i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan những kết quả được trình bày trong luận án là mới, được công bố
trên các tạp chí Toán học uy tín trong và ngoài nước. Các kết quả nêu trong luận án
là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Nghiên cứu sinh: Lê Giang
ii
LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành với sự giúp đỡ và ủng hộ của nhiều người. Với lòng biết
ơn chân thành nhất, tôi muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc tới tất cả những ai đã ủng hộ và
giúp đỡ tôi hoàn thành luận án này.
Trên hết tôi muốn gửi những lời biết ơn chân thành nhất tới hai người Thầy hướng
dẫn của mình là GS. Đỗ Đức Thái và GS. Gerd Dethloff, những người đã hết lòng giúp
đỡ, động viên và chỉ bảo tôi từ những bước đầu tiên cho đến những công việc cuối cùng
của luận án.
Tôi muốn gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Sư phạm Hà Nội và Trường Đại học
Tổng hợp Brest (Cộng hòa Pháp) vì sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi mà hai
Trường dành cho tôi. Đặc biệt là Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, nơi mà tôi đã và
đang học tập, công tác.
Tôi bày tỏ sự biết ơn chân thành đến Cục đào tạo với nước ngoài (Đề án 911) đã
giúp đỡ và ủng hộ tôi hoàn thành luận án.
Tôi muốn gửi lời cảm ơn tới Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, các đồng nghiệp trong
Khoa và các đồng nghiệp trong seminar nghiên cứu Hình học phức và Hình học đại số
đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình làm luận án.
Cuối cùng tôi muốn bày tỏ sự biết ơn tới gia đình tôi, những người luôn bên tôi,
động viên và chia sẻ với tôi những vất vả khó khăn trong quá trình hoàn thành luận
án.
Mục lục
Lời cam đoan
i
Lời cảm ơn
ii
Mở đầu
1
Tổng quan
4
1 Định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu di động.
7
1.1
Một số khái niệm cơ bản trong hình học đại số và hình học Diophantine. 12
1.2
Các kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.3
Định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu di động . . . . . . . . . .
18
1.3.1
Một vài bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.3.2
Chứng minh của Định lí 1.0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2 Dạng định lượng của định lí không gian con Schmidt
35
2.1
Độ cao xoắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.2
Một vài ước lượng về độ cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.3
Chứng minh Định lí 2.0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3 Dạng hiệu quả của định lí không gian con Schmidt trên trường hàm 58
3.1
Các khái niệm và các kí hiệu cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
61
iv
3.2
Cách chọn chính tắc các đa thức xác định X từ dạng Chow của đa tạp X. 62
3.3
Một vài kết quả hiệu quả. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
3.4
Chứng minh của định lí 3.0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
4 Định lí cơ bản thứ hai
83
4.1
Khái niệm cơ bản và một vài kết quả từ lí thuyết Nevanlinna. . . . . .
85
4.2
Cắt bội cụ thể của định lí cơ bản thứ hai suy biến . . . . . . . . . . .
87
4.2.1
Một vài bổ đề.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
4.2.2
Chứng minh của định lí 4.0.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Kết luận và kiến nghị
95
Danh mục các công trình liên quan đến luận án
96
Tài liệu tham khảo
97
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình Diophantine là hệ các phương trình giải trong tập các số nguyên Z,
trong tập các số hữu tỉ Q, hoặc tổng quát hơn là trong các vành hữu hạn sinh trên
Z hoặc trong các trường hữu hạn sinh trên Q. Hình học Diophantine nghiên cứu các
phương trình Diophantine thông qua ngôn ngữ và phương pháp của hình học đại số
trên trường không đóng đại số K. Trong khi đó, lí thuyết Nevanlinna khảo sát tính
chất của đường cong chỉnh hình trên đa tạp đại số trên C. Lí thuyết Nevanlinna và
hình học Diophantine đã phát triển độc lập với nhau qua vài thập kỉ. Tuy nhiên, trong
thời gian gần đây, Osgood (xem [53, 54]), P. Vojta (xem [77, 83]), Serge Lang (xem
[35, 37]) và một số người khác đã phát hiện ra rằng có sự tương đồng đặc biệt giữa hai
đối tượng này. Ví dụ như là một đường cong chỉnh hình khác hằng trong một đa tạp
đại số tương ứng với một tập vô hạn các điểm hữu tỉ. Vojta đã đưa ra một từ điển về
sự tương ứng này. Thông qua từ điển đó, một số định lí trong lí thuyết Nevanlinna có
thể chuyển thành một kết quả đúng trong hình học Diophantine. Sự hiểu biết về mối
liên hệ giữa hai vấn đề này trong vòng 30 năm qua đã dẫn đến những bước phát triển
vượt bậc trong cả hai lĩnh vực. Nhiều giả thuyết đặt ra trong vài chục năm trước đã
được giải quyết. Các kết quả thường được chứng minh trong lí thuyết Nevanlinna sau
đó được chuyển sang dạng tương ứng của chúng trong hình học Diophantine. Mặc dù
việc chuyển sang mệnh đề tương ứng là việc làm hoàn toàn hình thức, chứng minh của
chúng thì không hoàn toàn như vậy. Trong lí thuyết Nevanlinna, chúng ta có khái niệm
đạo hàm của các ánh xạ chỉnh hình. Khái niệm này là công cụ đặc biệt quan trọng
trong chứng minh. Tuy nhiên, cho đến nay người ta vẫn chưa thể nào xây dựng được
khái niệm tương tự trong lí thuyết số. Trong thời gian gần đây, những kết quả của lí
thuyết số áp dụng định lí không gian con Schmidt đã dẫn đến những kết quả tương tự
trong lí thuyết Nevanlinna.
