Tài liệu Phân lớp các phạm trù picard phân bậc và ứng dụng

UBND THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN ---------------------------- BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG PHÂN LỚP CÁC PHẠM TRÙ PICARD PHÂN BẬC VÀ ỨNG DỤNG Mã số: CS2013-11 Chủ nhiệm đề tài: ThS. Chế Thị Kim Phụng TP. Hồ Chí Minh, 03/2014 UBND THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN ---------------------------- BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG PHÂN LỚP CÁC PHẠM TRÙ PICARD PHÂN BẬC VÀ ỨNG DỤNG Mã số: CS2013-11 Chủ nhiệm đề tài: ThS. Chế Thị Kim Phụng TP. Hồ Chí Minh, 03/2014 i MỤC LỤC Mở đầu 1 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1. Phạm trù Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Phạm trù Picard phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Đối đồng điều đối xứng của các Γ-môđun 8 . . . . . . . . . . . . . Chương 2. Phân lớp các phạm trù Picard phân bậc và ứng dụng 10 2.1. Hệ nhân tử lấy giá trị trong phạm trù Picard . . . . . . . . . . . 10 2.2. Hệ nhân tử lấy giá trị trong phạm trù Picard kiểu (M, N ) . . . . . . 16 2.3. Mở rộng Γ-môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 29 1 MỞ ĐẦU 1. Tổng quan về tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước Vào đầu những năm 1940, lý thuyết phạm trù và hàm tử đầu tiên được giới thiệu bởi nhà toán học người Mỹ Mac Lane và nhà toán học người Ba lan Eilenberg và các kết quả này được công bố trong Eilenberg và Mac Lane [11, 12]. Sau đó, vấn đề này tiếp tục được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, điển hình là các nghiên cứu của Mac Lane [23, 24, 25], Buchsbaum [3, 4, 5], Freyd [26], Gabriel [16], Lubkin [22], Heller [18], Eilenberg [14], .... Phạm trù với tích tenxơ được nghiên cứu bởi Bénabou [1] và Kelly [19], Mac Lane [27], .... Các tác giả này đã xét phạm trù trên đó có trang bị phép toán ⊗ cùng với ràng buộc kết hợp, ràng buộc đơn vị trái và ràng buộc đơn vị phải. Năm 1971, Mac Lane [30] đã bổ sung một số điều kiện khớp cho các ràng buộc được trang bị trong một phạm trù cùng với tích tenxơ và đưa ra khái niệm phạm trù monoidal cho lớp phạm trù này. Phạm trù monoidal trở thành phạm trù với cấu trúc nhóm khi được bổ sung thêm khái niệm vật khả nghịch (xem Laplaza [21] và Rivano [33]). Hơn nữa, nếu phạm trù nền bao gồm các mũi tên đẳng cấu thì ta được một phạm trù monoidal giống nhóm hay Gr-phạm trù (xem Fr¨hlich o và Wall [15] và H. X. Sính [34]). Lý thuyết phạm trù monoidal phân bậc đã được giới thiệu bởi Fr¨hlich và o Wall [15], nó là sự mở rộng của lý thuyết phạm trù monoidal khi nhóm Γ được bổ sung. Sau đó, bài toán về phân lớp các phạm trù monoidal phân bậc đã được giải quyết bởi Cegarra, Garzon và Ortega [6]. Một số kết quả gần đây theo hướng nghiên cứu này thuộc về Cegarra, Garzón và Ortega [7, 8], Vitale [35], Cegarra và Khmaladze [9, 10], N. T. Quang [32]. 