Tài liệu Phân tích phương sai với spss và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN TRẦN THỊ NGỌC MAI PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI VỚI SPSS VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Hà Nội - 2017 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN TRẦN THỊ NGỌC MAI PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI VỚI SPSS VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. Trần Trọng Nguyên Hà Nội - 2017 2 LỜI CẢM ƠN Trước tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS Trần Trọng Nguyên đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài. Em cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ toán ứng dụng đã giảng dạy và ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận này. Em xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2017 Sinh viên Trần Thị Ngọc Mai 3 LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp này là quá trình học tập, nghiên cứu và nỗ lực của bản thân em dưới sự chỉ bảo của các thầy, cô giáo, đặc biệt là sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của thầy giáo Trần Trọng Nguyên. Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Phân tích phương sai với SPSS và ứng dụng” không có sự trùng lặp với các khóa luận khác và kết quả thu được trong để tài này là hoàn toàn xác thực, có sự kế thừa của một số tài liệu khác. Hà Nội, tháng 5 năm 2017 Sinh viên Trần Thị Ngọc Mai 4 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU ................................................................................................ 1 1. Lí do chọn đề tài ................................................................................. 1 2. Mục đích nghiên cứu .......................................................................... 2 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ..................................................... 2 4. Phương pháp nghiên cứu ................................................................... 2 5. Cấu trúc khóa luận ............................................................................. 2 NỘI DUNG ............................................................................................. 3 CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ....................................... 3 1.1. Biến ngẫu nhiên .............................................................................. 3 1.1.1. Khái niệm ...................................................................................... 3 1.1.2. Phân loại....................................................................................... 3 1.1.2.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc ............................................................. 3 1.1.2.2. Biến ngẫu nhiên liên tục ........................................................... 4 1.1.3. Đặc trưng của biến ngẫu nhiên .................................................... 4 1.1.3.1. Kỳ vọng..................................................................................... 4 1.1.3.2. Phương sai.................................................................................. 5 1.1.3.3. Phân vị, trung vị ........................................................................ 6 1.2. Hàm phân phối ................................................................................ 7 1.2.1. Khái niệm ..................................................................................... 7 1.2.2. Tính chất ...................................................................................... 7 1.2.3. Một số hàm phân phối thường gặp .............................................. 7 1.2.3.1. Phân phối chuẩn ......................................................................... 