Tài liệu Phương pháp ảnh điện

PHƯƠNG PHÁP ẢNH ĐIỆN Vũ Đức Thọ, Nguyễn Văn Huyên- Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định MỞ ĐẦU . Một trong những mục tiêu quan trọng đề ra cho các môn học trong trường phổ thông là ngoài việc trang bị cho học sinh vốn kiến thức, kỹ năng tối thiểu cần thiết, cần phải tạo ra cho học sinh một năng lực sáng tạo để họ có thể đi xa hơn những hiểu biết mà họ đã thu lượm được trong nhà trường. Năng lực đó chính là khả năng giải quyết những vấn đề mà trong quá trình học tập, nghiên cứu và trong cuộc sống đặt ra cho họ, là khả năng tự vạch ra đường đi để đạt tới những nhận thức mới. Để đạt được mục đích đó, chúng ta cần phải nghiên cứu, áp dụng và liên tục đổi mới phương pháp giảng dạy. Hiện nay chúng ta đã sử dụng một số phương pháp dạy học vật lý mang lại những hiệu quả nhất định như phương pháp thực nghiệm, phương pháp tương tự hóa, phương pháp mô phỏng, phương pháp đồ thị... Phương pháp mô hình là một trong những phương pháp nhận thức khoa học được vận dụng vào trong dạy học ở hầu hết các môn học, đặc biệt là trong giảng dạy và nghiên cứu vật lý. Nó thể hiện trước hết ở tính sâu sắc, tính hệ thống của các kiến thức, tạo điều kiện cho học sinh phát hiện những mối liên hệ giữa các hệ thống khác nhau ở các phần khác nhau của vật lí. Nội dung cơ bản của phương pháp mô hình là dựa trên các tính chất khác nhau liên quan đến tính đồng dạng vật lí của các hiện tượng ta có thể thay thế những bài toán khó, phức tạp bằng các bài toán gắn với những hiện tượng đơn giản hơn, đã biết dựa vào tính đồng dạng của chúng. Ảnh điện là một ví dụ cụ thể của phương pháp mô hình áp dụng trong vật lý Nội dung bài viết này được trích từ các chuyên đề mà chúng tôi đã dùng để giảng dạy cho học sinh các lớp chuyên lý và học sinh các đội tuyển HSG của tỉnh tham dự kì thi HSG quốc gia môn vật lý với mục tiêu là giúp học sinh có thói quen nhìn nhận các vấn đề tổng quát và mô hình, những thao tác hết sức cần thiết cho học tập và nghiên cứu. Vận dụng phương pháp này có thể giải được khá nhiều các bài toán thuộc chương trình thi HSG Tỉnh, quốc gia, khu vực, quốc tế thuộc các phần khác nhau của vật lý. PHẦN THỨ NHẤT: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP ẢNH ĐIỆN. 1. Nội dung của những bài toán cơ bản của tĩnh điện học là biết được sự phân bố điện tích trong không gian, ta cần tìm điện thế và cường độ điện trường ở mỗi điểm. Ngược lại, có khi ta biết được giá trị điện thế, hay điện trường ở một số điểm, ta cần tìm sự phân bố điện tích trong không gian, hay giá trị điện thế tại những điểm khác. Về mặt toán học, những bài toán như thế dẫn đến việc giải một số phương trình tổng quát. Đó là các phương trình Poisson và phương trình Laplaxe. 1.1. Phương trình Poisson : �2 �2 �2    2   2 2 0 � x � y � z �2   Hay P 0 (1-1) Trong đó  là điện thế của trường gây bởi các điện tích khối có mật độ P. Còn  là toán tử Laplaxe. 1.2. Trong trường hợp miền khảo sát không có điện tích thì  = 0 và ta có phương trình Laplaxe. 