Tài liệu Nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát trên vành chính quy giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LÊ THANH PHÚC NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT TRÊN VÀNH CHÍNH QUY GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành Phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LÊ THANH PHÚC NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT TRÊN VÀNH CHÍNH QUY GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS.TS. BÙI XUÂN HẢI Thành Phố Hồ Chí Minh - 2011 Mục lục Mục lục ............................................................................................................................................... 1 Lời cảm ơn .......................................................................................................................................... 2 Lời nói đầu.......................................................................................................................................... 3 Danh mục các kí hiệu ......................................................................................................................... 5 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................................................................... 7 1.1 Sơ lược về lý thuyết vành, môđun và nhóm........................................................................... 7 1.1.1 Vành ................................................................................................................................ 7 1.1.2 Môđun ............................................................................................................................. 8 1.1.3 Nhóm............................................................................................................................. 11 1.2 Nhóm tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính ................................................................ 12 1.2.1 Nhóm tuyến tính tổng quát GL(M) và các nhóm liên quan ........................................... 12 1.2.2 Định nghĩa các phép co ................................................................................................. 14 1.2.3 Các phép co sơ cấp E B (M) và nhóm E n (R) .................................................................. 16 1.2.4 Các nhóm con của GL n (R) ............................................................................................ 19 Chương 2. NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT TRÊN VÀNH CHÍNH QUY GIAO HOÁN .......................................................................................................................................................... 21 2.1 Một vài kết quả trên vành chính quy giao hoán ................................................................... 21 2.2 Lưới và nhóm con lưới trên vành chính quy giao hoán ....................................................... 30 2.3 Các bổ đề về phép co ........................................................................................................... 41 2.4 Các kết luận về chuẩn hóa tử ................................................................................................ 52 Kết luận và kiến nghị ........................................................................................................................ 60 Tài liệu tham khảo ............................................................................................................................ 62 Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Bùi Xuân Hải và TS. Trần Ngọc Hội, những người thầy đã tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các Thầy cô trong khoa Toán -Tin học, trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, những người Thầy, người Cô đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt quá trình học tập tại khoa. Nhân dịp này, tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp. TP. Hồ Chí Minh, ngày 03 tháng 10 năm 2011 Học viên Lê Thanh Phúc Lời nói đầu Sự mô tả cấu trúc của dàn những nhóm con trong nhóm tuyến tính đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết nhóm cổ điển. Đã có định lý của Tits mô tả tất cả các nhóm con của nhóm GL n (K) các ma trận khả nghịch trên thể K chứa nhóm con B n (K) các ma trận tam giác trên. Năm 1976, Z.I. Borevich