Tài liệu ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán_skkn toán thpt

SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán I. Đặt vấn đề: Trong việc dạy học Toán ở trường THPT: Cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lý … ; thì việc giải các bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những vấn đề trọng tâm của phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông. Đối với học sinh THPT có thể coi việc giải bài toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán. Trong quá trình giảng dạy, tôi thấy rằng sách giáo khoa được biên soạn khá công phu, sắp xếp hệ thống kiến thức khoa học. Hệ thống bài tập đa dạng, số lượng bài tập ở trong sách giáo khoa đã đủ với tất cả học sinh. Tuy nhiên chúng ta có thể hướng dẫn các em “khai thác phát triển” thành những bài toán hay hơn đa dạng hơn…Làm như vậy sẽ góp phần quan trọng trong việc nâng cao năng lực tư duy cho học sinh, kích thích sự tìm tòi sáng tạo phát huy được khả năng tư duy cho học sinh. Đứng trước một bất cứ hệ thống kiến thức toán học nào, nếu người giáo viên biết khéo léo khai thác thì đều có thể rèn luyện tư duy cho học sinh một cách có hiệu quả. Tuy nhiên do thời gian hạn chế nên trong phạm vi SKKN này tôi chỉ đi sâu vào nghiên cứu việc: “ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán quen thuộc”. Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi phân loại theo các câu hỏi theo từng dạng chủ điểm của hình học không gian lớp 11 và lớp 12 với mục đích ôn tập. II. Giải quyết vấn đề: Đề bài: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. SA  (ABCD), SA= S a 3 . Gọi H, I, K lần lượt là hình I chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD và J là hình chiếu của B trên SC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AD, BC, SC. H K Q J A D N M O B Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân P C Trang 1 SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán ÔN TẬP 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho ABC vuông ở A ta có : 2 2 2 Định lý Pitago : BC  AB  AC BA2  BH .BC ; CA2  CH .CB b c b c , cosB  , tan B  ,cot B  a a c b b b  a= sin B cos C sin B  AB. AC = BC. AH 1 1 1   2 2 AH AB AC 2 A b c BC = 2AM B M H a b = a. sinB = a.cosC c = a. sinC = a.cosB b = c. tanB = c.cot C 2.Hệ thức lượng trong tam giác thường * Định lý hàm số Côsin: a2  b2  c2  2bc.cosA * Định lý hàm số sin: a b c    2R sin A sin B sin C 3. Các công thức tính diện tích. a/ Công thức tính diện tích tam giác: 1 1 a.b.c S  a.ha = a.b sin C  2 2 4R  p.r  p.( p  a)( p  b)( p  c ) với abc p 2 Đặc biệt : 1 AB. AC , 2 a2 3 * ABC đều cạnh a: S  4 * ABC vuông ở A : S  b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng d/ Diên tích hình thoi : S = 1 (chéo dài x chéo 2 ngắn) e/ Diện tích hình thang : S 1 (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao 2 f/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao g/ Diện tích hình tròn : S   .R 2 * Các câu hỏi liên quan: Bài 1. Tính độ dài các cạnh: 1) SB, SC, SD, SO. 2) SH, SI, SK 3) AK, AH, AI, BJ, DJ. 4) AQ, OM, OQ, OJ. Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 2 C SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán Giải 1) SD  SB  SA2  AB 2  2a SC  SA2  AC 2  a 5 SO  SA2  AO 2  a 14 2 3a 2 3 2) SH .SB  SA � SH  SK   a 2a 2 2 SI .SC  SA2 � SI  3a 2 3 5  a 5 a 5 3) 1 1 1 a 3  2 � AH  AK  2 2 AH SA AB 2 1 1 1 a 30  2 � AI  2 2 AI SA AC 5 1 1 1 2a 5  2 � DJ  BJ  2 2 BJ SB BC 5 AQ là trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông SAC nên AQ  4) OM  ON  OP  SC a 5  2 2 a 2 OQ là đường trung bình tam giác SAC nên OQ  SA a 3  2 2 Tam giác BJD cân tại J (SBC=SDC), JO là đường trung tuyến nên JOBD. JO  JB 2  OB 2  a 30 10 Bài 2. Tính diện tích: 1) Các  SAD,  SAB,  SBC,  SCD,  BJD. 2) Hình vuông ABCD 3) Hình chữ nhật ABPN 4) Hình thang AMOD, BDNM 5) Hình tròn ngoại tiếp và hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD Giải 1) S SAD  S SAB  1 a2 3 SA. AB  2 2 SB 2  BC 2  5a 2  SC 2  SBC vuông tại B. Chứng minh tương tự ta được SCD vuông tại D Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 3 SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán S SBC  S SCD  1 SB.BC  a 2 2 1 a 2 15 S BJD  OJ .BD  2 10 2 2) S ABCD  a 3) S ABPN  S AMOD  a2 2 1 3  AD  OM  AM  a 2 2 4 S BMND  S ABD  S AMN a 2 a 2 3a 2    2 8 8  a2 4) Diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vuông: S1   R  2 2  a2 Diện tích hình tròn nội tiếp hình vuông: S 2   r  4 2 Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 4 SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán ÔN TẬP 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 A.QUAN HỆ SONG SONG §1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 1. Định nghĩa: Đường thẳng và mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung. a a / /( P) � a �( P)  � (P) 2.Các định lý: ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm trên mp(P) và song song với đường thẳng a nằm trên mp(P) thì đường thẳng d song song với mp(P) ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) thì cắt theo giao tuyến song song với a. a / /( P) � � a �(Q) � d / /a � � ( P ) �(Q)  d � ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó. ( P ) �(Q)  d � � ( P) / / a � d / /a � � (Q) / / a � d d �( P) � � d / / a � d / /( P) � � a �( P) � a (P) (Q) a d (P) d a P Q * Các câu hỏi liên quan: Bài 3. Chứng minh các đường thẳng song song: 1) PN//AB//CD 2)MO//AD//BC 3) QP // SB 4) MN//BD 5) KH//BD 6)OJ//AI. Bài 4. Chứng minh các đường thẳng song song với mặt phẳng: 1) PN//(SAB), PN//(SCD) 2) MO// (SAD), BC // (OQM)//AD, MO // (SBC) 3) CD// (QPN), CD//(SNP) 4) MN, KH//(SBD), MN, KH//(JBD), BD// (MNKH), (QMN), KH //(ABCD), BD//(AKH). Bài 5. Tìm giao tuyến của: 1) (SAB) và (SCD) 2) (SAD) và (SBC) Giải Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 5 SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán Bài 3. Chứng minh các đường thẳng song song: 1) PN là đường trung bình của hình vuông ABCD nên PN//AB//CD 2) MO là đường trung bình của hình vuông ABCD nên MO//AD//BC 3) QP là đường trung bình của SBC nên QP // SB 4) MN là đường trung bình của ABD nên MN//BD SH SK SA2  5) ( SH  SK  , SB=SD) suy ra HK//BD SB SD SB 2 6) OJ//AI (cùng vuông góc với SC, OJ vuông góc với SC bằng định lý Talet (tính độ dài các đoạn thẳng tỷ lệ bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông) hoặc sử dụng kiến thức ở phần ôn tập 3) Bài 4. Chứng minh các đường thẳng song song với mặt phẳng: 1) �PN �( SCD) � � PN P( SCD) �PN PCD � CD �( SCD) � Chứng minh tương tự ta được PN//(SAB) (PN//AB), 2) MO// (SAD), MO // (SBC) BC // (OQM)//AD (vì MO//AD), 3) CD// (QPN) (CD//PN), CD//(SNP) (CD//PN), 4) Vì MN//BD//HK nên MN, KH//(SBD), MN, KH//(JBD), BD// (MNKH), (QMN), KH //(ABCD), BD//(AKH) Bài 5. Giao tuyến: (SAB) và (SCD), (SAD) và (SBC) �S � SAB  � SCD  �  SAB  � SCD   Sx P AB PCD �AB PCD 1) � �S � SAD  � SBC  �  SAD  � SBC   Sy P AD P BC �AD P BC 2) � Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 6 SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán §2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 1. Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung. ( P) P(Q) � ( P) �(Q)  � P Q 2.Các định lý: ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau. ĐL2: Nếu một đường thẳng nằm một trong hai mặt phẳng song song thì song song với mặt phẳng kia. ( P ) P(Q) � � a P(Q) � a �( P) � ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song. a, b �( P) � � a �b  I � ( P ) P(Q) � � a P(Q ), b P(Q ) � P a b I Q a P Q ( P ) P(Q) � � ( R ) �( P )  a � a Pb � � ( R ) �(Q)  b � R P Q a b * Các câu hỏi liên quan: Bài 6. Chứng minh hai mặt phẳng song song: 1) (OQM)//(SAD) 2) (QNP) // (SAB) 3)(AKH) // (JBD) Giải 1) (OQM)//(SAD) OQ, OM �(OQM ) � � OQ �OM  O � (OQM ) P(SAD ) � � OQ P(SAD), OM P(SAD ) � 2) (QNP) // (SAB) OQ, NP �(QNP ) � � OQ �NP  O � (QNP ) P(SAB ) � � OQ P( SAB ), NP P(SAB ) � 3)(AKH) // (JBD) Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 7 SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán Ta chứng minh HI// BJ và DJ//IK bằng định lý Talet (tính độ dài các đoạn thẳng tỷ lệ bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông) �HI , IK �( AKH ) � � ( AKH ) P( JBD ) �HI �IK  I �HI P( BJD ), IK P( BJD ) � (ta có thể chứng minh 2 mặt phẳng này song song do cùng vuông góc với SC ở phần ôn tập 3) Bài tập tổng hợp Bài 7. Tìm thiết diện của () và hình chóp, thiết diện là hình gì? Với () lần lượt là các mặt phẳng 1) (NPQ) 2) Mặt phẳng qua MN và song song với SA. Bài 8. a) T là 1 điểm di động trên cạnh SA. Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua QT và song song với BC. Tìm thiết diện của (P) và hình chóp. b) Xác định vị trí điểm T để thiết diện là hình bình hành. c) Tìm tập hợp giao điểm của 2 cạnh đối của thiết diện khi T di động trên cạnh SA. Bài 9.Một mặt phẳng (P) di động luôn song song với mp(SBD) và đi qua điểm T di động trên đoạn OC. a) Xác định thiết diện của hình chóp với (P). b) Tính diện tích thiết diện theo a và x = CT. Giải Bài 7. 1) () là (NPQ) Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 8 SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán S R Q J A D N M O B C P OQ//SA (đường trung bình) Từ N kẻ NR//SA (R thuộc SD) suy ra R là trung điểm SD QR//CD//NP. Thiết diện là hình thang NPQR 2 S U R Q J T A D N M X O B P C Kẻ MT// SA (TSB) Kẻ NR// SA (RSD) MNAC=X, kẻ XU // SA (USC) Thiết diện là ngũ giác MNRUT Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 9 SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán Bài 8. a) Dựng QR//BC (RSB) Dựng TV//AD (VSD) Thiết diện là hình thang QRTV b) Hình thang QRTV là hình bình hành  QR=TV � TV QR 1    T là trung điểm SA AD BC 2 �AB PCD �  SAB  � SCD   Sx P AB PCD �S � SAB  � SCD  c) � � U �RT � SAB  � U  RT �QV � � � U � SAB  � SCD  � U �Sx U �QV � SCD  � T �A � U  AR �DQ  E T �S � U  SR �SQ  S T là trung điểm SA thì RT//QV Vậy tập hợp điểm U là đường thẳng Sx//AB//CD bỏ đi đoạn SE. S R U Q J R T V A D N M O B P C Bài 9. Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 10 SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán S R A D V O T B C U a) Q ua T dựng UV//BD (UBC, RCD) Dựng UR//SB (RSC). Nối RV. Thiết diện là tam giác RUV cân tại R. ( RU RV  , SB  SD ) SB SD UV TC 2 x   � UV  2 x BD CO BD RT TC 2 x a 14   � RT  2 x. x 7 SO CO BD 2a 2 1 1 S RUV  UV .RT  .2 x.x 7  x 2 7 2 2 B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC §1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 1.Định nghĩa: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó. a a  mp( P) � a  c, c �( P) P c 2. Các định lý: Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 11 SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp(P) thì đường thẳng d vuông góc với mp(P). ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a không vuông góc với mp(P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P). d  a ,d  b � � a , b �mp ( P ) � d  mp( P ) � � a , b cat�nhau � d P b a a a  mp ( P ), b �mp ( P ) b  a � b  a' P a' b * Các câu hỏi liên quan: Bài 10. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 1) BC  (SAB) 2) CD  (SAD) 3) AH  (SBC) 4) AK  (SCD) 5) SC  (AHK) 6) BD  (SAC) 7) SC  (AIK) 8) HK  (SAC) 9) OM  (SAB) 10) ON  (SAD) 11) BC  (OPQ) 12) AB  (OMQ) 13) AD  (ONQ) 14) SC  (JBD) Bài 11. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 1) BC  SB 2) CD  SD 3) BD  SO 4) BD  SC 5) AH  SC 6) AK  SC 7) AI  HK 8) DJ  SC Giải Bài 10. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 1) BC  AB (g/t hình vuông), BC  SA (SA  (ABCD),BC  (ABCD))  BC  (SAB) 2) CD  AD (g/t hình vuông), CD  SA (SA  (ABCD),CD  (ABCD))  CD  (SAD) 3) AH  SB (gt), AH  BC (BC  (SAB) (câu 1))  AH  (SBC) 4) AK  SD (gt), AK  CD (CD  (SAD) (câu 2))  AK  (SCD) 5) AH  (SBC) (do câu 1)  AH  SC,AK  (SCD) (do câu 2)  AK  SC SC  (AHK) Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 12 SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán 6) BD  AC (g/t hình vuông), BD  SA (SA  (ABCD),BD  (ABCD))  BD  (SAC) 7) AK  (SCD) (do câu 2)  AK  SC, AI  SC (GT)  SC  (AIK) 8)  SAB =  SAD (c.g.c)  SB = SD và � ASB  � ASD , AH  SB và AK  SD (cmt)  có  SAH =  SAK (cạnh huyền, góc nhọn)  SH = SK  SH SK   HK // BD.Mặt khác ta lại SB SD có BD  (SAC) (câu 6) nên HK  (SAC) 9) OM là đường trung bình của tam giác ABC nên OM // BC, BC  (SAB) (cmt) OM(SAB). 10) ON là đng trung bình của tam giác ABD nên ON// AB //CD, CD  (SAD) (cmt) ON(SAD). 11) OP là đng trung bình của tam giác BDC  OP // CD,BC  CD (gt hình vuông) OP  BC  OQ là đng trung bình của  SAC  OQ // SA,SA  (ABCD)  OQ  (ABCD)  BC  OQ BC  (OPQ) Hoặc có thể chứng minh: OQ và PQ lần lượt là các đường trung bình của các tam giác SAC và SBC nên đồng thời có OQ // SA VÀ PQ // SB  (OPQ) // (SAB) mà BC  (SAB) (câu 1)  BC  (OPQ). 