TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
LêI NãI §ÇU
Thân ái chào các bạn và các em học sinh!
Toán là một môn học hay, gắn bó với các em từ những ngày đầu tiên tuổi học trò.
Môn học đó càng trở nên quan trọng hơn nữa khi các em đứng trước kì thi Tuyển sinh
vào các trường THPT. Chương trình Toán 9 – sau nhiểu lần chỉnh sửa của Bộ GDĐT,
đến nay đã khá hoàn chỉnh, phù hợp với năng lực học tập của các em. Tuy nhiên một
năm học đi qua thật nhanh, với những áp lực rất lớn của các môn học khác, rất nhiều
em học sinh chưa thật sự nắm vững nội dung chương trình Toán9.
Để cùng các em vượt qua kì thi quan trọng này, điều quan trọng hơn là giúp các
em có phương pháp học tốt môn Toán 9, tôi soạn cuốn TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN
TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9. Hy vọng cuốn tài liệu sẽ giúp các em nhìn nhận lại một
cách toàn diện nội dung chương trình Toán 9, có phương pháp giải Toán tốt hơn, nắm
vững một số chuyên đề Toán 9.
NỘI DUNG GỒM:
Phần I: Hệ thống lại một số vấn đề cơ bản Toán 9:
Phần này trình bày các dạng bài tập cơ bản về Đại số và Hình học thường gặp
trong cấu trúc đề thi Tuyển sinh vào lớp 10. Mỗi dạng Toán có các ví dụ minh họa có
lời giải, tiếp đó là các bài tập tương tự dành cho các em tự luyện.
PhầnII: Tuyển tập một số đề thi theo cấu trúc thường gặp:
Phần này trình bày 10 đề thi môn Toán tuyển sinh vào THPT theo cấu trúc đề
thường gặp với đáp án, lời giải chi tiết. Với mỗi bài giải có phân bổ biểu điểm cụ thể
để các em tiện đánh giá năng lực bản thân, cũng như nắm vững các bước giải quan
trọng trong một bài toán.
Phần III: Một số đề tự luyện:
Phần này gồm 05 đề thi tự luận theo cấu trúc đề thường gặp, giúp các em thử sức
với đề thi.
Mặc dù đã rất cố gắng, song chắc hẳn cuốn tài liệu không tránh khỏi thiếu sót, rất
mong nhận được sự góp ý của các bạn và các em để cuốn tài liệu được hoàn thiện
hơn!
Email:
[email protected]
Chân thành cảm ơn các bạn và các em!
PhanAnh
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
1
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
PHẦN I:
HỆ THỐNG CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TOÁN 9
---***--VẤN ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
A. Kiến thức cần nhớ:
A.1. KiÕn thøc c¬ b¶n
A.1.1. C¨n bËc hai
a. C¨n bËc hai sè häc
- Víi sè d¬ng a, sè a ®îc gäi lµ c¨n bËc hai sè häc cña a
- Sè 0 còng ®îc gäi lµ c¨n bËc hai sè häc cña 0
x 0
- Mét c¸ch tæng qu¸t: x a
2
x a
b. So s¸nh c¸c c¨n bËc hai sè häc
- Víi hai sè a vµ b kh«ng ©m ta cã: a b a b
A.1.2. C¨n thøc bËc hai vµ h»ng ®¼ng thøc A2 A
a. C¨n thøc bËc hai
- Víi A lµ mét biÓu thøc ®¹i sè , ngêi ta gäi A lµ c¨n thøc bËc hai cña A, A
®îc gäi lµ biÓu thøc lÊy c¨n hay biÓu thøc díi dÊu c¨n
A x¸c ®Þnh (hay cã nghÜa) A 0
b. H»ng ®¼ng thøc A2 A
- Víi mäi A ta cã
A2 A
- Nh vËy: + A2 A nÕu A 0
+ A2 A nÕu A < 0
A.1.3. Liªn hÖ gi÷a phÐp nh©n vµ phÐp khai ph¬ng
a. §Þnh lÝ: + Víi A 0 vµ B 0 ta cã: A.B A. B
+ §Æc biÖt víi A 0 ta cã ( A ) 2 A2 A
b. Quy t¾c khai ph¬ng mét tÝch: Muèn khai ph¬ng mét tÝch cña c¸c thõa sè
kh«ng ©m, ta cã thÓ khai ph¬ng tõng thõa sè råi nh©n c¸c kÕt qu¶ víi nhau
c. Quy t¾c nh©n c¸c c¨n bËc hai: Muèn nh©n c¸c c¨n bËc hai cña c¸c sè kh«ng ©m,
ta cã thÓ nh©n c¸c sè díi dÊu c¨n víi nhau råi khai ph¬ng kÕt qu¶ ®ã
A.1.4. Liªn hÖ gi÷a phÐp chia vµ phÐp khai ph¬ng
a. §Þnh lÝ: Víi mäi A 0 vµ B > 0 ta cã:
A
B
A
B
b. Quy t¾c khai ph¬ng mét th¬ng: Muèn khai ph¬ng mét th¬ng a/b, trong ®ã a
kh«ng ©m vµ b d¬ng ta cã thÓ lÇn lît khai ph¬ng hai sè a vµ b råi lÊy kÕt qu¶
thø nhÊt chÝ cho kÕt qu¶ thø hai.