7 1.2.3.2. Phân phối  2 ............................................................................ 8 1.2.3.3. Phân phối Student ..................................................................... 8 1.2.3.4. Phân phối Fisher ........................................................................ 9 5 1.3. Mẫu ngẫu nhiên .............................................................................. 9 1.3.1. Khái niệm ..................................................................................... 9 1.3.2. Đặc trưng mẫu............................................................................ 10 1.3.2.1. Trung bình mẫu....................................................................... 10 1.3.2.2. Phương sai mẫu....................................................................... 10 1.4. Bài toán kiểm định giả thuyết ....................................................... 11 1.4.1. Khái niệm ................................................................................... 11 1.4.2. Tiêu chuẩn kiểm định ................................................................ 11 1.4.3. Miền bác bỏ giả thuyết .............................................................. 12 1.4.4. Giá trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định ................................. 12 1.4.5. Sai lầm trong bài toán kiểm định ............................................... 12 1.5. Mô hình hồi quy ............................................................................. 13 1.5.1. Hàm hồi quy............................................................................... 13 1.5.2. Hồi quy tổng thể và hồi quy mẫu............................................... 13 1.5.3. Hồi quy tuyến tính ..................................................................... 14 1.5.4. Hồi quy đơn và hồi quy bội ....................................................... 14 1.5.5. Mô hình hồi quy với biến giả...................................................... 15 1.6. Phương pháp bình phương cực tiểu .............................................. 15 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 .................................................................... 17 CHƯƠNG 2. PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI ......................................... 18 2.1. Bài toán phân tích phương sai ...................................................... 18 2.1.1. Bài toán phân tích phương sai cổ điển........................................ 18 2.1.2. Bài toán phân tích phương sai ................................................... 19 2.2. Phương pháp chung ...................................................................... 20 2.3. Phân loại phân tích phương sai ..................................................... 21 2.3.1. Phân tích phương sai một nhân tố .............................................. 21 2.3.1.1. Phân tích phương sai một nhân tố hiệu quả xác định .............. 21 6 2.3.1.2. Phân tích phương sai một nhân tố hiệu quả ngẫu nhiên .......... 38 2.3.2. Phân tích phương sai hai nhân tố hiệu quả xác định .................. 39 2.3.2.1. Mô hình phân tích phương sai hai nhân tố tác động riêng rẽ .. 39 2.3.2.2. Kĩ thuật phân tích và các kiểm định ........................................ 40 2.3.2.3. Mô hình phân tích phương sai hai nhân tố tác động đồng thời 42 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 ..................................................................... 45 CHƯƠNG 3. SPSS VỚI PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI ....................... 46 KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 ..................................................................... 52 KẾT LUẬN ........................................................................................... 