12) AB  AD (gt hv), AB  SA (SA  (ABCD)  AB  (SAD) OQ và OM lần lượt là các đường trung bình của các tam giác SAC và ABC nên đồng thời có OQ // SA VÀ OM // BC//AD  (OMQ) // (SAD) lại có AB  (SAD) (cmt)  AB  (OMQ) 13) AD  AB (gt hv), AD  SA (SA  (ABCD)  AD  (SAB) OQ và ON lần lượt là các đường trung bình của các tam giác SAC và ABD nên đồng thời có OQ // SA VÀ ON//AB  (ONQ) // (SAB) lại có AD  (SAB) (cmt)  AB  (OMQ) 14) SC  (AHK) (câu 5))  A,H,I,K đồng phẳng  (AHIK)  SC  SC  IH. Trong mp (SBC) có HI  SC, BJ  SC  BJ // HI, lại có BD // HK  (JBD) // (AHIK), ta lại có (AHIK)  SC (cmt) nên SC (JBD). Bài 11. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 1) BC  (SAB) (câu 10.1), SB  (SAB)  BC  SB. 2) CD  (SAD) (câu 10.2), SD  (SAD)  CD  SD. 3) BD  (SAC) (câu 10.6), SO  (SAC)  BD  SO 4) BD  (SAC) (câu 10.6), SC  (SAC)  BD  SC 5) AH  (SBC) (câu 10.3), SC  (SBC)  AH  SC Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 13 SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán 6) AK  (SCD) (câu 10.4), SC  (SCD)  AK  SC 7) AI  (SAC), HK  (SAC) (câu 8)  HK  AI 8) SC  (JDB) (câu 10.14), DJ  (JDB)  DJ  SC. §2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 1.Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900. 2. Các định lý: ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau. ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q). ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P) ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba. Q a a  mp( P ) � � mp(Q )  mp ( P ) � a �mp(Q ) � ( P)  (Q ) � � ( P) �(Q )  d � a  (Q) � � a �( P), a  d � P P a Q d P ( P )  (Q) � �A �( P ) � � a �( P) � �A �a � a  (Q) � ( P ) �(Q )  a � � ( P)  (R ) � a  (R) � � (Q)  ( R ) � a A Q P a Q R * Các câu hỏi liên quan: Bài 12. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 1) (SBC)  (SAB) 2) (SCD)  (SAD) 3) (AHK)  (SBC) 4) (AHK)  (SCD) 5) (SBD)  (SAC) 6) (AHK) (SAC) 7) (OQM) (SAB) 8) (OQN) (SAD) 9) (OPQ)  ((SBC) 10) (SAC)  (JBD) 11) (SBC)  (JBD) 12) (SCD) (JBD) Giải Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 14 SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán Bài 12. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 1) BC  (SAB) (câu 10.1), BC  (SBC)  (SBC) (SAB) 2) CD  (SAD) (câu 10.2), CD  (SCD)  (SCD) (SAD) 3) AH  (SBC) (câu 10.3), AH  (AHK)  (AHK) (SBC) 4) AK  (SCD) (câu 10.4), AK  (AHK)  (AHK) (SCD) 5) BD  (SAC) (câu 10.6), BD  (SBD)  (SBD) (SAC) 6) SC  (AHK) (câu 10.5), SC  (SAC)  (AHK) (SAC) 7) OM  (SAB) (câu 10.9), OM  (OQM) (OQM) (SAB). 8) ON  (SAD) (câu 10.10), ON  (ONQ) (ONQ)  (SAD). 9) BC  (OPQ) (câu 10.11), BC  (SBC)  (OPQ)  (SBC). 10) SC  (JBD) (câu 10.14), SC  (SAC)  (SAC)  (JBD) 11) SC  (JBD) (câu 10.14), SC  (SBC)  (SBC)  (JBD). 