Tài liệu ôn tập hình học 10 (lý thuyết & bài tập)

HÌNH HỌC Chương I : VECTƠ §1: CÁC ĐỊNH NGHĨA TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng . + Vectơ có điểm đầu (gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được uuu r kí hiệu là AB ( đọc là vectơ AB). r r r uruu r ur a + Một vectơ xác định còn được kí hiệu là a, b, x, yb,... B A uuur uuu r (Chú ý: AB �BA ) + Vectơ – không (có gạch nối giữa 2 từ): r Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơkhông, kí hiệu 0 uuuur uuu r Ví dụ: MM , AA ,.... uuu r r + Giá của vectơ : Mỗi vectơ AB ≠ 0 , đường thẳng AB gọi là giá của vectơ thì mọi đường thẳng qua A đều là giá của nó. + Hướng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của vectơ. + Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau. Chú ý: uuu r AB . Còn vectơ không r uuu r AA r + Độ dài của vectơ: đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài a kí hiệu là | a |, uuur | AB | AB  BA  Hai vectơ bằng nhau: nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài r r r r Nếu a bằng b thì ta viết a = b . uuu r uuu r r r AA  BB = 0 , | 0 |= 0. Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Tìm r A a) Tất các vectơ khác 0 ; b) Các vectơ cùng phương; c) Các vectơ bằng nhau. D Các kí hiệu thường gặp uuur uuur uuur uuur AB cùng phương CD kí hiệu: AB // CD u u u r uuur uuur uuur AB cùng hướng CD kí hiệu: AB  CD uuur uuur uuur uuur AB ngược hướng CD kí hiệu: AB  CD -1- B o C CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng 1. Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướng uuur uuu r r Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ 0 là AB, BA Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đó. Giải Có 10 cặp điểm khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E}, {D,E}. r Do đó có 20 vectơ khác 0 r r Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ a khác 0 . Tìm điểm M sao cho: r uuuur AM cùng phương a Giải  m r Gọi  là giá của a r uuuur Nếu AM cùng phương a thì đường thẳng AM//  Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và //  r uuuur Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì AM cùng phương a Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau Ta có thể dùng một trong các cách sau: r a r r � | a || b | � r r + Sử dụng định nghĩa: r uur �� a  b a, b cuøng höôùng � + Sử dụng tính chất của các hình . Nếu ABCD là hình bình hành thì uuur uuur uuur uuur A B AB  DC , BC  AD ,… o (hoặc viết ngược lại) r r r r r r + Nếu a  b, b  c � a  c D C Ví dụ 1: Cho tam giác ABC ucó D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. uur uuur A Chứng minh: EF  CD Giải Cách 1: EF là đường trung bình của  ABC nên EF//CD, uuur uuur 1 EF= BC=CD EF=CD EF  CD (1) 2 uuur uuur EF cùng hướng CD (2) uuur uuur Từ (1),(2)  EF  CD E F B Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành D uuur 1 2 C uuur EF= BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hành EF  CD Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN. uuuur uuur uuur uur M D C Chứng minh: AM  NC , DK  NI Giải Ta có MC//AN và MC=ANMACN là hình bình hành I uuuur uuur K  AM  NC Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm uuur uuuur của MD DK = KM . Tứ giá IMKN là hình bình hành, B N A uur uuuur uuur uur suy ra NI = KM  DK  NI Ví dụ 3: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thì chúng có chung điểm cuối (hoặc điểm đầu). Giải uuur uuur Giả sử AB  AC . Khi đó AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng và B, C thuôc nửa đường thẳng góc A BC. (trường hợp điểm cuối trùngr nhau chứng minh tương tự) Ví dụ 4: Cho điểm A và vectơ a . Dựng điểm M sao cho: uuuur r a) AM = a ; r r uuuur b) AM cùng phương a và có độ dài bằng | a |. Giải r Giả sử  là giá của a . Vẽ đường thẳng d đi qua A và d//  -2- (nếu A thuộc  thì d trùng ). Khi đó có hai điểm M1 và M2 thuộc d sao cho: r  AM1=AM2=| a | Khiuuđó ta có: uuu r r r a) AM1 = a a uuuuu r uuuuur r b) AM1 = AM 2 cùng phương với a d A Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi B’ là điểm đối xứng của uuuu r uuuur B qua O. Chứng minh: AH  B ' C . Giải BÀI TẬP §1 Bài 1: Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-không ) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh tam giác? � � Bài 2: Cho hai vectơ không cùng phương a và b . Có hay không một véctơ cùng phương với cả hai véctơ đó. � � � Bài 3: Cho ba vectơ a , b , c cùng phương và đểu khác véctơ không. Chứng minh rằng co ít nhất là hai véctơ trong chúng có cùng hướng uuur uuur Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt và thẳng hàng. Trong trường hợp nào thì hai véctơ AB và AC cùng hướng, trường hợp nào hai véctơ ngược hướng. Bài 5: Cho tam gácuuABC. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA. Hãy vẽ hình và tìm trên hình ur uuur uuu r vẽ các véctơ bằng PQ , QR , RP . Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. uuur a) Tìm các vectơ cùng phương với AB ; uuur b) Tìm các vectơ cùng hướng với AB ; uuur c) Tìm các vectơ ngược hướng với AB ; uuuu r uuur d) Tìm các vectơ bằng với MO , bằng với OB . Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O uuur r uuur a) Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương OA ; b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB ; uuur c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ AB và có: + Các điểm đầu là B, F, C + Các điểm cuối là F, D, C Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O r uuu r uuu r uuu a) bằng vectơ AB ; OB b) Có độ dài bằng  OB  uuur uuur Bài 9: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB  DC uuur uuur uuur uuur Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu AB  DC thì AD  BC Bài 11 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là tr/điểm AB, BC, CD, DA. C/m : MN QP ; NP MQ Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, Buuu và C trong các trường hợp sau:uuur uuur r uuur uuur uuur uuur uuur a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC | b) AB và AC ngược hướng c) AB và AC cùng phương; -3- Bài 13 :Cho hbh ABCD . Dựng AM BA , MN DA, NP DC , PQ BC uuur HD §1 Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ. Bài 2: có, đó là vectơ-không � � � � Bài 3: nếu a ngược hướng b và a ngược hướng a thì cùng hướng Bài 4: Cùng hướng khi A không nằm giữa B, C; ngược hướng khi A nằm giữa B, C. Bài 5: A P B Bài 6: R Q C A B M N O C D uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur Bài 7: a) DA, AD, BC , CB, AO, OD, DO, FE , EF uuur uuur uuur b) OC , ED, FO c)+ Trên tia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB uuuu r uuur khi đó BB '  AB uuur * FO là vectơ cần tìm * Trên tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB uuuu r uuur Do CC’//AB  CC '  AB +uutương tự ur uuur uuur uuur Bài 8: a) AB  DC , OB  DO A B O uuur uuur uuur uuur b) | OB || BO || DO || OD | D Bài 9: C  AB // CD    AB CD Chứng minh chiều  : * ABCD là hình bình hành  AB // CD  AB  DC  AB CD *  Chứng minh chiều  : * AB = DC  AB , DC cùng hướng và AB  DC * AB và DC cùng hướng  AB // CD (1) uuur uuur * AB  CD  AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành uuur uuur uuur uuur Bài 10: AB  DC  AB=DC, AB//CDABCD là hình bình hành  AD  BC 1 Bài 11 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng AC . Và đều //AC. Vậy MNPQ là hình bình hành đpcm 2 -4- r . C/minh AQ  0 . Bài 12 : Xác định uvị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau: uur uuur uuur uuur a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC |; uuur uuur b) AB và AC ngược hướng; uuur uuur c) AB và AC cùng phương; uuur uuur uuur uuur HD: a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC | khi C nằm giữa A và B uuur uuur b) AB và AC ngược hướng, khiA nằm giữa B và C c) Cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng uuur uuur uuur uuur + cùng hướng: nếu | AB |>| AC | thì theo a); nếu | AB |< AC | thì B nằm giữa A và C. + Ngược hướng thì theo b) Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng AM BA , MN DA, NP DC , PQ BC uuuur uuu r uuur uuur uuur HD: Ta có AM  BA; NP  DC  AB  AM=NP và AM//NP AMNP là hình bình hành (1) Tương tự QMNP cũng là hình bính hành (2) uuur r Từ (1)&(2)  AQ AQ  0 -5- uuur r . Chứng minh AQ  0 . BÀI TẬP KHÁI NIỆM VECTƠ r 1. Cho ABC. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác 0 2. Cho tứ giác ABCD r a/ Có bao nhiêu vectơ khác 0 b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. � � CMR : MQ = NP 1. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA. � a/ Xác định các vectơ cùng phương với MN � b/ Xác định các vectơ bằng NP � � � 2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng AD CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành. � � 3. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ CI = DA . CMR : � � a/ I là trung điểm AB và DI = CB � � � b/ AI = IB = DC � � � � 4. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng MK = CP và KL = BN � � a/ CMR : KP = PN b/ Hình tính tứ giác AKBN r � c/ CMR : AL = 0 -6- §2+3. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ Tóm tắt lý thuyết 1. Tổng các vectơ � � � � �� � �  Định nghĩa: Cho 2 véc tơ a và b . Lấy 1 điểm A tùy ý, dựng �� AB = a , BC = b . � �  Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì a A uuu r uuur AB + AD B B  � Khi đó a + b = �� AC Phép lấy tổng của 2 véctơ đ gọi là phép cộng véctơ . uuu r uuur uuur  Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC  uuur c = AC  b C C 2. Vectơ đối � A độ dài và ngược hướng D � được gọi là vectơ đối của vectơ � , kí hiệu là + Cho vectơ a . Vectơ có cùng a a � � � r  a +(- a )= 0 uuur uuu r + Mọi vectơ đều có vectơ đối, ví dụ AB có vectơ đối là BA nghĩa là uuur uuu r AB = - BA r r + vectơ đối của 0 là 0 . 