Khi nghiên cứu trên trường hàm đại số, ta cũng thấy hình học Diophantine và lí
thuyết Nevanlinna có liên quan mật thiết với nhau. Ta thấy rằng một trường hàm đại
số có nhiều tính chất số học của trường số. Mặt khác, nhiều kĩ thuật của lí thuyết
Nevanlinna có thể được áp dụng cho trường hàm đại số và kết quả thu được thường ở
2
dạng hiệu quả nghĩa là các hằng số liên quan có thể tính toán được một cách hiệu quả
qua quá trình chứng minh.
Luận án này nhằm nghiên cứu mối liên hệ giữa lí thuyết Nevanlinna và hình học
Diophantine đặc biệt tập trung vào định lí không gian con Schmidt trên trường số cũng
như trên trường hàm và định lí cơ bản thứ hai. Luận án bao gồm 4 chương.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận án là nghiên cứu định lí không gian con Schmidt trên
trường số, trường hàm đại số và định lí cơ bản thứ hai đối với họ các siêu mặt.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Như đã trình bày ở phần lý do chọn đề tài, đối tượng nghiên cứu của luận án là
mối quan hệ sâu sắc giữa lí thuyết phân bố giá trị và hình học Diophantine đặc biệt
là định lí không gian con Schmidt trên trường số cũng như trên trường hàm và định
lí cơ bản thứ hai. Trong luận án, các kết quả đạt được là mở rộng của các kết quả đã
đạt được gần đây.
4. Phương pháp nghiên cứu
Để giải quyết những vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương
pháp nghiên cứu của Lý thuyết phân bố giá trị, Hình học Diophantine, Hình học phức
đồng thời chúng tôi cũng đưa ra những kĩ thuật mới để giải quyết vấn đề.
5. Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài
Luận án được chia thành bốn chương.
Chương 1 dành cho việc nghiên cứu định lí không gian con Schmidt trên trường số
đối với mục tiêu di động. Cụ thể là sau khi giới thiệu lại các khái niệm và kết quả cơ
bản của hình học Diophantine, các kết quả đã đạt được từ trước đến nay trong việc
nghiên cứu vấn đề này, chúng tôi chứng minh định lí không gian con Schmidt cho mục
tiêu là họ các siêu mặt di động trong không gian xạ ảnh. Kết quả này tổng quát hóa
kết quả của Ru-Vojta (xem [59]).
Chương 2 dành cho việc nghiên cứu dạng định lượng của định lí không gian con
Schmidt. Sau khi nhắc lại những kết quả quan trọng đã thu được từ trước đến nay,
chúng tôi chứng minh dạng định lượng của định lí không gian con Schmidt cho họ các
3
đa thức với nghiệm trên đa tạp xạ ảnh cho trường hợp tổng quát hơn trường hợp đã
được nghiên cứu bởi Evertse-Ferretti (xem [22]).
Trong chương 3, chúng tôi giới thiệu dạng hiệu quả của định lí không gian con
Schmidt trên trường hàm. Cụ thể chúng tôi mở rộng các kết quả trước đó đến trường
hợp đa tạp xạ ảnh và họ các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát.
Trong chương cuối cùng của luận án, chúng tôi nghiên cứu định lí cơ bản thứ hai
của lí thuyết phân bố giá trị. Cụ thể là sau khi nhắc lại những khái niệm cơ bản của lí
thuyết này, chúng tôi cải tiến kết quả đạt được gần đây của Chen- Ru-Yan (xem [12])
bằng việc đưa ra cắt bội cụ thể cho định lí cơ bản thứ hai suy biến của ba tác giả trên.
6. Cấu trúc luận án
Bố cục của luận án ngoài phần mở đầu và phần phụ lục gồm bốn chương được viết
theo tư tưởng kế thừa. Bốn chương của luận án được viết dựa trên bốn công trình
trong đó hai công trình đã được đăng, một công trình đã được nhận đăng và một công
trình đã được gửi đi công bố.
Chương I: Định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu di động
Chương II: Dạng định lượng của định lí không gian con Schmidt.
Chương III: Dạng hiệu quả của định lí không gian con Schmidt.
Chương IV: Định lí cơ bản thứ hai.
7. Nơi thực hiện luận án
Luận án được thực hiện tại khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà nội và khoa
Toán, trường Đại học Tổng hợp Brest, Cộng hòa Pháp.
4
TỔNG QUAN
Ta biết rằng định lí không gian con Schmidt là một trong những vấn đề trung tâm
của hình học Diophantine. Vào thập kỉ 1970, Wolfgang Schmidt đã đưa ra những dạng
đầu tiên của định lí này. Trong khi định lí của Roth nghiên cứu xấp xỉ của các số đại
số bởi các số hữu tỉ trên đường thẳng thực, định lí không gian con nghiên cứu vấn đề
xấp xỉ đối với họ các siêu phẳng cho trước trong không gian chiều lớn hơn xác định
trên trường số đại số. H.P. Schlickewei (xem [65]) đã cải tiến kết quả của W. Schmidt,
trong đó xấp xỉ được thực hiện đồng thời đối với tất cả các định giá trong một tập
hữu hạn S cho trước trong một trường số cho trước. Sau đó, Vojta (xem [79]) đã cải
tiến kết quả của Schlickewei bằng việc chứng minh sự độc lập của các siêu phẳng loại
trừ từ sự lựa chọn của một số thông số nhất định.