2 2. Tính cấp thiết của đề tài Lý thuyết phạm trù và hàm tử là một lĩnh vực quan trọng của đại số hiện đại, nhiều nhà toán học trong và ngoài nước đã nghiên cứu và thu được những kết quả quan trọng. Một trong những vấn đề đang được quan tâm nghiên cứu của lý thuyết phạm trù và hàm tử là bài toán nghiên cứu về cấu trúc của một số dạng phạm trù monoidal. Trong thời gian gần đây, vấn đề này đã được nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu. Qua một thời gian tìm hiểu, chúng tôi nhận thấy rằng nó đang là một hướng mở và có thể tiếp tục nghiên cứu và phát triển, chẳng hạn nghiên cứu về bài toán phân lớp các phạm trù Picard phân bậc và ứng dụng. Bên cạnh đó, việc giải quyết bài toán phân lớp các phạm trù Picard và ứng dụng sẽ tạo ra một hướng nghiên cứu tốt cho giảng viên và sinh viên Khoa Toán - Ứng dụng, Trường Đại học Sài Gòn. 3. Mục tiêu của đề tài Nghiên cứu bài toán phân lớp các phạm trù Picard phân bậc và ứng dụng. 4. Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu 4.1. Cách tiếp cận - Tiếp cận hệ thống: Đọc các tài liệu có liên quan đến lĩnh vực nghiên cứu của đề tài, đặc biệt là các bài báo đã được công bố trên các tạp chí khoa học quốc tế xuất bản trong thời gian gần đây. - Tiếp cận định tính: Xét cấu trúc đặc trưng của hệ nhân tử đối với phạm trù Picard để giải quyết bài toán phân lớp các phạm trù Picard phân bậc. 4.2. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu các tài liệu tham khảo; - Trao đổi thông tin với Người hướng dẫn, nhóm nghiên cứu và các tác giả khác có cùng hướng nghiên cứu; viết bài cho các tạp chí khoa học để kiểm tra kết quả nghiên cứu. 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 5.1. Đối tượng nghiên cứu: Phạm trù Picard phân bậc. 5.2. Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết phạm trù monoidal và đại số đồng điều. 3 6. Nội dung nghiên cứu Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài gồm có hai chương. Chương 1 trình bày phần kiến thức chuẩn bị bao gồm một số khái niệm cơ bản và kết quả bổ trợ có liên quan đến nội dung của chương tiếp theo. Mục 1.1 trình bày về phạm trù Picard. Mục 1.2 được dành để trình bày về phạm trù Picard phân bậc. Mục 1.3 đề cập đến đối đồng điều đối xứng của các Γ-môđun. Chương 2 phân lớp các phạm trù Picard phân bậc bằng phương pháp hệ nhân tử. Mục 2.1 chỉ ra rằng mỗi phạm trù Picard phân bậc P tương đương với mở rộng tích chéo của một hệ nhân tử F : Γ → Z3 lấy hệ tử trong phạm trù Picard s kiểu (π0 P, π1 P) (Định lý 2.1.5). Mục 2.2 chứng minh rằng phạm trù Picard phân bậc P cảm sinh các cấu trúc Γ-môđun trên các nhóm aben M = π0 P, N = π1 P 3 và cảm sinh một 3-đối chu trình chuẩn tắc h ∈ ZΓ,s (M, N ) (Định lý 2.2.2).Mục 2.3 trình bày sự phân lớp các mở rộng Γ-môđun nhờ vào các hàm tử monoidal đối xứng phân bậc (Định lý 2.3.2). 4 CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về phạm trù Picard (xem H. X. Sính [34]), phạm trù Picard phân bậc và đối đồng điều đối xứng của các Γ-môđun (xem Cegarra và Khmaladze [9]). Những nội dung này làm cơ sở cho chương tiếp theo. 1.1. Phạm trù Picard 1.1.1 Định nghĩa. Một phạm trù monoidal đối xứng là một ⊗-phạm trù C cùng với vật đơn vị I và các đẳng cấu tự nhiên a = (aX,Y,Z ), c = (cX,Y ), l = (lX ) và r = (rX ) với X, Y, Z ∈ C , trong đó ∼ aX,Y,Z : (X ⊗ Y ) ⊗ Z −→ X ⊗ (Y ⊗ Z), ∼ cX,Y : X ⊗ Y −→ Y ⊗ X, ∼ lX : I ⊗ X −→ X, ∼ rX : X ⊗ I −→ X, thỏa mãn các điều kiện sau đây: aX,Y,Z⊗T ◦ aX⊗Y,Z,T = (idX ⊗ aY,Z,T ) ◦ aX,Y ⊗Z,T ◦ (aX,Y,Z ⊗ idT ), (idX ⊗ lY ) ◦ aX,I,Y = rX ⊗ idY , cX,Y ◦ cY,X = idX⊗Y , (idY ⊗ cX,Z ) ◦ aY,X,Z ◦ (cX,Y ⊗ idZ ) = aY,Z,X ◦ cX,Y ⊗Z ◦ aX,Y,Z . Các đẳng cấu tự nhiên a, c, l và r tương ứng được gọi là ràng buộc kết hợp, ràng buộc giao hoán, ràng buộc đơn vị trái và ràng buộc đơn vị phải. 5 Giả sử C và C là hai phạm trù monoidal đối xứng. Một hàm tử monoidal đối xứng từ C đến C là bộ ba (F, F , F ) bao gồm: (i) hàm tử F : C → C , ∼ (ii) đẳng cấu hàm tử F = (FX,Y ) với FX,Y : F (X ⊗ Y ) → F X ⊗ F Y , ∼ (iii) mũi tên đẳng cấu F : F I → I sao cho với mọi vật X, Y, Z ∈ C , các điều kiện khớp sau được thỏa mãn: FX⊗Y,Z ◦ (FX,Y ⊗ idF Z ) ◦ aF X,F Y,F Z = F (aX,Y,Z ) ◦ FX,Y ⊗Z ◦ (idF X ⊗ FY,Z ), FX,I ◦ (idF X ⊗ F ) ◦ rF X = F (rX ) , FI,X ◦ (F ⊗ idF X ) ◦ lF X = F (lX ), FX,Y ◦ cF X,F Y = F (cX,Y ) ◦ FY,X . Hàm tử monoidal đối xứng (F, F , F ) từ phạm trù monoidal đối xứng C đến phạm trù monoidal đối xứng C được gọi là tương đương monoidal đối xứng nếu F : C → C là một hàm tử tương đương. Khi đó, hai phạm trù monoidal đối xứng C và C được gọi là tương đương monoidal đối xứng với nhau. Giả sử (F, F , F ) và (G, G, G) là hai hàm tử monoidal đối xứng từ phạm trù monoidal đối xứng C đến phạm trù monoidal đối xứng C . Mũi tên hàm tử θ : F −→ G được gọi là một mũi tên hàm tử monoidal đối xứng nếu GX,Y ◦ θX⊗Y = θX ⊗ θY ◦ FX,Y , G ◦ θI = F . Mũi tên hàm tử monoidal đối xứng được gọi là một đẳng cấu hàm tử monoidal đối xứng nếu mũi tên θ là một đẳng cấu hàm tử. 1.1.2 Định nghĩa. Một phạm trù monoidal đối xứng được gọi là một phạm trù Picard (hay Pic-phạm trù ) nếu mọi vật đều khả nghịch và mọi mũi tên đều đẳng cấu. Nếu (F, F , F ) là một hàm tử monoidal đối xứng giữa hai phạm trù Picard thì đẳng cấu F : F I → I được suy ra từ F và F , bởi vậy ta có thể bỏ qua F khi không cần thiết. 6 Giả sử P là một Pic-phạm trù, Π0 (P) là một nhóm aben các lớp vật đẳng cấu của P và Π1 (P) = Aut(0) là một nhóm aben các tự đẳng cấu của vật đơn vị 0. Các phần tử trung hòa của Π0 (P) và Π0 (P) đều được ký hiệu bởi 0. Xây dựng phạm trù S bao gồm các vật là các phần tử có dạng x ∈ Π0 (P), và các mũi tên là những tự đẳng cấu có dạng (x, u) : x → x với mọi u ∈ Π1 (P). Phép hợp thành của các mũi tên cho bởi (x, u) ◦ (x, v) = (x, u + v). Phép toán ⊗ cho bởi x ⊗ y = x + y, (x, u) ⊗ (y, v) = (x + y, u + v). Ràng buộc đơn vị là chặt chẽ (theo nghĩa lx = rx = idx ). Ràng buộc kết hợp a và ràng buộc giao hoán c liên kết với hàm ξ và η thỏa mãn các đẳng thức: ξ(y, z, t) − ξ(x + y, z, t) + ξ(x, y + z, t) − ξ(x, y, z + t) + ξ(x, y, z) = 0, (1.1.1) ξ(x, y, z) − ξ(y, x, z) + ξ(y, z, x) + η(x, y + z)η(x, y) − η(x, z) = 0, (1.1.2) η(x, y) + η(y, x) = 0 (1.1.3) và thỏa mãn điều kiện chuẩn tắc ξ(0, y, t) = ξ(x, 0, y) = ξ(x, y, 0) = 0. Phạm trù S được xây dựng như trên là một Pic-phạm trù và được gọi là Picphạm trù thu gọn của Pic-phạm trù P hay được gọi là Pic-phạm trù kiểu (Π, A), trong đó Π = Π0 (P) và A = Π1 (P) và ký hiệu S = (Π, A). 1.1.3 Định nghĩa. Giả sử P và P là các Pic-phạm trù, S = (Π, A) và S = (Π , A ) lần lượt là những Pic-phạm trù thu gọn của P và P . Một hàm tử F : S → S được gọi là một hàm tử kiểu (ϕ, f ) nếu tồn tại một cặp các đồng cấu nhóm ϕ:Π→Π, f :A→A sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn: F (x) = ϕ(x) , F (x, u) = (ϕ(x), f (u)). 