Tài liệu Phân loại tôpô các mặt compact

1 Luận văn tốt nghiệp Phân loại tôpô các mặt compact 2 MỤC LỤC Trang phụ bìa ............................................................................................. i Lời cam đoan ............................................................................................. ii Mục lục ..................................................................................................... 1 Một số kí hiệu ............................................................................................ 2 Phần mở đầu .......................................................................................... 3 Phần nội dung ........................................................................................ 5 Chương I: Kiến thức chuẩn bị ........................................................... 5 I. Tôpô, không gian tôpô ................................................................. 5 II. Ánh xạ liên tục, đồng phôi .......................................................... 6 III. Tổng, tích, thương và phép dán các không gian tôpô ................. 7 Chương II: Đa tạp tôpô ...................................................................... 9 I. Đa tạp n-chiều ............................................................................. 9 II. Mặt, mặt compact ..................................................................... 12 III. Mặt định hướng được và không định hướng được ................... 17 IV. Tổng liên thông ....................................................................... 18 Chương III: Phân loại mặt compact ............................................... 20 I. Dạng chính tắc của mặt cầu, tổng liên thông các mặt xuyến và tổng liên thông các mặt phẳng xạ ảnh ............... 20 II. Phép tam giác phân của mặt compact ....................................... 24 III. Định lí phân loại tôpô các mặt compact ................................... 28 IV. Hệ quả .................................................................................... 34 V. Ví dụ minh hoạ ........................................................................ 34 VI. Sơ lược về một hướng chứng minh khác của định lí ................ 43 Phần kết luận ....................................................................................... 46 Tài liệu tham khảo ................................................................................... 47 3 MỘT SỐ KÍ HIỆU Kí hiệu Giải thích Trang xuất hiện đầu tiên A Biên của tập A 6 Rn Không gian Euclide n-chiều 7 X Y Hai không gian đồng phôi 8 f-1(U) Tạo ảnh của tập U 8 Dn Hình cầu đơn vị mở (đĩa mở) n-chiều 10 S n Bán cầu bắc n-chiều 10 idA Ánh xạ đồng nhất trên A 10 u Chuẩn Euclide của u 11 Sn Mặt cầu n-chiều 12 S2 Mặt cầu (2-chiều) 13 Hình cầu mở tâm x, bán kính  13 Mặt phẳng xạ ảnh (thực) 15 Nửa trên của mặt cầu 15 Hình tròn đơn vị đóng (đĩa đóng) 15 D2 Hình tròn đơn vị mở (đĩa mở) 15 S1 # S2 Tổng liên thông của S1 và S2 19 Đặc trưng Euler của mặt S 44 B(x,  ) P2 2 S D 2 (S) 4 Phần mở đầu I. Lí do chọn đề tài Tôpô là một ngành toán học nghiên cứu những bất biến qua nhóm các phép biến đổi liên tục. Một trong những đối tượng nghiên cứu của tôpô học là đa tạp tôpô. Đây là sự khái quá hoá nhiều chiều từ khái niệm đường và mặt trong không gian Euclide 3-chiều. Việc nghiên cứu đa tạp đã được công nhận là có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như: Hình học, Giải tích phức, Đại số, Hình học đại số, Cơ học cổ điển, Thuyết tương đối, Thuyết lượng tử,… Việc phân lớp các đa tạp được