3. Hiệu các vectơ (phép trừ) � � � � Định nghĩa: a - b = a +(- b ) a  Quy tắc về hiệu vec tơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có: uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r OB  OA  AB (hoặc OA  OB  BA )hay AB  OB  OA r r r 4. Tính chất : với a, b, c bất kì ta có: r r r r ab = ba r r r r r r + Kết hợp ( a  b ) + c = a  (b + c ) r r r r r + a +0=0+a =a r r r r r + a +( a )= a + a = 0 r r r r r r + | a + b | ≤ | a |+| b |, dấu “=” xảy ra khi a , b cùng hướng. r r r r r r r r + a  b và | b | ≥ | a |  | a + b |=| b || a | r r r r r r + a =b a +c =b +c r r r r r r r r r + a +c =b  a =b c , c =b a r r r r r r r r r r r r + a ( b + c )= a  b  c ; a ( b  c )= a  b + c + Giao hoán : B Ghi chú: uu r uur r + Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB  IA  IB  0 uuu r uuur uuur r + Điểm G là trọng tâm tam giác ABC  GA  GB  GC  0 A G C I D CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Cho hình bìnhuuhành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. ur uuuu r uuuur uuur uuur uuur a) Tìm tổng NC  MC ; AM  CD; AD  NC uuuur uuur uuur uuur b) Chứng minh : AM  AN  AB  AD Giải: uuuur uuur a) + Vì MC  AN nên ta có uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur NC  MC = NC  AN = AN  NC = AC uuur uuu r +Vì CD  BA nên ta có uuuur uuur uuuur uuu r uuu r uuuur uuuu r AM  CD = AM  BA = BA  AM = BM uuur uuuur +Vì NC  AM nên ta có uuur uuur uuur uuuur uuur AD  NC = AD  AM = AE , E là đỉnh của hình bình hành AMED. uuuur uuur uuur b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có AM  AN  AC uuur uuur uuur Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB  AD  AC uuuur uuur uuur uuur Vậy AM  AN  AB  AD -7- Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. uuu r uuur uuur uuur uuur uuur r Chứng minh: OA  OB  OC  OD  OE  OF  0 Giải Vì O là tâm của lục giác đều nên: uuu r uuur r uuur uuur r uuur uuur r OA  OD  0; OB  OE  0; OC  OF  0  đpcm Bài 3: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O. uuu r uuur uuur uuur uuur a) Chứng minh rằng vectơ OA  OB; OC  OE đều cùng phương OD uuur uuur b) Chứng minh AB và EC cùng phương. Giải a) Gọi d là đường thẳng chứa OD d là trục đối xứng của uuu r uuur uuuur ngũ giác đều. Ta có OA  OB  OM , trong đó M là đỉnh uuur uuur uuur hình thoi AMBO và M thuộc d. Tương tự OC  OE  ON uuu r uuur uuur uuur uuur , N  d. Vậy OA  OB và OC  OE cùng phương OD vì cùng giá d. b) AB và EC cùng vuông góc d  AB//EC uuur uuur  AB // EC Bài 4: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượtr là trung điểm của AB, AC, BC. uuuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuur uuu r uuu a) Tìm AM  AN ; MN  NC ; MN  PN ; BP  CP . uuuu r uuur uuuur b) Phân tích AM theo hai vectơ MN ; MP . Giải uuuur uuur uuuur a) AM  AN = NM uuuu r uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur MN  NC = MN  MP = PN (Vì NC  MP ) uuuu r uuur uuuu r uuur uuur MN  PN = MN  NP = MP uuu r uuu r uuu r uuur uuur BP  CP = BP  PC = BC uuuur uuur uuur uuuu r b) AM  NP  MP  MN � =600 và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Bài 5: Cho hình thoi ABCD có BAD uuur uuur uuu r uuur uuur uuur Tính | AB  AD |;| BA  BC |;| OB  DC | Giải B � =600 nên AC= a 3 Vì ABCD là hình thoi cạnh a và BAD và BD=a. Khi đó ta có : uuur uuur uuur uuur uuur AB  AD  AC | AB  AD | AC  a 3 uuu r uuur uuu r uuur uuur BA  BC  CA �| AB  AD | CA  a 3 A C uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur a 3 OB  DC  DO  DC  CO �| OB  DC | CO  2 Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo. uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur Tính | OA  CB |; | AB  DC |;| CD  DA | Giải uuu r uuu r uuur uuu r uuur Ta có AC=BD= a 2 ; OA  CB  CO  CB  BO D uuu r uuu r a 2 | OA  CB | BO  2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur | AB  DC || AB |  | DC | 2a (vì AB ��DC ) uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur Ta có CD  DA  CD  CB  BD  | CD  DA |=BD= a 2 Do đó * Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau 1) Biến đổi vế này thành vế kia. 2) Biến đểi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng. 3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh. Bài 7: Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì. � �  �  � Chứng minh rằng: AB  CD  AD  CB (theo 3 cách) Giải Cách 1: (sử dụng qui tắc tổng) biến đổi vế trái r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuu AB  CD  AD  DB  CB  BD  AD  CB  BD  DB  AD  CB Cách 2: (sử dụng hiệu) -8- uuur uuur uuu r uuur uuur uuur AB  AD  CB  CD � DB  DB Cách 3: Biến đổi vế trái thành vế phải Bài 8: Cho sáu điểm A, B, C,uD, E, F. uur uuur uuur uuur uuur uuur Chứng minh: AB  BE  CF  AE  BF  CD Giải uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur VT = AB  BE  CF  AE  ED  BF  FE  CD  DF uuur uuur uuur uuur uuur uuu r = AE  BF  CD  ED  DF  FE uuur uuur uuur uuur uuur uuu r r = AE  BF  CD (vì ED  DF  FE  0 )=VP đpcm Bài 9: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur Chứng minh rằng: AC  DE  DC  CE  CB  AB Giải uuur uuur uuur uuur Ta có  DC  CD;  CE  EC nên uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r VT = AC  DE  DC  CE  CB = AC  DE  CD  EC  CB uuur uuur uuur uuur uuu r uuur = AC  CD  DE  EC  CB  AB =VP đpcm Bài 10: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Chứng minh rằng với điểm O bất kì ta có: uuu r uuur uuur uuuur uuur uuur OA  OB  OC  OM  ON  OP Giải uuur uuur uuur VT = OA  OB  OC uuuur uuur uuur uuur uuur uuur = OM  MA  ON  NB  OP  PC uuuur uuur uuur uuur uuur uuur = OM  ON  OP  MA  NB  PC uuur uuuur uuur Mà NB  NM  NP uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuu r uuur r  MA  NB  PC = MA  NM  NP  PC  NA  NC  0 uuuur uuur uuur  VT= OM  ON  OP =VP đpcm BÀI TẬP PHÉP CỘNG, TRỪ CÁC VECTƠ � � � � 1. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AC + BD = AD + BC 5. Cho 5 điểm A, B, C, D, E. � � � � � CMR : AB + CD + EA = CB + ED 6. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. uuur uuur uuur uuur uuur uuu r CMR : AE  BF  CD  AF  BD  CE 7. Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H. � � � � � � � � CMR : AC + BF + GD + HE = AD + BE + GC + HF 8. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR : � � � � � � a/ DO + AO = AB b/ OD + OC = BC � � � � r c/ OA + OB + OC + OD = 0 � � � � d/ MA + MC = MB + MD (với M là 1 điểm tùy ý) 9. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB. � � � � CMR : OD + OC = AD + BC � � � 10. Cho ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý AA ' , BB ' , CC ' � � � � � � CMR : AA ' + BB ' + CC ' = BA ' + CB ' + AC ' . � � 11. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính  AB  AD  theo a 12. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a. � � a/ Tính  AB  AD  r � � r b/ Dựng u = AB  AC . Tính  u  13. Cho ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a r � � a/ Dựng v = AB  AC . r b/ Tính  v . uuu r uuur uuur uuur 14. Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ OA, OB, OC , OD có độ dài bằng nhau và uuu r uuur uuur uuur OA  OB  OC  OD = 0. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật. -9- � � � � 2. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AB  CD = AC + DB 15. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : � � � � � r � a/ CD + FA  BA  ED + BC  FE = 0 � � � � � � b/ AD  MB  EB = MA  EA  FB � � � � � � c/ MA  DC  FE = CF  MB + MC 16. Cho ABC. Hãy xác định điểm M sao cho : � � � r � � a/ MA  MB + MC = 0 r � � � c/ MB  MC + MA = 0 r � � � � e/ MC + MA  MB + BC = 0 � 17. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a. � r b/ MB  MC + BC = 0 r � � � d/ MA  MB  MC = 0 r � � r � a/ Tính  AD  AB  b/ Dựng u = CA  AB . Tính  u  18. Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC. � � � a/ Tính  AB  AC  � b/ Tính  BA  BI  � � 19. Cho ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính AB  AC  BÀI TẬP THÊM Bài 1 : Cho A,B,C,D tìm các véctơ sau: ur uuur uuur uuur uuur � uuu r uuur uuur uuu r a) v  AB  DC  BD  CA b) m  AB  CD  BC  DA r ur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur c) n  BC  CD  AB  DB . d) p  AB  BC  CD  DE uuur r uuur r Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt AO = a ; BO = b uuur uuur uuur uuur r r Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a và b uuur uuur uuur uuur Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính  BC + AB  ;  AB - AC  theo a. Bài 4: Cho hình uuur chữuunhật uuuu r có AB = 8cm ; AD = 6cm . Tìm tập hợp điểm M , N thỏa ur ABCD a)  AO - AD =  MO  uuur uuur uuur b)  AC - AD =  NB  Bài 5: Cho 7 điểm A ;uB minh rằng : uur; C ;uD r; G .uChứng uuur uur; E ;uFuu uur a) AB + CD + EA = CB + ED b) c) d) r uuur uuu uuur uuu r uuu r uuur + CF = AE + BF + CD AD + u BE uur uuu r uuur uuu r uuur uur uuur + GA = CB + ED + GF AB + CD + uEF uur uuu r r uuur uuu r uur uuur AB - AF + CD - CB + EF - ED = 0 Bài 6 : Cho tam giác OAB. Giả sử OA  OB OM , OA  OB ON . Khi nào điểm M nằm trên đường phân giác trong của góc AOB? Khi nào N nằm trên đường phân giác ngoài của góc AOB ? Bài 7 : Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh : OA  OB  OC  OD  OE O Bài 8 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm đối xứng của A qua C. với một điểm O bất kỳ, ta có: OA  OB  OC OA'  OB'  OC ' Bài 9: Cho u lụ tâm O : uurgiácuuđều ur ABCDEF uuur uuur cóuu ur là uuu r . CMR r a) OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0 uuur uuur uuur r b) OA + OC + OE = 0 uuur uuur uuu r uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur c) AB + AO + AF = AD d) MA + MC + ME = MB + MD + MF ( M tùy ý ) Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp trong uuur uuurđường uuurtròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD a) Chứng minh rằng HB + HC = HD uuur uuur uuur uuuur b) Gọi H’ là đối xứng của H qua O .Chứng minh rằng HA + HB + HC = HH ' uuur uuu r uuur uuu r Bài 11: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng :  CA + CB  =  CA - CB  -10- PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ r r r r 1) Định nghĩa: Cho a ≠ 0 , 0≠k  � ta có c =k a (gọi là phép một số thực với 1 vectơ). Khi đó: r r + c cùng phương a r r + c cùng hướng a khi k>0 r r + c ngược hướng a khi k<0 r r r + | c |=| k a |=|k|.