Tài liệu [phuoc] dktu&tn

ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU VÀ ĐIỀU KHIỂN THÍCH NGHI Điều khiển tối ưu là gì? yr Điều khiển để có được một chỉ tiêu chất lượng cho trước là tốt nhất. Bộ điều khiển tối ưu u* y Đối tượng điều khiển * 1. Tối ưu off-line: Xác định tín hiệu u (t ) * 2. Tối ưu on-line: Xác định bộ điều khiển u (x , w ) Chất lượng được đánh giá bằng giá trị của hàm mục tiêu N T J   g (x , u )dt  min hoặc J   g (xk , uk )  min 0 k 0 Điều khiển thích nghi là gì? yr Chỉnh định tham số điều khiển Tối ưu tham số mô hình Bộ điều khiển Đối tượng điều khiển u y Điều khiển khi mô hình không chính xác hoặc luôn bị thay đổi cũng như khi có nhiễu tác động vào hệ thống. Nội dung bài giảng là những kiến thức cơ bản của điều khiển tối ưu, điều khiển thích nghi cũng như một số kết quả nghiên cứu riêng của tác giả, được đánh dấu bằng (*) GS. Nguyễn Doãn Phước 1 Tối ưu hóa Phát biểu bài toán và phân loại Tối ưu hóa p*  arg min J (p ), p   p1 ,  , pn  T p P 1. Không ràng buộc, nếu P  Rn . Khi đó nó được viết thành: p*  arg min J ( p ) 2. Có ràng buộc, nếu P  Rn 3. Lồi, nếu P là tập lồi và J (p ) là hàm lồi Những phương pháp cơ bản Không ràng buộc: Có ràng buộc: 1. Gradient 2. Newton-Raphson 3. Gauss-Newton 1. QP 2. SQP 3. Interior point Ứng dụng vào điều khiển 1. Nhận dạng tham số mô hình 2. Xác định tham số tối ưu cho bộ điều khiển 3. Điều khiển dự báo GS. Nguyễn Doãn Phước 2 Ứng dụng tối ưu hóa Nhận dạng tham số mô hình đối tượng điều khiển Zadeh (1962): Nhận dạng là xác định một mô hình toán cụ thể cho hệ thống từ lớp các mô hình thích hợp, trên cơ sở quan sát các tín hiệu vào ra, sao cho sai lệch giữa nó với hệ thống là nhỏ nhất. Phát biểu bài toán nhận dạng on-line 1. Hàm truyền G (z )  b0  b1z 1    bm z m u Đối tượng điều khiển uk N0 y yk N0 Thuật toán nhận dạng đối tượng Kết quả: Mô hình toán của đối tượng 1  a1z 1    an z n 2. Đo tín hiệu vào ra uk , yk , k  1,  , N rồi từ đó xác định các tham số của mô hình là b0 ,  ,bm ,a1 ,  ,an sao cho kỳ vọng (giá trị trung bình) của bình phương sai lệch giữa mô hình với đối tượng là nhỏ nhất. Chú ý: Phải đảm bảo tín hiệu vào ra đo được là đang ở giai đoạn quá độ của hệ thống GS. Nguyễn Doãn Phước 3 Nhận dạng on-line tham số mô hình hàm truyền Hai trường hợp áp dụng: 1. Khi nhiễu là có thể bỏ qua được (không có nhiễu) 2. Khi có nhiễu vào ra là egodic, không tương quan với tín hiệu vào ra tương ứng và bản thân 2 nhiễu đó cũng không tương quan với nhau. Khi không có nhiễu  p *  X T DX nu  1 uk X T Dy trong đó: p  col a1 ,  ,an , b0 ,  , bm   y  col y1 ,  , yN  , X  col x T1 ,  , x TN a1 ,  ,an b0 ,  ,bm  ny Đối tượng điều khiển Thuật toán nhận dạng x Tk  yk 1 ,  , yk n , uk ,  , uk m  và D  diag (di ) là ma trận trọng số Khi có nhiễu vào ra (*) T Sử dụng lại công thức trên, trong đó các vector x k , y được thay bởi dãy giá trị hàm tương quan của các tín hiệu vào ra:   y  col ruy (0),  , ruy (N / ) với N /  N 5  xTl  col ruy (l  1),  , ruy (l  n ), ru (l ),  , ru (l  m ) GS. Nguyễn Doãn Phước  