Tài liệu Phân loại và phương pháp giải Toán Giải tích 12

Phân lo i và ph Chương ng pháp gi i toán 12 2 www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Bài 1: LŨY THỪA – CÁC PHÉP TÍNH VỀ LŨY THỪA VỚI HÀM SỐ THỰC 
 1. Kiến thức cơ bản Gọi a và b là những số thực dương, x và y là những số thực tùy ý x a  ax    = x  b  b a n = a
 .a.a.....a  n số a  a x .a y = a x +y  ax 1 x −y −n a a = ⇒ = ay an  (a ) (a.b ) x y x ( ) = ay x = a x .y = a x .b x x y y  a = ax   0 u (x ) = 1 ⇒ x 0 = 1 , ∀u (x )   x ≠ 0  n  ( a) a .n b = n ab m n = n am 2. Lưu ý  Nếu a < 0 thì a x chỉ xác định khi ∀x ∈ ℤ .  Nếu a > 1 thì a α > a β ⇔ α > β .  Nếu 0 < a < 1 thì a α > a β ⇔ α < β . n  1    e = lim 1 +  ≃ 2, 718281828459045... x →∞   n  s1  Để so sánh a và s2 (n ∈ ℕ ) . b . Ta sẽ đưa 2 căn đã cho về cùng bậc n (với n là bội số chung của s1 và s2 ) ⇒ Hai n s1 n s2 số so sánh mới lần lượt là A và B . Từ đó so sánh A và B ⇒ kết quả so sánh của a và b .  Công thức lãi kép: Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì ⇒ Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) ( là: C = A 1 + r N ) . 3. Bài tập áp dụng Bài 1. Với a, b là các số thực dương. Hãy rút gọn các biểu thức sau:    9 2    6 4   1/ A = 8 7 : 8 7  − 3 5.3 5   2/ B = − Ch 1 3 −2 0 ) : 10−2 − (0, 25) − 4/ D = 81−0,75 2 2 2 ( ) − (−2) .64 3 − 8 3 + 90 ng II. Hàm s m (10 −3 −4 3  −2      3/ C = 5 5  + (0,2)4      5/ E = 0, 001 23.2−1 + 5−3.54 Hàm s l y th a 2−3 5 6/ F = 2 Hàm s Logarit  1   +  125  .8 1 3 − 1 −    32  3 5 5 www.mathvn.com - 1 - Ths. Lê Văn Đoàn 2 3 3.  3 :  7/ G = ( 9/ I = 0, 04 Phân lo i và ph www.MATHVN.com −1,5 ) 4  3   − − (0,125) 102+ 8/ H = ng pháp gi i toán 12 7 22+ 7.51+ 7 5  1 −0,75 − + (0, 25) 2 10/ J =   16  2 3 −4   2  1 −0,75 1 3   −1,5 −       +   . (0,04) −(0,125) 3  9 1 3 16  1  8     1 1 2  a 4 −a 4 b−2 −b2     b b     − 1 11/ K =  12/ L = 1 − 2 +  : a 2 −b2   . 1 5 1  −5 −4       −  a a   6 4  5  9 2  3    4    a −a 4 b2 −b 2  87 : 87 − 35.35  . 5−2  + 0,24                4 1 1 1 1        63+ 5  1+ 2 2 2 −1−2 2   3  6 3      3 3 2 3  13/ M = a : a  : a . a  + a a . a . a : a 6  14/ N =43+ 2.21− 2.2−4−2 2 +  : 25 −5 .5 2+ 5 1+ 5       2 .3      2  3 2 3 2  −1 3  a b − ab a +b  6 4 6   3.  3 : 3  16/ P =  − a − b +6a 15/ O =  3 2 3 2 3 2 3   a − 3 b2   a −2 ab + b ( ) ( ) Bài 2. Hãy so sánh các cặp số sau: − 3 − 2 1/ 4 và 4  1 1,4 5/   và  2  9/ 4  1     2  3 5 và 2/ 2 2 3 và 21,7  1 3,14    9   1 π 6/   và  9  7 17 và 10/ 2 ( − 2 ) 13/ 0, 01 ( −3 ) 15/ 0, 001 và 3 3 16/ 4 100 2 11/ và 50 4 5 13 và −1 (0, 013) và 1 3 8/ 3 10 và 5 5 20 7 23 12/ 4 và 4 −3 2 14/ 5300 và 8300 6 ( −2 3 15/ 5 − 2 ) và 0,125 10 3 π  2 π 20/   và    2   2  11 19/ 0, 02 2 28 5 −10 4/ 1 1 7/   và    3   3  π  π  14/   và    4   4  − 2 ( ) và 10 3/ 2−2 và 1 và 5 −3 17/ −5 ( 2) và − 2  3   21/    5  ( 2) −4 5 4 5 18/   và    5   4  − 2  2  và    2  22/ ( 1 4 ) ( 3 − 1 và ) 3 −1 2 2 Bài 3. So sánh hai số m, n nếu: 1/ 3, 2m < 3,2n 5/ ( 2/ m ) ( 5 −1 < ) n n ( 2) > ( ) n 5 −1 m 1 1 2 3/   và    9   9  m 6/ ( m ) ( 2 −1 < m n  3   3      4/   >   2   2  n ) 2 −1 Bài 4. Có thể kết luận gì về cơ số a nếu: 1/ − (a − 1) 2 3 − < (a − 1) - 2 - www.mathvn.com 1 3 −0,2 2/ −3 (2a + 1) Ch −1 > (2a + 1) ng II. Hàm s m 1 3/   a  < a2 Hàm s l y th a Hàm s Logarit Phân lo i và ph ng pháp gi i toán 12 www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 1 4/ − (1 − a ) 3 1 3 − > (1 − a ) 1 2 5/ 7 7/ a < a Bài 5. Đơn giản các biểu thức sau: 3  7 1/ A = (−1) . −   8  3 (2 − a ) 8/ a − 1 17 3 4 > (2 − a )   a  a  2 2/ 6 (−3) .