Tài liệu NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Việt Nhân NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Việt Nhân NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh-2013 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến gia đình. Họ chính là người lo lắng cho tôi và động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.MỵVinh Quang. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy: về sự lựa chọn một đề tài mà tôi đã học được rất nhiều kiến thức khác nhau của những ngành khác nhau khi hoàn thành nó; về sự quan tâm và hướng dẫn của thầy trong quá trình tôi làm luận văn. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy PGS.TS.Trần Tuấn Nam, TS. Trần Huyên, PGS.TS. Bùi Tường Trí, PGS.TS. Bùi Xuân Hải và quý thầy cô khoa Toán đã giảng dạy cho tôi những kiến thức cơ bản về Đại số và Giải tích để từ đó tôi có thể tự đọc thêm kiến thức và hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo Khoa Toán Tin, lãnh đạo và chuyênviên Phòng Khoa Học Công Nghệ - Sau Đại Học của Trường đã tạo mọi điều kiện thuận lợicho tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình. Nhân dịp này, tôi cũng xin bày tỏ sự quý mến của mình đến các bạn bè của tôi, họ luôn cùng tôi sát cánh bên nhau để vượt qua những khó khăn trong cuộc sống hằng ngày và động viên, giúp đỡ nhau trong học hành để cùng tiến tới. Tp Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 09 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Việt Nhân 1 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1 MỤC LỤC .................................................................................................................... 2 BẢNGKÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN........................................................ 5 MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 6 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................... 7 1.1. Các nhóm con đặc trưng ............................................................................................. 7 1.1.1. Định nghĩa ...............................................................................................................7 1.1.2. Định lí ......................................................................................................................7 1.1.3. Nhóm con Frattini ...................................................................................................7 1.1.4. Nhóm con Fitting ....................................................................................................7 1.1.5. Mệnh đề ...................................................................................................................7 1.1.6. Nhóm con dẫn xuất .................................................................................................8 1.1.7. Định lí ......................................................................................................................8 1.2. Cái chuẩn hóa,tâm hóa tử ........................................................................................... 8 1.2.1. Cái chuẩn hóa ..........................................................................................................9 1.2.2. Tâm hóa tử...............................................................................................................9 1.2.3. Mệnh đề 1.2.2 ..........................................................................................................9 1.2.4. Định lí ......................................................................................................................9 1.3. Định lí Sylow............................................................................................................... 