c. Quy t¾c chia c¸c c¨n bËc hai: Muèn chia c¨n bËc hai cña sè a kh«ng ©m cho sè
b d¬ng ta cã thÓ chia sè a cho sè b råi khai ph¬ng kÕt qu¶ ®ã.
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
2
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
A.1.5. BiÕn ®æi ®¬n gi¶n biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai
a. §a thõa sè ra ngoµi dÊu c¨n
- Víi hai biÓu thøc A, B mµ B 0, ta cã A2 B A B , tøc lµ
+ NÕu A 0 vµ B 0 th× A2 B A B
+ NÕu A < 0 vµ B 0 th× A2 B A B
b. §a thõa sè vµo trong dÊu c¨n
+ NÕu A 0 vµ B 0 th× A B A2 B
+ NÕu A < 0 vµ B 0 th× A B A2 B
c. Khö mÉu cña biÓu thøc lÊy c¨n
- Víi c¸c biÓu thøc A, B mµ A.B 0 vµ B 0, ta cã
A
B
AB
B
d. Trôc c¨n thøc ë mÉu
- Víi c¸c biÓu thøc A, B mµ B > 0, ta cã
A
A B
B
B
- Víi c¸c biÓu thøc A, B, C mµ A 0 vµ A B 2 , ta cã
C
C ( A B)
A B2
AB
- Víi c¸c biÓu thøc A, B, C mµ A 0, B 0 vµ A B , ta cã
C ( A B)
C
A B
A B
A.1.6. C¨n bËc ba
a. Kh¸i niÖm c¨n bËc ba:
- C¨n bËc ba cña mét sè a lµ sè x sao cho x3 = a
- Víi mäi a th× ( 3 a )3 3 a 3 a
b. TÝnh chÊt
- Víi a < b th× 3 a 3 b
- Víi mäi a, b th× 3 ab 3 a . 3 b
- Víi mäi a vµ b 0 th×
3
a 3a
b 3b
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
3
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
A.2. KiÕn thøc bæ xung (*) Dµnh cho häc sinh kh¸ giái, häc sinh «n thi chuyªn
A.2.1. C¨n bËc n
a. C¨n bËc n ( 2 n N ) cña sè a lµ mét sè mµ lòy thõa n b»ng a
b. C¨n bËc lÎ (n = 2k + 1)
Mäi sè ®Òu cã mét vµ chØ mét c¨n bËc lÎ
C¨n bËc lÎ cña sè d¬ng lµ sè d¬ng
C¨n bËc lÎ cña sè ©m lµ sè ©m
C¨n bËc lÎ cña sè 0 lµ sè 0
c. C¨n bËc ch½n (n = 2k )
Sè ©m kh«ng cã c¨n bËc ch½n
C¨n bËc ch½n cña sè 0 lµ sè 0
Sè d¬ng cã hai c¨n bËc ch½n lµ hai sè ®èi nhau kÝ hiÖu lµ
2k
a vµ 2k a
d. C¸c phÐp biÕn ®æi c¨n thøc.
