Tài liệu Phổ của toán tử dirac với trường thế không bị chặn tại vô cực

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————————————— LÊ THỊ HẠNH PHỔ CỦA TOÁN TỬ DIRAC VỚI TRƯỜNG THẾ KHÔNG BỊ CHẶN TẠI VÔ CỰC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————————————— LÊ THỊ HẠNH PHỔ CỦA TOÁN TỬ DIRAC VỚI TRƯỜNG THẾ KHÔNG BỊ CHẶN TẠI VÔ CỰC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Tạ Ngọc Trí Hà Nội - 2013 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS. Tạ Ngọc Trí người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện luận văn. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Lê Thị Hạnh Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Tạ Ngọc Trí. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Lê Thị Hạnh Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Bảng kí hiệu và viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix Nội dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4. Toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5. Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6. Toán tử tuyến tính không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7. Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8. Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chương 2. Toán tử Dirac và toán tử Schrödinger . . . . . . . . 19 2.1. Toán tử Dirac và một số tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1. Toán tử Dirac tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 v 2.1.2. Toán tử Dirac trừu tượng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.3. Từ trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2. Toán tử Schrödinger và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Chương 3. Phổ của toán tử Dirac với trường thế không bị chặn tại vô cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2. Điều kiện để phổ của toán tử Dirac hoàn toàn rời rạc. . . . . . . 38 3.3. Điều kiện để phổ của toán tử Dirac hoàn toàn dương và rời rạc ................................................................ 40 3.4. Điều kiện để nửa âm của trục thực là phổ thiết yếu của toán tử Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.5. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 vi Bảng kí hiệu và viết tắt R tập hợp số thực Rn không gian thực n - chiều C tập hợp số phức h 
2 không gian Hilbert L2 R3 Lp không gian các hàm có lũy thừa bậc p khả tích |x| môđun của x L(X, Y ) tập các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y L(X) = L(X, X) T∗ toán tử liên hợp của toán tử T T bao đóng của toán tử T ρ(T ) tập giải được của toán tử T KerT nhân của toán tử T RanT miền giá trị của toán tử T divB độ phân tán của trường vectơ B rotB độ xoáy của trường vectơ B vol(Ω) thể tích của Ω h.k.n hầu khắp nơi vii D (T ) D miền của T