Vào thập kỉ 2000, Corvaja-Zannier (xem [10]) và Evertse-Ferretti (xem [22]) đã khái
quát định lí không gian con tới trường hợp nghiệm được xét trên đa tạp xạ ảnh và
các siêu mặt nằm ở vị trí tổng quát. Gần đây, Chen- Ru-Yan (xem [12]) và sau đó A.
Levin (xem [42]) tổng quát hóa kết quả của họ tới trường hợp các divisor nằm ở vị trí
dưới tổng quát.
Các định lí không gian con Schmidt đã nhắc đến ở trên có thể xem là các định lí
không gian con Schmidt cho mục tiêu cố định theo nghĩa là các siêu mặt ”mục tiêu”
là cố định khi các điểm xấp xỉ di động qua vô hạn điểm. Một hướng để tổng quát hóa
định lí không gian con Schmidt đó là cho phép các ”mục tiêu” này di động chậm.
R.Nevanlinna đã đặt ra vấn đề định lí cơ bản thứ hai với mục tiêu di động, tức là
các hằng số ai được thay thế bởi các hàm phân hình gi với log T (r, gi ) = o(log T (r, f )).
Ông đã giải quyết trường hợp cho ba mục tiêu di động bằng cách sử dụng biến đổi
Mobius để đưa về trường hợp hằng số. Trường hợp tổng quát là câu hỏi mở trong một
thời gian dài. Dạng yếu của định lí cơ bản thứ hai không có cắt bội được chứng minh
một cách độc lập bởi C.F.Osgood (xem [53, 54]) và N. Steinmetz (xem [75]) (xem [64]
để biết thêm chi tiết). Đó chính là động lực thúc đẩy Vojta đưa ra định lí Roth cho
mục tiêu di động (xem [80]). Sau đó, M. Ru và Vojta (xem [59]) mở rộng định lí trên
đến định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu di động. Lập luận của Vojta, lấy cảm
hứng từ bài báo của N. Steinmetz, đã thu được định lí đã đề cập ở trên như là một hệ
5
quả của định lí không gian con Schmidt.
Gần đây, Dethloff và Tan (xem [15]) chứng minh định lí cơ bản thứ hai cho ánh
xạ chỉnh hình không suy biến đại số của C vào Pn (C) và các mục tiêu di động chậm
Qj ⊂ Pn (C), j = 1, . . . , q, (q ≥ n + 2) ở vị trí tổng quát. Mục đích của chúng tôi trong
phần đầu tiên của luận án là chứng minh dạng số học của định lí trên. Cụ thể là chúng
tôi sẽ chứng minh ”Định lí không gian con Schmidt cho các siêu mặt di động”. Chương
đầu tiên của luận án được viết dựa trên bài báo [28].
Trong chương hai của luận án, chúng tôi nghiên cứu dạng định lượng của định lí
không gian con Schmidt. Đây là một cải tiến rất quan trọng của định lí không gian
con, trong đó ta đưa ra số các siêu phẳng cần thiết để chứa tất cả các nghiệm.
Schmidt (xem [69]) là người đầu tiên nghiên cứu vấn đề này và sau đó J.H-Evertse
(xem [19]), J.H. Evertse và Schlickewei (xem [21]) đã cải tiến kết quả của ông bằng
việc đưa ra chặn tốt hơn cho số siêu phẳng. Những chặn trên này rất lớn và nó chuẩn
tắc đối với trường số K, đây là điều cốt yếu trong nhiều ứng dụng. Những kết quả
này tiếp tục được cải tiến bởi Evertse và Ferretti (xem [23]). Năm 2008, họ (xem [22],
định lí 1.3) tổng quát các kết quả trên tới trường hợp bất đẳng thức với các đa thức
và nghiệm được xét trên một đa tạp con xạ ảnh n chiều của PN , trong đó N ≥ n ≥ 1.
Trong chương hai của luận án, chúng tôi sẽ mở rộng kết quả của họ tới trường hợp
tổng quát hơn. Chương này được viết dựa trên bài báo [30].
Chương ba của luận án nghiên cứu dạng hiệu quả của định lí không gian con Schmidt
trên trường hàm đại số với đặc số 0. Chúng tôi muốn lưu ý rằng, trong trường số cho
tới nay vẫn chưa chứng minh được dạng hiệu quả của định lí này. Tuy nhiên với kĩ
thuật của lí thuyết Nevanlinna, ta có thể đưa ra được dạng hiệu quả của một vài kết
quả quan trọng trong hình học Diophantine trên trường hàm đại số. Kết quả đầu tiên
áp dụng thành công kĩ thuật này là định lí ABC trên trường hàm (xem [43], [78], [6],
[76], [48], và [33]). Sau đó, dạng hiệu quả của định lí Roth, định lí Wirsing và định
lí Nochka-Chen-Ru-Wong [84, 87], tiếp tục dựa trên kĩ thuật đó. Bằng cách dựa trên
phương pháp của Vojta, J.Wang đã chứng minh dạng hiệu quả của định lí không gian
con Schmidt cho các dạng tuyến tính trên trường hàm đại số có đặc số 0 trong [86].
Trong bài báo [1], An và Wang mở rộng kết quả trên của J. Wang cho các dạng không
6
tuyến tính. Dựa trên công việc của Evertse và Ferretti [22], Ru và Wang [63] tổng quát
những kết quả trên tới trường hợp các divisors của đa tạp xạ ảnh của X ⊂ PM được
sinh ra bởi các siêu mặt trong PM trên trường hàm có đặc số 0. Phương pháp chứng
minh được dựa trên chứng minh của định lí tương ứng trên trường số. Vấn đề chính là
chúng ta phải làm các quá trình tính toán trở nên cụ thể và hiệu quả.
Như ta đã nói ở trên, Chen- Ru-Yan (xem [12]) và Levin (xem [42], định lí 5.1) đã
chứng minh định lí không gian con Schmidt cho các siêu mặt ở vị trí m- dưới tổng
quát trên trường số và đồng thời chỉ ra kết quả tương tự cho đường cong chỉnh hình.
Đây chính là động lực cho bài báo của chúng tôi [27]. Chúng tôi tổng quát hóa kết quả
của Ru-Wang tới trường hợp các siêu mặt nằm ở vị trí m-dưới tổng quát. Phần ba của
luận án dùng để trình bày kết quả này (xem [27]).
Trong phần cuối của luận án, chúng tôi nghiên cứu định lí cơ bản thứ hai. Định lí
này giữ một vai trò quan trọng trong lí thuyết Nevanlinna. Thông qua từ điển Vojta,
định lí cơ bản thứ hai tương ứng với định lí không gian con Schmidt. Được bắt đầu
bởi R. Nevanlinna, định lí này đã được nghiên cứu rất sâu rộng bởi nhiều nhà nghiên
cứu như H. Cartan (xem [92],...), W. Stoll ([57]), M. Ru ([60, 61, 62]), G. Dethloff - T.
V. Tan-Thai ([14]...),... và nhiều người khác.
Năm 2009, Min Ru (xem [62]) chứng minh định lí cơ bản thứ hai cho đường cong
chỉnh hình không suy biến đại số vào trong đa tạp xạ ảnh với họ các siêu mặt ở vị trí
tổng quát. Sau đó, ông và Chen, Yan (xem [11]) cải tiến kết quả trên bằng việc đưa ra
cắt bội cụ thể cho hàm đếm. Năm 2012, ba tác giả trên chứng minh định lí cơ bản thứ
hai cho trường hợp các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát (xem [12]). Trong bài báo của
họ, cắt bội không được đưa ra một cách cụ thể. Khi chúng ta muốn áp dụng bất đẳng
thức của dạng định lí cơ bản thứ hai, một vấn đề cốt yếu đó là ta phải có bất đẳng
thức với hàm đếm cắt bội. Đưa ra dạng số học tương ứng của định lí cơ bản thứ hai có
chứa hàm đếm cắt bội có lẽ là một trong những vấn đề mở quan trọng nhất của hình
học Diophantine. Mục đích của chúng tôi là cải tiến kết quả của Chen-Ru-Yan bằng
cách đưa ra ước lượng cụ thể của cắt bội. Chương cuối của luận án được viết dựa trên
bài báo [29].
Chương 1
Định lí không gian con Schmidt cho
mục tiêu di động.
Trước hết chúng tôi nhắc lại những kết quả tiêu biểu nhất trong lịch sử phát triển
của định lí không gian con Schmidt.
Năm 1955, K. F. Roth (xem [56, 32, 4]) đã chứng minh một định lí rất quan trọng
về sự xấp xỉ của các số đại số bởi các số hữu tỉ. Ta biết rằng tập các số hữu tỉ trù mật
trên tập các số thực nhưng nếu chúng ta giới hạn độ lớn của mẫu số thì vấn đề hoàn
toàn không tầm thường.
Định lí A. (Định lí Roth [56, 32, 4])Giả sử α là một số đại số thực và > 0. Khi
đó chỉ có một số hữu hạn các số hữu tỉ
p
q
∈ Q thỏa mãn bất đẳng thức sau đây
p
1
|α − | ≤ 2+ .
q
q
Dựa trên một kết quả đơn giản nhưng rất nổi tiếng của Dirichlet, số mũ 2 + là số
tốt nhất có thể được theo nghĩa là chúng ta không thể thay thế nó bởi một số nhỏ hơn
nữa mà định lí Roth vẫn đúng. Định lí trên có thể mở rộng lên một trường số bất kì
K (thay vì Q) và xấp xỉ với một họ hữu hạn các định giá (trong đó bao gồm cả các
định giá không archimedean) (xem [55, 35]).
Trong bài báo [67], Schmidt đã tổng quát định lí Roth lên không gian có chiều cao
hơn. Người ta thường gọi định lí này là định lí không gian con. Chúng tôi nhắc lại ở
đây phát biểu phổ biến nhất của định lí này (bao gồm những cải tiến quan trọng của
7
8
H.P.Schlickewei [65] và Vojta [79]).
Định lí B. (Định lí không gian con Schmidt [67])Giả sử K là trường số và S là
tập con hữu hạn của MK chứa MK∞ . Các dạng tuyến tính L1 , . . . , Lq ∈ K[X0 , . . . , Xn ]
nằm ở vị trí tổng quát. Khi đó, với mọi ε > 0, bên ngoài một họ hữu hạn các không
gian con thực sự của Pn (K), ta có
q
XX
λLi ,v (x) ≤ (n + 1 + ε)h(x).
v∈S i=1
Tương tự như định lí Roth, định lí không gian con Schmidt có rất nhiều ứng dụng
quan trọng và rất đáng ngạc nhiên (tham khảo [5]). Nhưng trong luận án này chúng
tôi không tập trung vào vấn đề này mà chủ yếu tập trung vào việc mở rộng định lí tới
những trường hợp tổng quát hơn. Mối liên hệ giữa lí thuyết Nevanlinna và hình học
Diophantine được phát hiện bởi C. Osgood, P. Vojta và S. Lang,.... đã đưa đến nhiều
kết quả gần đây trong cả hai lĩnh vực.