4 yk Ứng dụng tối ưu hóa uk yk Đối tượng điều khiển Quan sát trạng thái tối ưu xk 1. Mô hình trạng thái  x k 1  Ax k  Bu k Bộ quan sát tối ưu  yk  C x k  Du k 2. Đo tín hiệu vào ra u k i , y , i  0,1,  , N trong quá khứ rồi từ đó xác định trạng k i thái của hệ x k ở thời điểm hiện tại t  kTa sao cho tổng bình phương sai lệch giữa trạng thái quan sát được và trạng thái thực là nhỏ nhất. Kết quả: x k  AN trong đó   u k N  1  X T X X T a  AN 1B ,  , AB , B   u k 2   u k 1     y k N   D   C       D  y k N 1   CB  CA      X    , a        N 1    y  CAN  2B CAN 3B CA   k 1   N 1  N   y   CA B CAN  2B  CA   k  GS. Nguyễn Doãn Phước          u k N      u k N 1          D    u k 1   CB    CAB CB D   u k           5 Ứng dụng tối ưu hóa Quan sát trạng thái Kalman 1. Mô hình trạng thái  x k 1  Ak x k  Bk u k  n k  yk  C k x k  Dk u k  v k 2. Đo tín hiệu vào ra u k , y ở thời điểm hiện tại rồi từ đó xác k định trạng thái của hệ sao cho kỳ vọng của tổng bình phương  sai lệch giữa trạng thái quan sát được x k và trạng thái thực x k nk uk  xk vk Đối tượng điều khiển Bộ quan sát tối ưu Kalman là nhỏ nhất. Kết quả: 1. Chọn K 0 tùy ý. Thực hiện lần lượt bước tính sau với k  1, 2,  2. Tính Pk  Ak 1Kk 1AkT1  N  Lk  PkC kT C k PkC kT V với N là ma trận tương quan của nhiễu n k  1 với V là ma trận tương quan của nhiễu v k Kk  I  LkC k  Pk  x k/  Ak 1x k 1  Bk 1u k 1   x k  (I  LkC k )x k/  Lk (y k  Dk u k ) và xuất x k làm trạng thái quan sát được GS. Nguyễn Doãn Phước 6 yk Ứng dụng tối ưu hóa Điều khiển dự báo Nguyên lý chung: Bộ điều khiển gồm 3 khối: 1. Khối mô hình dự báo: Có nhiệm vụ dựa vào mô hình toán của đối tượng để xác định tín hiệu ra tương lai yk i , 0  i  N phụ thuộc vào dãy các giá trị tín hiệu điều khiển tương lai u k ,  , u k N 2. Hàm mục tiêu J (p ), p  col (u k ,  , u k N ) được xây dựng từ chỉ tiêu chất lượng muốn có của hệ. Chẳng hạn: Cửa sổ dự báo k k 1 k N t N J (p )   (w k i  y k i )T Q (w k i  y k i )  uTk i Ru k i  i 0 khi chất lượng yêu cầu là bám ổn định, trong đó Q , R là hai ma trận đối xứng xác định dương tùy chọn. * 3. Tối ưu hóa: Là thuật toán tối ưu được áp dụng để tìm nghiệm p  arg minN J (p ) . Trong số nghiệm tối ưu p *  col (u *k ,  , u k* N p U * ) tìm được thì chỉ sử dụng phần tử đầu tiên u k GS. Nguyễn Doãn Phước 7 Ứng dụng tối ưu hóa Điều khiển dự báo hệ tuyến tính Mô tả bài toán: Cho hệ tuyến tính  x k 1  Ax k  Bu k  y k  C x k  Du k  v k với nhiễu v k Xây dựng bộ điều khiển dự báo để tín hiệu ra y k bám theo tín hiệu mẫu w k Kết quả: Sử dụng hàm mục tiêu: J ( p )  N  qi (y k i  w k i )2  ri uk2i   min i 0 sẽ được u k   I , 0,  , 0  p trong đó  p   TQ   R  1 TQ  x k  w   CAN 1  CAN  2B   N 2   N 3   CA B  ,   CA   ,            C   D     Q  diag qi  , R  diag ri   wk  w w   k 1     w k N   uk    , p   u k 1        u k N GS. Nguyễn Doãn Phước  CB D    D 0      0 0  8 Điều khiển tối ưu Phát biểu bài toán Bài toán liên tục: Xét hệ x  f (x , u ) . Hãy xác định u (t ) U đưa hệ đi từ x 0  x (0) tới x T  x (T ) trong khoảng thời gian T T