Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Toán học Phân dạng và bài tập đại số và giải tích 11 học kỳ i lư sĩ pháp...

Tài liệu Phân dạng và bài tập đại số và giải tích 11 học kỳ i lư sĩ pháp

.PDF
164
1513
80

Mô tả:

Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong TOAÙN 11 CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG II TỔ HỢP – XÁC SUẤT CHƯƠNG III TẬP 1 DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN LỜI NÓI ĐẦU Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến! Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán, tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 11. Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định. Nội dung gồm 3 phần Phần 1. Kiến thức cần nắm Phần 2. Dạng bài tập có hướng dẫn giải và bài tập đề nghị Phần 3. Phần trắc nghiệm có đáp án. Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý đồng nghiệp và các em học sinh. Mọi góp ý xin gọi về số 01655.334.679 – 0916.620.899 Email: [email protected] [email protected] Chân thành cảm ơn. Tác giả Lư Sĩ Pháp Gv_Trường THPT Tuy Phong MỤC LỤC CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Trang 1 §1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Trang 3 §2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Trang 11 §3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN THƯỜNG GẶP Trang 18 ÔN TẬP CHƯƠNG I Trang 27 TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG I Trang 44 ĐÁP ÁN Trang 59 CHƯƠNG II. TỔ HỢP – XÁC SUẤT §1. HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN Trang 60 §2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Trang 66 §3. NHỊ THỨC NIU-TƠN Trang 77 §4. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ - XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Trang 83 §5. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT Trang 86 ÔN TẬP CHƯƠNG II Trang 93 TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG II Trang 103 ĐÁP ÁN Trang 116 Chương III. DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN §1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Trang 118 §2. DÃY SỐ Trang 125 §3. CẤP SỐ CỘNG Trang 134 §4. CẤP SỐ NHÂN Trang 141 ÔN TẬP CHƯƠNG III Trang 150 TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG III Trang 155 ĐÁP ÁN Trang 160 Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ---0O0--- ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Hằng đẳng thức lượng giác cơ bản sin α π ;α ≠ + kπ , k ∈ ℤ cos α 2 kπ tan α .cot α = 1;α ≠ ,k ∈ℤ 2 1 1 + cot 2 α = 2 ; α ≠ kπ , k ∈ ℤ sin α sin 2 α + cos2 α = 1 tan α = cos α ;α ≠ kπ , k ∈ ℤ sin α 1 π 1 + tan 2 α = ;α ≠ + kπ , k ∈ ℤ 2 2 cos α 2. Các công thức lượng giác 2.1. Công thức cộng cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β cot α = sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β tan α ± tan β , với mọi α , β làm cho các biểu thức có nghĩa. 1 ∓ tan α tan β 2.2. Công thức nhân đôi sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = cos2 α − sin 2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α 2 tan α π tan 2α = ; α ,2α ≠ + kπ , k ∈ ℤ 2 2 1 − tan α 2.3. Công thức nhân ba cos3α = 4 cos3 α − 3cos α sin 3α = 3sin α − 4sin3 α 2.4. Công thức hạ bậc 1 + cos 2α 1 − cos 2α cos2 α = sin 2 α = 2 2 1 − cos 2α tan 2 α = , với α làm cho biểu thức có nghĩa. 1 + cos 2α 2.6. Công thức biến đổi tổng thành tích α +β α −β α +β α −β cos α + cos β = 2 cos .cos cos α − cos β = −2sin .sin 2 2 2 2 α +β α −β α +β α −β sin α + sin β = 2 sin .cos sin α − sin β = 2 cos .sin 2 2 2 2 , với mọi α , β làm cho các biểu thức có nghĩa. 2.7. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos α .cos β =  cos (α + β ) + cos (α − β )   2 1 sin α .sin β = −  cos (α + β ) − cos (α − β )   2 1 sin α .cos β = sin (α + β ) + sin (α − β )   2 tan (α ± β ) = Đại số và giải tích 11 1 Chương I. HSLG & PTLG Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp 2.8. Công thức rút gọn   π π sin α + cos α = 2 sin  α +  = 2 cos  α −  4 4     π π sin α − cos α = 2 sin  α −  = − 2 cos  α +  4 4   2 , với α làm cho biểu thức có nghĩa sin 2α 3. Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặt biệt 3.1. Hai góc đối nhau ( cung đối) ( α làm cho các biểu thức có nghĩa) cos(−α ) = cos α sin(−α ) = − sin α tan(−α ) = − tan α cot(−α ) = − cot α 3.2. Hai góc bù nhau( cung bù)( α làm cho các biểu thức có nghĩa) sin(π − α ) = sin α cos(π − α ) = − cos α tan(π − α ) = − tan α cot(π − α ) = − cot α 3.3. Hai góc phụ nhau ( cung phụ)( α làm cho các biểu thức có nghĩa) π  π  sin  − α  = cos α cos  − α  = sin α 2  2  tan α + cot α = π  π  tan  − α  = cot α cot  − α  = tan α 2  2  3.4. Hai góc hơn kém π (cung hơn kém π ),( α làm cho các biểu thức có nghĩa) sin(π + α ) = − sin α cos(π + α ) = − cos α tan(π + α ) = tan α cot(π + α ) = cot α 3.5. Hai góc hơn kém π 2 (cung hơn kém π 2 ),( α làm cho các biểu thức có nghĩa) π  π  sin  + α  = cos α cos  + α  = − sin α 2  2  π  π  tan  + α  = − cot α cot  + α  = − tan α 2  2  3.6. Cung bội. ( k ∈ ℤ , α làm cho các biểu thức có nghĩa) sin(α + k 2π ) = sin α cos(α + k 2π ) = cos α tan(α + kπ ) = tan α cot(α + kπ ) = cot α 4. Bảng giá trị lượng giác các góc (cung) đặt biệt α 300 450 600 900 π π π π 6 4 3 2 0 1 2 2 2 1 3 2 2 2 3 2 1 2 0 HSLG 00 3 3 1 0 sin α cos α tan α cot α || 3 1 1 0 3 || 3 3 0 1200 2π 3 1350 3π 4 1500 5π 6 3 2 1 − 2 2 2 1 2 − 3 − 3 3 − 2 2 1800 π 0 − -1 − -1 3 2 3 3 0 − 3 -1 || || : Không xác định Đại số và giải tích 11 2 Chương I. HSLG & PTLG Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp §1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. KIẾN THỨC CẦN NẮM • • • • • • • • • • • • Hàm số y = sin x Có tập xác định là ℝ Có tập giá trị là  −1;1   • • • • Là hàm số lẻ Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π Đồng biến trên mỗi khoảng  π  π  − + k 2π ; + k 2π  và nghịch biến trên 2  2  • • 2 Có đồ thị là một đường hình sin Hàm số y = cot x • Có tập xác định là D2 = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ} • • • • Có tập giá trị là ℝ Là hàm số lẻ Là hàm số tuần hoàn với chu kì là π Nghịch biến trên mỗi khoảng ( kπ ; π + kπ ) ; k ∈ ℤ • π  Có tập xác định là D1 = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ  2  Có tập giá trị là ℝ Là hàm số lẻ Là hàm số tuần hoàn với chu kì là π Đồng biến trên mỗi khoảng  π  π  − + kπ ; + kπ  ; k ∈ ℤ 2  2  Có đồ thị nhân mỗi đường thẳng π Là hàm số chẵn Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π Đồng biến trên mỗi khoảng ( −π + k 2π ; k 2π ) và nghịch biến trên mỗi khoảng ( k 2π ; π + k 2π ) , k ∈ ℤ π  3π + k 2π  , k ∈ ℤ mỗi khoảng  + k 2π ; 2 2  Có đồ thị là một đường hình sin Hàm số y = tan x x= Hàm số y = cos x Có tập xác định là ℝ Có tập giá trị là  −1;1   Có đồ thị nhân mỗi đường thẳng x = kπ ; k ∈ ℤ làm một đường tiệm cận + kπ ; k ∈ ℤ làm một đường tiệm cận B. BÀI TẬP Dạng 1. Tập xác định của hàm số - Hàm số xác định với một điều kiện - Hàm số xác định bởi hai hay nhiều điều kiện - Hàm số y = sin x; y = cos x có tập xác định là ℝ - Hàm số y = tan x xác định khi và chỉ khi cos x ≠ 0 ; Hàm số y = cot x xác định khi và chỉ khi sin x ≠ 0 Lưu ý: 1 π π sin u = 1 ⇔ u = + k 2π sin u = −1 ⇔ u = − + k 2π sin u = 0 ⇔ u = kπ 2 2 2 π cos u = 0 ⇔ u = + kπ cos u = 1 ⇔ u = k 2π cos u = −1 ⇔ u = π + k 2π 2 3 π π tan u = 1 ⇔ u = + kπ tan u = −1 ⇔ u = − + kπ tan u = 0 ⇔ u = kπ 4 4 4 π π π cot u = 1 ⇔ u = + kπ cot u = −1 ⇔ u = − + kπ cot u = 0 ⇔ u = + kπ 4 4 2 1 - Hàm số y = xác định khi và chỉ khi A ≠ 0 A - Hàm số y = A xác định khi và chỉ khi A ≥ 0 Đại số và giải