2 = 0 (1-2) Các phương trình (1-1) và (1-2) là các phương trình cơ bản của tĩnh điện học. Để tìm lời giải cho những bài toán tĩnh điện, trong từng trường hợp cụ thể ta còn cần biết những điều kiện biên, điều kiện ở các mặt giới hạn… 2. Trong trạng thái cân bằng tĩnh điện, tất cả các điện tích phân bố trên bề mặt vật dẫn, nên mậtđộ điện tích khối trong vật dẫn cũng như trong không gian giữa các vật dẫn đều bằng 0. Hàm điện thế  trong không gian sinh ra bởi hệ thống các vật dẫn chính là nghiệm của phương trình Laplaxe. Hàm  phải đồng thời thoả mãn các điều kiện biên của bài toán đã cho nghĩa là : 2.1. Bằng các giá trị điện thế cho trước ở các vật dẫn hoặc điện tích trên mỗi vật dẫn tương ứng bằng các giá trị điện tích cho trước ở từng vật dẫn. 2.2. Trong trường hợp có điện môi, hàm điện thế  phải là hàm liên tục và thoả mãn các điều kiện về sự biến thiên của điện trường ở mặt giới hạn chất điện môi : - Theo phương tiếp tuyến : E1t = E2t - Theo phương pháp tuyến : E1n = 2E2n 3. Hàm điện thế  thoả mãn phương trình Laplaxe được gọi là hàm điều hoà, nó có tính chất là giá trị trung bình của  trên mặt cầu bất ký bằng giá trị  ở tâm hình cầu đó. 4. Người ta chứng minh được rằng hàm điện thế  là nghiệm của phương trình Laplaxe và thoả mãn các điều kiện biên sẽ là nghiệm duy nhất. Từ định lý về tính duy nhất này ta rút ra các hệ quả sau : 4.1. Cho trước sự phân bố của một hệ các điện tích. Điện trường do hệ điện tích này sinh ra ở phần bên ngoài các vật dẫn sẽ không thay đổi nếu ta thay thế một tập hợp nào đó có các điện tích đã cho bằng tập hợp các điện tích mới, sao cho điện thế tổng cộng thoả mãn các điều kiện biên đã cho. 4.2. Điện trường của hệ điện tích cho trước sẽ không bị thay đổi nếu ta lấp đầy thể tích được giới hạn bởi một mặt đẳng thế nào đó, có chứa trong nó một điện tích tổng cộng Q bằng một vẫn dẫn điện cũng chứa điện tích Q. 4.3. Một mặt đẳng thế bất kỳ có thể được thay thế bằng một bản dẫn mỏng vô hạn có điện thế tương ứng, trường ở cả hai phía của bản khi đó không thay đổi. 5. Nội dung của phương pháp ảnh điện. 5.1. Vấn đề tính toán trực tiếp trường sinh ra bởi hệ thống các điện tích và các vật dẫn (hoặc các điện môi) là rất khó khăn vì khi có mặt thêm các điện tích hưởng ứng (hoặc các điện tích liên kết) sự phân bố điện tích mặt trở lên phức tạp. 5.2. Để khắc phục khó khăn này ta cần chú ý rằng đặc điểm của điện trường tĩnh điện hoàn toàn được xác định bởi các giá trị điện thế mô tả tính chất của trường tại biên giới giữa các vật dẫn và điện môi khác nhau, lẫn đạo hàm của chúng theo phương pháp tuyến với bề mặt đó. Như vậy nếu ở về một phía của mặt biên, ta làm biến đổi các thông số của môi trường (chẳng hạn thay vật dẫn này bằng vật dẫn khác hoặc điện môi, thay điện môi này bằng điện môi khác hoặc vật dẫn). Rồi ta thiết lập sự phân bố các điện mới đơn giản hơn, sao cho các điều kiện biên hoàn toàn được giữ nguyên như trước. Theo định luật về tính duy nhất ta có thể kết luận rằng: trường ở phía bên kia của mặt biên vẫn không thay đổi. 5.3. Khi đó ta dễ dàng tiến hành mọi tính toán và giải các bài tập tĩnh điện đối với hệ điện tích điểm này. Hệ điện tích vừa được đưa vào như vậy được gọi là điện tích ảnh của các điện tích đã cho. 5.4. Nội dung chủ yếu của phương pháp ảnh điện là xác định được các điện tích ảnh, sau đó ta bước vào giải bài toán tĩnh điện trên hệ điện tích ảnh đã tìm và hệ điện tích điểm ban đầu đã biết. Nghiệm của bài toán cũng là nghiệm duy nhất phải tìm. Như vậy ta đã chuyển bài toán phức tạp có những điện tích phân bố liên tục về bài toán đơn giản chỉ gồm các điện tích điểm bằng cách thay thế hệ vô hạn các điện tích phân bố phức tạp bằng các điện tích ảnh điểm. PHẦN THỨ HAI ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP ẢNH ĐIỆN GIẢI CÁC BÀI TOÁN TĨNH ĐIỆN I. TRƯỜNG GÂY BỞI CÁC ĐIỆN TÍCH PHÂN BỐ TRÊN MẶT GIỚI HẠN LÀ MẶT PHẲNG Bài toán 1: Một điện tích điểm q = 20,0 nc đặt trong chân không cách một thành phẳng bằng kim loại đã nối đất một khoảng a = 50mm. 1. Tìm lực F trong tương tác giữa điện tích q và thành phẳng . 