để với nó có được J (u )   g (x , u )dt  min 0 Bài toán không liên tục: Xét hệ x k 1  f (x k , u k ) . Hãy xác định {u k } U đưa hệ đi từ x 0 tới x N thời gian trong khoảng N N để với nó có được J (u )   g (x k , u k )  min k 0 Phân loại 1. Theo trạng thái đầu là cho trước hoặc bất kỳ 2. Theo trạng thái cuối là cho trước hoặc bất kỳ 3. Theo thời gian xảy ra quá trình tối ưu là cho trước hoặc cũng là biến tối ưu cần tìm GS. Nguyễn Doãn Phước 9 Điều khiển tối ưu Phương pháp biến phân Chủ yếu áp dụng cho bài toán liên tục. Ngoài ra khoảng thời gian T là phải cho trước, trong khi trạng thái đầu và cuối thì có thể cho trước hoặc bất kỳ. Tập ràng buộc phải hở. Các bước thực hiện: 1. Lập hàm Hamilton: H (x , u , p )  pT f (x , u )  g (x , u ) với p là biến đồng trạng thái 2. Xác định quan hệ u (x , p ) từ điều kiện cần: H  0T u T  H  3. Sử dụng thêm quan hệ Euler-Langange p      x   điều kiện biên: p (0)  0 khi có điểm trạng thái đầu trong đó biến p phải thỏa mãn x 0 là bất kỳ p (T )  0 khi có điểm trạng thái cuối xT là bất kỳ Tính chất cơ bản của hàm Hamilton: Dọc theo quỹ đạo tối ưu thì hàm Hamilton sẽ: 1. Có giá trị là hằng số 2. Nếu xT là bất kỳ và T   thì có giá trị bằng 0 GS. Nguyễn Doãn Phước 10 Điều khiển tối ưu Bộ điều khiển LQR liên tục Với bài toán có hệ là tuyến tính, hàm mục tiêu dạng toàn phương và T   :    x  Ax  Bu , J (u )   xTQx  uT Ru dt , Q  QT  0, R  RT  0 0 thì tín hiệu điều khiển tối ưu có dạng on-line: u  R 1BT Px của phương trình đại số Riccati T trong đó P  P  0 là nghiệm PBR 1BT P  AT P  PA  Q u Bộ điều khiển LQR: RLQR  R 1BT P Một số điều kiện đủ để hệ kín ổn định: x Đối tượng tuyến tính Bộ điều khiển LQR T 1. Khi bài toán có Q  Q  0 2. Khi nghiệm phương trình Riccati có P  PT  0 T 3. Khi cặp ma trận (A,Qa ) là quan sát được, trong đó Q  Qa Qa 4. Luôn có Qa i  0 với mọi vector riêng bên phải a i của A GS. Nguyễn Doãn Phước 11 Điều khiển tối ưu Ứng dụng LQR vào điều khiển dự báo hệ song tuyến (*) Bài toán: Cho hệ song tuyến  x  A(x )x  B (x )u  y  C (x )x  D (x )u k t tk tk 1 và tín hiệu mẫu w (t ) . Hãy tìm bộ điều khiển phản hồi trạng thái để tín hiệu ra theo được tín hiệu mẫu. y (t ) bám Kết quả: Vì nguyên tắc điều khiển dự báo làm việc theo vòng lặp và mỗi vòng lặp cần có một khoảng thời gian  k để thực hiện, mặc dù rất nhỏ, nên khi tk  t  tk 1  tk  k ta có thể xấp xỉ hệ đã cho về hệ có tham số biến đổi theo thời gian như sau: x  Ak x  Bk u trong đó Ak  A  x (tk )  , Bk  B  x (tk )  , C k  C  x (tk )  , Dk  D  x (tk )  1. Tại thời điểm tk đo x k  x (tk ) và tùy chọn Qk , Rk đối xứng xác định dương 2. Tính x s , u s thỏa mãn 0  Ak x s  Bk u s 1 T 3. Xác định RLQR  Rk Bk P và w (tk )  C k x s  Dk u s 1 T T với PBk Rk Bk P  Ak P  PAk  Qk 4. Đưa u  RLQR (x  x s )  u s vào điều khiển và quay về 1. để tính u tại thời điểm tk 1 GS. Nguyễn Doãn Phước 12 Điều khiển tối ưu Phương pháp quy hoạch động (Bellman) Chủ yếu áp dụng cho bài toán không liên tục. Ngoài ra khoảng thời gian trong khi trạng thái đầu và cuối thì có thể cho trước