10 1.3.1. Định nghĩa nhóm con Sylow .................................................................................10 1.3.2. Định lí 1.3.1 [6, Định lí Sylow, trang 39-40] .......................................................10 1.3.3. Hệ quả ( định lí Cauchy) .......................................................................................10 1.3.4. Hệ quả....................................................................................................................10 1.3.5. Định lí ....................................................................................................................11 1.4. Nhóm giải được .......................................................................................................... 11 1.4.1. Định nghĩa .............................................................................................................11 1.4.2. Định lí ....................................................................................................................12 1.4.3. Hệ quả....................................................................................................................12 1.4.4. Định lí (Tính chất của nhóm giải được) ................................................................12 1.4.5. Bổ đề......................................................................................................................13 1.4.6. Định lí ....................................................................................................................14 1.4.7. Định lí ( định lí Burnside)[6].................................................................................14 1.4.8. Định lí[4, định lí 15.3, trang 53] ...........................................................................15 2 1.5. Nhóm lũy linh ............................................................................................................. 15 1.5.1. Định nghĩa .............................................................................................................15 1.5.2. Định lí ....................................................................................................................15 1.5.3. Định lí(Tính chất của nhóm lũy linh) ....................................................................16 1.5.4. Định lí ....................................................................................................................18 1.5.5. Hệ quả....................................................................................................................18 1.5.6. Định lí [3, định lí 5.4.10, trang 66] .......................................................................19 1.6. Nhóm con Hall ............................................................................................................ 19 1.6.1. Định nghĩa .............................................................................................................19 1.6.2. Định lí[3, Định lí 4.1.4, trang 37-38] ....................................................................19 1.6.3. Hệ quả....................................................................................................................19 1.6.4. Định lí ....................................................................................................................20 1.6.5. Định lí(Định lí P.Hall) ...........................................................................................20 1.6.6. Bổ đề......................................................................................................................21 1.6.7. Định lí ....................................................................................................................22 1.6.8. Định lí [3, định lí 4.4.1, trang 47] .........................................................................22 1.7. Nhóm p-lũy linh .......................................................................................................... 