2. Mật độ điện tích hưởng ứng trên mặt vật dẫn. Bài giải : 1. Vì thành phẳng kim loại nối đất nên điện thế của thành phẳng bằng 0. Ta xét phổ đường sức và mặt đẳng thế của một hệ hai điện tích điểm bằng nhau, trái dấu (hình vẽ). Ta thấy mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng nối hai điện tích + q và - q là một mặt đẳng thế, mọi điểm trên mặt phẳng có điện thế bằng 0. Như vậy nếu ta thay mặt đẳng thế này bằng một mặt kim loại phẳng vô hạn (nối đất, lúc đầu không mang điện) thì theo kết quả trên điện trường giữa + q và mặt phẳng sẽ không bị thay đổi, nghĩa là điện trường đã được gây ra bởi các điện tích  trong kim loại trùng với điện trường gây bởi điện tích – q đặt đối xứng với q qua bản kim loại. Điện tích ảo – q gọi là ảnh của điện tích q qua bản kim loại. Vậy lực tương tác giữa q và bản kim loại là : F = F  q2  3,6.104 N 2 16  a Chú ý: bài toán này ta cũng có thể giải bằng phương pháp thông thường như sau: + Trước hết chúng ta tính điện trường E1(x) tạo bởi các điện tích cảm ứng trên thành tại điểm Mx (x > 0) . Do tính đối xứng (thành rộng vô hạn nên E1( x ) có hướng dọc theo trục ox. Ta hãy tính điện thế V1(x) tại M(x) gây bởi các điện tích cảm ứng của thành. Xét điểm M’(x) nằm trong kim loại. Vì thành rộng vô hạn, có thể xem các điện tích cảm ứng chỉ phân bố trên mặt phẳng trung trực của MM’ do đó. Vt(x) = Vt(-x) (1) Điện thế tại M’ là V(-x) = 0 Vì thành nối đất . Hơn nữa V t(-x) là kết quả của sự chồng chất Vt(-x) và Vq(-x) nên: kq ax 0 = V(-x) = Vt(-x) + Vq(-x) = Vt(-x) + Từ (1) và (2)  (2) kq Vt(x) =  (a  x) 2 Do đó E(x) = E  x   dtV( x ) dx  (3) kq kq � E  a   2 2 (a  x) 4a Lực tương tác giữa điện tích q và thành phẳng xác định bởi: F = E(a).q = - kq 2 4a 2 Dấu (-) chứng tỏ F hướng theo chiều âm của ox tức là thành hút điện tích . Ta nhận thấy E(x) giống như một điện trường gây bởi một điện tích điểm – q đặt đối xứng với q qua mặt phẳng . Điều đó cho phép ta áp dụng phương pháp ảnh điện tức là thay toàn bộ điện tích cảm ứng trên thành bằng một điện tích điểm ảnh –q đặt đối xứng với q. 2. Xét trường gây ra tại điểm M nằm trên mặt vật dẫn, cách A một khoảng r. Cường độ điện trường do các điện tích q và -q gây ra tại M có phương, chiều như hình vẽ. Độ lớn : q . 40 r 2 Cường độ điện trường tổng hợp do hệ hai điện tích q và E1  E2  H -q gây ra tại M có phương, chiều như hình vẽ. Độ lớn : E  2 E1cos  qa . 20 r 3 Mật độ điện tích hưởng ứng trên mặt vật dẫn :   0 E  qa . 2r 3 Bài toán 2: Tính điện dung của một dây dẫn hình trụ bán kính R dài vô hạn, mang điện dương, đặt song song với mặt đất và cách mặt đất một khoảng h ( h >> R). Bài giải : Điện phổ của điện trường giữa dây dẫn và mặt đất được biểu diễn như hình vẽ. Áp dụng phương pháp ảnh điện, ta có thể coi điện trường này là do dây dẫn và ảnh của nó qua mặt đất gây nên. Đó là điện trường tổng hợp của hai mặt trụ dẫn điện dài vô hạn tích điện trái dấu gây ra. Có thể sử dụng định lý Ostrograski – Gaox để tính cường độ điện trường do một dây dẫn hình trụ gây ra tại điểm cách trục của dây khoảng r là : E0   R  20r 0r Trong đó : ,  là mật độ điện dài và mật độ điện mặt. R là bán kính hình trụ. Cường độ điện trường tổng hợp do một đoạn dây dẫn hình trụ dài 1 gây ra tại một điểm cách dây