7 1.1.4 Định lý. Giả sử S = (Π, A) và S = (Π , A ) là những Pic-phạm trù thu gọn của P và P , F = (F, F , F ) là một hàm tử monoidal đối xứng từ S đến S . Khi đó, F là hàm tử kiểu (ϕ, f ). 1.2. Phạm trù Picard phân bậc Giả sử Γ là một nhóm. Ta xem Γ như một phạm trù với một vật ∗, mũi tên là các phần tử của Γ và phép hợp thành là phép toán nhóm. Khi đó phạm trù C cùng với hàm tử gr : C → Γ được gọi là một Γ-phạm trù (hay phạm trù phân bậc). Hàm tử gr : C −→ Γ được gọi là một Γ-phân bậc trên C . Nếu f : X −→ Y là một mũi tên của phạm trù C và gr(f ) = σ thì σ được gọi là bậc của mũi tên f và f được gọi là σ -mũi tên. Γ-phân bậc gr được gọi là Γ-phân bậc ổn định nếu với mỗi X ∈ Ob(C) và mỗi σ ∈ Γ tồn tại một mũi tên đẳng cấu u trong C với nguồn X sao cho gr(u) = σ . Giả sử (C, gr) là một Γ-phạm trù. Ta ký hiệu C ×Γ C là một phạm trù con của phạm trù tích C × C mà các vật là các vật (X, Y ) của C × C và các mũi tên là các cặp mũi tên (f, g) của C × C sao cho gr(f ) = gr(g). Khi đó C ×Γ C cùng với hàm tử gr : C ×Γ C → Γ cũng là một Γ-phạm trù với gr (f, g) = gr(f ) = gr(g). 1.2.1 Định nghĩa. Một phạm trù monoidal Γ-phân bậc đối xứng bao gồm một phạm trù C , một Γ-phân bậc ổn định gr : C → Γ, các hàm tử Γ-phân bậc ∼ ⊗ : C ×Γ C → C , I : Γ → C và các đẳng cấu tự nhiên bậc 1 aX,Y,Z : (X ⊗ Y ) ⊗ Z → ∼ ∼ ∼ X ⊗ (Y ⊗ Z), lX : I ⊗ X → X, rX : X ⊗ I → X và cX,Y : X ⊗ Y → Y ⊗ X , với I = I(∗) thỏa mãn các điều kiện khớp của một phạm trù monoidal đối xứng. Giả sử C và C là hai Γ-phạm trù monoidal đối xứng. Một Γ-hàm tử monoidal đối xứng (F, F , F ) : C → C là là một bộ ba (F, F , F ) bao gồm: (i) một Γ-hàm tử F : C → C , (ii) một đẳng cấu tự nhiên bậc 1: F = (FX,Y ) với FX,Y : F (X ⊗ Y ) → F X ⊗ F Y, 8 (iii) một mũi tên đẳng cấu bậc 1: F : F I → I sao cho các điều kiện khớp của một hàm tử monoidal đối xứng thỏa. Giả sử rằng (F, F , F ), (G, G, G) là hai hàm tử monoidal đối xứng phân bậc. Một tương đương tự nhiên monoidal đối xứng phân bậc là một tương đương tự ∼ nhiên phân bậc θ : F → G sao cho với mọi vật X, Y ∈ C các điều kiện khớp sau đúng GX,Y ◦ θX⊗Y = θX ⊗ θY ◦ FX,Y , G ◦ θI = F . (1.2.1) 1.2.2 Định nghĩa. Một phạm trù Picard phân bậc là một phạm trù monoidal phân bậc đối xứng sao cho mọi mũi tên đều đẳng cấu và với mỗi vật X đều tồn ∼ tại vật X cùng với mũi tên đẳng cấu bậc 1: X ⊗ X − I . → Khi đó phạm trù con KerP của phạm trù Picard phân bậc P có vật là các vật của P và các mũi tên là những mũi tên bậc 1 trong P , là một phạm trù Picard. 1.3. Đối đồng điều đối xứng của các Γ-môđun n Cho M và N là hai Γ-môđun. Nhóm đối đồng điều đối xứng HΓ,s (M, N ) với n ≤ 3 (xem [10]) chính là nhóm đối đồng điều của dãy phức bị chặn ∂ ∂ 1 2 3 0 −→ CΓ,ab (M, N ) −→ CΓ,ab (M, N ) −→ ZΓ,ab (M, N ) −→ 0, 1 trong đó CΓ,ab (M, N ) bao gồm tất cả các ánh xạ chuẩn tắc f : M → N, 2 CΓ,ab (M, N ) bao gồm tất cả các ánh xạ chuẩn tắc g : M 2 ∪ (M × Γ) → N 3 và ZΓ,ab (M, N ) bao gồm tất cả các ánh xạ chuẩn tắc h : M 3 ∪ (M |M ) ∪ (M 2 × Γ) ∪ (M × Γ2 ) → N thoả mãn các điều kiện của 3-đối chu trình h(y, z, t) + h(x, y + z, t) + h(x, y, z) = h(x + y, z, t) + h(x, y, z + t), (1.3.1) 9 h(x|z) + h(y, x, z) + h(x|y) = h(y, z, x) + h(x|y + z) + h(x, y, z), h(x|y) = −h(y|x), (1.3.2) (1.3.3) σh(x, y, z)+h(x+y, z, σ)+h(x, y, σ) = h(σx, σy, σz)+h(y, z, σ)+h(x, y+z, σ), (1.3.4) h(σx|σy) + h(y, x, σ) = σh(x|y) + h(x, y, σ), (1.3.5) σh(x, y, τ ) + h(τ x, τ y, σ) + h(x, σ, τ ) + h(y, σ, τ ) = h(x + y, σ, τ ) + h(x, y, στ ), (1.3.6) σh(x, τ, γ) + h(x, σ, τ γ) = h(x, στ, γ) + h(γx, σ, τ ), (1.3.7) với mọi x, y, z, t ∈ M và σ, τ, γ ∈ Γ. 2 Với mỗi g ∈ CΓ,ab (M, N ), đối bờ ∂g được cho bởi: (∂g)(x, y, z) = g(y, z) − g(x + y, z) + g(x, y + z) − g(x, y), (∂g)(x|y) = g(x, y) − g(y, x), (∂g)(x, y, σ) = σg(x, y) − g(σx, σy) − g(y, σ) + g(x + y, σ) − g(x, σ), (∂g)(x, σ, τ ) = σg(x, τ ) − g(x, στ ) + g(τ x, σ), với mọi x, y, z, t ∈ M và σ, τ ∈ Γ. (1.3.8) (1.3.9) (1.3.10) (1.3.11) 10 CHƯƠNG 2 PHÂN LỚP PHẠM TRÙ PICARD PHÂN BẬC VÀ ỨNG DỤNG Phạm trù Picard phân bậc đã được giới thiệu bởi Cegarra và Khmaladze [9] và là sự khái quát lên của khái niệm phạm trù Picard (xem H. X. Sính [34]) khi đưa vào cấu trúc phân bậc của Fr¨hlich và Wall [15]. Cegarra và Khmaladze o [9] đã xây dựng đối đồng điều đối xứng của các Γ-môđun (mà trường hợp riêng là đối đồng điều đối xứng của Eilenberg-MacLane) để phân lớp các phạm trù Picard phân bậc và phân lớp các mở rộng Γ-môđun. Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu phạm trù Picard phân bậc thông qua lý thuyết hệ nhân tử (hay giả hàm tử) của Grothendieck [17]. Trước hết, chúng tôi trình bày lý thuyết hệ nhân tử trong phạm trù Picard phân bậc. Thứ hai, chúng tôi chứng minh rằng mỗi hệ nhân tử khá chặt chẽ (F = (S, F σ , θσ,τ ) : Γ → Z3 s cảm sinh các cấu trúc Γ-môđun trên M, N và một 3-đối chu trình chuẩn hóa 3 hF ∈ ZΓ,s (M, N ) (Định lý 2.2.1). Kết quả này chỉ ra các cấu trúc Γ-môđun trên M, N và 3-đối chu trình h được cảm sinh trực tiếp từ giả hàm tử. Kết quả quan trọng thứ ba là lý thuyết Schreier cho các mở rộng Γ-môđun nhờ vào các hàm tử monoidal đối xứng phân bậc (Định lý 2.3.2). 2.1. Hệ nhân tử lấy giá trị trong phạm trù Picard Cegarra và các cộng sự [6] đã sử dụng lý thuyết hệ nhân tử của Grothendieck [17] để nghiên cứu các mở rộng phân bậc của phạm trù monoidal. Nhưng sau đó họ đã không tiếp tục sử dụng phương pháp này trong bài báo về nhóm phạm trù phân bậc [7] và phạm trù Picard phân bậc [10]. N. T. Quang [32] đã phát triển lý thuyết hệ nhân tử cho các nhóm phạm trù phân bậc và thu được các 11 kết quả quan trọng. Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày lý thuyết hệ nhân tử trong các phạm trù Picard phân bậc. Trước hết, chúng tôi ký hiệu Pic là phạm trù của các phạm trù Picard và các hàm tử monoidal đối xứng giữa chúng. 2.1.1 Định nghĩa. Một hệ nhân tử đối xứng F trên Γ với các hệ tử trong phạm trù Picard P (hay một giả hàm tử F : Γ → Pic) bao gồm một họ các tự tương đương monoidal đối xứng F σ : P → P với σ ∈ Γ và các đẳng cấu giữa các hàm tử monoidal đối xứng θσ,τ : F σ F τ → F στ với σ, τ ∈ Γ, thỏa mãn các điều kiện: (i) F 1 = idP ; (ii) θ1,σ = idF σ = θσ,1 , σ ∈ Γ; (iii) Với mọi σ, τ, γ ∈ Γ, biểu đồ sau giao hoán θσ,τ F γ F σ F τ F γ − − → F στ F γ −− σ τ,γ F θ   F σF τγ   θσ,τ γ −− −→ θστ,γ (2.1.1) F στ γ Ta viết F = (P, F σ , θσ,τ ) và ký hiệu đơn giản là (F, θ). Hệ nhân tử đối xứng F được gọi là một hệ nhân tử đối xứng khá chặt chẽ nếu F σ = id với mọi σ ∈ Γ. Mệnh đề sau đây chỉ ra rằng mỗi phạm trù Picard phân bậc cảm sinh một hệ nhân tử lấy hệ tử trong một phạm trù Picard. 