22 1.7.1. Định nghĩa .............................................................................................................22 1.7.2. Định lí [3, bổ đề 8, trang 265-266] ........................................................................22 1.7.3. Định lí [7, định lí 10.1.8, trang 289] .....................................................................23 CHƯƠNG 2 : NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA NHÓM HỮU HẠN....... 24 2.1. Nhóm siêu giải được .................................................................................................. 24 2.1.1. Định nghĩa .............................................................................................................24 2.1.2. Định lí ....................................................................................................................24 2.1.3. Định lí (Tính chất của nhóm siêu giải được).........................................................25 2.1.4. Hệ quả....................................................................................................................28 2.1.5. Hệ quả....................................................................................................................28 2.1.6. Bổ đề......................................................................................................................29 2.1.7. Định lí ....................................................................................................................29 2.1.8. Hệ quả (định lí Huppert) .......................................................................................31 2.2. Nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm hữu hạn .......................................................... 31 2.2.1. Định nghĩa .............................................................................................................31 2.2.2. Ví dụ ......................................................................................................................32 2.2.3. Định lí ....................................................................................................................33 2.2.4. Hệ quả....................................................................................................................34 3 2.3. Một tiêu chuẩn về nhóm siêu giải được ................................................................... 34 2.3.1. Định líSrinivasan ...................................................................................................34 2.3.2. Định lí ....................................................................................................................35 2.3.3. Ví dụ ......................................................................................................................39 2.3.4. Định nghĩa .............................................................................................................40 2.3.5. Mệnh đề .................................................................................................................40 2.3.6. Định lí ....................................................................................................................41 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 46 4 BẢNGKÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN Ký hiệu Ý nghĩa H ⊆G H là nhóm con của G H ⊂G H là nhóm con thực sự của G h H ⊆G H là nhóm con Hall của G H G H là nhóm con chuẩn tắc của G N G ( A) Cái chuẩn hóa của A CG ( A) Tâm hóa tử của A Z(G) Tâm G Φ (G ) Nhóm con Fratini F (G ) Nhóm con Fitting |G| Cấp của nhóm G σ (G ) Tập các ước nguyên tố của |G| A× B Tích trực tiếp của A và B [A]B Tích nửa trực tiếp của A và B Aut(G) Nhóm các tự đẳng cấu của G [G:M] Chỉ số của M trong G [a,b] [A,B] Hoán tử của a và b Nhóm con hoán tửcủa A và B Mx Nhóm con liên hợp với M G′ Nhóm con dẫn xuất của G. p′ , π ′ Phần bù của p, π trong P 5 MỞ ĐẦU Theo O.H.KEGEL, nhóm con H của nhóm G là S-tựa chuẩn tắc trong G nếu H giao hoán với mọi nhóm con Sylow của G. S.Srinisavan đã chứng minh rằng: “nếu các nhóm con tối đại của các nhóm con Sylow của G là S-tựa chuẩn tắc trong G thì G là nhóm siêu giải được”. Hiện tại, các vấn đề này vẫn còn đang được nghiên cứu. Trong phạm vi luận văn này, dựa theo kết quả của bài báo: “ On permutable subgroups of finite groups” của M. Asaad và A.A. Heliel, tôi sẽ nghiên cứu một số tính chất của các nhóm con tựa chuẩn tắc của các nhóm hữu hạn, từ đó có thể mở rộng và cải tiến các kết quả được đề cập ở trên, trong đó điều kiện S-tựa chuẩn tắc được thay thế bởi điều kiệnZ -tựa chuẩn tắc. Trong toàn bộ bài viết này, ta luôn giả thiết G là một nhóm hữu hạn. Mục tiêu chính của luận này là nghiên cứu một số tính chất của các nhóm con Z-tựa chuẩn tắc của nhóm G và từ đó đưa ra một tiêu chuẩn về tính siêu giải được của G. Nội dung chính của luận văn gồm 2 chương. Trong chương 1, ta sẽ định nghĩa các khái niệm cơ bản như các nhóm con đặc trưng, nhóm giải được, nhóm lũy linh,…và chứng minh một số kết quả quan trọng sẽ được sử dụng trong việc chứng minh định lí chính ở chương 2. Trong chương 2, ta sẽ tìm hiểu về lớp các nhóm siêu giải được và các nhóm con Z-tựa chuẩn tắc của G bao gồm một vài tính chất của nó để thấy được tác dụng hữu ích của các nhóm con này trong việc phân loại các nhóm hữu hạn. Mặt dù bản thân có nhiều cố gắng nhưng với thời gian và kiến thức có hạn nên không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong những ý kiến đóng góp, phê bình của quý Thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn. 6 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Các nhóm con đặc trưng 1.1.1. Định nghĩa Cho G là nhóm, H ⊆ G , H gọi là nhóm con đặc trưng của G nếu α ( H ) ⊆ H với mọi α ∈ Aut (G ). Hiển nhiên mọi nhóm con đặc trưng của G đều chuẩn tắc trong G. 1.1.2. Định lí Nếu H là đặc trưng trong K và K  G thì H  G Chứng minh −1 → K thỏa α ( x) = gxg . Mà Với g ∈ G , vì K  G nên tồn tại đồng cấu α g : K  H là đặc trưng trong K nên phải có α ( H ) = H . Do đó, H là nhóm con chuẩn tắc của G. 1.1.3. Nhóm con Frattini Nhóm con Frattini của G được định nghĩa là giao của tất cả các nhóm con tối đại của G và được kí hiệu là Φ (G ) .Nếu G là nhóm không có nhóm con tối đại thì ta quy ước Φ (G ) = G. 1.1.4. Nhóm con Fitting Nhóm con sinh bởi tất cả các nhóm con chuẩn tắc lũy linh của G được gọi là nhóm con Fitting của G và đượckí hiệu là F(G). Nhận xét: F (G ) là nhóm con lũy linh của G, hơn nữa nó là nhóm con chuẩn tắc lũy linh lớn (i) nhất và duy nhất của G. (ii) F (G ) có thể là nhóm con tầm thường của G. 1.1.5. Mệnh đề Cho G là nhóm. Khi đó F(G) và Φ (G ) là các nhóm con đặc trưng của G. 7 1.1.6. Nhóm con dẫn xuất Cho G là một nhóm và các phần tử x1 , x2 ,..., xn của G, phần tử [ x1 , x2 ] = x1−1 x2 −1 x1 x2 được gọi là hoán tử của x và y. Tổng quát hơn, một hoán tử có chiều dài n ≥ 2 được định nghĩa như sau [ x1 , x2 ,..., xn ] = [ x1 , x2 ,.., xn−1 ] , xn  với quy