2 k 1
2k
A2 k 1.B A.2 k 1 B víi A, B
A2 k .B A .2 k B víi A, B mµ B 0
2 k 1
2k
A.B 2 k 1 A.2 k 1 B víi A, B
A.B 2 k A .2 k B víi A, B mµ A.B 0
2 k 1
2k
A2 k 1 A víi A
A2 k A víi A
2 k 1
2k
A. x¸c ®Þnh víi A 0
2 k 1
2k
A. x¸c ®Þnh víi A
A
B
A
B
2 k 1
2 k 1
2k
A
2k
B
A
víi A, B mµ B 0
B
víi A, B mµ B 0, A.B 0
m n
A mn A víi A, mµ A 0
m
n
m
n
A A víi A, mµ A 0
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
4
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
B. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI.
Bài 1: Tính:
3- 3
a. A =
3+ 3
+
2- 3 + 2 2
2+ 3 - 2 2
5 + 5 5 - 5
b. B =
+
5 - 5 5 + 5
1
1
c. C = 5. 5 + 2 . 20 + 5
HƯỚNG DẪN GIẢI:
3- 3
a. A =
2-
=
3+ 3
+
3+ 2 2
2( 3 - 3)
2+
.
3- 2 2
2( 3 + 3)
4- 2 3 + 4
4+ 2 3 - 4
2( 3 - 3)
2( 3 + 3)
+
=
3 - 1+ 4
3 + 1- 4
2( 3 - 3) 2 + 2( 3 + 3) 2
=
3- 9
24 2
=
= - 4 2
- 6
5 + 5 5 - 5 (5 + 5 )2 + (5 - 5 )2
b. B =
+
=
5 - 5 5 + 5
(5 - 5 )(5 + 5 )
25 + 10 5 + 5 + 25 - 10 5 + 5 60
=
= 20 = 3
25 - 5
c. C = 5.
+
1
1
+
5
2 . 20 + 5 = 5.
5
1
2 + . 4.5 + 5
5
2
5
2
= 5 5 + 2 5 + 5 = 3 5
Bài 2: Cho biểu thức A =
1
x x
:
x 1
x 1
1
x 1
2
a) Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A
b) Tim giá trị của x để A =
1
.
3
c) Tìm giá trị lớn nhất cua biểu thức P = A - 9 x
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
5
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a). Điều kiện 0 x 1
x 1
Với điều kiện đó, ta có: A
x
1
3
b). Để A = thì
9
4
x 1
x
:
x 1
x 1
2
x 1
x 1
x
1
3
9
x x (thỏa mãn điều kiện)
3
2
4
1
3
Vậy x thì A =
c). Ta có P = A - 9 x =
1
9 x 9 x
1
x
x
x 1
Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số dương ta có: 9 x
Suy ra: P 6 1 5 . Đẳng thức xảy ra khi 9 x
1
x
x
1
x
2 9 x.
1
x
6
1
9
1
9
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P 5 khi x
Bài 3: 1) Cho biểu thức A
x 4
. Tính giá trị của A khi x = 36
x 2
x
4 x 16
(với x 0; x 16 )
:
x
4
x
4
x
2
2) Rút gọn biểu thức B
3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá
trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên
HƯỚNG DẪN GIẢI:
1) Với x = 36 (Thỏa mãn x >= 0), Ta có : A =
36 4 10 5
36 2 8 4
2) Với x 0, x 16 ta có :
ò( ò 4) 4( ò 4) ò 2
(ò 16)( ò 2)
ò 2
=
(ò 16)(ò 16) ò 16
ò 16 ò 16
ò 16
B =
3) Ta có: B( A 1)
x 2 x 4
x 2
2
2
.
.
1
.
x 16 x 2 x 16
x 2 x 16
Để B( A 1) nguyên, x nguyên thì x 16 là ước của 2, mà Ư(2) = 1; 2
Ta có bảng giá trị tương ứng:
2
x 16 1
1
2
x
17
15
18
14
Kết hợp ĐK x 0, x 16 , để B( A 1) nguyên thì x 14; 15; 17; 18
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
6
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
Bài 4: Cho biÓu thøc:
P
x
( x
y )(1
y )
y
x
xy
y) x 1
x 1 1 y
a). T×m ®iÒu kiÖn cña x vµ y ®Ó P x¸c ®Þnh . Rót gän P.
b). T×m x,y nguyªn tháa m·n phư¬ng tr×nh P = 2.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a). §iÒu kiÖn ®Ó P x¸c ®Þnh lµ :; x 0 ; y 0 ; y 1 ; x y 0 .
x(1
P
x
x ) y (1
1
x
y
x
y
y ) xy
x
y
xy y xy
( x y ) x x y y xy
1 y
x
y x
x
y 1
y 1
VËy P =
x 1
x
y
y
y
x x 1 y x 1 y 1 x 1 x
1 x 1 y
x 1 y 1 y y 1 y
x y y y x
1 y
1 y
x
x 1
x
xy
x
xy
y.
y.
b) ĐKXĐ: x 0 ; y 0 ; y 1 ; x y 0
P = 2 x xy y. = 2
x1
y
x 11
y 1 1
y 1
Ta cã: 1 + y 1 x 1 1 0 x 4 x = 0; 1; 2; 3 ; 4
Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vµo ta cãc¸c cÆp gi¸ trÞ x=4, y=0 vµ x=2, y=2 (tho¶ m·n).
Bài 5:Cho biÓu thøc M =
2 x 9
x 5 x 6
2 x 1
x 3
x3
2 x
a. T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó M cã nghÜa vµ rót gän M
b. T×m x ®Ó M = 5
c. T×m x Z ®Ó M Z.
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
7
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
HƯỚNG DẪN GIẢI:
M=
2 x 9
x 5 x 6
2 x 1
x 3
x 3
2 x
a.§K x 0; x 4; x 9
Rót gän M =
2 x 9
0,5®
M=
x 1
x 3
x 1 5
x 1 5
16 4
x
x
BiÕn ®æi ta cã kÕt qu¶: M =
b. . M 5
x 2
x 2
x 3
x 1 x 2
x 3 x 2
x 2
M
x 1
x 3
5
x 3
x 15
x
16
4 x 16
4
§èi chiÕu §K: x 0; x 4; x 9
c. M =
x 3 x 3 2 x 1
x 2 x 3
x 1
x 3
Do M z nªn
x 3 4
x 3
VËy x = 16 th× M = 5
1
x 3 lµ íc cña 4
4
x 3
x 3 nhËn c¸c gi¸ trÞ: -4; -2; -1; 1; 2; 4
LËp b¶ng gi¸ trÞ ta ®îc:
x 1;4;16;25;49 v× x 4 x 1;16;25;49
Bài 6: Cho biểu thức P = (
a
1 2
a-1
a+1
) .(
) Với a > 0 và a ≠ 1
2
2 a
a+1
a-1
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm a để P < 0
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a
1 2
a - 1
a + 1
a) P = ( 2 -
) . (
-
) Với a > 0 và a ≠ 1
2 a
a + 1 a - 1
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
8
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
a
1 2 a 1
a 1
) .(
)
2 2 a
a 1
a 1
P (
a a 1 2 ( a 1)2 ( a 1)2
).
2 a
( a 1)( a 1)
P (
a 1 2 a 2 a 1 a 2 a 1
P (
).
a 1
2 a
P
(a 1)4 a 1 a
4a
a
Vậy P =
1a
Víi a > 0 và a ≠ 1
a
b) Tìm a để P < 0
Với a > 0 và a ≠ 1 nên a > 0
1 - a
P =
< 0 1 - a < 0 a > 1 ( TMĐK)
a
Bài 7: Cho biểu thức: Q =
a
a
b
2 -(1+
2
2 ):
a -b
a -b
a - a2 - b2
2
a) Rút gọn Q
b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Rút gọn:
Q =
a
a
b
2 - ( 1 +
2
2 ) :
a - b
a - b a - a2 - b2
2
a
a2 - b2 + a a - a2 - b2
= 2 2 -
.