2.1.2 Mệnh đề. Mỗi phạm trù Picard phân bậc (P, gr) cảm sinh một hệ nhân tử đối xứng F : Γ → Pic. Chứng minh. Với mỗi σ ∈ Γ, ta dựng một hàm tử monoidal đối xứng F σ = (F σ , F σ ) : KerP →KerP như sau. Với mỗi X ∈ KerP, vì phân bậc gr là ổn định nên tồn tại mũi tên đẳng cấu ∼ Υσ : X → F σ X , trong đó F σ X ∈ KerP và gr(Υσ ) = σ . Đặc biệt, khi σ = 1 thì ta X X lấy F 1 X = X và Υ1 = idX . Với mỗi mũi tên f : X → Y bậc 1 trong KerP , mũi X tên F σ (f ) trong KerP được xác định duy nhất bởi biểu đồ giao hoán sau 12 Υσ X − − F σX −X → f  F σ (f )   (2.1.2) Υσ Y − − F σY − Y→ ∼ σ Các đẳng cấu tự nhiên FX,Y : F σ X ⊗ F σ Y −→ F σ (X ⊗ Y ) được xác định duy nhất bởi tính giao hoán của các biểu đồ σ FX,Y F σ (X ⊗ Y ) E ‰ r rr r Υσ X⊗Y ¨ F σX ⊗ F σY (2.1.3) B ¨ ¨¨ σ ΥX ⊗Υσ Y X ⊗Y Hơn nữa, với mỗi cặp σ, τ ∈ Γ tồn tại một đẳng cấu giữa các hàm tử monoidal: ∼ θσ,τ : F σ F τ −→ F στ với θ1,σ = idF σ = θσ,1 được xác định bởi tính giao hoán của biểu đồ X Υτ −− −X → FτX   Υστ  Υσ τ X (2.1.4) F X θσ,τ F στ X ←X − F σ F τ X − − với mọi X ∈ P . Như vậy, cặp (F, θ) xác định như trên là một hệ nhân tử được cảm sinh từ nhóm phạm trù Picard phân bậc P . Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng từ hệ nhân tử đối xứng F = (P, F σ , θσ,τ ), ta có thể xây dựng một phạm trù Picard phân bậc. Phạm trù này được gọi là mở rộng tích chéo của F và được ký hiệu là P = ∆F . Ta đặt Ob(∆F) = ObP. Mũi tên X → Y trong ∆F là cặp (a, σ), trong đó (a,σ) a (b,τ ) F σ X → Y là mũi tên trong P. Với σ, τ ∈ Γ thì hợp thành X → Y → Z là mũi tên (c, τ σ) : X → Z với c được xác định một cách tự nhiên theo biểu đồ giao hoán sau F τ (a) F τ F σX − − F τ Y −→ τ,σ θX   F τσX   b −− −→ Z nghĩa là τ,σ (b, τ ) · (a, σ) = (b · F τ (a) · (θX )−1 , τ σ). 13 Từ các điều kiện chuẩn tắc và điều kiện đối chu trình của F , ta suy ra phép hợp thành của các mũi tên trong ∆F có tính kết hợp và phần tử đơn vị. ∆F là phạm trù Picard Γ-phân bậc với hàm tử gr : ∆F → Γ cho bởi (a,σ) X → ∗; (X → Y ) → σ. Tenxơ Γ-hàm tử ⊗ : ∆F ×Γ ∆F −→ ∆F được xác định (a,σ) (b,σ) (d,σ) (X → Y ) ⊗ (X → Y ) = (X ⊗ X → Y ⊗ Y ), trong đó d được xác định bởi hợp thành F σ (X ⊗ X ) (F σ )−1 → a⊗b F σX ⊗ F σX → Y ⊗ Y . Γ-hàm tử I : Γ → ∆F cho bởi σ ∗ → IP ; (∗ → ∗) → (I σ ((F∗ )−1 ,σ) → I). Các ràng buộc kết hợp, đối xứng, đơn vị trái và đơn vị phải: a, c, l, r trong ∆F lần lượt là aX,Y,Z = (aX,Y,Z , 1), cX,Y = (cX,Y , 1), lX = (lX , 1), rX = (rX , 1), trong đó aX,Y,Z , cX,Y , lX , rX là các ràng buộc của phạm trù Picard P. 2.1.3 Mệnh đề. Mỗi phạm trù Picard Γ-phân bậc P tương đương với một mở rộng tích chéo ∆F , với F là một hệ nhân tử lấy hệ tử trong Ker P . Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.1.2, từ phạm trù Picard Γ-phân bậc P ta có thể xây dựng một hệ nhân tử F lấy hệ tử trong phạm trù Picard Ker P . Ta chứng tỏ rằng mở rộng tích chéo ∆F tương đương với P . Xét tương ứng sau: H: −→ −→ ∆F X (X (a,σ) E Y) −→ P Xσ (X a.ΥX E Y) Dễ dàng thấy H là một Γ-hàm tử. Đặt HX,Y = idX⊗Y . Khi đó (H, H) là một Γ-hàm tử monoidal đối xứng. Hơn nữa, (H, H) là một Γ-tương đương. 