ước [ x1 ] = x1 Nhóm con sinh bởi tập các hoán tử của G được gọi là nhóm con dẫn xuất của G và được kí hiệu là G′ = , cụ thể G′ [ x, y ] | x, y ∈ G 1.1.7. Định lí (i) G′ là nhóm con chuẩn tắc của G. (ii) G′ là nhóm con nhỏ nhất sao cho nhóm G ′ là nhóm Abel. G (iii) G′ là nhóm con đặc trưng của G. Chứng minh Lấy a ∈ G′, g ∈ G ta có a −1 g −1ag ∈ G′ , do đó g −1ag a. ( a −1 g −1ag ) ∈ G′ . = (i) (ii) Vậy G′  G. (iii) Với mọi x, y ∈ G ta có x −1 y −1 xy ∈ G′ , suy ra xyG′ = yxG′ . (iv) Do đó G ′ là nhóm Abel. Giả sử H là nhóm con chuẩn tắc của G sao cho G là H G nhóm Abel, do đó với x, y ∈ G ta có : xyH = yxH , suy ra x −1 y −1 xy ∈ H . Vậy G′ ⊆ H . (v) Giả sử α : G  → G là một tự đẳng cấu của G. Khi đó, ∀x, y ∈ G ta có (vi) α ([ x, y ]) = α ( x −1 y −1 xy ) = (α ( x) ) . (α ( y ) ) .α ( x).α ( y ) ∈ [α ( x), α ( y ) ] ∈ G′ . Do đó −1 −1 α (G′) ⊆ G′ , vậy G′ là nhóm con đặc trưng của G. 1.2. Cái chuẩn hóa,tâm hóa tử Cho G là một nhóm, A là một nhóm con của G 8 1.2.1. Cái chuẩn hóa Tập hợp tất cả các phần tử g ∈ G sao cho g −1 Ag = A được gọi là cái chuẩn hóa của A trong G, được kí hiệu là N G ( A) . N G ( A) là nhóm con của G. A là nhóm con chuẩn tắc củaG ⇔ N G ( A) = G . Tập tất cả các liên hợp của A trong G được gọi là lớp liên hợp A, và số các phần tử trong một lớp liên hợp bằng với chỉ số của N G ( A) trong G. 1.2.2. Tâm hóa tử Tâm hóa tử của A trong G,kí hiệu là CG ( A) , là tập hợp tất cả các phần tử g ∈ G sao cho ga= ag , ∀a ∈ A . CG ( A) là nhóm con của G. Với mỗi g ∈ G , CG ( g ) được kí hiệu bởi CG ( g ) . Số phần tử trong một lớp liên hợp của một phần tử g ∈ G bằng chỉ số của CG ( g ) trong G. Nhóm con CG (G ) được gọi là tâm của G,thường được viết là Z (G ) . 1.2.3. Mệnh đề 1.2.2 Nếu G là nhóm hữu hạn thì = | G | | Z (G ) | + ∑ [G : CG ( xi ) ] , trong đó xi ∉ Z (G ). hh Chứng minh Xét một tác động liên hợp của nhóm G lên tập G ∗:G×G → G x ∗ g x −1 gx , ∀x, g ∈ G. ( x, g )  = xi } { x ∈ G : xxi = xi x} = CG ( xi ) Ta có | G |= ∑ G : Gx  , Gxi = { x ∈ G : xxi x −1 == i∈I i và xi ∈ Z (G ) ⇔ CG ( xi ) = G . Gọi J là tập con của tập I thỏa mãn: i ∈ J nếu và chỉ nếu đó | G | xi ∈ Z (G ) . Do = ∑ G : G i∈J xi  + ∑ [G : C i∈I \ J G ( xi ) ] . Suy ra = | G | | Z (G ) | + ∑ [G : CG ( xi ) ] , trong đó xi ∉ Z (G ) hh 1.2.4. Định lí Cho G là nhóm, H là nhóm con của G.Khi đó CG ( H )  N G ( H ) và N G ( H ) C ( H ) G đẳng cấu với nhóm con nào đó củaAut(H). Chứng minh Với g ∈ N G ( H ) , xét đồng cấu α g : N G ( H ) → Aut ( H ) 9 g β :H → H   g −1 h  g hg   Ta có Ker (α g ) = id H } = h} = CG ( H ) { g ∈ NG ( H ) : β g = { g ∈ NG ( H ) : g −1hg = Do đó CG ( H )  N G ( H ) và N G ( H ) C ( H ) ≅ α g ( N G ( H ) ⊆ AutH G 1.3. Định lí Sylow 1.3.1. Định nghĩa nhóm con Sylow Cho G là một nhóm hữu hạn, p là một số nguyên tố. Ta định nghĩa: a. G được gọi là p- nhóm nếu G có cấp là lũy thừa của p. b. Nhóm con H của G được gọi là p-nhóm con của G nếu H làmột p-nhóm. c. Nhóm con H của G được gọi là p-nhóm con Sylow của G nếu H là phần tử tối đại trong tập các p-nhóm con của G theo quan hệ bao hàm. 1.3.2. Định lí 1.3.1 [6, Định lí Sylow, trang 39-40] n Cho p là số nguyên tố, G là nhóm hữu= hạn, | G | p= m, (m, p) 1 .Khi đó a. Với 1 ≤ k ≤ n , tồn tại trong G một p-nhóm con cấp p k . Nói riêng, tồn tại trong G một p-nhóm con Sylow của G. b. Mỗi p-nhóm conH của G đều nằm trong một p-nhóm con Sylow nào đó của G. c. Tất cả các p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau. d. Số các p-nhóm con Sylow của G là ước của M và đồng dư với 1(mod p). 