Tài liệu ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính

i Mục lục Kí hiệu toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii 1 1 Cơ sở toán học 1.1 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình vi phân . 1.1.3 Hệ phương trình vi phân có trễ . . . . . . . . . . 1.2 Bài toán ổn định Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân 1.2.2 Ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Bài toán ổn định hữu hạn thời gian . . . . . . . . . . . 1.4 Các bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 4 6 7 7 10 12 14 2 Ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân tuyến tính 2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . 2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ . . . . . . . . 2.3 Ứng dụng giải bài toán ổn định hóa hữu hạn thời gian . 15 15 31 34 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 39 ii KÍ HIỆU TOÁN HỌC R tập các số thực R+ tập các số thực không âm Rn×r không gian các ma trận thực cỡ (n × r) L2 ([0, T ], Rm ) không gian các hàm khả tích bình phương trên đoạn [0, T ] nhận giá trị trong Rm C([−r, 0], Rm ) không gian các hàm liên tục trên[−r, 0] nhận giá trị trong Rm Il ma trận đơn vị cỡ (l × l) AT ma trận chuyển vị của ma trận A A>0 ma trận A xác định dương, tức là hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= 0 A>B nghĩa là A − B xác định dương λ(A) tập hợp tất cả các giá trị riêng của ma trận A λmax (A) λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) kAk λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} q kAk = λmax (AT A) K tập hợp các hàm liên tục tăng chặt a(.) : R+ → R+ , a(0) = 0 " # R(t) 0 diag(R(t), ΓK (t))) ma trận chéo khối 0 ΓK (t) 1 MỞ ĐẦU Nghiên cứu tính ổn định là nội dung chính của lý thuyết định tính các hệ động lực, được bắt đầu từ cuối thế kỷ XIX với những công trình xuất sắc của nhà toán học Nga A.M.Lyapunov. Mỗi khi phân tích và thiết kế các hệ thống kỹ thuật hoặc mô hình kinh tế mô tả bằng các phương trình toán học người ta cần nghiên cứu tính ổn định của hệ thống đó. Cho đến nay, tính ổn định đã được nghiên cứu và phát triển như một lý thuyết toán học độc lập và có rất nhiều ứng dụng trong kinh tế, khoa học, kỹ thuật... Từ đó xuất hiện các bài toán nghiên cứu tính ổn định các hệ điều khiển. Khái niệm ổn định hữu hạn thời gian (FTS) xuất hiện vào cuối những năm 1950 khi nó được giới thiệu trong những tài liệu của các nhà Toán học Nga. Sau đó, suốt những năm 1960, khái niệm này đã xuất hiện trong các tạp chí phương Tây. Cụ thể hơn, một hệ được gọi là FTS nếu khi ta đưa ra một giới hạn cho điều kiện ban đầu, trạng thái của hệ không vượt ra khỏi ngưỡng đã giới hạn trong suốt khoảng thời gian đã cho. Bài toán ổn định các hệ phương trình vi phân là một trong những bài toán có nhiều ứng dụng quan trọng trong giải các bài toán xuất phát từ thực tế, đòi hỏi phải sử dụng nhiều lý thuyết và công cụ toán học hiện đại. Có nhiều phương pháp nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân, trong đó có phương pháp hàm Lyapunov. Trong khuôn khổ của luận văn này, luận văn đề cập đến ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân tuyến tính, trong đó có sử dụng phương pháp hàm Lyapunov cho bài toán ổn định Lyapunov đối với hệ phương trình 2 vi phân, hệ phương trình vi phân có trễ. Luận văn gồm hai chương. Chương 1 "Cơ sở toán học", chương này giới thiệu các kiến thức cơ bản về hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân có trễ và điều kiện cho sự tồn tại nghiệm của nó. Từ đó giới thiệu bài toán bài toán ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân có trễ. Bài toán về ổn định hữu hạn thời gian và các bổ đề liên quan đến việc chứng minh tính ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân tuyến tính ở chương sau. Chương 2 "Ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân tuyến tính", nội dung của chương này trình bày các kết quả về tính ổn định hữu hạn thời gian cho hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình vi phân tuyến có trễ, ứng dụng giải bài toán ổn định hữu hạn thời gian, đưa ra các ví dụ minh họa cho các bài toán ổn định. Bản luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát. Mặc dù bản thân đã cố gắng nhưng do thời gian có hạn, trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát, người thầy đã nhiệt tình hướng dẫn, truyền đạt cho tôi kiến thức trong suốt quá trình hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015 Huệ Phạm Thị Huệ 3 Chương 1 Cơ sở toán học Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân có trễ và điều kiện cho sự tồn tại nghiệm của nó, bài toán ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân có trễ, bài toán về ổn định hữu hạn thời gian và các bổ đề liên quan đến việc chứng minh tính ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân tuyến tính. Nội dung chủ yếu được lấy từ tài liệu [1], [2], [3], [5]. 1.1 1.1.1 Hệ phương trình vi phân Hệ phương trình vi phân Xét phương trình vi phân  ẋ(t) = f (t, x(t)), t ≥ 0; x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, (1.1) trong đó f (t, x(t)) : R+ × Rn → Rn với t ≥ t0 , x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái. Định nghĩa 1.1. Nghiệm x(t) của phương trình vi phân (1.1) là hàm số x(t) khả vi liên tục thỏa mãn i) (t, x(t)) ∈ R+ × Rn ; 4 ii) x(t) thỏa mãn hệ phương trình vi phân (1.1). Giả sử hàm f (t, x(t)) liên tục thì nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.1) cho bởi dạng tích phân sau Zt x(t) = x0 + f (s, x(s))ds. (1.2) t0 1.1.2 Sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình vi phân Định nghĩa 1.2. Hàm f : R × Rn → Rn , được gọi là Lipschitz đối với x đều theo t nếu tồn tại số thực dương L sao cho kf (t, x1 ) − f (t, x2 )k ≤ Lkx1 − x2 k, ∀(t, x1 , x2 ) ∈ R+ × Rn × Rn . Định lý sau khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.1) . Định lý 1.3. Xét hệ phương trình vi