(−15) .8 B= 9 .(−5) . (−6) 6 2 1 2 3 4 4 2 3 2 3/ C = 4 + 8  3 − 5  4/ D = 32 2    2 3 7 5/ 3 3 (−18) .2 .(−50) E= (−25) .(−4) 4 4 6/ F = 5 2  25 . (−5)    4 3 −2 23.2−1 + 5−3.54 − (0, 01) 7/ G = 3 1256.(−16) .(−2) 1 1  1 1  1     3 3 3 3  8/ H = 4 − 10 + 25 2 + 5 3     −3 0 10−3 : 10−2 − (0,25) + 10−2. (0, 01) 4 5 9/ I = 3  4. 4 64.  2    3 5 10/ J = 32 81. 5 3. 5 9. 12 2 3   3  . 18. 5 27. 6   Bài 6. Viết các biểu thức sau với dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: 1/ A = 4 4/ D = 3 Bài 7. x 2 . 3 x , (x ≥ 0) 2 33 2 . . 3 2 3 5 5/ E = 4 3 a 8 3/ C = 5 2. 2 2 5 b2 b 6/ F = 3 3 b b Đơn giản các biểu thức sau: a 1,5 + b 1,5 − a 0,5 .b 0,5 0,5 0,5 2.b 0,5 a + b 1/ A = + 0,5 a −b a + b 0,5 Ch b 3a . , (a, b ≠ 0) a b 2/ B =  a 0,5 + 2 a 0,5 − 2  a 0,5 + 1   . 2/ B =  − a + 2a 0,5 + 1 a − 1  a 0,5     1 1 1 1 1  1   x 2 + 3y 2 x 2 − 3y 2  x 2 − y 2 + . 3/ C =  2 1 x − y  2  1  x 2 − y 2       1 1 1  3 1  1  x 2 − y 2 2 2   x 2y 2 x + y 2y . + 1 − 4/ D =  1  1 1  2  x + y x − y  xy + x 2y xy 2 − x 2y  2  2 1 2 4  1     3 3 3 3 3 3  5/ E = a − b  . a + a a + b       1  1 1  1 1  1       4 4 4 4 2   6/ F = a − b  . a + b  . a + b 2          ng II. Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit www.mathvn.com - 3 - Ths. Lê Văn Đoàn 1  1  1  a 2 + 2 a 2 − 2  a 2 + 1  . − 7/ G =   1 1  a − 1  a + 2a 2  a 2 9/ I = 3 a − 3b 6 a − 6b Phân lo i và ph www.MATHVN.com ng pháp gi i toán 12 −1 8/ H = a−1 + (b + c)  b2 + c2 − a2  −2 1 + (a + b + c) . −1   2bc a−1 − (b + c)   ab  4 ab − b   : 10/ J =  ab −  a −b  a + ab  a 2 4 x + x a   − a 2 + x + 2a x  11/ K =   a 4 x + ax          x x x −  13/ M =   4 3    4 3   x − 1 − x   x + 1 − x     4     4   x + 1    x − 1     5 3  3    2 2 + 27.y 5   15/ O =  + 3.10 32y 5 − 2 .3−2     2 + 3 y     3 a +x 4 3 12/ L = 3 a2 − x 2 + 3 ax 2 − a 2x 3 3 a 2 − 2 3 ax + x 2 − 6 x 6 a−6x 3  3  3 3 2 3 a a − 2a 3 b + a 2b 2 a b − ab 2  3  14/ N =  + : a 3 3 2  a − 3 b  a − 3 ab 1 1 1 1    3 3 3 8b − a  a b a − 2b 3  16/ P = +  1 1 2 1 1 2  − − − −  6  −3  2a − b 3 4a 3 + 2a 3b 3 + b 3  1 3   1 a 3 b 2  a 2   1   +    : a 4 + b 4  17/ Q =       a 8 b 3    b 3 a    ( 18/ R = 2 a + b −1 ) 1 (ab )2 2 2   1  a b   1 +  −   4  b a     Bài 8. Giải các phương trình sau: x +1 5 x 1/ 4 = 1024 2x 4/ (3 3 ) 2/ x −2 1 =    9  5  2  .  2  5  x 2  5/    9  = −x 8 .    27   0, 25 −x 1 2x −8  .32 =  7/  8  0,125 8/ 0, 2 = 10/ 5x.2x = 0, 001 11/ 8 125 27 = 64 1 32 3/ 81−3x = x 2 −5 x +6 3 6/    2  =1 3 x −7 x 9 9/    49  0, 008 x x ( 12 ) ( 3 ) = 1 6 7 x −3 7  =    3  12/ 71−x.41−x = 1 28 Bài 9. Giải các bất phương trình sau: x x 1/ 0,1 > 100 1 2/   > 3 0, 04  5  x +2 4/ 7 1 5/    3  x +2 . 49 x 7/ 3. ( 3) 1 > 27 - 4 - www.mathvn.com x 1 <9 27 1−x 8/ 27 .3 6/ 3x < 100 9 1 9 3 x 1 < 3 Ch 3/ 0, 3x > 9/ ng II. Hàm s m 3 1 2   > 1  64  Hàm s l y th a Hàm s Logarit Phân lo i và ph ng pháp gi i toán 12 www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn Bài 10. Giải các phương trình sau: Ch 1/ 2x + 2x +2 = 20 2/ 3x + 3x +1 = 12 3/ 5x + 5x −1 = 30 4/ 4x −1 + 4x + 4x +1 = 84 5/ 42x − 24.4x + 128 = 0 6/ 4x +1 + 22x +1 = 48 7/ 3.9x − 2.9−x + 5 = 0 8/ 3 ng II. Hàm s m x 2 −5x +6 Hàm s l y th a =1 Hàm s Logarit 9/ 4x + 2x +1 − 24 = 0 www.mathvn.com - 5 - Ths. Lê Văn Đoàn Phân lo i và ph www.MATHVN.com ng pháp gi i toán 12 Bài 2: LOGARIT 