1.3.3. Hệ quả ( định lí Cauchy) Cho G là một nhóm, nếu |G| chia hết cho một số nguyên tố p thì Gcó chứa một phần tử cấp p. Chứng minh Ta phân tích | G |= p k .m , trong đó (m, p ) = 1. Khi đó theo định lí Sylow tồn tại pnhóm con cấp p của G, và do đó nhóm này là cyclic sinh bởi phần tử cấp p. 1.3.4. Hệ quả Nếu Glà một p-nhóm thì Z (G ) ≠ 1. Chứng minh 10 Ta có= | G | | Z (G ) | + ∑ [G : CG ( xi ) ] , trong đó xi ∉ Z (G ) và I là tập hữu hạn. Vì i∈I CG ( xi ) ≠ G nên [G : CG ( xi )] ≠ 1 do đó theo định lí Cauchy, p phải là ước nguyên tố của [G : CG ( xi )] , suy ra ∑ [G : C i∈I G ( xi ) ] chia hết cho p. Mà G là p-nhóm nên |G| cũng chia hết cho p, do đó p cũng phải là ước của Z (G ) , tức là Z (G ) ≠ 1. 1.3.5. Định lí ChoPlà một p-nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn G.Nếu N  G thì P ∩ N là một p-nhóm con Sylow của N và PN N là một p-nhóm con Sylow của G N Chứng minh Ta có [ N : P ∩= N] : N] [ PN = l , trong đó (l , p ) = 1 . Mà P ∩ N là p-nhóm con của N, nên P ∩ N là p-nhóm con Sylow của N. Chứng minh tương tự, ta cũng có PN N là một p-nhóm con Sylow của G N . 1.4. Nhóm giải được Cho G là nhóm. Dãy các nhóm con của G là một họ các nhóm con 1 = N 0 ⊆ N1 ⊆ ... ⊆ N n = G • { Ni }n như sau (1) Nếu N i  N i +1 ,với i=0,1,..,n-1 thì dãy (1) được gọi là dãy chuẩn tắc của G và được viết lại là = G 1 N= 0  N1  ...  N n Khi đó mỗi N i +1 N được gọi là một nhân tử của dãy. i • Nếu tất cả các nhân tử của một dãy chuẩn tắc là nhóm đơn thì dãy đó được gọi là một dãy hợp thành. • Nếu N i  G, với i = 1,.., n thì dãy (1) được gọi là một dãy bất biến của G. 1.4.1. Định nghĩa Nhóm G được gọi làgiải được nếu nó có mộtdãy chuẩn tắc { N i }n sao cho N i +1 N i là nhóm Abelvới = i 0,1,..., n − 1 . Khi đó, dãy trên được gọi là dãy Abel của G. Độ dài dãy Abel ngắn nhất trong G gọi là độ dài dẫn xuất trong G. 11 Ví dụ • Nhóm Abel là nhóm giải được. • Nhóm S3 là nhóm giải được. Xét dãy các nhóm con sau của G G = G (0) ⊇ G (1) ⊇ G (2) ⊇ ... với G ( n+1) = ( G ( n ) )′ Dãy này được gọi là dãy dẫn xuất của G. 1.4.2. Định lí Cho G là nhóm giải được, nếu 1 = N 0 ⊆ N1 ⊆ ... ⊆ N n = G là một dãy Abel của G với i 0,1,.., n − 1 . Đặc biệt G ( n ) = 1 và độ dài dẫn xuất của G bằng độ dài thì G ( i ) ⊆ N n −i ,= của dãy dẫn xuất của G. Chứng minh Ta chứng minh qui nạp theo i. G (luôn đúng). Với i=0 : G (0) ⊆ N n = Giả sử G ( i ) ⊆ N n −i , ta sẽ chứng minh G ( i +1) ⊆ N n −i −1 . Thật vậy, ta có G ( i +1) = ( G )′ ⊆ ( N )′ , mà N (i ) n −i n −i N n −i −1 là nhóm Abel nên phải có ( N n −i )′ ⊆ N n −i −1 . 1 nên G ( n ) = 1 , từ đây cho thấy không có dãy Do đó, G ( i +1) ⊆ N n −i −1 . Hơn nữa, vì G ( n ) ⊆ N 0 = Abel của G nào có thể ngắn hơn dãy dẫn xuất của G. 1.4.3. Hệ quả Nếu G là một nhóm giải được và G ≠ 1 thì G′ là nhóm con thực sự của G. Chứng minh Giả sử G có một dãy dẫn xuất sau G = G (0) ⊇ G (1) ⊇ G (2) ⊇ ... Vì G là nhóm giải được nên tồn tại số nguyên dương n sao cho G ( n ) = 1 . Nếu G′ = G thì phải có ) G= G (0)= G (1)= G (2)= ...= G ( n= 1 (trái giả thiết). Do đó G′ là nhóm con thực sự của G. 1.4.4. Định lí (Tính chất của nhóm giải được) Cho G là nhóm giải được, H là nhóm con của G. Khi đó: (i) H là nhóm giải được. 12 (ii) Nếu H  G thì G H là nhóm giải được. Chứng minh Vì G là nhóm giải được nên G có một dãy chuẩn tắc 1 = N 0 ⊆ N1 ⊆ ... ⊆ N n = G thỏa N i +1 N i là nhóm Abel , ∀i =1, n (i) Do H  G nên 1 = N 0 ∩ H ⊆ N1 ∩ H ⊆ ... ⊆ N n ∩ H = H là một dãy chuẩn tắc củaH N i +1 ∩ H = .Ta có Ni ∩ H (ii) Mà N i +1 ∩ H N i ( N i +1 ∩ H ) Ni ⊆   N i ∩ ( N i +1 ∩ H ) N i +1 ≅ N i ( N i +1 ∩ H ) Ni  N i  là nhóm Abel. Suy ra N là nhóm giải được. (iii) Do H  G nên H  N i H , ∀i =1, n . (iv) Suy = ra 1 N 0 H (v) Ta có Ni +1H Abel.Mà N i +1H Ni H Ni H H ⊆ N1H N NH = i +1 i  N i +1H   H  ≅ H ⊆ ... ⊆ Ni H ≅ N i +1 Nn H = G là một dãy