tích 11 3 Chương I. HSLG & PTLG Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp 1 xác định khi và chỉ khi A > 0 A Bài 1.1. Tìm tập xác định các hàm số sau: - Hàm số y = a) y = 1 + cos x sin x b) y = 1 + sin x cos x c) y = 1 + cos x 1 − cos x d) y = 3 − sin x HD Giải a) Hàm số xác định khi và chỉ khi sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ , k ∈ ℤ . Vậy D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ} b) Hàm số xác định khi và chỉ khi cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ π π  + kπ , k ∈ ℤ . Vậy D = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ  2 2  1 + cos x ≥ 0 . Vì 1 + cos x ≥ 0 nên điều kiện là 1 − cos x > 0 hay 1 − cos x 1 − cos x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ k 2π , k ∈ ℤ . Vậy D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ} c) Hàm số xác định khi và chỉ khi d) Vì −1 ≤ sin x ≤ 1 nên 3 − sin x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ . Vậy D = ℝ Bài 1.2. Tìm tập xác định các hàm số sau:    π π π a) y = tan  x −  b) y = cot  x +  c) y = tan  2 x +  3 6 3    d) y = tan x + cot x HD Giải  π π π 5π a) Hàm số xác định khi và chỉ khi cos  x −  ≠ 0 ⇔ x − ≠ + kπ ⇔ x ≠ + kπ , k ∈ ℤ . 3 3 2 6   5π  Vậy D = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ   6   π π π b) Hàm số xác định khi và chỉ khi sin  x +  ≠ 0 ⇔ x + ≠ kπ ⇔ x ≠ − + kπ , k ∈ ℤ . 6 6 6   π  Vậy D = ℝ \ − + kπ , k ∈ ℤ   6   π π π π kπ c) Hàm số xác định khi và chỉ khi cos  2 x +  ≠ 0 ⇔ x + ≠ + kπ ⇔ x ≠ ,k ∈ℤ . + 3 3 2 12 2   π kπ  Vậ y D = ℝ \  + , k ∈ ℤ 12 2  cos x ≠ 0 kπ d) Hàm số xác định khi và chỉ khi  ,k ∈ℤ . ⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 sin x ≠ 0  kπ  Vậ y D = ℝ \  , k ∈ ℤ   2  Bài 1.3. Tìm tập xác định các hàm số sau: 2x x a) y = cos b) y = tan x −1 3 1 d) y = sin 2 e) y = cos x + 1 x −1 3 sin x − cos2 x c) y = cot2x f) y = 2 cos x − cos3x 1 − sin x 3sin x − 7 i) y = 1 + cos x 2 cos x − 5 HD Giải 2x 2x a) Ta có y = cos xác định trên ℝ khi và chỉ khi ∈ ℝ ⇔ x −1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1. x −1 x −1 g) y = 2 Đại số và giải tích 11 h) y = 4 Chương I. HSLG & PTLG Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp 2x là D = ℝ \ {1} x −1 x x π 3π x b) Hàm số y = tan xác định khi và chỉ khi cos ≠ 0 ⇔ ≠ + kπ ⇔ x ≠ + k 3π , k ∈ ℤ . 3 3 3 2 2  3π  Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \  + k 3π , k ∈ ℤ  2  Vậy tập xác định của hàm số y = cos  kπ  c) Tập xác định của hàm số D = ℝ \  , k ∈ ℤ   2  d) Tập xác định của hàm số D = ℝ \ {−1;1} e) Ta có cos x + 1 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ . Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ f) Ta có cos x − cos3 x = −2 sin 2 x sin(− x ) = 4 sin 2 x cos x .  kπ  Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \  , k ∈ ℤ   2   π kπ  g) Ta có sin 2 x − cos2 x = − cos 2 x . Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \  + , k ∈ ℤ 4 2  h) Ta có 1 − sin x ≥ 0,1 + cos x ≥ 0 . Do đó hàm số xác định ∀x ∈ ℝ khi cos x ≠ −1 . Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \ {π + k 2π , k ∈ ℤ} i) Ta có 3sin x − 7 < 0, 2 cos x − 5 < 0 nên 3sin x − 7 > 0, ∀x ∈ ℝ . Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ 2 cos x − 5 Bài 1.4. Tìm tập xác định các hàm số sau: a) y = cos x d) y = cot x cos x − 1 1+ x 1− x b) y = sin e) y = 1 − cos 2 x 1 + cos2 2 x tan x + cot x f) y = 1 − sin 2 x c) y = 2 − cos x  π 1 + tan  x −  3  HD Giải a) Ta có y = cos x xác định trên ℝ khi và chỉ khi Vậy tập xác định của hàm số D = [0; +∞) x ∈ℝ ⇔ x ≥ 0 . 1+ x xác định trên ℝ khi và chỉ khi 1− x Vậy tập xác định của hàm số D = [−1;1) b) Ta có y = sin 1+ x 1+ x ∈ℝ ⇔ ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x < 1 . 