ÔN THI VÀO 10 THEO CHUYÊN ĐỀ
Chuyªn ®Ò i: c¨n thøc bËc hai - bËc ba
C¸c phÐp biÕn ®æi c¨n thøc bËc hai- bËc ba
A. Nh÷ng c«ng thøc biÕn ®æi c¨n thøc:
1) A A
2) AB A. B ( víi A 0 vµ B 0 )
2
3)
A
A
B
B
4)
5)
A2 B A
( víi A 0 vµ B > 0 )
(víi B 0 )
B A 2 B ( víi A 0 vµ B 0 )
B A 2 B ( víi A < 0 vµ B 0 )
A
A
B
6)
A
AB
B
B
( víi AB 0 vµ B 0 )
7)
A
( víi B > 0 )
8)
9)
B
A B
B
C
A B
C
A B
C ( A B )
A B2
B. Bµi tËp c¬ b¶n:
( Víi A 0 vµ A B2 )
C( A B )
A B
( víi A 0, B 0 vµ A B
Bµi 1: T×m §KX§ cña c¸c biÓu thøc sau:
a)
b)
2x 3
HD: a)
x
3
2
b)
3
2x 1
x
2
c)
1
2
c)
x1
x 0
x 1
d) x 0
Bµi 2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö ( víi x 0 )
a) 2 3 6 8
b) x2 - 5
c) x - 4
HD: a) 2 3 2 1
b) x 5 x 5 c) x 2
Bµi 3: §a c¸c biÓu thøc sau vÒ d¹ng b×nh ph¬ng.
a) 3 2 2
b) 3 8
c) 9 4 5
HD: a) 2 1
b) 2 1
c) 5 2
Bµi 4: Rót gän c¸c biÓu thøc sau:
2
a) 4
HD: a)
17
2
17 4
2
b)
c)
2 3 28
b)
2
2
x 2
2
6 14
c)
x
x2 5
x 5
(víi x 5)
d)
5
1
2x 2
d)
x
d)
d)
d)
d)
x
x 1 x
x 1
23 8 7
4
d)
7
x
2
x 1
x 1
x 1
Bµi 5: T×m gi¸ trÞ cña x Z ®Ó c¸c biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn.
1
x 1
( víi
x 0, x 1 )
a)
3
x 2
( víi x 0)
x 5
b)
x 1
( víi x
0)
4)
HD: a) x 1
b) x 0;1;9
Bµi 6: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh sau:
a)
b)
x 5 3
HD: a) x = 14
b)
3 2x 5
1 x
x 3
c)
x 3
3
2
x 2
c)
x 2
c)
x 0;1;9;16;36
d)
2
3
x1
c) x = 81
x x 1
x 1
a)T×m §KX§ vµ rót gän A.
x 1
x 1
9
4
b) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A khi x =
.
c) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó A < 1.
HD: a) §KX§ lµ:
x 0
, rót gän biÓu thøc ta cã: A =
x 1
9
th× A =
4
0 x 1 .
b) x =
c)
x
x 1
.
3
Bµi 2: Cho biÓu thøc: B =
x 1
x 2
2 x
x 2
25 x
x 4
a) T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh vµ rót gän biÓu thøc B.
b) T×m x ®Ó B = 2.
HD: a) §iÒu kiÖn:
x 0
x 4
, rót gän biÓu thøc ta cã: B =
3 x
x 2
c) B = 2 x = 16.
Bµi 3: Cho biÓu thøc: C =
1
1 a 1
:
a a 2
a1
a 2
a 1
a) T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh vµ rót gän biÓu thøc C.
b) T×m gi¸ trÞ a ®Ó C d¬ng.
a 0
HD: a) §iÒu kiÖn: a 4 , rót gän biÓu thøc ta cã: C =
a 1
2
1
d) 1 x 16
C. Bµi tËp tæng hîp:
Bµi 1: Cho biÓu thøc: A =
( víi x
a 2
3 a
.
0 vµ x
b) C d¬ng khi a > 4.
Bµi 4: Cho biÓu thøc D =
x
x 2
x 4
.
x 2 4 x
x
a) T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh vµ rót gän biÓu thøc D.
b) TÝnh gi¸ trÞ cña D khi x = 6 2 5 .
HD: a) §iÒu kiÖn:
b) D =
x 0
x 4
, rót gän biÓu thøc ta cã: D =
x
.
5 1
x
Bµi 5: Cho biÓu thøc E =
x 1
x
x1
3 x
x 1
a) T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh vµ rót gän biÓu thøc E.
b) T×m x ®Ó E = -1.
HD: a) §iÒu kiÖn:
c) x = 4.
x 0
x 1
Bµi 6: Cho biÓu thøc:
,rót gän biÓu thøc ta cã: E =
2
F =
x 2
3
1
x
.