 1. Kiến thức cơ bản a/ Định nghĩa a > 0, a ≠ 1 log b  Với a > 0, a ≠ 1, b > 0 ta có: loga b = α ⇔ a = b . Chú ý: có nghĩa khi   a b > 0  α  Logarit thập phân: lg b = log b = log10 b  Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln b = loge b b/ Tính chất Cho a > 0, a ≠ 1 và b, c > 0 . Khi đó: Nếu a > 1 thì loga b > loga c ⇔ b > c  loga 1 = 0 Nếu 0 < a < 1 thì loga b > loga c ⇔ b < c  loga a b = b  loga a = 1  a loga b =b c/ Các qui tắc tính logarit Cho a > 0, a ≠ 1 và b, c > 0 . Ta có:  loga b.c = loga b + loga c b   loga   = loga b − loga c   loga b β = β. loga b  loga b 2 = 2 loga b ( ) c  d/ Các công thức đổi cơ số Cho a, b, c > 0 và a, b ≠ 1 . Ta có:  logb c = loga c loga b ⇒ loga b. logb c = loga c  loga b =  log 1 b = − loga b 1 . loga b , (β ≠ 0) β  loga β b = a 1 logab c = ln b 1 , loga b = logb a ln a 1 1 + loga c logb c  a log c log a b =c b 2. Bài tập áp dụng Bài 1. Thực hiện các phép tính sau: 2/ B = log5 1/ A = log2 4. log 1 2 4 4/ D = 4 7/ G = log2 3 +9 log 3 2 loga 3 a . loga 4 a log 1 a 7 5/ E = log 1 . log27 9 25 2 2 3/ C = loga 6/ F = 27 8 3 log9 2 a +4 log8 27 1 3 8/ H = log 3 6. log 8 9. log6 2 9/ I = 9 2 log3 2 + 4 log81 5 a - 6 - www.mathvn.com Ch ng II. Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit Phân lo i và ph log3 5 10/ J = 81 13/ M = 9 ng pháp gi i toán 12 + 27 1 log6 3 log9 36 4 log9 7 www.MATHVN.com log5 6 +3 11/ K = 25 1 log8 4 +4 15/ P = lg (tan10 ) + lg (tan20 ) + ... + lg(tan890 ) 17/ R = 3 5 log3 2 + log 3 (log 28) + 49 Ths. Lê Văn Đoàn log7 8 12/ L = 5 1+log9 4 14/ N = 3 2−log 3 log 3−2 log5 4 27 + 4 2 + 5 125 16/ Q = log 8  log 4 (log2 16) . log2 log 3 (log4 64)     1 3 18/ S = 2 log 1 6 − log 1 400 + 3 log 1 45 2 3 3 3 Bài 2. Thực hiện phép biến đổi theo yêu cầu bài toán. 1/ Cho log12 27 = a . Tính log6 16 theo a . 2/ Cho log2 14 = a . Tính log 49 7 32 và log49 32 theo a . 3/ Cho log2 5 = a; log2 3 = b . Tính log3 135 theo a, b . 4/ Cho log15 3 = a . Tính log25 15 theo a . 3 5/ Cho loga b = 3 . Tính log b a b a ( ) 6/ Cho lg 3 = 0, 477 . Tính lg 9000; lg 0, 000027 ; 7/ Cho loga b = 5 . Tính log 1 log 81 100 . b ab a 8/ Cho log 7 2 = a . Tính log 1 28 theo a . 2 9/ Cho loga b = 13 . Tính log b 3 ab 2 . a 49 theo a, b . 8 11/ Cho lg 3 = a; lg 2 = b . Tính log125 30 theo a, b . 10/ Cho log25 7 = a; log2 5 = b . Tính log 3 5 12/ Cho log30 3 = a; log30 5 = b . Tính log30 1350 theo a, b . 13/ Cho log14 7 = a ; log14 5 = b . Tính log35 28 theo a, b . 14/ Cho log2 3 = a; log3 5 = b; log7 2 = c . Tính log140 63 theo a, b, c . 15/ Cho loga b = 7 . Tính loga a b b3 16/ Cho log27 5 = a; log 8 7 = b; log2 3 = c . Tính log6 35 theo a, b, c . 121 theo a, b . 8 Bài 3. Cho a > 0, a ≠ 1 . Chứng minh rằng: loga (a + 1) > log a +1 (a + 2) ( ) 17/ Cho log 49 11 = a; log2 7 = b . Tính log 3 HD: Xét A = log(a +1) (a + 2) loga (a + 1) 7 = log(a +1) (a + 2) . log(a +1) a ≤ (∗) log(a +1) (a + 2) + log(a +1) a 2 2 log(a +1) a (a + 2) log(a +1) (a + 1)   < = = 1 ⇒ (Đpcm). 2 2 Ch ng II. Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit www.mathvn.com - 7 - Ths. Lê Văn Đoàn Phân lo i và ph www.MATHVN.com ng pháp gi i toán 12 Bài 4. So sánh các cặp số sau: 1 3 2/ log 0,1 2 và log 0,2 0, 34 1 1 và log 1 80 2 2 15 + 5/ log13 150 và log17 290 6/ 2 8/ log2 3 và log3 4 9/ log9 10 và log10 11 1/ log3 4 và log4 4/ log 1 3 3 3/ log 3 4 7/ log7 10 và log11 13 log6 3 2 3 và log 5 5 4 2 và 3 log6 1 2 1 1 < 4 < log 1 80 2 3 2 15 + 5/ CM: log13 150 < 2 < log17 290 HD: 4/ CM: log 1 7/ Xét A = log7 10 − log11 13 = = log7 10. log7 11 − log7 13 log7 11 1  10.11.7 10 11  + log7 . log7  > 0 log7 log 7 11  7.7.13 7 7  8/, 9/ Sử dụng Bất đẳng thức (∗) bài tập 3. Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa) 1/ b loga c =c loga b ( ) 2/ logax bx = loga b + loga x 1 + loga x 3/ loga c + logb c = 4/ loga c logab c loga c. logb c logab c = 1 + loga b a +b 1 = (logc a + logc b ), với a 2 + b 2 = 7ab 3 2 1 6/ loga (x + 2y ) − 2 loga 2 = (loga x + loga y ), với x 2 + 4y 2 = 12xy 2 3a + b 1 = (lg a + lg b ) , với 9a 2 + b 2 = 10ab 7/ lg 4 2 8/ log b +c a + log c −b a = 2 log c +b a. log c −b a với a 2 + b 2 = c 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 5/ logc 9/ k (k + 1) 1 1 1 1 1 + + + + ... + = loga x loga 2 x loga 3 x loga 4 x loga k x 2 loga x 10/ loga N . logb N + logb N . logc N + logc N . loga N = 11/ x = 10 12/ 1 1−lg z với y = 10 1 1−lg x và z = 10 loga N . logb N . logC N logabc N 1 1−lg y 1 1 1 1 + + ... + = log2 N log 3 N log2009 N log2009 ! N - 8 - www.mathvn.com Ch ng II. Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit Phân lo i và ph 13/ Ch ng pháp gi i toán 12 loga N − logb N logb N − logc N ng II. Hàm s m = loga N logc N www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn với a, b, c lần lượt theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Hàm s l y th a Hàm s Logarit www.mathvn.com - 9 - Ths. Lê Văn Đoàn Phân lo i và ph www.MATHVN.com ng pháp gi i toán 12 Bài 3: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT 
 1. Kiến thức cơ bản 1.1/ Khái niệm a/ Hàm số lũy thừa y = x α ( α là hằng số) Hàm số y = x α Tập xác định D α = n ( n nguyên dương) y = xn D=ℝ α = n ( n nguyên dương âm hoặc n = 0 ) y = xn D = ℝ \ {0} α là số thực không nguyên y = xα D = (0, +∞) Số mũ α 1 Lưu ý: Hàm số y = x n không đồng nhất với hàm số y = ( n x , (n ∈ ℕ *) ) b/ Hàm số mũ y = a x , a > 0, a ≠ 1  Tập xác định: D = ℝ  Tập giá trị: T = 0, +∞ ( ) ○ Khi a > 1 hàm số đồng biến.  Tính đơn điệu ○ Khi 0 < a < 1 : hàm số nghịch biến.  Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.  Dạng đồ thị: y y = ax y = ax y 0 1 1 1 x O ( x O ) c/ Hàm số logarit y = loga x , a > 0, a ≠ 1 (  Tập xác định: D = 0, +∞ )  Tập giá trị: T = ℝ ○ Khi a > 1 hàm số đồng biến.  Tính đơn điệu ○ Khi 0 < a < 1 : hàm số nghịch biến.  Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.  Dạng đồ thị: y y 0 1 y = loga x O 1 1 x x O y = loga x - 10 - www.mathvn.com Ch ng II. Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit Phân lo i và ph ng pháp gi i toán 12 www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 1.2/ Giới hạn đặc biệt ( lim 1 + x x →0 ln (1 + x ) x  1 = lim 1 +  = e x →±∞  x  1 x ) lim x x →0 ex − 1 lim =1 x →0 x =1 1.3/ Đạo hàm Đạo hàm hàm số sơ cấp    ' Đạo hàm hàm số hợp ' (x ) = α.x , (x > 0) (a ) = a . ln a (e ) = e α ' x x ( ) ⇒ (a ) = a . ln u.u ' ⇒ (e ) = e .u ' α −1 ⇒ u α = α.u α−1.u ' x ' u x  (log x ) = x ln1 a (ln x ) = x , (x > 0) u ' n ' x = ' u ( 1 ( ) L u ý: u ⇒ loga u a ' ' ) = u uln' a ' ' ⇒ (ln u ) = 1 Với x > 0 nếu n chẳn. Với x < 0 nếu n lẻ. n n. x n −1 ⇒ u' u ' ( ) n u = u' n n. u n −1 2. Bài tập áp dụng Bài 1. Tính các giới hạn sau: x  x   1/ lim  x →+∞  1 + x   3x − 4   4/ lim  x →+∞   3x + 2   1 2/ lim 1 +   x →+∞  x  x +1 3 x x  2x + 1  6/ lim  x →+∞   x − 1  e 2x − 1 x →0 3x ex − e x →1 x − 1  1   12/ lim x e x − 1 x →+∞    8/ lim e x − e −x x →0 sin x 11/ lim x →e 2x −1  x + 1  3/ lim  x →+∞   x − 2   x + 1   5/ lim  x →+∞   2x − 1 ln x − 1 x −e 7/ lim x +1 x 9/ e sin 2x − e sin x x →0 x 10/ lim lim Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 4x 2 − 3x − 1 1/ y = 3 4/ y = x + x + x Ch 7/ y = 3 10/ y = 3 2 ( 2/ y = x 2 + x − 4 5/ y = 1 1 + + x x 8/ y = sin (2x + 1) 11/ y = cot 3 1 + x 2 ng II. Hàm s m Hàm s l y th a ( ) 3/ y = x 2 − 3x + 2 1 3 x +1 x −1 x +x +1 4 ) 1 4 Hàm s Logarit 6/ y = (m +n ) m 3 n (1 − x ) .