Năm 1991, dựa trên chứng minh của giả thuyết của Cartan trong lí thuyết
Nevanlinna [49, 50], Ru và Wong đã tổng quát định lí không gian con Schmidt tới
trường hợp các dạng tuyến tính ở vị trí N −dưới tổng quát.
Định lí C. (Ru-Wong [58])Giả sử K là trường số và S là tập con hữu hạn của MK
chứa MK∞ . Các dạng tuyến tính cho trước L1 , . . . , Lq ∈ K[X0 , . . . , Xn ] nằm ở vị trí
N-dưới tổng quát. Khi đó, với mọi ε > 0, bên ngoài một họ hữu hạn các không gian
con thực sự của Pn (K), ta có
q
XX
λLi ,v (x) ≤ (2N − n + 1 + ε)h(x).
v∈S i=1
Gần đây, P. Corvaja và U.M. Zannier [10], Evertse và Ferretti [22], độc lập với nhau,
đã chứng minh định lí không gian con Schmidt cho họ các đa thức trên trường số. Sau
đó, M. Ru đã chứng minh dạng giải tích của các định lí này trong lí thuyết Nevanlinna
[61, 62]. Các kết quả của họ được phát biểu như sau
Định lí D. (Corvaja-Zannier-Everstse-Ferretti [10, 22]) Giả sử MK∞ ⊂ S ⊂ MK
là một tập hữu hạn. Giả sử X là đa tạp con xạ ảnh của PM xác định trên trường số K,
dim X = n. Giả sử D1 , . . . , Dq là họ các siêu mặt được xác định bởi các đa thức thuần
nhất Q1 , . . . , Qq ∈ K[X0 , . . . , XM ] với bậc tương ứng dj , j = 1, . . . , q. Khi đó, với mọi
9
> 0, bên ngoài một họ hữu hạn các đa tạp con đóng thực sự của X, ta có
q
XX
λD ,v
i
v∈S i=1
di
≤ (n + 1 + )h(x).
Trong thời gian gần đây, Chen- Ru-Yan ([12]) và Levin ([42]) đã tổng quát các kết quả
trên tới cho trường hợp đa tạp xạ ảnh X và một họ các siêu mặt ở vị trí N −dưới tổng
quát đối với X (n ≤ N ∈ N). Họ cũng chứng minh kết quả tương tự trong lí thuyết
Nevanlinna.
Định lí E. (Levin, [42]) Giả sử X là đa tạp xạ ảnh n chiều xác định trên trường số
K. Giả sử D0 , . . . , Dq , (q ≥ n) là các divisor Cartier ample và hiệu quả trên X, xác
định trên K và nằm ở vị trí N −dưới tổng quát, N ≥ 2. Giả sử tồn tại divisor Cartier
hiệu quả A trên X, xác định trên K, và các số nguyên di thỏa mãn Di ≡ di A (tương
đương số học) với mọi i. Giả sử S ⊂ MK là tập hữu hạn và > 0. Khi đó bất đẳng
thức
q
X
X λD ,v (x)
i
i=1 v∈S
di
≤
N (N − 1)(n + 1)
+ hA (x) + O(1),
N +n−2
đúng với mọi x ∈ X(K) \ ∪i SuppDi .
Những định lí được nhắc lại trên đây có thể xem như là ”Định lí không gian con
Schmidt cho mục tiêu cố định". Một hướng để tổng quát định lí không gian con Schmidt
và định lí cơ bản thứ hai đó là cho phép các ”mục tiêu” này di động chậm.
Trong phần đầu tiên của luận án, chúng tôi nghiên cứu sự tương đồng giữa xấp xỉ
Diophantine và lí thuyết Nevanlinna trong trường hợp mục tiêu di động.
Một ví dụ của sự tương đồng này là kết quả của Vojta ” Định lí Roth cho mục tiêu
di động” (xem [80]). Định lí tương ứng của định lí này trong lí thuyết Nevanlinna là
”Định lí cơ bản thứ hai cho mục tiêu di động”. Nó được chứng minh bởi C. Osgood
năm 1985. Năm 1986, N. Steinmetz (xem [75]) đã đưa ra một chứng minh khác đơn
giản hơn.
Phương pháp trình bày trong bài báo của Vojta được suy ra từ phương pháp của
Steinmetz. Một lưu ý rất then chốt trong chứng minh của Steinmetz đó là chúng ta
có thể tránh việc sử dụng bổ đề đạo hàm logarithmic trong việc chứng minh định lí
cơ bản thứ hai cho đường cong chỉnh hình. Như vậy, thông qua từ điển của Vojta,
phương pháp của Steinmetz có thể áp dụng để chứng minh kết quả tương tự trong xấp
10
xỉ Diophantine. Định lí của Vojta được phát biểu như sau (xem mục 1.1, chương 1 để
tham khảo các kí hiệu)
Định lí F. (Vojta [80]).
Giả sử K là một trường số, S ⊂ MK là tập con hữu hạn các định giá và q ≥ 1
là số nguyên dương. Khi đó, với mọi > 0, không tồn tại dãy (q + 1)−bộ số
(xi , αi1 , . . . , αiq ) ∈ (P1 (K))q+1 , (i ∈ N) thỏa mãn các tính chất sau đây:
• Với mọi i ∈ N, ta có αiλ 6= αiµ với mọi λ 6= µ;
• h(αi1 ) + · · · + h(αiq ) = o(h(xi )) khi i tiến tới vô hạn;
• Với mọi i ∈ N bất đẳng thức sau thỏa mãn:
−
q
XX
log dv (αij , xi ) ≥ (2 + )h(xi ),
v∈S j=1
trong đó dv là khoảng cách v−adic cầu trên P1 (Kv ).