2
x4 x 4
.
8
x 2
a) Tìm TXÑ roài ruùt goïn bieåu thöùc F.
b) Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc F khi x=3 + 8 ;
c) Tìm giaù trò nguyeân cuûa x ñeå bieåu thöùc F coù giaù trò nguyeân ?
HD: a) §KX§:
x 0
,rót gän biÓu thøc ta cã:
x 4
b) x = 3+ 8 3 2 2 2 1
A= 2 2 1
c) BiÓu thøc A nguyªn khi: x
x 2
F=
x 2
2
2 4;2;1
x = {0; 1; 9; 16; 36}
D. Bµi tËp luyÖn tËp:
Bµi1: Cho biÓu thøc :
P
1
a 2
5
a 3 a a 6 2 a
a) T×n §KX§ vµ rót gän P.
b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi: a = 7
c) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P < 1.
Bµi2 : Cho biÓu thøc: Q=
1
a1
4 3
.
1 a 1
:
a a 2
a. Rót gän Q.
3
a 2
a 1
b. T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó Q d¬ng.
2 x 9
Bµi3: Cho biÓu thøc: A =
x 5 x 6
x 3
x 2
2 x 1
3
a, T×m §KX§ vµ rót gän biÓu thøc A.
b, T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó A > 1.
c, T×m c¸c gi¸ trÞ cña x Z ®Ó A Z.
Bµi4 : Cho biÓu thøc: C =
x
1
3
2
x 1 x x 1 x x 1
a, T×m §KX§ vµ rót gän biÓu thøc C.
b, T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó C = 1.
Bµi5: Cho biÓu thøc: M =
x 2
x 2 (1 x) 2
.
x 1
2
x 2 x 1
a) Rót gän M.
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó M d¬ng.
c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña M.
Bµi6: Cho biÓu thøc: P =
x
x1
1
x
:
x
1
x 1
2
x 1
a) T×m §KX§ vµ rót gän P
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P > 0
c) T×m x ®Ó P = 6.
Chuyªn ®Ò II
PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
(Bậc nhất)
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Phương trình bậc nhất một ẩn
-Quy đồng khử mẫu.
-Đưa về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0)
b
-Nghiệm duy nhất là x
a
2.Phương trình chứa ẩn ở mẫu
-Tìm ĐKXĐ của phương trình.
-Quy đồng và khử mẫu.
-Giải phương trình vừa tìm được.
-So sánh giá trị vừa tìm được với ĐKXĐ rồi kết luận.
3.Phương trình tích
Để giái phương trình tích ta chỉ cần giải các phương trình thành phần của nó. Chẳng
A x 0
�
�
B x 0
hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) = 0 � �
�
C x 0
�
4.Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình)
Dạng phương trình này sau khi biến đổi cũng có dạng ax + b = 0. Song giá trị cụ thể
của a, b ta không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm của phương trình.
4
b
.
a
-Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.
-Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm.
5.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối
-Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x
A khi A �0
�
Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối của một biểu thức: A �
A khi A 0
�
6.Hệ phương trình bậc nhất
Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số và thế. Chú ý phương pháp
đặt ẩn phụ trong một số trường hợp xuất hiện các biểu thức giống nhau ở cả hai phương
trình.
7.Bất phương trình bậc nhất
Với bất phương trình bậc nhất thì việc biến đổi tương tự như với phương trình bậc
nhất. Tuy nhiên cần chú ý khi nhân và cả hai vế với cùng một số âm thì phải đổi chiều bất
phương trình.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Giải các phương trình sau
7x
20x 1,5
5 x 9
a) 2 x 3 1 2 x 1 9
b)
8
6
13
1
6
2
c)
d) x 3 3 x 7 10 (*)
2
2x x 21 2x 7 x 9
Giải
a) 2 x 3 1 2 x 1 9 � 2x 5 2x 7 � 5 7 (Vô lý)
Vậy phương trình vô nghệm.
7x
20x 1,5
5 x 9
� 21x 120x 1080 80x 6 � 179x 1074 � x 6 Vậy
8
6
phương trình có nghiệm x = 6.
b)
13
1
6
13
1
6 �
2
x 3 2x 7 2x 7 x 3 x 3
2x x 21 2x 7 x 9
7
ĐKXĐ: x ��3; x �
2
� 13 x 3 x 3 x 3 6 2x 7 � 13x 39 x 2 9 12x 42
c)
2
x 3 �DKXD
�
� x 2 x 12 0 � x 3 x 4 0 � �
x 4 �DKXD
�
Vậy phương trình có nghiệm x = - 4.
