I HÅC QUÈC GIA H NËI
TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC TÜ NHIN
NG ÙC TRÀNH
PH
N TCH BRUHAT V
ÙNG DÖNG
LUN VN THC S KHOA HÅC
H NËI - 2011
I HÅC QUÈC GIA H NËI
TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC TÜ NHIN
NG ÙC TRÀNH
PH
N TCH BRUHAT V
ÙNG DÖNG
Chuy¶n ng nh: ¤i sè v lþ thuy¸t sè
M¢ sè: 604605
LUN VN THC S KHOA HÅC
NG×ÍI H×ÎNG DN KHOA HÅC
PGS. TS. L MINH H
Möc löc
Líi c£m ìn
Líi nâi ¦u
B£ng k½ hi»u
0 Ki¸n thùc chu©n bà
i
ii
iv
1
0.1
Ph²p th¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
0.2
Tø v nhâm c¡c ph²p th¸
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
0.3
Nhâm tuy¸n t½nh têng qu¡t
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
0.4
Ph¤m trò, h m tû
1 Ph¥n t½ch Bruhat
1.1
Ph²p th¸ Jordan
1.2
Ng«n Schubert
17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.3
Ph¥n t½ch Bruhat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.4
Nhâm con Parabolic
31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Ùng döng
37
2.1
¤i sè Iwahori-Hecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.2
Mæun Steinberg
48
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
K¸t luªn
T i li»u tham kh£o
54
55
vi
Ch֓ng 0
Ki¸n thùc chu©n bà
0.1 Ph²p th¸
Ch÷ìng n y d nh º tr¼nh b y nhúng ki¸n thùc c¦n thi¸t s³ ÷ñc dòng ¸n
trong luªn v«n n y. Nëi dung ch÷ìng n y chóng tæi chõ y¸u tr¼nh b y theo
N. P. Strickland [11] v Nguy¹n H.V. H÷ng [5].
Gi£ sû
tø
T
T
l mët tªp hñp húu h¤n n o â. Tªp hñp
S(T )
t§t c£ c¡c song ¡nh
v o ch½nh nâ còng vîi ph²p hñp th nh ¡nh x¤ lªp th nh mët nhâm. Ph¦n
tû ìn và cõa
S(T )
l ¡nh x¤ çng nh§t
idT .
ành ngh¾a 0.1. Nhâm S(T ) ÷ñc gåi l nhâm èi xùng tr¶n tªp hñp T . Méi
nhâm con cõa S(T ) ÷ñc gåi l mët nhâm c¡c ph²p th¸ tr¶n T.
N¸u T = {1, . . . , n} th¼ nhâm S(T ) ÷ñc gåi l nhâm èi xùng tr¶n n ph¦n
tû v ÷ñc k½ hi»u l Σn. Mët ph¦n tû cõa Σn ÷ñc gåi l mët ph²p th¸ tr¶n n
ph¦n tû.
ành ngh¾a 0.2. Cho ph²p th¸ σ ∈ Σ , k½ hi»u L(σ) l tªp c¡c nghàch th¸ cõa
nâ
n
v σ(i) > σ(j)},
V `(σ) = |L(σ)|, gåi l ë d i cõa ph²p th¸ σ. K½ hi»u L+(σ) ÷ñc x¡c ành nh÷
sau
L(σ) = {(i, j) | 0 < i < j ≤ n
L+ (σ) = L(σ) q {(i, i) | 0 < i ≤ n}
= {(i, j) | 0 < i ≤ j ≤ n v σ(i) ≥ σ(j)}.
1
V½ dö 0.3. X²t ph²p th¸ σ = (135)(24). Ta câ
L(σ) = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)}.
Suy ra `(σ) = 7.
æi khi cho ti»n trong vi»c sû döng ta °t
L(σ) = {{i, j} | (i, j) ∈ L(σ)}.
L(σ) l tªp hñp gçm t§t c£ c¡c tªp con câ 2 ph¦n tû T cõa tªp {1, ..., n}
σ : T → σT l nghàch th¸. V¼ i < j vîi måi (i, j) ∈ L(σ), ta câ mët song ¡nh
Nh÷ vªy,
v
h : L(σ) −→ L(σ)
{i, j} 7−→ (i, j)
do â
|L(σ)| = `(σ).
Chó þ 0.4. Ta k½ hi»u 4
t¡c ëng l¶n
Z[x1 , . . . , xn ] b¬ng c¡ch ho¡n và l¤i x1 , . . . , xn . Ta x²t ph¦n tû σ ∈ Σn , khi â
σ4 =
=
Q
(xi − xj ) ∈ Z[x1 , . . . , xn ]. Σn
i σ(j).
M°t kh¡c ta câ
−1
(σ(j), σ(i)) ∈ L(σ ).
T÷ìng tü, ta x²t
g : L(σ −1 ) −→ L(σ),
(k, l) 7−→ (σ −1 (l), σ −1 (k)).
2
σ −1 σ(j) = j
v
V¼
(k, l) ∈ L(σ −1 )
n¶n
−1
−1
σσ (l) = l
n¶n
k σ −1 (l).
M°t kh¡c ta câ
σσ −1 (k) = k
v
−1
(σ (l), σ (k)) ∈ L(σ).
f ◦ g = idL(σ−1 ) v g ◦ f = idL(σ) .
|L(σ )| = |L(σ)|. V¼ vªy `(σ −1 ) = `(σ).
Ta câ
Tø â suy ra
f
l song ¡nh v
−1
ành ngh¾a 0.6. Vîi i = 1, ..., n − 1, k½ hi»u s l ph²p th¸ sì c§p (i, i + 1).
Bê · 0.7. Cho ph²p th¸ σ, τ ∈ Σ , ta câ
i
n
L(στ ) = L(τ )4τ∗−1 L(σ),
vîi A4B = (A ∪ B)\(A ∩ B), v τ∗{i, j} = {τ (i), τ (j)}.
Chùng minh.
{i, j} ∈ L(στ )
i=τ
−1
(k)
v
i < j
th¼
j=τ
−1
Tr÷íng hñp 1
{k, l} ∈ L(σ).
(l).
v
Câ hai tr÷íng hñp.
k στ (j). °t τ (i) = k v τ (j) = l suy ra
Tr÷îc h¸t ta chùng minh
th¼
{i, j} 6∈ L(τ ).
M°t kh¡c v¼
k σ(l)
M
τ∗−1 {k, l} = {τ −1 (k), τ −1 (l)} = {i, j},
tø â suy ra
{i, j} ∈ τ∗−1 L(σ)
Tr÷íng hñp
2:
N¸u
τ∗−1 L(σ). Thªt vªy do
k > l
k>l
hay
{i, j} ∈ L(τ )4τ∗−1 L(σ).
th¼
{i, j} ∈ L(τ ).
v
σ(k) > σ(l)
Ta ph£i chùng minh
n¶n ta câ
{k, l} 6∈ L(σ).
{i, j} 6∈
M°t kh¡c ta
câ
τ∗−1 {k, l} = {τ −1 (k), τ −1 (l)} = {i, j},
n¶n
{i, j} 6∈ τ∗−1 L(σ)
hay
{i, j} ∈ L(τ )4τ∗−1 L(σ).
Vªy trong c£ hai tr÷íng hñp ta ·u câ
L(στ ) ⊆ L(τ )4τ∗−1 L(σ).
Ti¸p theo ta i chùng minh
L(τ )4τ∗−1 L(σ) ⊆ L(στ ).
Thªt vªy n¸u
{i, j} ∈ L(τ )4τ∗−1 L(σ),
khi â ta công câ hai tr÷íng hñp.
Tr÷íng hñp 1
: N¸u
v
τ (i) > τ (j).
n¶n
{i, j} ∈ L(τ ) th¼ {i, j} 6∈ τ∗−1 L(σ). V¼ {i, j} ∈ L(τ ) n¶n i < j
M°t kh¡c ta câ
{τ (i), τ (j)} 6∈ L(σ)
hay
i = τ −1 τ (i)
στ (i) > στ (j).
3
v
j = τ −1 τ (j)
Tø â suy ra
, m
{i, j} 6∈ τ∗−1 L(σ)
{i, j} ∈ L(στ ).
Tr÷íng hñp 2
: N¸u
v
τ (i) < τ (j).
n¶n ta câ
{i, j} 6∈ L(τ ) th¼ {i, j} ∈ τ∗−1 L(σ). V¼ {i, j} 6∈ L(τ ) n¶n i < j
M°t kh¡c ta câ
{τ (i), τ (j)} ∈ L(σ)
i = τ −1 τ (i)
tùc l
v
j = τ −1 τ (j),
στ (i) > στ (j).
m
{i, j} ∈ τ∗−1 L(σ)
{i, j} ∈ L(στ ).
Tø â suy ra
Trong hai tr÷íng hñp, ta ·u câ
L(τ )4τ∗−1 L(σ) ⊆ L(στ ).
Bê · 0.8. N¸u σ(k) < σ(k + 1) th¼ `(σs ) = `(σ) + 1. Ng÷ñc l¤i, n¸u σ(k) >
σ(k + 1)
k
th¼ `(σsk ) = `(σ) − 1.
Chùng minh.
L(sk ) = {{k, k + 1}}, k²o theo
`(σ) − 1 n¸u {k, k + 1} ∈ s−1 L(σ)
k∗
`(σsk ) =
`(σ) + 1 trong c¡c tr÷íng hñp kh¡c .
V¼
sk∗ {k, k + 1} = {k, k + 1}, ta câ {k, k + 1} ∈ s−1
k∗ L(σ) khi v ch¿ khi {k, k + 1} ∈
L(σ). i·u â t÷ìng ÷ìng vîi σ(k) > σ(k + 1).
V¼
Sû döng c¡c bê · tr¶n, ta câ m»nh · sau.
M»nh · 0.9. `(σ) l sè nhä nh§t sao cho σ câ thº vi¸t ÷ñc th nh cõa `(σ)
ph²p th¸ sì c§p.
Chùng minh.
N¸u
σ = si1 . . . sir
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû
th¼ tø Bê · 0.7, ta câ
`(σ) ≤ r.
