Tài liệu Phân tích Hàm nguyên và Hàm phân hình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Chu Đức Hiệp PHÂN TÍCH HÀM NGUYÊN VÀ HÀM PHÂN HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Chu Đức Hiệp PHÂN TÍCH HÀM NGUYÊN VÀ HÀM PHÂN HÌNH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH Hà Huy Khoái Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Hà Huy Khoái, người thầy đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành luận văn này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa, đặc biệt là PGS.TS Nguyễn Đình Sang, người thầy đã luôn giúp đỡ và có những ý kiến đóng góp quý báu trong quá trình học tập và nghiên cứu. Em xin cảm ơn các thầy phản biện đã giúp đỡ rất nhiều trong quá trình hoàn thành luận văn. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Hà Nội, ngày 09 tháng 12 năm 2013 Học viên Chu Đức Hiệp 1 Mục lục Lời cảm ơn 1 Lời mở đầu 4 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Hàm chỉnh hình một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Các tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình . . . . . . . . . 6 1.2 Hàm nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Hàm phân hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Hàm nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.1 Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.2 Hàm giả nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.3 Hàm nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Phân tích nghiệm nguyên của một vài phương trình vi phân đại số 16 2.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Một số bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Phân tích nghiệm nguyên của một vài phương trình vi phân đại số 19 2 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 3 LỜI MỞ ĐẦU Khi nghiên cứu các hàm nguyên và hàm phân hình, người ta chú ý việc phân tích chúng thành những hàm hợp. Điều này hoàn toàn tương tự như việc phân tích một số nguyên thành thừa số nguyên tố (định lý cơ bản của số học). Cách phân tích như vậy, khác với trường hợp số học, là không duy nhất. Tuy nhiên, nhiều vấn đề tương tự số học cũng được đặt ra. Hướng nghiên cứu nêu trên dẫn đến những khái niệm như hàm nguyên tố, hàm giả nguyên tố. Lĩnh vực nghiên cứu những tính chất của các hàm nguyên tố và giả nguyên tố, đặc trưng hóa và phân lớp những hàm nguyên tố và giả nguyên tố đã trở thành một lĩnh vực thời sự của giải tích phức, được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm. Bản luận văn này có mục đích trình bày khái niệm hàm nguyên tố và giả nguyên tố, cũng như một vài kết quả gần đây trong hướng nghiên cứu này. Nội dung chính của luận văn được viết theo bài báo “Factorization of entire solutions of some algebraic differential equations” đăng trên tạp chí Journal of Mathematical analysis and applications năm 2006. 