5
d) Lập bảng xét dấu
x
x–3
0
+
+
x-7
-Xét x < 3:
3
7
-
-
0
(*) � 3 x 3 7 x 10 � 24 4x 10 � 4x 14 � x
+
7
(loại)
2
-Xét 3 �x 7 :
(*) � x 3 3 7 x 10 � 2x 18 10 � 2x 8 � x 4 (t/mãn)
-Xét x �7 :
17
(*) � x 3 3 x 7 10 � 4x 24 10 � 4x 34 � x
(loại)
2
Vậy phương trình có nghiệm x = 4.
VD2.Giải và biện luận phương trình sau
x a b x b a b2 a 2
a)
(1)
a
b
ab
a x 2 1
ax
1
2
b)
(2)
2
x 1 x 1
x 1
Giải
a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0.
(1) � b x a b a x b a b 2 a 2
� bx ab b 2 ax ab a 2 b 2 a 2
� b a x 2 b a b a
2 b a b a
2 b a
ba
-Nếu b – a = 0 � b a thì phương trình có vô số nghiệm.
Vậy:
-Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a).
-Với b = a, phương trình có vô số nghiệm
b) ĐKXĐ: x ��1
-Nếu b – a ≠ 0 b a thì x
6
(2) � ax-1 x 1 2 x 1 a x 2 1
� ax 2 ax x 1 2x 2 ax 2 a
� a 1 x a 3
a 3
a 1
-Nếu a + 1 = 0 � a 1 thì phương trình vô nghiệm.
Vậy:
-Nếu a + 1 ≠ 0 a
1 thì x
-Với a ≠ -1 và a ≠ -2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x
a 3
a 1
-Với a = -1 hoặc a = -2 thì phương trình vô nghiệm.
VD3.Giải các hệ phương trình sau
1
5
�1
�
�x 5y 7
�x y x y 8
a) �
b) �
3x 2y 4
�
�1 1 3
�
�x y x y 8
�x 2y 3z 2
�
c) �x 3y z 5
�x 5y 1
�
�x 7 5y
�x 5y 7
�x 7 5y
�x 7 5y
�x 2
��
��
��
��
Giải a) �
3 7 5y 2y 4 �
3x 2y 4 �
21 17y 4 �y 1
�
�y 1
3x 15y 21 �
17y 17
�x 5y 7
�
�y 1
��
��
��
hoặc �
3x 2y 4
3x 2y 4
3x 2y 4
x2
�
�
�
�
b) ĐK: x ��y
1
1
u;
v
đặt
xy
xy
5
2v 1
u v 8
Khi đó, có hệ mới
5
3
u
v
u v
8
8
x y 8
x 5
Thay trở lại, ta được:
x y 2
y 3
1
v 2
u 1
8
x 1 5y
x6
�x 2y 3z 2 �x 1 5y
�
�
�
�
�
�
1 5y 2y 3z 2 � �
7y 3z 1 � �y 1
c) �x 3y z 5 � �
�x 5y 1
�
�
�
1 5y 3y z 5
2y z 4
z2
�
�
�
�
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Giải các phương trình sau
7
a) 3 x 4 5 x 2 4 3x 1 82
x 1 x 2 x 3 x 4
65
64
63
62
x2 1
2
e)
x 2 x x x 2
c)
x 17 3x 7
2
5
4
x 1
x
7x 3
d)
x 3 x 3 9 x2
b)
f) x 3 5
g) 3x 1 2x 6
h) 2 x 3 2x 1 4
i) 5 3x x 3 3x 1 x 2
k)
4x 3 x 1 2x 3 x 2
3
6
2
4
2.Giải và biện luận các phương trình sau
a)
xa
xb
b
a
a
b
ax-1 x a a 2 1
c)
a+1 1 a a 2 1
b) a 2 x 1 3a x
d)
a
1
a 1 a 1
x a x 1 x a x 1
3.Giải các hệ phương trình sau
�x y 24
�
a) �x y
8
2
�
9
�9 7
3x 4y 5 0
�
b) �
2x 5y 12 0
�
�
2u 2 v 2 7
�
c) � 2
u 2v 2 66
�
m n p 21
�
�
n p q 24
�
d) �
p q m 23
�
�
q m n 22
�
�
m 1 x y 3
4.Cho hệ phương trình �
mx y m
�
a) Giải hệ với m = - 2
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x + y dương.
