BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
________________________________
Hoàng Châu Giang
NHÓM HỮU HẠN VỚI NHÓM CON
FRATTINI TẦM THƯỜNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
________________________________
Hoàng Châu Giang
NHÓM HỮU HẠN VỚI NHÓM CON
FRATTINI TẦM THƯỜNG
Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số: 60 46 01 04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. MỴ VINH QUANG
Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS. TS. Mỵ Vinh Quang, người
đã trực tiếp hướng dẫn, đóng góp nhiều ý kiến quý báu và tạo mọi điều kiện thuận lợi để
tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin cảm ơn quý thầy cô giảng dạy tại trường Đại học Sư phạm Tp.HCM đã tận
tâm giảng dạy, trang bị đầy đủ kiến thức cho tôi và cho lớp Đại số K23 trong thời gian tôi
học tập chương trình Cao học.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, người thân và bạn bè đã luôn quan
tâm, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình tôi làm luận văn.
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
Bảng kí hiệu dùng trong luận văn
MỞ ĐẦU ............................................................................................................................. 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................................................. 3
1.1. Các khái niệm mở đầu .............................................................................................. 3
1.2. Tích trực tiếp – Tích trực tiếp con............................................................................ 9
1.3. Nhóm con Frattini .................................................................................................. 10
1.4. Dãy Abel – Nhóm giải được .................................................................................. 12
1.5. Dãy tâm – Nhóm lũy linh ....................................................................................... 14
1.6. Nhóm con dẫn xuất ................................................................................................ 19
1.7. Nhóm siêu giải được .............................................................................................. 20
1.8. Các định lý về sự chẻ ra ......................................................................................... 21
1.9. Nhóm Abel sơ cấp .................................................................................................. 23
Chương 2. NHÓM HỮU HẠN VỚI NHÓM CON FRATTINI TẦM THƯỜNG ..... 26
2.1. Các lớp nhóm cơ bản.............................................................................................. 26
2.2. Một số tính chất chung ........................................................................................... 26
2.3. Các tính chất đóng .................................................................................................. 36
2.4. Điều kiện để nhóm con chuẩn tắc có phần phụ...................................................... 42
KẾT LUẬN ...................................................................................................................... 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................... 47
BẢNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN
Kí hiệu
Ý nghĩa
[G : H ]
Chỉ số của H trong G
NG ( H )
Chuẩn hóa tử của H trong G
CG ( X )
Tâm hóa tử của X trong G
Z (G )
Tâm của G
Hx
Nhóm con liên hợp của H trong G
H,K
Nhóm con sinh bởi H và K
Aut ( G )
Nhóm các tự đẳng cấu của G
H char G
H là nhóm con đặc trưng của G
Φ (G )
Nhóm con Frattini của G
[ a, b] = aba −1b−1
Hoán tử của a và b
G ' = [G, G ]
Nhóm con dẫn xuất của G
Gp = gp
Nhóm con sinh bởi g p với g ∈ G , p nguyên tố
1
MỞ ĐẦU
Chúng ta đã biết giao của tất cả các nhóm con tối đại của nhóm hữu hạn G nếu có
được gọi là nhóm con Frattini của G. Nếu giao này là tầm thường thì ta nói G là nhóm
với nhóm con Frattini tầm thường. Lớp các nhóm hữu hạn với nhóm con Frattini tầm
thường đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết nhóm hữu hạn và nó đã thu hút được sự
quan tâm của nhiều nhà toán học như H.BECHTELL, C.CHRISTENSEN, L. –C. KAPPE
và J.KIRTLAND, J.WIEGOLD, C. R. B. WRIGHT với nhiều kết quả thú vị.
Trong bài báo [11], ta biết một đặc trưng quan trọng, G là nhóm hữu hạn với nhóm
con Frattini tầm thường nghĩa là mỗi nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G có
phần phụ thực sự, và khi đó G được gọi là nS – nhóm. Bắt đầu từ nghiên cứu của chính
mình trong bài báo [11], trong bài báo [12], hai tác giả LUISE – CHARLOTTE KAPPE
và JOSEPH KIRTLAND tiếp tục nghiên cứu một cách chi tiết về lớp các nS – nhóm hữu
hạn, lớp các nC – nhóm hữu hạn và thu được các kết quả sau: Nếu G lũy linh thì nhóm
con chuẩn tắc không tầm thường N của G là nS – nhóm nếu và chỉ nếu N là Abel sơ cấp,
nếu G giải được thì G và tất cả các thương của nó có nhóm con Frattini tầm thường nếu
và chỉ nếu G là nC – nhóm.Lớp các nC – nhóm, một lớp con của lớp các nS – nhóm đã
được nghiên cứu trong các bài báo [4], [6], [7], [8], [16] và [17]. Tuy nhiên, trong quá
trình nghiên cứu về các nS – nhóm, hai tác giả đã thu được những kết quả chưa được biết
đến rộng rãi trên các nC – nhóm như: các nS – nhóm lũy linh trùng với các nC – nhóm lũy
linh, tâm của các nC – nhóm là nhân tử trực tiếp Abel sơ cấp…
Luận văn là sự trình bày chi tiết các Định lý 2.1, Định lý 2.3, Định lý 2.5, Định lý
2.6, Định lý 3.2, Định lý 3.3, Định lý 3.4, Định lý 3.5, Định lý 3.6, Định lý 3.7, Định lý
4.1, Định lý 4.2, Định lý 4.3, Định lý 4.4, Định lý 4.5, Định lý 4.6 trong bài báo [12] của
đồng tác giả LUISE – CHARLOTTE KAPPE và JOSEPH KIRTLAND.
Luận văn “Nhóm hữu hạn với nhóm con Frattini tầm thường” được chia làm hai
chương:
2
Chương 1: Trình bày một số khái niệm và các tính chất cơ bản liên quan đến
nhóm con Frattini, nhóm giải được, nhóm siêu giải được, nhóm lũy linh, nhóm Abel sơ
cấp, các định lý về sự chẻ ra … Chương 1 sẽ giúp người đọc nắm vững những khái niệm
và tính chất cần thiết để theo dõi tiếp chương 2.
Chương 2: Trình bày những kết quả chính về nhóm hữu hạn với nhóm con Frattini
tầm thường, bao gồm các tính chất cơ bản, các tính chất đóng và điều kiện để nhóm con
chuẩn tắc có một phần phụ.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận văn
nhưng không thể tránh khỏi những sai sót. Kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ
quý thầy cô và các bạn. Xin chân thành cảm ơn.
3
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Các khái niệm mở đầu
1.1.1. Định nghĩa
Cho nhóm G, p là số nguyên tố chia hết |G|. Khi đó:
i.
G được gọi làp – nhóm nếu |G| là lũy thừa của p.
ii.
H là nhóm con của G. H được gọi là p – nhóm con của G nếu H là p –
nhóm.
iii.
Nhóm con H của G được gọi là p – nhóm con Sylow của G nếu H là phần tử
tối đại trong tập các p – nhóm con của G theo quan hệ bao hàm.
1.1.2. Định lý Sylow
Cho G là nhóm hữu hạn cấp p a m với ( p, m ) = 1 , p là số nguyên tố. Khi đó:
i.
Mỗi p – nhóm con của G đều chứa trong một nhóm con cấp p a . Đặc biệt,
do 1 là một p – nhóm con nên p – nhóm Sylow luôn tồn tại
ii.
Nếu n p là số p – nhóm con Sylow thì n p ≡ 1( mod p )
iii.
Tất cả các p – nhóm con Sylow đều liên hợp trong G [14, 1.6.16, tr.39].
1.1.3. Hệ quả(Định lý Cauchy)
Nếu G là nhóm hữu hạn và p là số nguyên tố chia hết G thì G có chứa một phần tử
cấp p[14, 1.6.17, tr.40].
1.1.4. Định lý
4
Cho G là nhóm hữu hạn, M là nhóm con tối đại của G và [G : M ] là số nguyên tố.
Khi đó p – nhóm con Sylow P là chuẩn tắc trong G với p là số nguyên tố lớn nhất chia hết
G.
Chứng minh. Kí hiệup là số nguyên tố lớn nhất chia hết G và xét một p – nhóm con
Sylow P của G. Nếu P không là nhóm con chuẩn tắc của G, thì N G ( P ) được chứa trong
một
nhóm
con
tối
đại
G : N G ( P ) = [G : M ] M : N G ( P )
G
với
[G : M ]
nguyên
tố.
Vì
M
của
và
N M ( P ) = N G ( P ) , nên theo Định lý Sylow
1 ≡ [G : M ] modulo p. Nhưng q =
1 + kp ( k ≠ 0 ) là số nguyên tố và q ≤ p .
[G : M ] =
Vì kp= q − 1 nênp chia hết q – 1. Do đóp
- Xem thêm -