`(σ) = r, ta sû döng ph÷ìng ph¡p quy n¤p theo r
minh m»nh ·. Thªt vªy, n¸u
r=0
σ
th¼
º chùng
b£o to n thù tü v l çng nh§t n¶n
m»nh · óng. Gi£ sû m»nh · óng vîi måi ph²p th¸ câ ë d i nhä hìn
ph£i i chùng minh m»nh · óng vîi ph²p th¸ câ ë d i b¬ng
r>0
th¼
σ
ph£i câ ½t nh§t mët nghàch th¸ n¶n tçn t¤i
k
º
r.
r,
ta
Thªt vªy vîi
σ(k) > σ(k + 1).
Bê
`(σsk ) = r − 1 n¶n theo gi£ thi¸t quy n¤p th¼ σsk = si1 . . . sir −1
vîi c¡c ph²p th¸ sì c§p si1 , . . . , sir −1 n o â. Tø â suy ra σ = si1 . . . sir −1 sk .
· 0.8 nâi r¬ng
ành ngh¾a 0.10. X²t mët tø w = s
`(π(w)) = r
K½ hi»u
th¼ ta nâi w l tø rót gån.
ρ
l ph²p th¸
khi v ch¿ khi
i ρ(j)
ành ngh¾a 0.11. Cho 1 ≤ m < k ≤ n − 1, k½ hi»u t
= sm sm+1 . . . sk−1 .
k
m
D¹ th§y
tkm = (m, m + 1, . . . , k − 1, k),
tm
m = id.
°t
M»nh · 0.12. Vîi méi σ ∈ Σ , tçn t¤i duy nh§t mët d¢y m , m , . . . , m c¡c
n
1
sè tü nhi¶n thäa m¢n 1 ≤ mk ≤ n v
2
n
1
2
σ = tnmn tn−1
mn−1 . . . tm2 tm1 .
Hìn núa,
n
X
`(σ) =
(k − mk ).
k=1
Chùng minh.
τ
nh÷ mët ph¦n
theo
n.
mn = σ(n) v τ = (tnmn )−1 σ . Khi â τ (n) = n, n¶n câ thº xem
tû cõa Σn−1 . Ta chùng minh bê · b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p
°t
Thªt vªy vîi
n=1
th¼ hiºn nhi¶n óng. Gi£ sû óng vîi
n − 1,
ta câ
n−1
τ = tm
. . . t2m2 t1m1
n−1
vîi
m1 , m2 , . . . , mn−1
n o â v
`(τ ) =
n−1
P
(k − mk ).
Tø â suy ra
k=1
2
1
σ = tnmn τ = tnmn tn−1
mn−1 . . . tm2 tm1 .
Ta v¨n câ
L(tnmn ) = {{i, n} | mn ≤ i < n}
n¶n
τ∗−1 L(tnmn ) = {{τ −1 (i), n} | mn ≤ i < n}.
Ð ¥y
L(τ )
khæng chùa c°p d¤ng
{τ −1 (i), n}.
Ngh¾a l
L(τ )
v
τ∗−1 L(tnmn )
l ríi
nhau v
`(σ) = |L(τ )| + |τ∗−1 L(tnmn )|
= `(τ ) + (n − mn )
=
n
X
(k − mk ).
k=1
Do
σ(n)
l duy nh§t n¶n tçn t¤i duy nh§t d¢y
m1 , m2 , . . . , mn
n¶u.
V½ dö 0.13. N¸u σ = (135)(24) th¼ σ = t t t t t , thªt vªy, ta câ
5 4 3 2 1
1 1 3 2 1
t51 t41 t33 t22 t11 = (12345)(1234)
= (135)(24)
= σ.
5
nh÷ bê · ¢
0.2 Tø v nhâm c¡c ph²p th¸
ành ngh¾a 0.14. °t Σ̃ l nhâm tü do sinh bði s , . . . , s vîi c¡c quan h»
n
1
n
si 2 = 1,
si si+1 si = si+1 si si+1
v
si sj = sj si
n¸u |i − j| > 1.
Kiºm tra trüc ti¸p, ta th§y c¡c t÷ìng ùng quan h» tr¶n công ÷ñc thäa m¢n
trong
Σn ,
n¶n tçn t¤i çng c§u
ε : Σ̃n −→ Σn
¡nh x¤
si
v o
si .
Ta công s³ sû döng k½ hi»u
tkm = sm sm+1 ...sk
trong
Σ̃n
nh÷ trong
Σn .
M»nh · 0.15. ε : Σ̃
Chùng minh.
1 ≤ mk ≤ k .
n
−→ Σn
l mët ¯ng c§u.
n−1
. . . t2m2 t1m1 vîi
Xn ⊆ Σ̃n l tªp c¡c ph¦n tû câ d¤ng tnmn tm
n−1
câ |Xn | ≤ n!. Theo M»nh · 0.12 th¼ ε|Xn : Σ̃n −→ Σn l to n
°t
Ta
¡nh, do â l song ¡nh. Ta chùng minh Xn = Σ̃n b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p.
n
S
Chó þ r¬ng Xn =
tnm Xn−1 . Gi£ sû Xn−1 = Σ̃n−1 , ta câ Xn âng vîi ph²p
m=1
nh¥n b¶n ph£i bði
nh¥n b¶n ph£i bði
v do
Σ̃n−1
Σ̃n−1 .
sn−1 .