12) SC  (JBD) (câu 10.14), SC  (SCD)  (SCD)  (JBD). §3.KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng, đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a (hoặc trên mp(P)) O O a H P H d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH 2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mp(P). d(a;(P)) = OH 4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo P Q a P a O H A O H b B nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. d(a;b) = AB Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 15 SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán 3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. d((P);(Q)) = OH * Các câu hỏi liên quan: Bài 13. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng 1) C; (SAB) 2) C; (SAD) 3) A; (SBC) 4) A; (SCD) 5) A; (SBD) 6) O; (SAB) 7) O; (SAD) 8) O; (SBC) 9) O; (SCD) 10) S; (AHK) 11) S; (JBD) 12)Q; (ABCD) Bài 14. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng 1) A; SC 2) O; SC 3)O;SB 4)O;SD Bài 15. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng 1) AD; SC 2) AB; SC 3) BC; SA 4) CD; SA 5) AB; SO 6) CD; SO 7) BC; SD 8) AD; SB Giải Bài 13. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng 1) CB  (SAB) (câu 10.1)  d(C,(SAB) = CB = a. 2) CD  (SAD) (câu 10.2)  d(,(SAD) = CD = a. 3) AH  (SBC) (câu 10.3)  d(A,(SBC) = AH. 1 1 1 1 1 1 4 a 3  2 �  2  2  2 � AH  2 2 2 AH SA AB AH 3a a 3a 2 4) AK  (SCD) (câu 10.4)  d(A,(SCD) = AK 1 1 1 1 1 1 4 a 3  2 �  2  2  2 � AK  2 2 2 AK SA AD AH 3a a 3a 2 5) (SAC) (SBD) (câu 12.5) (SAC)  (SBD) = SO, hạ AE  SO  AE  (SBD)  SAO vuông tại A nên có d(A,(SBD) = AE = 1 1 1 1 2 7  2  2 2  2 2 2 AE SA AO 3a a 3a a 21 7 Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 16 SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán 6) OM  (SAB) (câu 10.9)  d(O,(SAB) ) = OM = a 2 7) ON  (SAD) (câu 10.10)  d(O,(SAB) ) = ON = a 2 8) (OPQ)  ((SBC) (câu 12.9), (OPQ)  ((SBC) = PQ, OPQ vuông tại O nên hạ AF  PQ thì AF  (SBC)  d(O,(SBC) ) = AF. 1 1 1 4 4 16 a 3    2  2  2 � AF  , 2 2 2 AF OP OQ a 3a 3a 4 9) Dễ thấy d(O,(SCD) = d(O,(SBC) = a 3 4 10)  Câu 10.1 có được BC  (SAB)  (SBC)  (SAB) mà (SAB)  (SBC ) = SB. Trong mặt phẳng (SAB) có AH  SB  (SAB)  (SBC)  AH  SC.  Câu 10.2 có được CD  (SAD)  (SCD)  (SAD) mà (SAD)  (SCD ) = SD. Trong mặt phẳng (SAD) có AK  SD  (SAD)  (SCD)  AK  SC.  AK  (AHK)  SC  AK, SC  AI  SC (AKI)  SC  (AHK ) = I  d(S, (AHK) ) = SI  Tam giác SBC vuông tại B, tam giác SHI vuông tại I, hai tam giác này đồng dạng Tính toán SB = SA2  AB 2  2a , SC = * SH.SB = SA2  SH = SA2  AC 2  3a 2  2a 2  a 5 SA2 3a 2 3a   SB 2a 2 3a .2 a SI SH SH . SB 3a 5 *  SIH SBC nên ta có 2  � SI    SB SC SC 5 a 5 Vậy d(S,(AHK) = 3a 5 5 11) Tính d(S,(JBD)?  SJBSBC nên có SJ  SB 2 4a 2 4a 5   SC a 5 5 12) OQ là đường trung bình của  SAC nên OQ = 1 SA  a 2 Bài 14. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 17 SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán 1) Ta có AI  SC (gt)  SAC vuông tại A nên hạ AI  SC  1 1 1 1 1 5  2  2 2  2 2 2 AI SA AC 3a 2a 6a Vậy d(A,SC) = AI = a 30 5 2) Vì O là trung điểm AC nên d(O,SC ) = OJ  3) SO = SA2  AO 2  1 a 30 d ( A, SC )  2 10 5a 2 a2 OB 2   d(O,SB) = 2 2 4) d(O,CD) = d(O,SB) = OS.OB SO 2  OB 2  a 15 6 a 15 6 Bài 15. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng 1) AD// BC (gt hình vuông) (SBC) //AD  d(AD,SC) = d(A, (SBC)) = AH =  a 3 (Câu 2 10.3) 2) AB // CD  (SCD) // AB  d(AB,SC) = d(A, (SCD)) = AK = a 3 2 3) AB  SA,AB  BC nên d(BC,SA) = AB = a 4) AD  SA,AD  CD nên d(CD,SA) = AD = a 5) NP//AB SO  (SNP) //AB  d(AB,SO) = d(A, (SNP))  Hạ AN’ SN,NP // CD mà DC  (SAD) nên NP  (SAD)  AN’ NP  AN’  (SNP)  d(AB,SO) = d(A, (SNP) = AN’  Tính 1 1 1 1 4 13 a 39  2  2  2  2  AN= 2 2 AN ' SA AN 3a a 3a 3 6)Hạ DD’  SN  DD’ // AN’ nên DND’ =  ANN’  DD’ = AN’  d(CD,SO ) = DD’ = AN’ = a 39 3 7)BC//AD  BC // (SAD ) chứa SD d(BC,SD ) = d(BC,(SAD) = d(C,(SAD) ) = CD = a. 8)AD// BC (gt hình vuông) (SBC) //AD  d(AD,SB) = d(A, (SBC)) = AH  a 3 (Câu 2 10.3) Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 18 SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán §4.GÓC 1. Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b. a a' b' b 2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P). Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là 900. 3. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm a a' P b a b a Q P Q P 4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì S S '  S cos   trong đó là góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’). A C  B * Các câu hỏi liên quan: Bài 16. Tính góc giữa 2 đường thẳng  �, BC 1. SA   �, BC 2. SD  Bài 17. Tính góc giữa 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng 1) SB; (ABCD) 2) SC; (ABCD) 3) SD; (ABCD) 4) SO; (ABCD) 5) SC; (SAB) 6) SC;(SAD) 7)SO;(SAB) 8)SO;(SAD) 9) SA;(SCD) 10)SA;(SBC) Bài 18. Tính góc giữa 2 mặt phẳng 1) (SBC); (ABCD) 2) (SCD); (ABCD) 3) (SBD); (ABCD) 4) (SBC); (SAB) 5) (SCD); (SAD) 6) (SCD); (SAB) 7) (SBC); (SCD) 8) (SBD); (SCD) 9) (SBD); (SBC) Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 19 SKKN: Ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán Bài 19. Các câu hỏi mang tính tổng hợp Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. SA  (ABCD), SA = a 3 . Gọi H, I, K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD và J là hình chiếu của B trên SC. Chứng minh rằng 1) AH,AK,AI cùng nằm trên một mặt phẳng. 2) Tứ giác AKIH có hai đường chéo vuông góc 3) Tính diện tích thiết diện cắt hình chóp bởi mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC 4) Tính diện tích thiết diện cắt bởi hình chóp và mặt phẳng đi qua BD và vuông góc với SC tại J. 5) Giả sử các mặt phẳng (ASB),(ASD) và (ABD) lần lượt tạo với mặt phẳng (SBD) các góc a,b,c. Chứng minh rằng: a ) cos2 a  cos2b  cos2 c  1. b) S2SBD  S 2ASB  S 2ASD  S 2ABD Giải Bài 16. Tính góc giữa 2 đường thẳng  �, BC 1) SABC nên SA    900    �, BC  SA �, AD  SDA � 2) BC P AD � SD �  tan SDA SA a 3 �  600   3 � SDA AD a Bài 17. Tính góc giữa 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng 1) SA  (ABCD) (gt)  AB là hình chiếu của SB trên (ABCD) � � tan SBA �  SA  3 � SBA �  600  (� SB,( ABCD )) = SBA AB 2) SA  (ABCD) (gt)  AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) � � tan SCA �  SA  6  (� SC ,( ABCD)) = SCA AC 2 0 3) SA  (ABCD) (gt)  AD là hình chiếu của SD trên (ABCD) � � tan SDA �  SA  3 � SDA �  600  (� SD,( ABCD )) = SDA AD 4) SA  (ABCD) (gt)  AO là hình chiếu của SO trên (ABCD) � � tan SOA �  SA  a 6  (� SO,( ABCD )) = SOA AO � �, SB  CSB � 5) BC  (SAB)  SB là hình chiếu của SC trên (SAB)  ( SC ,( SAB))  ( SC Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân Trang 20