b
a - b
a2 - b2
=
a
b
a - b
2 -
2
2 =
a - b
a - b
a2 - b2
2
( a - b )2
a - b
=
=
(a - b)(a + b) a + b
3b - b
2b
1
= 4b = 2
3b + b
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
b) Khi có a = 3b ta có: Q =
9
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
Bài 8: Cho biểu thức
1
1
2
1
A
.
y x y x
x
3
3
1 x y x x y y
:
y
x 3 y xy 3
a ) Rút gọn A;
b) Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Đkxđ : x > 0 , y > 0
1
1
2
1 1
.
:
a) A
y x y x y
x
x y
2
x y
.
:
xy
xy
x
y
2
x y
:
xy
xy
x y
xy
2
x y x xy y xy x y
xy x y
x
y
xy
y
.
2
b) Ta có
y 0
x
x y 2
x
Do đó A
x 3 y xy 3
xy x y
x
y3
y x y
x
xy
.
x3 y x x y
x
xy
y
2
xy
xy
2
y2
16
16
xy 0
xy .
1 ( vì xy = 16 )
x y
x y 4.
Vậy min A = 1 khi
xy 1 6
Bài 9: Cho biểu thức:
1
x 3 2
x 2
P
2x x
x x 1 x 1 2 2 x
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Tính giá trị của P với x 3 2 2 .
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
10
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a. Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi :
x 0
x 1
x 1
x 2
x 2
x 3
x 3
b) Đkxđ : x 1; x 2; x 3
P
1
x
x 1
x 1
x x 1
x x 1
2
x3
x x 1
2
x
2
x 3
x 1 0
x 1
2 0
2
2 x x
x
2
x 1 2 2 x
x 0
2
x 1 2
x 1 2
x 0
2 x
x 2
x
x x 1 x 3 x 1 2 2 x x 2
.
x 1 2
x 2 x
x x 1
x x 1 x 3 x 1
x x 1
x3
x x 1 x 1 2 .
c) Thay x 3 2 2
P
2
2 1
2 1
2
2 2 x
.
x 2 x
1
x
x 2 . 1
x
2
2 1 vào biểu thức P
2
2
2 1
2 1
2
2 x
x
2 x
, ta có:
x
2 1
2 1
1
2 1
2 1
Bài 10: Cho biểu thức:
4 x
8x
x 1
2
):(
)
P =(
2 x 4 x
x2 x
x
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = -1
c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có: m( x 3) P x 1
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
11
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta có: x 2 x x ( x 2)
x 0
x 0
x 0
ĐKXĐ: 4 x 0
x 4
x 2 0
Với x > 0 và x 4 ta có:
P = (
4 x
8x
x 1
2
):(
)
2 x x4
x( x 2)
x
4 x ( x 2) 8 x
:
( x 2)( x 2)
4x 8x 8x
:
( x 2)( x 2)
(
4 x 8 x
:
x 2 )( x 2 )
x 1 2( x 2)
x( x 2)
x 1 2 x 4
x ( x 2)
x 3
( Đk: x 9)
x ( x 2)
4 x ( x 2)
x ( x 2)
.
( x 2)( x 2)
3 x
4 x . x ( x 2)
(3 x )( x 2)
4x
x 3
Với x > 0 , x 4, x 9 thì P =
4x
x 3
b) P = - 1
4x
1 ( ĐK: x > 0, x 4, x 9 )
x 3
4x 3 x
4x 3 x 0
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
12
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
Đặt x y đk y > 0
2
Ta có phương trình: 4 y y 3 0
Các hệ số: a + b + c = 4- 1-3 =0
y1 1 ( không thoả mãn ĐKXĐ y > 0), y2
Với y
3
( thoả mãn ĐKXĐ y > 0)
4
3
9
x thì x = ( thoả mãn đkxđ)
4
16
Vậy với x =
9
thì P = - 1
16
c) m ( x 3) P x 1 (đk: x > 0; x 4, x 9 )
m ( x 3)
4x
x 1
x 3
m .4 x x 1
x 1
m
4x
( Do 4x > 0)
x 1
x
1
1
1
Xét
4x
4x
4x
4 4x
Có x > 9 (Thoả mãn ĐKXĐ)
1 1
( Hai phân số dương cùng tử số, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn)
x 9
1
1
4 x
36
1
1
1
1
4
4 x
4
36
1
1
5
4
4 x
18
5 x 1
18 4 x
5
m
Theo kết quả phần trên ta có :
18
m x 1
4x
Kết luận: Với m
5
, x 9 thì m ( x 3) P x 1
18
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
13
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
C©u 1 Cho biểu thức :
A(
1
x 1
x2 1
) .