chuẩn tắc của G . H H H N i +1 ∩ N i H G  Ni H   H   . Vậy  N i +1   N i  ≅  N i +1 ∩ N i H   N i   là nhóm H là nhóm giải được. Một p-nhóm Abel sơ cấp là tích trực tiếp của hữu hạn nhóm cyclic cấp p. Do đó N là p-nhóm con Abel sơ cấp nếu và chỉ nếu x p = 1 với mọi x ∈ N . Trong một nhóm Gvà p ∈ σ (G ) , tích trực tiếp của các nhóm cyclic cấp p trong G là một nhóm con đặc trưng của G. 1.4.5. Bổ đề Cho G là nhóm, N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G.Nếu N là nhóm giải được thì N là p-nhóm con Abel sơ cấp . Chứng minh Giả sử N là một nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G.Do N ≠ 1 là nhóm giải được nên theo hệ quả 1.4.3, N ′ là nhóm con thực sự của N. Vì N ′ là đặc trưng trong N nên theo định lí 1.1.2 ta được N ′ là nhóm con chuẩn tắc của G,do tính tối tiểu của N nên N ′ = 1 , suy ra N là nhóm Abel. 13 Với p ∈ σ ( N ), đặt N ∗ := {x ∈ N | x p = 1} là p-nhóm con Abel sơ cấp củaN, vì N ∗ là nhóm con đặc trưng của N nên N ∗  G . Vậy chỉ có thể là N ∗ = 1 hoặc N ∗ = N . Theo định lí Cauchy, tồn tại các phần tử của N có cấp là số nguyên tố p, suy ra N ∗ ≠ 1 , do đó N ∗ = N . Vậy N là p-nhóm con Abel sơ cấp của G. 1.4.6. Định lí Cho G là nhóm giải được. NếuHlà nhóm con tối đại của G thì chỉ số củaH trong G là lũy thừa của một số nguyên tố. Chứng minh Nếu G là nhóm Abel thì H  G , do tính tối đại của H nên G H là nhóm đơn và hiển nhiên ta có [G : H ] là lũy thừa của một số nguyên tố. Do đó, ta chỉ cần chứng minh định lí đối với trường hợp G không là nhóm Abel. Vì G là nhóm giải được nên G′ là nhóm con thực sự của G,vậy G có ít nhất một nhóm con chuẩn tắc, suy ra tồn tại một nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G,gọi là N. Hơn nữa, N là nhóm giải được, suy ra N là một p-nhóm Abel sơ cấp, tức là | N |= p k , với p là số nguyên tố nào đó chia hết cấp G. Xét hai trường hợp sau • Trường hợp 1: N không là nhóm con của H, khi đó G = NH . G G H G NH ≅ H • Vì= nên . Suy = ra = N N N ∩H H N H ∩N N = pl H ∩N (với l ≤ k ), vậy [G : H ] là lũy thừa của một số nguyên tố. • Trường hợp 2: N là nhóm con của H, ta chứng minh qui nạp theo cấp G. Ta có H N là nhóm con tối đại của G N . Theo giả thiết qui nạp, G : H  = q n với q là một N  N số nguyên tố nào đó. Mà [G : H ][ H : N ] = [G : N ] , suy ra G:H] [= G : N] [= [H : N ] G = : H  qn . N  N 1.4.7. Định lí ( định lí Burnside)[6] Cho p,q là các số nguyên tố, và a,b là các số nguyên không âm. Nếu G là nhóm có cấp là p a q b thì G là nhóm giải được. 14 1.4.8. Định lí[4, định lí 15.3, trang 53] Cho G là nhóm giải được. Nếu G có một nhóm con tối đại M thỏa M g g∈G =1 thì G có duy nhất một nhóm con chuẩn tắc tối tiểu N và N = CG ( N ). 1.5. Nhóm lũy linh 1.5.1. Định nghĩa Nhóm G được gọi là lũy linh nếu G có một dãy bất biến { N i }n thỏa mãn N i +1 Ni i 0, n − 1 ⊆ Z  G  , ∀=  Ni  Khi đó, dãy trên được gọi là dãy tâm của G. Độ dài dãy tâm ngắn nhất trong G gọi là lớp lũy linh của G. Nhận xét • Nhóm có lớp lũy linh bằng 0 là nhóm 1. • Nhóm có lớp lũy linh lớn nhất bằng 1 là nhóm Abel. • Nhóm lũy linh là nhóm giải được Chú ý : N i +1 N i ⊆ Z ( G N i ) ⇔ [ N i +1 , G ] ⊆ N i 1.5.2. Định lí Nếu G là một p-nhóm hữu hạn thì G là nhóm lũy linh. Chứng minh Do G là p-nhóm nên | G |= p n . Ta chứng minh quy nạp theo n.Với n=1, | G |= p nên G là nhóm Abel, do đó G là nhóm lũy linh. Giả sử G là nhóm lũy linh, ∀m < n . Ta chứng minh G là nhóm lũy linh với | G |= p n . = | G | | Z (G ) | + ∑ [G : C ( xi )] nên ta có | Z (G ) |  p Vì Xét nhóm thương G Z (G ) , theo định lí Larrange , ta có G Z (G ) =|G| | Z (G ) | nên G Z (G ) = p m , m < n 15 Theo giả thiết quy nạp, G Z (G ) là nhóm lũy linh. Do đó tồn tại dãy sau: 1 = H 0 ⊆ H1 ⊆ ... ⊆ H m = G Z (G ) . →G thỏa p( g ) = gZ (G ) Xét toàn cấu chiếu p : G  Z (G ) Đặt N i +1 = p −1 ( H i ) . Do p là toàn cấu nên N i  G, ∀i Xét dãy 1 = N 0 ⊆ N1 ⊆ ... ⊆ N n ⊆ N n +1 = G . Ta cần chứng minh Ni +1 Lấy a ∈ N i +1 , b ∈ G ⇒ p(a) ∈ H i , p(b) ∈ G Z (G ) mà H i Ni ⊂ Z  G   Ni  G   ⊂ Z  Z (G ) H i −1 H i −1     Nên ta có p (a −1b −1ab) = p (a −1 ) p (b −1 ) p (a ) p (b) ∈ H i −1 Gi , suy ra Ni +1 Do đó a −1b −1ab ∈ p −1 ( H i −1 ) = Ni ⊂ Z  G  .  