Phân tích Bruhat và ứng dụng

  • Số trang: 59 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 53 |
  • Lượt tải: 0
tailieuonline

Đã đăng 27372 tài liệu

Mô tả:

„I HÅC QUÈC GIA H€ NËI TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI–N NG ÙC TRÀNH PH…N TCH BRUHAT V€ ÙNG DÖNG LUŠN V‹N TH„C Sž KHOA HÅC H€ NËI - 2011 „I HÅC QUÈC GIA H€ NËI TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI–N NG ÙC TRÀNH PH…N TCH BRUHAT V€ ÙNG DÖNG Chuy¶n ng nh: ¤i sè v  lþ thuy¸t sè M¢ sè: 604605 LUŠN V‹N TH„C Sž KHOA HÅC NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC PGS. TS. L– MINH H€ Möc löc Líi c£m ìn Líi nâi ¦u B£ng k½ hi»u 0 Ki¸n thùc chu©n bà i ii iv 1 0.1 Ph²p th¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0.2 Tø v  nhâm c¡c ph²p th¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.3 Nhâm tuy¸n t½nh têng qu¡t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 0.4 Ph¤m trò, h m tû 1 Ph¥n t½ch Bruhat 1.1 Ph²p th¸ Jordan 1.2 Ng«n Schubert 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3 Ph¥n t½ch Bruhat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4 Nhâm con Parabolic 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Ùng döng 37 2.1 ¤i sè Iwahori-Hecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Mæun Steinberg 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K¸t luªn T i li»u tham kh£o 54 55 vi Ch÷ìng 0 Ki¸n thùc chu©n bà 0.1 Ph²p th¸ Ch÷ìng n y d nh º tr¼nh b y nhúng ki¸n thùc c¦n thi¸t s³ ÷ñc dòng ¸n trong luªn v«n n y. Nëi dung ch÷ìng n y chóng tæi chõ y¸u tr¼nh b y theo N. P. Strickland [11] v  Nguy¹n H.V. H÷ng [5]. Gi£ sû tø T T l  mët tªp hñp húu h¤n n o â. Tªp hñp S(T ) t§t c£ c¡c song ¡nh v o ch½nh nâ còng vîi ph²p hñp th nh ¡nh x¤ lªp th nh mët nhâm. Ph¦n tû ìn và cõa S(T ) l  ¡nh x¤ çng nh§t idT . ành ngh¾a 0.1. Nhâm S(T ) ÷ñc gåi l  nhâm èi xùng tr¶n tªp hñp T . Méi nhâm con cõa S(T ) ÷ñc gåi l  mët nhâm c¡c ph²p th¸ tr¶n T. N¸u T = {1, . . . , n} th¼ nhâm S(T ) ÷ñc gåi l  nhâm èi xùng tr¶n n ph¦n tû v  ÷ñc k½ hi»u l  Σn. Mët ph¦n tû cõa Σn ÷ñc gåi l  mët ph²p th¸ tr¶n n ph¦n tû. ành ngh¾a 0.2. Cho ph²p th¸ σ ∈ Σ , k½ hi»u L(σ) l  tªp c¡c nghàch th¸ cõa nâ n v  σ(i) > σ(j)}, V  `(σ) = |L(σ)|, gåi l  ë d i cõa ph²p th¸ σ. K½ hi»u L+(σ) ÷ñc x¡c ành nh÷ sau L(σ) = {(i, j) | 0 < i < j ≤ n L+ (σ) = L(σ) q {(i, i) | 0 < i ≤ n} = {(i, j) | 0 < i ≤ j ≤ n v  σ(i) ≥ σ(j)}. 