1 x2
2
x 1
1
2
1) Tim điều kiện của x để biểu thức A cã nghĩa .
2) Rót gọn biểu thức A .
3) Giải phương tr×nh theo x khi A = -2 .
C©u2 Cho biểu thức : A (
2 xx
x x 1
x 2
) :
x 1 x x 1
1
a) Rút gọn biểu thức .
b) Tính giá trị của A khi x 4 2 3
C©u3 Cho biểu thức : A
x 1
:
1
2
x x x x x x
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A .
1
1
1
1
1
C©u4 Cho biểu thức : A=
:
1- x 1 x 1 x 1 x 1 x
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị của A khi x = 7 4 3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất .
a a 1 a a 1 a 2
:
a a a 2
a a
C©u 5 Cho biểu thức : A =
a. T×m §KX§
b) Rót gän biÓu thøc A
c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó A nguyªn.
x 1
2 x
C©u 6 Cho biểu thức P 1
:
1
x
1
x
1
x
x
x
x
1
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm giá trịn nguyên của x để P x nhậ giá trị nguyên.
a a
a a
C©u 7 Cho P 1
1
; a 0, a 1
a
1
1
a
a) Rót gọn P.
b) T×m a biết P > 2 .
c) T×m a biết P = a .
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
14
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
1 2x
2
2
16x
1
; x
2
1 4x
2
2
a) Chứng minh P
1 2x
3
b) Tính P khi x
2
C©u 8 Cho P
2 5 24
12
x 1
x 1 8 x x x 3
1
C©u 9 Cho biểu thức B
:
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi x 3 2 2 .
c) Chứng minh rằng B 1 với mọi gía trị của x thỏa mãn x 0; x 1 .
2.Tính Q
1
1
C©u 10 Cho M
1 a :
1
1 a
1 a2
a) Tìm TXĐ
b) Rút gọn biểu thức M.
3
c) Tính giá trị của M tại a
.
2 3
a a
a a
C©u 11 Cho biểu thức: A
1
1 ; a 0, a 1 .
a 1 a 1
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm a ≥0 và a≠1 thoả mãn đẳng thức: A= -a2
y
y
2 xy
x 2
x 2 x 1
; x 0, x 1 .
x
:
; x 0, y 0, x y .
C©u 12 Cho biểu thức: S
x y
x
xy
x
xy
1. Rút gọn biểu thức trên.
2. Tìm giá trị của x và y để S=1.
C©u 13 Cho biểu thức: Q
x 1
x 2 x 1
a. Chứng minh Q
2
x 1
b. Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên.
1
1
x 2
x 1
; x 0 , x 1, x 4 .
C©u 14 Cho biểu thức: A
:
x 1 x 1
x 2
x
1. Rút gọn A.
2. Tìm x để A = 0.
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
15
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
a 1
C©u 15 Rút gọn biểu thức: A
C©u 16 Cho biểu thức: T
a2 1 a2 a
x2
x x 1
x 1
x x 1
1
a 1 a
a3 a
a 1
; a 1.
x 1
; x 0, x 1 .
x 1
1. Rút gọn biểu thức T.
2. Chứng minh rằng với mọi x > 0 và x≠1 luôn có T<1/3.
C©u 17 Cho biểu thức: M
1 x
1 x
1
x
3
1 x x
; x 0; x 1.