Chuyªn ®Ò iii
Hµm sè vµ ®å thÞ
i.KiÕn thøc c¬ b¶n
1.Hµm sè
a. Kh¸i niÖm hµm sè
NÕu ®¹i lîng y phô thuéc vµo ®¹i lîng thay ®æi x sao cho víi mçi gi¸ trÞ cña x ta
lu«n x¸c ®Þnh ®îc chØ mét gi¸ trÞ t¬ng øng cña y th× y ®îc gäi lµ hµm sè t¬ng øng
cña x vµ x ®îc gäi lµ biÕn sè
Hµm sè cã thÓ cho bëi b¶ng hoÆc c«ng thøc
b. §å thÞ hµm sè
- §å thÞ hµm sè y = f(x) lµ tËp hîp tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm M trong mÆt ph¼ng täa ®é cã täa ®é
tháa m·n ph¬ng tr×nh y = f(x) (Nh÷ng ®iÓm M(x, f(x)) trªn mÆt ph¼ng täa ®é)
c. Hµm sè ®ång biÕn, hµm sè nghÞch biÕn
* Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cña x thuéc R
NÕu x1 < x2 mµ f(x1) < f(x2) th× hµm sè y = f(x) ®ång biÕn trªn R
NÕu x1 < x2 mµ f(x1) > f(x2) th× hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn trªn R
1.1Hµm sè bËc nhÊt
a. Kh¸i niÖm hµm sè bËc nhÊt
8
- Hµm sè bËc nhÊt lµ hµm sè ®îc cho bëi c«ng thøc y = ax + b. Trong ®ã a, b lµ c¸c sè cho
tríc vµ a �0
b. TÝnh chÊt
Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cña x thuéc R vµ cã tÝnh chÊt sau:
§ång biÕn trªn R khi a > 0
NghÞch biÕn trªn R khi a < 0
c. §å thÞ cña hµm sè y = ax + b (a �0)
§å thÞ cña hµm sè y = ax + b (a �0) lµ mét ®êng th¼ng
C¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng b
Song song víi ®êng th¼ng y = ax, nÕu b �0, trïng víi ®êng th¼ng y = ax, nÕu b = 0
* C¸ch vÏ ®å thÞ hµm sè y = ax + b (a �0)
Bíc 1. Cho x = 0 th× y = b ta ®îc ®iÓm P(0; b) thuéc trôc tung Oy.
Cho y = 0 th× x = -b/a ta ®îc ®iÓm Q(-b/a; 0) thuéc trôc hoµnh
Bíc 2. VÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm P vµ Q ta ®îc ®å thÞ hµm sè y = ax + b
d. VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng th¼ng
Cho hai ®êng th¼ng (d): y = ax + b (a �0) vµ (d’): y = a’x + b’ (a’ �0). Khi ®ã
a a'
�
b �b '
�
+ d // d ' � �
+ d '�d۹' A
a
a'
a a'
�
b b'
�
+ d �d ' � �
+ d d ' � a.a ' 1
e. HÖ sè gãc cña ®êng th¼ng y = ax + b (a �0)
Gãc t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b vµ trôc Ox.
- Gãc t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b vµ trôc Ox lµ gãc t¹o bëi tia Ax vµ tia AT, trong ®ã A
lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng y = ax + b víi trôc Ox, T lµ ®iÓm thuéc ®êng th¼ng y = ax +
b vµ cã tung ®é d¬ng
HÖ sè gãc cña ®êng th¼ng y = ax + b
- HÖ sè a trong ph¬ng tr×nh y = ax + b ®îc gäi lµ hÖ sè gãc cña ®êng th¼ng y = ax +b
f. Mét sè ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng
§êng th¼ng ®i qua ®iÓm M0(x0;y0)cã hÖ sè gãc k: y = k(x – x0) + y0
-
§êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(x0, 0) vµ B(0; y0) víi x0.y0 �0 lµ
x
y
1
x0 y0
1.2Hµm sè bËc hai
a. §Þnh nghÜa
- Hµm sè cã d¹ng y = ax2 (a �0)
b. TÝnh chÊt
- Hµm sè y = ax2 (a �0) x¸c ®inh víi mäi gi¸ trÞ cña c thuéc R vµ:
+ NÕu a > 0 th× hµm sè nghÞch biÕn khi x < 0, ®ång biÕn khi x > 0
+ NÕu a < 0 th× hµm sè ®ång biÕn khi x < 0, nghÞch biÕn khi x > 0
c. §å thÞ cña hµm sè y = ax2 (a �0)
- §å thÞ hµm sè y = ax2 (a �0) lµ mét Parabol ®i qua gèc täa ®é nhËn trôc Oy lµm trôc ®èi
xøng
+ NÕu a > 0 th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh, O lµ ®iÓm thÊp nhÊt cña ®å thÞ
+ NÕu a < 0 th× ®å thÞ n»m phÝa dêi trôc hoµnh, O lµ ®iÓm cao nhÊt cña ®å thÞ
2.KiÕn thøc bæ xung
2.1 C«ng thøc tÝnh to¹ ®é trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng vµ ®é dµi ®o¹n th¼ng
Cho hai ®iÓm ph©n biÖt A víi B víi A(x1, y1) vµ B(x2, y2). Khi ®ã
§é dµi ®o¹n th¼ng AB ®îc tÝnh bëi c«ng thøc
9
AB ( xB x A )2 ( yB y A )2
-
Täa ®é trung ®iÓm M cña AB ®îc tÝnh bëi c«ng thøc
xM
x A xB
y yB
; yM A
2
2
2.2 Quan hÖ gi÷a Parabol y = ax2 (a �0) vµ ®êng th¼ng y = mx + n (m �0)
Cho Parabol (P): y = ax2 (a �0) vµ ®êng th¼ng (d): y = mx + n. Khi ®ã
Täa ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh
�y ax 2
�
�y mx n
Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
ax2= mx + n (*)
Sè giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*)
+ NÕu (*) v« nghiÖm th× (P) vµ (d) kh«ng cã ®iÓm chung
+ NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau
+ NÕu (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt th× (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt
II. Bµi tËp mÉu:
Bµi 1: Cho hµm sè: y = (m + 4)x - m + 6 (d).
a. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hµm sè ®ång biÕn, nghÞch biÕn.
b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m, biÕt r»ng ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(-1; 2). VÏ ®å thÞ cña
hµm sè víi gi¸ trÞ t×m ®îc cña m.
c. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 2.
d. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng 2.
e. Chøng minh r»ng khi m thay ®æi th× c¸c ®êng th¼ng (d) lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm
cè ®Þnh.
-
Bµi 2: Cho hai ®êng th¼ng:
y = (k - 3)x - 3k + 3 (d1) vµ y = (2k + 1)x + k + 5 (d2).
T×m c¸c gi¸ trÞ cña k ®Ó:
a. (d1) vµ (d2) c¾t nhau.
b. (d1) vµ (d2) c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung.
c. (d1) vµ (d2) song song víi nhau.
d. (d1) vµ (d2) vu«ng gãc víi nhau.
e. (d1) vµ (d2) trïng nhau.
Bµi 3: Cho hµm sè: y = (2m-5)x+3 víi m ≠
cã ®å thÞ lµ ®êng th¼ng d .
T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó :
a. Gãc t¹o bëi (d) vµ trôc Ox lµ gãc nhän, gãc tï ( hoÆc hµm sè ®ång biÕn , nghÞch biÕn)
b. (d) ®i qua ®iÓm (2;-1)
c. (d)// víi ®êng th¼ng y =3x-4
d. (d) // víi ®êng th¼ng 3x+2y = 1
e. (d) lu«n c¾t ®êng th¼ng 2x-4y-3 =0
f. (d) c¾t ®êng th¼ng 2x+ y = -3 t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng -2
g. Chøng tá (d) lu«n ®i qua 1 ®iÓm cè ®Þnh trªn trôc tung
Bµi 4: cho (p) y = 2x2 vµ ®êng th¼ng (d) y = (2m-1)x – m2-9 . T×m m ®Ó :
a. §êng th¼ng(d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt
b. (d) tiÕp xóc víi (P)
c. (d) vµ (P) kh«ng giao nhau.
1
2
Bài 5: Cho hàm số: y = x 2 có đồ thị (P).
a) Tìm các điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt bằng –1 và 2.
10
b) Viết phương trình đường thẳng AB.
c) Viết phương trình đường thẳng song song với AB và tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp
điểm.
Bài 6: Cho hàm số: y = (m + 1)x2 có đồ thị (P).
a) Tìm m để hàm số đồng biến khi x > 0.
b) Với m = – 2. Tìm toạ độ giao điểm của (P) với đường thẳng (d): y = 2x – 3.
c) Tìm m để (P) tiếp xúc với (d): y = 2x – 3. Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 7: Chứng tỏ đường thẳng (d) luôn tiếp xúc với Parabol (P) biết:
a) (d): y = 4x – 4; (P): y = x2.
b) (d): y = 2x – 1; (P): y = x2.
Bài 8:
8.1) Chứng tỏ rằng đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt:
a) (d): y = –3x + 4; (P): y = x2.
b) (d): y = – 4x + 3; (P): y = 4x2.
8.2) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) trong các trường hợp trên.
Bài 9: Cho Parabol (P) có phương trình: y = ax2 và hai đường thẳng sau:
4
3
(d1): y x 1
a)
b)
c)
d)
(d2): 4x + 5y – 11 = 0
Tìm a biết (P), (d1), (d2) đồng quy.
Vẽ (P), (d1), (d2) trên cùng hệ trục tọa độ với a vừa tìm được.
Tìm tọa độ giao điểm còn lại của (P) và (d2).
Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và vuông góc với (d1).
