học sinh có thể nhận đƣợc 1 định lý mới và khẳng định nhận đƣợc có trong bài tập 22 SGK: " Chứng minh sự bằng nhau của 2 kim giác theo 2 góc, theo phân giác của góc này và theo cạnh kề với góc này " ( Hình học Horoperol A.B) Không phải định lý nào, mệnh đề đảo của nó cũng cần đƣợc phát biểu, chứng minh. Có thể do tính giá trị của nó không cao và xét theo quan điểm thông tin và giáo pháp chúng không có giá trị. Trong 1 số trƣờng hợp khác, để chứng minh các mệnh đề đảo đỏi hỏi các kiến thức mà học sinh có khi còn chƣa đƣợc học. Do đó, giáo viên cần lƣu ý chƣơng trình các em học mà ta có các yêu cầu phù hợp. Nếu kiến thức chƣa đủ để chứng minh mệnh đề đảo thì chỉ cần yêu cầu phát biểu mệnh đề đảo. Chẳng hạn, đề nghị học sinh ghi các mệnh đề đảo của bài tập: CMR: Trong 1 tam giác cân a) Các phân giác ứng với các đỉnh ở đáy xuống 2 cạnh bên là bằng nhau. b) Các trung tuyến thuộc 2 cạnh bên bằng nhau. c) Các đƣờng cao ứng với các đĩnh ở đáy đến 2 cạnh bên bằng nhau. SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 16 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 Giả thiết là tam giác cân, từ đó ta có các mệnh đề đảo : a. Nếu trong 1 tam giác có 2 phân giác bằng nhau là tam giác cân. b. Nếu trong 1 tam giác 2 trung tuyến bằng nhau là tam giác cân. Ở học sinh lớp 7, ta không yêu cầu kiểm tra tính chính xác của các mệnh đề đảo vì lí do các em chƣa đủ kiến thức để chứng minh. Và đến lớp 8 yêu cầu chứng minh. * Chứng minh mệnh đề đảo a : "Nếu trong 1 tam giác có 2 đƣờng phân giác bằng nhau thì đó cân ". chứng minh; Phƣơng pháp phản chứng giả sử Xét và có : BC=BC (Cạnh chung) BD=CE (giả thiết) (Do và BD và CE là phân giác) (1) (Định lý liên hệ cạnh và góc ) Kẻ là hình bình hành do cân vì ) Mâu thuẫn với giả sử, tƣơng tự cũng sai khi giả sử => tam giác ABC cân tại A. SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 17