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 54 7 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Xác suất thống kê là một môn học được đưa vào giảng dạy ở hầu hết các trường đại học, cao đẳng hay trung cấp. Nó là một ngành khoa học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên và đã có những phát triển vượt bậc trong thế kỉ XX. Đầu tiên xác suất xuất hiện trong các trò chơi giải trí cách đây vài thế kỉ, dần dần ngày càng có nhiều nhà toán học nghiên cứu về lĩnh vực này hơn như Blaise Pascal, James Bernoulli, Pierre Simon Laplace,... Ngày nay ngành khoa học này được mọi người biết đến không chỉ là một ngành toán học chặt chẽ về lí thuyết mà nó còn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khác nhau như kinh tế, kĩ thuật, quản lí xã hội, khoa học tự nhiên…. Ở nước ta hiện nay, trong quá trình công nghiệp hóa, hiện đại hóa, nền kinh tế có nhiều biến động thì các khái niệm liên quan đến xác suất thống kê như: dự báo, chuẩn đoán, kiểm định sự tăng giảm của giá cả thị trường,… ngày càng trở nên quen thuộc. Chính vì vậy xác suất thống kê trở thành một công cụ hữu ích để giải quyết nhiều vấn đề trong cuộc sống. Phân tích phương sai là một trong những nội dung quan trọng của thống kê phân tích. Nội dung cơ bản của nó về mặt kĩ thuật là tìm cách phân chia tổng sai số bình phương của một biến ngẫu nhiên X thành những bộ phận khác nhau mà mỗi bộ phận này phản ánh tổng bình phương sai số của X theo một đặc trưng nào đó. Đặc trưng được xác định tùy thuộc mục đích nghiên cứu thống kê. Vì vậy với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phân tích phương sai, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Trần Trọng Nguyên em đã chọn đề tài: "Phân tích phương sai với SPSS và ứng dụng" để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp của mình. 8 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu bài toán phân tích phương sai. - Nghiên cứu cách sử dụng phần mềm SPSS trong phân tích phương sai. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức về phân tích phương sai, phần mềm SPSS. - Phạm vi nghiên cứu: Phân tích phương sai trong thống kê phân tích. 4. Phương pháp nghiên cứu - Đọc hiểu tài liệu. - Đánh giá, phân tích và tổng hợp. 5. Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 3 chương: Chương 1. Một số kiến thức cơ sở Chương 2. Phân tích phương sai Chương 3. SPSS với phân tích phương sai 9 NỘI DUNG Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương 1, khóa luận sẽ trình bày một số kiến thức cơ sở về biến ngẫu nhiên, mẫu ngẫu nhiên, hàm phân phối,… để làm nền tảng kiến thức cho các chương sau. 1.1. Biến ngẫu nhiên 1.1.1. Khái niệm Một đại lượng (hay một biến) nhận các giá trị của nó với xác suất tương ứng nào đấy gọi là đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên. Ta thường ký hiệu biến ngẫu nhiên bởi các chữ X, Y, Z,… hoặc  , , ,.... Các giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận thường viết bằng chữ nhỏ x, y, z,… 1.1.2. Phân loại Căn cứ vào giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận ta phân các biến ngẫu nhiên ra làm 2 loại chính: biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục. 1.1.2.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc Nếu tập các giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận là một tập gồm một số hữu hạn điểm hoặc vô hạn nhưng đếm được, khi đó biến ngẫu nhiên gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc. Giả sử biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị x1, x2 ,..., xn ,... và P X  xi   pi , i = 1, 2,… Để mô tả (hoặc xác định) biến ngẫu nhiên rời rạc X ta dùng bảng sau: X x1 x2 …. xn …. P  X  xi  p1 p2 …. pn …. Trong đó p i  1 , pi  0 i  1, 2,.... i 10 1.1.2.2. Biến ngẫu nhiên liên tục Nếu tập các giá trị biến ngẫu nhiên nhận lấp đầy một khoảng nào đó, khi đó biến ngẫu nhiên được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục. - Để mô tả (hoặc xác định) biến ngẫu nhiên liên tục ta dùng khái niệm hàm mật độ. Hàm p(x) được gọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên nào đấy nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau: 1. p  x   0 x   ,    2.  