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình một biến 1.1.1 Định nghĩa Giả sử Ω là một tập mở trong C. Cho u : Ω→C z = x + iy 7−→ u(z) = u(x, y). u ∈ C 1 (Ω). Ta có: dz = dx + idy, dz = dx − idy và do u ∈ C 1 (Ω) nên ∂u ∂u dx + dy ∂x ∂y 1 ∂u 1 ∂u (dz + dz) + (dz − dz) = 2 ∂x 2i ∂y     1 ∂u 1 ∂u 1 ∂u 1 ∂u = + dz + − dz. 2 ∂x i ∂y 2 ∂x i ∂y du = Đặt ∂u 1 = ∂z 2  ∂u 1 ∂u + ∂x i ∂y  ∂u 1 và = ∂z 2 5  ∂u 1 ∂u − ∂x i ∂y  . Khi đó: du = ∂u ∂u dz + dz. ∂z ∂z Ta có định nghĩa sau đây. ∂u = 0, ∀z ∈ Ω thì ta nói rằng u là ∂z hàm chỉnh hình trong Ω. Tập hợp tất cả các hàm chỉnh hình trong Ω ký hiệu Định nghĩa 1.1. Nếu u ∈ C 1 (Ω) và là H(Ω). Cho K là một tập compact trong C, nếu tồn tại một tập mở W ⊂ C sao cho K ⊂ W và f ∈ H(W ) thì ta nói rằng f là hàm chỉnh hình trên K. 1.1.2 Các tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình Tính chất 1. Mọi hàm u ∈ H(Ω) là khả vi vô hạn trên Ω. Hơn nữa, nếu u ∈ H(Ω) thì đạo hàm u0 cũng thuộc H(Ω). Tính chất 2. Cho K là một tập compact bất kỳ, K ⊂ Ω, với mọi lân cận mở W ⊂ Ω của K. Khi đó, với mọi hàm chỉnh hình u ∈ H(Ω) tồn tại các hằng số cj , j = 0, 1, ... (không phụ thuộc u) sao cho sup |u(j) (z)| ≤ cj ||u||L1 (W ) , z∈K ∂j u . ∂z j Tính chất 3. Tổng của chuỗi lũy thừa trong đó u(j) = u(z) = ∞ X an z n n=0 là một hàm chỉnh hình trên phần trong của đường tròn hội tụ và ngược lại, nếu f ∈ H(V (z0 )). Khi đó: f (z) = ∞ X cn (z − z0 )n . n=0 Tính chất 4. Cho u : C → C là hàm chỉnh hình, nếu u bị chặn thì u là hàm hằng. 6 Tính chất 5. (Nguyên lý mô đun cực đại) Nếu f là hàm chỉnh hình khác hằng trên một miền D và liên tục trên D thì |f | đạt cực đại trên ∂D. Tính chất 6. Giả sử f là hàm chỉnh hình trên D, liên tục trên D và không triệt tiêu trong D, thì |f | đạt cực tiểu trên ∂D. 1.2 Hàm nguyên Định nghĩa 1.2. Hàm f (z) chỉnh hình trên toàn mặt phẳng phức C được gọi là hàm nguyên. Hàm nguyên f (z) khai triển được thành chuỗi lũy thừa: f (z) = ∞ X cn z n . n=0 Ví dụ: ∞ X zn e = , n! n=0 z sin z = ∞ X (−1)n−1 n=1 z 2n−1 . (2n − 1)! Một hàm nguyên mà không tồn tại giới hạn khi z → +∞ thì được gọi là hàm nguyên siêu việt. Các hàm nguyên không phải là hàm nguyên siêu việt chỉ là những đa thức. Như vậy các đa thức khai triển được thành chuỗi lũy thừa hữu hạn. Bây giờ ta định nghĩa cấp của một hàm nguyên. Cho f (z) là một hàm nguyên. Ta định nghĩa hàm Mf (r) = max |f (z)|. |z|=r Theo nguyên lý môđun cực đại, nếu f khác hằng số thì Mf (r) là hàm tăng theo r. Định nghĩa 1.3. Một hàm nguyên f (z) được gọi là có cấp hữu hạn nếu tồn tại một số nguyên dương t sao cho: Mf (r) < er 7 t với mọi r đủ lớn (r > r0 nào đó, r0 = r0 (t) là một số phụ thuộc vào t). Cận dưới đúng của các số t nói trên được gọi là cấp của hàm nguyên f (z) và được ký hiệu là f (t). Từ bất đẳng thức: log log Mf (r) ≤ t log r, ta có f (t) = limr→+∞ log log Mf (r) . log r Định nghĩa 1.4. Giả sử f (z) có cấp hữu hạn, kiểu của hàm f (z) ứng với cấp ρ là một đại lượng được ký hiệu và xác định bởi σ = limr→+∞ Mf (r) . rρ Khi đó dễ thấy rằng σ là cận dưới đúng của các số A sao cho Mf (r) < eAr ρ còn cấp dưới của f là đại lượng: f ∗ (t) = limr→+∞ log log Mf (r) . log r Sau đây là một số tính chất về hàm nguyên. Định lý 1.5. Giả sử f (z) là hàm nguyên siêu việt có cấp hữu hạn và có khai triển thành chuỗi lũy thừa : f (z) = ∞ X cn z n . n=0 Khi đó f (t) = limn→+∞ n log n   1 log cn và (σeρ)1/ρ = limn→+∞ n1/ρ |cn |1/n . 8 Định lý 1.6. Đối với hàm nguyên f (z) bất kỳ, các hàm f (z) và f 0 (z) có cùng cấp và cùng kiểu. Chứng minh. Ta viết Z f (z) = z f 0 (w)dw + f (0). 0 Từ đó ta có : Mf (r) ≤ rMf 0 (r) + |f (0)| với |z| = r. Theo công thức tích phân Cauchy, ta có : Z f (w) 1 0 dw, f (z) = 2πi (w − z)2 |w|=2r và do đó : Mf (2r) . r Mf 0 (r) < Do đó Mf (r) − |f (0)| Mf (2r) ≤ Mf 0 (r) < . r r Mf (r) log log Mf (r) Từ f (t) = limr→+∞ và σ = limr→+∞ , định lý được chứng log r rf minh. Định lý 1.7. (Công thức Jensen). Giả sử f (z) là một hàm chỉnh hình trong hình tròn |z| < R, f (0) 6= 0 và r1 , r2 , ..., rn , ... là môđun các không điểm của hàm f (z) trong |z| < R, sắp xếp theo một thứ tự không giảm. Khi đó nếu rn ≤ r ≤ rn+1 rn |f (0)| 1 log = r1 · · · rn 2π Z2r log |f (reiθ )|dθ. 0 Chứng minh. Gọi n(z) hay n(x, t) là số không điểm của f (z) trong hình tròn 9 |z| ≤ x với số không điểm bội p được đếm p lần. Khi đó nếu rn ≤ r ≤ rn+1 n X rn log = n log r − log rj r1 · · · rn j=1 = n−1 X j(log rj+1 − log rj ) + n(log r − log rn ) j=1 = n−1 X j=1 rZj+1 j dx +n x Zr dx . x (1.1) rn rj Do i = n(x) với rj ≤ x ≤ rj+1 và n = n(x) với rn ≤ x ≤ r, kéo theo vế phải của (1.1) bằng : Zr n(x) dx. x 0 Do đó công thức Jensen có thể viết dưới dạng : Zr 1 n(x) dx = x 2π 0 1.3 Z2r log |f (reiθ )|dθ − log |f (0)|. 0 Hàm phân hình Định nghĩa 1.8. (Phân loại điểm bất thường cô lập). Điểm a ∈ C được gọi là điểm bất thường cô lập của hàm f nếu tồn tại một số r > 0 sao cho f ∈ H(0 < |z − a| < r). Nếu a là điểm bất thường cô lập của hàm f và : • lim f (z) = A hữu hạn thì ta nói a là điểm bất thường khử được. z→a • lim f (z) = ∞ thì ta nói a là điểm bất thường cực điểm. z→a • lim f (z) không tồn tại thì a được gọi là điểm bất thường cốt yếu. Nếu z→a a là điểm bất thường cốt yếu của hàm f (z) thì với mọi số phức w0 ∈ C tồn tại một dãy số phức zn → a sao cho f (zn ) → w0 khi n → +∞. 