1 V½ dö 0.3. X²t ph²p th¸ σ = (135)(24). Ta câ L(σ) = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)}. Suy ra `(σ) = 7. æi khi cho ti»n trong vi»c sû döng ta °t L(σ) = {{i, j} | (i, j) ∈ L(σ)}. L(σ) l  tªp hñp gçm t§t c£ c¡c tªp con câ 2 ph¦n tû T cõa tªp {1, ..., n} σ : T → σT l  nghàch th¸. V¼ i < j vîi måi (i, j) ∈ L(σ), ta câ mët song ¡nh Nh÷ vªy, v  h : L(σ) −→ L(σ) {i, j} 7−→ (i, j) do â |L(σ)| = `(σ). Chó þ 0.4. Ta k½ hi»u 4 t¡c ëng l¶n Z[x1 , . . . , xn ] b¬ng c¡ch ho¡n và l¤i x1 , . . . , xn . Ta x²t ph¦n tû σ ∈ Σn , khi â σ4 = = Q (xi − xj ) ∈ Z[x1 , . . . , xn ]. Σn i σ(j). M°t kh¡c ta câ −1 (σ(j), σ(i)) ∈ L(σ ). T÷ìng tü, ta x²t g : L(σ −1 ) −→ L(σ), (k, l) 7−→ (σ −1 (l), σ −1 (k)). 2 σ −1 σ(j) = j v  V¼ (k, l) ∈ L(σ −1 ) n¶n −1 −1 σσ (l) = l n¶n k σ −1 (l). M°t kh¡c ta câ σσ −1 (k) = k v  −1 (σ (l), σ (k)) ∈ L(σ). f ◦ g = idL(σ−1 ) v  g ◦ f = idL(σ) . |L(σ )| = |L(σ)|. V¼ vªy `(σ −1 ) = `(σ). Ta câ Tø â suy ra f l  song ¡nh v  −1 ành ngh¾a 0.6. Vîi i = 1, ..., n − 1, k½ hi»u s l  ph²p th¸ sì c§p (i, i + 1). Bê · 0.7. Cho ph²p th¸ σ, τ ∈ Σ , ta câ i n L(στ ) = L(τ )4τ∗−1 L(σ), vîi A4B = (A ∪ B)\(A ∩ B), v  τ∗{i, j} = {τ (i), τ (j)}. Chùng minh. {i, j} ∈ L(στ ) i=τ −1 (k) v  i < j th¼ j=τ −1 Tr÷íng hñp 1 {k, l} ∈ L(σ). (l). v  Câ hai tr÷íng hñp. k στ (j). °t τ (i) = k v  τ (j) = l suy ra Tr÷îc h¸t ta chùng minh th¼ {i, j} 6∈ L(τ ). M°t kh¡c v¼ k σ(l) M  τ∗−1 {k, l} = {τ −1 (k), τ −1 (l)} = {i, j}, tø â suy ra {i, j} ∈ τ∗−1 L(σ) Tr÷íng hñp 2: N¸u τ∗−1 L(σ). Thªt vªy do k > l k>l hay {i, j} ∈ L(τ )4τ∗−1 L(σ). th¼ {i, j} ∈ L(τ ). v  σ(k) > σ(l) Ta ph£i chùng minh n¶n ta câ {k, l} 6∈ L(σ). {i, j} 6∈ M°t kh¡c ta câ τ∗−1 {k, l} = {τ −1 (k), τ −1 (l)} = {i, j}, n¶n {i, j} 6∈ τ∗−1 L(σ) hay {i, j} ∈ L(τ )4τ∗−1 L(σ). Vªy trong c£ hai tr÷íng hñp ta ·u câ L(στ ) ⊆ L(τ )4τ∗−1 L(σ). Ti¸p theo ta i chùng minh L(τ )4τ∗−1 L(σ) ⊆ L(στ ). Thªt vªy n¸u {i, j} ∈ L(τ )4τ∗−1 L(σ), khi â ta công câ hai tr÷íng hñp. Tr÷íng hñp 1 : N¸u v  τ (i) > τ (j). n¶n {i, j} ∈ L(τ ) th¼ {i, j} 6∈ τ∗−1 L(σ). V¼ {i, j} ∈ L(τ ) n¶n i < j M°t kh¡c ta câ {τ (i), τ (j)} 6∈ L(σ) hay i = τ −1 τ (i) στ (i) > στ (j). 3 v  j = τ −1 τ (j) Tø â suy ra , m  {i, j} 6∈ τ∗−1 L(σ) {i, j} ∈ L(στ ). Tr÷íng hñp 2 : N¸u v  τ (i) < τ (j). n¶n ta câ {i, j} 6∈ L(τ ) th¼ {i, j} ∈ τ∗−1 L(σ). V¼ {i, j} 6∈ L(τ ) n¶n i < j M°t kh¡c ta câ {τ (i), τ (j)} ∈ L(σ) i = τ −1 τ (i) tùc l  v  j = τ −1 τ (j), στ (i) > στ (j). m  {i, j} ∈ τ∗−1 L(σ) {i, j} ∈ L(στ ). Tø â suy ra Trong hai tr÷íng hñp, ta ·u câ L(τ )4τ∗−1 L(σ) ⊆ L(στ ). Bê · 0.8. N¸u σ(k) < σ(k + 1) th¼ `(σs ) = `(σ) + 1. Ng÷ñc l¤i, n¸u σ(k) > σ(k + 1) k th¼ `(σsk ) = `(σ) − 1. Chùng minh. L(sk ) = {{k, k + 1}}, k²o theo   `(σ) − 1 n¸u {k, k + 1} ∈ s−1 L(σ) k∗ `(σsk ) =  `(σ) + 1 trong c¡c tr÷íng hñp kh¡c . V¼ sk∗ {k, k + 1} = {k, k + 1}, ta câ {k, k + 1} ∈ s−1 k∗ L(σ) khi v  ch¿ khi {k, k + 1} ∈ L(σ). i·u â t÷ìng ÷ìng vîi σ(k) > σ(k + 