N¸u
Σ̃n
sinh bði
Σ̃n−1
v
sn−1
th¼
Xn
âng vîi ph²p
i·u n y ÷ñc suy ra trüc ti¸p tø Bê · 0.16 d÷îi ¥y
giao ho¡n vîi
tkm
vîi måi
k < n − 1.
Bê · 0.16. N¸u k ≤ n v l < n th¼ trong Σ̃ ta câ
n
tnk tn−1
sn−1 = tnk tnl =
l
tn tn−1
l+1 l
tn tn−1
l k−1
6
vîi k ≤ l
vîi k > l.
Chùng minh.
Gi£ sû
Trüc ti¸p tø ành ngh¾a ta câ
l < n,
tnk tln−1 sn−1 = tnk tnl .
ta câ
(tnl+1 )−1 tnl = tln−1 (tnl )−1 .
Tr÷îc h¸t ta ta kiºm tra vîi
l=5
v
n = 10.
Vi¸t
k
thay cho
sk
v k½ hi»u
e
l
¡nh x¤ çng nh§t. Ta câ
−1 10
(t10
6 ) t5 = 987656789 (v¼ 656 = 565)
= 987565789 (v¼ [5, 7] = [5, 8] = [5, 9] = e)
= 598767895 (v¼ 767 = 676)
= 598676895 (v¼ [6, 8] = [6, 9] = e)
= 5698787965 (v¼ 878 = 787)
= 567989765 (v¼ [7, 9] = e)
= 567898765 (v¼ 989 = 898)
−1
= t95 (t10
5 ) .
Têng qu¡t khi
quy n¤p theo
l = n−1
l.
th¼ ¯ng thùc óng. N¶n ta câ thº chùng minh b¬ng
X²t quan h»
sl+1 sl sl+1 = sl sl+1 sl .
Ta nh¥n b¶n ph£i vîi
tnl+2
v b¶n tr¡i vîi
(tnl+1 )−1 .
V¼
sl+1 tnl+2 = tnl+1
(tnl+2 )−1 sl+1 = (tnl+1 )−1
v
sl sl+1 tnl+2 = tnl .
L¤i câ
sl
giao ho¡n vîi
tnl+2
n¶n
(tnl+2 )−1 sl+1 sl sl+1 tnl+2 = (tnl+1 )−1 tnl .
Tø â suy ra
(tnl+1 )−1 tnl = sl (tnl+2 )−1 sl+1 tnl+2 sl .
Sû döng quan h»
sl+1 tnl+2 = tnl+1
v gi£ thi¸t quy n¤p ta câ
n−1 n
sl (tnl+2 )−1 sl+1 tnl+2 sl = sl tl+1
(tl+1 )−1 sl
7
n¶n ta câ
v tø ành ngh¾a th¼ ta suy ra
(tnl+1 )−1 tnl = tln−1 (tnl )−1 .
Gi£ sû
k ≤ l.
Chó þ r¬ng
k m
tm
k = tl tl
v
tkl
giao ho¡n vîi
tm
l+1 .
Ta nh¥n hai v¸ v o
b¶n tr¡i cõa ¯ng thùc
(tnl+1 )−1 tnl = tln−1 (tnl )−1
vîi
tlk ,
ta ֖c
(tnk+1 )−1 tnk = tkn−1 (tnl )−1 .
Tø â suy ra n¸u
k≤l
th¼
tnk tnl = tnl+1 tn−1
.
l
Gi£ sû ta câ
n ≥ i > j.
°t
k=j
v
l = i − 1,
n¶n ¯ng thùc
(tnl+1 )−1 tnl = tln−1 (tnl )−1
÷ñc vi¸t l¤i nh÷ sau
(tni )−1 tnj = tjn−1 (tni−1 )−1 .
M°t kh¡c tø ành ngh¾a ta câ
−1
tn−1
(tni−1 )−1 = tjn−1 (tn−1
j
i−1 sn−1 )
−1
= tjn−1 sn−1 (tn−1
i−1 )
n−1 −1
= tnj (ti−1
) ,
n¶n ta câ
−1
(tni )−1 tnj = tnj (tn−1
i−1 ) .
Tø â suy ra
tni tnj = tnj tn−1
i−1 .
ành ngh¾a 0.17. K½ hi»u W l tªp c¡c tø câ ë d i r theo s , . . . , s , v °t
r
W = qr Wr ,
1
n
l và nhâm tü do sinh bði s1, . . . , sn. °t ∼r l quan h» t÷ìng ÷ìng
tr¶n Wr nh÷ sau:
usi sj v ∼ usj si v
n¸u |i − j| > 1,
usi sj si v = usj si sj v
n¸u |i − j| = 1.
8
Ta x²t th÷ìng
W
Mr = Wr / ∼r
v
M = qr Mr ,
th¼
M
l và nhâm th÷ìng cõa
sinh bði c¡c quan h»
si 2 = 1,
si si+1 si = si+1 si si+1 ,
si sj = sj si
Khi â
n¸u
|i − j| > 1.
Σn = M/ < s2i = 1 | i = 1, . . . , n − 1 >.
π
W
@
0
R
π @
N¶n ta câ c¡c ph²p chi¸u
M
.
