BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
TRẦN HỮU HẢI
PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP
KONTOROVICH - LEBEDEV FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI, 2016
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
TRẦN HỮU HẢI
PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP
KONTOROVICH - LEBEDEV FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. TRỊNH TUÂN
HÀ NỘI, 2016
i
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Trịnh Tuân. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận
tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp
tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác
giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, phòng sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường cùng các bạn
học viên đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình
học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo, bạn bè
đồng nghiệp trường PTDT Nội Trú THCS-THPT Bắc Hà, Lào Cai đã quan
tâm, động viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và
hoàn thành luận văn này !
Hà Nội, ngày 22 tháng 6 năm 2016
Tác giả
Trần Hữu Hải
ii
Lời cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS. Trịnh Tuân.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những
thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và
biết ơn.
Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ
rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 22 tháng 6 năm 2016
Tác giả
Trần Hữu Hải
iii
Danh mục kí hiệu
F
Phép biến đổi Fourier;
Fs
Phép biến đổi Fourier sine;
Fs1
Phép biến đổi Fourier sine ngược;
Fc
Phép biến đổi Fourier cosine;
Fc1
Phép biến đổi Fourier cosine ngược;
K
Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev;
K 1
Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược;
C0 pR
q
pf gq
γ
f g
f g
Fγ
f g
F
LpR , x1 q
Là không gian các hàm số liên tục trên R ;
Tích chập của hai hàm f và g;
Tích chập của hai hàm f và g với hàm trọng γ;
Tích chập của hai hàm f và g đối với phép biến đổi F ;
Tích chập của hai hàm f và g với hàm trọng γ đối với phép
biến đổi F ;
là tập các hàm f và g xác định trên p0,
sao cho
1
LpR , sinh
xq
³8
0
1
x
8q
|f pxq|dx 8;
là tập các hàm f và g xác định trên p0,
³8 1
sao cho
|gpxq|dx 8.
0 sinh x
8q
iv
Mục lục
Lời cảm ơn
i
Lời cam đoan
ii
Danh mục kí hiệu
iii
Lời mở đầu
1
1
Tích chập đối với phép biến đổi tích phân
4
1.1
Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.1
Một số không gian hàm dùng trong luận văn . . . .
4
1.1.2
Phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine . . .
6
1.1.3
Phép biến đổi tích phân Kontorovich - Lebedev . . .
6
Một số kiến thức về tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.1
Định nghĩa tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.2
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2
1.3
2
Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích
phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3.1
10
Định nghĩa và đẳng thức nhân tử hóa
. . . . . . . .
Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine,
Kontorovich-Lebedev ngược
2.1
11
Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích
phân Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev ngược . . . . . .
12
v
3
2.2
Các bất đẳng thức chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.3
Định lý kiểu Watson
22
Ứng dụng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Kết luận
33
Tài liệu tham khảo
34
1
Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Đối với mỗi tích chập ph f q của hai hàm h và f , nếu ta cố định một trong
hai hàm, chẳng hạn cố định hàm h và cho hàm f biến thiên trên không gian
hàm xác định. Ta có thể nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập
dạng D : f
ÞÑ g Dph f q trong đó: g pxq D ph f q pxq và D là một
toán tử nào đó. Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập đầu tiên được xây dựng
theo kiểu này nổi tiếng nhất là phép biến đổi liên quan đến tích chập của phép
biến đổi tích phân Mellin ([4]).
g pxq
»8
k pxy q f py q dy, x ¡ 0
0
Tiếp nối ý tưởng này, những năm (1999-2003) GS. TSKH. Vũ Kim Tuấn (Đại
học West Georgia, Mỹ) và các đồng nghiệp đã xây dựng được
lớp phép
một
biến đổi tích phân dạng trên đối với tích chập Fourier cosine f
f
chập suy rộng Fourier cosine và Fourier sine
Fc ,Fs
h
h
Fc
và tích
([5]). Ở đó toán tử
D được xác định như sau
D
1
d2
dx2
.
Năm 2003, S. B. Yakubovich cũng đã nghiên cứu kết quả tương tự nói trên
đối với tích chập Kontorovich-Lebedev (K) ([11]).
