Tài liệu ôn tạp khảo sat hàm số hay

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Toán 12   1. TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ I. Daïng 1: Xeùt tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá Phöông phaùp: Để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số Bước 2: Tính đạo hàm y’ Bước 3: Giải phương trình y’=0 Bước 4: Tính các giới hạn ( nếu cần). Bước 5: Lập bảng biến thiên của hàm số. Từ đó, đưa ra kết luận.  Chú ý: Trong trường hợp phương trình y’ = 0 vô nghiệm, tức là hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến, ta có thể bỏ qua bước 5 ( lập bảng biến thiên ). Ví duï: Ví dụ 1: Cho hàm số (C ): y = 2x3 -3x2 + 1 a. Khảo sát sự biến thiên của (C ) ? b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau: 2x3 -3x2 –m = 0 (1) Hướng dẫn: a/ - Miền xác định: D = IR - Đạo hàm: y’ = 6x2 – 6x , Giải phương trình: y’=0 <=> 6x2 – 6x = 0 < = > x=0 v x= 1 ( nhận) -Giới hạn: lim y   và lim y   x x - Bảng biến thiên: Vậy: * Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ;0) và (1;  ) * Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) b/ Viết lại phương trình dưới dạng: 2x3 -3x2 + 1 = m +1 Khi đó , số nghiệm của phương trình bang số giao điểm của (C ) với đường thẳng (d): y = m +1. Dựa vào bảng biến thiên ta nhận được kết luận: * Với m + 1 < 0  m < -1: Phương trình (1) có một nghiệm *Với m +1 = 0 m =-1: Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt * Với 01  m > 0: Phương trình (1) có một nghiệm. Áp dụng: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x- (m2 -1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt với hoành độ dương. Giải 2 2 Miền xác định: D=IR , y’=3x -6mx+3(m -1) Δ ’ = m 2 - m 2 +1=1>0 , với mọi m y’=0  x m a x = m-1, x m i n = m+1 Để phương trình(1) có 3 nghiệm dương phân biệt khi và khi: '  0  (m 2  1)(m 2  3)(m 2  2m  1)  0  y ,y 0     max min  m  1  0, m  1  0  3  m 1 2 x  0 , x  0 max min 2    (m  1)  0   a.d  0 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Toán 12 x 3 có đồ thị (C) x2 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + 1 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt Giải: 1/ - TXĐ D=R\ 2 Ví dụ 2:Cho hàm số y  - y;  1 >0 với mọi x  D ( x  2) 2 vì lim y  ; lim y   - TCĐ x=2 x 2  x 2  vì lim y  1 - TCN y= 1 x   - Bảng biến thiên: x=0 => y=3/2 y=0 => x=3 2/ Phương trình hoành độ của (C ) và đường thẳng y  mx  1 : x 3  mx  1  g(x)  mx2  2mx  1  0 , x  1 x2 (1) Để (C ) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2 m  0 m  0  ;  2  m  0  m 1     m  m  0  m  0  m  1 1  0  g 2   0   1 Áp dụng: Cho hàm số y   x 4  2x 2 có đồ thị (C) 4 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 thỏa y ''  x 0   1 Giải: a/ y   1 x 4  2x 2 , TXĐ: D  4 - R , y '  x 3  4x , y '  0  x 3  4x  0  x 0 y0 x  2  y  4 Giới hạn: lim y   ; lim y   x  x  y Bảng biến thiên x −∞ −2 0 2 +∞ y' + 0 − 0 + 0 − y 4 4 −∞ 0 −∞ *Hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞;−2) và (0;2). -2 *Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (−2;0) và (2;+∞) *Hàm số đạt cực đại tại x  2 , yCĐ = 4 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 0 *Điểm đặc biệt:   2;0  ;  2;0  4 2 x O b/Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 thỏa y ''  x 0   1 y '  x 3  4x , y ''  3x 2  4 7 4 y ''  0  x  1  7 x  1  y  4 x  1  y  2  x  1  k1  3 x  1  k 2  3 5 5 Pttt: y  3x  ; y  3x  4 4 2 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Toán 12   2. CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ I. Daïng 1: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá Phöông phaùp: Bước 1: Tìm TXĐ Bước 2: Tính y’ Bước 3: Giải phương trình y’ = 0 Bước 4: Lựa chọn một trong 2 hướng  Hướng 1: Nếu xét dấu được y’ thì lập bảng biến thiên rồi đưa ra kết luận vào định lý: Định lý i: Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b) và y’(x0) = 0 với x0 thuộc (a;b). a. Nếu qua x0 đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì hàm số đạt cực tiểu tại xo b. Nếu qua x0 đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì hàm số đạt cực đại tại x0  Hướng 2: Nếu không xét dấu được y’ thì : Tìm đạo hàm bậc hai y’’ Tính y’’(x0) rồi đưa ra kết luận dựa vào định lý: Định lý ii: Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b) và y’(x0) = 0 với x0 thuộc (a;b). a. Nếu y’’(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0 b. Nếy y’’(x0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu đại điểm x0 Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số y  8  x 2  Cách 1: Ta có điều kiện: Đạo hàm: y’= y’=0  Bảng biến thiên: Vậy hàm số đạt cực đại tại x =  Cách 2: Ta có điều kiện: Đạo hàm: y’= y’=0  Ta có: y’’ = Vậy, hàm số đạt cực đại tại x = => D= [ ; ] => x = và đạt cực đại của hàm số là f( ) = => D= [ => x = => y’’(0) < 0 và giá trị cực đại của hàm số là f( 0) = ; ] Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Toán 12 ***_-_*** QUY TẮC QUAN TRỌNG TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ 1. Hàm số có cực trị  hệ sau có nghiệm thuộc D  y'  0   y' '  0 2.Hàm số đạt cực tiểu  hệ sau có nghiệm thuộc D  y'  0   y' '  0 3.Hàm số có cực đại  hệ sau có nghiệm thuộc D  y'  0   y' '  0 4. Hàm số đạt cực tiểu tại x0 điều kiện là:  x0  D   x0 là điêi toi han  y ' ' ( x0 )  0  5. Hàm số đạt cực đại tại x0 điều kiện là:  x0  D   x0 là điêi toi han  y ' ' ( x0 )  0  Ngoài ra, với hàm đa thức y = f(x) thì điều kiện để “Hàm số đạt cuực trị tại điểm x0” là  y ' ( x0 )  0   y ' ' ( x0 )  0 Bài tập áp dụng: 1. Tìm cực trị, nếu có, của hàm số: Y = (1+cosx).sinx 2. Tìm cực trị, nếu có, của hàm số: y  3 sin x  cos x  2x  3 2 Đáp án: 1. - Miền xác định: D= - Đạo hàm: y’ = y’’= * y’=0  Ta có: Với x = ta nhận được: y’’( )=0 => x= không phải là điểm cực trị của hàm số Với x = ta nhận được: y’’ ( )<0 => Hàm số đạt cực đại tại các điểm x = , k thuộc Z Với x = , ta nhận được: y’’( )>0 => Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = , k thuộc Z BIÊN SOẠN: PHẠM VĂN TUẤN THPT TÂN HIỆP – CHÂU THÀNH- TIỀN GIANG