1. Rút gọn biểu thức M.
2. Tìm x để M ≥ 2.
Bài 18: Cho biểu thức :
A= m+
2mn
2mn
1
m
1 2 với m ≥ 0 ; n ≥ 1
2
2
1+n
1 n
n
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của A với m 56 24 5 .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
a 3 a 2
a a 1
1
:
Bài 19: Cho biểu thức P
a 2 a 1
a 1 a 1
a 1
a) Rút gọn P.
1
a 1
b) Tìm a để
1
P
8
x 1
2 x
Bài 20: Cho biểu thức P 1
:
1
x 1 x 1 x x x x 1
a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn P
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P x nhận giá trị nguyên.
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
16
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I. §Þnh nghÜa : Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng
ax 2 bx c 0
trong ®ã x lµ Èn; a, b, c lµ nh÷ng sè cho tríc gäi lµ c¸c hÖ sè vµ a 0
II. C«ng thøc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai :
Ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 bx c 0(a 0)
b 2 4ac
*) NÕu 0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt :
x1
b
b
; x2
2a
2a
*) NÕu 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp :
x1 x 2
b
2a
*) NÕu 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
III. C«ng thøc nghiÖm thu gän :
Ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 bx c 0(a 0) vµ b 2b '
' b '2 ac
*) NÕu ' 0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt : x1
*) NÕu ' 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : x1 x 2
b ' '
b ' '
; x2
a
a
b '
a
*) NÕu ' 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
IV. HÖ thøc Vi - Et vµ øng dông :
1. NÕu x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax 2 bx c 0(a 0) th× :
b
x1 x 2 a
x x c
1 2 a
2. Muèn t×m hai sè u vµ v, biÕt u + v = S, uv = P, ta gi¶i ph¬ng tr×nh :
x 2 Sx P 0
(§iÒu kiÖn ®Ó cã u vµ v lµ S2 4P 0 )
3. NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh ax 2 bx c 0(a 0) cã hai nghiÖm :
x1 1; x 2
c
a
NÕu a - b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh ax 2 bx c 0(a 0) cã hai nghiÖm :
x1 1; x 2
c
a
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
17
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
IV: Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:
T×m ®iÒu kiÖn tæng qu¸t ®Ó ph¬ng tr×nh ax2+bx+c = 0 (a 0) cã:
1. Cã nghiÖm (cã hai nghiÖm) 0
2. V« nghiÖm < 0
3. NghiÖm duy nhÊt (nghiÖm kÐp, hai nghiÖm b»ng nhau) = 0
4. Cã hai nghiÖm ph©n biÖt (kh¸c nhau) > 0
5. Hai nghiÖm cïng dÊu 0 vµ P > 0
6. Hai nghiÖm tr¸i dÊu > 0 vµ P < 0 a.c < 0
7. Hai nghiÖm d¬ng(lín h¬n 0) 0; S > 0 vµ P > 0
8. Hai nghiÖm ©m(nhá h¬n 0) 0; S < 0 vµ P > 0
9. Hai nghiÖm ®èi nhau 0 vµ S = 0
10.Hai nghiÖm nghÞch ®¶o nhau 0 vµ P = 1
11. Hai nghiÖm tr¸i dÊu vµ nghiÖm ©m cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n
a.c < 0 vµ S < 0
12. Hai nghiÖm tr¸i dÊu vµ nghiÖm d¬ng cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n
a.c < 0 vµ S > 0
B. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI:
Bµi 1. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau :
a / 2x 2 8 0
c / 2x 2 3x 5 0
b / 3x 2 5x 0
d / x 4 3x 2 4 0
x2
6
f/
3
x 5
2x
e / x 3 3x 2 2x 6 0
Gi¶i
2
2
2
a / 2x 8 0 2x 8 x 4 x 2
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x 2
x 0
x 0
b / 3x 5x 0 x(3x 5)
x 5
3x
5
0
3
5
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x 0; x
3
2
c / 2x 3x 5 0
2
NhÈm nghiÖm :
Ta cã : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0 => ph¬ng tr×nh cã nghiÖm : x1 1; x 2
5 5
2 2
d / x 4 3x 2 4 0
§Æt t x 2 (t 0) . Ta cã ph¬ng tr×nh : t 2 3t 4 0
a+b+c=1+3-4=0
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
18
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
=> ph¬ng tr×nh cã nghiÖm : t1 1 0 (tháa m·n);
t2
4
4 0 (lo¹i)
1
Với: t 1 x 2 1 x 1
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x 1
e / x 3 3x 2 2x 6 0 (x 3 3x 2 ) (2x 6) 0 x 2 (x 3) 2(x 3) 0 (x 3)(x 2 2) 0
x 3
x 3 0
x 3
2
2
x 2 0
x 2
x 2
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x 3; x 2
x2
6
3
(§KX§ : x 2; x 5 )
x 5
2x
x2
6
3
Ph¬ng tr×nh :
x 5
2x
(x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x)
6(x 5)
(x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x)
(x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5)
f/
4 x 2 6x 3x 2 30 15x 6x 30
4x 2 15x 4 0
152 4.(4).4 225 64 289 0; 17
15 17
1
=> ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : x1
(tháa m·n §KX§)
2.(4)
4
15 17
x2
4 (tháa m·n §KX§)
2.(4)
Bµi 2. Cho ph¬ng tr×nh bËc hai Èn x, tham sè m : x 2 mx m 3 0 (1)
a/ Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = - 2.