Năm 2013 tác giả N.T.Hồng, Trịnh Tuân, N.X.Thảo ([6]) đã xây dựng phép
biến đổi tích phân cho tích chập suy rộng với hàm trọng γ đối với các phép
biến đổi tích phân Fourier cosine, Kontorovich-lebedev ngược (Fc , K 1 ) từ
đó chỉ ra được tính Unita của phép biến đổi này và nghiên cứu ứng dụng của
phép biến đổi trong trường hợp bậc của toán tử D là hữu hạn. Với mong muốn
2
được tìm hiểu tích chập, tích chập suy rộng và phép biến đổi tích phân kiểu
tích chập, được sự hướng dẫn của PGS.TS Trịnh Tuân tôi đã chọn đề tài
“Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Kontorovich- Lebedev Fourier
cosine và ứng dụng” để nghiên cứu.
Đề tài luận văn Thạc sỹ được trình bày trong 35 trang A4, ngoài phần lời
nói đầu và tài liệu tham khảo luận văn được chia làm 3 chương.
Chương 1. Nêu tóm tắt các kiến thức cơ bản dùng để nghiên cứu cho các
chương sau.
Chương 2. Trình bày tích chập suy rộng với hàm trọng đối với hai phép
biến đổi tích phân Fc , K 1 (2.1). Nghiên cứu sự tồn tại của chúng trên các
không gian hàm, nhận được đẳng thức nhân tử hóa và các bất đẳng thức dạng
chuẩn của chúng. Từ đó đi nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập
suy rộng (2.1). Nội dung chính của chương này là các định lý: Định lý 2.1,
Định lý 2.4 và Định lý 2.6.
Chương 3. Sử dụng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng đối
với hai phép biến đổi Fc , K 1 (2.1) ở chương II. Trong trường hợp phép biến
đổi này có bậc của toán tử D là hữu hạn để giải đóng một lớp bài toán dạng
Cauchy mà phương trình của nó là phương trình vi-tích phân. Kết quả chính
của chương này là Định lý 3.1.
Để tiện theo dõi trong quá trình viết luận văn. Chúng tôi đã đưa vào danh
mục các kí hiệu toán học ở trang đầu.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier Cosine, Kontorovich – Lebedev ngược ([6])
f pxq ÞÑ g
D
»
1 u coshpx vq
e
u
eu coshpxvq h puq f pv q dudv
R2
trong đó D
2
d
π 2 dx2
8
±
k 1
1
2
4d
k 2 dx2
(1)
từ đó nghiên cứu một số tính chất của
3
toán tử D và ứng dụng để giải đóng một lớp bài toán dạng Cauchy mà phương
trình của nó là phương trình vi-tích phân.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn trình bày 3 vấn đề chính
Vấn đề 1. Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích
phân pFc , K 1 q
Vấn đề 2. Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng pFc , K 1 q với
hàm trọng.
Vấn đề 3. Ứng dụng giải đóng một lớp bài toán dạng Cauchy.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fc , K 1 với
hàm trọng trên không gian L2 pR
q và ứng dụng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Dùng kỹ thuật giải tích hàm;
Kỹ thuật hàm đặc biệt;
Dùng kỹ thuật tích chập;
Kỹ thuật phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng.
4
Chương 1
Tích chập đối với phép biến đổi tích phân
Trong chương này chúng tôi trình bày tóm tắt một số kiến thức cơ bản về
một số không gian hàm, phép biến đổi tích phân, tích chập dùng để nghiên
cứu cho hai chương chính của luận văn là chương 2 và chương 3.
Tài liệu chính để viết chương này là ([1, 2, 3, 6]).
1.1
1.1.1
Một số kiến thức cơ bản
Một số không gian hàm dùng trong luận văn
• L1 pRq là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên p8,
» 8
8
8q sao cho
|f pxq|dx 8
và L1 pRq là một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định
} f } L p Rq
1
• L1 pR
» 8
8
|f pxq|dx.
q là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên p0, 8q sao cho
»8
0
|f pxq|dx 8,
5
và L1 pR
q là một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định
»8
}f }L pRq
1
|f pxq|dx.
0
• Lp pRq là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên p8,
»8
8
8q sao cho
|f pxq|pdx 8,
và Lp pRq là một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định
»8
1
p
}f }L pRq |f pxq|pdx
.
p
• Lp pR
8
q là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên p0, 8q sao cho
»8
|f pxq|pdx 8,
0
và Lp pR
q là một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định
»8
1
p
}f }L pR q |f pxq|pdx
.
p
0
• Lα,β
r pR
q là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên p0; 8q sao cho
»8
|f pxq|r .xα.eβxdx 8, r ¥ 1, β ¥ 0, α ¡ 1,
0
và Lα,β
r pR
q là không gian định chuẩn với chuẩn được xác định
}f }L
α,β
r
pR q
»8
0
1
r
|f pxq|r xαeβxdx
.
6
1.1.2
Phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine
Định nghĩa 1.1. ([4]) Cho hàm f pxq
P
L1 pRq. Khi đó phép biến đổi tích
phân Fourier (F ) đối với hàm f được định nghĩa như sau
frpxq pF f qpy q
»
8
1
?
eixy f py qdy;
2π 8
x P R.
(1.1)
Ở đó F được gọi là phép biến đổi Fourier hoặc toán tử Fourier. Và F có
phép biến đổi Fourier ngược (F 1 ) được định nghĩa như sau
Phép biến đổi Fourier ngược của hàm f được xác định bởi công thức
» 8
pF 1frqpyq ?1
Nhận xét 1.1. 1) Vì |eixy |
2π 8
eixy frpy qdy;
x P R.
(1.2)
1 và f pxq P L1pRq nên các tích phân (1.1);
(1.2) là hội tụ với mỗi x P R.
2) F, F 1 là các toán tử tuyến tính.
Định nghĩa 1.2. ([4]) Phép biến đổi Fourier cosine pFc q của một hàm
f
P L1pR q là một hàm được xác định bởi công thức
pFcf qpxq
c
2
π
»8
cos xyf py qdy,
x ¡ 0.
(1.3)
0
Phép biến đổi Fourier cosine ngược pFc1 q của hàm f được xác định như
sau
pFc1frqpxq
Nhận xét 1.2. Vì | cos xy |
c
2
π
»8
cos xy frpy qdy,
x ¡ 0.
(1.4)
0
¤ 1, | sin xy| ¤ 1 và f pxq P L1pR q nên các tích
phân (1.3), (1.4) đều hội tụ với mỗi x P R.
1.1.3
Phép biến đổi tích phân Kontorovich - Lebedev
Định nghĩa 1.3. ([6]) Phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev được
nghiên cứu đầu tiên bởi M. J. Kontorovich và N. N. Lebedev trong khoảng
7
(1938-1939) và có dạng
K rf spy q
»8
Kix py qf pxqdx,
(1.5)
0
nó bao hàm các hạt nhân và hàm Macdonald Kv pxq của chỉ số ảo thuần túy
ν
iy. Hàm Kν pzq thỏa mãn phương trình Bessel.
du
d2 u
z 2 2 z pz 2 ν 2 qu 0.
dz
dz
(1.6)
Hàm Macdonald có dáng tiệm cận
Tại 8 là
Kν pz q p
π 1 z
q 2 e r1
2z
Op1{z qs , z
Ñ 8,
(1.7)
tại lân cận điểm 0
z ν Kν pz q 2ν 1 Γpν q
K0 pz q log z
op1q,
Ñ 0, ν 0
Op1q, z Ñ 0.
z
(1.8)
(1.9)
Ngoài ra hàm Macdonald còn có dạng biểu diễn sau đây
Kiy pxq
»8
ex cosh u cos yudu,
x ¡ 0.
(1.10)
0
Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev (1.5) ngược là dạng
f pxq K 1 rg spxq
2
sinhpπxq
π
ở đây Kix py q là hàm Macdonald.
1.2
1.2.1
»8
1
Kix py qg py qdy,
y
(1.11)
0
Một số kiến thức về tích chập
Định nghĩa tích chập
Về lịch sử của tích chập suy rộng có thể xem [4,10]. Chúng tôi xin phép
không trình bày ở đây. Tuy nhiên phần sau đây có nhắc lại một số khái niệm
về tích chập và tích chập suy rộng dùng cho luận văn.
8
Định nghĩa 1.4. ([4,10]) Cho U1 pX1 q, U2 pX2 q là các không gian tuyến tính,
V pY q là một đại số. Khi đó,
pq : U1pX1q U2pX2q Ñ V pY q
pf, gq ÞÑ pf gqpyq
được gọi là phép toán tích chập. Ký hiệu pq.
Giả sử K là một toán tử tuyến tính từ không gian tuyến tính U pX q vào đại
số V pY q :
K : U pX q Ñ V pY q.
P U1pX1q; g P U2pX2q đối với phép biến đổi tích
phân K là một hàm, ký hiệu pf g q sao cho đẳng thức nhân tử hóa sau đây
Tích chập của hai hàm f
được thỏa mãn
K pf g qpy q pKf qpy q.pKg qpy q.
(1.12)
Khi đó không gian U pX q cùng với phép toán chập p. .q trên xác định một
đạị số.