(1 + x ) x 9/ y = 12/ y = 5 x2 + x − 2 x2 + 1 1 − 3 2x 1 + 3 2x www.mathvn.com - 11 - Ths. Lê Văn Đoàn 13/ y = x +3 4 sin 3 Phân lo i và ph www.MATHVN.com 14/ y = 11 5 9+6 x 9 ng pháp gi i toán 12 15/ y = 4 x2 + x + 1 x2 − x + 1 Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau: ( ) ( 4/ y = e 2x +x ) 3/ y = e −2x sin x 2/ y = x 2 + 2x e −x 1/ y = x 2 − 2x + 2 e x 2 5/ y = xe 7/ y = 2x e cos x 8/ y = 1 x− x 3 6/ y = 3x x2 − x + 1 e 2x + e x e 2x − e x 9/ y = cos x .e cot x Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau: ( ) ( 1/ y = ln 2x 2 + x + 3 2/ y = log2 cos x ) ( ( 4/ y = 2x − 1 ln 3x 2 + x ) ) ( ( ) (cos x ) 3/ y = e x . ln cos x 5/ y = log 1 x 3 − cos x ) 6/ y = log3 2 7/ y = ln (2x + 1) 8/ y = 2x + 1 ln (2x + 1) ( 9/ y = ln x + 1 + x 2 x +1 ) Bài 5. Chứng minh các hàm số đã cho thỏa mãn các hệ thức được chỉ ra: 1/ y = x .e − x2 2 ( ) ( ; xy ' = 1 − x 2 y ) 2/ y = x + 1 e x ; y '− y = e x 3/ y = e 4 x + 2e −x ; y '''+ 2y '− 12y = 0 4/ y = a.e −x + b.e −2x ; y ''+ 3y '+ 2y = 0 5/ y = e −x sin x ; y ''+ 2y '+ 2y = 0 6/ y = e −x cos x ; y 7/ y = e 9/ y = sin x ; y ' cos x − y sin x − y '' = 0 8/ y = e 1 2 x x e ; y ''− 2y '+ y = e x 2 2x (4) + 4y = 0 sin 5x ; y ''− 4y + 29y = 0 10/ y = e 4 x + 2e −x ; y '''− 13y − 12y = 0 Bài 6. Chứng minh các hàm số đã cho thỏa mãn các hệ thức được chỉ ra:  1  y  1 + x  ; xy '+ 1 = e 1/ y = ln  ( ) ( 2/ y = ) 3/ y = sin ln x + cos ln x ; y + xy '+ x 2y '' = 0 5/ y = 4/ y = x2 1 + x x2 +1 + ln x + x2 +1 ; 2y = xy '+ lny ' 2 2 1 ; xy ' = y (y ln x − 1) 1 + x + ln x 1 + ln x x (1 − ln x ) ( )( ; 2x 2y ' = x 2y 2 + 1 ) 6/ y = x2 +1 ex +2010 ; y ' = 2xy +ex x2 +1 2 x +1 ( ) Bài 7. Giải các phương trình và bất phương trình sau với các hàm số được chỉ ra: ( ) 1/ f '(x ) = 2 f (x ) ; f (x ) = e x x 2 + 3x + 1 ( ) 1 f (x ) = 0 ; f (x ) = x 3 ln x x 4/ f '(x ) = 0 ; f (x ) = e2x −1 + 2e1−2x + 7x − 5 2/ f '(x ) + ( ) 3/ f '(x) > g '(x) ; f (x) = x + ln x − 5 ; g(x) = ln x −1 1 2 5/ f '(x ) < g '(x ) ; f (x ) = .52x +1 ; g(x ) = 5x + 4x ln 5 Bài 8. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1/ y = x −4 - 12 - www.mathvn.com 2/ y = x 1 4 3/ y = x Ch − 1 2 ng II. Hàm s m 4/ y = x Hàm s l y th a 5 Hàm s Logarit Phân lo i và ph ng pháp gi i toán 12 www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn x ( 2) 8/ y = 1 5/ y = x −5 6/ y = 2x 7/ y = 4−x 9/ y = log2 x 10/ y = log 1 x 11/ y = ln x + 1 ( ) ( 12/ y = ln 1 − 3x ) 2 Bài 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
 1. Cơ sở lý thuyết 1.1/ Phương trình mũ cơ bản b > 0 x = loga b  Với a > 0, a ≠ 1 thì a x = b ⇔   1.2/ Phương pháp giải một số phương trình mũ thường gặp ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ & LOGARIT HÓA  Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng a f (x ) = a g (x ) Với a > 0, a ≠ 1 thì a f (x ) = a g (x ) ⇔ f (x ) = g(x )  Trường hợp cơ số a có chứa ẩn thì: a = 1 a M = a N ⇔ (a − 1)(M − N ) = 0 ⇔  M = N ( )  Logarit hóa: a f (x ) = b g (x ) ⇔ f (x ) = loga b .g(x ) Thí dụ 1. Giải các phương trình mũ sau (đưa về cùng cơ số) x 1/ (0, 04) = 625. 