1). V¼ Sû döng c¡c bê · tr¶n, ta câ m»nh · sau. M»nh · 0.9. `(σ) l  sè nhä nh§t sao cho σ câ thº vi¸t ÷ñc th nh cõa `(σ) ph²p th¸ sì c§p. Chùng minh. N¸u σ = si1 . . . sir Ng÷ñc l¤i, gi£ sû th¼ tø Bê · 0.7, ta câ `(σ) ≤ r. `(σ) = r, ta sû döng ph÷ìng ph¡p quy n¤p theo r minh m»nh ·. Thªt vªy, n¸u r=0 σ th¼ º chùng b£o to n thù tü v  l  çng nh§t n¶n m»nh · óng. Gi£ sû m»nh · óng vîi måi ph²p th¸ câ ë d i nhä hìn ph£i i chùng minh m»nh · óng vîi ph²p th¸ câ ë d i b¬ng r>0 th¼ σ ph£i câ ½t nh§t mët nghàch th¸ n¶n tçn t¤i k º r. r, ta Thªt vªy vîi σ(k) > σ(k + 1). Bê `(σsk ) = r − 1 n¶n theo gi£ thi¸t quy n¤p th¼ σsk = si1 . . . sir −1 vîi c¡c ph²p th¸ sì c§p si1 , . . . , sir −1 n o â. Tø â suy ra σ = si1 . . . sir −1 sk . · 0.8 nâi r¬ng ành ngh¾a 0.10. X²t mët tø w = s `(π(w)) = r K½ hi»u th¼ ta nâi w l  tø rót gån. ρ l  ph²p th¸ khi v  ch¿ khi i ρ(j) ành ngh¾a 0.11. Cho 1 ≤ m < k ≤ n − 1, k½ hi»u t = sm sm+1 . . . sk−1 . k m D¹ th§y tkm = (m, m + 1, . . . , k − 1, k), tm m = id. °t M»nh · 0.12. Vîi méi σ ∈ Σ , tçn t¤i duy nh§t mët d¢y m , m , . . . , m c¡c n 1 sè tü nhi¶n thäa m¢n 1 ≤ mk ≤ n v  2 n 1 2 σ = tnmn tn−1 mn−1 . . . tm2 tm1 . Hìn núa, n X `(σ) = (k − mk ). k=1 Chùng minh. τ nh÷ mët ph¦n theo n. mn = σ(n) v  τ = (tnmn )−1 σ . Khi â τ (n) = n, n¶n câ thº xem tû cõa Σn−1 . Ta chùng minh bê · b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p °t Thªt vªy vîi n=1 th¼ hiºn nhi¶n óng. Gi£ sû óng vîi n − 1, ta câ n−1 τ = tm . . . t2m2 t1m1 n−1 vîi m1 , m2 , . . . , mn−1 n o â v  `(τ ) = n−1 P (k − mk ). Tø â suy ra k=1 2 1 σ = tnmn τ = tnmn tn−1 mn−1 . . . tm2 tm1 . Ta v¨n câ L(tnmn ) = {{i, n} | mn ≤ i < n} n¶n τ∗−1 L(tnmn ) = {{τ −1 (i), n} | mn ≤ i < n}. Ð ¥y L(τ ) khæng chùa c°p d¤ng {τ −1 (i), n}. Ngh¾a l  L(τ ) v  τ∗−1 L(tnmn ) l  ríi nhau v  `(σ) = |L(τ )| + |τ∗−1 L(tnmn )| = `(τ ) + (n − mn ) = n X (k − mk ). k=1 Do σ(n) l  duy nh§t n¶n tçn t¤i duy nh§t d¢y m1 , m2 , . . . , mn n¶u. V½ dö 0.13. N¸u σ = (135)(24) th¼ σ = t t t t t , thªt vªy, ta câ 5 4 3 2 1 1 1 3 2 1 t51 t41 t33 t22 t11 = (12345)(1234) = (135)(24) = σ. 5 nh÷ bê · ¢ 0.2 Tø v  nhâm c¡c ph²p th¸ ành ngh¾a 0.14. °t Σ̃ l  nhâm tü do sinh bði s , . . . , s vîi c¡c quan h» n 1 n si 2 = 1, si si+1 si = si+1 si si+1 v  si sj = sj si n¸u |i − j| > 1. Kiºm tra trüc ti¸p, ta th§y c¡c t÷ìng ùng quan h» tr¶n công ÷ñc thäa m¢n trong Σn , n¶n tçn t¤i çng c§u ε : Σ̃n −→ Σn ¡nh x¤ si v o si . Ta công s³ sû döng k½ hi»u tkm = sm sm+1 ...sk trong Σ̃n nh÷ trong Σn . M»nh · 0.15. ε : Σ̃ Chùng minh. 1 ≤ mk ≤ k . n −→ Σn l  mët ¯ng c§u. n−1 . . . t2m2 t1m1 vîi Xn ⊆ Σ̃n l  tªp c¡c ph¦n tû câ d¤ng tnmn tm n−1 câ |Xn | ≤ n!. Theo M»nh · 0.12 th¼ ε|Xn : Σ̃n −→ Σn l  to n °t Ta ¡nh, do â l  song ¡nh. Ta chùng minh Xn = Σ̃n b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p. n S Chó þ r¬ng Xn = tnm Xn−1 . Gi£ sû Xn−1 = Σ̃n−1 , ta câ Xn âng vîi ph²p m=1 nh¥n b¶n ph£i bði nh¥n b¶n ph£i bði v  do Σ̃n−1 Σ̃n−1 . sn−1 . N¸u Σ̃n sinh bði Σ̃n−1 v  sn−1 th¼ Xn âng vîi ph²p i·u n y ÷ñc suy ra trüc ti¸p tø Bê · 0.16 d÷îi ¥y giao ho¡n vîi tkm vîi måi k < n − 1. Bê · 0.16. N¸u k ≤ n v  l < n th¼ trong Σ̃ ta câ n tnk tn−1 sn−1 = tnk tnl = l   tn tn−1 l+1 l  tn tn−1 l k−1 6 vîi k ≤ l vîi k > l. Chùng minh. Gi£ sû Trüc ti¸p tø ành ngh¾a ta câ l < n, tnk tln−1 sn−1 = tnk tnl . ta câ (tnl+1 )−1 tnl = tln−1 (tnl )−1 . Tr÷îc h¸t ta ta kiºm tra vîi l=5 v  n = 10. Vi¸t k thay cho sk v  k½ hi»u e l  ¡nh x¤ çng nh§t. Ta câ −1 10 (t10 6 ) t5 = 987656789 (v¼ 656 = 565) = 987565789 (v¼ [5, 7] = [5, 8] = [5, 9] = e) = 598767895 (v¼ 767 = 676) = 598676895 (v¼ [6, 8] = [6, 9] = e) = 5698787965 (v¼ 878 = 787) = 567989765 (v¼ [7, 9] = e) = 567898765 (v¼ 989 = 898) −1 = t95 (t10 5 ) . Têng qu¡t khi quy n¤p theo l = n−1 l. th¼ ¯ng thùc óng. N¶n ta câ thº chùng minh b¬ng X²t quan h» sl+1 sl sl+1 = sl sl+1 sl . Ta nh¥n b¶n ph£i vîi tnl+2 v  b¶n tr¡i vîi (tnl+1 )−1 . V¼ sl+1 tnl+2 = tnl+1 (tnl+2 )−1 sl+1 = (tnl+1 )−1 v  sl sl+1 tnl+2 = tnl . L¤i câ sl giao ho¡n vîi tnl+2 n¶n (tnl+2 )−1 sl+1 sl sl+1 tnl+2 = (tnl+1 )−1 tnl . Tø â suy ra (tnl+1 )−1 tnl = sl (tnl+2 )−1 sl+1 tnl+2 sl . Sû döng quan h» sl+1 tnl+2 = tnl+1 v  gi£ thi¸t quy n¤p ta câ n−1 n sl (tnl+2 )−1 sl+1 tnl+2 sl = sl tl+1 (tl+1 )−1 sl 7 n¶n ta câ v  tø ành ngh¾a th¼ ta suy ra (tnl+1 )−1 tnl = tln−1 (tnl )−1 . Gi£ sû k ≤ l. Chó þ r¬ng k m tm k = tl tl v  tkl giao ho¡n vîi tm l+1 . Ta nh¥n hai v¸ v o b¶n tr¡i cõa ¯ng thùc (tnl+1 )−1 tnl = tln−1 (tnl )−1 vîi tlk , ta ÷ñc (tnk+1 )−1 tnk = tkn−1 (tnl )−1 . Tø â suy ra n¸u k≤l th¼ tnk tnl = tnl+1 tn−1 . l Gi£ sû ta câ n ≥ i > j. °t k=j v  l = i − 1, n¶n ¯ng thùc (tnl+1 )−1 tnl = tln−1 (tnl )−1 ÷ñc vi¸t l¤i nh÷ sau (tni )−1 tnj = tjn−1 (tni−1 )−1 . M°t kh¡c tø ành ngh¾a ta câ −1 tn−1 (tni−1 )−1 = tjn−1 (tn−1 j i−1 sn−1 ) −1 = tjn−1 sn−1 (tn−1 i−1 ) n−1 −1 = tnj (ti−1 ) , n¶n ta câ −1 (tni )−1 tnj = tnj (tn−1 i−1 ) . Tø â suy ra tni tnj = tnj tn−1 i−1 . ành ngh¾a 0.17. K½ hi»u W l  tªp c¡c tø câ ë d i r theo s , . . . , s , v  °t r W = qr Wr , 1 n l  và nhâm tü do sinh bði s1, . . . , sn. °t ∼r l  quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n Wr nh÷ sau: ˆ usi sj v ∼ usj si v n¸u |i − j| > 1, ˆ usi sj si v = usj si sj v n¸u |i − j| = 1. 8 Ta x²t th÷ìng W Mr = Wr / ∼r v  M = qr Mr , th¼ M l  và nhâm th÷ìng cõa sinh bði c¡c quan h» si 2 = 1, si si+1 si = si+1 si si+1 , si sj = sj si Khi â n¸u |i − j| > 1. Σn = M/ < s2i = 1 | i = 1, . . . , n − 1 >. π W @ 0 R π @ N¶n ta câ c¡c ph²p chi¸u M . π00 Σn L÷u þ r¬ng hi»u Rr w = sp1 . . . spr ∈ W l  tø rót gån khi v  ch¿ khi l  tªp c¡c tø rót gån câ ë d i l  thäa m¢n u ∼r v th¼ r v  `(π(w)) = r. R = qr Rr . N¸u u ∈ Rr v  Ta k½ v ∈ Wr v ∈ Rr . ành ngh¾a 0.18. Cho σ, τ ∈ Σ , ta nâi r¬ng σ k¸t vîi τ n¸u thäa m¢n mët n trong c¡c i·u ki»n t÷ìng ÷ìng sau (a) Tçn t¤i ρ ∈ Σn thäa m¢n σ = ρτ v  `(σ) = `(ρ) + `(τ ). (b) `(στ −1) = `(σ) − `(τ ). (c) Tçn t¤i c¡c tø rót gån u, v thäa m¢n π(u) = τ v  π(uv) = σ. (d) L(τ ) ⊆ L(σ). Bê · 0.19. Gi£ sû σ ∈ Σ v  σ k¸t vîi s v  s vîi i 6= j . Khi â ta câ n i (a) N¸u |i − j| > 1 th¼ σ k¸t vîi sisj = sj si. (b) N¸u |i − j| = 1 th¼ σ k¸t vîi sisj si = sj sisj . Chùng minh. σ(i + 1). N¸u N¸u σ k¸t vîi T÷ìng tü ta câ |i − j| > 1, si th¼ j L(si ) = {{i, i + 1}} ⊂ L(σ), σ(j) > σ(j + 1). ta câ L(si sj ) = {{i, i + 1}, {j, j + 1}}, n¶n L(si sj ) ⊆ L(σ). Do â σ k¸t vîi si sj . 9 n¶n ta câ σ(i) > N¸u |i − j| = 1, ta gi£ sû j = i + 1. Ta câ σ(i) > σ(i + 1) = σ(j) > σ(j + 1) n¶n {{i, i + 1}, {i + 1, i + 2}, {i, i + 2}} ⊆ L(σ). Ta câ ph²p th¸ τ = si sj si = sj si sj l  x½ch (i, i + 1, i + 3) câ ë d i l  3, n¶n L(τ ) = {{i, i + 1}, {i + 1, i + 2}, {i, i + 2}}. Tø â suy ra σ k¸t vîi τ. Tø bê · tr¶n ta câ ành lþ sau ¥y. ành lþ 0.20. N¸u u, v ∈ R thäa m¢n π(u) = π(v) th¼ u ∼ v, tùc l  π (u) = 0 r π (v). r 0 Chùng minh. Ta chùng minh ành lþ tr¶n b¬ng qui n¤p theo Thªt vªy vîi câ r=1 khi â u = si vîi i n o â v  v = sj r. vîi j n o â n¶n ta u ∼r v . Gi£ sû r > 1 khi â ta câ u = xsi , v = ysj vîi x, y ∈ Rr−1 v  i, j ∈ {1, . . . , n − 1}. °t σ = π(u) = π(v) n¶n σ = π(x)si = π(y)sj . N¸u i = j th¼ π(x) = π(y) m  x, y ∈ Rr−1 n¶n theo gi£ thi¸t quy n¤p th¼ x ∼ y, tø â suy ra u = xsi ∼r ysi = ysj = v. N¸u σ |i − j| = 1 k¸t vîi theo ành ngh¾a ta câ si sj si = sj si sj , n¶n tçn t¤i σ k¸t vîi z ∈ Rr−3 si . Do â theo M»nh · 0.19 sao cho π(zsi sj si ) = π(zsj si sj ). M°t kh¡c theo tr÷íng hñp |i − j| = 1, ta suy ra u = xsi ∼ zsi sj si v  v = ysj ∼ zsj si sj . Theo ành ngh¾a ta câ zsi sj si ∼ zsj si sj n¶n u = v. |i − j| > 1 theo ành ngh¾a ta câ σ k¸t vîi si . V¼ vªy theo σ k¸t vîi si sj = sj si . Tø â suy ra tçn t¤i z ∈ Rr−2 sao cho N¸u ta câ π(zsi sj ) = π(zsj si ). 10 M»nh · 0.19 |i − j| = 1 M°t kh¡c theo tr÷íng hñp ta suy ra u = xsi ∼ zsj si v  v = ysj ∼ zsi sj . Theo ành ngh¾a ta câ zsi sj ∼ zsj si n¶n u = v. 0.3 Nhâm tuy¸n t½nh têng qu¡t Ta x²t khæng gian v²ctì k½ hi»u Ei = Fp {e1 , . . . , ei } Fnp v  v  h» (e1 , . . . , en ) G = GLn (Fp ) l  cì sð ch½nh t­c cõa Fnp . Ta v  T = {g ∈ G | gei ∈ Fp {ei } ∀ i} ={ ma trªn ÷íng ch²o } = {g ∈ G | gij = 0, ∀ i 6= j}, B = {g ∈ G | gEi = Ei ∀ i} ={ ma trªn tam gi¡c tr¶n } = {g ∈ G | gij = 0, ∀ i > j}, U = {g ∈| gei = ei (mod Ei−1 ) ∀ i} ={ ma trªn ìn và tam gi¡c tr¶n } = {g ∈ B | gii = 1, ∀ i}. Vîi x ∈ Fp {e1 , . . . , en } th¼ (gx)i = n P gij xj . Vîi méi ph²p th¸ σ ∈ Σn ta coi nâ j=1 σ(i) = j th¼ v²ctì ej ph²p th¸ σ = (123) khi â   0 0 1     σ = 1 0 0 .   0 1 0 i nh÷ mët ma trªn nh÷ sau: n¸u l  cët thù t÷ìng ùng. Ch¯ng h¤n cho ma trªn t÷ìng ùng l  11 cõa ma trªn V¼ vªy ta câ thº coi v  (σx)i = xσ−1 (i) , Σn nh÷ l  nhâm con cõa nhâm ph¦n tû ð và tr½ thù ij G. Khi â ta câ σ cõa ma trªn l  σei = eσ(i) σij = δi,σ(j) . Bê · 0.21. Ta câ |T | = (p − 1)n , |U | = p n(n−1) 2 , |B| = (p − 1)n p |G| = p Chùng minh. Gi£ sû n(n−1) 2 n(n−1) 2 (pn − 1) . . . (p − 1). Ta c¦n t½nh sè c¡c ma trªn cï t = (tij ) ∈ T tû cõa ma trªn khi â tii 6= 0 , tij = 0 v  n×n T i= 6 j. trong vîi måi vîi h» sè trong M°t kh¡c c¡c ph¦n t = (tij ) ·u n¬m trong tr÷íng Fp , m  trong Fp tû kh¡c khæng. Tø â n |T | = (p − 1) Fp . ch¿ câ p − 1 ph¦n . Lªp luªn ho n to n t÷ìng tü ta câ èi vîi ma trªn c¡c ph¦n tû ð h ng thù nh§t câ sè c¡ch chån B: n−1 l  (p − 1)p , c¡c ph¦n tû ð h ng thù hai câ sè c¡ch chån l  (p − 1)pn−2 , ··· c¡c ph¦n tû ð h ng thù n câ sè c¡ch chån l  (p − 1). Vªy ta câ |B| = (p − 1)pn−1 (p − 1)pn−2 (p − 1) . . . (p − 1) = (p − 1)pn−1+n−2+···+1 = (p − 1)n p Tø â ta công suy ra º x¡c ành trong Fp |G| |U | = p n(n−1) 2 . n(n−1) 2 . ta c¦n t½nh sè c¡c ma trªn cï n×n trong m  c¡c dáng cõa nâ ph£i ëc lªp tuy¸n t½nh tr¶n Fp . GLn (Fp ) vîi h» sè º x¥y düng mët ma trªn nh÷ th¸, chóng ta câ thº chån mët v²ctì kh¡c khæng b§t ký trong Nh÷ dáng ¦u ti¶n câ l  v²ctì b§t ký trong câ pk − pk−1 Fnp . pn − 1 c¡ch chån. Vîi 1 < k ≤ n, ta câ dáng thù k câ thº Fnp ngo¤i trø pk − 1 v²ctì cõa k − 1 dáng tr÷îc â, do â c¡ch lüa chån dáng |G| = p k. Tø â suy ra n(n−1) 2 (pn − 1) . . . (p − 1). 12 Bê · 0.22. (Xem [1], Ch÷ìng [2],Trang [30], M»nh · 1) Ta câ B = U o T. Chùng minh. U minh U ∩ T = {e} n¶n º chùng t­c trong B v  B = U T. V¼ chu©n ϕ : B −→ T °t minh l  ¡nh x¤ cho t÷ìng ùng ma trªn câ còng ÷íng ch²o vîi nâ. Tùc l  â U ϕ l  çng c§u nhâm v  chu©n t­c trong −1 B. −1 ϕ(bϕ(b) ) = ϕ(b)ϕ(b) U v  th¼ T vîi ma trªn t∈T i 6= j. kerϕ = {b ∈ B | ϕ(b) = e} = U. ϕ|T Do l  ¡nh x¤ çng nh§t. Do â −1 bϕ(b) ∈ kerϕ = U suy ra b ∈ U ϕ(b) ⊆ U T , |B| = |U T | n¶n ta câ B = U o T . Chó þ, n¸u n¶n m°t kh¡c theo Bê · 0.21 ta câ n>1 vîi måi Hìn núa, rã r ng =e b∈B ta ch¿ c¦n chùng   tii = bii  tij = 0 D¹ th§y B = U oT khæng ph£i chu©n t­c trong B, do â B khæng l  t½ch trüc ti¸p cõa T. 0.4 Ph¤m trò, h m tû ành ngh¾a 0.23. Mët ph¤m trò C gçm mët lîp c¡c vªt, k½ hi»u l  Ob(C). Ùng vîi hai vªt A, B cõa Ob(C) câ lîp M orC (A, B) c¡c c§u x¤ i tø A ¸n B , k½ hi»u l  f : A −→ B sao cho vîi måi c°p (f, g) ∈ M orC (A, B) × M orC (B, C), luæn tçn t¤i g ◦ f ∈ M orC (A, C). C§u x¤ g ◦ f gåi l  hñp th nh (hay t½ch) cõa c¡c c§u x¤ f v  g sao cho c¡c i·u ki»n sau ¥y ÷ñc thäa m¢n (F1 ) Ph²p hñp th nh, câ t½nh ch§t k¸t hñp: n¸u f ∈ M orC (A, B), g ∈ M orC (B, C) v  h ∈ M orC (C, D) th¼ (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ) èi vîi måi vªt A, B, C, D thuëc Ob(C). (F2 ) Vîi méi vªt A thuëc Ob(C) tçn t¤i mët c§u x¤ idA ∈ M orC (A, A) m  èi vîi måi vªt B ∈ Ob(C) sao cho idB ◦ f = f = f ◦ idA , ∀f ∈ M orC (A, B). Hai lîp c¡c c§u x¤ M orC (A, B) v  M orC (C, D) khæng giao nhau, trø tr÷íng hñp A = C v  B = D, trong tr÷íng hñp §y chóng b¬ng nhau. (F3 ) Trong khuæn khê cõa luªn v«n, chóng ta ch¿ x²t c¡c ph¤m trò nhä, theo ngh¾a lîp c¡c vªt v  lîp c¡c c§u x¤ giôa hai vªt b§t ký ·u l  c¡c tªp hñp. 13 V½ dö 0.24. (a) C¡c tªp hñp húu h¤n v  c¡c ¡nh x¤ giúa c¡c tªp hñp n y lªp th nh mët ph¤m trò, k½ hi»u l  F . (b) C¡c Z(p) -mæun tü do v  c¡c çng c§u mæun lªp th nh mët ph¤m trò, k½ hi»u l  A. (c) C¡c G-tªp vîi G l  nhâm b§t k¼ công t¤o th nh mët ph¤m trò, c§u x¤ l  c¡c ¡nh x¤ G-¯ng bi¸n. (d) Cho n cè ành, c¡c khæng gian v²ctì n chi·u tr¶n tr÷íng Fp v  c¡c ¯ng c§u tuy¸n t½nh lªp th nh mët ph¤m trò, k½ hi»u l  V. ành ngh¾a 0.25. (a) H m tû hi»p bi¸n Φ tø ph¤m trò C tîi ph¤m trò D, k½ hi»u l  Φ : C −→ D l  quy t­c ùng méi vªt A ∈ Ob(C) vîi mët vªt Φ(A) ∈ Ob(D), vîi méi c§u x¤ f ∈ M orC (A, B) vîi c§u x¤ Φ(f ) ∈ M orD (Φ(A), Φ(B)) sao cho c¡c i·u ki»n sau ¥y ÷ñc thäa m¢n HT 1. èi vîi måi A thuëc C ·u câ Φ(idA ) = idΦ(A) . HT 2. N¸u f : A −→ B v  g : B −→ C l  hai c§u x¤ thuëc C th¼ ta câ Φ(g ◦ f ) = Φ(g) ◦ Φ(f ). (b)Mët h m tû ph£n bi¸n Φ tø ph¤m trò C tîi ph¤m trò D, k½ hi»u l  Φ : C −→ D, l  quy t­c ùng méi vªt A ∈ Ob(C) vîi mët vªt Φ(A) ∈ Ob(D), v  vîi méi c§u x¤ f ∈ M orC (A, B) vîi c§u x¤ Φ(f ) ∈ M orD (Φ(B), Φ(A)) sao cho c¡c i·u ki»n sau ¥y ÷ñc thäa m¢n: P B1. Måi A thuëc C , Φ(idA ) = idΦ(A) . P B2. N¸u f : A −→ B v  g : B −→ C l  hai c§u x¤ thuëc C th¼ Φ(g ◦ f ) = Φ(f ) ◦ Φ(g). V½ dö 0.26. Vîi V v  F nh÷ trong V½ dö 0.24. Mët bë n khæng gian con lçng nhau, k½ hi»u l  U = (0 = U0 < U1 · · · < Un = V) ÷ñc gåi l  mët cí ¦y õ cõa khæng gian v²ctì V. °t F lag(V) = { cí ¦y õ cõa Khi â ¡nh x¤ F lag : V −→ F V 7−→ F lag(V), l  mët h m tû. 14 V}. ành ngh¾a 0.27. (Ph²p bi¸n êi tü nhi¶n) Cho Φ v  Ψ l  hai h m tû C −→ D. Mët ph²p bi¸n êi tü nhi¶n H tø Φ sang Ψ l  mët quy t­c ùng méi vªt X thuëc Ob(C) vîi mët c§u x¤ HX thuëc M orD (Φ(X), Ψ(X)) sao cho sì ç sau giao ho¡n H X Φ(X) −−− → Ψ(X)    Ψ(f ) Φ(f )y y Φ(Y ) −−−→ Ψ(Y ) HY trong â f thuëc M orC (X, Y ), tùc l  HY ◦ Φ(f ) = Ψ(f ) ◦ HX . Tªp hñp c¡c ph²p bi¸n êi tü nhi¶n tø Φ tîi Ψ ÷ñc k½ hi»u l  N at(Φ, Ψ). Bê · 0.28. (Bê · Yoneda) Gi£ sû C l  mët ph¤m trò v  F l  ph¤m trò c¡c tªp hñp. Vîi méi vªt A thuëc Ob(C), °t hA(X) = M orC (A, X), trong â X l  mët vªt b§t ký trong Ob(C). hA l  mët h m tû C −→ F. N¸u h m tû F : C −→ F th¼ N at(hA, F ) ∼ = F (A). Chùng minh. H : hA −→ F l  mët ph²p bi¸n êi tü nhi¶n x¤ f : A −→ X, ta câ biºu ç sau giao ho¡n Gi£ sû ngh¾a, vîi méi c§u theo ành H(A) hA (A) −−−→ F (A)    F (f ) hA (f )y y . hA (X) −−−→ F (X) H(X) M°t kh¡c, hA (A) = M orC (A, A) idA ∈ M orC (A, A). n¶n °t φ : N at(hA , F ) −→ F (A) H 7−→ H(A)(idA ). Ng÷ñc l¤i, vîi måi u ∈ F (A) v  g ∈ M orC (A, X), ta x¡c ành ÷ñc mët ¡nh x¤ H : hA −→ F g 7−→ H(X)(g) = F (g)(u), «c bi»t, H(A) : hA (A) = M orC (A, A) −→ F (A) idA 7−→ H(A)(idA ) = u, 15 Tø c¡ch x¡c ành tr¶n th¼ ¡nh x¤ H l m biºu ç sau giao ho¡n H(A) hA (A) −−−→ F (A)    F (g) A h (g)y y hA (X) −−−→ F (X) H(X)    F (f ) hA (f )y y hA (Y ) −−−→ F (Y ) H(Y ) trong â, Y ∈ Ob(C) v  f ∈ M orC (X, Y ). Do â H ∈ N at(hA , F ). Vªy φ l  song ¡nh. V½ dö 0.29. Vîi V v  F nh÷ trong V½ dö 0.24.K½ hi»u Base(V) = { cì sð cõa khæng gian v²ctì V} = M orV (Fnp, V). Khi â, h m tû Base : V −→ Flag V 7−→ Base(V). l  mët h m tû. p döng bê · Yoneda cho ph²p bi¸n êi tü nhi¶n tø ch½nh nâ, ta nhªn ÷ñc N at(Base) ∼ = Base(Fnp ) = M orV (Fnp , Fnp ) = G. 16 Base v o Ch÷ìng 1 Ph¥n t½ch Bruhat 1.1 Ph²p th¸ Jordan Cè ành mët khæng gian v²ctì l  tªp hñp c¡c cí ¦y õ cõa W, n chi·u tr¶n Fp , k½ hi»u l  W. °t F lag(W) tùc l  c¡c chuéi U = (0 = U0 < U1 < · · · < Un = W), ð â Ui l  c¡c khæng gian con cõa cì sð ch½nh t­c cõa Fnp , th¼ trong m  câ W, F lag(Fnp ) dimUi = i. N¸u (e1 . . . en ) l  mët câ mët ph¦n tû °c bi»t. E = (0 = E0 < E1 < · · · < En = Fnp ), trong â Ei = Fp {e1 , . . . ei } Gi£ sû Qij U, V v  E ÷ñc gåi l  cí ch½nh t­c. l  hai cí ¦y õ trong F lag(W). Vîi méi c°p 0 < i, j ≤ n, °t l  khæng gian th÷ìng Qij = (Ui ∩ Vj )/[(Ui−1 ∩ Vj ) + (Ui ∩ Vj−1 )]. Bê · 1.1. Q ij Chùng minh. Ta câ ∼ = (Ui−1 + Ui ∩ Vj )/(Ui−1 + (Ui ∩ Vj−1 )). X²t ¡nh x¤ chi¸u f : Ui ∩Vj −→ (Ui−1 + Ui ∩ Vj )/[Ui−1 + (Ui ∩ Vj−1 )]. Ker f = {x | x ∈ (Ui ∩ Vj ) v  x ∈ Ui−1 + (Ui ∩ Vj−1 )} suy ra (Ui−1 ∩ Vj ) + (Ui ∩ Vj−1 ) ⊆ Ker f. M°t kh¡c vîi x ∈ Ui−1 + (Ui ∩ Vj−1 ) b ∈ (Ui ∩ Vj−1 ). Do â suy ra x = a + b, x ∈ (Ui−1 ∩ Vj ) + (Ui ∩ Vj−1 ) hay Ker f ⊆ (Ui−1 ∩ Vj ) + (Ui ∩ Vj−1 ). 17 trong â a ∈ Ui−1 v 
- Xem thêm -