p  x  dx  1  Trong trường hợp này xác suất để biến ngẫu nhiên X thuộc vào khoảng  x0 , x1  x1 được tính như sau: P  x0  X  x1   p  x  dx x0 1.1.3. Đặc trưng của biến ngẫu nhiên 1.1.3.1. Kỳ vọng Khái niệm Với mọi biến ngẫu nhiên X ta kí hiệu EX hoặc E(X) hoặc E[X] và xác định như sau: (i) Trường hợp X rời rạc với miền giá trị RX và hàm khối lượng xác suất pX  xk  EX   xk RX xk p X  xk  (1.1) (ii) Trường hợp X liên tục có hàm mật độ xác suất f X  x  thì  EX   xf  x  dx X  11 (1.2) Nếu chuỗi (1.1) hội tụ tuyệt đối (trường hợp X rời rạc) hay tích phân (1.2) hội tụ tuyệt đối (trường hợp X liên tục) thì ta gọi EX là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X, trường hợp ngược lại ta nói X không tồn tại kỳ vọng. Kỳ vọng mang ý nghĩa là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X. 1.1.3.2. Phương sai Khái niệm Phương sai hay độ lệch bình phương trung bình của biến ngẫu nhiên X là đại lượng đo sự phân tán bình phương trung bình của X xung quanh giá trị trung bình EX. Nói cách khác phương sai của X là kỳ vọng của  X  EX  2 và được kí hiệu là Var X. VarX  E  X  EX  2  X  VarX được gọi là độ lệch chuẩn của X. Ta có  X  EX   X 2   2 EX  X   EX  2 2 Ta có công thức tính phương sai như sau: VarX  EX 2   EX  2 Từ công thức trên ta có công thức tính riêng cho từng trường hợp rời rạc hay liên tục: (i) Trường hợp X rời rạc với miền giá trị RX và hàm khối lượng xác suất pX  xk  thì EX  2 x xi RX i 2 p X  xi ;VarX  EX   EX  2 2     xi p X  xi     xi p X  xi   xi RX  xiRX  2 (ii) Trường hợp X liên tục có hàm mật độ xác suất f X  x  thì  EX 2  x 2 f X  x dx;VarX  EX 2   EX     2   x f X  x  dx    xf X  x  dx       2  12 2 2 1.1.3.3. Phân vị, trung vị  Phân vị Phân vị mức  của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu v , là giá trị phân chia miền giá trị RX của X thỏa mãn: P X  v     P  X  v  Nghĩa là FX  v      FX  v   Trường hợp biến ngẫu nhiên X liên tục với hàm phân bố xác suất FX  x  phân vị v là điểm phân chia miền giá trị RX của X thành 2 miền với xác suất tương ứng là  và 1   . Vậy v là nghiệm duy nhất của phương trình FX  x    v  FX 1   Phân vị mức  là giá trị tới hạn mức 1   . Giá trị tới hạn mức 1   của biến ngẫu nhiên X được ký hiệu là x1 và xác định như sau: P  X  x1   1    Trường hợp biến ngẫu nhiên X rời rạc có miền gia trị RX và hàm khối lượng xác suất pX  x   P X  x . Với mọi xi  RX , FX  xi   pX  x1   ...  pX  xi  Khi đó: m, m   xi , xi 1  nếu   FX  xi  v    xi 1 nếu FX  xi     FX  xi 1  Phân vị mức  của biến ngẫu nhiên liên tục là duy nhất, nhưng của biến ngẫu nhiên rời rạc có thể là vô số.  Trung vị Phân vị mức ½ được gọi là median hay trung vị của X, ký hiệu Med X. Như vậy trung vị là điểm phân chia phân bố xác suất thành hai phần bằng nhau. 13 1.2. Hàm phân phối 1.2.1. Khái niệm Cho biến ngẫu nhiên X, ta xác định hàm phân phối của X như sau: FX  x   P X  x Trong định nghĩa trên x là biến của hàm F, x nhận giá trị thực, x   ,   . Tại một điểm x bất kì hàm F(x) chính là xác suất để biến ngẫu nhiên nhận giá trị nhỏ hơn x hoặc để biến ngẫu nhiên nhận giá trị bên trái x. Chỉ số của hàm FX  x  để chỉ hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X. 1.2.2. Tính chất Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên có một số tính chất cơ bản sau:  Hàm phân phối xác định x   ,    0  F  x   1, x ; lim F  x   0, lim F  x   1 x x  Hàm phân phối là hàm không giảm: Nếu x1  x2 thì F  x1   F  