10 Định nghĩa 1.9. Một hàm chỉnh hình trên tập Ω trừ ra một số điểm bất thường là cực điểm trong Ω được gọi là hàm phân hình trên Ω. Ví dụ hàm f (z) = 1 , f (z) = tan z, f (z) = cot z đều là các hàm phân z−a hình. Tập hợp các hàm phân hình trên Ω được ký hiệu bằng M(Ω). Nếu a là không điểm của hàm f chỉnh hình trong một lân cận của điểm a thì ta có thể viết: f (z) = (z − a)K ϕ(z), với ϕ(z) là hàm chỉnh hình trong lân cận của điểm a và ϕ(a) 6= 0, K là số nguyên dương. Khi đó, ta nói K là cấp của không điểm a hay còn nói a là không điểm bội K của hàm f . Nếu a là cực điểm của hàm f (z) thì ta có thể biểu diễn f (z) = ϕ(z) (z − a)K trong đó ϕ(z) là một hàm chỉnh hình trong một lân cận của điểm a và ϕ(a) 6= 0, còn K là một số nguyên dương. Khi đó ta gọi K là cấp của cực điểm. Một hàm phân hình có điểm z = ∞ là bất thường khử được hoặc là cực điểm thì nó là một hàm hữu tỷ. Cấp của hàm phân hình: ρ = limr→+∞ log T (r, f ) . log r Kiểu của hàm phân hình: σ = limr→+∞ T (r, f ) , rρ trong đó T là hàm đặc trưng Nevanllina. Định nghĩa 1.10. Cho fn (z) và gm (z) là các hàm đa thức. Khi đó hàm h(z) = fn (z) được gọi là hàm hữu tỷ. gm (z) Hàm hữu tỷ là hàm phân hình có hữu hạn cực điểm. Như vậy hàm hữu tỷ có thể phân tích thành tích các phân thức đơn giản. 11 1.4 1.4.1 Hàm nguyên tố Một số định nghĩa Hàm phân hình h(z) = f (g(z)) được gọi là có nhân tử trái f (z) và nhân tử phải g(z), với điều kiện f (z) là hàm không tuyến tính và phân hình, g(z) là hàm không tuyến tính và nguyên (g(z) có thể là hàm phân hình khi f (z) là hàm hữu tỷ). Định nghĩa 1.11. h(z) được gọi là hàm nguyên tố (giả nguyên tố) nếu mọi phân tích có dạng trên kéo theo các hàm f (z) hay g(z) là hàm tuyến tính (đa thức trừ khi f là hàm hữu tỷ). 1.4.2 Hàm giả nguyên tố Có nhiều ví dụ tầm thường của hàm giả nguyên tố. Ví dụ, mọi đa thức đều là hàm giả nguyên tố. Đa thức có bậc nguyên tố là hàm nguyên tố. Sau đây, ta sẽ nghiên cứu một số ví dụ không tầm thường của hàm giả nguyên tố. Định lý 1.12. Hàm phân hình siêu việt cấp hữu hạn có nhiều nhất hữu hạn cực điểm và không điểm là hàm giả nguyên tố. Chứng minh. Lấy g = h(f ) thỏa mãn giả thiết của định lý và giả sử f không phải hàm giả nguyên tố. Theo định lý Picard, h(z) có nhiều nhất một cực điểm, giả sử cực điểm đó là b và nhiều nhất một không điểm a. Vì vậy, ta có biểu thức h(z) = (z − a)n α(z) e (z − b)m trong đó n và m là các số nguyên không âm và α(z) là hàm nguyên. Do g(h(z)) có cấp hữu hạn nên h(z) phải có cấp 0. Do đó α(z) là hằng. Vậy h(z) không thể là hàm nguyên siêu việt. Định lý được chứng minh. Đáng chú ý là h(z) phải có vô hạn các cực điểm hay vô hạn các không điểm, 12 trừ khi n hoặc m bằng 0. Suy ra h(z) có dạng c(z − d)n với n là số nguyên và c, d là hằng số. Định lý 1.13. Cho Q(z) là một đa thức khác 0 và τ là một hằng số khác không. Nếu F (z) là hàm nguyên siêu việt dạng mũ thì với số c thỏa mãn : F (z + τ ) − F (z) = Q(z)ecz , F (z) là hàm giả nguyên tố. Chứng minh. Giả sử F (z) = f (g(z)), với f là hàm nguyên siêu việt. Ta có : f (g(z + τ )) − f (g(z)) = Q(z)ecz . Do đó : g(z + τ ) − g(z) = Q1 (z)eaz+b với Q1 (z) là đa thức và a, b là hằng số. g có cấp lớn nhất là 1, kiểu là 0. Do đó a = 0, vì vậy : g(z + τ ) − g(z) = c0 Q1 (z) với c0 là hằng số. Điều này kéo theo g (n) (z) là hàm tuần hoàn với n nguyên. Do đó g (n) (z) cũng có cấp lớn nhất là 1, kiểu là 0. Mà một hàm tuần hoàn không phải hằng phải có ít nhất cấp 1 và kiểu dương. Do đó g (n) (z) phải là hằng số và suy ra g(z) là đa thức. Định lý được chứng minh. 1.4.3 Hàm nguyên tố Định nghĩa 1.14. Cho g là một hàm nguyên có cấp nhỏ hơn 1. Ta nói hàm nguyên F (z) là tuần hoàn môđulô đa thức g với chu kỳ τ nếu F (z + τ ) − F (z) = g(z). Ta nêu ra một vài kết quả : 13 1) Cho ai (z) là hàm nguyên tố có cấp hữu hạn ρ. Cho gi (z) cũng là các hàm nguyên và gi (z) − gj (z)(i 6= j) là các hàm siêu việt hoặc đa thức có cấp lớn hơn ρ. Khi đó : n X ai (z)egi (z) = a0 (z) i=1 chỉ xảy ra khi : a0 (z) = a1 (z) = ... = an (z) = 0. 2) Nếu h là hàm nguyên và tuần hoàn môđulô đa thức g với chu kỳ τ thì mọi nhân tử phải có dạng : l(z) = H1 (z) + g ∗ (z)eH2 (z)+az trong đó Hi , i = 1, 2 là hàm tuần hoàn với chu kỳ τ , a là hằng số và g ∗ (z) là đa thức. 3) Một hàm nguyên h dạng mũ tuần hoàn môđulô đa thức không hằng hoặc là một hàm nguyên tố, hoặc có dạng : h(z) = f ((z + c)2 ) với f là một hàm nguyên và c là một hằng số. Ta nêu ra định lý quan trọng sau : Định lý 1.15. (Định lý cơ bản 1) Cho p(z) là một đa thức không hằng, a và b là hai hằng số bất kỳ (a 6= 0). Khi đó : h(z) = eaz+b + p(z) là hàm nguyên tố. Chứng minh. Theo kết quả 3), nếu h(z) không phải là hàm nguyên tố thì ta có thể viết dưới dạng : h = f ((z + c)2 ) hay h(z − c) = f (z 2 ). Suy ra 0 eaz+b + p(z − c) = h(z − c), 14 0 ở đây b0 là hằng số, chúng ta suy ra rằng với K nguyên dương eKa eaz+b phải là một hàm chẵn. Ta chỉ cần chứng minh h(z) không có nhân hữu tỷ. Thật vậy, giả sử h(z) có nhân hữu tỷ thì h(z) có thể viết dưới dạng : h(z) = R1 (z) R1 (z) g(z) ⇒ eaz+b + p(z) = g(z). R2 (z) R2 (z) Giả sử R2 (z) có một không điểm là z0 . Khi đó, khi z → z0 thì vế phải tiến đến vô cùng còn vế trái tiến đến một số hữu hạn. Vậy h(z) không có nhân tử hữu tỷ. Định lý được chứng minh. 15 Chương 2 Phân tích nghiệm nguyên của một vài phương trình vi phân đại số 2.1 Đặt bài toán Cho F (z) là một hàm phân hình. Giả sử F (z) có thể biểu diễn dưới dạng F (z) = f (g(z))(= f ◦ g(z)), (2.1) trong đó f là một hàm phân hình, còn g là một hàm nguyên. Khi đó chúng ta gọi biểu thức (2.1) là phân tích của hàm F , còn f và g được gọi là nhân tử trái và phải tương ứng của F . Nếu từ mọi phân tích của F đều suy ra rằng một trong hai hàm f và g là song tuyến tính thì F được gọi là một hàm nguyên tố. Nếu từ mọi phân tích đều dẫn đến kết luận rằng f phải là một dạng song tuyến tính, còn g là một hàm siêu việt thì khi đó, F được gọi là nguyên tố trái. Nếu các nhân tử được hạn chế trong phạm vi các hàm nguyên thì việc phân tích 16 như trên được gọi là phân tích hàm nguyên. Với cách định nghĩa như trên, một