3 5 2 1−x ( ) 2 3/ 28−x .58−x = 0, 001. 105 5/ 5.3x + 3.2x = 7.2x − 4.3x 8 32 (1) 2/ 0,125.161−x = ( 3) (5) 4/ 32x −1.153x .5−3x = 3 (2) 9 6/ 5x + 5x −1 + 5x −2 = 3x +1 + 3x −1 + 3x −2 (4 ) (6) Bài giải tham khảo x (0, 04) 1/ Giải phương trình: x (1) ⇔ (5 ) −2 1 3 4 3 = 625. 5 −2 x = 5 .5 ⇔ 5 =5 2/ Giải phương trình: 0,125.161−x = 13 3 8 32 (1) ⇔ −2x = 13 13 ⇔ x =− 3 6 (2) 3 1−x (2) ⇔ 2 .(2 ) −3 4 1 − 22 1 9 = 5 ⇔ 24−4 x = 2 2 ⇔ 4 − 4x = − ⇔ x = 2 8 2 2 2 8−x 2 (3) ⇔ (2.5) Ch 1−x ( ) 3/ Giải phương trình: 28−x .58−x = 0, 001. 105 ( 3) 2 = 10−3.105−5x ⇔ 108−x = 102−5x ⇔ 8 − x 2 = 2 − 5x ⇔ x = −1; x = 6 ng II. Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit www.mathvn.com - 13 - Ths. Lê Văn Đoàn 3 4/ Giải phương trình: 32x −1.153x .5−3x = (4 ) ⇔ 3 2 x −1 3x Phân lo i và ph www.MATHVN.com ( 3x −3 x .3 . 5 .5 )= 3 2 3 ⇔3 (4 ) 9 5x −1 2 3 = 3 ⇔ 5x − 1 = 2 1 ⇔ x= 3 3 (5) 5/ Giải phương trình: 5.3x + 3.2x = 7.2x − 4.3x −2 x 3 3 (5) ⇔ 3 (5 + 4) = 2 (7 − 3) ⇔ 3 .9 = 2 .4 ⇔  2  =  2      x x x x 6/ Giải phương trình: 5x + 5x −1 + 5x −2 = 3x +1 + 3x −1 + 3x −2 x −2 (6) ⇔ 5 (5 x −2 2 ) x −2 + 5+1 = 3 ( ng pháp gi i toán 12 (6) 0 5 3 + 3 + 1 ⇔    3  5 = 1 =   ⇔ x = 2  3  ) 3 ⇔ x = −2 Thí dụ 2. Giải các phương trình mũ sau (logarit hóa) x x (1) 1/ 35 = 53 ( 3/ x + 2 ) x −1 x −3 = (x + 2) (2) 2/ 3x = 25−2x ( ( 3) ) 4/ x 2 + 3 2 x −5 x +4 ( x +4 ) = x2 + 3 (4 ) Bài giải tham khảo x x 1/ Giải phương trình: 35 = 53 (1) x (1) ⇔ log (3 ) = log (5 ) 5x 3 3x 3 ( x −3 ) 2/ Giải phương trình: x + 1 5 ⇔ 5 = 3 log3 5 ⇔   = log3 5 ⇔ x = log 5  (log3 5)    3    x x  3  = 1 (2) (2) ⇔ log (3 ) = log (2 ) ⇔ x = (5 − 2x ) log 5−2x x 3 3 ( 3/ Giải phương trình: x + 2 x −1 ) x −3 = (x + 2) 3 2 ⇔ x (1 + 2 log3 2) = 5 log3 2 ⇔ x = 5 log3 2 1 + 2 log3 2 ( 3) 0 < x + 2 ≠ 1 −2 < x ≠ −1  Điều kiện:  ⇔ ⇔ x ≥1   x − 1 ≥ 0  (3) ⇔ (x + 2) − 1 .  x ≥ 1  x − 1 − (x − 3)  x = − 1 (L )  x + 2 = 1  = 0 ⇔  ⇔ x − 3 ≥ 0  x − 1 = x − 3 2  x − 1 = (x − 3)  x ≥ 3  x ≥ 3  ⇔ 2 ⇔ x = 2 ⇒ x = 5 x − 7x + 10 = 0   x = 5  ( ) 4/ Giải phương trình: x 2 + 3 x 2 −5 x +4 ( x +4 ) = x2 + 3 (4 ) x 2 + 2 = 0 (VN )  2 2     (4) ⇔  x + 3 − 1  x − 5x + 4 − (x + 4) = 0 ⇔  x 2 − 5x + 4 − x − 4 = 0  ( ) - 14 - www.mathvn.com Ch ng II. Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit Phân lo i và ph ng pháp gi i toán 12 www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn   x ∈ (1; 4) x ∈ (1; 4)    2 −x + 5x − 4 − x − 4 = 0 VN ⇔ ⇔ ⇔ x = 0; x = 6 x ∈ (−∞;1 ∪ 4; +∞) x ∈ (−∞;1 ∪ 4; +∞)       x 2 − 5x + 4 − x − 4 = 0 x = 0; x = 6   ĐẶT ẨN SỐ PHỤ (  Dạng 1: P a f (x ) ) t = a f (x ), t > 0  =0⇔ P (t ) = 0  f (x ) ( )  Dạng 2: α.a 2 f (x ) + β. ab + λ.b 2 f (x ) = 0 f (x ) ⇒ Chia hai vế cho b 2 f (x ) a  , rồi đặt ẩn phụ t =    b  > 0 (chia cơ số lớn nhất).  Dạng 3: a f (x ) + b f (x ) = m với a.b = 1 . Đặt t = a f (x ) ⇒ b f (x ) = 1 . t Thí dụ 1. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn số phụ dạng 1, loại đặt ẩn phụ hoàn toàn) 1/ 9x − 5.3x + 6 = 0 1 2/ 21+2x + 15.2x − 8 = 0 4/ 5 5/ 32−2x − 2.32−x − 27 = 0 () ( 3) (5) 7/ 33+3x + 33−3x + 34+x + 34−x = 103 (7) 8/ (9) 10/ 41−2 sin 3/ 5x +1 − 52−x = 124 9/ 9sin 2 2 + 9cos x x =6 x − 51− x +4=0 6/ 5x + 251−x = 6 x x (7 + 4 3 ) + (2 + 3 ) 2 x + 9.4−2 cos 2 x =6 =5 (2) (4 ) (6) (8 ) (10) Bài giải tham khảo (1) 1/ Giải phương trình: 9x − 5.3x + 6 = 0 x (1) ⇔ (3 ) 2 2 ( ) (1') t = 2 (N ) − 5t + 6 = 0 ⇔  t = 3 (N )  − 5.3x + 6 = 0 ⇔ 3x ( ) Đặt t = 3x > 0 . Khi đó: 1' ⇔ t 2 − 5.3x + 6 = 0 Với t = 2 ⇒ 3x = 2 ⇔ x = log 3 2 . Với t = 3 ⇒ 3x = 3 ⇔ x = log 3 3 = 1 . 