mang điện dương một khoảng x là : E q q  20lx 20l (2h  x) Trong đó : q là độ lớn điện tích trên một đoạn dây l Hiệu điện thế giữa hai dây dẫn : V1  V2  2h R 2 h R R R � q q �  �dx �Edx  �� 20lx 20l (2h  x) � � � V1  V2  q 2h ln 0l R Vì hiệu điện thế giữa dây dẫn và ảnh của nó lớn gấp đôi hiệu điện thế giữa hai dây dẫn và mặt đất. Nên hiệu điện thế giữa dây dẫn và mặt đất sẽ là : U  V1  V2 q 2h  ln 2 20l R Coi hệ thống dây dẫn và mặt đất như một tụ điện đơn giản, ta sẽ tính được điện dung của một đơn vị dài của dây dẫn: C q 20l  2h U ln R Bài toán 3 : Một điện tích điểm q đặt tại điểm A cách mặt phẳng phân chia hai môi trường điện môi đồng chất, vô hạn một khoảng a, hằng số điện môi của các môi trường 1, 2. 1. Tìm điện thế  của điện trường. 2. Lực tác dụng lên điện tích q. Bài giải : 1. Khi đặt điện tích q vào trong môi trường điện môi, môi trường sẽ bị phân cực. Điện thế  của trường tĩnh điện khi đó được xác định bằng tổng điện thế 0 gây bởi các điện tích tự do và điện thế ’ gây bởi các điện tích liên kết trong môi trường điện môi. kq  ' 1.r1 1  + Đối với môi trường 1: (1) Trong đó : ’ là điện thế do các điện tích liên kết gây ra còn r 1 là khoảng cách từ điểm quan sát đến điện tích q. Ta cần chú ý rằng điện tích khối trong toàn điện môi  = 0 Mặt khác ta có thể nhận xét thấy rằng, dưới tác dụng của lực điện trường, cả hai điện môi đều bị phân cực với mức độ khác nhau. Sự phân cực có tính chất đối xứng qua trục Oz hạ từ điểm đặt q xuống mặt phẳng. Do tính đối xứng trong toàn không gian mà ta có thể đặt vấn đề là thay các điện tích liên kết trên mặt phân cách bằng điện tích q đặt tại điểm B đối xứng với A qua mặt phân cách. Khi đó :  '  k q 1.r2' (2) Vì rằng trong môi trường hai không có các điện tích tự do nên điện thế 2 có thể viết : k q  2 .r2 2  (3) Do tính liên tục của điện thế trên mặt điện môi nên: 1 z 0 2 (4) z 0 Ta hãy biểu diễn r1, r2 trong hệ trục toạ độ đề các r1  x 2  y 2  ( z  a )2 Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có : k (1  )q 1 x 2  a 2 ;  r2'  x 2  y 2  ( z  a)2 k q 2 x 2  a 2 � (1  )   1 2 (a) Vì trên mặt phân cách không có điện tích liên kết khối nối theo phương tiếp tuyến với mặt phân cách điện trường không đổi, còn thành phần pháp tuyến với mặt phân cách thì : 1E1n = 2E2n (5) Lấy đạo hàm điện thế  theo z tại z = 0 thay vào (5) ta được : 1-= (b) Từ (a) và (b) ta được :  1   2 2 2 ;  1   2 1   2 Cuối cùng : 1  kq (   2 )kq  1 1r1 1 (1   2 )r2' (6) 2  2kq (1   2 ) (7) * Nhận xét : Các hệ thức (6) và (7) nói lên rằng, khi xét điện trường trong môi trường 1 ta đã đem gộp và thay thế tác dụng của các lưỡng cực trên mặt phân cách bằng một điện tích q' = q đặt đối xứng với q qua mặt phân cách với giả thiết toàn không gian là môi trường 1. Còn khi xét điện trường trong môi trường 2 ta đã thay thế tác dụng của các điện tích tự do và các điện tích phân cực trên mặt phân cách bằng một điện tích q'' = q đặt ở vị trí của q. Với giả thiết toàn không gian chứa môi trường 2. 2. Lực tương tác giữa q và lớp điện môi có thể thay bằng lực tương tác giữa q và điện tích q'  1   2 . q là ảnh của nó qua mặt phân cách giữa hai lớp điện môi, với giả thiết toàn 1   2 không gian là môi trường 1. k (1   2 )q 2 F= 1 (1   2 ) . 