1− x 1− x c) Ta có 1 − cos 2 x ≥ 0,1 + cos2 2 x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ . Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ sin x ≠ 0  x ≠ kπ cot x d) Hàm số y = xác định ⇔  ⇔ ⇔ x ≠ kπ ; k ∈ ℤ . cos x − 1 cos x ≠ 1  x ≠ k 2π Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ}   π  5π cos  x −  ≠ 0  x ≠ 6 + kπ 3 2 − cos x    e) Hàm số y = xác định ⇔  ;k ∈ℤ . ⇔  π π  π tan x − x ≠ 1 + tan  x −  + kπ ≠0    3  12 3      5π   π  Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \   + kπ  ∪  + kπ  ; k ∈ ℤ   12   6  Đại số và giải tích 11 5 Chương I. HSLG & PTLG Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp  kπ cos x ≠ 0 x ≠ 2 tan x + cot x   xác định ⇔ sin x ≠ 0 ⇔  f) Hàm số y = ;k ∈ℤ. 1 − sin 2 x sin 2 x ≠ 1  x ≠ π + kπ    4   kπ   π   Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \    ∪  + kπ  ; k ∈ ℤ    2   4  Dạng 2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số Nhắc lại kiến thức: Về tính chẵn, lẻ của hàm số y = f ( x ) Tìm tập xác định D của hàm số, kiểm chứng D là tập đối xứng hay không, tức là ∀x , x ∈ D ⇒ − x ∈ D (1) Tính f (− x ) và so sánh f (− x ) với f ( x ) : Nếu f (− x ) = f ( x ) thì f ( x ) là hàm số chẵn (2) (3) Nếu f (− x ) = − f ( x ) thì f ( x ) là hàm số lẻ Do vậy Nếu điều kiện (1) không nghiệm đúng thì f ( x ) là hàm số không chẵn, không lẻ trên D Nếu điều kiện (2) và (3) không nghiệm đúng thì f ( x ) là hàm số không chẵn, không lẻ trên D Để kết luận f ( x ) là hàm số không chẵn, không lẻ trên D, ta chỉ cần tìm một điểm x0 sao cho f (− x0 ) ≠ f ( x0 ) và f (− x0 ) ≠ − f ( x0 ) Lưu ý: vận dụng hai góc (cung) đối nhau của HSLG Bài 1.5. Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: cos x a) y = b) y = x – sinx x  3π  d) y = 1 + cos x.sin  − 2x  e) y = sinx.cos2x + tanx 2   g) y = sin 3 x − tan x h) y = c) y = 1 − cos x f) y = sinx – cosx tan x + cot x sin x HD Giải cos x có tập xác định D = ℝ \ {0} . Ta có ∀x , x ∈ D ⇒ − x ∈ D và x cos(− x ) cos x cos x =− = − f ( x ) . Vậy hàm số y = f ( x ) = là hàm số lẻ. f (− x ) = (− x ) x x b) Hàm số lẻ c) Là hàm số chẵn d) Là hàm số chẵn e) Là hàm số lẻ f) Hàm số y = f ( x ) = sin x − cos x có tập xác định D = ℝ . a) Hàm số y = f ( x ) = π  1 π   π 3  π 1 3 ta có : f   = − ; f −  = − − . Suy ra f   ≠ f  −  6 2 2 6 2 2  6 6  6 Vậy hàm số y = f ( x ) = sin x − cos x là hàm số không chẵn, không lẻ g) Là hàm số lẻ h) Là hàm số lẻ Lấy x = π Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định là D và hai hằng số M và m. Nếu ∀x ∈ D, f ( x ) ≤ M và ∃x 0 sao cho f ( x0 ) = M thì M gọi là GTLN của hàm số y = f ( x ) trên D và kí hiệu Max y = M D Nếu ∀x ∈ D, f ( x ) ≥ m và ∃x 0 sao cho f ( x0 ) = m thì m gọi là GTNN của hàm số y = f ( x ) trên D và kí Đại số và giải tích 11 6 Chương I. HSLG & PTLG Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp hiệu Min y = m D Chú ý: −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ 0 ≤ sin 2 x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ 0 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ 0 ≤ cos2 x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ 0 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ Bài 1.6. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau a) y = 2 cos x + 1 c) y = 2 (1 + cos x ) + 1 b) y = 3 − 2 sin x π  d) y = 3sin  x −  − 2 6  HD Giải cos x ≥ 0 a) y = 2 cos x + 1 . Điều kiện:  ⇔ 0 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ −1 ≤ cos x ≤ 1 Ta có: 0 ≤ cos x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 2 cos x ≤ 2 ⇔ 1 ≤ 2 cos x ≤ 3 hay 1 ≤ y ≤ 3 Vậy: Max y = 3 ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ ℤ ℝ π + kπ , k ∈ ℤ 2 b) y = 3 − 2 sin x . Tập xác định: D = ℝ Ta có: −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ 2 ≥ −2 sin x ≥ −2 ⇔ 2 + 3 ≥ 3 − 2 sin x ≥ −2 + 