x2   Pa  X  b  F  b   F  a  1.2.3. Một số hàm phân phối thường gặp 1.2.3.1. Phân phối chuẩn N   , 2  Phân phối chuẩn là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ chuẩn tổng quát: 1 x  1 2 p x  e 2 với   x    2 2 Đường cong mật độ này đối xứng qua đường x   , nhận trục 0x làm tiệm cận ngang và có giá trị cực đại tại x   với tung độ cực đại là 1  2 Trường hợp đặc biệt: X có phân phối chuẩn N(0, 1). Khi đó hàm mật độ được kí hiệu là   x  14 1 2x   x  e với   x   2 2 là hàm đối xứng qua trục tung. Hàm phân phối N(0, 1) được kí hiệu   x  1   x  2 x e t 2 2 dt  Phân phối chuẩn chiếm vị trí quan trọng trong lý thuyết xác suất, là vị trí trung tâm trong các kết luận thống kê sau này. 1.2.3.2. Phân phối  2 Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối  2 với n bậc tự do ( n  N * ) nếu X có hàm mật độ f được xác định trên R bởi: n x 1  1 2 x e2  n  n f  x   22   2  0 nếu x  0 nếu x  0 trong đó ký hiệu  chỉ hàm Gamma. Ký hiệu: X Giả sử X  2 n  2  n  , nếu P  X  c    thì c được gọi là bách phân vị mức  của phân phối  2  n  , ký hiệu: 2  n  Vậy P  X  2  n     Nếu X  2  n  thì EX  n,VarX  2n 1.2.3.3. Phân phối Student Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối Student (hay phân phối t) với n bậc tự do khi X có hàm mật độ f được xác định bởi: 15  n 1 n 1  2  2   x  2  f  x   1   , x   n n n     2 student  n  hay X Ký hiệu: X Giả sử T t  n t  n  , nếu P T  c    thì c được gọi là bách phân vị mức  của phân phối t  n  , ký hiệu t n    Vậy P T  t    n 1.2.3.4. Phân phối Fisher Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối Fisher với n1 và n2 bậc tự do khi X có hàm mật độ f được xác định bởi:   n1  n2  n1 n n  1 2    2   n  2 n1 1  2  n1   1 2 ,x  0    x 1   f  x     n1   n2   n2  n2       2   2   0, x  0 Ký hiệu: X F  n1, n2  1.3. Mẫu ngẫu nhiên 1.3.1. Khái niệm Tiến hành n quan sát độc lập về biến ngẫu nhiên X nào đó. Ta gọi Xi là việc quan sát lần thứ i về biến ngẫu nhiên X. Khi đó  X1, X 2 ,..., X n  được gọi là mẫu ngẫu nhiên, n được gọi là cỡ mẫu hay số lần quan sát. Như vậy mẫu ngẫu nhiên cỡ n thực chất là n biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối như biến ngẫu nhiên X. Từ nay về sau khi nói rằng ta có một mẫu ngẫu nhiên cỡ n được rút ra từ biến ngẫu nhiên X, ta sẽ hiểu đó là n biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối nếu ta không quan tâm đến kết quả cụ thể quan sát được. 16 1.3.2. Đặc trưng mẫu 1.3.2.1. Trung bình mẫu Cho biến ngẫu nhiên X và mẫu ngẫu nhiên từ X là  X1, X 2 ,..., X n  . 1 n Người ta gọi trung bình mẫu là biến ngẫu nhiên có dạng: X   X i n i 1 Do X1, X 2 ,..., X n là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối như X, nên trung bình mẫu là một biến ngẫu nhiên. Do đó ta lại tìm kỳ vọng và EX  phương sai của X : Var X  1 n 1 EXi  .n.EX    n i 1 n 1 n 1 VarX  2 V ar X  . nV . ar X    i n2 n 2 i 1 n n 1.3.2.2. Phương sai mẫu Cho biến ngẫu nhiên X và mẫu ngẫu nhiên từ X là  X1, X 2 ,..., X n  . Người ta gọi phương sai mẫu là biến ngẫu nhiên có dạng:  1 n s   Xi  X n i 1 2  2 2 1 n 2   Xi  X n i 1 Phương sai mẫu cũng là một biến ngẫu nhiên, sử dụng các tính chất của kỳ vọng ta có: 2 1 n Es  E   X i      X   n i 1   2  1  n 2  E   X i     X   n  i 1   2   2 X i    X        1  n 2 E    X i      n X   n  i 1   2 1  n 1 n 2 2 E    X i      n X       X i     E X   n  i 1   n i 1     17 2   2n X    X       2 1 VarX n  1 2  .nV . arX  Var X  VarX    n n n Để kỳ vọng của phương sai mẫu trùng với phương sai DX của biến ngẫu nhiên gốc ta cần hiệu chỉnh như sau: Phương sai mẫu có hiệu chỉnh:  1 n s   Xi  X n  1 i 1 2 Khi đó: Es   2 2 1 n 2 n n 2  X  X  s  i n 1 n  1 i 1 n 1 n n n 1 2 Es 2  . .   2 n 1 n 1 n 1.4. Bài toán kiểm định giả thuyết 1.4.1. Khái niệm  Giả thuyết: Một mệnh đề (một câu khẳng định) về một vấn đề chưa biết nào đó được gọi là giả thuyết.  