2/ Giải phương trình: 21+2x + 15.2x − 8 = 0 (2) ⇔ 2.2 2x 2 ( ) + 15.2x − 8 = 0 ⇔ 2. 2x (2) + 15.2x − 8 = 0 (2 ')  t = 1 Đặt t = 2 > 0 . Khi đó: (2 ') ⇔ 2t + 15t − 8 = 0 ⇔  2  t = −8 x Ch ng II. Hàm s m 2 Hàm s l y th a Hàm s Logarit (N ) (L) www.mathvn.com - 15 - Ths. Lê Văn Đoàn Phân lo i và ph www.MATHVN.com ng pháp gi i toán 12 1 1 1 ⇒ 2x = ⇔ x = log2 ⇔ x = −1 2 2 2 Với t = 3/ Giải phương trình: 5x +1 − 52−x = 124 (3) ⇔ 5.5 x − 25 − 124 = 0 5x ( 3) (3 ' ) ( ) Đặt t = 5x > 0 . Khi đó: 3 ' ⇔ 5t − 25 − 124 = 0 ⇔ 5t 2 − 124t − 25 = 0 ⇔ t  t = 25 (N ) t = −0, 2 L ( )  Với t = 25 ⇒ 5x = 25 ⇔ x = log5 25 = 2 4/ Giải phương trình: 5 x − 51− x +4=0 (4 ) Điều kiện: x ≥ 0 (4 ) ⇔ 5 x Đặt t = 5 − x 5 5 x (4 ' ) +4=0 > 0 . Khi đó: (4 ') ⇔ t − Với t = 1 ⇒ 5 x =1⇔ 5 x 5 + 4 = 0 ⇔ t 2 + 4t − 5 = 0 ⇔ t = 50 ⇔ x = 0 ⇔ x = 0 (5) 5/ Giải phương trình: 32−2x − 2.32−x − 27 = 0 (5) ⇔ 3 ( 2 1−x ) t = 1 (N )  t = −5 L ( )  2 ( ) − 2.3.31−x − 27 = 0 ⇔ 31−x − 6.31−x − 27 = 0 t = −3 Đặt t = 31−x > 0 . Khi đó: 5 ' ⇔ t 2 − 6t − 27 = 0 ⇔  ( ) t =9  (5 ') (L) (N ) Với t = 9 ⇒ 31−x = 9 ⇔ 31−x = 32 ⇔ 1 − x = 2 ⇔ x = −1 6/ Giải phương trình: 5x + 251−x = 6 (6) ⇔ 5 x + (6) 25 25 25 − 6 = 0 ⇔ 5x + − 6 = 0 ⇔ 5x + −6 = 0 x x 2 25 52 5x ( ) ( ) (6 ') Đặt t = 5x > 0 . Khi đó:  t = 5   25 3 2 t = 1 + 21 6 ' ⇔ t + − 6 = 0 ⇔ t − 6 t + 25 = 0 ⇔ t − 5 t − t − 5 = 0 ⇔ ( ) ( )  2 2 t   1 − 21 t =  2 ( ) (N ) (N ) (L ) Với t = 5 ⇒ 5x = 1 ⇔ x = 0 . Với t = 1 + 21  1 + 21 1 + 21   . ⇒ 5x = ⇔ x = log5   2  2 2 7/ Giải phương trình: 33+3x + 33−3x + 34+x + 34−x = 103 - 16 - www.mathvn.com Ch (7) ng II. Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit Phân lo i và ph (7) ⇔ 27.3 ng pháp gi i toán 12 3x www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn     27 81 x 3 33x + 1  + 81. 3x + 1  = 103 + + = ⇔ 81.3 10 27.      3 3x 3x 33x  3x  + (7 ') 1 Côsi 1 ≥ 2 3x . x = 2 x 3 3 Đặt t = 3x + 3  1 1 1 1 1 ⇒ t = 3x + x  = 33x + 3.32x . x + 3.3x . 2x + 3x ⇔ 33x + 3x = t 3 − 3t 3  3 3 3 3  3 ( ( ) ) Khi đó: 7 ' ⇔ 27 t 3 − 3t + 81t = 103 ⇔ t 3 = 10 1 10 ⇒ 3x + x = 3 3 3 Với t = 103 10 ⇔t = >2 27 3 (N ) (7 '') y = 3 (N )  1 10 2 ⇔ 3y − 10y + 3 = 0 ⇔  Đặt y = 3 > 0 . Khi đó: (7 '') ⇔ y + = y = 1 (N ) y 3 3  x Với y = 3 ⇒ 3x = 3 ⇔ x = 1 1 1 ⇒ 3x = ⇔ x = − 1 3 3 Với y = x ( 8/ Giải phương trình: 7 + 4 3 x x ) + (2 + 3 ) 2  (8) ⇔  2 + 3  + 2 + 3   ( ) ( ) x Đặt t = 2 + 3 =6 (8 ) 2 x x  −6 = 0 ⇔  2+ 3  + 2+ 3 −6 = 0   t = 2 (N ) 2  > 0 . Khi đó: (8 ') ⇔ t + t − 6 = 0 ⇔  t = −3 (L ) ( x ) ( ) ( ) ( 8 ') x ( Với t = 2 ⇒ 2 + 3 9/ Giải phương trình: 9sin ) 2 = 2 ⇔ x = log (2+ 3 ) x 2 + 9cos x 2 (9) =6 Cách 1: Phương pháp đặt ẩn phụ với 1 ẩn. 1−cos2 x (9) ⇔ 9 2 2 + 9cos ( x =6⇔ 9 9 2 cos2 x ) + 9cos x − 6 = 0 ( ) Đặt t = 9cos x , 1 ≤ t ≤ 9 . Khi đó: 9 ' ⇔ Với t = 3 ⇒ 9cos 2 x 2 = 3 ⇔ 32 cos x (9 ') 9 + t − 6 = 0 ⇔ t 2 − 6t + 9 = 0 ⇔ t = 3 t = 31 ⇔ 2 cos2 x − 1 = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = π kπ + , (k ∈ ℤ) 4 2 Cách 2: Phương pháp đặt ẩn phụ với 2 ẩn dẫn đến hệ phương trình. u = 9sin2 x u + v = 6   Đặt  . Khi đó: , (1 ≤ u, v ≤ 9) 2 2 2 2  2 v = 9cos x u.v = 9sin x .9cos x = 9sin x +cos x = 9   Theo định lí Viét, thì u, v chính là nghiệm của phương trình: X 2 − SX + P = 0 ⇔ X 2 − SX + P = 0 ⇔ X 2 − 6X + 9 = 0 ⇔ u = v = 3 Ch ng II. Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit www.mathvn.com - 17 - Ths. Lê Văn Đoàn ⇔ 9sin 2 x = 9cos 2 Phân lo i và ph www.MATHVN.com x 2 = 3 ⇔ 9cos x =3⇔ x = ng pháp gi i toán 12 π kπ + , (k ∈ ℤ) 4 2 Cách 3: Phương pháp ước lượng 2 vế (dùng bất đẳng thức Cauchy). 2 Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 9sin 2 Dấu “=” xảy ra khi: 9sin - 18 - www.mathvn.com x 2 = 9cos x x 2 + 9cos Côsi x 2 ≥ 2 9sin x .9cos 2 x = 2. 9 = 6 ⇔ sin2 x = cos2 x ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = Ch ng II. Hàm s m π kπ + , (k ∈ ℤ) 4 2 Hàm s l y th a Hàm s Logarit Phân lo i và ph ng pháp gi i toán 12 10/ Giải phương trình: 41−2 sin 2 x + 9.4−2 cos www.MATHVN.com 2 x (10) =5 2 (10) ⇔ 4 −1+2 cos2 x 2 Đặt t = 42 cos x ( ) 42 cos −5 = 0 ⇔ 4 x + 9 2 42 cos −5 = 0 x (10 ') , (ÐK : 1 ≤ t ≤ 16) . Khi đó: 10 ' ⇔ Với t = 2 ⇒ 4 + 9.4 −2 cos2 x Ths. Lê Văn Đoàn  t = 18 t = 2  t 9 + − 5 = 0 ⇔ t 2 − 20t + 36 = 0 ⇔ 4 t 2 cos2 x 1 2 = 2 = 4 ⇔ 2 cos2 x = (L ) (N ) 1 1 π ⇔ cos x = ± ⇔ x = ± + k π , (k ∈ ℤ) 2 2 3 Thí dụ 2. Giải phương trình mũ (đặt ẩn phụ dạng 2: Chia hai vế cho cơ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất) 1/ 25x + 15x = 2.9x 1 2/ 9x +1 − 13.6x + 4x +1 = 0 2 () 3/ 49x − 2.35x − 7.52x +1 = 0 () 1 ( 3) 1 1 (4 ) 4/ 2.4 x + 6 x = 9 x Bài giải tham khảo (1) 1/ Giải phương trình: 25x + 15x = 2.9x 2 x  x   3  15x 9x  3    (1) ⇔ 1 + 25x = 2. 25x ⇔ 2.  5   −  5  + 1 = 0        (1') t = 1 x  3   2 Đặt: t =   > 0 . Khi đó: (1') ⇔ 2t − t − 1 = 0 ⇔   5  t = − 1 2  x +1 x x +1 2/ Giải phương trình: 9 − 13.6 + 4 = 0 (2) (N ) 3 . Với t = 1 ⇒    5  (L) x =1⇔ x = 0 2 x x x  x   9   6   3  3       (2) ⇔ 9.9 − 13.6 + 4.4 = 0 ⇔ 9. 4  − 13. 4  + 4 = 0 ⇔ 9.  2   − 13. 2  + 4 = 0             x  3  t = 1 (N ) 2  Đặt: t =   > 0 . Khi đó: (2 ') ⇔ 9t − 13t + 4 = 0 ⇔  t = 4 (N )  2   9 x x x (2 ') x 3 Với t = 1 ⇒   = 1 ⇔ x = 0  2  x 3 4 4 Với t = ⇒   = ⇔ x = −2  9 9  2  3/ Giải phương trình: 49x − 2.35x − 7.52x +1 = 0 ( 3) 2 x x x  x   49   35   7  7       (3) ⇔ 49 − 2.35 − 35.25 = 0 ⇔  25  − 2. 25  − 35 = 0 ⇔  5   − 2. 5  − 35 = 0            x Ch x ng II. Hàm s m x Hàm s l y th a Hàm s Logarit ( 3 ') www.mathvn.com - 19 - Ths. Lê Văn Đoàn Phân lo i và ph www.MATHVN.com x 7  Đặt: t =   > 0 . Khi đó: (3 ') ⇔ t 2 − 2t − 35 = 0 ⇔  5  t = 7  t = −5  ng pháp gi i toán 12 (N ) (L) x 7  Với t = 7 ⇒   = 7 ⇔ x = log 7 7  5  5 1 1 1 (4 ) 4/ Giải phương trình: 2.4 x + 6 x = 9 x Điều kiện: x ≠ 0 1 x 4 (4) ⇔ 2. 9    x 2 Đặt: t =    3  2  1 x  2 x   6   2  +   − 1 = 0 ⇔ 2.    +   − 1 = 0 (4 ')  3    9   3      t = −1 (L )  2 > 0 . Khi đó: (4 ') ⇔ 2t + t − 1 = 0 ⇔  t = 1 (N ) 2  1 x x 2 1 1 1 Với t = ⇒   = ⇔ x = log 2  2 2 2  3  3 Thí dụ 3. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 3) x x x ( ) + (2 − 3 ) = 4 3/ (5 − 21 ) + 7 (5 + 21 ) = 2 1/ 2 + 3 x x x +3 x (1) 3  3  2/  5 + 2 6  +  5 − 2 6  = 10      ( 3) 4/ ( sin x 8+3 7 ) (2) sin x ( + 8−3 7 ) (4 ) = 16 Bài giải tham khảo x x ( ) + (2 − 3 ) = 4 (1)   Nhận xét: (2 + 3 ). (2 − 3 ) = 1 ⇔ (2 + 3 ). (2 − 3 ) = 1 = 1 ⇔ (2 + 3 ) . (2 − 3 )   1 1 1 Đặt: t = (2 + 3 ) > 0 ⇒ (2 − 3 ) = = >0⇒t = = (2 − 3 ) t (2 + 3 ) (2 − 3 ) 1/ Giải phương trình: 2 + 3 x x x x x =1 −x x x x  1 t = 2 + 3 > 0 (N ) 2 (1) ⇔ t + t = 4 ⇔ t − 4t + 1 = 0 ⇔  t = 2 − 3 > 0 (N )  x ( ) 3 ⇒ (2 − 3 ) Với t = 2 + 3 ⇒ 2 + 3 =2+ 3 ⇔ x =1 −x Với t = 2 − = 2 − 3 ⇔ x = −1 x x 3  3  2/ Giải phương trình:  5 + 2 6  +  5 − 2 6  = 10     ( (2) ⇔ 5 + 2 6 ) x 3 ( + 5−2 6 - 20 - www.mathvn.com ) x 3 − 10 = 0 (2) (2 ') Ch ng II. Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit