Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Phép biến đổi tích phân kiểu tích phân kiểu tích chập kontorovich lebedev four...

Tài liệu Phép biến đổi tích phân kiểu tích phân kiểu tích chập kontorovich lebedev fourier cosine và ứng dụng

.PDF
42
297
133

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN HỮU HẢI PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP KONTOROVICH - LEBEDEV FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN HỮU HẢI PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP KONTOROVICH - LEBEDEV FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. TRỊNH TUÂN HÀ NỘI, 2016 i Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Trịnh Tuân. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường cùng các bạn học viên đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp trường PTDT Nội Trú THCS-THPT Bắc Hà, Lào Cai đã quan tâm, động viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này ! Hà Nội, ngày 22 tháng 6 năm 2016 Tác giả Trần Hữu Hải ii Lời cam đoan Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Trịnh Tuân. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, ngày 22 tháng 6 năm 2016 Tác giả Trần Hữu Hải iii Danh mục kí hiệu F Phép biến đổi Fourier; Fs Phép biến đổi Fourier sine; Fs1 Phép biến đổi Fourier sine ngược; Fc Phép biến đổi Fourier cosine; Fc1 Phép biến đổi Fourier cosine ngược; K Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev; K 1 Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược; C0 pR q pf  gq γ f g  f g  Fγ f g F LpR , x1 q Là không gian các hàm số liên tục trên R ; Tích chập của hai hàm f và g; Tích chập của hai hàm f và g với hàm trọng γ; Tích chập của hai hàm f và g đối với phép biến đổi F ; Tích chập của hai hàm f và g với hàm trọng γ đối với phép biến đổi F ; là tập các hàm f và g xác định trên p0, sao cho 1 LpR , sinh xq ³8 0 1 x 8q |f pxq|dx   8; là tập các hàm f và g xác định trên p0, ³8 1 sao cho |gpxq|dx   8. 0 sinh x 8q iv Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Danh mục kí hiệu iii Lời mở đầu 1 1 Tích chập đối với phép biến đổi tích phân 4 1.1 Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Một số không gian hàm dùng trong luận văn . . . . 4 1.1.2 Phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine . . . 6 1.1.3 Phép biến đổi tích phân Kontorovich - Lebedev . . . 6 Một số kiến thức về tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Định nghĩa tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 1.3 2 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 10 Định nghĩa và đẳng thức nhân tử hóa . . . . . . . . Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev ngược 2.1 11 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev ngược . . . . . . 12 v 3 2.2 Các bất đẳng thức chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Định lý kiểu Watson 22 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 1 Lời mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Đối với mỗi tích chập ph  f q của hai hàm h và f , nếu ta cố định một trong hai hàm, chẳng hạn cố định hàm h và cho hàm f biến thiên trên không gian hàm xác định. Ta có thể nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập dạng D : f ÞÑ g  Dph  f q trong đó: g pxq  D ph  f q pxq và D là một toán tử nào đó. Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập đầu tiên được xây dựng theo kiểu này nổi tiếng nhất là phép biến đổi liên quan đến tích chập của phép biến đổi tích phân Mellin ([4]). g pxq  »8 k pxy q f py q dy, x ¡ 0 0 Tiếp nối ý tưởng này, những năm (1999-2003) GS. TSKH. Vũ Kim Tuấn (Đại học West Georgia, Mỹ) và các đồng nghiệp đã xây dựng được lớp phép  một biến đổi tích phân dạng trên đối với tích chập Fourier cosine f  f chập suy rộng Fourier cosine và Fourier sine  Fc ,Fs h h Fc và tích ([5]). Ở đó toán tử D được xác định như sau D   1 d2 dx2 . Năm 2003, S. B. Yakubovich cũng đã nghiên cứu kết quả tương tự nói trên đối với tích chập Kontorovich-Lebedev (K) ([11]). Năm 2013 tác giả N.T.Hồng, Trịnh Tuân, N.X.Thảo ([6]) đã xây dựng phép biến đổi tích phân cho tích chập suy rộng với hàm trọng γ đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Kontorovich-lebedev ngược (Fc , K 1 ) từ đó chỉ ra được tính Unita của phép biến đổi này và nghiên cứu ứng dụng của phép biến đổi trong trường hợp bậc của toán tử D là hữu hạn. Với mong muốn 2 được tìm hiểu tích chập, tích chập suy rộng và phép biến đổi tích phân kiểu tích chập, được sự hướng dẫn của PGS.TS Trịnh Tuân tôi đã chọn đề tài “Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Kontorovich- Lebedev Fourier cosine và ứng dụng” để nghiên cứu. Đề tài luận văn Thạc sỹ được trình bày trong 35 trang A4, ngoài phần lời nói đầu và tài liệu tham khảo luận văn được chia làm 3 chương. Chương 1. Nêu tóm tắt các kiến thức cơ bản dùng để nghiên cứu cho các chương sau. Chương 2. Trình bày tích chập suy rộng với hàm trọng đối với hai phép biến đổi tích phân Fc , K 1 (2.1). Nghiên cứu sự tồn tại của chúng trên các không gian hàm, nhận được đẳng thức nhân tử hóa và các bất đẳng thức dạng chuẩn của chúng. Từ đó đi nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng (2.1). Nội dung chính của chương này là các định lý: Định lý 2.1, Định lý 2.4 và Định lý 2.6. Chương 3. Sử dụng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng đối với hai phép biến đổi Fc , K 1 (2.1) ở chương II. Trong trường hợp phép biến đổi này có bậc của toán tử D là hữu hạn để giải đóng một lớp bài toán dạng Cauchy mà phương trình của nó là phương trình vi-tích phân. Kết quả chính của chương này là Định lý 3.1. Để tiện theo dõi trong quá trình viết luận văn. Chúng tôi đã đưa vào danh mục các kí hiệu toán học ở trang đầu. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier Cosine, Kontorovich – Lebedev ngược ([6])  f pxq ÞÑ g   D » 1  u coshpx vq e u  eu coshpxvq h puq f pv q dudv R2 trong đó D  2 d π 2 dx2 8  ± k 1 1 2 4d k 2 dx2 (1) từ đó nghiên cứu một số tính chất của 3 toán tử D và ứng dụng để giải đóng một lớp bài toán dạng Cauchy mà phương trình của nó là phương trình vi-tích phân. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn trình bày 3 vấn đề chính Vấn đề 1. Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân pFc , K 1 q Vấn đề 2. Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng pFc , K 1 q với hàm trọng. Vấn đề 3. Ứng dụng giải đóng một lớp bài toán dạng Cauchy. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fc , K 1 với hàm trọng trên không gian L2 pR q và ứng dụng. 5. Phương pháp nghiên cứu Dùng kỹ thuật giải tích hàm; Kỹ thuật hàm đặc biệt; Dùng kỹ thuật tích chập; Kỹ thuật phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng. 4 Chương 1 Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Trong chương này chúng tôi trình bày tóm tắt một số kiến thức cơ bản về một số không gian hàm, phép biến đổi tích phân, tích chập dùng để nghiên cứu cho hai chương chính của luận văn là chương 2 và chương 3. Tài liệu chính để viết chương này là ([1, 2, 3, 6]). 