14 2.1.4 Mệnh đề. Nếu G : P → P là một tương đương monoidal đối xứng của hai phạm trù Picard thì mỗi hệ nhân tử đối xứng F lấy hệ tử trong P cảm sinh một hệ nhân tử đối xứng F lấy hệ tử trong P . Hơn nữa, các mở rộng tích chéo tương ứng là Γ-tương đương. Chứng minh. Gọi H : P → P là một tương đương monoidal đối xứng sao cho β : H ◦ G ∼ idP . Đặt F = σ là hợp thành H ◦ F σ ◦ G và σ,τ σ,τ θX = G(θHX ◦ F σ (βF τ HX )). Ta có thể thử lại rằng F = (P , F σ , θ σ,τ ) là một hệ nhân tử lấy hệ tử trong P . Hàm tử monoidal đối xứng G : P → P có thể kéo dài thành một Γ-hàm tử của các mở rộng tích chéo ∆G : ∆F ↔ ∆F , được xác định như sau: đối với vật X của P đặt ∆G X = GX; đối với mũi tên (a, σ) : X → Y, trong đó a : F σ X → Y , đặt ∆G (a, σ) = (G(a ◦ F σ (βX )), σ), và ∆G = G, ∆G = G. Có thể kiểm tra rằng (∆G , ∆G , ∆G ) là một Γ-tương đương monoidal đối xứng. Bây giờ chúng tôi chứng minh rằng mỗi phạm trù Picard phân bậc tương đương với mở rộng tích chéo của hệ nhân tử đối xứng lấy hệ tử trong phạm trù Picard kiểu (Π, A). 2.1.5 Định lý. Giả sử P là phạm trù Picard Γ-phân bậc và S là phạm trù Picard thu gọn của Ker P . Khi đó tồn tại hệ nhân tử F lấy hệ tử trong S sao cho P tương đương với ∆F . Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.1.3, P tương đương với tích chéo ∆(FP ) với FP lấy hệ tử trong phạm trù Picard Ker P . Do Ker P tương đương monoidal đối xứng với phạm trù Picard thu gọn S của nó nên theo Mệnh đề 2.1.4, FP cảm sinh hệ nhân tử đối xứng F lấy hệ tử trong S sao cho ∆(FP ) tương đương với ∆F . Vì vậy, P tương đương với ∆F . 15 • Mô tả ∆F với F lấy hệ tử trong phạm trù Picard S kiểu (M, N ). Vật của ∆F chính là các phần tử x ∈ M . Với x, y ∈ M mũi tên x → y trong ∆F là mũi tên (a, y) : F σ x → y trong S, hay có thể viết là bộ ba (a, y, σ), trong đó a tùy ý thuộc N , σ ∈ Γ sao cho y = σx. Hợp thành của hai mũi tên (a, y, σ) : x → y, (b, z, τ ) : y → z được xác định bởi (b, z, τ ) ◦ (a, y, σ) = (b + τ a − t(x, τ, σ), z, τ σ), trong đó t là hàm liên kết với θτ,σ . Tính kết hợp của phép hợp thành suy ra từ định nghĩa của giả hàm tử. Dễ thấy ∆F là Γ-phạm trù, với hàm tử gr : ∆F → Γ xác định bởi gr(x) = ∗, gr(a, y, σ) = σ. Đối với hai mũi tên (a, y, σ) : x → y, (a , y , σ) : x → y , tích tenxơ phân bậc là mũi tên được định nghĩa bởi (a, y, σ) ⊗ (a , y , σ) = (a + a − f (x, x , σ), y + y , σ), trong đó f là hàm liên kết với F σ . Các mũi tên đẳng cấu kết hợp, đối xứng là ax,y,z = (ξ(x, y, z), x + y + z, 1), cx,y = (η(x, y), x + y, 1). Γ-hàm tử đơn vị I : Γ → ∆F được xác định bởi: σ → (0, 0, σ). Do vậy (∆F, gr) là một phạm trù Picard phân bậc có π0 (∆F) = M, π1 (∆F) = N. 2.2. Hệ nhân tử lấy giá trị trong phạm trù Picard kiểu (M, N ) Để phân lớp các phạm trù Picard Γ-phân bậc, Cegarra và Khmaladze [9] đã n xây dựng các nhóm đối đồng điều đối xứng HΓ,s (M, N ) của các Γ-môđun. Từ 3 mỗi 3-đối chu trình đối xứng h ∈ ZΓ,s (M, N ) cho trước, các tác giả đã xây dựng được một phạm trù Picard Γ-phân bậc P(h) và chỉ ra rằng các 3-đối chu trình đối xứng h, h là đối đồng điều khi và chỉ khi các phạm trù Picard Γ-phân bậc P(h), P(h ) tương đương. Họ đã thu được một song ánh giữa nhóm đối đồng điều 16 3 đối xứng HΓ,s (M, N ) với tập các lớp tương đương các phạm trù Picard Γ-phân bậc kiểu (M, N ) (xem Định lý 3.11 trong [9]). Trong phần này, sử dụng lý thuyết hệ nhân tử, chúng tôi chỉ ra