phân (1.1) trong đó giả sử hàm f (t, x) : R+ × Rn → Rn là liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x: ∃K > 0 : kf (t, x1 ) − f (t, x2 )k ≤ Kkx1 − x2 k, ∀t ≥ 0. Khi đó với mỗi (t0 , x0 ) ∈ R+ × Rn sẽ tìm được số d > 0 sao cho hệ (1.1) luôn có nghiệm duy nhất trên khoảng [t0 − d, t0 + d]. Định lý 1.4. Giả sử f : R+ × Rn → Rn liên tục và thỏa mãn các điều kiện sau i) ∃M1 , M2 > 0 : kf (t, x)k ≤ M1 + M2 kxk, ∀(t, x) ∈ R+ × Rn . ii) ∃M3 > 0 : kf (t, x1 ) − f (t, x2 )k ≤ M3 kx1 − x2 k, ∀(t, x1 , x2 ) ∈ R+ × Rn × Rn . 5 Khi đó với mọi x0 ∈ Rn , tồn tại duy nhất nghiệm x(t, x0 ) trên khoảng [0, ∞). Nếu vế phải của hệ (1.1) không phụ thuộc t thì ta nói hệ (1.1) là ôtônôm, ngược lại ta nói hệ không ôtônôm. Xét hệ phương trình vi phân tuyên tính ôtônôm:  ẋ(t) = Ax(t) + g(t), t ≥ 0; (1.3) x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0. trong đó A là ma trận hằng số cấp n × n, g : [0, +∞) → Rn là hàm liên tục, thì hệ có nghiệm duy nhất xác định trên [0, +∞) cho bởi công thức Cauchy Zt x(t) = eA(t−t0 ) x0 + eA(t−s) g(s)ds. t0 Đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có dạng  ẋ(t) = A(t)x(t) + g(t), t ≥ 0; (1.4) x(t0 ) = x0 , t ≥ 0, trong đó A(t) là ma trận các hàm số liên tục trên R+ , g : R+ → Rn là hàm liên tục. Nghiệm của hệ (1.4) thông qua ma trận nghiệm cơ bản Φ(t, s) của hệ tuyến tính thuần nhất ẋ(t) = A(t)x(t), t ≥ 0, được cho bởi công thức Zt x(t) = Φ(t, t0 )x0 + Φ(t, s)g(s)ds, t0 trong đó Φ(t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất thỏa mãn   dΦ (t, s) = A(t)Φ(t, s), t ≥ s ≥ 0; dt Φ(t, t) = I. 6 1.1.3 Hệ phương trình vi phân có trễ Chúng ta nhận thấy rằng hệ phương trình vi phân thường mô tả mối quan hệ giữa biến thời gian, trạng thái của hệ thống và vận tốc thay đổi của trạng thái tại cùng một thời điểm. Song trên thực tế, các quá trình xảy ra trong tự nhiên thường có sự liên quan tới quá khứ. Vì vậy khi mô tả quá trình này, chúng sẽ được biểu diễn bằng các phương trình vi phân có trễ. Giả sử một hệ thống phụ thuộc vào quá khứ với độ trễ (0 ≤ h ≤ +∞). Với x(.) là một hàm liên tục trên R+ , nhận giá trị trong Rn , chúng ta xây dựng hàm xt ∈ C : C([−r, 0], Rn ) như sau xt (s) = {x(t + s), ∀s ∈ [−r, 0]}. Như vậy xt là một đoạn quỹ đạo trên [t − r, t] của hàm x(.). Khi đó hệ phương trình có trễ mô tả sự phụ thuộc của vận tốc thay đổi tại thời điểm t vào trạng thái của hệ thống trong khoảng thời gian trước đó [t − r, t] được cho dưới dạng tổng quát ẋ(t) = f (t, xt ), t ≥ 0, (1.5) trong đó f (.) : R+ × C → Rn . Một nghiệm x(.) của hệ (1.5) đi qua điểm (t0 , φ) ∈ R+ × C được kí hiệu x(t0 , φ). Khi đó hàm giá trị ban đầu của nghiệm này trong khoảng [t0 − r, t0 ] chính là hàm φ, tức là xt0 (t0 , φ)(s) = x(t0 + s) = φ(s), ∀s ∈ [−r, 0]. Tương tự như phương trình vi phân thường ta cũng có công thức nghiệm dạng tích phân của hệ (1.5) là x(t0 + s) = φ(s), s ∈ [−r, 0], Zt x(t) = φ(0) + f (s, xs )ds, t ≥ t0 . t0 Định lý sau đây khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục của hệ phương trình (1.5) với điều kiện ban đầu x(t0 , φ). Định lý 1.5. Giả sử f (.) : R+ × C → Rn , là hàm liên tục theo T và thỏa mãn các điều kiện sau 7 i) ∃L > 0 : kf (t, φ1 ) − f (t, φ2 )k ≤ Lkφ1 − φ2 k, ∀(t, φ1 , φ2 ) ∈ R+ × C × C, thì tồn tại duy nhất nghiệm của (1.5) với điều kiện ban đầu (t0 , φ). ii) ∃φ ∈ C : kf (t, φ)k ≤ η(kφk), ∀t ≥ 0, trong đó η(.) : R+ → R+ là hàm liên tục, không giảm, thỏa mãn điều kiện Za dr = ∞. lim a→∞ η(r) 0 Khi đó hệ (1.5) có nghiệm x(t, φ) xác định trên khoảng [0, ∞). 1.2 1.2.1 Bài toán ổn định Lyapunov Ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân Một phương pháp hữu hiệu để xác định tính ổn định của hệ phương trình vi phân là phương pháp hàm Lyapunov. Với hệ không trễ ta xây dựng một hàm Lyapunov V (t, x(t)) mà dựa vào một số tính chất đặc thù của nó ta có thể đánh giá được tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân thông qua công thức nghiệm của hệ. Ta xét hệ phương trình ôtônôm: ẋ(t) = f (x(t)), t ≥ t0 , (1.6) và f (0) = 0. Định nghĩa 1.6. Nghiệm tầm thường của hệ (1.6) là ổn định nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi kx0 k < δ thì: kx(t)k < ε, ∀t ≥ 0. Nếu nghiệm là ổn định và lim kx(t)k = 0, t→∞ thì nghiệm tầm thường gọi là ổn định tiệm cận. 8 Định nghĩa 1.7. Hàm V (x) : Rn → R+ , gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.6) nếu V (x) khả vi liên tục trên Rn và thỏa mãn điều kiện: (i) Hàm V (x) là hàm xác định dương: V (x) ≥ 0, ∀x ∈ Rn , V (x) = 0 ⇔ x = 0. ∂V f (x) ≤ 0, ∀x ∈ Rn . ∂x Hàm V (x) gọi là hàm Lyapunov chặt nếu điều kiện (ii) được thay bằng điều kiện (ii) Df V (x) = (iii) ∃c > 0 : Df V (x) ≤ −ckxk, ∀x ∈ Rn \{0} của hệ (1.6). Định lý 1.8. Nếu hệ (1.6) có hàm Lyapunov thì hệ là ổn định. Hơn nữa, nếu hàm Lyapunov là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận. Đối với hệ phương trình vi phân không ôtônôm có dạng  ẋ = f (t, x(t)), t ≥ 0; f (t, 0) = 0, ∀t, (1.7) thì hàm Lyapunov được định nghĩa theo hai biến V (t, x(t)) như sau Định nghĩa 1.9. Hàm V : R+ × Rn → R+ , khả vi liên tục, thỏa mãn V (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0, được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.7) nếu: (i) Hàm V (t, x) là hàm xác định dương: ∃a ∈ K : (ii) Df V (t, x(t)) = V (t, x) ≥ a(kxk), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn . ∂V ∂V + f (t, x(t)) ≤ 0, với mọi nghiệm x(t) của ∂t ∂x hệ (1.7). Nếu hàm V (t, x) thỏa mãn thêm các điều kiện: ∃b, c ∈ K sao cho (iii) V (t, x) ≤ b(kxk), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn , (iv) Df V (t, x(t)) ≤ −c(kx(t)k) với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.7) thì V (t, x) gọi là hàm Lyapunov chặt của hệ (1.7). 