xem là một trong những vấn đề quan trọng nhất của ngành tôpô. Đối với trường hợp đa tạp 2-chiều vấn đề đã được giải quyết với “định lí phân loại đa tạp compact 2-chiều” được phát biểu và chứng minh đầu tiên bởi H.R.Barahana vào năm 1922. Trường hợp đa tạp 2-chiều không compact cũng đã được phân loại. Đối với đa tạp có số chiều cao hơn thì tình hình rất khó khăn. Trong nổ lực phân loại đa tạp 3-chiều, Poincaré, nhà toán học vĩ đại người Pháp, đã phát biểu rằng: Một đa tạp compact 3-chiều mà nhóm cơ bản của nó là nhóm tầm thường thì đồng phôi với mặt cầu. Tuy nhiên ông không chứng minh được điều đó và nó được các nhà toán học trên thế giới quan tâm với tên gọi “giả thuyết Poincaré”. Suốt một thời gian dài kể từ khi giả thuyết Poincaré ra đời (1904) mọi nổ lực chứng minh vẫn không có kết quả đáng kể. Trong khi đó, những giả thuyết tương tự với số chiều cao hơn lần lượt được giải quyết bởi Stephen Smale (trường hợp n > 4, năm 1961) và Michael Freedman (trường hợp n = 4, năm 1982). Năm 1958, A.A.Markov đã chứng minh được không tồn tại thuật toán nào để phân loại các đa tạp có số chiều lớn hơn 3. Đây là một bất ngờ thú vị của toán học, chúng ta đã giải quyết vấn đề một cách triệt để trong trường hợp tổng quát (n  4), nhưng lại không giải quyết được trong trường hợp cụ thể (n = 3) gần với cuộc sống của chúng ta nhất. Năm 2000, Viện Toán học Clay (Mỹ) đã đưa giả thuyết Poincaré vào danh sách 7 bài toán mở quan trọng nhất cần giải quyết vì tầm quan trọng của nó trong toán học và vũ trụ. Vào những năm 1970, William Thurston đã đề xuất một giả thuyết khác, giả thuyết hình học hóa: Mọi đa tạp compact 3-chiều đều có thể cắt ra làm các phần mà mỗi phần thuộc một và chỉ một trong 8 dạng. Đây là sự tổng quát tuyệt vời từ giả thuyết Poincaré, nếu giải quyết được nó (tất nhiên sẽ kéo theo giải quyết được giả thuyết Poincaré) thì vấn đề phân loại về cơ bản là hoàn tất. Năm 2003, Grigory Perelman, nhà toán học người Nga, đã xuất sắc hoàn thành chứng minh giả thuyết hình học hóa và giả thuyết Poincaré nhờ sử dụng phương trình dòng Ricci. Chứng minh của ông đã được các nhà toán học trên thế giới kiểm chứng và công nhận bằng việc đề nghị trao cho ông huy chương Fields (2006), nhưng ông đã từ chối nhận giải. 5 Với ý nghĩa bước đầu nghiên cứu về đa tạp, tôi chọn đề tài “Phân loại tôpô các mặt compact”. Đây là đề tài nghiên cứu về sự phân loại đa tạp 2-chiều compact, liên thông. II. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về các đa tạp 2-chiều compact, liên thông và sự phân loại chúng. III. Nhiệm vụ nghiên cứu Phát biểu và chứng minh định lí phân loại đa mặt compact, nêu một vài ví dụ minh hoạ cho định lí. IV. Phạm vi nghiên cứu Các đa tạp 2-chiều compact, liên thông. V. Đối tượng nghiên cứu Định lí phân loại mặt compact. VI. Phương pháp nghiên cứu -Sưu tầm tài liệu từ sách, báo, internet. -Phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá, cụ thể hoá. VII. Cấu trúc đề tài Bản luận văn gồm có: Phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận. Phần nội dung được trình bày 3 chương Chương I: Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về tôpô cần dùng cho các chương sau. Chương II: Đa tạp tôpô Giới thiệu chung về đa tạp, sau đó đi sâu nghiên cứu đa tạp 2-chiều compact, liên thông (mặt compact) và xây dựng tổng liên thông của chúng. Chương III: Phân loại tôpô các mặt compact Đây là chương chính của bản luận văn, phát biểu và chứng minh định lí phân loại mặt compact. Nêu một vài ví dụ minh họa cho định lí. Ngoài ra, chương này cũng giới thiệu sơ lược một cách khác để chứng minh định lí bằng cách dùng hai bất biến tôpô là tính định hướng và đặc trung Euler của một mặt. Mặc dù đã rất cố gắng trong quá trình nghiên cứu và trình bày nhưng chắc chắn bản luận văn khó tránh khỏi thiếu sót. Rất mong những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn. 6 Phần nội dung CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ I. Tôpô, không gian tôpô I.1. Tôpô Cho một tập X   . Một họ  các tập con của X gọi là một tôpô trên X nếu thoả mãn các điều kiện: ( 1 ). X và  thuộc  (  2 ). Hợp của tuỳ ý các tập thuộc  là thuộc  (  3 ). Giao của hữu hạn các tập thuộc  là thuộc  I.2. Không gian tôpô Một tập X cùng một tôpô  trên X gọi là một không gian tôpô, kí hiệu là ( X,  ). Khi không có sự nhầm lẫn, ta kí hiệu gọn lại là X . Khi đó, một tập G   được gọi là tập mở của X . Tập con F của X gọi là tập đóng nếu X \ F là tập mở. Các phần tử của không gian tôpô X thường gọi là điểm. I.3. So sánh 2 tôpô Cho hai tôpô  và  trên X , nếu    thì ta nói  yếu hơn  hoặc  mạnh hơn  . I.4. Lân cận, phần trong Cho một điểm x thuộc không gian tôpô X và một tập con A của X . Khi đó:  Tập con V của X được gọi là một lân cận của điểm x nếu tồn tại tập mở G sao cho x G  V . Nếu V là tập mở thì ta nói V là lân cận mở của x .  Điểm x được gọi là điểm trong của A nếu x có một lân cận V sao cho V  A . Tập gồm tất cả các điểm trong của A gọi là phần trong của A .  Điểm x được gọi là điểm biên của A nếu mọi lân cận V của x đều có V  A   và V  (X \ A)   . Tập gồm tất cả các điểm biên của A gọi là biên của A , kí hiệu là A . I.5. Không gian con Cho không gian tôpô ( X,  ) và A là một tập con của X . Khi đó, họ  A  {G  A | G } là một tôpô trên A , gọi là tôpô cảm sinh bởi  trên A. Không gian A với tôpô cảm sinh  A gọi là không gian con của không gian tôpô X . I.6. Không gian Hausdorff 1. Định nghĩa 7 Không gian tôpô X được gọi là không gian Hausdorff (hay T2 – không gian) nếu hai điểm x, y khác nhau bất kì của X luôn tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho U  V   . 2. Tính chất Giả sử A là một tập con mở tuỳ ý của không gian Hausdorff. Khi đó A với tôpô cảm sinh bởi tôpô trên X là một không gian Hausdorff. I.7. Không gian compact, compact địa phương 1. Phủ, phủ mở Cho A là một tập con của không gian tôpô X . Một họ V   I các tập con của X gọi là một phủ của A nếu A   V . Nếu mọi V đều là tập mở thì ta nói I V I là một phủ mở của A. 2. Tập compact, không gian compact, không gian compact địa phương Tập con A của không gian tôpô X được gọi là tập compact nếu mọi phủ mở của A trong X đều có một phủ con hữu hạn. Không gian tôpô X gọi là không gian compact nếu X là tập compact của X. Không gian tôpô X gọi là không gian compact địa phương nếu mọi điểm của nó đều có một lân cận U là tập compact. 3. Tính chất Mọi tập con đóng và bị chặn của Rn là tập compact. I.8. Không gian liên thông 1. Định nghĩa Không gian tôpô X gọi là liên thông nếu X không biểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập mở khác rỗng và rời nhau, tức là không tồn tại hai tập mở, khác rỗng U và V sao cho X  U  V và U  V   . 2. Tính chất Không gian tôpô X là liên thông khi và chỉ khi X không biểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập đóng khác rỗng, rời nhau. II. Ánh xạ liên tục, đồng phôi II.1. Ánh xạ liên tục 1. Định nghĩa Cho hai không gian tôpô X, Y và ánh xạ f : X  Y , khi đó: i). Ánh xạ f liên tục tại điểm x thuộc X nếu mọi lân cận mở V của f (x ) trong Y luôn tồn tại lân cận mở U của x sao cho f ( U)  V . ii). Ánh xạ f liên tục trên X (hay nói tắt là liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc X . 