4a 2 Khi 1   2 , lực F là lực đẩy, như vậy điện tích lúc đầu ở trong môi trường có  lớn sẽ bị đẩy khỏi mặt phân cách và hướng ra xa vô hạn. Khi 1   2 lực F là lực hút. Điện tích lúc đầu ở trong môi trường có  nhỏ bị hút về mặt phân cách, cắt mặt đó rồi đi vào môi trường kia, lúc đó nó bị đẩy khỏi mặt phân cách và đi ra xa vô hạn. II. TRƯỜNG GÂY BỞI CÁC ĐIỆN TÍCH PHÂN BỐ TRÊN MẶT GIỚI HẠN LÀ MẶT CẦU Bài toán 1: Một điện tích điểm q cách tâm quả cầu kim loại bán kính R nối đất một khoảng a. Hãy xác định : 1. Xác định lực tương tác giữa điện tích q và quả cầu. 2. Cường độ điện trường do hệ gồm điện tích q và điện tích hưởng ứng trên bề mặt quả cầu gây ra trong không gian xung quanh và trên mặt cầu. Bài giải : Vì quả cầu nối đất nên điện thế trên mặt quả cầu bằng 0. Trên quả cầu chỉ có các điện tích hưởng ứng âm. Ta có thể thay điện tích hưởng ứng trên mặt quả cầu bằng điện tích - q' sao cho điện thế do q và -q' gây ra trên mặt cầu phải bằng 0, tức là mặt đẳng thế có điện thế bằng 0 sẽ trùng với mặt cầu nối đất. Vì trường có tính chất đối xứng qua trục Oq nên cần phải đặt điện tích -q' ở trên trục này. * Đặt OC = b. Điện thế tại một điểm N bất kỳ trên mặt cầu là : kq kq ' R q'  0 � 1  R2 R1 R2 q + Khi N trùng B thì R1 = R + b ; R2 = R + a R  b q'  Ra q (1) + Khi N trùng A thì R1 = R - b ; R2 = a – R R  b q'  aR q Từ (1) và (2) suy ra : b  (2) R2 qR ; q'  a a (3) Vậy lực tương tác giữa quả cầu và điện tích điểm có độ lớn là : Rq 2 Raq 2 F  (4) 40 a (a  b) 2 4 0 (a 2  R 2 )2 2. Cường độ điện trường do điện tích q và điện tích hưởng ứng trên bề mặt ưủa cầu gây ra trong không gian xung quanh là : uu r E uu r q ur q R  R ' 40 R 3 40 R '3 Trong đó : R, R’ khoảng cách từ điện tích q và q’ đến điểm quan sát. Cường độ điện trường do q và –q’ gây ra tại N trên mặt cầu có phương, chiều như hình vẽ. Độ lớn : E1  q' q ; E2  2 40 R1 40 R22 (5) Cường độ điện trường tổng hợp do các điện tích gây ra tại N trên mặt cầu có phương vuông góc với mặt cầu, chiều hướng vào tâm. Độ lớn : E E12  E22  2 E1E2Cos � N  CNM � (6), trong đó   EE 1 E1 q ' R22 R2 R   � E1  2 E2 Từ phương trình (3) và (5) ta có : 2 E2 qR1 R1 R1 Trong tam giác CNM có: Từ (6), (7), (8) và để ý  a b  R12  R22  2 R1R2Cos R1 q' R   R2 q a R2 kq (a  ) aR kq a E E2  2 � R R1 R2 R2 a (7) (8) ta được : � E kq (a 2  R 2 ) RR23 Nhận xét : + Nếu quả cầu không nối đất và không mang điện thì điện tích trên nó phải đảm bảo luôn luôn bằng 0 và mặt cầu phải có điện thế không đổi. Như vậy điều kiện biên của bài toán sẽ là (mặt cầu) = const và Q(mặt cầu) = 0 (9) Dựa vào kết quả bài toán trên, để thoả mãn điều kiện biên ta có thể thay thế quả cầu bằng điện tích q' =  qR qR đặt ở C và thêm điện tích q'' = - q' = đặt ở tâm quả cầu. Như vậy a a điện tích q'' đảm bảo cho điện thế trên mặt quả cầu  (mặt cầu) = const khác 0. Còn điện tích trong mặt cầu bằng nhau và trái dấu. Bài toán 2: Một hạt khối lượng m, tích điện q quay quanh quả cầu dẫn điện bán kính r, tích điện Q. Quĩ đạo của hạt là đường tròn bán kính R và tâm trùng với tâm quả cầu. Tính tốc độ góc quay của hạt. Bài giải Ta có thể coi trường tạo bởi điện tích q , điện tích Q và các điện tích hưởng ứng như là trường tạo bởi hệ của 3 điện tích : q, điện tích q '   qr qr đặt ở C và điện tích Q  đặt ở R R tâm hình cầu Theo kết quả bài toán trên, điện tích q ' đặt tại C, cách tâm O một đoạn d  r 2 / R Lực tác dụng lên điện tích q có độ lớn: F q q' 40  R  d  �F   2 q 2 rR  40 R 2  r 2 q(Q  q ' ) 40 R 2  2  q (QR  qr ) 40 R 3 ur F luôn hướng vào tâm O đóng vai trò của lực hướng tâm � q 2 rR  40 R 2  r 2 �   2  q (QR  qr )  m2 R 3 40 R � q � qr 40 m �R 2  r 2 � �   2 � (QR  qr ) �  