1
2
Bài 10: Cho Parabol (P): y x 2 và đường thẳng (d): y = 2x + m + 1.
a)
b)
c)
d)
Tìm m để (d) đi qua điểm A thuộc (P) có hoành độ bằng – 2.
Tìm m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm
Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ cùng dương.
Tìm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm có hoành độ x 1 x2 thỏa mãn:
1 1 1
x12 x22 2
Bài 11: Cho hàm số: y = ax2 có đồ thị (P) và hàm số: y = mx + 2m + 1có đồ thị (d).
a) Chứng minh (d) luôn đi qua một điểm M cố định.
b) Tìm a để (P) đi qua điểm cố định đó.
c) Viết phương trình đường thẳng qua M và tiếp xúc với Parabol (P).
Chuyªn ®Ò iv: ph¬ng tr×nh bËc hai
PHẦN I KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG
1. Công thức nghiệm:
Phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có = b2- 4ac
+Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm
11
+Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
b
2a
+Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =
b
;
2a
x2 =
b
2a
2. Công thức nghiệm thu gọn:
Phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có ’=b’ 2- ac ( b =2b’ )
+Nếu ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm
+Nếu ’= 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
b
a
+Nếu ’> 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =
b '
;
a
x2 =
b '
a
3. Hệ thức Vi-ét
a) Định lí Vi-ét:
Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a0)
thì : S = x1+x2 =
b
c
; P = x1.x2 =
a
a
b) Ứng dụng:
+Hệ quả 1:
Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có: a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x 1 =
1; x2 =
c
a
+Hệ quả 2:
Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x 1 =
-1; x2 =
c
a
c) Định lí: (đảo Vi-ét)
Nếu hai số x1; x2 có x1+x2= S ; x1.x2 = P thì x1; x2 là nghiệm của phương trình : x2- S
x+P = 0
(x1 ; x2 tồn tại khi S2 – 4P 0)
Chú ý:
+ Định lí Vi-ét chỉ áp dụng được khi phương trình có nghiệm (tức là ≥ 0)
+ Nếu a và c trái dấu thì phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu
PHẦN II. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
II. TOÁN TỰ LUẬN
LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG ÁP DỤNG CÔNG THỨC VÀO TÍNH TOÁN
12
Bài 1:
Giải phương trình
a) x2 - 49x - 50 = 0
b) (2- 3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3 = 0
Giải:
a) Giải phương trình x2 - 49x - 50 = 0
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 1; b = - 49; c = 50)
= (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601; = 51
Do > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1
( 49) 51
( 49) 51
1 ; x2
50
2
2
+ Lời giải 2: Ứng dụng của định lí Viet
Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0
Nên phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 =
50
50
1
+ Lời giải 3: = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601
Theo định lí Viet ta có :
x1 x2 49 ( 1) 50
x 1
1
x1.x2 49 50 ( 1).50 x2 50
Vậy phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 =
50
50
1
b) Giải phương trình (2- 3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3 = 0
Giải:
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 2- 3 ; b = 2 3 ; c = – 2 – 3 )
= (2 3 )2- 4(2- 3 )(– 2 – 3 ) = 16; = 4
Do > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1
2 3 4
2 3 4
1 ; x2
(7 4 3 )
2(2 3 )
2(2 3 )
+ Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn
(a = 2- 3 ; b’ = 3 ; c = – 2 – 3 )
’ = ( 3 )2- (2- 3 )(– 2 – 3 ) = 4; = 2
Do ’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1
3 2
3 2
1 ; x2
(7 4 3 )
2 3
2 3
+ Lời giải 3: Ứng dụng của định lí Viet
Do a + b + c = 2- 3 + 2 3 + (- 2 - 3 ) = 0