| a | r r r r Quy ước: 0 a = 0 ; k 0 = 0 r r 2) Tính chất: Cho a , b bất kì và k,h  �, khi đó r r r r + k( a + b )= k a +k b r r r + (k+h) a = k a +h b r r + k(h a )= (kh) a r r r r + 1. a = a ; (1) a = a * Tính chất trung điểm: Nếu I là trunguuđiểm đoạn AB, vớii mọi M ta có: uuur uuur u r MA  MB  2MI * Tính chất trọng tâm tam giác: G là trọng tâm ABC, với mọi M ta có: uuur uuur uuuu r uuuu r MA  MB  MC  3MG 3) Điều kiện để hai vectơ cùng phương r r r r r  a , b ; a cùng phương b ≠ 0   0≠k  � : r r r =k b a r r r r a ≠ 0   0≠k  � : b =k a ) r r ( a , b ; b cùng phương 4) Điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng uuur uuur uuur uuur  AB cùng phương AC  0≠k  � : AB  k AC 5) Phân tích (biểu vectơ theo hai vectơ không cùng phương: r r diễn) một r r r Cho hai a , b khác 0 và không cùng phương. Khi đó  x bao giờ cũng tìm được hai số m, n sao cho: x = r r m a +n b . A Nếu G là trọng tâm 2 3 1 3 AG= AI; GI= AI AG=2GI G B C I CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN r 1. Xác định vectơ k a r PP: Dựa vào định nghĩa vectơ k a và các tính chất r uuur 1) Cho a  AB và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho : uuuur r uuur r OM  3a; ON  4a r a Giải N O r M r r Vẽ d đi qua O và // với giá của a (nếu O  giá của a thì d là giá của a ) r uuuur r uuuur r  Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| a |, OM và a cùng hướng khi đó OM  3a . r uuur r uuur r  Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4| a |, ON và a ngược hướng nên ON  4a 1 5 2) Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM= AB. Tìm k trong các đẳng thức sau: uuuur uuur a ) AM  k AB; uuur uuur b) MA  k MB; uuur uuur c) MA  k AB Giải -11- A M B uuuur uuuur uuur uuuur uuur | AM | AM 1 1 uuur  AM  k AB � | k |   , vì AM ��AB  k= a) AB 5 5 | AB | 1 1 b) k=  c) k=  5 4 r r 3) a) Chứng minh:vectơ đối của 5 a là (5) a r r r r b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2 a +3 b , a 2 b Giải r r r r a) 5 a =(1)(5 a )=((1)5) a = (5) a r r r r r r r r r r b) (2 a +3 b )= (1)( 2 a +3 b )= (1) 2 a +(1)3 b =(2) a +(3) b =2 a 3 b c) Tương tự 2. Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương 1) Cho  ABC có trọng âtm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là giao r uuur r uuur uur uuur uuur uuur r r điểm của AD và EF. Đặt u  AE ; v  AF . Hãy phân tích các vectơ AI , AG, DE , DC theo hai vectơ u, v . uur 1 uuur 1 uuur uuur 1 r 1 r AD  ( AE  AF )  u  v) 2 2 2 2 uuur 2 uuur 2 r 2 r AG  AD  u  v 3 3 3 uuur uuu r uuur r r DE  FA   AF  0.u  (1)v uuur uuur uuur uuur r r DC  FE  AE  AF  u  v Giải Ta có AI  A uuuur 2) Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ AM theo hai vectơ r uuuu r r uuur u  AB, v  AC . C Giải uuuur uuur uuuu r uuur 2 uuur 3 uuur uuur uuur mà BC  AC  AB uuuur uuur 2 uuur uuur 1 r 2 r  AM  AB  ( AC  AB )  u  v 3 3 3 Ta có AM  AB  BM  AB  BC 3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng uuur uuur uuur uuur + A, B, C thẳng hàng  AB cùng phương AC  0≠k  � : AB  k AC uuur uuur + Nếu AB  kCD và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD. 1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK= minh ba điểm B, I, K thẳng hàng. Giải uur uuu r uuuu r uuu r 1 uuur 2 BI  BA  BM  BA  BC 2 Ta có uur uuur uuur 4 BI  2 BA  BC (1) Ta có uuur uuu r uuur uuu r 1 uuur BK  BA  AK  BA  AC 3 uuu r 1 uuur uuu r 2 uuu r 1 uuur  BA  ( BC  BA)  BA  BC 3 3 3 uuur uuu r uuur 3BK  2BA  BC (2) uuur uur uuur 4 uur Từ (1)&(2) 3BK  4 BI � BK  BI  B, I, K thẳng hàng. 3 2) Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức: uuur uuur r uuur uuu r uuur r , BC  MA  0 AB  NA  3 AC  0 . Chứng minh MN//AC Giải uuur uuur uuur uuu r uuur r BC  MA  AB  NA  3 AC  0 uuur uuuu r uuur r uuuu r uuur hay AC  MN  3 AC  0 � MN  2 AC -12- 1 AC. Chứng 3 uuuu r uuur uuur uuuur MN / / AC . Theo giả thiết BC  AM Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành  M không thuộc AC MN//AC 4. Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số 1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh: uuuu r uuur uuur 2MN  AC  BD Giải M uuur uuur uuuur uuuu r uuur uuuu r uuuu r uuur A VP  AC  BD  AM  MN  NC  BM  MN  ND uuuu r uuuur uuuu r uuur uuur  2 MN  AM  BM  ND  NC uuuu r  2MN uuur uuur uuur uuur 2) Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: AB  2 AC  AD  3 AC . B D N C Giải uuur uuur uuur Áp dụng qi tắc hình bình hành ta có AB  AD  AC uuur uuur uuur uur  VT= AC  2 AC  3 AC  VP (đpcm) uuuur uuuu r uuuu r uuuu r 3) Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì 3GG '  AA '  BB '  CC ' . Giải uuuu r uuuu r uuuu r VP  AA '  BB '  CC ' uuur uuuur uuuuur uuur uuuur uuuuur uuur uuuur uuuuur  AG  GG '  G ' A '  BG  GG '  G ' B '  CG  GG '  G ' C ' uuuur uuur uuur uuur uuuuur uuuuur uuuuur  3GG '  AG  BG  CG  G ' A '  G ' B '  G ' C ' uuuur uuu r uuur uuur uuuuur uuuuur uuuuur  3GG '  (GA  GB  GC )  G ' A '  G ' B '  G ' C ' uuuur  3GG ' 5. Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ uuur r + AB   0 A B r uuuur r + Cho điểm A và a . Có duy nhất M sao cho : AM  a uuur uuur uuur uuur ‫ ۺ‬‫ۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺ‬+ AB  AC B C ; AD BD A B uuur uuur 1) Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết AG  2GD . Giải uuur uuur A AG  2GD  A,G,D thẳng hàng. AG=2GD và G nằm giữa A và D. Vậy G là trọng tâm tam giác ABC. G uu r uur r 2) Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho: IA  2 IB  0 . HD I B I A C D B uu r uur r uu r uur uu r uur IA  2 IB  0 � IA  2 IB � IA  2 IB uu r uur 1 3 hay IA=2IB , IA ��IB . Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB= AB uuu r uuur uuur uuur r 3) Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho: GA  GB  GC  GD  0 Giải uuu r uuur uur Ta có GA  GB  2GI , trong đó I là trung điểm AB uuur uuur uuur B Tương tự GC  GD  2GK , K là trung điểm CD uuu r uuur uuur uuur uur uuur GA  GB  GC  GD  2GI  2GK uur uuur r hay GI  GK  0 C I  G là trung điểm IK A BÀI TẬP Bài 1: Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý. � � � K r a/ CMR : AM + BN + CP = 0 � � � � � � b/ CMR : OA + OB + OC = OM + ON + OP -13- D � � Bài 2: Cho ABC có trọng tâm G. Gọi MBC sao cho BM = 2 MC � � � a/ CMR : AB + 2 AC = 3 AM � � � � � � � � b/ CMR : MA + MB + MC = 3 MG Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF. � � � a/ CMR : AD + BC = 2 EF � � r b/ CMR : OA + OB + OC + OD = 0 � � � c/ CMR : MA + MB + MC + MD = 4 MO (với M tùy ý) � � � � � � d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho MA + MB + MC + MD  nhỏ nhất Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý. r � � � � a/ CMR : AF + BG + CH + DE = 0 � � � � � � b/ CMR : MA + MB + MC + MD = ME + MF + MG + MH � � � � � � c/ CMR : AB  AC + AD = 4 AG (với G là trung điểm FH) Bài 5: Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H. � � CMR : AD + BE + CF = 3 GH Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR : r � � � � a/ OA + OB + OC + OD = 0 � � � � b/ EA + EB + 2 EC = 3 AB � � � � c/ EB + 2 EA + 4 ED = EC � 1 � Bài 7: Cho ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho AN = NC . 2 Gọi K là trung điểm của MN. 1 � � 1 � 1 � � 1 � a/ CMR : AK = AB + AC b/ CMR : KD = AB + AC 6 3 4 4 � � � � Bài 8: Cho ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 2 DB , CE = 3 EA . Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR : � 1 � 1 � a/ AM = AB + AC 3 8 � 1 � 3 � b/ MI = AB + AC 6 8 Bài 9: Cho lục giác đều ABCDEF tâmuuO cạnh a uuur uuur ur a) Phân tích AD theo AB và AF b) Tinh 1 uuur 1 uuur AB  BC theo a 2 2 Bài 10: Cho tam giác ABC có trunguu tuyến AM (M là trung điểm BC). ur uuuur uuur Phân tích AM theo AB và AC Bài 11: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm uAB, N là một điểm trên AC sao cho NA=2NC. Gọi K là trung uur uuur uuur điểm của MN. Phân tích AK theo AB và AC . Bài 15: Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. uur uuu r uuur uuur a) Tính AI , AJ theo AB, AC uuur uuu r uuur b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính AG theo AI và AJ � � Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2 AB + 3 AC = 5. CMR : B, C, D thẳng hàng. � � � � r � � r Bài 17: Cho ABC, lấy M, N, P sao cho MB = 3 MC ; NA +3 NC = 0 và PA + PB = 0 � � � � a/ Tính PM , PN theo AB và AC -14- b/ CMR : M, N, P thẳng hàng. Bài 18: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm. Bài 19: Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC Bài 20: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tưng đtều kiện sau : uuur uuur a/ MA  MB . uuuu r uuur uuur uuur uuuu r ur b/ MA  MB  MC  O c/ r uuuuu r  uuuu    C�  �    � d/ � uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r |   ��    C� uuuu r uuur uuuu r uuuuu r e/ |   C�  �    � -15- §4 TRỤC TỌA ĐỘ VAØ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 1.Trục tọa độ  Trục tọa độ (trục, trục số) là đường thẳng trên đó xác định điểm O và một vectơ hiệu trục (O; r i ) hoặc x’Ox xr ' O r i có độ dài bằng 1. Ký x I O gọi là gốc tọa độ; i vectơ đơn vị của trục tọa độ.  Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục + Cho điểm M nằm trên trục (O; r i r i ). Khi đó có duy nhất một số m sao cho uuuur r OM  mi . Số m gọi là tọa độ của r uuuur là tọa độ của OM ). i ) (nó cũng r r r r r + Cho vectơ u trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất số x sao cho u  xi . Số x gọi là tọa độ của vectơ u đối r với trục (O; i ).  Độ dài đại số của vectơ trên trục r r Cho A,B nằm trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất số a sao cho AB = a i . Ta gọi số a là độ dài đại số m đối với trục (O; của AB đối với trục đã cho. Kí hiệu: a= AB . Như vậy AB = AB *Nhận xét:uuur r + Nếu AB ��i thì AB = AB uuur r + Nếu AB ��i thì AB = AB r i + Nếu hai điểm A và B trên trục (O; r i ) có tọa độ lần lượt là a và b thì AB = ba  Tính chất: uuur uuur uuur uuur + AB  CD � AB  CD + AB  BC  AC (hệ thức Salơ) 2. Hệ trục tọa độ y  j  i O x  Hệ trục tọa độ r Hệ trục tọa độ vuông góc gồm 2 trục tọa độ Ox và Oy vuông góc nhau. Vectơ đơn vị trên Ox là i , vectơ r đơn vị trên Oy là j . Ký hiệu Oxy hoặc (O; r r i ; j ). + Điểm O gọi là gốc tọa độ; trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung. + Khi một mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ, ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ.  Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ r r r r r r ; ), nếu j i a =x i +y j thì cặp số (x;y) là toạ độ của a . r r Ký hiệu a = (x ; y) hoặc a (x ; y) r r Nhận xét: (hai vectơ bằng nhau) Cho a = (x ; y), b = (x’;y’) r r �x  x ' a =b � � y  y' r� r  Một số tính chất: Cho a = (x ; y), b = (x’;y’). Khi đó: r r 1) a  b = (x  x’; y  y’) r 2) k a =(kx ; ky) với  k � r r 3) m a + n b =(mx+nx’ ; my+ny’) r r r r r �x  kx ' x y 4) a // b  0  có số k thỏa a =k b  �   � xy ' yx '  0 x ' y ' �y  ky ' Đối với hệ trục (O; y  Tọa độ của một điểm đối với hệ trục tọa độ uuuur M(x;y) M2của điểm Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa độ M. Như vậy, cặp số (x ; uuuur y) là tọa độ của M  OM =(x ; y) -16- O M1 x Khi đó, ta viết M(x ; y) hoặc M(x ; y) + x gọi là hoành độ điểm M, y gọi là tung độ điểm M r r uuuur uuuur + M(x ; y) OM  xi  y j  OM =(x;y) x= OM1 ; y= OM 2 + Gốc tọa độ là O(0;0) uuuu r  Tọa độ vectơ MN khi biết tọa độ hai điểm M, N Cho M(xM ; yM) và N(xN ; yN) ta có : uuuu r MN = (xM – xN ; yM – yN)  Tọa độ trung điểm: Nếu P( xP ; yP ) là trung điểm của đoạn thẳng MN thì: xP = xM  x N 2 ; yP = yM  y N 2  Tọa độ trọng tâm tan giác ABC: Nếu A(xA;yA), B(xB;yB), C(xC;yC). Khi đó tọa độ trọng tâm G(x G;yG) được tính theo công thức: xG = x A  xB  xC 3 � ; yG = y A  yB  yC 3 � 1) | u | = x 2  y 2 với u = (x;y) � 2) | AB | = ( xB  x A ) 2  ( yB  y A ) 2 với A(xA ; yA) , B(xB ; yB) 3) Cho hai ñieåm A=(xA ; yA),B=(xB ; yB) . Neáu ñieåm M chia ñoaïn thaúng AB theo tæ soá k �1 thì M(xM ; yM) coù toaï ñoä laø: xM  x A  kxB 1 k ; yM  y A  kyB 1 k (nếu k= 1 thì M là trung điểm AB) 4) Ba điểm A(xA ; yA) , B(xB ; yB), C(xC ; yC) thẳng hàng uuur uuur x x y y x x y y C A C A C A C A  AC / / AB  x  x  y  y  ba điểm A, B, C không thẳng hàng khi x  x �y  y B A B A B A B A -17- BÀI TẬP CƠ BẢN r r r r 1) Biểu diễn vectơ a dưới dạng a  xi  y j r r r a) a =(1;1) b) a =(5;0) c) a =(0;2) r 2) Xác định tọa độ vectơ u , biết: r r r r r 1 r r r a) u =3 i 4 j b) u =2 i + j c) u = 3 i 3 r 3) Xác định tọa độ của vectơ c , biết: r r r r r r a) c = a +3 b ; với a (2;1), b (3;4). Tính độ dài của c r r r r r b) c =2 a 5 b ; với a (1;2), b (2;3) r r r Đáp án: a) c =(11;11), | c |=11 2 b) c =(8;19) � � r d) a =(0;0) r r d) u = j � 4) Cho a =(2;4); b =(-3;1); c =(5;-2). Tìm vectơ: � � � � � � � a) m  2 a  3 b  5 c b) n  24 a  14 c . ur r Đáp án: a) m = (30;21) b) n =(118;68) 5) Cho hai điểm A(1;1), B(1;3) uuur uuu r a) Xác định tọa độ các vectơ AB, BA . uuuu r b) Tìm tọa độ điểm M sao cho BM  (3; 0) . uuu r c) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA  (1;1) . Đáp án: uuur uuu r a) AB  (2; 2), BA  (2; 2) b) M(4;3) c) N(2;0) rr r r uuur uuur 6) Cho hình vuông ABCD có cạnh là a=5. Chọn hệ trục tọa độ (A; i, j ), trong đó i và AD cùng hướng, j và AB cùng hướng. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, giao điểm I của hai đường chéo, trung điển N của BC và trung điểm M của CD. Đáp án: A(0;0), B(0;5), C(5;5), D(5;0) 5 5 5 5 I ( ; ), N ( ;5), M (5; ) 2 2 2 2 �  600 . Chọn hệ trục tọa 7) Cho hình bình hành ABCD có AD= 4 và chiều cao ứng với cạnh AD bằng 3, góc BAD rr u u u r u u u r u u u r u u u r r uuur độ (A; i, j ), trong đó i và AD cùng hướng. Tìm tọa độ các véctơ AB, BC , CD, AC . Đáp án: Kẻ BHAD, ta có �  600 ) BH=3 AB=2 3 (vì HAB vuông và BAD  AH= 3 . Do đó;A(0;0), B( 3 ;3), C(4+ 3 ;0), D=(4;0) uuur uuur uuur uuur AB  ( 3;3), BC  (4; 0), CD  ( 3; 3), AC  (4  3;3) 8) Cho tam giác ABC. Các điểm M(1;0), N(2;2) và P(1;3) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB. Tìm tọa độ các đỉnh tam giác. Đáp án: A(0;5), B(2;1), C(4;1) 9) Cho hình bình hành ABCD có A(1;3), B(2;4), C(0;1). Tìm tọa độ đỉnh D. Đáp án: D(3;0) 10) Cho hai điểm A(1;3);B(13;8) uuur a) Xác định tọa độ của AB .Tính AB. b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB. c) Tìm tọa độ điểm C biết rằng A là trung điểm BC. d) A’ là điểm đối xứng của A qua B. Tìm tọa độ A’. uuur Đáp án: a) AB =(12;5) b) I(7;11/2) c) 11) Cho A(-3;6); B(1;-2); C(6;3). a) Tìm tọa độ trọng tâm G. b) Tính chu vi tam giác ABC. Đáp án: a) b) 12) Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là trung điểm BC. Với A(1;-1); B(4;2); C(1;5). Tính tọa độ các véc tơ uuur uuuur uuuur AG, GM , AM . Tính chu vi tam giác ABC. uuur uuuur uuuur , GM  , AM  Đáp án: AG  13) Cho A(1;3); B(0;2) ; C(4;5) . Xác định tọa độ ba điểm E,F biết rằng: uuu r uuur uuur uuur uuur uuur r a) CE  3 AB  4 AC b) AF  2 BF  4CF  0 . Đáp án: � � 14) Cho A(2;t2); B(t;-4); C(2t;4t); D(t2;-1). Xaùc ñònh t ñeå AB = CD . Đáp án: t=1 -18- 15) Cho biết các véctơ sau cùng phương hay không cùng phương � � � � a) a = (1;2) và b = (3;6) b) a =( 2 = -1) và b = (-2; 2 ). � � � � c) a = (-1;4) và b = (3;7) d) a = (-1;-3) và b =(1;2). 