Trong không gian có chiều cao hơn, ta có kết quả của Ru-Vojta "Định lí không gian
con Schmidt cho mục tiêu di động" (xem [59]). Định lí này tương ứng với định lí của
Ru-Stoll (xem [57]) trong lí thuyết Nevanlinna. Các tác giả đã tổng quát hóa định lí
không gian con Schmidt tới trường hợp ”mục tiêu di động chậm" bằng cách cho phép
họ các siêu phẳng di chuyển với các điểm xấp xỉ với điều kiện ràng buộc là độ cao
của hệ số các dạng tuyến tính xác định siêu phẳng tăng chậm so với độ cao của các
điểm xấp xỉ. Lưu ý rằng, Ru và Vojta chỉ phát biểu định lí trong trường hợp tập các
siêu phẳng di động cố định đối với định giá v nhưng chứng minh của họ vẫn đúng cho
trường hợp các siêu phẳng đó thay đổi đối với các định giá v.
Giả sử Λ là tập chỉ số vô hạn cho trước. Một siêu phẳng di động H là ánh xạ
H : Λ −→ (Pn )∗ (K), α 7−→ H(α).
Định lí G (Định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu di động [59]). Giả
sử K là một trường số, S là tập hữu hạn các định giá của K, và > 0. Giả sử Λ
(v)
(v)
là tập chỉ số vô hạn. Với mọi v ∈ S, giả sử L1 , . . . , Lq
là các siêu phẳng di động
Λ −→ (Pn )∗ (K) và giả sử x : Λ −→ Pn (K) là họ các điểm thỏa mãn:
(v)
(v)
(1) Với mọi v ∈ S, α ∈ Λ, L1 (α), . . . , Lq (α) ở vị trí tổng quát.
(v)
(v)
(2) Với mọi v ∈ S, x không suy biến trên R tương ứng với L1 , . . . , Lq .
11
(v)
(3) Với mọi v ∈ S, h(Lj (α)) = o(h(x(α))), j = 1, . . . , q.
Khi đó, tồn tại một tập con các chỉ số vô hạn A ⊂ Λ thỏa mãn
q
XX
v∈S j=1
λL(v) (α),v (x(α)) ≤ (n + 1 + )h(x(α)),
j
với mọi α ∈ A.
Trong chương này của luận án, chúng tôi chuyển định lí vừa được chứng minh bởi
Dethloff và Tan ”Định lí cơ bản thứ hai cho siêu mặt di động” ([15]) trong lí thuyết
Nevanlinna sang kết quả tương ứng trong hình học Diophantine. Kết quả của chúng
tôi có thể xem như là định lí không gian con Schmidt trong đó mục tiêu di động là các
siêu mặt thay thế cho các siêu phẳng. Chương này được viết dựa trên bài báo [28].
Giả sử n ≥ 1, d ≥ 1 là số nguyên dương và Λ là một tập chỉ số vô hạn cho trước.
Một siêu mặt di động bậc d trong Pn là ánh xạ Q : Λ −→ P(H 0 (Pn , O(d))). Ta sẽ
chứng minh định lí sau đây.
Định lý 1.0.1. (L. Giang [28]) Giả sử K là một trường số, S là tập hữu hạn các
định giá của K. Giả sử q ≥ n + 1 là số nguyên dương và > 0. Giả sử Λ là tập vô
hạn các chỉ số và Q1 , . . . , Qq là các siêu mặt di động trong Pn (K) tương ứng có bậc
d1 , . . . , dq và giả sử x : Λ −→ Pn (K) là họ các điểm thỏa mãn:
(1) Họ các đa thức Q1 , . . . , Qq là admissible;
(2) x không suy biến đại số trên R{Qj }qj=1 ;
(3) h(Qj (α)) = o(h(x(α))) với mọi j = 1, . . . , q.
Khi đó, tồn tại tập con chỉ số vô hạn A ⊂ Λ thỏa mãn
q
XX
1
λQ (α),v (x(α)) ≤ (n + 1 + )h(x(α)),
dj j
v∈S j=1
với mọi α ∈ A.
Điều kiện (3) nghĩa là với mọi > 0, tồn tại tập con Λ ⊂ Λ với phần bù hữu hạn
thỏa mãn h(Qj (α)) ≤ h(x(α)) với mọi α ∈ Λ .
Điều kiện (2) tương tự với điều kiện (2) trong định lí của Ru-Vojta (xem [59], định
lí 1.1 hoặc định lí G ở phía trên), trong đó tính độc lập tuyến tính đã được thay thế
bởi tính không suy biến đại số.
12
Tuy nhiên, trong trường hợp Qj , 1 ≤ j ≤ q, là các dạng tuyến tính, điều kiện (2)
thực sự mạnh hơn so với điều kiện (2) trong định lí của Ru-Vojta. Từ đó, kết quả của
Ru-Vojta không thể suy ra từ kết quả của chúng tôi.
Chúng tôi cũng xin lưu ý rằng, một thời gian ngắn sau chúng tôi, Chen- Ru-Yan,
một cách độc lập, cũng nghiên cứu mở rộng định lí không gian con Schmidt cho mục
tiêu là siêu mặt di động và cũng thu được kết quả như trên (xem [13]).
1.1
Một số khái niệm cơ bản trong hình học đại số và hình
học Diophantine.
Ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản của hình học đại số. Để tìm hiểu chi tiết hơn,
người đọc vui lòng tham khảo [4, 31].