Giả thuyết thống kê: Giả thuyết thống kê là những phát biểu về các tham số, quy luật phân phối, hoặc tính độc lập của các đại lượng ngẫu nhiên.  Kiểm định giả thuyết là việc tìm ra kết luận để bác bỏ hay chấp nhận một giả thuyết.  Trog bài toán kiểm định giả thuyết, giả thuyết cần được kiểm định gọi là giả thuyết không, ký hiệu là H 0 ; mệnh đề đối lập với H 0 gọi là đối thuyết, ký hiệu là H1 . 1.4.2. Tiêu chuẩn kiểm định giả thuyết thống kê Miền bác bỏ W được xây dựng từ thống kê T của mẫu gọi là tiêu chuẩn kiểm định và được xác định như sau: Từ biến ngẫu nhiên gốc X của tổng thể lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n: W   X1, X 2 ,..., X n  Chọn thống kê T  T  X1, X 2 ,..., X n ,  trong đó  là tham số liên quan đến giả thuyết cần kiểm định. 18 Nếu H 0 đúng thì thống kê T có quy luật phân bố xác suất xác định, từ đó có thể xây dựng miền bác bỏ W . 1.4.3. Miền bác bỏ giả thuyết Sau khi đã chọn tiêu chuẩn kiểm dịnh T , với  bé cho trước (thường  được lấy bằng 0,05 hoặc 0,01) và với điều kiện H 0 đúng ta có thể tìm được miền W sao cho T nhận giá trị trong miền W với xác suất bằng  : PT  W / H 0   Giá trị  được gọi là mức ý nghĩa của kiểm định và miền W gọi là miền bác bỏ giả thuyết H 0 với mức ý nghĩa  . 1.4.4. Giá trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định Thực hiện phép thử với mẫu ngẫu nhiên X   X1, X 2 ,..., X n  thu được mẫu cụ thể x   x1, x2 ,..., xn  , thay giá trị này vào thống kê T  T  X1, X 2 ,..., X n ,  ta được giá trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định: Tqs   x1 , x2 ,..., xn , 0  1.4.5. Sai lầm trong bài toán kiểm định  Sai lầm loại I: Bác bỏ giả thuyết H 0 trong khi H 0 đúng. Xác suất mắc sai lầm loại I đúng bằng mức ý nghĩa  . Thật vậy, xác suất ta bác bỏ H 0 bằng xác suất biến cố T  W  , do đó khi H 0 đúng thì xác suất này là xác suất có điều kiện PT  W / H 0   . Sai lầm loại I sinh ra do kích thước mẫu quá nhỏ, do phương pháp lấy mẫu.  Sai lầm loại II: Thừa nhận giả thuyết H 0 trong khi H 0 sai. Điều này xảy ra khi giá trị quan sát Tqs không thuộc miền bác bỏ W trong khi H1 đúng. Vậy xác suất sai lầm loại II là  và được xác định như sau: PT  W / H1   19 1.5. Mô hình hồi quy 1.5.1. Hàm hồi quy Mô hình hồi quy là sự phân tích mối quan hệ giữa các biến, là phân tích sự phụ thuộc của biến phụ thuộc vào một hay nhiều biến độc lập. Giả sử có cơ sở cho rằng sự biến động của Y (chẳng hạn) phụ thuộc vào tình trạng của các biến còn lại X 2 , X 3 ,..., X k . Như vậy chúng ta đã coi như các biến X 2 , X 3 ,..., X k là phi ngẫu nhiên. Trong trường hợp này với mỗi trạng thái của X 2 , X 3 ,..., X k biến ngẫu nhiên Y có một phân phối có điều kiện tương ứng F Y / X 2 ,..., X k  có trung bình và phương sai hữu hạn. Khi  X 2 ,..., X k    x21 ,..., xk1  xác định duy nhất E1 Y / X 2 ,..., X k  Khi  X 2 ,..., X k    x2i ,..., xki  xác định duy nhất E i Y / X 2 ,..., X k  Quan hệ trên xác định một hàm số biểu thị quan hệ phụ thuộc của giá trị trung bình có điều kiện của Y theo các biến được coi là phi ngẫu nhiên ( X 2 , X 3 ,..., X k ) . Định nghĩa1.1: Hàm hồi quy của Y theo X 2 , X 3 ,..., X k là trung bình có điều kiện của Y theo X 2 , X 3 ,..., X k . Ta có thể viết: E Y / X 2 ,..., X k   f  X 2 ,..., X k  (1.5) Và gọi f là hàm hồi quy của Y theo ( X 2 , X 3 ,..., X k ) . Y gọi là biến phụ thuộc và ( X 2 , X 3 ,..., X k ) gọi là các biến độc lập. Trường hợp đơn giản nhất: E Y / X   f  X  ta có một hồi quy đơn. Hồi quy với hơn một biến độc lập ta gọi là một hồi quy bội. 1.5.2. Hồi quy tổng thể và hồi quy mẫu Trong thống kê các biến Y và  X 2 ,..., X k  phải được đặt trên một tổng thể với tư cách là một tập các đối tượng mà trên đó các biến này có thể biểu hiện trạng thái của mình. 20