1.1 1.1.1 Một số kiến thức cơ bản Một số không gian hàm dùng trong luận văn • L1 pRq là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên p8, » 8 8 8q sao cho |f pxq|dx   8 và L1 pRq là một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định } f } L p Rq  1 • L1 pR » 8 8 |f pxq|dx. q là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên p0, 8q sao cho »8 0 |f pxq|dx   8, 5 và L1 pR q là một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định »8 }f }L pRq  1 |f pxq|dx. 0 • Lp pRq là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên p8, »8 8 8q sao cho |f pxq|pdx   8, và Lp pRq là một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định  »8 1 p }f }L pRq   |f pxq|pdx . p • Lp pR 8 q là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên p0, 8q sao cho »8 |f pxq|pdx   8, 0 và Lp pR q là một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định  »8 1 p }f }L pR q   |f pxq|pdx . p 0 • Lα,β r pR q là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên p0; 8q sao cho »8 |f pxq|r .xα.eβxdx   8, r ¥ 1, β ¥ 0, α ¡ 1, 0 và Lα,β r pR q là không gian định chuẩn với chuẩn được xác định  }f }L α,β r pR q   »8 0 1 r |f pxq|r xαeβxdx . 6 1.1.2 Phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine Định nghĩa 1.1. ([4]) Cho hàm f pxq P L1 pRq. Khi đó phép biến đổi tích phân Fourier (F ) đối với hàm f được định nghĩa như sau frpxq  pF f qpy q  » 8 1 ? eixy f py qdy; 2π 8 x P R. (1.1) Ở đó F được gọi là phép biến đổi Fourier hoặc toán tử Fourier. Và F có phép biến đổi Fourier ngược (F 1 ) được định nghĩa như sau Phép biến đổi Fourier ngược của hàm f được xác định bởi công thức » 8 pF 1frqpyq  ?1 Nhận xét 1.1. 1) Vì |eixy | 2π 8 eixy frpy qdy; x P R. (1.2)  1 và f pxq P L1pRq nên các tích phân (1.1); (1.2) là hội tụ với mỗi x P R. 2) F, F 1 là các toán tử tuyến tính. Định nghĩa 1.2. ([4]) Phép biến đổi Fourier cosine pFc q của một hàm f P L1pR q là một hàm được xác định bởi công thức pFcf qpxq  c 2 π »8 cos xyf py qdy, x ¡ 0. (1.3) 0 Phép biến đổi Fourier cosine ngược pFc1 q của hàm f được xác định như sau pFc1frqpxq  Nhận xét 1.2. Vì | cos xy | c 2 π »8 cos xy frpy qdy, x ¡ 0. (1.4) 0 ¤ 1, | sin xy| ¤ 1 và f pxq P L1pR q nên các tích phân (1.3), (1.4) đều hội tụ với mỗi x P R. 1.1.3 Phép biến đổi tích phân Kontorovich - Lebedev Định nghĩa 1.3. ([6]) Phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev được nghiên cứu đầu tiên bởi M. J. Kontorovich và N. N. Lebedev trong khoảng 7 (1938-1939) và có dạng K rf spy q  »8 Kix py qf pxqdx, (1.5) 0 nó bao hàm các hạt nhân và hàm Macdonald Kv pxq của chỉ số ảo thuần túy ν  iy. Hàm Kν pzq thỏa mãn phương trình Bessel. du d2 u z 2 2 z  pz 2 ν 2 qu  0. dz dz (1.6) Hàm Macdonald có dáng tiệm cận Tại 8 là Kν pz q  p π 1 z q 2 e r1 2z Op1{z qs , z Ñ 8, (1.7) tại lân cận điểm 0 z ν Kν pz q  2ν 1 Γpν q K0 pz q   log z op1q, Ñ 0, ν  0 Op1q, z Ñ 0. z (1.8) (1.9) Ngoài ra hàm Macdonald còn có dạng biểu diễn sau đây Kiy pxq  »8 ex cosh u cos yudu, x ¡ 0. (1.10) 0 Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev (1.5) ngược là dạng f pxq  K 1 rg spxq  2 sinhpπxq π ở đây Kix py q là hàm Macdonald. 