40 R 4 � � � Bài toán 3: Một mặt phẳng dẫn điện nối đất có một chỗ lồi lên hình bán cầu bán kính a. Tâm bán cầu nằm trên mặt phẳng. điện tích điểm q nằm trên trục đối xứng của hệ và cách mặt phẳng một khoảng b (b > a). Xác định điện thế  và điện tích hưởng ứng ở chỗ lồi lên. Bài giải 1. Ta có thể coi trường tạo bởi điện tích q và các điện tích hưởng ứng trên bề mặt kim loại như là trường tạo bởi hệ của 4 điện tích : + Điện tích q. + Điện tích – q1 là ảnh của điện tích q qua mặt phẳng dẫn điện, cách mặt phẳng dẫn điện một khoảng b. + Điện tích – q2 là ảnh của điện tích q qua mặt cầu bán kính a, Cách tâm mặt cầu một khoảng b' = qa a2 , độ lớn điện tích q2  b b + Điện tích +q'2 là ảnh của điện tích – q2 qua mặt phẳng dẫn điện. Với q' 2 = q2 = mặt phẳng dẫn điện một khoảng b' = a2 b q q q' q  k 2 k 2  r1 r2 r3 r4 Điện thế  của trường : ( M )  k �1 1 a �1 1 �� Hay : ( M )  kq �   �  �� r1 r4 b �r2 r3 �� � 2. Các véc tơ cường độ điện trường do các điện tích q, – q2, q’2, -q1 gây ra tại điểm N (x,0,0) trên mặt phẳng của vật dẫn có phương, chiều như hình vẽ. Độ lớn : E1  E2  kq kq ; E3  E4  2 2 r1 r2 Cường độ điện trường tổng hợp có phương vuông góc với mặt vật dẫn, có chiều như hình vẽ. Độ lớn : E  2  E1cos  E2cos  Từ hình vẽ : cos  b x2  b2 Từ đó : b' ; cos  E b x 2  b '2 2kqb 2  x2  3/2 2kq ' b '   b' 2  x2  3/2 qa a2 với q '  ; b '  b b + Điện tích hưởng ứng trên mặt vật dẫn : � � a a Q� ds  � 0 Eds . Với ds = 2xdx ; 4k0 = 1 � qbx � Q� 2 2 a b x  �  3/2 q 'b ' x dx  � dx 2 2 3/2 a b'  x Lấy tích phân ta được: Q  q  b2  a 2 b a 2  b2 Điện tích hưởng ứng ở những chỗ lồi lên:  qa , cách b Q '  ( q  Q)  q (1  b2  a 2 2 b a b 2 ) III. TRƯỜNG GÂY BỞI CÁC ĐIỆN TÍCH PHÂN BỐ TRÊN MẶT GIỚI HẠN LÀ MẶT TRỤ Bài toán 1 : Một dây dẫn thẳng, dài vô hạn được tích điện với mật độ điện dài , đặt song song với trục của một hình trụ có bán kính r mang điện - trên một đơn vị độ dài. Khoảng cách giữa dây dẫn và trục hình trụ bằng a. 1. Xác định lực tác dụng lên một đơn vị độ dài của dây dẫn. 2. Tìm điện thế, cường độ điện trường do hệ sinh ra trên mặt trụ. 3. Tìm phân bố điện tích mặt trên mặt trụ . Bài giải : + Mặt trụ ở trạng thái cân bằng điện là một mặt đẳng thế. Mọi điểm trên mặt có cùng điện thế. + Mặt đẳng thế của hai dây dẫn thẳng, dài vô hạn mang điện  và - trên một đơn vị độ dài là những mặt trụ bao quanh các dây. Như vậy ta có thể thay mặt trụ tích điện bằng một dây dẫn thẳng, dài vô hạn mang điện - đặt ở vị trí nào đó bên trong hình trụ và song song với trục hình trụ sao cho mặt đẳng thế do hệ hai dây gây ra trùng mặt trụ. Khi đó trường do hệ gây ra trong không gian không thay đổi. Gọi b : khoảng cách giữa hai dây  và - Cường độ điện trường do một dây dẫn dài vô hạn gây ra tại một điểm M là : E   (1) 20 R Trong đó R : khoảng cách từ dây dẫn đến điểm quan sát M. Ta chọn  ở khoảng cách R0 >> b bằng 0 thì : + Điện thế do dây dẫn gây ra tại một điểm :  R0 Edr   � R  R ln 20 R0 (2) + Điện thế do hai dây gây ra tại M trên mặt trụ :   20 � R1  R R � ln 2 (3)  ln  ln 2 �    � 20 R1 R0 � � R0 + Khi M  A thì R1 = a – r, R2 = r – (a – b)    20 � r  (a  b) � ln � � � ar � (4) + Khi M  B thì R1 = a + r, R2 = r + (a – b)    20 � r  (a  b) � ln � � (5) � ar � r  ( a  b) r  ( a  b )   r2 = a(a – b) (6) ar ar Từ điều kiện mặt đẳng thế cho ta : Như vậy : ta có thể thay thế mặt trụ bán kính r tích điện đều -  đặt cách một dây dẫn thẳng dài vô hạn mang điện  trên một đơn vị dài một khoảng a bằng một dây dẫn mang điện - trên một đơn vị dài đặt ở khoảng cách b = (a2 – r2)/a . 