π00
Σn
L÷u þ r¬ng
hi»u
Rr
w = sp1 . . . spr ∈ W
l tø rót gån khi v ch¿ khi
l tªp c¡c tø rót gån câ ë d i l
thäa m¢n
u ∼r v
th¼
r
v
`(π(w)) = r.
R = qr Rr . N¸u u ∈ Rr
v
Ta k½
v ∈ Wr
v ∈ Rr .
ành ngh¾a 0.18. Cho σ, τ ∈ Σ , ta nâi r¬ng σ k¸t vîi τ n¸u thäa m¢n mët
n
trong c¡c i·u ki»n t÷ìng ÷ìng sau
(a) Tçn t¤i ρ ∈ Σn thäa m¢n σ = ρτ v `(σ) = `(ρ) + `(τ ).
(b) `(στ −1) = `(σ) − `(τ ).
(c) Tçn t¤i c¡c tø rót gån u, v thäa m¢n π(u) = τ v π(uv) = σ.
(d) L(τ ) ⊆ L(σ).
Bê · 0.19. Gi£ sû σ ∈ Σ v σ k¸t vîi s v s vîi i 6= j . Khi â ta câ
n
i
(a) N¸u |i − j| > 1 th¼ σ k¸t vîi sisj = sj si.
(b) N¸u |i − j| = 1 th¼ σ k¸t vîi sisj si = sj sisj .
Chùng minh.
σ(i + 1).
N¸u
N¸u
σ
k¸t vîi
T÷ìng tü ta câ
|i − j| > 1,
si
th¼
j
L(si ) = {{i, i + 1}} ⊂ L(σ),
σ(j) > σ(j + 1).
ta câ
L(si sj ) = {{i, i + 1}, {j, j + 1}},
n¶n
L(si sj ) ⊆ L(σ).
Do â
σ
k¸t vîi
si sj .
9
n¶n ta câ
σ(i) >
N¸u
|i − j| = 1,
ta gi£ sû
j = i + 1.
Ta câ
σ(i) > σ(i + 1) = σ(j) > σ(j + 1)
n¶n
{{i, i + 1}, {i + 1, i + 2}, {i, i + 2}} ⊆ L(σ).
Ta câ ph²p th¸
τ = si sj si = sj si sj
l x½ch
(i, i + 1, i + 3)
câ ë d i l
3,
n¶n
L(τ ) = {{i, i + 1}, {i + 1, i + 2}, {i, i + 2}}.
Tø â suy ra
σ
k¸t vîi
τ.
Tø bê · tr¶n ta câ ành lþ sau ¥y.
ành lþ 0.20. N¸u u, v ∈ R thäa m¢n π(u) = π(v) th¼ u ∼ v, tùc l π (u) =
0
r
π (v).
r
0
Chùng minh.
Ta chùng minh ành lþ tr¶n b¬ng qui n¤p theo
Thªt vªy vîi
câ
r=1
khi â
u = si
vîi
i
n o â v
v = sj
r.
vîi
j
n o â n¶n ta
u ∼r v .
Gi£ sû
r > 1
khi â ta câ
u = xsi , v = ysj
vîi
x, y ∈ Rr−1
v
i, j ∈
{1, . . . , n − 1}. °t σ = π(u) = π(v) n¶n σ = π(x)si = π(y)sj . N¸u i = j th¼
π(x) = π(y) m x, y ∈ Rr−1 n¶n theo gi£ thi¸t quy n¤p th¼ x ∼ y, tø â suy ra
u = xsi ∼r ysi = ysj = v.
N¸u
σ
|i − j| = 1
k¸t vîi
theo ành ngh¾a ta câ
si sj si = sj si sj ,
n¶n tçn t¤i
σ
k¸t vîi
z ∈ Rr−3
si .
Do â theo M»nh · 0.19
sao cho
π(zsi sj si ) = π(zsj si sj ).
M°t kh¡c theo tr÷íng hñp
|i − j| = 1,
ta suy ra
u = xsi ∼ zsi sj si
v
v = ysj ∼ zsj si sj .
Theo ành ngh¾a ta câ
zsi sj si ∼ zsj si sj
n¶n
u = v.
|i − j| > 1 theo ành ngh¾a ta câ σ k¸t vîi si . V¼ vªy theo
σ k¸t vîi si sj = sj si . Tø â suy ra tçn t¤i z ∈ Rr−2 sao cho
N¸u
ta câ
π(zsi sj ) = π(zsj si ).
10
M»nh · 0.19
|i − j| = 1
M°t kh¡c theo tr÷íng hñp
ta suy ra
u = xsi ∼ zsj si
v
v = ysj ∼ zsi sj .
Theo ành ngh¾a ta câ
zsi sj ∼ zsj si
n¶n
u = v.
0.3 Nhâm tuy¸n t½nh têng qu¡t
Ta x²t khæng gian v²ctì
k½ hi»u
Ei = Fp {e1 , . . . , ei }
Fnp
v
v h»
(e1 , . . . , en )
G = GLn (Fp )
l cì sð ch½nh tc cõa
Fnp
. Ta
v
T = {g ∈ G | gei ∈ Fp {ei } ∀ i}
={
ma trªn ÷íng ch²o }
= {g ∈ G | gij = 0, ∀ i 6= j},
B = {g ∈ G | gEi = Ei ∀ i}
={
ma trªn tam gi¡c tr¶n }
= {g ∈ G | gij = 0, ∀ i > j},
U = {g ∈| gei = ei (mod Ei−1 ) ∀ i}
={
ma trªn ìn và tam gi¡c tr¶n
}
= {g ∈ B | gii = 1, ∀ i}.