1.2 1.2.1 »8 1 Kix py qg py qdy, y (1.11) 0 Một số kiến thức về tích chập Định nghĩa tích chập Về lịch sử của tích chập suy rộng có thể xem [4,10]. Chúng tôi xin phép không trình bày ở đây. Tuy nhiên phần sau đây có nhắc lại một số khái niệm về tích chập và tích chập suy rộng dùng cho luận văn. 8 Định nghĩa 1.4. ([4,10]) Cho U1 pX1 q, U2 pX2 q là các không gian tuyến tính, V pY q là một đại số. Khi đó, pq : U1pX1q  U2pX2q Ñ V pY q pf, gq ÞÑ pf  gqpyq được gọi là phép toán tích chập. Ký hiệu pq. Giả sử K là một toán tử tuyến tính từ không gian tuyến tính U pX q vào đại số V pY q : K : U pX q Ñ V pY q. P U1pX1q; g P U2pX2q đối với phép biến đổi tích phân K là một hàm, ký hiệu pf  g q sao cho đẳng thức nhân tử hóa sau đây Tích chập của hai hàm f được thỏa mãn K pf  g qpy q  pKf qpy q.pKg qpy q. (1.12) Khi đó không gian U pX q cùng với phép toán chập p.  .q trên xác định một đạị số. Trong phần này chúng ta trình bày một số các kết quả về tích chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev để minh họa cho Định nghĩa 1.4, ngoài ra các tích chập này còn dùng để nghiên cứu các chương sau của luận văn. 1.2.2 Ví dụ Ví dụ 1. ([4]) P L1pRq, tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier (1.1) đối với hai hàm f, g, ký hiệu pf  g qpxq được xác định bởi công thức F Cho f, g pf F gqpxq  Tích chập pf » 8 1 ? f px  y qg py qdy; 2π 8 x P R. (1.13)  gqpxq P L1pRq và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa F F pf  gqpyq  pF f qpyq.pF gqpyq; F y P R. (1.14) 9 Đến năm 1967, V.A.Kakichev đã đưa ra phương pháp kiến thiết tích chập đối với phép biến đổi tích phân K với hàm trọng γ py q, ký hiệu pf  g qpxq và thỏa γ mãn đẳng thức nhân tử hóa K pf  g qpy q  γ py qpKf qpy qpKg qpy q. (1.15) Nhờ phương pháp này một số tích chập với hàm trọng đã được xây dựng và nghiên cứu. Ví dụ 2. ([4]) P L1pR q. Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine của hai hàm f và g ký hiệu: pf  g qpxq được xác định bởi công thức F Cho f, g c pf F gqpxq  c ?1 2π » 8 0 f py qrg p|x  y |q Tích chập này thuộc không gian L1 pR Fc pf g px y qsdy; x ¡ 0. (1.16) q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa  gqpyq  pFcf qpyqpFcgqpyq, @y ¡ 0. (1.17) Fc Ví dụ 3. ([11]) P L1pR q. Tích chập đối với phép biến đổi tích phân KontorovichLebedev pK q của hai hàm f, g ký hiệu: pf  g qpxq được xác định bởi công K Cho f, g thức pf K gqpxq  1 2π » 8»8 0 0  1  xu exp  2 v Tích chập này thuộc không gian L1 pR K pf xv u q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa  gqpyq  pKf qpyq.pKgqpyq, @y ¡ 0. K  uv f puqg pv q dudv, x ¡ 0. x (1.18) (1.19) 10 1.3 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân 1.3.1 Định nghĩa và đẳng thức nhân tử hóa Trong phần này chúng tôi trình bày tóm tắt sơ đồ xây dựng tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân như sau. Xét các phép biến đổi tích phân Kj : Uj pXj q Ñ V pY q,  1, 2, 3 Fj  f˜j py q  pKj fj qpy q  kj py, xj qfj pxj qdxj P V pY q, j » Xj trong đó Uj pXj q là các không gian tuyến tính và V pY q là đại số. Định nghĩa 1.5. ([8]) Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân  K1 , K2 , K3 với hàm trọng γ1 của hai hàm f và g là một biểu thức f g γ1 sao cho thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa  K1 f  g pyq  γ1pyqpK2f qpyqpK3gqpyq, @y P Y. γ1 (1.20) Ví dụ 4. ([10]) Cho f, g P L1pR q. Tích chập với hàm trọng γ pyq  sin y của hai hàm số f, g đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine (1.4) được xác định như sau  f  g pxq  γ Fs ?1 2 2π » 8 0 signpx  y  f pxq signpx 1qg |x  y y  1qg |x 1|  g px y  1| y 1q   signpx  