9 Định lý 1.10. Hệ (1.7) có hàm Lyapunov thì ổn định. Nếu hàm Lyapunov là chặt thì hệ ổn định tiệm cận. Ví dụ 1.11. Xét tính ổn định của hệ sau bằng phương pháp hàm Lyapunov ( ẋ1 = x22 x1 − 2x2 ; ẋ2 = −x21 x2 + 2x1 . Chọn hàm V (x) = x21 + x22 . Dễ thấy V (x) là hàm khả vi liên tục trên R2 và thỏa mãn điều kiện (i). Xét điều kiện (ii) ∂V f (x) = 2x1 ẋ1 + 2x2 ẋ2 ∂x = 2x1 (x22 x1 − 2x2 ) + 2x2 (−x21 x2 + 2x1 ) Df V (x) = = 0. Vậy hệ tồn tại hàm Lyapunov ổn định, nhưng không ổn định tiệm cận. Ví dụ 1.12. Xét tính ổn định của hệ sau bằng phương pháp hàm Lyapunov ( ẋ1 = x2 − 4x31 ; ẋ2 = −x1 − 4x32 . 1 1 Chọn hàm V (x) = x21 + x22 . Dễ thấy V (x) là hàm khả vi liên tục trên 2 2 R2 và thỏa mãn điều kiện (i). Xét điều kiện (ii) ∂V f (x) = x1 ẋ1 + x2 ẋ2 ∂x = x1 (x2 − 4x31 ) + x2 (−x1 − 4x32 ) Df V (x) = = −4(x41 + x42 ) < 0. Do đó Df V (x) < 0, ∀x ∈ R2 \{0}. Vậy hệ ổn định tiệm cận. 10 1.2.2 Ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân có trễ Cũng như nghiên cứu hệ không trễ, với phương trình vi phân có trễ người ta cũng tìm một hàm V (t, xt ) để có thể đánh giá được tính ổn định nghiệm của hệ. Xét phương trình vi phân có trễ  ẋ(t) = f (t, x ), t ≥ 0; t (1.8) xt (s) = φ(s), s ∈ [−r, 0], 0 trong đó f (.) : R × C → Rn . Ta kí hiệu xt (t0 , φ) là nghiệm của phương trình (1.8) với điều kiện ban đầu xt0 = φ. Nếu V (.) : R × C → R là hàm liên tục ta định nghĩa đạo hàm của V (t, xt ) dọc theo quỹ đạo nghiệm của phương trình (1.8) như sau 1 V̇ (t, φ) = lim+ sup [V (t + h, xt+h (t, φ)) − V (t, φ)]. h→0 h Định lý sau cho ta điều kiện đủ để hệ (1.8) là ổn định (ổn định tiệm cận). + + Định lý 1.13. Giả sử f (.) : R+ × C → Rn , và u, v, w : R → R là những hàm liên tục không giảm, thêm vào đó u(s), v(s) là dương khi s > 0, u(0) = v(0) = 0. Nếu tồn tại một hàm khả vi liên tục V (.) : R+ × C → R+ sao cho u(kφ(0)k) ≤ V (t, φ) ≤ v(kφk), ∀(t, xt ) ∈ R+ × C, và V̇ (t, φ) ≤ −w(kφ(0)k), thì nghiệm tầm thường của (1.8) là ổn định. Nếu w(s) > 0 với s > 0 thì nghiệm tầm thường là ổn định tiệm cận. Định lý sau cho một dạng kiểm tra hàm Lyapunov tường minh theo nghiệm của hệ. Định lý 1.14. Giả sử f (.) : R+ × C → Rn . Nếu tồn tại một hàm liên tục V : R+ × C → R, sao cho: 11 i) ∃λ1 > 0, λ2 > 0 : λ1 kx(t)k2 ≤ V (t, xt ) ≤ λ2 kxt k2 , ∀(t, xt ) ∈ R+ × C; ii) V̇ (t, xt ) ≤ 0, với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.8), thì hệ (1.8) là ổn định và nghiệm của nó là bị chặn, tức là ∃N > 0 : kx(t0 , φ)k ≤ N kφk. Nếu điều kiện (ii) được thay bằng điều kiện iii) Tồn tại λ3 > 0 : V̇ (t, xt ) ≤ −2λ3 V (t, xt ), với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.8), thì hệ (1.8) là ổn định mũ và nghiệm x(t0 , φ) của hệ thỏa mãn đánh giá s λ2 kφke−λ3 (t−t0 ) , ∀t ≥ t0 . kx(t0 , φ)k ≤ λ1 Ví dụ 1.15. Xét tính ổn định của hệ phương trình vi phân có trễ sau: ẋ(t) = −ax(t) − bx(t − r), r > 0. (1.9) Xét hàm Lyapunov - Krasovskii 1 V (xt ) = x2 (t) + σ 2 Zt x2 (θ)dθ, σ > 0, (1.10) t−r Dễ thấy rằng: 1 V (xt ) ≥ x2 (t). 2 Lấy đạo hàm theo t của hàm V (xt ) dọc theo quỹ đạo nghiệm của hệ (1.9) ta được V̇ (xt ) = x(t)ẋ(t) + σx2 (t) − σx2 (t − r) = −(a − σ)x2 (t) − bx(t)x(t − r) − σx2 (t − r)   ! b   a−σ x(t)  2 = − x(t) x(t − r) .  