hoặc bất kỳ. N là phải cho trước, Nguyên lý Bellman: Mỗi đoạn cuối của quỹ đạo tối ưu cũng tối ưu Hàm con Bk (x k )  min ui N 1  g (x i , ui ) được gọi là hàm Bellman i k Theo nguyên lý tối ưu thì: Bk (x k )  min g (x k , uk )  Bk 1 (x k 1 ) uk Các bước thực hiện: 1. Gán BN (x N )  0 và k  N  1   * 2. Tính u k (x k )  arg min g (x k , u k )  Bk 1 f (x k , u k )  uk  *  * và từ đó là Bk (x k )  g (x k , u k )  Bk 1 f (x k , u k ) 3. Nếu  k  0 thì gán k  k  1 và quay về 2. Ngược lại thì dừng GS. Nguyễn Doãn Phước 13 Điều khiển tối ưu Bộ điều khiển LQR không liên tục Với bài toán có hệ là tuyến tính, hàm mục tiêu dạng toàn phương:  N 1 T x k 1  Ax k  Bu k , J  x N 1Lx N 1   x Tk Qx k  uTk Ru k 2 k 0  trong đó N có thể là hữu hạn N   hoặc vô hạn N   , thì tín hiệu điều khiển tối ưu có  dạng on-line: u   R  BT P B k 1 k đại số Riccati:  1 BT Pk 1Ax k trong đó Pk là nghiệm của phương trình  T T T 1. Khi N là hữu hạn: Pk  Q  A Pk 1A  A Pk 1B R  B Pk 1B  1 BT Pk 1A trong đó: PN 1  L 2. Khi N là vô hạn thì có thể gán Pk  P , k và L   với P là nghiệm của: T T  T P  Q  A PA  A PB R  B PB  1 BT PA GS. Nguyễn Doãn Phước 14 Điều khiển tối ưu Ứng dụng quy hoạch động vào điều khiển dự báo hệ song tuyến (*) Bài toán: Cho hệ song tuyến  x k 1  A(x k )x k  B (x k )u k  y k  C (x k )x k  D (x k )u k và dãy giá trị tín hiệu mẫu {wk } . Tìm bộ điều khiển phản hồi trạng thái để đầu ra y k bám theo được tín hiệu mẫu. Kết quả: Vì là phản hồi trạng thái nên ở thời điểm hiện tại, khi đã có x k hệ đã cho luôn biểu diễn được dưới dạng tham số hằng (LTI): x k 1  k x k  k u k với k  A(x k ), k  B (x k ), k  C (x k ), k  D (x k ) 1. Tại thời điểm k đo x k và tùy chọn Qk , Rk đối xứng xác định dương 2. Tính x s , u s thỏa mãn x s  k x s  k u s và w k  k x s  k u s  3. Xác định RLQR  Rk  kT P  với  1  kT P k P  Qk  kT P k  kT P k Rk  kT P k  1 kT P k 4. Đưa u k  u s  RLQR (x k  x s ) vào điều khiển và gán k  k  1 rồi quay về 1. GS. Nguyễn Doãn Phước 15 Điều khiển tối ưu Nguyên lý cực đại Là công cụ duy nhất giúp thực hiện bài toán tối ưu có khoảng thời gian T xảy ra quá trình tối ưu không cho trước, hay bản thân T cũng là một biến tối ưu cần tìm Nội dung nguyên lý (cho bài toán liên tục): * Nếu u là nghiệm bài toán free end time thì: 1. Phải tồn tại ít nhất một vector biến đồng trạng thái p thỏa mãn: T u *  arg max H (x , u , p ) với H (x , u , p )  p f (x , u )  g (x , u ) uU   2. Nếu ký hiệu M (x , p )  max H (x , u , p ) thì tại điểm cuối T sẽ có: M x (T ), p (T )  0 uU 3. Nếu sử dụng biến đồng trạng thái thỏa mãn quan hệ Euler-Lagrange p    H x  T thì điều kiện 2 trên còn đúng với mọi 0  t  T , tức là dọc theo quỹ đạo tối ưu có: M (x * , p * )  H (x * , u * , p * )  0 4. Nếu bài toán có thêm điều kiện ràng buộc về điểm đầu hoặc điểm cuối x (0)  S 0 , x (T )  ST thì còn có: p (0)  S 0 hoặc p (T )  ST GS. Nguyễn Doãn Phước 16 Điều khiển tối ưu Ứng dụng nguyên lý cực đại vào thiết kế bộ điều khiển FTS (*) Với hệ phi tuyến affine bậc 2 một đầu vào: x  f (x )  h (x )u , x  (x1 , x 2 )T , f (0)  0 z 2  Lf  (x ) thì bộ điều khiển: k sgn (x ) khi  (x )  2k  (x )  L  (x ) L  (x )  0 f f   u  r (x )   k sgn  (x ) khi  (x )  0 ,  (x )  0 0 khi  (x )  L  (x )  0 f z1   (x )  trong đó k  0 tùy chọn và  (x ) là hàm thỏa mãn (luôn tồn tại): Lh  (x )   (x ) h (x )  0 và Lh Lf  (x )  0, x x sẽ làm hệ ổn định tiệm cận tại gốc sau khoảng thời gian hữu hạn, tức là sau khi bị nhiễu tức thời đánh bật ra khỏi gốc thì bộ điều khiển trên sẽ kéo hệ về trở lại gốc sau một khoảng thời gian T   GS. Nguyễn Doãn Phước 17 Điều khiển thích nghi Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov Xét hệ không bị kích thích x  f (x ) cân bằng tại gốc f (0)  0 . Nếu tồn tại một hàm V (x ) xác định dương sao cho: 1. V (x )  0 thì hệ sẽ ổn định tại gốc 2. V (x )  0, x  0 thì hệ sẽ ổn định tiệm cận tại gốc (GAS). Khi đó V (x ) được gọi là hàm Lyapunov (LF) Áp dụng để thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái Cho hệ x  f (x , u ) thỏa mãn f (0, 0)  0 có vector các tín hiệu vào là u . Để tìm bộ điều khiển phản hồi trạng thái r (x ) làm hệ ổn định tiệm cận tại gốc (GAS), người ta thực hiện: 1. Xác định một hàm xác định dương V (x ) V (x ) f (x , u ) x 3. Tìm hàm r (x ) để W  x , r (x ) trở thành xác định âm. Khi đó V (x ) được gọi là hàm điều khiển Lyapunov (CLF) 2. Tính W (x , u )  GS. Nguyễn Doãn Phước 18 Điều khiển thích nghi Phương pháp backstepping Xét hệ truyền ngược  x  f (x )  H (x )z  z   (x , z )  G (x , z )u trong đó z là một phần vector trạng thái col  x , z  , có số chiều đúng bằng số các tín hiệu vào u là m và ma trận vuông G (x , z ) kiểu m  m là không suy biến. Nếu hệ con x  f (x )  H (x )z đã có hàm Lyapunov Vz (x ) cùng một bộ điều khiển phản hồi trạng thái r z (x ) thỏa mãn r z (0)  0 làm nó ổn định tiệm cận, thì hệ truyền ngược đã cho cũng sẽ có hàm điều khiển Lyapunov là: V (x , z )  Vz (x )  1 T z  r z (x ) Q  z  r z (x )  2 với Q là ma trận xác định dương tùy chọn Bước khởi đầu của backstepping 1 Hệ affine bậc 1: x  f (x )  h (x )u với h (x )  0, x luôn có hàm CLF là: V (x )  x 2 2 vì với nó hệ sẽ có bộ điều khiển phản hồi trạng thái GAS: u  r (x )   1 ax  f (x ) , a  0 h (x ) GS. Nguyễn Doãn Phước 19 Điều khiển thích nghi Điều khiển thích nghi giả định rõ  Bài toán: Cho hệ tham số hằng bất định  x  f (x )  G (x )  H (x )u w trong đó  là vector các tham số hằng không xác định được của hệ. Tìm bộ điều khiển GAS. Cơ cấu chỉnh định Bộ điều khiển u x Đối tượng điều khiển Nguyên lý giả định rõ (certainty equivalence): 1. Giả sử đã có  . Dựa vào lý thuyết Lyapunov, tìm hàm CLF Vc (x , ) và một bộ điều khiển r c (x , ) GAS tương ứng. Tất nhiên chúng đều phụ thuộc   2. Thay  không biết bởi hàm phụ huộc thời gian  (t ) . Sau đó sử dụng hàm CLF thích nghi:   T  1 V (x , ) Vc (x , )  (   ) Q (   ) 2 với Q  QT  0 tùy chọn   Vc  f (x )  G (x )  H (x )r c (x , )   0 thỏa mãn điều hiển nhiên   x   để tìm cơ cấu chỉnh định cho  tức là tìm d dt sao cho có được dV dt xác định âm theo x (hay bán xác định âm theo x , ) GS. Nguyễn Doãn Phước 20