y  1qgp|x  y  1|q  Tích chập tử hóa f g γ Fs  Fs f thuộc không gian L1 pR q và thỏa mãn đẳng thức nhân  g pyq  sin ypFsf qpyq.pFsgqpyq, γ Fs dy (1.21) y ¡ 0. (1.22) 11 Chương 2 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev ngược Trong chương này chúng tôi trình bày về tích chập suy rộng đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev ngược (2.1). Nghiên cứu sự tồn tại của toán tử tích chập này cũng như đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval và các bất đẳng thức chuẩn trên lớp các không gian hàm khác nhau. Sau đó, chúng tôi nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng này bằng kỹ thuật cố định hàm h và cho hàm f biến thiên trong không  γ gian hàm xác định và xây dựng toán tử D8 tác động vào h  f , cụ thể là D8 : L2 pR q Ñ L2pR q  fÑ Þ g  D8 h γ f trong đó, D8  d2 dx2 8  ± k 1 1 4d2 k 2 dx2 Từ đó nhận được tính Unita của phép biến đổi này, cũng như công thức biến đổi ngược dạng đối xứng của chúng. Các kết quả chính của chương này là Định lý 2.1, Định lý 2.4 và Định lý 2.5. Tài liệu chính để nghiên cứu chương này là ([5,6]) 12 2.1 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev ngược Định nghĩa 2.1. ([8]) Tích chập suy rộng với hàm trọng γ py q  y sinh1pπyq của hàm h và f với phép biến đổi tích phân Fourier cosine và phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev ngược được định nghĩa như sau ph  f qpxq  γ 1 π2 » 8» 8 1 u coshpx vq u coshpxvq e e h u f v dudv, x 0 0 u r spqpq ¡ 0. (2.1) Định lý 2.1. ([8]) Giả sử h P LpR , x1 q và f suy rộng ph  f qpxq thuộc LpR γ P LpR 1 , sinh x q. Khi đó tích chập q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau Fc ph  f qpy q  γ py qpK 1 hqpy qpFc f qpy q, @y γ ¡ 0, (2.2) trong đó K 1 là phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược được xác định ở (1.12). Fc là phép biến đổi Fourier cosine được xác định ở (1.4) Nhận xét: Như vậy ta thấy trong đẳng thức nhân tử hóa (2.2) của tích chập  suy rộng (2.1) có hai phép biến đổi khác nhau tham gia là Fc , K 1 . Chứng minh. Vì sinhpx v qeu coshpx vq » 8 » 8  1 u coshpx vq  e  u 0 0 » 8» 8 r ¤ Ñ 0 khi u, v Ñ 8, ta có   eu coshpxvq shpuqf pv qdudv   1 u coshpx vq | e eu coshpxvq ||hpuq||f pv q|dudv u » 0 8 »0 8 |f pvq| dudv 1 ¤ | sinhpx v q||eu coshpx vq ||hpuq| u | sinhpx vq| 0 » 80 » 8 |f pvq| dudv 1 | sinhpx  v q||eu coshpxvq ||hpuq| u | sinhpx  vq| 0 » 8 0» 8 1 1 ¤ M1 |hpuq||f pvq|dudv u | sinhpx v q| 0 0 » 8» 8 |hpuq| |f pvq| dudv   8. M2 u | sinhpx  v q| 0 0 13 Lưu ý rằng » 8 0 sinhpx 1 αqeu coshpx αq dx  eu cosh α u (2.3) và » 8 0 | sinhpx  vq|eu coshpxvqdx  » 8 v»  2 v 0 eu u sinhpx  v qeu coshpxvq dx sinhpx  v qeu coshpxvq dx  eu cosh v , u (2.4) theo (2.3) ta suy ra » 8» 8» 8 0 eu coshpx vq |hpuq||f pv q|dudvdx » 80 » 80 » 8 |hpuq||f pvq| dudvdx v q|eu coshpx vq sinhpx v q »0 8 » 0 8 » 0 8 uq||f pv q| | sinhpx vq|eu coshpx vq |hpsinh dudvdx ¤ p vq 0 0 0 » 8 » 8 u cosh v e |f pvq| dudv  | hpuq| u | sinh v| »0 8 » 0 8 |hpuq| |f pvq| dudv. ¤ (2.5) u | sinh v | 0 0  | sinhpx Tương tự, theo (2.4) ta có » 8» 8» 8 0 eu coshpxvq |hpuq||f pv q|dudvdx » 80 » 80 » 8 hpuq||f pv q| dudvdx | sinhpx  vq|eu coshpxvq |sinh p x  vq 0 0 0 » 8» 8» 8  | sinhpx  vq|eu coshpxvq|hpuq| sinh|fppxvq| vq dudvdx »0 8 »0 8 0 2 u 1 u cosh v |f pvq| dudv ¤ e e | hpuq| u u sinhpx  v q 0 0 » 8» 8 |hpuq| |f pvq| dudv   8. 3 (2.6) u | sinhpx  v q| 0 0 
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan