Tài liệu Phần phụ trong nhóm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lâm Thị Ánh Tuyết PHẦN PHỤ TRONG NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lâm Thị Ánh Tuyết PHẦN PHỤ TRONG NHÓM Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 3 MỤC LỤC MỤC LỤC ................................................................................................................. 3 Lời cảm ơn ................................................................................................................. 4 MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 5 BẢNG KÝ HIỆU ....................................................................................................... 7 Chương 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................................ 8 1.1.Một số định nghĩa ............................................................................................ 8 1.2. Một số định lý về cấp của một nhóm............................................................ 10 1.3. Một số định lý đẳng cấu ............................................................................... 11 1.4. Nhóm con Frattini, nFrattini và cFrattini...................................................... 13 Chương 2: PHẦN PHỤ TRONG NHÓM ........................................................... 16 2.1.Định nghĩa ..................................................................................................... 16 2.2. Một số kết quả mở đầu ................................................................................. 18 2.3. Các đặc trưng của xS-nhóm .......................................................................... 19 2.4. Các đặc trưng của xPNS-nhóm ..................................................................... 28 2.5. Các đặc trưng của xCS-nhóm ....................................................................... 37 2.6. Các định lý về sự phân lớp ........................................................................... 42 KẾT LUẬN ............................................................................................................. 46 ĐỀ XUẤT NGHIÊN CỨU ...................................................................................... 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 47 4 Lời cảm ơn Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn đến người thầy đáng kính, PSG.TS Mỵ Vinh Quang, người đã hết lòng hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập từ đại học cho đến suốt quá trình học cao học và làm luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tất cả các thầy cô trong khoa Toán – Tin trường đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, và thầy PGS. TS Bùi Xuân Hải, những người đã hết lòng giảng dạy tôi trong suốt quá trình học cao học tại trường. Xin cảm ơn các bạn học viên Cao học Đại Số khóa 21 trường ĐHSP Tp.HCM đã động viên giúp đỡ tôi rất nhiều trong thời gian làm luận văn. Cuối cùng xin gửi lời tri ân đến gia đình, bạn bè, người thân và đồng nghiệp đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và công tác. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 24 tháng 09 năm 2012 Tác giả luận văn Lâm Thị Ánh Tuyết 5 MỞ ĐẦU Ta gọi một nhóm con H của G là được gọi là cóphần phụ trong G nếu có một nhóm con K của G sao cho G = HK. Nếu H ∩ K = {1} thì ta nói K là phầnbù trong G của H. Một nhóm Gđược gọi là một xP nhóm nếu với mọi x nhóm con không tầm thường đều thỏa mãn điều kiện P trong đó, x và P là: x = a (nhóm con tùy ý) x = n (nhóm con chuẩn tắc) x = c (nhóm con đặc trưng) P = D có một hạng tử trực tiếp P = C có một phần bù P = S có một phần phụ P = PNS có một phần phụ chuẩn tắc P = CS có một phần phụ đặc trưng. Lớp tất cả các nhóm thỏa mãn tính chất nêu trên được kí hiệu là xP. Trong luận văn này, chúng tôi chủ yếu dựa trên ý tưởng của hai tác giả L.C Kappe và J.Kirtland trong bài báo “Supplementtation in groups” [14], nghiên cứu quan hệ bao hàm giữa chín lớp: aS, nS, cS, aPNS, nPNS, cPNS, aCS, nCS, cCs. Nội dung luận văn gồm có: Phần I: Các kiến thức mở đầu 6 Phần II: Phần phụ trong nhóm 1. Định nghĩa 2. Kết quả sơ bộ 3. Đặc trưng của xS-nhóm 4. Đặc trưng của xPNS-nhóm 5. Đặc trưng của xCS-nhóm 6. Lớp các quan hệ bao hàm. 7 BẢNG KÝ HIỆU a Nhóm con bất kỳ c Nhóm con đặc trưng n Nhóm con chuẩn tắc H ≤G, H - Xem thêm -