rằng mỗi hệ nhân tử đối xứng khá chặt chẽ cảm sinh một cách tự nhiên các cấu trúc Γ3 môđun trên M = π0 P, N = π1 P và một 3-đối chu trình chuẩn tắc h ∈ ZΓ,s (M, N ). Kết quả này dẫn đến định lý phân phân lớp các phạm trù Picard phân bậc của Cegarra và Khmaladze (Định lý 3.11 trong [9]). Ký hiệu Z3 là phạm trù con đầy của phạm trù Pic. Mỗi vật của Z3 là một s s phạm trù Picard (M, N, h), trong đó M, N là các nhóm giao hoán và h = (ξ, η) là cặp ràng buộc kết hợp, đối xứng của (M, N ). Mỗi mũi tên (M, N, h) → (M , N , h ) là một hàm tử monoidal đối xứng (F, F ), trong đó F là cặp đồng cấu nhóm ϕ : M → M và f : N → N , F liên kết với hàm g : M 2 → N sao cho f∗ (h) = ϕ∗ (h ) + ∂g . Sự tồn tại của mũi tên monoidal τ : (F, g) ⇒ (F , g ) đòi hỏi rằng F = F . Khi đó τ chứa một ánh xạ t : M → N sao cho g = g + ∂t. Phạm trù Z3 s được gọi là phạm trù các 3-đối chu trình đối xứng. Định lý sau đây chỉ ra điều kiện cần của hệ nhân tử lấy hệ tử trong phạm trù Picard. 2.2.1 Định lý. Giả sử Γ là một nhóm và S là một phạm trù Picard kiểu (M, N ). Khi đó (i) Mỗi hệ nhân tử đối xứng khá chặt chẽ F = (S, F σ , θσ,τ ) : Γ → Z3 cảm s sinh các cấu trúc Γ-môđun trên M, N và một 3-đối chu trình chuẩn hóa hF ∈ 3 ZΓ,s (M, N ); (ii) Điều kiện F 1 = idS trong định nghĩa của hệ nhân tử có thể suy ra được từ những điều kiện còn lại. Chứng minh. (i) Theo Định lý 1.1.4, mỗi hàm tử monoidal đối xứng F σ : S −→ S là một cặp đồng cấu nhóm (ϕσ : M → M, f σ : N → N ). Hơn nữa, do F σ là một tự tương đương nên ϕσ và f σ là những tự đẳng cấu nhóm. σ,τ Mặt khác, nếu σ, τ ∈ Γ thì θx : F σ F τ x −→ F στ x là một mũi tên trong S = (M, N ) nên F στ (x) = (F σ F τ )(x) với mọi x ∈ M, do đó ϕστ = ϕσ ϕτ . Điều này chứng tỏ M là một Γ-môđun với đồng cấu nhóm ϕ : Γ → Aut M , trong đó 17 ϕ1 = idM . Để đơn giản, với mọi σ ∈ Γ, x ∈ M và a ∈ N, ta đặt σx = ϕσ (x), σa = f σ (a). Gọi ξ, η lần lượt là các ràng buộc kết hợp, đối xứng của phạm trù Picard S. Khi đó cặp ξ, η thỏa mãn các hệ thức ξ(y, z, t) − ξ(x + y, z, t) + ξ(x, y + z, t) − ξ(x, y, z + t) + ξ(x, y, z) = 0, η(x, y) + η(y, x) = 0, ξ(x, y, z) − ξ(y, x, z) + ξ(y, z, x) + η(x, y + z) − η(x, y) − η(x, z) = 0. (2.2.1) (2.2.2) (2.2.3) σ Bây giờ đặt Fx,y = (f (x, y, σ), σ(x + y)). Do F σ là một hàm tử monoidal đối xứng và F σ = id nên tính tương thích của F σ với ràng buộc a và c dẫn đến f (y, z, σ) − f (x + y, z, σ) + f (x, y + z, σ) − f (x, y, σ) = σ(ξ(x, y, z)) − ξ( σx, σy, σz), f (x, y, σ) − f (y, x, σ) = η( σx, σy) − σ(η(x, y)). (2.2.4) (2.2.5) Tính tương thích của F σ với các ràng buộc đơn vị kéo theo tính chuẩn tắc của hàm f : f (x, 0, σ) = f (0, y, σ) = 0. Tiếp theo ta xét đẳng cấu hàm tử monoidal σ,τ θσ,τ = (θx ) với σ,τ θx = (t(x, σ, τ ), στ x) : F σ F τ x −→ F στ x. Từ định nghĩa phép biến đổi tự nhiên của các hàm tử monoidal, ta có các hệ thức sau f σ f τ = f στ , (2.2.6) f (x, y, στ ) − f (τ x, τ y, σ) − σ(f ((x, y, τ )) = t(y, σ, τ ) − t(x + y, σ, τ ) + t(x, σ, τ ), (2.2.7) trong đó t thỏa mãn điều kiện chuẩn tắc t(0, σ, τ ) = 0. Hệ thức (2.2.6) xác định một đồng cấu nhóm f : Γ → Aut N. Do đó N là một Γ-môđun và f 1 = idN . Hơn nữa, điều kiện đối chu trình (2.1.1) dẫn đến hệ thức σt(x, τ, γ) + t(x, σ, τ γ) = t(x, στ, γ) + t(γx, σ, τ ). (2.2.8)