2. Tính chất i). Cho f là ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y . Khi đó f liên tục trên X khi và chỉ khi tạo ảnh của mọi tập đóng (hoặc mở) trong Y là tập đóng (hoặc mở) trong X . ii). Ánh xạ hợp của hai ánh xạ liên tục là ánh xạ liên tục. iii). Ảnh của một tập compact (hoặc liên thông) qua ánh xạ liên tục là một tập compact (hoặc liên thông). 8 3. Mệnh đề n Cho không gian tôpô X thoả X = X i với Xi là những tập con đóng của X i 1 và các ánh xạ liên tục fi: Xi  Y (i = 1, n ) sao cho với mọi i, j  1, n , X i  X j   thì f i |X i  X j  f j | Xi  X j . Khi đó ánh xạ f: X  Y xác định bởi f | X  f i (i = 1, n ) là ánh xạ liên tục. i II.2. Ánh xạ mở, ánh xạ đóng 1. Định nghĩa Cho là một ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y . i). f là ánh xạ mở nếu ảnh của mọi tập mở trong X đều là tập mở trong Y . ii). f là ánh xạ đóng nếu ảnh của mọi tập đóng trong X đều là tập đóng trong Y . 2. Mệnh đề Cho f là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y. Nếu X compact và Y Hausdorff thì f là ánh xạ đóng. II.3. Đồng phôi Cho f là một song ánh từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y . Nếu f và f đều liên tục thì ta nói f là một phép đồng phôi từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y . Hai không gian tôpô X và Y được gọi là đồng phôi (kí hiệu X  Y ) nếu tồn tại một phép đồng phôi giữa chúng. Quan hệ đồng phôi làm một quan hệ tương đương. 1 III. Tổng, tích, thương và phép dán các không gian tôpô III.1. Tổng, tổng trực tiếp Cho X i ,  i i I là một họ các không gian tôpô. Đặt X   X i , xét họ  các iI tập con G của X thoả mãn G  X i   i ,  i  I . Khi đó  là một tôpô trên X . Không gian tôpô X,   được gọi lả tổng của họ các không gian tôpô đã cho, kí hiệu X   X i . Nếu họ X i ,  i i I rời nhau thì X,  gọi là tổng trực tiếp, kí iI hiệu X   X i . iI III.2. Tích Descartes 1. Định nghĩa Cho X i ,  i i I là một họ các không gian tôpô. Đặt X   X i và iI  i : X  X i là phép chiếu thứ i. Ta gọi tôpô tích trên X là tôpô yếu nhất để  i liên tục với mọi i  I . Tập X với tôpô tích được gọi là tích của họ không gian tôpô đã cho. 2. Tính chất i). Tích của hai không gian Hausdorff là không gian Hausdorff. ii). Tích của hai không gian compact là không gian compact. III.3. Tôpô thương 1. Định nghĩa Cho f là một toàn ánh từ không gian tôpô ( X,  ) vào tập Y . Xét 9  Y  {U  Y | f 1 ( U )  } Dễ dàng chứng minh  Y là một tôpô trên Y và được gọi là tôpô thương trên Y cảm sinh bởi f. 2. Tính chất i). Tôpô thương là tôpô lớn nhất làm f liên tục. ii). Tập V đóng trong (Y,  Y ) khi và chỉ khi f 1 (V) đóng trong ( X,  ). iii). Giả sử không gian tôpô Y với tôpô cảm sinh bởi f : X  Y . Khi đó, nếu X compact (liên thông) thì Y cũng compact (liên thông). iv). Cho các không gian tôpô X, Y, Z và các toàn ánh f : X  Y , g : Y  Z . Nếu Y có tôpô thương cảm sinh bởi f và Z có tôpô thương cảm sinh bởi g thì tôpô trên Z cũng chính là tôpô cảm sinh bởi g  f . 3. Mệnh đề Cho f là một toàn ánh liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y . Nếu f là ánh xạ mở (hoặc đóng) thì tôpô trên Y là tôpô sinh bởi f. III.4. Không gian thương 1. Định nghĩa Cho không gian tôpô X và ~ là một quan hệ tương đương trên X . Đặt Y  X / ~ là tập thương của X theo quan hệ ~. Kí hiệu ~ x là lớp tương đương chứa x X . Xét  là phép chiếu chính tắc từ X vào Y xác định bởi (x )  ~x . Khi đó không gian tôpô Y với tôpô cảm sinh bởi  được gọi là không gian thương của X . 