1. Lực tác dụng lên một đơn vị dài của dây:   2a F   (7) 20b 20 (a 2  r 2 ) 2. Điện thế do hệ gây ra tại một điểm trên mặt trụ : Thay b = (a2 – r2)/a ta được:    20 � r  (a  b) � ln � �(8) � ar �  r ln (9) 20 a 3. Cường độ điện trường do hệ điện tích gây ra tại điểm M trên mặt trụ : uu r uur uuu r E  E1  E2 (10) Trong đó : E1, E2 là cường độ điện trường do các điện tích gây ra tại M . E1    ; E2  (11) 20 R1 20 R2 Cường độ điện trường tổng hợp có phương vuông góc với mặt trụ, chiều hướng vào trong. Độ lớn : E E12  E22  2 E1E2Cos Với : E1  � (12) . Trong đó   CMN R2 b E2 và b  R12  R22  2 R1R2Cos ta tìm được : E  R1 20 R1R2 Mật độ điện tích liên lết mặt :   0 E  b 2R1R2 Bài toán 2: Trường tĩnh điện tạo bởi hai hình trụ dẫn điện có các trục song song, bán kính R1, R2 và có mật độ điện dài là . Khoảng cách giữa hai trụ là l. Tìm điện dung tương hỗ của các hình trụ trên một đơn vị độ dài. Bài giải: Vì các mặt trụ là các mặt đẳng thế. Ta có thể thay thế các mặt trụ tích điện này bằng các dây dẫn thẳng dài vô hạn mang điện  sao cho các mặt đẳng thế trùng với mặt trụ. Khi đó trường bên ngoài các hình trụ không thay đổi. Gọi b : khoảng cách giữa hai dây  và -. a1 : khoảng cách giữa dây - và o1 ; a2 : khoảng cách giữa dây - và o2 Theo kết quả bài toán trên ta có : R12  a12  a1b ; R22  a22  a2b Từ hình vẽ : a1 + a2 – b = l Giải các phương trình trên ta được : b  2 c 2  R12 l 2  R12  R22 Trong đó : c  2l + Điện thế do hệ điện tích gây ra tại mặt trụ R 2 xác định theo công thức : 2   R ln 2 20 a2 + Điện thế do hệ điện tích gây ra tại mặt trụ R 1 là : 1   a ln 1 20 R1 + Hiệu điện thế hai mặt trụ : 1  2   aa ln 1 2 20 R1R2 Điện dung tương hỗ giữa hai mặt trụ trên một đơn vị độ dài : � l  l  b   R12  R22 20  C   2 0 � ln 1  2 ln a1a2 2 R1R2 � R1R2 � � � l  l  b   R12  R22 ; a1a2  2 PHẦN THỨ BA BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Một lò xo nhẹ, cách điện, một đầu gắn chặt vào giá cố định, đầu còn lại treo quả cầu kim loại nhỏ khối lượng m, tích điện q. Hệ được đặt trong không khí và khi cân bằng quả cách một thành phẳng bằng kim loại đã nối đất một khoảng a (hình vẽ) 1. Từ vị trí cân bằng người ta kéo quả cầu xuống dưới, cách VTCB một đoạn x0 ( x0  2a ) rồi thả nhẹ. Chứng minh quả cầu dao động điều hòa. Lập biểu thức tính chu kì và viết phương trình dao động của quả cầu. 2. Nghiên cứu sự biến đổi mật độ điện tích hưởng ứng trên mặt vật dẫn tại điển M cách vị trí cân bằng của quả cầu khoảng 2a. Bài giải : 1. Khi quả cầu cách mặt phẳng khoảng r, theo kết quả bài toán 1, lực tương tác giữa điện tích q và bản kim loại là : F  q2 16 0 r 2 Chọn trục Ox thẳng đứng hướng xuống, gốc O tại VTCB của quả cầu + Vị trí cân bằng, gọi l : độ biến dạng của lò xo P  F  Fdh  0 � mg  q2  k l  0 16 0 a 2 (1) + Khi quả cầu có li độ x. Phương trình động lực học mg  q2 4 0  2a  x  � mg  2  k  l  x   mx " q2 2 � x � 16 0 a 2 � 1 � � 2a �  k  l  x   mx " (2) 2 x � x � Ta chỉ xét dao động nhỏ (x << 2a). Khi đó � 1  � �1  a � 2a � q2 � x� 1 �  k  l  x   mx " Thay vào (2) được: mg  2 � 16 0 a � a � � � q2 q2 �� mg   k l �  x  kx  mx " 3 � � 16 0 a 2 � � 16 0 a (3) �k q2 q2 x  kx  mx " � x "  � Từ (2) và (3) � �m  16 m a 3 16 0 a3 0 � Đặt   T � � �x  0 � k q2  � x "  2 x  0 � quả cầu dao động điều hòa với chu kì 3 m 16 m0 a 2 k  2 �  m 1 1 q2 16 k 0 a 3 T0  1 , trong đó T0 là chu kì dao động khi quả q2 16 k 0 a 3 cầu không tích điện. Phương trình dao động x  A cos  t    . � �x  0   x0 ޮ Từ điều kiện ban đầu: � v  0  0 � �A  x0 �  0 � x  x0 cos t 2. Xét trường gây ra tại điểm M nằm trên mặt vật dẫn, ở thời điểm t, cách quả cầu khoảng r. Cường độ điện trường do các điện tích q và -q gây ra tại M có phương, chiều như hình vẽ. Độ lớn : E1  E2  k q r2 Theo kết quả bài 1, mật độ điện tích hưởng ứng trên mặt vật dẫn :   0 E  1 2kqa qa � 3  . 