≡ C0∞ R3 sup M cận trên đúng của tập M inf M cận dưới đúng của tập M suppf giá của hàm f σ(T ) phổ của toán tử T σp (T ) phổ điểm của toán tử T σd (T ) phổ rời rạc của toán tử T σess (T ) phổ thiết yếu của toán tử T R+ nửa dương của trục thực R− nửa âm của trục thực 1 toán tử đơn vị F phép biến đổi Fourier S(Rn ) tập các hàm trơn giảm nhanh fˆ = Ff C0 tập các hàm số liên tục C1 tập các hàm số có đạo hàm cấp 1 liên tục C0∞ (Ω) = Cc∞ (Ω) tập các hàm khả vi vô hạn với giá compact trong Ω H 2 (Rn ) không gian Sobolev cấp hai 1 Hloc không gian Sobolev địa phương ∇p (x) gradient của p (x) ∆ toán tử Laplace O (p (x)) vô cùng lớn của p (x) o (p (x)) vô cùng bé của p (x) viii Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Nghiên cứu về phổ của toán tử Dirac đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học. Việc nghiên cứu này sử dụng các công cụ trong giải tích hàm, phương trình đạo hàm riêng và lý thuyết phổ. Ngoài ra, nghiên cứu về phổ của toán tử Dirac còn có vai trò quan trọng trong vật lý. Gần đây, việc nghiên cứu toán tử Dirac H= 3 P αj Dj + p(x)β + q(x)I4 j=1 
4 trong không gian Hilbert L2 R3 với điều kiện |p(x)| → ∞, q (x) = o (p (x)) khi |x| → ∞ hoặc p (x) ≡ q (x) → ∞ khi |x| → ∞ xuất hiện nhiều trên các tạp chí nghiên cứu Toán Lý. Vậy với toán tử Dirac H như trên thì phổ của nó có cấu trúc toán học như thế nào? Luận văn sẽ tập trung nghiên cứu và làm rõ vấn đề này. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết phổ, đặc biệt là phổ của toán tử Dirac trong trường hợp trên, cùng với sự giúp đỡ tận tình của TS. Tạ Ngọc Trí tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Phổ của toán tử Dirac với trường thế không bị chặn tại vô cực” ix 2. Mục đích nghiên cứu Nắm được các khái niệm, tính chất của toán tử Dirac, toán tử Schrödinger và các kết quả liên quan đến “Phổ của toán tử Dirac với trường thế không bị chặn tại vô cực” để bổ sung kiến thức, củng cố và hiểu biết sâu hơn về toán giải tích, lý thuyết toán tử và lý thuyết phổ. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về “Phổ của toán tử Dirac với trường thế không bị chặn tại vô cực”. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng: Nghiên cứu về “Phổ của toán tử Dirac với trường thế không bị chặn tại vô cực”. • Phạm vi: Các bài báo, các tài liệu trong và ngoài nước nghiên cứu về “Phổ của toán tử Dirac với trường thế không bị chặn tại vô cực”. 5. Phương pháp nghiên cứu • Tìm hiểu các thông tin trong sách báo liên quan đến nội dung nghiên cứu. • Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu thu thập được qua những tài liệu liên quan đến đề tài. • Tham khảo ý kiến của thầy hướng dẫn. x 6. Những đóng góp của luận văn • Trình bày lại một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về các không gian, các toán tử tuyến tính bị chặn và không bị chặn. • Tổng hợp kiến thức về toán tử Dirac và phổ của nó với trường thế không bị chặn tại vô cực. • Trình bày một số kiến thức cơ bản về toán tử Schrödinger. xi Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này dành cho việc trình bày một số kiến thức cơ sở về các không gian như không gian định chuẩn, không gian Lp , không gian Sobolev, không gian Banach, không gian Hilbert; các toán tử tuyến tính bị chặn và không bị chặn. Đặc biệt, khái niệm về phổ và tính chất của các toán tử giúp chúng ta dễ theo dõi hơn trong các chương sau. Những kiến thức trong chương này không trình bày chứng minh. Xin xem chi tiết hơn ở các tài liệu [1], [2], [3], [4], [5] và [8]. 1.1. Không gian định chuẩn Dưới đây trình bày một số khái niệm và kết quả quan trọng về không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Lp , các không gian hàm và phép biến đổi Fourier. Cho X là không gian vectơ trên trường số K (K = R hoặc K = C). Định nghĩa 1.1.1. ([1], Định nghĩa 2.1.1) Ta gọi không gian định chuẩn là không gian tuyến tính X cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là k . k và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây 1 a. kxk ≥ 0 với mọi x ∈ X, kxk = 0 ⇔ x = θ (θ là kí hiệu phần tử không trong X), b. kαxk = |α| kxk với mọi số α ∈ K và mọi x ∈ X, c. kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x, y ∈ X. Số kxk được gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là X. Định nghĩa 1.1.2. ([1], Định nghĩa 2.1.2) Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ đến x0 ∈ X nếu lim kxn − x0 k = 0. n→∞ Khi đó, ta kí hiệu lim xn = x0 hoặc xn → x0 , khi n → ∞. n→∞ Định nghĩa 1.1.3. ([1], Định nghĩa 2.1.3) Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi là một dãy cơ bản (hay dãy Cauchy), nếu lim kxm − xn k = 0. m,n→∞ Định nghĩa 1.1.4. ([4], Trang 6) Cho A, B là các tập con trong X. Tập A được gọi là trù mật trong B nếu với phần tử bất kỳ x ∈ B đều tồn tại dãy các phần tử yn ∈ A mà lim yn = x. n→∞ Định nghĩa 1.1.5. Không gian định chuẩn được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ. Định nghĩa 1.1.6. Không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach. 2 Ví dụ 1.1.7. (Không gian các hàm khả tích Lp ). Cho Ω là tập mở trong Rn và 1 ≤ p < ∞. Lp (Ω) là không gian các hàm số thực f xác định trên Ω sao cho |f |p Lebesgue khả tích trên Ω và chuẩn trong Lp được cho bởi   p1 R kf kp = |f (x)|p dx <∞ Ω Với p = ∞, ta có định nghĩa sau. Định nghĩa 1.1.8. Ta gọi L∞ (Ω) là không gian các hàm số thực f đo được trên Ω, bị chặn cốt yếu đối với độ đo Lebesgue trên Ω và trên đó ta định nghĩa kf k∞ = inf {M > 0 ||f (x)| ≤ M h.k.n} Trong không gian Lp , ta có các kết quả sau. Định lí 1.1.9. ([4], Theorem III.1) Cho Ω là tập mở trong Rn và 1 ≤ p ≤ ∞, khi đó a. (Bất đẳng thức Minkowski) Nếu f, g ∈ Lp (Ω) thì kf + gkp ≤ kf kp + kgkp b. (Riesz-Fisher) Lp (Ω) đầy đủ. c. (Bất đẳng thức Hölder) Cho p, q và r là các số dương p, q, r ≥ 1 và p−1 +q −1 = r−1 . Giả sử f ∈ Lp (Ω) , g ∈ Lq (Ω). Khi đó f g ∈ Lr (Ω) và kf gkr ≤ kf kp kgkq Định lí 1.1.10. ([1], Định lí 2.6.2) Lp (Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞ là không gian Banach với chuẩn kf kp xác định trong ví dụ 1.1.7 ở trên. 3 Định nghĩa 1.1.11. Cho f : Ω → R. Ta định nghĩa giá của f là tập hợp suppf = {x ∈ Ω |f (x) 6= 0}; tức là suppf là bao đóng của tập hợp {x ∈ Ω |f (x) 6= 0} trong Rn . Định nghĩa 1.1.12. Xét Ω ⊂ Rn là tập mở (thường bị chặn) với biên ∂Ω. Hàm u = (x) , x ∈ Ω. Ta có đạo hàm riêng ∂u ∂xi = uxi , i = 1, n. Kí hiệu Du = ∇u = grad u = (ux1 , ux2 , ..., uxn ) và Dα u = ∂ α1 +α2 +...+αn u α α n, ∂x1 1 ∂x2 2 ...∂xα n α = (α1 , α2 , ..., αn ) C k (Ω) là tập các hàm u : Ω → R hoặc C khả vi liên tục đến cấp k trên Ω. • Khi k = 0 thì C 0 (Ω) = C (Ω) là tập các hàm số liên tục trên Ω. • Khi k = 1 thì C 1 (Ω) là tập các hàm số có đạo hàm cấp 1 liên tục trên Ω. ∞ • Khi k = ∞ thì C (Ω) = ∞ T C k (Ω) là tập các hàm số khả vi vô k=0 hạn trên Ω. C0k (Ω) là tập các hàm số khả vi liên tục đến cấp k trên Ω và có giá compact. Cc (Ω) = C0 (Ω) = C00 (Ω) là không gian các hàm liên tục trên Ω có giá compact. Cc∞ (Ω) = C0∞ (Ω) = ∞ T C0k (Ω) là tập các hàm số khả vi vô hạn lần và k=0 có giá compact. Định nghĩa 1.1.13. ([8], Trang 18) Kí hiệu S hay S (Rn ) là tập các hàm trơn f (xác định trên Rn ) sao cho   sup xβ ∂ α f (x) < ∞, ∀α, β. x 4 Ta có thể kiểm tra được S là không gian con trù mật đối với L2 và C0∞ ⊂ S. Ta định nghĩa F (f ) (ω) = √ 1 R (2π) n f (x) e−iωx dx Rn Chúng ta kiểm tra được rằng (F∂ α f ) (ω) = (iω)α (Ff ) (ω) và F (xα f ) (ω) = i|α| ∂ α F (ω) với mọi f ∈ S và đa chỉ số α. Rõ ràng F (f ) (ω) xác định tốt và là song ánh từ S vào chính nó với phép biến đổi ngược
F −1 f (x) = √ 1 R n (2π) (Ff ) (ω) eixω dω Rn Ở đây, hf, gi = hFf, Fgi , f, g ∈ S. Do S trù mật trong L2 (Rn ) nên ta có thể mở rộng F tới mọi hàm trong L2 (Rn ). Ta sẽ thu được phép biến đổi Fourier đối với các hàm trong L2 (Rn ). Đôi khi chúng ta viết fˆ thay cho Ff . Định nghĩa 1.1.14. Ta kí hiệu D (Ω) = C0∞ (Ω). Không gian các hàm phân bố hay hàm suy rộng trên Ω, kí hiệu là D0 (Ω), gồm những phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D (Ω). 1.2. Không gian Sobolev Phần này chúng ta nhắc lại khái niệm về không gian Sobolev W m,p và không gian H m Cho Ω là một tập mở con của Rn có biên là ∂Ω. 5 Định nghĩa 1.2.1. Cho số nguyên m > 0 và 1 ≤ p ≤ ∞. Không gian Sobolev được định nghĩa như sau W m,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) |Dα u ∈ Lp (Ω) , |α| ≤ m} W m,p là tập hợp tất cả các hàm thuộc Lp (Ω) có đạo hàm suy rộng đến cấp m cũng thuộc Lp (Ω). Ta có W m,p (Ω) là một không gian vectơ. Trên đó ta trang bị một chuẩn k . km,p,Ω như sau ( )1/p P k . km,p,Ω = kDα ukpLp (Ω) . 0≤|α|≤≤m Trường hợp đặc biệt p = 2, ta kí hiệu W m,2 (Ω) = H m (Ω). Ta có định nghĩa sau. Định nghĩa 1.2.2. Không gian Sobolev H m (Ω) được định nghĩa như sau   H m (Ω) = W m,2 (Ω) = u ∈ L2 (Ω) Dα u ∈ L2 (Ω) , |α| ≤ m . Trường hợp đặc biệt, với Ω = Rn • Khi m = 1 ta có không gian Sobolev cấp 1   H 1 (Rn ) = u ∈ L2 (Rn ) Du ∈ L2 (Rn ) . • Khi m = 2 ta có không gian Sobolev cấp 2   H 2 (Rn ) = u ∈ L2 (Rn ) Dα u ∈ L2 (Rn ) , |α| ≤ 2 . 1.3. Không gian Hilbert Dưới đây chúng ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả trong không gian Hilbert. Định nghĩa 1.3.1. Ánh xạ: X × X → K, (x, y) 7→ hx, yi được gọi là một tích vô hướng trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau 6 a. hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ X, hx, xi = 0 ⇔ x = θ (θ là kí hiệu phần tử không trong X, b. hy, xi = hx, yi, ∀x, y ∈ X, c. hx + x0 , yi = hx, yi + hx0 , yi , ∀x, x0 , y ∈ X, d. hλx, yi = λ hx, yi , ∀x, y ∈ X, λ ∈ K. Các phần tử x, x0 , y, ... gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số hx, yi gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y. Định nghĩa 1.3.2. Không gian tuyến tính X trên trường K cùng với một tích vô hướng (kí hiệu là (X, h., .i) ) được gọi là không gian tiền Hilbert. Nếu không gian tuyến tính định chuẩn tương ứng đầy đủ thì (X, h., .i) là không gian Hilbert. Ví dụ 1.3.3. L2 (Rn ) là không gian Hilbert với tích vô hướng
R hf, giL2 = f¯.g (x) dx Rn và khi đó 1 kf k2 = hf, f i 2 Định nghĩa 1.3.4. ([3], Trang 40) Ánh xạ A : X × X → C được gọi là một dạng tuyến tính rưỡi (sesqiulinear form) nếu A (x, .) là tuyến tính, A (., y) là liên hợp tuyến tính. Nghĩa là ánh xạ A thỏa mãn a. A (x + y, z + w) = A (x, z) + A (x, w) + A (y, z) + A (y, w), b. A (ax, by) = ab̄A (x, y), với ∀x, y ∈ X, a, b ∈ C. 7 Định nghĩa 1.3.5. Hai vectơ u và v trong không gian Hilbert (X, h., .i) được gọi là trực giao nếu hu, vi = 0. Tập hợp {ui } các vectơ trong X được gọi là hệ trực chuẩn nếu hui , ui i = 1, ∀i và hui , uj i = 0 nếu i 6= j. Định lí 1.3.6. ([4], Theorem II.5) Mọi không gian Hilbert đều có hệ cơ sở trực chuẩn. 1.4. Toán tử tuyến tính bị chặn Trong phần này, chúng ta trình bày một số khái niệm và kết quả quan trọng liên quan đến toán tử tuyến tính bị chặn. Định nghĩa 1.4.1. Toán tử tuyến tính bị chặn (viết tắt là toán tử bị chặn) từ không gian tuyến tính định chuẩn (X1 , k.k1 ) vào không gian định chuẩn (X2 , k.k2 ) là hàm T từ X1 vào X2 thỏa mãn a. (Tính tuyến tính) T (αu + βv) = αT (u) + βT (v), với ∀u, v ∈ X1 , ∀α, β ∈ K. b. (Tính bị chặn) Tồn tại hằng số C ≥ 0 sao cho kT vk2 ≤ Ckvk1 , ∀v ∈ X1 . Cận trên đúng của các hằng số C được gọi là chuẩn của T , kí hiệu là kT k hoặckT k1,2 . Ta cũng có kT k = sup kT vk2 kvk1 =1 Định lí 1.4.2. ([1], Định lí 2.2.1) Cho T là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương a. T liên tục với x ∈ X. 8 b. T liên tục tại điểm x0 ∈ X. c. T bị chặn. Định nghĩa 1.4.3. Chúng ta kí hiệu L (X, Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn A từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y . Chuẩn trong L (X, Y ) được xác định bởi kAk = sup x∈X,x6=0 kAxkY kxkX Chuẩn này thường được gọi là chuẩn toán tử. Khi Y = K thì toán tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính. Từ định nghĩa trên dễ thấy chuẩn của toán tử có các tính chất • kAxk ≤ kAk kxk, với mọi x ∈ X. • Với ∀ε > 0, ∃xε ∈ X : kAk − ε < kAxε k. Định nghĩa 1.4.4. Cho hai toán tử A, B ∈ L (X, Y ), khi đó ta đưa vào L (X, Y ) hai phép toán a. Tổng của hai toán tử A và B là một toán tử, kí hiệu là A + B và được xác định bởi biểu thức (A + B) (x) = Ax + By, ∀x ∈ X. b. Tích vô hướng của α ∈ C với toán tử A là một toán tử, kí hiệu là αA và được xác định bởi biểu thức (αA) (x) = α (Ax) Dễ dàng kiểm tra được rằng A + B ∈ L (X, Y ), αA ∈ L (X, Y ) và hai phép toán trên thỏa mãn các tiên đề của không gian véctơ. Khi đó, tập L (X, Y ) trở thành một không gian vectơ trên trường C. Nếu Y = X thì L (X, Y ) được kí hiệu gọn lại là L (X). 9