3 ⇔ 5 ≥ 3 − 2 sin x ≥ 1 hay 5 ≥ y ≥ 1 Min y = 1 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = ℝ Vậy: Max y = 5 ⇔ sin x = −1 ⇔ x = − ℝ Min y = 1 ⇔ sin x = 1 ⇔ x = ℝ π 2 π 2 + k 2π , k ∈ ℤ + k 2π , k ∈ ℤ c) y = 2 (1 + cos x ) + 1 . Tập xác định: D = ℝ Ta có: −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 1 + cos x ≤ 2 ⇔ 0 ≤ 2 (1 + cos x ) ≤ 4 ⇔ 0 ≤ 2 (1 + cos x ) ≤ 2 ⇔ 1 ≤ 2 (1 + cos x ) + 1 ≤ 3 Vậy: Max y = 3 ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ ℤ ℝ Min y = 1 ⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ ℤ ℝ Bài 1.7. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau π   π a) y = 2 cos  + x  + 3 b) y = cos x + cos  x −  3 3   d) y = cos 2 x + 2 cos 2 x e) y = 5 − 2 cos2 x.sin 2 x HD Giải c) y = 3 − 2 sin x f) 2 sin 2 x − cos 2 x π  a) Hàm số y = 2 cos  + x  + 3 có tập xác định là D = ℝ . 3  π  π  π  Ta có: −1 ≤ cos  + x  ≤ 1 ⇔ −2 ≤ 2 cos  + x  ≤ 2 ⇔ −1 + 3 ≤ 2 cos  + x  + 3 ≤ 2 + 3 3  3  3  π  ⇔ 1 ≤ 2 cos  + x  + 3 ≤ 5 hay 1 ≤ y ≤ 5 3  π  π Vậy: Max y = 5 khi cos  + x  = 1 ⇔ x = − + k 2π , k ∈ ℤ ℝ 3 3  π  2π Min y = −1 khi cos  + x  = −1 ⇔ x = + k 2π , k ∈ ℤ ℝ 3 3  Đại số và giải tích 11 7 Chương I. HSLG & PTLG Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp  π b) Hàm số y = cos x + cos  x −  có tập xác định là D = ℝ . 3     π π π π Ta có cos x + cos  x −  = 2 cos  x −  cos = 3 cos  x −  . 3 6 6 6     π Với mọi x ∈ ℝ ta luôn có: − 3 ≤ 3 cos  x −  ≤ 3 hay − 3 ≤ y ≤ 3 6   π π Vậy: GTLN của y là 3 , đạt đựơc khi cos  x −  = 1 ⇔ x = + k 2π ; k ∈ ℤ 6 6   π 7π GTNN của y là − 3 , đạt được khi cos  x −  = −1 ⇔ x = + k 2π ; k ∈ ℤ 6 6  c) Hàm số y = 3 − 2 sin x có tập xác định là D = ℝ . Ta có 0 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ −2 ≤ −2 sin x ≤ 0 ⇔ 1 ≤ 3 − 2 sin x ≤ 3 hay 1 ≤ y ≤ 3 Vậy: GTLN của y là 3, đạt được khi sin x = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ GTNN của y là 1, đạt được khi sin x = ±1 ⇔ x = ± π + kπ , k ∈ ℤ 2 d) Hàm số y = cos2 x + 2 cos 2 x có tập xác định là D = ℝ . 1 + cos 2 x 1 + 5 cos 2 x + 2 cos 2 x = . 2 2 1 + 5 cos 2 x Với mọi x ∈ ℝ ta luôn có: −2 ≤ ≤ 3. 2 Vậy: GTLN của y là 3, đạt được khi cos 2 x = 1 ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ Ta có cos2 x + 2 cos 2 x = GTNN của y là -2, đạt được khi cos 2 x = −1 ⇔ x = π 2 + kπ , k ∈ ℤ e) Hàm số y = 5 − 2 cos2 x.sin 2 x có tập xác định là D = ℝ . Ta có 1 5 − 2 cos2 x.sin 2 x = 5 − sin 2 2 x . 2 Vì 0 ≤ sin 2 2 x ≤ 1 nên − Vậy: GTLN của y là 1 1 9 1 3 2 ≤ − sin 2 2 x ≤ 0 ⇔ ≤ 5 − sin2 2 x ≤ 5 hay ≤y≤ 5. 2 2 2 2 2 5 , đạt được khi sin 2 2 x = 0 ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ π kπ 3 2 , đạt được khi sin 2 2 x = 1 ⇔ sin 2 x = ±1 ⇔ x = ± + ,k ∈ℤ 2 4 2 f) Hàm số y = 2 sin 2 x − cos 2 x = 1 − 2 cos 2 x có tập xác định là D = ℝ . Ta có −1 ≤ 1 − 2 cos 2 x ≤ 3 GTNN của y là π + kπ , k ∈ ℤ 2 GTNN của y là -1, đạt được khi cos 2 x = 1 ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ Vậy: GTLN của y là 3, đạt được khi cos 2 x = −1 ⇔ x = Bài 1.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: a) y = 3 + sin x cos x d) y = 3 5 − sin 2 x b) y = 4 − 2 cos2 x ( ) c) y = e) y = 1 − sin x 2 − 1 2 3 + cos x f) y = 4sin x HD Giải Đại số và giải tích 11 8 Chương I. HSLG & PTLG Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp π 7 , đạt được khi x = + kπ , k ∈ ℤ 2 4 π 5 GTNN của y là , đạt được khi x = − + kπ , k ∈ ℤ 2 4 a) GTLN của y là π + kπ , k ∈ ℤ 2 GTNN của y là 2, đạt được khi x = k 2π ∨ x = π + k 2π , k ∈ ℤ 2 c) Hàm số y = có tập xác định là D = ℝ . 