b/ Gäi x1; x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. TÝnh x12 x 22 ; x13 x 32 theo m.
c/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : x12 x 22 9 .
d/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : 2x1 + 3x2 = 5.
e/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = - 3. TÝnh nghiÖm cßn l¹i.
f/ T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu.
g/ LËp hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo gi¸
trÞ cña m.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a/ Thay m = - 2 vµo ph¬ng tr×nh (1) ta cã ph¬ng tr×nh :
x 2 2x 1 0
(x 1) 2 0
x 1 0
x 1
VËy víi m = - 2 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 1.
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
19
TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9
Toán THCS – THPT: PhanAnh
2
2
b/ Ph¬ng tr×nh : x mx m 3 0 (1) Ta có: m 4(m 3) m 2 4m 12
Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 ; x 2 0
x1 x 2 m (a)
x1x 2 m 3 (b)
Khi ®ã theo ®Þnh lý Vi-et, ta cã :
*) x12 x 22 (x1 x 2 )2 2x1x 2 (m) 2 2(m 3) m 2 2m 6
*) x13 x 32 (x1 x 2 )3 3x1x 2 (x1 x 2 ) (m)3 3(m 3)(m) m3 3m 2 9m
c/ Theo phÇn b : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 ; x 2 0
Khi ®ã x12 x 22 m 2 2m 6
Do ®ã x12 x 22 9 m 2 2m 6 9 m 2 2m 15 0
'(m) (1)2 1.(15) 1 15 16 0; (m) 4
=> ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : m1
1 4
1 4
5; m 2
3
1
1
Thö l¹i :
+) Víi m 5 7 0 => lo¹i.
+) Víi m 3 9 0 => tháa m·n.
VËy víi m = - 3 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : x12 x 22 9 .
d/ Theo phÇn b : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 ; x 2 0
x1 x 2 m (a)
x1x 2 m 3 (b)
Khi ®ã theo ®Þnh lý Vi-et, ta cã :
HÖ thøc : 2x1 + 3x2 = 5
(c)
Tõ (a) vµ (c) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh :
x1 x 2 m
3x 3x 2 3m
x 3m 5
x 3m 5
1
1
1
2x1 3x 2 5 2x1 3x 2 5
x 2 m x1
x 2 2m 5
x1 3m 5
vµo (b) ta cã ph¬ng tr×nh :
x 2 2m 5
Thay
( 3 m 5 )( 2 m 5 ) m 3
6m 2 15m 10m 25 m 3
6m 2 26m 28 0
3m 2 13m 1 4 0
( m ) 1 3 2 4 .3 .1 4 1 0
13 1
2
2.3
=> ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt :
13 1
7
m2
2.3
3
Thö l¹i :
+) Víi m 2 0
=> tháa m·n.
7
25
+) Víi m 0 => tháa m·n.
3
9
7
VËy víi m 2; m ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : 2x1 + 3x2 = 5.
3
m1
Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin
20
.PDF 
140 
1718 
110 