hàm nguyên nguyên tố sẽ được gọi là E - nguyên tố. Cũng với cách phân tích như trên, giả sử F (z) có thể biểu diễn F (z) = f (g(z)) = f ◦ g(z). trong đó g có thể là hàm phân hình khi f là hàm hữu tỷ. Nếu mọi phân tích của F đều suy ra rằng f là một hàm hữu tỷ hoặc g là một đa thức thì F được gọi là giả nguyên tố. Nếu mọi phân tích đều đưa đến kết luận rằng : f là một hàm siêu việt và g phải là tuyến tính thì khi đó F được gọi là nguyên tố phải. Khi các nhân tử chỉ được hạn chế trong hàm nguyên thì ta gọi việc phân tích này là phân tích trong hàm nguyên. Một hàm nguyên giả nguyên tố sẽ được ký hiệu là E - giả nguyên tố. Bây giờ chúng ta sẽ nghiên cứu về sự phân tích nghiệm nguyên siêu việt của hai lớp phương trình đại số vi phân sau đây bn (z)f in (f 0 )jn + bn−1 (z)f in −1 (f 0 )jn −1 + ... + b0 (z)f i0 (f 0 )j0 = b(z), (2.2) ở đây n ∈ N là một số tự nhiên, is ≥ 0, js ≥ 0, is + js > 0 (0 ≤ s ≤ n) là những số nguyên và bi (z), b(z) không đồng nhất bằng 0 (0 ≤ i ≤ n) là những đa thức. Và an (z)f (n) + an−1 (z)f (n−1) + ... + a0 (z)f = a(z). (2.3) Trong đó a0 (z), ..., an−1 (z), an (z), a(z) không đồng nhất bằng 0 là những đa thức. Việc phân tích nghiệm nguyên siêu việt của phương trình (2.3) và (2.2) đã được nghiên cứu vào những năm đầu tiên của thế kỷ 21 và đã dẫn đến hai kết quả đặc sắc sau đây : Định lý A, [8]. Bất kỳ nghiệm phân hình nào của (2.3) đều là giả nguyên tố. Định lý B, [5]. Tất cả nghiệm nguyên siêu việt của (2.2) đều là giả nguyên tố. 17 Giả sử F (ξ) là nghiệm nguyên siêu việt của (2.3) hoặc (2.2) và F (ξ) = f (g(x)). Khi đó theo định lý A và định lý B ta có thể kết luận rằng f là một hàm hữu tỷ hoặc g là một đa thức. Vấn đề đặt ra là chúng ta có thể biết thêm gì về hàm f và g? Mục đích chính của chương này, chương chính của luận văn là chứng minh một số tính chất của f và g sau khi bổ sung một số điều kiện đối với phương trình (2.3) và phương trình (2.2). 2.2 Một số bổ đề Để chứng minh các tính chất của hàm f và g dưới đây, trước hết chúng ta hãy giới thiệu bốn bổ đề mà ta sẽ sử dụng. Việc chứng minh bốn bổ đề này có thể tìm được trong các tài liệu tham khảo. Bổ đề 2.1. Cho F là một hàm nguyên siêu việt không tuần hoàn. Khi đó F là nguyên tố nếu và chỉ nếu F là E - nguyên tố. Bổ đề 2.2. Cho p(z1 , z2 , z3 ) là đa thức theo ba biến z1 , z2 và z3 . Khi đó bất kỳ nghiệm phân hình nào của phương trình vi phân cấp 1: p(z, f, f 0 ) = 0 đều có cấp tăng hữu hạn. Bổ đề 2.3. Cho F là một hàm nguyên có bậc hữu hạn, ở đây đạo hàm F 0 (z) có vô số nghiệm. Giả thiết bất kỳ số phức C, các phương trình sau đồng thời thỏa mãn:   F (z) =C  F 0 (z) =0 chỉ có hữu hạn nghiệm. Khi đó F (z) là E - nguyên tố trái. Bổ đề 2.4. Cho f1 , f2 , ..., fn và g là các hàm nguyên và h1 , h2 , ..., hn là các hàm phân hình sao cho bất đẳng thức: n X T (r, hj ) ≤ KT (r, g) j=1 18