3 + cos x 1 1 1 1 2 Ta có −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇔ 2 ≤ 3 + cos x ≤ 4 ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤1 4 3 + cos x 2 2 3 + cos x GTLN của y là 1, đạt được khi x = π + k 2π , k ∈ ℤ 1 GTNN của y là , đạt được khi x = k 2π , k ∈ ℤ 2 π 3 d) GTLN của y là , đạt được khi x = + kπ , k ∈ ℤ 4 2 3 GTNN của y là , đạt đươc khi x = kπ , k ∈ ℤ 5 b) GTLN của y là 4, đạt được khi x = ( ) e) Hàm số y = 1 − sin x 2 − 1 có tập xác định là D = ℝ . ( ) Với mọi x ∈ ℝ ta luôn có: −1 ≤ 1 − sin x 2 − 1 ≤ 2 − 1 . Vậy GTLN của y là 2 − 1 , đạt được khi x 2 = − π GTNN của y là −1 , đạt được khi x 2 = 2 π 2 + k 2π , k ≥ 1 + k 2π , k > 0  f) Hàm số y = 4sin x có tập xác định là D =  0; +∞ ) . Trên D ta có: −4 ≤ 4sin x ≤ 4 . x= Vậy: GTLN của y là 4, đạt được khi π 2 + k 2π , k ≥ 0 π + k 2π , k ≥ 1 2 Bài 1.9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: a) y = sin 4 x − cos4 x b) y = sin 4 x + cos4 x GTNN của y là −4 , đạt được khi x =− c) y = sin 2 x + 2 sin x + 6 d) y = cos4 x + 4 cos2 x + 5 HD Giải 4 4 2 2 2 a) y = sin x − cos x = sin x − cos x sin x + cos2 x = − cos 2 x . ( Mặt khác: −1 ≤ cos 2 x ≤ 1 )( ) π + kπ , k ∈ ℤ 2 GTNN của y là −1 , đạt được khi x = kπ , k ∈ ℤ GTLN của y là 1, đạt được khi x = ( b) y = sin 4 x + cos4 x = sin 2 x + cos2 x Mặt khác ) 2 1 − 2 sin 2 x cos2 x = 1 − sin 2 2 x . 2 1 1 ≤ 1 − sin 2 2 x ≤ 1 2 2 GTLN của y là 1, đạt được khi x = Đại số và giải tích 11 kπ ,k ∈ℤ 2 9 Chương I. HSLG & PTLG Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GTNN của y là GV. Lư Sĩ Pháp π kπ 1 , đạt được khi x = + ,k ∈ℤ 2 4 2 c) Ta có y = sin 2 x + 2 sin x + 6 = ( sin x + 1) + 5 . Mặt khác: 5 ≤ ( sin x + 1) + 5 ≤ 9 2 GTLN của y là 9, đạt được khi x = π 2 GTNN của y là 5, đạt được khi x = − ( 2 + k 2π , k ∈ ℤ π 2 + k 2π , k ∈ ℤ ) ( 2 ) 2 d) Ta có y = cos4 x + 4 cos2 x + 5 = cos2 x + 2 + 1 . Mặt khác: 5 ≤ cos2 x + 2 + 1 ≤ 10 GTLN của y là 10, đạt được khi x = kπ , k ∈ ℤ GTNN của y là 5, đạt được khi x = π 2 + kπ , k ∈ ℤ C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1.10. Tìm tập xác định của các hàm số sau tan x 1 a) y = b) y = 1 + tan x 3 cot 2 x + 1 e) y = 1+ cos9x + cot9x 1+ cos9x f) y = sin x 2 cos x + 2 c) y = g) y = 3sin x + 1 π  3 − 3cos  x +  6  tan 2 x − 1 1 + sin x + 1 Bài 1.11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhật của các hàm số sau  π a) y = 1 + cos 2 x − 5 c) y = 2 − 4 + 2 sin 5 x b) y = 4 + 5cos  3x +  3  π  e) y = 1 − 3sin  2 x −  3  Đại số và giải tích 11 f) y = 1 − 8sin 2 2 x g) y = 9 − 9 sin 9 x 10 d) y = h) y = d) y = sin x π  1 − cos  x +  4  2 − cot 3 x 1 − 1 + sin 3 x 3 +1 cot x + 1 2 h) y = sin 2 x − 5 Chương I. HSLG & PTLG Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp §2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Phương trình sin x = m (1) Nếu m > 1 : phương trình (1) vô nghiệm Nếu m ≤ 1 : Nếu α là một nghiệm của phương trình (1), nghĩa là sin α = m  x = α + k 2π sin x = m ⇔  ;k ∈ℤ  x = π − α + k 2π  x = α + k 360 0 Nếu số đo của α được cho bằng độ thì: sin x = m ⇔  ;k ∈ℤ 0 0  x = 180 − α + k 360  Nhận thấy, trong một công thức nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian. Chú ý:  π π − ≤ α ≤ i) Nếu số thực α thoả mãn điều kiện:  2 2 thì ta viết α = arcsin m . sin α = m   x = arcsin m + k 2π Khi đó: sin x = m ⇔  ,k ∈ℤ x = π − arcsin m + k 2π  ii) Các trường hợp đặc biệt π • + k 2π , k ∈ ℤ 2 m = 0 , phương trình sin x = 0 có nghiệm là x = kπ ; k ∈ ℤ • m = 1 , phương trình sin x = 1 có nghiệm là x = • m = −1 , phương trình sin x = −1 có nghiệm là x = − π 2 + k 2π ; k ∈ ℤ u = v + k 2π iii) Tổng quát: sin u = sin v ⇔  ,k ∈ℤ u = π − v + k 2π 2. Phương trình cos x = m (2) Nếu m > 1 : phương trình (2) vô nghiệm Nếu m ≤ 1 : Nếu α là một nghiệm của phương trình (2), nghĩa là cos α = m  x = α + k 2π cos x = m ⇔  ,k ∈ℤ  x = −α + k 2π  x = α + k 360 0 Nếu số đo của α được cho bằng độ thì: cos x = m ⇔  ,k ∈ℤ 0  x = −α + k 360  Chú ý: i) Nếu α thoả điều kiện 0 ≤ α ≤ π và