Ni  Vậy G là nhóm lũy linh. 1.5.3. Định lí(Tính chất của nhóm lũy linh) Cho G là nhóm lũy linh. Khi đó (i) Nếu H ⊆ G thì Hlà nhóm lũy linh. (ii) Nếu H  G thì G H là nhóm lũy linh. (iii) Nếu A vàB là hai nhóm lũy linh thì A × B là nhóm lũy linh. Chứng minh Do G là nhóm lũy linh nên G có một dãy tâm như sau 1 = Z 0 ⊆ Z1 ⊆ ... ⊆ Z n = G , trong đó N i +1 (i) Ni ⊆ Z  G  , ∀= i 0, n − 1  Ni  Do H ⊆ G nên 1 = Z 0 ∩ H ⊆ Z1 ∩ H ⊆ ... ⊆ Z n ∩ H = H là một dãy bất biến của H. Lấy a ∈ Z i +1 ∩ H , b ∈ H , ta có [ a, b ] ∈ [ N i +1 , G ] ⊆ N i , mà [ a, b ] ∈ H nên [ a, b ] ∈ N i ∩ H . 16 Suy ra [ N i +1 ∩ H , H ] ⊆ N i ∩ H , tức là N i +1 ∩ H Ni ∩ H  , ∀= ⊆ Z  H  i 0, n − 1 . Vậy H  Ni ∩ H  là nhóm lũy linh. (ii) Do H  G và N i  N i +1 nên ta có (iii) Khi đó G (iv) 1 (v) H Ni H H ⊆ N i +1H H và Ni H H G H . có một dãy bất biến sau N0 H N H NH G =  1  ...  n H H H H Lấy an ∈ N i +1H , b ∈ G , vì N i +1 Ni ⊆ Z  G  nên [ a, b ] ∈ N i  Ni  NH (vi) Ta có [ an, b ] n −1 (a −1b −1ab)n.n −1b −1nb ∈ N i H , suy ra  an, b  ∈ i . = H  N i +1H   H  (vii) Do đó  (viii) Vậy G H G   . H ⊆Z N H N H  i    i   H   H   là nhóm lũy linh. (ix) Do A, B là hai nhóm lũy linh nên chúng có hai dãy tâm sau (không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng hai dãy này có cùng chiều dài). 1 = A0 ⊆ A1 ⊆ ... ⊆ An = A và 1 = B0 ⊆ B1 ⊆ ... ⊆ Bn = B . Ta có Ai × Bi  A × B và Ai × Bi ⊆ Ai +1 × Bi +1 , ∀= i 0, n − 1 Khi đó A × B có một dãy bất biến sau 1 = A0 × B0 ⊆ A1 × B1 ⊆ ... ⊆ An × Bn = A × B Lấy x ∈ Ai +1 , a ∈ A, y ∈ Bi +1 , b ∈ B , vì Ai +1 Ai B ⊆ Z  A  và i +1 ⊆ Z  B  nên [ x, a ] ∈ Ai , [ y, b ] ∈ Bi . Bi A i  Bi   Suy= ra ( x, y ) , ( a, b )  (x −1 1 , y −1 )( a −= , b −1 ) ( x, y )( a, b ) Do đó [ Ai +1 × Bi +1 , A × B ] ⊆ Ai × Bi , tức là Ai +1 × Bi +1 Vậy A × B là nhóm lũy linh. 17 (x a xa, y −1b −1 yb ) ∈ Ai × Bi −1 −1 Ai × Bi  ⊆ Z  A × B  A B × i i  1.5.4. Định lí Nếu G là nhóm lũy linh thì mọi nhóm con tối đại của G đều lànhóm con chuẩn tắc. Chứng minh Giả sử M là một nhóm con tối đại của nhóm G,vì G là nhóm lũy linh nên G có một dãy tâm {Z i }n như sau 1 = Z 0 ⊆ Z1 ⊆ ... ⊆ Z n = G , trong đó Z i +1 Zi ⊆ Z  G  , với= i 0, n − 1 .  Zi  Z ⊂M Gọi j là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn  Z j ⊄ M .  j +1 Khi đó  Z j +1 , M  ⊆  Z j +1 , G  ⊆ Z j ⊂ M , suy ra tồn tại phần tử z ∈ Z j +1 \ M sao cho [ z, M ] ⊆ M . Lấy y ∈ M z , ta có y = z −1az , với a ∈ M , suy ra ya −1 = z −1aza −1 ∈ [ z , M ] ⊆ M , do đó y ∈ M , từ đây ta được M z = M . Điều này chứngtỏ M ⊂ N G ( M ) . Mặt khác, M là nhóm con tối đại của G nên phải có N G ( M ) = G . Suy ra M  G . 1.5.5. Hệ quả Nếu G là nhóm lũy linh thì G′ ⊆ Φ (G ) Chứng minh Lấy M là một nhóm con tối đại của G, theođịnh lí 1.5.4, M là nhóm con chuẩn tắc của G, và do đó G suy ra G M M là nhóm đơn. Điều này chứng tỏ G M là nhóm cyclic cấp nguyên tố, là nhóm Abel. Vì G′ là nhóm con nhỏ nhất của G sao cho G ′ là nhóm Abel G nên phải có G′ ⊆ M . Do M là bất kì nên ta có G′ được chứa trong giao tất cả các nhóm con tối đại của G, tức là G′ ⊆ Φ (G ). Phần bù của một nhóm con chuẩn tắc N của một nhóm hữu hạn G là một nhóm con 1 . Khi đó, ta viết G = [N ]A A của G thỏa mãn G = NA và N ∩ A = 18