Vîi
x ∈ Fp {e1 , . . . , en }
th¼
(gx)i =
n
P
gij xj .
Vîi méi ph²p th¸
σ ∈ Σn
ta coi nâ
j=1
σ(i) = j th¼ v²ctì ej
ph²p th¸ σ = (123) khi â
0 0 1
σ = 1 0 0 .
0 1 0
i
nh÷ mët ma trªn nh÷ sau: n¸u
l cët thù
t÷ìng ùng. Ch¯ng h¤n cho
ma trªn t÷ìng ùng l
11
cõa ma trªn
V¼ vªy ta câ thº coi
v
(σx)i = xσ−1 (i) ,
Σn
nh÷ l nhâm con cõa nhâm
ph¦n tû ð và tr½ thù
ij
G.
Khi â ta câ
σ
cõa ma trªn
l
σei = eσ(i)
σij = δi,σ(j) .
Bê · 0.21. Ta câ
|T | = (p − 1)n ,
|U | = p
n(n−1)
2
,
|B| = (p − 1)n p
|G| = p
Chùng minh.
Gi£ sû
n(n−1)
2
n(n−1)
2
(pn − 1) . . . (p − 1).
Ta c¦n t½nh sè c¡c ma trªn cï
t = (tij ) ∈ T
tû cõa ma trªn
khi â
tii 6= 0
,
tij = 0
v
n×n
T
i=
6 j.
trong
vîi måi
vîi h» sè trong
M°t kh¡c c¡c ph¦n
t = (tij ) ·u n¬m trong tr÷íng Fp , m trong Fp
tû kh¡c khæng. Tø â
n
|T | = (p − 1)
Fp .
ch¿ câ
p − 1 ph¦n
.
Lªp luªn ho n to n t÷ìng tü ta câ èi vîi ma trªn
c¡c ph¦n tû ð h ng thù nh§t câ sè c¡ch chån
B:
n−1
l (p − 1)p
,
c¡c ph¦n tû ð h ng thù hai câ sè c¡ch chån l
(p − 1)pn−2 ,
···
c¡c ph¦n tû ð h ng thù
n
câ sè c¡ch chån l
(p − 1).
Vªy ta câ
|B| = (p − 1)pn−1 (p − 1)pn−2 (p − 1) . . . (p − 1)
= (p − 1)pn−1+n−2+···+1
= (p − 1)n p
Tø â ta công suy ra
º x¡c ành
trong
Fp
|G|
|U | = p
n(n−1)
2
.
n(n−1)
2
.
ta c¦n t½nh sè c¡c ma trªn cï
n×n
trong
m c¡c dáng cõa nâ ph£i ëc lªp tuy¸n t½nh tr¶n
Fp .
GLn (Fp )
vîi h» sè
º x¥y düng mët
ma trªn nh÷ th¸, chóng ta câ thº chån mët v²ctì kh¡c khæng b§t ký trong
Nh÷ dáng ¦u ti¶n câ
l v²ctì b§t ký trong
câ
pk − pk−1
Fnp .
pn − 1 c¡ch chån. Vîi 1 < k ≤ n, ta câ dáng thù k câ thº
Fnp ngo¤i trø pk − 1 v²ctì cõa k − 1 dáng tr÷îc â, do â
c¡ch lüa chån dáng
|G| = p
k.
Tø â suy ra
n(n−1)
2
(pn − 1) . . . (p − 1).
12
Bê · 0.22. (Xem [1], Ch÷ìng [2],Trang [30], M»nh · 1) Ta câ B = U o T.
Chùng minh.
U
minh
U ∩ T = {e} n¶n º chùng
tc trong B v B = U T.
V¼
chu©n
ϕ : B −→ T
°t
minh
l ¡nh x¤ cho t÷ìng ùng ma trªn
câ còng ÷íng ch²o vîi nâ. Tùc l
â
U
ϕ
l çng c§u nhâm v
chu©n tc trong
−1
B.
−1
ϕ(bϕ(b) ) = ϕ(b)ϕ(b)
U
v
th¼
T
vîi ma trªn
t∈T
i 6= j.
kerϕ = {b ∈ B | ϕ(b) = e} = U.
ϕ|T
Do
l ¡nh x¤ çng nh§t. Do â
−1
bϕ(b) ∈ kerϕ = U suy ra b ∈ U ϕ(b) ⊆ U T ,
|B| = |U T | n¶n ta câ B = U o T . Chó þ, n¸u
n¶n
m°t kh¡c theo Bê · 0.21 ta câ
n>1
vîi måi
Hìn núa, rã r ng
=e
b∈B
ta ch¿ c¦n chùng
tii = bii
tij = 0
D¹ th§y
B = U oT
khæng ph£i chu©n tc trong
B,
do â
B
khæng l t½ch trüc ti¸p cõa
T.
0.4 Ph¤m trò, h m tû
ành ngh¾a 0.23. Mët ph¤m trò C gçm mët lîp c¡c vªt, k½ hi»u l Ob(C). Ùng
vîi hai vªt A, B cõa Ob(C) câ lîp M orC (A, B) c¡c c§u x¤ i tø A ¸n B , k½ hi»u
l f : A −→ B sao cho vîi måi c°p (f, g) ∈ M orC (A, B) × M orC (B, C), luæn tçn
t¤i g ◦ f ∈ M orC (A, C). C§u x¤ g ◦ f gåi l hñp th nh (hay t½ch) cõa c¡c c§u x¤
f v g sao cho c¡c i·u ki»n sau ¥y ÷ñc thäa m¢n
(F1 ) Ph²p hñp th nh, câ t½nh ch§t k¸t hñp: n¸u f ∈ M orC (A, B), g ∈ M orC (B, C)
v h ∈ M orC (C, D) th¼
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f )
èi vîi måi vªt A, B, C, D thuëc Ob(C).
(F2 ) Vîi méi vªt A thuëc Ob(C) tçn t¤i mët c§u x¤ idA ∈ M orC (A, A) m èi
vîi måi vªt B ∈ Ob(C) sao cho
idB ◦ f = f = f ◦ idA , ∀f ∈ M orC (A, B).
Hai lîp c¡c c§u x¤ M orC (A, B) v M orC (C, D) khæng giao nhau, trø tr÷íng
hñp A = C v B = D, trong tr÷íng hñp §y chóng b¬ng nhau.
(F3 )
Trong khuæn khê cõa luªn v«n, chóng ta ch¿ x²t c¡c ph¤m trò nhä, theo
ngh¾a lîp c¡c vªt v lîp c¡c c§u x¤ giôa hai vªt b§t ký ·u l c¡c tªp hñp.
13
V½ dö 0.24. (a) C¡c tªp hñp húu h¤n v c¡c ¡nh x¤ giúa c¡c tªp hñp n y lªp
th nh mët ph¤m trò, k½ hi»u l F .
(b) C¡c Z(p) -mæun tü do v c¡c çng c§u mæun lªp th nh mët ph¤m trò, k½
hi»u l A.
(c) C¡c G-tªp vîi G l nhâm b§t k¼ công t¤o th nh mët ph¤m trò, c§u x¤ l
c¡c ¡nh x¤ G-¯ng bi¸n.
(d) Cho n cè ành, c¡c khæng gian v²ctì n chi·u tr¶n tr÷íng Fp v c¡c ¯ng
c§u tuy¸n t½nh lªp th nh mët ph¤m trò, k½ hi»u l V.
ành ngh¾a 0.25. (a) H m tû hi»p bi¸n Φ tø ph¤m trò C tîi ph¤m trò D, k½ hi»u
l Φ : C −→ D l quy tc ùng méi vªt A ∈ Ob(C) vîi mët vªt Φ(A) ∈ Ob(D),
vîi méi c§u x¤ f ∈ M orC (A, B) vîi c§u x¤ Φ(f ) ∈ M orD (Φ(A), Φ(B)) sao cho
c¡c i·u ki»n sau ¥y ÷ñc thäa m¢n
HT 1. èi vîi måi A thuëc C ·u câ Φ(idA ) = idΦ(A) .
HT 2. N¸u f : A −→ B v g : B −→ C l hai c§u x¤ thuëc C th¼ ta câ
Φ(g ◦ f ) = Φ(g) ◦ Φ(f ).
(b)Mët
h m tû ph£n bi¸n Φ tø ph¤m trò C tîi ph¤m trò D, k½ hi»u l Φ :
C −→ D, l quy tc ùng méi vªt A ∈ Ob(C) vîi mët vªt Φ(A) ∈ Ob(D), v vîi
méi c§u x¤ f ∈ M orC (A, B) vîi c§u x¤ Φ(f ) ∈ M orD (Φ(B), Φ(A)) sao cho c¡c
i·u ki»n sau ¥y ÷ñc thäa m¢n:
P B1. Måi A thuëc C , Φ(idA ) = idΦ(A) .
P B2. N¸u f : A −→ B v g : B −→ C l hai c§u x¤ thuëc C th¼
Φ(g ◦ f ) = Φ(f ) ◦ Φ(g).
V½ dö 0.26. Vîi V v F nh÷ trong V½ dö 0.24. Mët bë n khæng gian con lçng
nhau, k½ hi»u l U = (0 = U0 < U1 · · · < Un = V) ÷ñc gåi l mët cí ¦y õ cõa
khæng gian v²ctì V. °t
F lag(V) = {
cí ¦y õ cõa
Khi â ¡nh x¤
F lag : V −→ F
V 7−→ F lag(V),
l mët h m tû.
14
V}.
ành ngh¾a 0.27. (Ph²p bi¸n êi tü nhi¶n) Cho Φ v Ψ l hai h m tû C −→ D.
Mët ph²p bi¸n êi tü nhi¶n H tø Φ sang Ψ l mët quy tc ùng méi vªt X thuëc
Ob(C) vîi mët c§u x¤ HX thuëc M orD (Φ(X), Ψ(X)) sao cho sì ç sau giao ho¡n
H
X
Φ(X) −−−
→ Ψ(X)
Ψ(f )
Φ(f )y
y
Φ(Y ) −−−→ Ψ(Y )
HY
trong â f thuëc M orC (X, Y ), tùc l HY ◦ Φ(f ) = Ψ(f ) ◦ HX . Tªp hñp c¡c ph²p
bi¸n êi tü nhi¶n tø Φ tîi Ψ ÷ñc k½ hi»u l N at(Φ, Ψ).