cos α = m thì ta viết α = arccosm. Khi đó pt (2) có nghiệm là : x = ± arccos m + k 2π ; k ∈ ℤ ii) Các trường hợp đặc biệt khi m ∈ {0; ±1} • • • cos x = 0 ⇔ x = π + kπ , k ∈ ℤ 2 cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ ℤ cos x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ ℤ Đại số và giải tích 11 11 Chương I. HSLG & PTLG Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp u = v + k 2π ,k ∈ℤ iii) Tổng quát: cos u = cos v ⇔  u = − v + k 2π  π • + kπ , k ∈ ℤ 2 Nếu α là một nghiệm của phương trình (3), nghĩa là tan α = m thì tan x = m ⇔ x = α + kπ ; k ∈ ℤ • Nếu số đo của α được cho bằng độ thì tan x = m ⇔ x = α + k180 0 ; k ∈ ℤ • Nếu α thảo mãn điều kiện − • Các trường hợp đặc biệt biệt khi m ∈ {0; ±1} 3. Phương trình tan x = m (3) Điều kiện: x ≠ π π và tan α = m thì ta viết α = arctanm. Lúc đó nghiệm 2 2 của phương trình (3) là: x = arctan m + kπ , k ∈ ℤ <α < tan x = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ tan x = −1 ⇔ x = − tan x = 1 ⇔ x = • π 4 + kπ , k ∈ ℤ π + kπ , k ∈ ℤ 4 Tổng quát : tan u = tan v có nghiệm: u = v + kπ , k ∈ ℤ 4. Phương trình cot x = m (4) Điều kiện: x ≠ kπ , k ∈ ℤ • Nếu α là một nghiệm của phương trình (4), nghĩa là cot α = m thì cot x = m ⇔ x = α + kπ , k ∈ ℤ Nếu số đo của α được cho bằng độ thì cot x = m ⇔ x = α + k180 0 ; k ∈ ℤ Nếu α thảo mãn điều kiện 0 < α < π và cot α = m thì ta viết α = arc cot m . Lúc đó nghiệm của phương trình (4) là: x = arc cot m + kπ , k ∈ ℤ • Tổng quát : cot u = cot v có nghiệm: u = v + kπ , k ∈ ℤ Chú ý: Kể từ đây, ta qui ước rằng nếu trong một biểu thức nghiệm của phương trình lương giác có chứa k mà không giải thích gì thêm thì ta hiểu rằng k nhận mọi giá trị thuộc ℤ Ghi nhớ công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản Với u = u( x ), v = v( x ) và u, v làm cho biểu thức có nghĩa, k ∈ ℤ • • u = v + k 2π 1/ sin u = sin v ⇔  u = π − v + k 2π 3 / tan u = tan v ⇔ u = v + kπ u = v + k 2π 2 / cos u = cos v ⇔  u = − v + k 2π 4 / cot u = cot v ⇔ u = v + kπ B. BÀI TẬP Dạng 1. Giải phương trình lượng giác cơ bản - Các công thức nghiệm của bốn phương trình lượng giác cơ bản - Cung đối và cung bù Bài 2.1. Giải các phương trình sau: a) sin x = 1 2 b) sin x = − 3 2 x   π 1 1 e) sin  + 100  = − f) sin  2 x +  = − 2 6 2 2   c) sin x = 2 3  2x π  g) sin  − =0  3 3 HD Giải  π  π d) sin  2 x −  = sin  + x  5  5  π 1  h) sin  9 x −  = 3 2  1 π = sin . Phương trình đã cho tương đương với: 2 6 π π   x = + k 2π x = + k 2π   π 6 6 sin x = sin ⇔  ,k ∈ℤ ⇔ 6  x = π − π + k 2π  x = 5π + k 2π   6 6   a) Ta có: sin 300 = Đại số và giải tích 11 12 Chương I. HSLG & PTLG Toán 11 - http://www.toanmath.com/ Vậy phương trình có các nghiệm là: x = b) Ta có: − π 6 GV. Lư Sĩ Pháp + k 2π ; x = 5π + k 2π , k ∈ ℤ 6  π 3 π = − sin = sin  −  (áp dụng cung đối đưa dấu trừ vào trong _ sin(−α ) = − sin α ) 2 3  3  π  x = − 3 + k 2π  π Phương trình đã cho tương đương: ⇔ sin x = sin  −  ⇔  ,k ∈ℤ  x = 4π + k 2π  3  3  2 2 2 c) Vì < 1 nên có số α để sin α = ⇒ α = arcsin . Do đó: 3 3 3  2  x = arcsin 3 + k 2π  x = α + k 2π 2 sin x = ⇔ sin x = sin α ⇔  hay  ,k ∈ℤ 3  x = π − arcsin 2 + k 2π  x = π − α + k 2π  3   π π  2π 2 x − 5 = 5 + x + k 2π  x = 5 + k 2π π   π d) sin  2 x −  = sin  + x  ⇔  ,k ∈ℤ ⇔ π  π 5   x = π + k 2π  5  2 x − 5 = π −  5 + x  + k 2π  3 3     e) x = −800 + k 7200 và x = 400 0 + k 720 0 ; k ∈ ℤ f) x = − π 6 + kπ và x = π 2 + kπ ; k ∈ ℤ k 3π ;k ∈ℤ 2 2 7π k 2π π k 2π h) x = + ;x = ,k ∈ℤ + 18 9 54 9 Bài 2.2. Giải các phương trình sau: 2 1 a) cos x = b) cos x = − 2 2 g) x = π + c) cos x = 4 5  π  π d) cos  3 x −  = cos  + x  6  3   3x π  3 1 f) cos  −  = − 2 2  2 4  3x π  π 3  g) cos  −  = −1 h) cos  2 x −  = 3 2   2 6 HD Giải π   x = 4 + k 2π π 2 π a) Ta có: = cos . Phương trình đã cho tương