4k r 2r 3 H + Khi quả cầu ở vị trí cân bằng thì r  a � 0  q và HM  16a 2  2a  2  a 2  a 3 + Khi quả cầu có li độ x thì: r  a 3 2   a  x   4a 2  2ax  x 2 �2a 1  2 3/2 x 2a q � x � � 3x � Khi đó   1  � �0 � 1  �� mật độ điện tích tại M cũng biến đổi tuần 2� 16a � 2a � � 4a � hoàn. � 3 x0 � 1 + max  0 � �� x  x0 � quả cầu ở vị trí thấp nhất � 4a � � 3 x0 � 1 + min  0 � �� x   x0 � quả cầu ở vị trí cao nhất � 4a � Bài 2 : Một quả cầu nhỏ khối lượng m, điện tích q ban đầu được giữ ở vị trí thẳng đứng, cách một mặt phẳng kim loại rộng vô hạn, có mật độ điện mặt  một khoảng h. Thả quả cầu cho nó chuyển động. Hãy nghiên cứu chuyển động của quả cầu. Bài giải : Vì bản rộng vô hạn nên có thể coi điện trường do bản gây ra là điện trường đều, có phương vuông góc với bản, có cường độ :  2 0 Lực điện do bản kim loại tác dụng lên điện tích q là tổng hợp của lực do điện trường E= E tác dụng lên q và do điện tích hưởng ứng tác dụng lên. + Lực do điện trường E tác dụng lên q là lực đẩy, hướng ra xa bản và có độ lớn : q 20 Lực do điện tích hưởng ứng tác dụng lên q bằng lực tác dụng giữ điện tích q và điện F1  qE  tích – q là ảnh của q qua mặt phẳng vô hạn. Lực này là lực hút, nó có hướng ra xa bản và có độ lớn : kq 2 F2  4d 2 Trong đó : d – khoảng cách từ q đến bản kim loại. Cuối cùng lực điện tổng hợp tác dụng lên bản kim loại F  F1  F2  .q kq 2  20 4d 2 * Vị trí cân bằng : P = F  .q kq 2  mg = 20 4d 02 k 0 q 2 2  q  40 mg + Nếu h < d0 quả cầu chuyển động xuống và bị hút vào bản kim loại.  d0  + Nếu h = d0 quả cầu ở vị trí cân bằng. + Nếu h > d0 quả cầu chuyển động ra xa bản kim loại. Bài 3 : Một điện tích q đặt trong một điện môi đồng chất và cách mặt phẳng phân chia điện môi và một vẫn dẫn rộng vô hạn một khoảng a. Tìm điện thế  trong điện môi, phân bố điện tích hưởng ứng  trên bề mặt kim loại. Bài giải : Khi đặt điện tích q trong điện môi do ảnh hưởng của điện môi mà cường độ điện trường E và điện thế  đều giảm đi  lần. Như vậy khi kể đến ảnh hưởng của điện môi thì điện tích q trong điện môi tương đương với điện tích q' = q trong chân không. Sử dụng phương pháp ảnh  điện ta có thể thấy điện thế  do điện tích q' gây ra tại một điểm trong không gian có kể đến các điện tích hưởng ứng trên kim loại là : kq ' kq ' kq kq    r1 r2 r1 r2 Trong đó : - q : là ảnh của điện tích q' qua mặt bản kim loại  + Cường độ điện trường trên bản kim loại, do tính chất đối xứng của q' và - q' nên véctơ cường độ điện trường E theo phương pháp tuyến với mặt bản và có độ lớn: E 2kq 2kqa . cos   2 r r 3 Mật độ điện mặt  được các định từ định lý Ôxtrô - Graxtki – Gaus 20 kqa qa  3. 3 r r Bài 4 : Một quả cầu dẫn điện bán kính R 1 đặt trong một  = 0.E.  =>   điện môi đồng chất có hằng số điện môi 1. Bên trong quả cầu có một lỗ hổng hình cầu bán kính R 2 chứa đầy điện môi đồng chất hằng số điện môi 2. Trong lỗ hổng có một điện tích điểm q ở cách tâm nó một khoảng a (a < R2). Tìm thế của điện trường trong toàn không gian. Bài giải :