Nên phương trình có nghiệm:
13
x1 = 1; x1 =
2 3
(7 4 3 )
2 3
*Yêu cầu:
+ Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng công thức
+ Áp dụng đúng công thức (không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót)
+ Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng công thức và tính toán
* Bài tương tự:
Giải các phương trình sau:
2
1. 3x – 7x - 10 = 0
5. x2 – (1+ 2 )x + 2 = 0
2. x2 – 3x + 2 = 0
6. 3 x2 – (1- 3 )x – 1 = 0
2
3. x – 4x – 5 = 0
7.(2+ 3 )x2 - 2 3 x – 2 + 3 = 0
4. 3x2 – 2 3 x – 3 = 0
Bài 2:
Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Giải
Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phương trình
x2 – 42x + 441 = 0 (*)
Ta có: ’ = (- 21)2- 441 = 0
Phương trình (*) có nghiệm x1 = x2 = 21
Vậy u = v = 21
*Bài tương tự:
1. Tìm hai số u và v biết:
a) u+v = -42 và u.v = - 400
b) u - v = 5 và u.v = 24
c) u+v = 3 và u.v = - 8
d) u - v = -5 và u.v = -10
2. Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng 30m2
Bài 3: Giải các phương trình sau
(phương trình quy về phương trình bậc hai)
a) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0
b)
2x
x2 x 8
x 1 ( x 1)( x 4)
c) 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2
d) 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0
Giải
a) Giải phương trình x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 (1)
(1) (x2 - 2)(x + 3) = 0 (x + 2 )(x - 2 )(x + 3) = 0
x=- 2;x= 2;x=-3
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = - 2 ; x = 2 ; x = - 3
2x
x2 x 8
b) Giải phương trình
(2)
x 1 ( x 1)( x 4)
Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì
(2) 2x(x- 4) = x2 – x + 8 x2 – 7x – 8 = 0 (*)
14
Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phương trình (*) có nghiệm x 1 = -1(không thoả mãn
ĐK) ; x2 = 8 (thoả mãn ĐK)
Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8
c) Giải phương trình 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3)
Ta có: (3) 5x4 – 3x2 – 26 = 0
Đặt x2 = t (t 0) thì (3) 5t2 – 3t – 26 = 0
Xét = (-3)2 – 4.5.(-26) = 529. = 23
( 3) 23 13
(thoả mãn t 0) ;
2.5
5
( 3) 23
2 (loại)
t2 =
2.5
Nên: t1 =
Với t =
13
13
13
x2 = x =
5
5
5
13
; x2 =
5
Vậy phương trình (3) có nghiệm x1 =
13
5
d) Giải phương trình 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0 (4)
Đặt x2+x = t . Khi đó (4) 3t2 – 2t – 1 = 0
Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nên t1 = 1; t2 =
1
3
t1 = 1 x2+x = 1 x2 + x – 1 = 0
1 = 12 - 4.1.(-1) = 5 > 0. Nên x1 =
t2 =
1 5
1 5
; x2 =
2
2
1
1
x2+x = 3x2 + 3x + 1 = 0 (*)
3
3
2 = 32 - 4.3.1 = -3 < 0 . Nên (*) vô nghiệm
Vậy phương trình (4) có nghiệm x1 =
1 5
1 5
; x2 =
2
2
* Bài tương tự: Giải các phương trình sau:
1. x3+3x2+3x+2 = 0
7. (x2 – 4x + 2)2 + x2 - 4x - 4 = 0
2
2. (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - x + 5)2
1
1
x
8.
4 x 3 0
3. x4 – 5x2 + 4 = 0
x
x
4. 0,3 x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0
x2
6
3
9.
5. x3 + 2 x2 – (x - 3)2 = (x-1)(x2-2
x 5
2 x
6.
x
x 1
10.
3
x 1
x
Bài 4:
Cho phương trình x2 + 3 x - 5 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 .
Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
1
1
A= x x ;
2
2
B = x12 + x22 ;
C=
1
1
2;
2
x2
x2
15
D = x 1 3 + x2 3
Giải
Do phương trình có 2 nghiệm là x1 và x2 nên theo định lí Viet ta có:
x1 + x2 = 3 ;
x1.x2 = 5
A=
x x2
1
1
1
x2
x2
x1 .x 2
3
5
1
15 ;
5
B = x12 + x22 = (x1+x2)2- 2x1x2= ( 3 ) 2 2( 5 ) 3 2 5
x12 x 22 3 2 5 1
(3 2 5 ) ;
C= 2 2
x1 .x 2
( 5 ) 2 5
D = (x1+x2)( x12- x1x2 + x22) = ( 3 )[3 2 5 ( 5 )] (3 3 3 15 )
* Bài tương tự:
Cho phương trình x2 + 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 .
Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
1
1
A= x x ;
2
2
E=
B = x12 + x22 ;
C=
1
1
2;
2
x2
x2
D = x 1 3 + x2 3
6 x12 10 x1 x 2 6 x 22
3 x12 5 x1 x 2 3 x 22
;
F
=
5 x1 x 23 5 x13 x 2
4 x1 x 22 4 x12 x 2
LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG SUY LUẬN
(Phương trình bậc hai chứa tham số)
Bài 1: (Bài toán tổng quát)
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) 0
2. Vô nghiệm < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu > 0 và P < 0 a.c < 0
7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a.c < 0 và S > 0
(ở đó: S = x1+ x2 =
b
c
; P = x1.x2 = )
a
a
16
* Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm ra điều kiện tổng quát, giúp học sinh chủ động
khi giải loại toán này
Bài 2: Giải phương trình (giải và biện luận): x2- 2x+k = 0 ( tham số k)
Giải
’ = (-1)2- 1.k = 1 – k
Nếu ’< 0 1- k < 0 k > 1 phương trình vô nghiệm
Nếu ’= 0 1- k = 0 k = 1 phương trình có nghiệm kép x1= x2=1
Nếu ’> 0 1- k > 0 k < 1 phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 = 1- 1 k ; x2 = 1+ 1 k
Kết luận:
Nếu k > 1 thì phương trình vô nghiệm
Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1
Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x1 = 1- 1 k ; x2 = 1+ 1 k
Bài 3: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
Giải
a) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x =
3
(là nghiệm)
2
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’=12- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm ’ = 3m-2 0 m
2
3
2
thì phương trình có nghiệm
3
3
b) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x = (là nghiệm)
2
+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm duy nhất ’ = 3m-2 = 0 m =
Khi đó x =
2
(thoả mãn m ≠ 1)
3
1
1
3
2
m 1
1
3
+Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =
với m =
3
2
2
thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
3
c) Do phương trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:
17
(m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 4m – 3 = 0 m =
3
4
Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 =
3
1
-1= ≠ 0)
4
4
3
3
12 x 2 6
Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 = m 1 1
4
3
Vậy m = và nghiệm còn lại là x2 = 6
4
* Giáo viên cần khắc sâu trường hợp hệ số a có chứa tham số (khi đó bài toán trở nên
phức tạp vàhọc sinh thường hay sai sót)
Bài 4: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x12+x22 10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x1 qua x2
Giải
2
1 15
a) Ta có: = (m-1) – (– 3 – m ) = m
2
4
’
2
2
15
1
0 > 0 với mọi m
Do m 0 với mọi m;
4
2
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu a.c < 0 – 3 – m < 0 m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó phương trình có hai nghiệm âm S < 0 và P > 0
2(m 1) 0
m 1
m3
(m 3) 0
m 3
Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10
Theo bài A 10 4m2 – 6m 0 2m(2m-3) 0
18
m 0
m 0
m 3
3
2
m
3
0
m
2
2
m 0
m 0
m 0
3
2m 3 0
m
2
Vậy m
3
hoặc m 0
2
e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
x1 x 2 2(m 1)
x1 .x 2 (m 3)
Theo định lí Viet ta có:
x x 2 2m 2
. 1
2 x1 .x 2 2m 6
x1 + x2+2x1x2 = - 8
Vậy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m
8 x
2
f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - 8 x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) x1 1 2 x
2
8 x
2
Vậy x1 1 2 x
1
2
( x2 )
2
Bài 5: Cho phương trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1
1
1
2
1
c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn y1 x1 x ; y 2 x2 x với x1; x2 là nghiệm của
phương trình ở trên
Giải
a) Ta có ’ = 12 – (m-1) = 2 – m
Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
' 0
2 m 0
m 2
m 2
m 1 1
m 2
P 1
Vậy m = 2
b) Ta có ’ = 12 – (m-1) = 2 – m
Phương trình có nghiệm 0 2 – m 0 m 2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2)
Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3)
�x1 x2 2
Từ (1) và (3) ta có: �
3 x1 2 x2 1
�
�
2 x1 2 x2 4
�
�x1 5
�x1 5
��
��
�
3 x1 2 x2 1
�
�x1 x2 2 �x2 7
Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 m = - 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm
d) Với m 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm
19
Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ;
Khi đó: y
y 2 x1 x2
1
y y (x
1
2
1
1
x
)( x
2
2
1
x1
1
x
1
x2
) xx
1
1
x1 x2
2
1
xx
1
x1 x2
x1 x2
2
2 m 1
2
x1x2 = m – 1 (2)
1
m 1
y1; y2 là nghiệm của phương trình: y2 -
2
m 1
2
2m
1 m
m
(m≠1)
2
m 1
(m≠1)
2m
m2
.y +
= 0 (m≠1)
1 m
m 1
Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0
*Yêu cầu:
+ HS nắm vững phương pháp
+ HS cẩn thận trong tính toán và biến đổi
+ Gv: cần chú ý sửa chữa những thiếu sót của học sinh, cách trình bày bài và khai thác
nhiều cách giải khác
* Bài tương tự:
1) Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x)
a) Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này
b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
2) Cho phương trình : x2 – 4x + m + 1 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10
3) Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0
a) C/m , phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 1 < x1 < x2 <6
4) Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m.
b) Đặt A = 2(x12 + x22) – 5x1x2
*) CMR: A = 8m2 – 18m + 9
**) Tìm m sao cho A =27
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia
5) Cho phương trình ; x2 -2(m + 4)x + m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm
x1, x2 thoả mãn:
a) A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất.
b) B = x12 + x22 – x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm hệ thức giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m
6) Cho phương trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0
a) C/m phương trình luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Xác định m để: x12 + x22 = 4(x1 + x2)
c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y1 và y2 thoả mãn:
20
- Xem thêm -
.DOC 
57 
288 
63 