đương với: cos x = cos ⇔  ,k ∈ℤ 4 2 4  x = − π + k 2π   4 ( ) e) cos 3 x − 450 = Vậy phương trình có nghiệm là x = ± b) Ta có: − π 4 + k 2π , k ∈ ℤ 1 π π 2π  (Áp dụng cung bù_ cos(π − α ) = − cos α ) = − cos = cos  π −  = cos 2 3 3 3  2π 2π ⇔x=± + k 2π , k ∈ ℤ 3 3 4 4 4 c) Vì < 1 nên có số α để cos α = ⇒ α = arccos . Do đó: 5 5 5 Phương trình đã cho tương đương với: cos x = cos Đại số và giải tích 11 13 Chương I. HSLG & PTLG Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp  4  x = arccos 5 + k 2π  x = α + k 2π 4 cos x = ⇔ cos x = cos α ⇔  hay  ,k ∈ℤ 5  x = − arc c os 4 + k 2π  x = −α + k 2π  5   π π  π 3x − 6 = 3 + x + k 2π  x = 12 + kπ π   π d) cos  3 x −  = cos  + x  ⇔  ,k ∈ ℤ ⇔ π  π 6   x = − π + kπ  3  3x − 6 = −  3 + x  + k 2π   24    3 x − 450 = 300 + k 3600  x = 250 + k1200 3 ,k ∈ℤ ⇔ cos 3 x − 450 = cos30 0 ⇔  ⇔ 0 0 0 0 0 2 3 x − 45 = −30 + k 360  x = 5 + k120    3 x π 2π  11π k 4π  2 − 4 = 3 + k 2π  x = 18 + 3  3x π   3x π  1 2π f) cos  −  = − ⇔ cos  −  = cos ,k ∈ℤ ⇔ ⇔ 2 3  3 x − π = − 2π + k 2π  x = − 5π + k 4π  2 4  2 4 2 4  3 18 3    3x π  3x π 7π g) cos  −  = −1 ⇔ − = π + k 2π ⇔ x = + k 4π , k ∈ ℤ 2 6 9  2 6 3 h) Vì > 1 nên phương trình đã cho vô nghiệm. 2 Bài 2.3. Giải các phương trình sau: 3 3 1 π  a) tan x = 3 b) tan x = − c) tan  − x  = tan 2 x d) tan ( x − 150 ) = e) tan 2 x = 3 3 2 4  HD Giải ( ) ( e) cos 3 x − 450 = a) tan x = 3 ⇔ tan x = tan π 3 ⇔x= ) π 3 + kπ , k ∈ ℤ 3 π  π ⇔ tan x = tan  −  ⇔ x = − + kπ , k ∈ ℤ 3 6  6 π π kπ π  c) tan  − x  = tan 2 x ⇔ − x = 2 x + kπ ⇔ x = − ,k ∈ℤ 4 12 3 4  3 d) tan ( x − 150 ) = ⇔ tan ( x − 150 ) = tan 300 ⇔ x − 150 = 300 + k1800 ⇔ x = 450 + k1800 , k ∈ ℤ 3 1 1 1 1 kπ e) tan 2 x = ⇔ 2 x = arctan + kπ ⇔ x = arctan + ,k ∈ℤ 2 2 2 2 2 Bài 2.4. Giải các phương trình sau: 3 3 π  a) cot x = b) cot x = − 3 c) cot  − x  = cot 2 x d) cot ( x − 150 ) = 3 e) cot 3 x = 3 5 4  HD Giải 3 π π a) cot x = ⇔ cot x = cot ⇔ x = + kπ , k ∈ ℤ 3 3 3 π  π b) cot x = − 3 ⇔ cot x = cot  −  ⇔ x = − + kπ , k ∈ ℤ 6  6 π π kπ π  c) cot  − x  = cot 2 x ⇔ − x = 2 x + kπ ⇔ x = − ,k ∈ℤ 4 12 3 4  b) tan x = − d) cot ( x − 150 ) = 3 ⇔ cot ( x − 150 ) = cot 300 ⇔ x − 150 = 300 + k1800 ⇔ x = 450 + k1800 , k ∈ ℤ e) cot 3 x = 3 3 1 3 kπ ,k ∈ℤ ⇔ 3 x = arc cot + kπ ⇔ x = arc cot + 5 5 3 5 3 Đại số và giải tích 11 14 Chương I. HSLG & PTLG Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp Bài 2.5. Giải các phương trình sau: sin 3 x 2π a) b) cot 3 x = tan =0 cos3 x − 1 5 π   2π  d) tan  + 12 x  = − 3 e) sin  x +  = cos3x 3   12   ( ) c) ( sin x + 1) 2 cos 2 x − 2 = 0  x f) tan 2 x + 450 tan  1800 −  = 1 2  ( ) HD Giải a) Điều kiện : cos3 x ≠ 1 . Ta có sin 3 x = 0 ⇔ 3 x = kπ . π Do điều kiện, các giá trị k = 2m, m ∈ ℤ bị loại, nên 3 x = (2m + 1)π ⇔ x = (2m + 1) , m ∈ ℤ 3 π Vậy nghiệm của phương trình là x = (2m + 1) , m ∈ ℤ 3 b) Nghiệm của phương trình là: x = π 30 π +k π 3 ,k ∈ℤ π + kπ , k ∈ ℤ 2 8 5π kπ d) Nghiệm của phương trình là: x = − ,k ∈ℤ + 144 12   2π  π e) sin  x +  = cos3 x ⇔ cos3 x − cos  x +  = 0 . Vậy nghiệm của phương trình: 3  6   c) Nghiệm của phương trình là: x = − x=− π 24 + + k 2π và x = ± kπ π ;x = + kπ , k ∈ ℤ 2 12   x x f) Với ĐKXĐ của phương trình, ta có tan 2 x + 450 = cot 450 − x và tan  180 0 −  = tan  −  nên 2   2   x x tan 2 x + 450 tan  180 0 −  = 1 ⇔ cot 450 − 2 x .tan  −  = 1 2   2 ( ( ) ( ) ( ) )  x ⇔ tan  −  = tan 450 − 2 x ⇔ x = 30 0 + k120 0 , k ∈ ℤ  2 ( ) Dạng 2. Tìm nghiệm của phương trình trên một khoảng, đoạn. - Giải phương trình và tìm nghiệm thỏa khoảng đề bài cho. Bài 2.6. Giải các phương trình sau trong khoảng đã cho: a) sin 2 x = − 1 với 0 < x < π 2 c) tan ( 2 x − 150 ) = 1 với −1800 < x < 900 3 với −π < x < π 2 b) cos( x − 5) = d) cot 3 x = − 1 3 với − π 2 - Xem thêm -

Tài liệu liên quan