Bê · 0.28. (Bê · Yoneda) Gi£ sû C l mët ph¤m trò v F l ph¤m trò c¡c
tªp hñp. Vîi méi vªt A thuëc Ob(C), °t hA(X) = M orC (A, X), trong â X l
mët vªt b§t ký trong Ob(C). hA l mët h m tû C −→ F. N¸u h m tû F : C −→ F
th¼ N at(hA, F ) ∼
= F (A).
Chùng minh.
H : hA −→ F l mët ph²p bi¸n êi tü nhi¶n
x¤ f : A −→ X, ta câ biºu ç sau giao ho¡n
Gi£ sû
ngh¾a, vîi méi c§u
theo ành
H(A)
hA (A) −−−→ F (A)
F (f )
hA (f )y
y .
hA (X) −−−→ F (X)
H(X)
M°t kh¡c,
hA (A) = M orC (A, A)
idA ∈ M orC (A, A).
n¶n
°t
φ : N at(hA , F ) −→ F (A)
H 7−→ H(A)(idA ).
Ng÷ñc l¤i, vîi måi
u ∈ F (A)
v
g ∈ M orC (A, X),
ta x¡c ành ÷ñc mët ¡nh x¤
H : hA −→ F
g 7−→ H(X)(g) = F (g)(u),
«c bi»t,
H(A) : hA (A) = M orC (A, A) −→ F (A)
idA 7−→ H(A)(idA ) = u,
15
Tø c¡ch x¡c ành tr¶n th¼ ¡nh x¤
H
l m biºu ç sau giao ho¡n
H(A)
hA (A) −−−→ F (A)
F (g)
A
h (g)y
y
hA (X) −−−→ F (X)
H(X)
F (f )
hA (f )y
y
hA (Y ) −−−→ F (Y )
H(Y )
trong â,
Y ∈ Ob(C)
v
f ∈ M orC (X, Y ).
Do â
H ∈ N at(hA , F ).
Vªy
φ
l song
¡nh.
V½ dö 0.29. Vîi V v F nh÷ trong V½ dö 0.24.K½ hi»u
Base(V) = {
cì sð cõa khæng gian v²ctì V} = M orV (Fnp, V).
Khi â, h m tû
Base : V −→ Flag
V 7−→ Base(V).
l mët h m tû. p döng bê · Yoneda cho ph²p bi¸n êi tü nhi¶n tø
ch½nh nâ, ta nhªn ÷ñc
N at(Base) ∼
= Base(Fnp ) = M orV (Fnp , Fnp ) = G.
16
Base
v o
Ch֓ng 1
Ph¥n t½ch Bruhat
1.1 Ph²p th¸ Jordan
Cè ành mët khæng gian v²ctì
l tªp hñp c¡c cí ¦y õ cõa
W,
n
chi·u tr¶n
Fp ,
k½ hi»u l
W.
°t
F lag(W)
tùc l c¡c chuéi
U = (0 = U0 < U1 < · · · < Un = W),
ð â
Ui
l c¡c khæng gian con cõa
cì sð ch½nh tc cõa
Fnp ,
th¼ trong
m câ
W,
F lag(Fnp )
dimUi = i.
N¸u
(e1 . . . en )
l mët
câ mët ph¦n tû °c bi»t.
E = (0 = E0 < E1 < · · · < En = Fnp ),
trong â
Ei = Fp {e1 , . . . ei }
Gi£ sû
Qij
U, V
v
E
÷ñc gåi l cí ch½nh tc.
l hai cí ¦y õ trong
F lag(W).
Vîi méi c°p
0 < i, j ≤ n,
°t
l khæng gian th÷ìng
Qij = (Ui ∩ Vj )/[(Ui−1 ∩ Vj ) + (Ui ∩ Vj−1 )].
Bê · 1.1. Q
ij
Chùng minh.
Ta câ
∼
= (Ui−1 + Ui ∩ Vj )/(Ui−1 + (Ui ∩ Vj−1 )).
X²t ¡nh x¤ chi¸u
f : Ui ∩Vj −→ (Ui−1 + Ui ∩ Vj )/[Ui−1 + (Ui ∩ Vj−1 )].
Ker f = {x | x ∈ (Ui ∩ Vj ) v x ∈ Ui−1 + (Ui ∩ Vj−1 )}
suy ra
(Ui−1 ∩ Vj ) + (Ui ∩ Vj−1 ) ⊆ Ker f.
M°t kh¡c vîi
x ∈ Ui−1 + (Ui ∩ Vj−1 )
b ∈ (Ui ∩ Vj−1 ).
Do â
suy ra
x = a + b,
x ∈ (Ui−1 ∩ Vj ) + (Ui ∩ Vj−1 )
hay
Ker f ⊆ (Ui−1 ∩ Vj ) + (Ui ∩ Vj−1 ).
17
trong â
a ∈ Ui−1
v
- Xem thêm -