1.1.1. Giả sử K là một trường và K̄ là bao đóng đại số của K.
Trong không gian K̄ n+1 , hai véc tơ được gọi là tương đương nếu chúng nằm trong
cùng một không gian con một chiều. Ta kí hiệu tập các lớp tương đương của các véc tơ
này là Pn (K̄). Với mỗi tập con T ⊂ K[X0 , . . . , Xn ] bao gồm các đa thức thuần nhất,
ta đặt
Z(T ) := {α ∈ Pn (K̄)|f (α) = 0, ∀f ∈ T }
là tập không điểm của T . Tất cả các tập con có dạng này gọi là đóng trong Pn (K̄). Tô
pô Zariski trên Pn (K̄) là tô pô sinh bởi các tập đóng trên. Nó phụ thuộc vào K, cho
nên ta có thể kí hiệu không gian tô pô tương ứng là PnK . Rõ ràng PnK là một đa tạp
chính tắc. Chúng ta gọi đa tạp đó là không gian xạ ảnh n chiều xác định trên K.
Giả sử X là tập con đóng của PnK . Nếu nó là một đa tạp con của PnK̄ thì ta gọi các
đa tạp này là đa tạp xạ ảnh xác định trên K.
1.1.2. Một điểm x = [x0 , . . . , xn ] với xj ∈ K, 0 ≤ j ≤ n được gọi là một điểm K- hữu
tỉ của PnK .
Tập tất cả các điểm K− hữu tỉ của PnK được kí hiệu là Pn (K).
Giả sử X là đa tạp con của PnK được xác định bởi một họ các đa thức thuần nhất
với hệ số trong K:
σλ (x0 , . . . , xn ) = 0, λ ∈ Λ.
13
Giả sử L là một mở rộng trường bất kì của K, ta kí hiệu X(L) = {x ∈ Pn (L)|σλ (x) =
0, λ ∈ Λ}, là tập các điểm L-hữu tỉ của X.
Ta nhắc lại một số kí hiệu cơ bản của hình học Diophantine. Để biết thêm chi tiết,
người đọc có thể tham khảo [32, 4, 35, 38].
Giả sử K là một trường số.
1.1.3. Một định giá trên K là một hàm giá trị thực
|.| : K −→ R+
thỏa mãn ba tính chất sau đây
(1) |x| = 0 nếu và chỉ nếu x = 0. (Không suy biến)
(2) |xy| = |x||y| (Tính nhân)
(3) |x + y| ≤ |x| + |y|. (Bất đẳng thức tam giác)
Định giá được gọi là định giá không archimedean nếu nó thỏa mãn
|x + y| ≤ max(|x|, |y|).
Hai định giá |.|1 , |.|2 được gọi là tương đương nếu tồn tại hằng số dương λ thỏa mãn
|.|1 = |.|λ2 .
Tập các định giá chính tắc trên Q được kí hiệu là MQ bao gồm một định giá
archimedean |.|∞ và các định giá p−adic |.|p với p là số nguyên tố.
1.1.4. Kí hiệu OK là vành các phần tử nguyên của K, tức là OK là tập hợp các phần
tử α ∈ K thỏa mãn đa thức cực tiểu P (X) của nó trên Z có dạng
P (X) = X h + a1 X h−1 + · · · + ah , h = degQ α, ai ∈ Z.
Ta có tập chính tắc MK các định giá của K bao gồm một định giá tương ứng
với một ideal nguyên tố p của OK , một định giá tương ứng với một phép nhúng
thực σ : K −→ R, và một định giá tương ứng với một cặp phép nhúng liên hợp
σ, σ̄ : K −→ C. Ta kí hiệu MK∞ là tập các định giá archimedean của K, MK0 là tập các
định giá không archimedean của K. Một cách tự nhiên, ta có
MK = MK∞ ∪ MK0 .
14
Với mỗi v ∈ MK , kí hiệu Kv là bao đầy của K tương ứng với v. Ta chuẩn tắc các
định giá sao cho |p|v = p−[Kv :Qp ]/[K:Q] nếu v tương ứng với ideal p và p ∩ Z = (p), và
|x|v = |σ(x)|[Kv :R]/[K:Q] nếu v tương ứng với phép nhúng σ.
Nếu v là một định giá của K và w là một định giá của mở rộng trường L của K,
khi đó ta nói rằng w nằm trên v (hoặc v nằm dưới w), kí hiệu bởi w|v, nếu w và v xác
định cùng một tô pô trên K.
1.1.5. Công thức tích.
Y
|x|v = 1, với mỗi x ∈ K ∗ .
v∈MK
1.1.6. Độ cao trong không gian xạ ảnh. Với mỗi x = [x0 : . . . : xn ] ∈ K n+1 , ta đặt
kxkv := max(|x0 |v , . . . , |xn |v ),
v ∈ MK .
Khi đó độ cao tuyệt đối logarithmic của x được xác đinh bởi
X
h(x) =
log kxkv .
v∈MK
Do công thức tích, biểu thức trên không phụ thuộc vào việc lựa chọn tọa độ thuần
nhất của [x0 : . . . : xn ]. Do đó nó hoàn toàn được xác định trên Pn (K). Hơn nữa, h(x)
không phụ thuộc vào sự lựa chọn cụ thể của trường số K chứa x0 , . . . , xN . Do đó, h
cũng xác định một độ cao trên PN (Q̄).
Đặc biệt, nếu x ∈ K ∗ thì ta xác định độ cao tuyệt đối logarithmic của x như sau
X
h(x) =
log+ |x|v .
v∈MK
Với mọi v ∈ MK , ta chọn một thác triển của |.|v tới Q̄ ( bằng cách thác triển |.|v
tới bao đóng đại số K̄v của Kv và chọn một phép nhúng của Q̄ vào K̄v ). Hơn nữa, với
mỗi v ∈ MK , x = (x0 , . . . , xN ) ∈ Q̄N +1 , ta đặt
kxkv := max(|x0 |v , . . . , |xN |v ).
1.1.7. Độ cao trên đa tạp xạ ảnh. Giả sử X là đa tạp đại số xạ ảnh xác định trên
K. Giả sử L → X là phân thớ đường thẳng ample. Lấy một số đủ lớn l0 ∈ N thỏa mãn
Ll , l ≥ l0 là very ample. Gọi φ0 , ..., φn là một cơ sở của H 0 (X, Ll ). Nó cảm sinh phép
nhúng
Φ = [φ0 : ... : φn ] : X → PnK
15
Một hàm độ cao trên X(K) tương ứng với L được xác định bởi
1
h(x, L) = h(Φ(x)), x ∈ X(K).
l
Để cho đơn giản, ta cũng thường kí hiệu hàm độ cao trên X(K) là h(x).
1.1.8. Hàm Weil. Với mỗi divisor D của hệ tuyến tính đầy đủ |L| của phân thớ
đường thẳng ample L, ta lấy một lát cắt chính qui σD ∈ H 0 (X, L) xác định D. Hàm
(địa phương) Weil λD,v (x) liên kết với D được xác định như sau
λD,v (x) = log
(max{|φj (x)|v ; 0 ≤ j ≤ n})1/l
, x ∈ X\Supp D.
|σ(x)|v
Hàm xấp xỉ m(x, S, D) và hàm đếm N (x, S, D) của D được xác định như sau
m(x, S, D) =
X
λD,v ,
v∈S
N (x, S, D) =
X
λD,v .
v∈MK \S
1.1.9. Định lí cơ bản thứ nhất. Với phân thớ đường thẳng ample L trên X và
divisor D ∈ |L|, ta có:
h(x, L) = m(x, S, D) + N (x, S, D) + O(1), x ∈ X(K)\D.
1.1.10. Định lí Northcott. (xem [47, Định lí 9.2.18, p. 349]) Với r > 0, d > 0 và
n ∈ N, tồn tại hằng số C(r, d, n) > 0 thỏa mãn
|{x = [x0 : x1 : · · · : xn ] ∈ Pn (Q) : [Q(xi ) : Q] ≤ d, h(x) ≤ r}|
≤ C(r, d, n).
1.1.11. Để cho thuận tiện, ta kí hiệu
nv := [Kv : Qv ]/[K : Q]
v (r) =
r nếu v là định giá archimedean
1 nếu v là định giá không archimedean.
Với các kí hiệu trên, bất đẳng thức tam giác có thể viết lại dưới dạng sau
|a1 + · · · + ar |v ≤ nv v (r) max{|a1 |v , . . . , |ar |v }, với mọi ai ∈ K, i = 1, . . . , r.
16
1.1.12. Với d là số nguyên dương, ta đặt
Td := {(i0 , . . . , in ) ∈ Nn+1
: i0 + · · · + in = d}.
0
1.1.13. Giả sử Q =
P
I∈Td
aI xI là đa thức thuần nhất có bậc d trong K[X0 , . . . , Xn ],
trong đó xI = xi00 · · · xinn với x = (x0 , . . . , xn ) và I = (i0 , . . . , in ). Kí hiệu bởi
kQkv = max{|aI |v }. Độ cao của Q được xác định như sau
h(Q) =
X
log kQkv .
v∈MK
Khi đó, với mọi v ∈ MK , hàm Weil λQ,v được xác định bởi
λQ,v (x) = log
1.2
kxkdv .kQkv
,
|Q(x)|v
x ∈ Pn (K)\{Q = 0}.
Các kiến thức chuẩn bị
Giả sử Λ là tập chỉ số vô hạn.
Giả sử A ⊂ Λ là tập con vô hạn chỉ số và a là ánh xạ A −→ K. Để cho cụ thể, ta
sẽ kí hiệu ánh xạ này là (A, a).
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử A ⊂ Λ là tập con vô hạn chỉ số và C1 , C2 ⊂ A là các tập
con của A với phần bù hữu hạn. Hai cặp (C1 , a1 ) và (C2 , a2 ) được gọi là tương đương
nếu tồn tại tập con C ⊂ C1 ∩ C2 thỏa mãn C có phần bù hữu hạn trong A và hạn chế
của a1 , a2 tới C trùng nhau. Giả sử R0A là tập các lớp tương đương của các cặp (C, a)
đối với quan hệ tương đương trên. Khi đó R0A hiển nhiên có cấu trúc của một vành.
Hơn nữa, ta có thể nhúng K vào R0A như là các hàm hằng.
Một họ các điểm {x(α) ∈ Pn (K)|α ∈ Λ} được xem như là một ánh xạ x : Λ −→
Pn (K). Một siêu mặt di động bậc d trong Pn (K) sẽ được xem như là một ánh xạ
Q : Λ −→ P(H 0 (Pn (K), O(d))). Với mỗi α ∈ Λ, ta chọn {aI (α) ∈ K}I∈Td sao cho Q(α)
P
là siêu mặt xác định bởi phương trình I∈Td aI (α)xI = 0. Nếu không có sự nhầm lẫn
nào, chúng tôi sử dụng cùng kí hiệu Q cho đa thức thuần nhất trong R0Λ [X0 , . . . , Xn ]
xác định bởi
Q(α) :=
X
I∈Td
aI (α)xI , với mọi α ∈ Λ.
- Xem thêm -
.PDF 
108 
62202 
143 