16) Tìm x để cácr cặp véctơ sau cùngr phương r r a) a =(2;3), b =(4;x) b) u =(0;5), v =(x;7) ur r r r c) m =(2;3), n =(1;x) d) a =( t+1;2) b =(3;4-t). Đáp án: a) x= 6 b) x= 0 c) x= � 3 d) t=1; t=2 � � � 17) Biểu diễn véctơ c theo hai véctơ a và b a) � � � c = (4;7) ; a = (2;1) � � b) c = (1;3) ; a = (1;1) � � c) c = (0;5) ; a = (4;3) ; b = (-3;4) � ; b = (2;3) � ; b = (2;1). � � � c1  ma1  nb1 � HD: Tìm các số m, n sao cho c = m a + n b giải hệ � c2  ma 2  nb2 � Đáp án: r r r � a) c = a +2 b b) c = 3 r 4 � a b 5 5 r r � c) c = a 2 b uuur uuur uuur 18) Cho bốn điểm A(1;1), B(2;1), C(4;3) và D(16;3). Hãy biểu diễn AD theo AB, AC . uuur uuur uuur Đáp án: AD =3 AB +4 AC 19) Cho ba điểm A(1;1), B(1;3), C(2;0). Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng. uuur uuur HD: AB  2 AC 20) Cho A(3;4), B(2;5). Tìm x để điểm C(7;x) thuộc đường thẳng AB. uuur uuur Đáp án: A, B, C thẳng hàng AC / / AB x=14 21) Cho bốn điểmuA(0;1), B(1;3), C(2;7), D(0;3). Chứng minh đường thẳng AB//CD. uur uuur Đáp án: ta có CD  2 AB  AB và CD song song hoặc trùng nhau  uuur uuur 2 6  Ta AC  (2; 6), AB (1; 2) 1 2 uuur uuur  AC không cùng phương AB  C không thuộc AB  CD//AB 22) Cho tam giác ABC có A(1;1), B(5;3) đỉnh C trên Oy và trọng tâm G trên Ox. Tìm tọa độ đỉnh C. Đáp án: C(0;4) 23) Cho A(2;1), B(4;5). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB và tọa độ diểm C sao cho tứ giác OABC là hình bình hành, O là gốc tọa độ. Đáp án: I(1;3), C(2;6) 24) Cho ba điểm A(0;4), B(5;6), C(3;2) a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC. uuur uuur HD: a) Cần chứng minh AB không cùng phương AC b) G(1;4) rr uuu r r uuur r 25) Cho tam giác ABC đều cạnh a. Chọn hệ tọa độ (O; i, j ), trong đó O là trung điểm BC, i ��OC , j ��OA . a) Tính tọa độ các đỉnh tam giác ABC. b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC. c) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. a 3 a a ), B(  ; 0), C ( ; 0) 2 2 2 a a 3 b) E ( ; ) c) Tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với trọng tâm G. 4 4 rr uuur r uuur r 26) Cho lục giác đều ABCDEF. Chọn hệ tọa độ (O; i, j ), trong đó O là tâm của lục giác đều, i ��OD , j ��EC . Đáp án: a) A(0; Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều biết độ dài cạnh lục giác là 6. Đáp án: A(6;0), D(6;0) 27) Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0). uuurTìm rtọa độ điểm D nếu biết: uuur uuur a) AD – 2 BD + 3 CD = 0 uuur uuur uuur uuur b) AD – 2 AB = 2 BD + BC c) ABCD hình bình hành d) ABCD hình thang có hai đáy là BC, AD với BC = 2AD -19- 28) Cho hai điểm I(1; -3), J(-2; 4) chia đọan AB thành ba đọan bằng nhau AI = IJ = JB a) Tìm tọa độ của A, B b) Tìm tọa độ của điểm I’ đối xứng với I qua B r c) Tìmrtọa độ của C,rD biết ABCD hình bình hành tâm K(5, -6) 29) Cho a =(2; 1) ; b =( 3 ; 4) và c =(7; 2) r r r r a) Tìm tọa độ của vectơ u = 2 a - 3 b + c r r r r r b) Tìm tọa độ của vectơ x thỏa x + a = b - c r r r c) Tìm các số m ; n thỏa c = m a + n b 30) Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1). Tìm m để 3 điểm A, B, C thẳng hàng. 31) Cho A(2;-3), B(5;1), C(8;5). Chứng minh A, B, C thẳng hàng. BÀI TẬP THÊM 1/ Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 2 và 5. � a/ Tìm tọa độ của AB . b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB r � � c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2 MA + 5 MB = 0 d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA + 3 NB = 1 2/ Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c. a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB r � � � b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho MA + MB  MC = 0 � � � c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA  3 NB = NC 3/ Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 3 và 1. a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3 MA  2 MB = 1 c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3 NB = AB 4/ Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(2) ; B(4) ; C(1) ; D(6) a/ CMR : 1 AC + 1 AD = 2 AB b/ Gọi I là trung điểm AB. CMR : IC . ID  IA 2 c/ Gọi J là trung điểm CD. CMR : AC . AD  AB . AJ TỌA ĐỘ TRÊN MẶT PHẲNG r r r 1 r r i +j ; 2 r r r 3 r r r r j ; d = 3 i ; e = 4 j . c = i + 2 r 5/ Viết tọa độ của các vectơ sau : a = i  3 j , b = r r r 6/ Viết dưới dạng u = x i + y j , biết rằng : r r r r r u = (1; 3) ; u = (4; 1) ; u = (0; 1) ; u = (1, 0) ; u = (0, 0) r r 7/ Trong mp Oxy cho a = (1; 3) , b = (2, 0). Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ : r r r a/ u = 3 a  2 b r r r r r b/ v = 2 a + b c/ w = 4 a  8/ Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2) � � � a/ Tìm tọa độ của các vectơ AB , AC , BC b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB � � � c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho : CM = 2 AB  3 AC � 1 r b 2 � � r d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho : AN + 2 BN  4 CN = 0 9/ Trong mp Oxy cho ABC có A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2). a/ CMR : ABC cân. Tính chu vi ABC. b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC. 10/ Trong mp Oxy cho ABC có A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1). a/ CMR : ABC vuông. Tính diện tích ABC. b/ Gọi D(3; 1). CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng. c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. -20-