2. Định nghĩa Cho A là một tập con của không gian tôpô X , xét quan hệ tương đương ~ xác định bởi: x, y  A x~ y (với mọi x, y  X ) x  y Không gian thương X / ~ (với ~ được xác định như trên) được gọi là không gian tôpô thương của X theo tập con A (kí hiệu là X / A ). 4. Tính chất Cho A, B là hai tập con rời nhau cua không gian tôpô X và ~ là một quan hệ tương đương xác định bởi: x, y  A x ~ y   x , y  B (với mọi x , y  X )  x  y Khi đó (X / A ) / B  (X / B) / A  X / ~ III.5. Phép dán các không gian tôpô Cho hai không gian tôpô X, Y , A là một tập con của X và ánh xạ liên tục f : X  Y . Gọi Z là không gian tổng của X và Y . Trên Z ta định nghĩa quan hệ tương đương ~ như sau: 10  u  A, v  f (u )  v  A , u  f ( v)  u ~ v   u  f (A), v  f 1 (u ) (với mọi u, v  Z )  1  v  f (A ), u  f ( v)  u  v  A  f (A)  Khi đó không gian thương Z / ~ được gọi là không gian nhận được nhờ phép dán X với Y bởi ánh xạ f (kí hiệu X  Y ). f CHƯƠNG II: ĐA TẠP TÔPÔ I. Đa tạp n -chiều I.1. Định nghĩa Một đa tạp n -chiều ( n nguyên dương) là một không gian Hausdorff mà mỗi điểm của nó đều có một lân cận mở đồng phôi với đĩa mở n -chiều D n . 1  n 2    với D n  x  (x 1 , x 2 , , x n )  R n x    x i2    i1    Một đa tạp n -chiều còn được gọi là n -đa tạp. Ví dụ: R n là một n -đa tạp.   1   Nhận xét: Từ định nghĩa ta có thể suy ra mọi n-đa tạp đều compact địa phương. Thật vậy, mọi điểm của n-đa tạp đều tồn tại lân cận mở đồng phôi với Dn mà Dn là compact. Vậy mọi n-đa tạp đều compact địa phương. I.2. Bổ đề Các không gian D n , S n , R n đồng phôi với nhau. trong đó S n  ( x 1 ,, x n , x n 1 )  R n 1 | x  1, x n 1  0 Chứng minh Ta sẽ chứng minh D n đồng phôi với S n và D n đồng phôi với R n bằng cách chỉ ra các phép đồng phôi giữa chúng. Xét ánh xạ: f1 : Dn  xn+1 S+ n S n Dn ( x 1 ,, x n )  ( x 1 ,, x n , 1  ( x 12    x 2n ) ) f2 : S n M  x1 f2 (M) Dn ( x 1 ,, x n , x n 1 )  ( x 1 ,, x n ) x2 Dễ dàng chứng minh f1, f2 là các ánh xạ liên Hình 1 tục. Mặt khác, với điểm x (x 1 , , x n ) tuỳ ý thuộc D n ta có   f 2  f1 ( x)  f 2 ( x 1 ,, x n , 1  ( x 12    x 2n ) )  x Suy ra f 2  f1  id D n (1) 11 Với điểm y( y 1 , , y n , y n 1 ) tuỳ ý thuộc S n ta có y12    y 2n  y 2n 1  1 suy ra y n 1  1  ( y12    y 2n ) ( y n 1  0)   Từ đó, f 1  f 2 ( y )  f1 ( y1 , , y n )   y1 ,, y n , 1  ( y12    y 2n )  y Suy ra f1  f 2  id S (2) Từ (1) và (2) suy ra f1 là phép đồng phôi từ D n vào S n Vậy D n  S n (3) n  Xét ánh xạ u  u 1 u n g2 : R  D v  xn g1(u) g1 : D n  R n u n O v 1 v Dễ thấy g1, g2 là các ánh xạ liên tục. Mặt khác, với điểm u tuỳ ý thuộc Dn ta có x1 x2 Hình 2  u g 2  g 1 (u )  g 2  1  u u 1 u     1  u  g 2  g 1  id D n u (4) 1 u Với điểm v tuỳ ý thuộc Rn ta có  v g 1  g 2 ( v)  g 1  1  v v 1 v     1 v v  g 1  g 2  id R n (5) 1 v Từ (4) và (5) suy ra g1 là phép đồng phôi từ D n vào R n Vậy D n  R n (6) Từ (3) và (6) và từ tính chất quan hệ đồng phôi là một quan hệ tương đương ta được D n  S n  R n Nhận xét: Trong chứng minh trên ta đã dùng tính chất quan hệ đồng phôi là một quan hệ tương đương để kết luận S n  R n . Tuy nhiên ta có thể chứng minh trực tiếp bằng cách xét các ánh xạ h1 : S n  ( x 1 ,, x n , x n 1 )  ( Rn x1 x , , n ) x n 1 x n 1 12 h2 : Rn  ( x 1 , , x n )  ( S n x1 2 1 1 x    x 2 n , , xn 2 1 1 x  x 2 n 1 , 2 1 1  x    x 2n ) Ta chứng minh được h 1 là phép đồng phôi từ S n vào Rn, suy ra S n  R n . xn+1 Rn h1(M) M O x1 x2 I.3. Mệnh đề Hình 3 Nếu M là m-đa tạp và N là n-đa tạp thì M  N là (m+n)-đa tạp. Chứng minh M, N là các đa tạp nên chúng là các không gian Hausdorff, suy ra tích M  N là không gian Hausdorff. Xét điểm (x, y) tuỳ ý thuộc M  N Do M là m-đa tạp nên tồn tại lân cận mở Ux của điểm x (thuộc M) đồng phôi với Dm. Do N là n-đa tạp nên tồn tại lân cận mở Uy của điểm y (thuộc N) đồng phôi với Dn. Ta được một lân cận mở của điểm (x, y) là Ux  Uy (  M  N ) đồng phôi với m D  Dn Theo bổ đề trên, ta có Dm  Dn  R m  R n  R m  n  D m  n Vậy M  N là (m+n)-đa tạp. I.4. Mệnh đề Mặt cầu n-chiều S n  (x 1 , , x n , x n 1 )  R n 1 tạp. Chứng minh Dễ thấy Sn là không gian Hausdorff. Xét điểm x0(0, …, 0, 1)  S n , ta có S n là một lân cận mở của x0. Theo bổ đề trên, S n  D n . Xét điểm x tuỳ ý thuộc Sn, khi đó tồn tại một phép quay tâm O là QO sao cho QO(x)=x0. Hiển nhiên QO là một phép đồng phôi từ Sn lên chính nó. Suy ra điểm x có một lân cận mở là QO( S n )  S n  D n . Vậy Sn là n-đa tạp.  x 12    x 2n  x 2n 1  1 là n-đa xn+1 x0(0,0...,0,1) Sn Dn O x2 Hình 4 I.5. Mệnh đề x1 13 Nếu M là n-đa tạp thì mọi tập con mở của M cũng là n-đa tạp. Chứng minh Giả sử A là một tập con mở tuỳ ý của M. Theo tính chất I.6.2 (chương I) tập A với tôpô cảm sinh bởi tôpô trên M là một không gian Hausdorff. Do A là tập con mở của M nên với điểm x bất kì thuộc A luôn tồn tại lân cận mở U r (bán kính r1) nằm trong A. Mặt khác, M là n-đa tạp nên điểm x có một lân cận mở Ur’ (bán kính r’) 1 đồng phôi với Dn. Chọn số nguyên dương N đủ lớn sao cho r  r'  r1 , khi đó Ur N cũng là một lân cận mở của x đồng phôi với Dn nằm trong A. Suy ra A là n-đa tạp. II. Mặt, mặt compact II.1. Định nghĩa Một đa tạp 2-chiều liên thông được gọi là một mặt. Một đa tạp 2-chiều liên thông, compact được gọi là một mặt compact. II.2. Mặt cầu S2 (S2 = {x R3 | x  1 } Theo mệnh đề I.4 ta có S2 là 2-đa tạp. Dễ thấy S2 là liên thông, tức S2 là một mặt Ta sẽ chứng minh S2 là mặt compact. Nhắc lại rằng mọi tập con đóng và bị chặn của Rn đều là tập compact. Rõ ràng S2 là bị chặn (xem S2 là tập con của R3, đường kính của S2 bằng 2), do đó ta chỉ cần chứng minh S2 là tập đóng. Thật vậy, với mọi x thuộc R3\S2, chọn   x 1 2 3 2  0 . Khi đó, x có một lân cận mở là B(x ;  ) nằm trong R \S . Suy ra R3\S2 là tập mở, suy ra S2 là tập đóng. Như vậy, S2 là tập con đóng và bị chặn của R3 , suy ra S2 là tập compact. Vậy S2 một mặt compact. O Hình 5a Hình 5b II.3. Mặt xuyến Ta xây dựng mặt xuyến bằng cách sau: Gọi X là hình vuông trong R2 xác định bởi X = {(x, y)  R2 | 0  x  1, 0  y 1 } 14 Xét quan hệ ~ trên X được định nghĩa như sau: y1  y 2 , | x 1  x 2 |  1 Với mọi u(x1, y1), v(x2, y2) thuộc X, u ~ v   x 1  x 2 , | y 1  y 2 |  1  x 1  x 2 , y 1  y 2 Dễ dàng chứng minh ~ là một quan hệ tương đương trên X. Từ đó X/~ là một không gian tôpô. Hơn nữa X/~ là một đa tạp 2-chiều, liên thông, compact. Tức X/~ là một mặt compact, ta gọi X/~ là mặt xuyến.  Chú ý: Mọi không gian đồng phôi với X/~ đều được gọi là mặt xuyến.  Nhận xét: Không gian tích S1  S1 là mặt xuyến (tức đồng phôi với không gian X/~ được xây dựng như trên), trong đó S1 = {(x, y)  R2 | x2 + y2 = 1} Để dễ hình dung, không gian X/~ được xây dựng như trên có được bằng cách đồng nhất các cạnh đối diện của hình vuông như hình vẽ. Để thuận tiện, ta dùng các dấu mũi tên để chỉ chiều của sự đồng nhất. a a b b b b b b a a a Hình 6b Hình 6a Hình 6c b b Hình 6d Hình 6e Hình 6f II.4. Lá Mobius Trong mặt phẳng R2 cho hình vuông X  {(x, y)  R 2 | 0  x 10, 0  y  2} Ta định nghĩa quan hệ ~ như sau: với mọi điểm (x1, y1), (x2, y2) thuộc R2  x 1  x 2  10, y 1  y 2  2 (x1, y1) ~ (x2, y2)    x 1  x 2 , y1  y 2 Khi đó không gian thương X/~ là một đa tạp 2-chiều, liên thông và được gọi là lá Mobius (mọi không gian đồng phôi với X/~ ta cũng gọi là lá Mobius). Lá Mobius là một mặt không compact. Một cách trực quan, để tạo lá Mobius, đầu tiên ta cắt một mảnh giấy hình chữ nhật dài, hẹp. Sau đó xoắn mảnh giấy 1800 và dán hai đầu (hẹp) với nhau. Hình 7 15 II.5. Mặt phẳng xạ ảnh thực Trên mặt cầu S2 ta định nghĩa quan hệ ~ như sau: u -v Với mọi u, v thuộc S2, u ~ v  u = -v. O Khi đó S2/~ là một không gian tôpô. 2 2 Xét ánh xạ p: S  S /~ v u  ~u -u Rõ ràng p là ánh xạ liên tục. 2 2 Do S liên thông, compact nên S /~ liên thông, Hình 8 compact. Bây giờ ta chứng minh S2/~ là đa tạp 2-chiều. Do S2 Hausdorff nên S2/~ Hausdorff. Lấy điểm ~u tuỳ ý thuộc S2/~, ~u = p(u) với u thuộc S2. Chọn B  S2 (B  D2) là một lân cận mở đủ nhỏ của u sao cho trong B không chứa bất kì cặp điểm xuyên tâm đối nào. Ta có p|B là một phép đồng phôi lên p(B). Ta lại chọn B’  B (B’  D2) là một lân cận mở của u, suy ra p(B’) là một lân cận mở của ~u và p(B’)  D2. Suy ra S2/~ là một đa tạp 2-chiều liên thông, compact. Tức là S2/~ là một mặt compact, được gọi là mặt phẳng xạ ảnh thực (hay mặt phẳng xạ ảnh), kí hiệu là P2.  Chú ý: - Mọi không gian đồng phôi với P2 đều được gọi là mặt phẳng xạ ảnh. - Không gian S2/~ được xây dựng như trên là không gian được tạo thành bằng cách đồng nhất các cặp điểm xuyên tâm đối của S2.  Nhận xét 1: 2 Đặt S  = {(x, y, z)  S 2 | z  0 } 2 2 biên của S  là S  = {(x, y, z)  S 2 | z = 0} Khi đó mỗi cặp điểm xuyên tâm đối của S2 đều O 2 có ít nhất một điểm thuộc S  , nếu cả hai điểm đều 2 2 thuộc S  thì chúng phải thuộc S  . Hình 9 Suy ra S2/~ đồng phôi với không gian thương 2 2 của S  có được bẳng các đồng nhất các điểm xuyên tâm đối trên S  , để đơn 2 giản ta vẫn kí hiệu không gian này là S  /~ 2 Mặt khác, dễ dàng chứng minh S  đồng phôi với 2 2 đĩa đóng D  {(x , y )  R 2 | x 2  y 2 1} . Từ đó S  /~ 2 D2 đồng phôi với không gian thương của D có được Hình 10 16 2 bằng cách đồng nhất các điểm xuyên tâm đối trên biên của D , ta vẫn kí hiệu 2 không gian này là D /~. 2 Bây giờ ta thay D bởi hình vuông 2 X = {(x, y)  R2 | 0  x 1, 0  y 1 } (đồng phôi với D ), a 2 ta được D /~ đồng phôi với không gian thương của X b tạo thành bằng cách đồng nhất các điểm của trên biên b của X, tức đồng nhất các cặp cạnh đối diện của X. Để chỉ chiều của sự đồng nhất ta dùng các dấu mũi tên. Như vậy không gian thương của X tạo thành bằng a cách đồng nhất các điểm của trên biên của X như trên là Hình 11 một mặt phẳng xạ ảnh. Nhận xét 2: Có thể xây dựng mặt phẳng xạ ảnh bằng cách dán lá Mobius và một đĩa D2 dọc theo biên của chúng như sau: Biểu diễn lá Mobius bởi hình chữ nhật với một cặp cạnh được đồng nhất. Cắt lá Mobius theo đường kín c như hình vẽ a b c a b c a b c a b Hình 12a Hình 12b Dán hai hình chữ nhật nhỏ theo các đường a và b a b c c a c d b a c a a b Hình 12c b b c Hình 12d c Hình 12e Ta thấy biên của lá Mobius chính là đường tròn d. Dán lá Mobius với đĩa D2 ta được mặt phẳng xạ ảnh . Như vậy, mặt phẳng xạ ảnh có được bằng cách dán lá Mobius với đĩa D2 dọc theo biên của chúng. 17 II.6. Chai Klein Gọi X là hình vuông trong R2 xác định bởi X = {(x, y)  R2 | 0  x  1, 0  y 1 } Khi đó không gian thương của X có được bằng cách đồng nhất các cặp cạnh đối diện (hình vẽ) được gọi là Chai Klein. Chai Klein là một mặt compact. a b b a Hình 13a Hình 13b Nhận xét: Có thể xây dựng chai Klein bằng cách dán hai lá Mobius như sau Biểu diễn lá Mobius bởi hình chữ nhật với một cặp cạnh được đồng nhất. Cắt một lá Mobius theo đường kín e (hình vẽ) c b a c a a e e a b e d b b d c c f f f f d d Hình 14b Hình 14a Dán chúng lại theo các đường c và d ta được một chai Klein. e e a a d d d f f c b c e Hình 14c f f c b a a b b e Hình 14d 18 Vậy dán hai lá Mobius theo biên của chúng ta được một chai Klein. III. Mặt định hướng được và không định hướng được Trước hết ta nói về đường bảo toàn hướng và đường đảo hướng. Để dễ hình dung, ta xét mặt phẳng R2. Trên R2 chọn một đường cong kín c và một điểm x0 trên c. Giả sử ta xuất phát từ x0 với một hướng nhất định và đi dọc theo đường cong c. Nếu khi trở về x0 mà hướng của chúng ta cùng hướng với hướng đã chọn ban đầu thì c được gọi là đường bảo toàn hướng. Nếu khi trở về x0 mà hướng của chúng ta ngược hướng với hướng đã chọn ban đầu thì c được gọi là đường đảo hướng. III.1. Định nghĩa Một mặt mà mọi đường cong kín trên nó đều là đường bảo toàn hướng được gọi là mặt định hướng được (hay còn gọi là mặt hai phía). Một mặt mà có một đường cong kín trên nó là đường đảo hướng được gọi là mặt không định hướng được (hay còn gọi là mặt một phía). III.2. Ví dụ 1. Mặt phẳng R2, mặt cầu, mặt xuyến Mọi đường cong kín trên R2, mặt cầu, mặt xuyến đều là đường bảo toàn hướng. Do đó R2, mặt cầu, mặt xuyến là các mặt định hướng được (mặt hai phía). 2. Lá Mobius Xét đường cong kín c như hình vẽ. c c Hình 15 Đường c như trên là một đường đảo hướng và do đó lá Mobius là mặt không định hướng được (mặt một phía). 3. Mặt phẳng xạ ảnh Mặt phẳng xạ ảnh có một tập con là lá Mobius, mà trên lá Mobius có một đường đảo hướng. Do đó mặt phẳng xạ ảnh cũng có một đường đảo hướng. Vậy mặt phẳng xạ ảnh là mặt không định hướng được. a b b a Hình 16 19 4. Chai Klein là mặt không định hướng được (ta sẽ chứng minh ở phần sau). IV. Tổng liên thông IV.1. Định nghĩa Cho hai mặt rời nhau S1 và S2. Chọn hai tập mở D1  S1, D2  S2 (D1, D2 đồng phôi với D2). Đặt S1' = S1\D1, S '2 = S2\D2. Chọn phép đồng phôi f : D1  D 2 Khi đó không gian tạo thành nhờ phép dán S1' và S '2 bởi ánh xạ f được gọi là tổng liên thông của S1 và S2, kí hiệu là S1 # S2. Để dễ hình dung, ta có thể hiểu tổng liên thông của hai mặt S1 và S2 là không gian có được bằng cách cắt đi một lỗ tròn nhỏ trên trên mỗi mặt, sau đó dán chúng lại dọc theo biên của hai lỗ tròn. IV.2. Tính chất Với mọi mặt S, S1, S2, S3 ta có: i. S1 # S2 là một mặt không phụ thuộc vào việc chọn các đĩa mở D1, D2 và phép đồng phôi f. ii. S1 # S2  S2 # S1 iii. (S1 # S2) # S3  S1 # (S2 # S3) iv. S # S2  S2 # S  S Như vậy tập hợp các lớp đồng phôi các mặt compact lập thành một vị nhóm giao hoán với phần tử đơn vị là lớp đồng phôi với mặt cầu S2. Chú ý: Tổng liên thông của hai mặt định hướng được là mặt định hướng được, nếu một trong hai mặt không định hướng được thì tổng liên thông của chúng không định hướng được. IV.3. Ví dụ 1. Tổng liên thông của hai mặt xuyến Hình 17a. Hai mặt xuyến rời nhau Hình 17b. Hai mặt xuyến bỏ đi hai lỗ tròn 20 Hình 17c. Dán lại theo biên của lỗ tròn 2. Tổng liên thông của hai mặt phẳng xạ ảnh Từ nhận xét 2 (II.5) ta suy ra mặt phẳng xạ ảnh sau khi bỏ đi một lỗ tròn thì đồng phôi với lá Mobius (gồm cả biên). Do đó tổng liên thông của hai mặt phẳng xạ ảnh là không gian đồng phôi với không gian tạo thành bằng cách dán hai lá Mobius dọc theo biên của chúng. Theo nhận xét II.6, khi dán hai lá Mobius theo biên của chúng ta được một chai Klein. Vậy tổng liên thông của hai mặt phẳng xạ ảnh là một chai Klein. Nhận xét: Vì chai Klein là tổng liên thông của hai mặt phẳng xạ ảnh, mà mặt phẳng xạ ảnh không định hướng được. Do đó, theo chú ý IV.2 ta suy ra chai Klein không định hướng được.