Trong phần này chúng ta trình bày một số các kết quả về tích chập đối với
các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev
để minh họa cho Định nghĩa 1.4, ngoài ra các tích chập này còn dùng để
nghiên cứu các chương sau của luận văn.
1.2.2
Ví dụ
Ví dụ 1. ([4])
P L1pRq, tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier (1.1) đối
với hai hàm f, g, ký hiệu pf g qpxq được xác định bởi công thức
F
Cho f, g
pf F gqpxq
Tích chập pf
»
8
1
?
f px y qg py qdy;
2π 8
x P R.
(1.13)
gqpxq P L1pRq và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
F
F pf
gqpyq pF f qpyq.pF gqpyq;
F
y
P R.
(1.14)
9
Đến năm 1967, V.A.Kakichev đã đưa ra phương pháp kiến thiết tích chập đối
với phép biến đổi tích phân K với hàm trọng γ py q, ký hiệu pf g qpxq và thỏa
γ
mãn đẳng thức nhân tử hóa
K pf g qpy q γ py qpKf qpy qpKg qpy q.
(1.15)
Nhờ phương pháp này một số tích chập với hàm trọng đã được xây dựng và
nghiên cứu.
Ví dụ 2. ([4])
P L1pR q. Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine
của hai hàm f và g ký hiệu: pf g qpxq được xác định bởi công thức
F
Cho f, g
c
pf F gqpxq
c
?1
2π
» 8
0
f py qrg p|x y |q
Tích chập này thuộc không gian L1 pR
Fc pf
g px
y qsdy;
x ¡ 0. (1.16)
q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
gqpyq pFcf qpyqpFcgqpyq, @y ¡ 0.
(1.17)
Fc
Ví dụ 3. ([11])
P L1pR q. Tích chập đối với phép biến đổi tích phân KontorovichLebedev pK q của hai hàm f, g ký hiệu: pf g qpxq được xác định bởi công
K
Cho f, g
thức
pf K gqpxq
1
2π
» 8»8
0
0
1 xu
exp
2 v
Tích chập này thuộc không gian L1 pR
K pf
xv
u
q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
gqpyq pKf qpyq.pKgqpyq, @y ¡ 0.
K
uv
f puqg pv q dudv, x ¡ 0.
x
(1.18)
(1.19)
10
1.3
Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi
tích phân
1.3.1
Định nghĩa và đẳng thức nhân tử hóa
Trong phần này chúng tôi trình bày tóm tắt sơ đồ xây dựng tích chập suy
rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân như sau. Xét các phép
biến đổi tích phân
Kj : Uj pXj q Ñ V pY q,
1, 2, 3
Fj f˜j py q pKj fj qpy q kj py, xj qfj pxj qdxj P V pY q,
j
»
Xj
trong đó Uj pXj q là các không gian tuyến tính và V pY q là đại số.
Định nghĩa 1.5. ([8]) Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân
K1 , K2 , K3 với hàm trọng γ1 của hai hàm f và g là một biểu thức
f g
γ1
sao cho thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
K1 f
g pyq γ1pyqpK2f qpyqpK3gqpyq, @y P Y.
γ1
(1.20)
Ví dụ 4. ([10])
Cho f, g
P L1pR q. Tích chập với hàm trọng γ pyq sin y của hai hàm số
f, g đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine (1.4) được xác định như sau
f
g pxq
γ
Fs
?1
2 2π
» 8
0
signpx y
f pxq signpx
1qg |x y
y 1qg |x
1| g px
y 1|
y
1q
signpx y 1qgp|x y 1|q
Tích chập
tử hóa
f
g
γ
Fs
Fs f
thuộc không gian L1 pR
q và thỏa mãn đẳng thức nhân
g pyq sin ypFsf qpyq.pFsgqpyq,
γ
Fs
dy (1.21)
y
¡ 0.
(1.22)
11
Chương 2
Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập
suy rộng Fourier cosine,
Kontorovich-Lebedev ngược
Trong chương này chúng tôi trình bày về tích chập suy rộng đối với phép
biến đổi tích phân Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev ngược (2.1). Nghiên
cứu sự tồn tại của toán tử tích chập này cũng như đẳng thức nhân tử hóa, đẳng
thức Parseval và các bất đẳng thức chuẩn trên lớp các không gian hàm khác
nhau. Sau đó, chúng tôi nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy
rộng này bằng kỹ thuật cố định hàm h và cho hàm f biến thiên trong không
γ
gian hàm xác định và xây dựng toán tử D8 tác động vào h f , cụ thể là
D8 : L2 pR
q Ñ L2pR q
fÑ
Þ g D8 h γ f
trong đó, D8
d2
dx2
8
±
k 1
1
4d2
k 2 dx2
Từ đó nhận được tính Unita của phép biến đổi này, cũng như công thức
biến đổi ngược dạng đối xứng của chúng. Các kết quả chính của chương này
là Định lý 2.1, Định lý 2.4 và Định lý 2.5.
Tài liệu chính để nghiên cứu chương này là ([5,6])
12
2.1
Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi
tích phân Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev ngược
Định nghĩa 2.1. ([8]) Tích chập suy rộng với hàm trọng γ py q
y sinh1pπyq
của hàm h và f với phép biến đổi tích phân Fourier cosine và phép biến đổi
tích phân Kontorovich-Lebedev ngược được định nghĩa như sau
ph f qpxq
γ
1
π2
» 8» 8
1 u coshpx vq u coshpxvq
e
e
h u f v dudv, x
0
0
u
r
spqpq
¡ 0.
(2.1)
Định lý 2.1. ([8]) Giả sử h P LpR , x1 q và f
suy rộng ph f qpxq thuộc LpR
γ
P LpR
1
, sinh
x q. Khi đó tích chập
q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau
Fc ph f qpy q γ py qpK 1 hqpy qpFc f qpy q, @y
γ
¡ 0,
(2.2)
trong đó K 1 là phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược được xác định ở
(1.12). Fc là phép biến đổi Fourier cosine được xác định ở (1.4)
Nhận xét: Như vậy ta thấy trong đẳng thức nhân tử hóa (2.2) của tích chập
suy rộng (2.1) có hai phép biến đổi khác nhau tham gia là Fc , K 1 .
Chứng minh. Vì sinhpx
v qeu coshpx vq
» 8 » 8
1 u coshpx vq
e
u
0
0
» 8» 8
r
¤
Ñ 0 khi u, v Ñ 8, ta có
eu coshpxvq shpuqf pv qdudv
1 u coshpx vq
|
e
eu coshpxvq ||hpuq||f pv q|dudv
u
» 0 8 »0 8
|f pvq| dudv
1
¤
|
sinhpx v q||eu coshpx vq ||hpuq|
u
| sinhpx vq|
0
» 80 » 8
|f pvq| dudv
1
|
sinhpx v q||eu coshpxvq ||hpuq|
u
| sinhpx vq|
0
» 8 0» 8
1
1
¤ M1
|hpuq||f pvq|dudv
u | sinhpx v q|
0
0
» 8» 8
|hpuq| |f pvq| dudv 8.
M2
u | sinhpx v q|
0
0
13
Lưu ý rằng
» 8
0
sinhpx
1
αqeu coshpx αq dx eu cosh α
u
(2.3)
và
» 8
0
| sinhpx vq|eu coshpxvqdx
» 8
v»
2
v
0
eu
u
sinhpx v qeu coshpxvq dx
sinhpx v qeu coshpxvq dx
eu cosh v
,
u
(2.4)
theo (2.3) ta suy ra
» 8» 8» 8
0
eu coshpx vq |hpuq||f pv q|dudvdx
» 80 » 80 » 8
|hpuq||f pvq| dudvdx
v q|eu coshpx vq
sinhpx v q
»0 8 » 0 8 » 0 8
uq||f pv q|
| sinhpx vq|eu coshpx vq |hpsinh
dudvdx
¤
p
vq
0
0
0
» 8 » 8 u cosh v
e
|f pvq| dudv
|
hpuq|
u
| sinh v|
»0 8 » 0 8
|hpuq| |f pvq| dudv.
¤
(2.5)
u | sinh v |
0
0
| sinhpx
Tương tự, theo (2.4) ta có
» 8» 8» 8
0
eu coshpxvq |hpuq||f pv q|dudvdx
» 80 » 80 » 8
hpuq||f pv q|
dudvdx
| sinhpx vq|eu coshpxvq |sinh
p
x vq
0
0
0
» 8» 8» 8
| sinhpx vq|eu coshpxvq|hpuq| sinh|fppxvq| vq dudvdx
»0 8 »0 8 0
2 u 1 u cosh v
|f pvq| dudv
¤
e
e
|
hpuq|
u
u
sinhpx v q
0
0
» 8» 8
|hpuq| |f pvq| dudv 8.
3
(2.6)
u | sinhpx v q|
0
0
- Xem thêm -