b .  x(t − r) σ 2 12 Như vậy V̇ (xt ) < 0 khi và chỉ khi a > σ > 0, 4(a − σ)σ > b2 . a , khi đó nghiệm x = 0 của hệ phương trình (1.9). Ta 2 thấy các điều kiện của Định lý 1.13 được thỏa mãn. Vậy hệ đã cho là ổn định tiệm cận nếu |b| < a. Nếu chọn σ = 1.3 Bài toán ổn định hữu hạn thời gian Trong thực tế người ta thường gặp bài toán xét dáng điệu nghiệm hệ phương trình vi phân không trên toàn bộ [0, +∞) mà chỉ trên đoạn hữu hạn [0, T ]. Nói cách khác tính bị chặn của nghiệm thay đổi như thế nào khi nhiễu các giá trị ban đầu cũng bi chặn bởi một số cho trước. Đây cũng là nội dung chính của khái niệm ổn định hữu hạn thời gian. Xét hệ không ôtônôm  ẋ = f (t, x(t)), t ∈ [0, T ], (1.11) x(0) = x0 . Định nghĩa 1.16. Cho các số dương c1 , c2 , với c1 < c2 , ma trận đối xứng xác định dương R và thời gian T > 0. Hệ (1.11) được gọi là ổn định hữu hạn thời gian (Finite-time stability(FTS)) tương ứng với bộ (c1 , c2 , T, R) nếu xT0 Rx0 ≤ c1 , suy ra x(t)T Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0, T ]. Nhận xét 1.17. Ổn định Lyapunov (Lyapunov Stability(LS)) và FTS là hai khái niệm độc lập. Một hệ là FTS có thể không là LS, ngược lại một hệ LS có thể không thể là FTS. Để làm rõ điều này ta xét một vài ví dụ minh họa. Ví dụ 1.18. 13 Xét các hệ phương trình vi phân sau  ẋ(t) = cost, x(0) = 1, với t ∈ [0, π]; ẋ(t) = −x(t), x(π) = 1, với t ≥ π.  ẋ(t) = −x(t), t ≥ 0; x(0) = x0 .  ẋ(t) = −cost, t ≥ 0; x(0) = x0 . (1.12a) (1.12b) (1.12c) Ta thấy (1.12a) là LS, có nghiệm x(t) = sint + 1 với t ∈ [0, π] và x(t) = e−(t−π) với t ≥ π . Tuy nhiên hệ không là FTS ứng với bộ π c1 = , c2 = π, T = 2π . 4 Hệ (1.12b) là LS, có nghiệm là x(t) = e−t x0 . Hệ đồng thời là FTS ứng với bộ (c1 , c2 , T ) bất kì. 1 Hệ (1.12c) có nghiệm x(t) = sint + x0 là FTS ứng với bộ c1 = , c2 = 2 3π nhưng hệ (1.12c) không là LS. 2, T = 2 Ví dụ 1.19. Xét hệ phương trình vi phân có trễ sau ẋ(t) = −1.2x(t) + t+2 x(t − 1), t+1 t ≥ 0, (1.13) t x(t − 1), t ≥ 0, (1.14) t+6 Hệ (1.13) là LS, hệ không là FTS với bộ c1 = 1, c2 = 1.25, T = 10. Ngược lại (1.14) là FTS với bộ c1 = 1, c2 = 1.5, T = 10 nhưng không là LS mặc dù mọi nghiệm khác không của (1.14) đều tiến tới vô cùng khi thời gian tiến tới vô cùng. Quỹ đạo trạng thái của hệ (1.13) và (1.14) với điều kiện ban đầu φ(t) = 1, t ∈ [−1, 0]. ẋ(t) = −0.8x(t) + 14 1.4 Các bổ đề bổ trợ T T là các ma trận với , X12 , X21 , X22 = X22 Bổ đề 1.20. Giả sử X11 = X11 số chiều thích hợp. Khi đó các điều kiện sau là tương đương " # X11 X12 (i) < 0, T X12 −X22 −1 T X12 < 0. (ii) X11 < 0, X11 + X12 X22 Bổ đề 1.21. Cho M ∈ Rn×n là ma trận đối xứng xác định dương, khi đó i) λmin (M ) > 0, λmax (M ) > 0. ii) λmin (M )kxk2 ≤ xT M x ≤ λmax (M )kxk2 , ∀x ∈ Rn . 15 Chương 2 Ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân tuyến tính Trong chương này trình bày các kết quả về tính ổn định hữu hạn thời gian cho một số lớp hệ phương trình vi phân: hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ, ứng dụng giải bài toán ổn định hóa. Nội dung trong chương này được trình bày từ tài liệu [3], [4], [6]. 2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ tuyến tính ôtônôm ẋ = Ax(t), ∀t ≥ 0, (2.1) trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, A ∈ Rn×n là ma trận hằng cho trước. Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn thời gian của hệ (2.1). Định lý 2.1. Hệ (2.1) là ổn định hữu hạn thời gian(Finite-time stability(FTS)) ứng với bộ (c1 , c2 , T ) nếu tồn tại một số không âm α và một ma trận xác định dương Q ∈ Rn×n sao cho QA + AT Q − αQ < 0, (2.2) 16 và c1 1 λmax (Q̃) ≤ c2 e−αT , λmin (Q̃) 1 trong đó Q̃ = R− 2 QR− 2 là điều kiện xác định của Q. Chứng minh. Xét hàm Lyapunov dạng V (x(t)) = x(t)T Qx(t), Ta có t ≥ 0. V (x(0)) = xT0 Qx0 1 1 1 1 = xT0 R 2 R− 2 QR− 2 R 2 x0 1 1 = xT0 R 2 Q̃R 2 x0 (2.3) ≤ λmax (Q̃)xT0 Rx0 ≤ λmax (Q̃)c1 . Hơn nữa ta có   T V̇ (x(t)) = 2ẋ (t)Qx(t) = x (t) QA + A Q x(t). T T Cộng và trừ αV (x) hai vế ta có V̇ (x) − αV = xT (t)(QA + AT Q − αQ)x(t). Từ đó áp dụng điều kiện (2.2) và nhân hai vế với e−αt ta có được V̇ (x(t))e−αt − αV e−αt ≤ 0, suy ra  d  −αt e V (x(t)) ≤ 0, dt hay là e−αt V (x(t)) ≤ V (x0 ). Do đó V (x(t)) ≤ eαt V (x0 ). (2.4) 17 Nhận xét rằng 1 1 1 1 V (x(t)) =xT (t)R 2 R− 2 QR− 2 R 2 x(t) 1 1 = xT (t)R 2 Q̃R 2 x(t) ≥ λmin (Q̃)xT (t)Rx(t). Từ (2.3) và (2.4) ta có được λmin (Q̃)xT (t)Rx(t) ≤ eαT V (x0 ) ≤ eαT λmax (Q̃)c1 . Vậy ta có từ điều kiện (2.2) của định lý: xT (t)Rx(t) ≤ eαT λmax (Q̃) c1 ≤ c2 . λmin (Q̃) Điều phải chứng minh. Tiếp theo, ta đưa ra ví dụ cho các kết quả của lý thuyết. Ví dụ 2.2. Xét hệ phương trình ẋ(t) = Ax(t). Lấy R = I, α = 1, T = 1. Khi đó Q̃ = Q. Giả sử # " # " q1 0 a1 0 , A= . Q= 0 q2 0 a2 Xét QA + AT Q − Q < 0, hay " # " # " # " # " # q1 0 a1 0 a1 0 q1 0 q1 0 . + . − 0 q2 0 a2 0 a2 0 q2 0 q2 " # 2a1 q1 − q1 0 = . 0 2a2 q2 − q2 18 Theo điều kiện (2.2) của định lý ta có    2a q < q , ∀q > 0  a < 0, 5, 1 1 1 1 1 ⇔  2a2 q2 < q2 , ∀q1 > 0  a2 < 0, 5, ∀q1 > 0, ∀q1 > 0. Lấy  1 2 0  0 Q= , A = 3 1 . 0 1 0 4 Lấy λmax (Q) = 2, λmin (Q) = 1 và c2 = 3, c1 = e−1 . Khi đó  1  ẋ1 (t) = x1 (t), 3 1  ẋ2 (t) = x2 (t). 4 "  # Khi đó hệ ổn định hữu hạn thời gian với (e−1 , 3, 1, I). Tiếp theo, ta xét lớp hệ tuyến tính ôtônôm có nhiễu: ẋ(t) = Ax(t) + Gw(t), ẇ(t) = F w(t), x(0) = x0 , w(0) = w0 , (2.5) (2.6) trong đó A ∈ Rn×n , G ∈ Rn×r và F ∈ Rr×r . Định nghĩa 2.3. Hệ tuyến tính (2.5)-(2.6) được gọi là bị chặn hữu hạn (Finite time boundedness(FTB)) tương ứng với bộ (c1 , δ, c2 , T, R) nếu xT0 Rx0 ≤ c1 ; w0T Rw0 ≤ δ, suy ra xT (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0, T ]. (2.7) Định lý sau cho ta một kiện đủ cho tính bị chặn hữu hạn của hệ (2.5) - (2.6). Định lý 2.4. Hệ (2.5) - (2.6) là FTB tương ứng với bộ (c1 , δ, c2 , T, R), nếu tồn tại một số α ≥ 0, các λi xác định dương, i = 1, 2, 3, 4 và hai