đã nghiên cứu dàn các nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát GL n (K) trên trường K chứa nhóm con D n (K) các ma trận đường chéo. Một điều rất thú vị là đối với mọi trường K thỏa card(K) ≥ 7, dàn này hữu hạn và không phụ thuộc vào trường K. Hơn nữa, trong tất cả những trường hợp này các nhóm con B n (K), D n (K) đều thỏa một tính chất chung là: mỗi một nhóm con của nhóm GL n (K) đều nằm giữa một nhóm con nào đó và chuẩn hóa tử của nó. Trong [4], Borevich đã đề cập: "Cho K là trường, card(K) ≥ 7. Khi đó, với mọi nhóm con trung gian H, D= D n (K) ≤ H ≤ G = GL n (K), tồn tại duy nhất một D-lưới σ sao cho G( σ ) ≤ H ≤ N( σ )". Kết quả này của Borevich còn được mở rộng cho nhiều lớp vành khác nhau, chẳng hạn như trong [5]. Liệu đối với vành chính quy giao hoán theo nghĩa von Neumann kết quả này còn đúng không? Trong [2], Bùi Xuân Hải và Trần Ngọc Hội đã xét R là vành chính quy giao hoán thỏa một điều kiện được gọi là điều kiện ( Φ ) , H là nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát GL n (R) với n ≥ 2 và nhóm con D n (R) của nhóm GL n (R) là nhóm các ma trận đường chéo. Khi đó, các tác giả đã chứng tỏ rằng: "Với mỗi nhóm con trung gian H của D và G đều tồn tại duy nhất một D-lưới cấp n các iđêan trong R sao cho G( σ ) ≤ H ≤ N( σ )". Vậy vấn đề này được giải quyết như thế nào?Điều kiện ( Φ ) là điều kiện gì? Lưới các iđêan là gì? Cho R là vành kết hợp có đơn vị 1, G = GL n (R) là nhóm tuyến tính cấp n ≥ 2 trên R, D = D n (R) là nhóm con các ma trận chéo khả nghịch của G. Ta quan tâm đến nhóm con trung gian H của D và G. Nếu R là trường có bảy phần tử thì dàn các nhóm con H của G đã được mô tả trong [4]. Sau đó kết quả này đã được mở rộng cho vành nửa địa phương trong [5]. Trong luận văn này, chúng ta xem xét một vài kết quả tổng quát khác của kết quả trong [4]. Cụ thể, ta nghiên cứu vấn đề tương tự cho vành chính quy giao hoán. Rõ ràng cấu trúc của dàn các nhóm con trung gian H phụ thuộc chủ yếu vào tính chất của vành R. Do đó, trong luận văn này chúng ta thiết lập một vài tính chất đặc biệt của vành chính quy giao hoán. Trong [4] - [6], sự phân loại các nhóm con trung gian H nằm giữa D và G liên quan đến những khái niệm được gọi là lưới và nhóm con lưới. Nghĩa là, với mỗi nhóm con trung gian H nằm giữa D và G, tồn tại duy nhất D−lưới σ các iđêan cấp n thỏa G( σ ) ≤ H ≤ N( σ ), trong đó N( σ ) là chuẩn hóa tử của nhóm con D−lưới G( σ ) trong G. Luận văn này gồm hai chương. Chương 1 chủ yếu trình bày các kiến thức mở đầu cần thiết cho ta sử dụng về sau và Chương 2 là phần chính của luận văn, trình bày sự "mô tả chuẩn" các nhóm con trung gian của nhóm GL n (R) chứa nhóm ma trận đường chéo D n (R) mà hai tác giả đã đề cập. Danh mục các kí hiệu BẢNG KÍ HIỆU H ≤G: H là nhóm con của G . 1 = {1}: Nhóm con chỉ có một phần tử đơn vị cúa nhóm G . CG ( X ) : Tâm hóa tử của tập X trong nhóm G . CenR : Tâm của vành R . R* : Nhóm các phần tử khả nghịch của vành R . R* = R \{0}: Tập các phần tử khác 0 của vành R . x a = a −1 xa : Phần tử liên hợp với phần tử x trong nhóm. H x = x −1 Hx : Nhóm con liên hợp với H . NG ( H ) : Chuẩn hóa tử của H trong G . [a, b] = aba −1b −1 : Giao hoán tử của a và b . [ H , K ]: Nhóm con của G sinh ra bởi các giao hoán tử dạng [h, k]với h∈ H,k ∈ K . GL( M ) : Nhóm các tự đồng cấu khả nghịch của R -môđun M . M n ( R) : Vành các ma trận vuông cấp n trên R . GLn ( R) : Nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên R . En ( R) : Nhóm tuyến tính sơ cấp bậc n trên vành R . Dn ( R ) : Nhóm các ma trận đường chéo bậc n trên vành R . SLn ( R ) : Nhóm tuyến tính đặc biệt bậc n trên vành giao hoán R . PGLn ( R) : Nhóm tuyến xạ ảnh tính tổng quát bậc n trên R . PSLn ( R ) : Nhóm tuyến tính xạ ảnh đặc biệt bậc n trên vành giao hoán R . δ ij : Kí hiệu Kronecker. eij : Ma trận với 1 ở vị trí (i, j ) và 0 ở các vị trí khác. [ε1 , ε 2 , …, ε n ] : Ma trận đường chéo với ε1 , ε 2 , …, ε n nằm trên đường chéo chính. di (ε ) : Ma trận đường chéo với ε ở vị trí (i, i ) và 1 ở các vị trí còn lạitrên đường chéo chính. dij (ε ) : Ma trận đường chéo với ε ở vị trí (i, i ),ε −1 ở vị trí ( j , j ) và 1 ở các vị trí còn lại trên đường chéo chính. tij (r )= I + reij : Ma trận sơ cấp. σ = (σ ij ) : Lưới các iđêan bậc n trên vành R . M (σ ) : Tập các ma trận vuông với hệ tử aij ∈ σ ij . G (σ ) : Nhóm con lưới của GLn ( R) chứa trong e + M (σ ) N (σ ) : Chuẩn hóa tử của G (σ ) trong GLn ( R) . Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Sơ lược về lý thuyết vành, môđun và nhóm Trong suốt luận văn này, ta chỉ xét R là vành kết hợp có đơn vị 1 ≠ 0 và M là R−môđun phải (những khi cần xét R−môđun trái ta sẽ nói rõ). Các định nghĩa trình bày sau đây chủ yếu được tham khảo từ [1]. 1.1.1 Vành Định nghĩa 1.1.1. Cho R là vành, khi đó ta kí hiệu R* là nhóm nhân tất cả các phần tử khả nghịch của R và R ∗ = R\{0}. Nếu R* = R ∗ thì R được gọi là một thể hay vành chia. Một vành chia giao hoán được gọi là một trường. Định nghĩa 1.1.2. Tâm của vành R được kí hiệu là CenR được định nghĩa như sau: CenR = {s ∈ R|sr = rs, ∀r ∈ R}. CenR là vành con giao hoán của R. Nếu CenR = R thì R là vành giao hoán. Định nghĩa 1.1.3. Vành R được gọi là vành đơn nếu nó không có iđêan thực sự khác 0. Định nghĩa 1.1.4. Giao J(R) của tất cả các iđêan phải (hoặc trái) tối đại của R gọi là căn Jacobson của R. Nếu J(R) = 0 thì R được gọi là J−nửa đơn. Chú ý rằng mọi vành đơn đều J−nửa đơn và vành thương R/J(R) là một vành J−nửa đơn. Định nghĩa 1.1.5. Ta nói miền nguyên R là miền nguyên Dedekind nếu mọi iđêan thực sự của R có thể viết dưới dạng tích của các iđêan nguyên tố. Định nghĩa 1.1.6. Vành R được gọi là vành Noether phải (trái) nếu các iđêan phải (trái) của R thỏa điều kiện ACC (Ascending Chain Condition), nghĩa là nếu I 0 ⊆ I1 ⊆ … ⊆ I i ⊆ … là mỗi dây chuyền các iđêan phải (trái) của R thì tồn tại số nguyên dương n sao cho I i = I n ,∀i ≥ n. Vành R được gọi là vành Artin phải (trái) nếu các iđêan phải (trái) của R thỏa điều kiện DCC (Descending Chain Condition), nghĩa là nếu I 0 ⊇ I1 ⊇ … ⊇ I i ⊇ … là mỗi dây chuyền các iđêan phải (trái) của R thì tồn tại số nguyên dương n sao cho I i = I n ,∀i ≥ n. Như vậy, mọi vành chia đều là vành Artin. Định nghĩa 1.1.7. Vành R được gọi là vành địa phương nếu R\R∗ là iđêan của R. Định nghĩa 1.1.8. Vành R được gọi là vành nửa địa phương nếu R/J(R) là vành Artin phải. 1.1.2 Môđun Giả sử M là R−môđun (trong phạm vi này ta chỉ xét R−môđun phải, những khi cần xét R−môđun trái ta sẽ nói rõ). Ta giả thiết mọi môđun M đều đơn nguyên, nghĩa là x.1 = x, ∀x ∈ M. Nếu S là tập con khác rỗng của M thì kí hiệu S là môđun con của M sinh ra bởi tập S. Nếu tồn tại tập S hữu hạn sao cho M = < S > thì ta nói M là môđun hữu hạn sinh. Một tập sinh độc lập của M gọi là cơ sở của M. Định nghĩa 1.1.9. Môđun M có cơ sở gọi là môđun tự do. Môđun M hữu hạn sinh và tự do khi và chỉ khi M có cơ sở hữu hạn. Nếu hai cơ sở bất kì của môđun M có cùng lực lượng thì ta gọi lực lượng này là hạng của M và kí hiệu rankM. Nếu R là vành chia thì M là không gian vectơ trên R và hạng của M chính là số chiều của không gian ấy và kí hiệu nó là dimM. Với x ∈ M ta xét tập hợp ann(x) = {r ∈ R|xr = 0}. Tập hợp này là một iđêan phải của R. Hơn nữa, ann(x) = 0 khi và chỉ khi x là cơ sở của x. Nếu ann(x) = 0,∀x = 0, x∈M thì M được gọi là môđun không xoắn. Rõ ràng nếu R ≠ 0 thì và R không xoắn thì R là miền nguyên. Nếu M 1 , M 2 , . . . , M n là các môđun con của M thì M 1 + M 2 + . . . + M n = {x 1 + x 2 + . . . + x n |x ∈ M } là một môđun con của M. Nếu mỗi phần tử x ∈ M được viết duy nhất dưới dạng x = x1 + x2 + . . . + xn thì tổng M 1 + M 2 + . . . + M n được kí hiệu là M1⊕ M2⊕ . . . ⊕ Mn và được gọi là tổng trực tiếp trong của các môđun con M 1 , M 2 , . . . , M n . Nếu M 1 , M 2 , . . . , M n là các R−môđun bất kì thì tích Descartes M 1 × M 2 × . . . ×M n được gọi là tổng trực tiếp ngoài của các môđun M 1 , M 2 , . . . , M n . Ta cũng kí hiệu tổng trực tiếp ngoài là: M 1 ⊕M 2 ⊕ . . . ⊕M n . Nếu N, L là các môđun con của M và M = N ⊕ L thì L được gọi là phần bù trực tiếp của N. Định nghĩa 1.1.10. Cho M là R−môđun. Phần tử x ∈M được gọi là unimodular nếu ann(x) = 0 và x có phần bù trực tiếp trong M. Cho M, N là các R−môđun. Ta kí hiệu Hom R (M, N) là nhóm Aben tất cả các đồng cấu môđun từ M vào N. Nếu M = N thì ta kí hiệu Hom(M, M) là End R M. Khi đó End R M là một vành đối với các phép toán cộng và nhân (hợp nối) ánh xạ. Mỗi phần tử của End R M được gọi là một phép biến đổi tuyến tính trên M. Phép biến đổi đồng nhất kí hiệu là 1 M . Nhóm Aben Hom R (M, R) có cấu trúc R−môđun trái: nếu r ∈ R và ρ ∈ Hom R (M, R) thì rđ được xác định như sau: (r ρ )(x) = r ρ (x), x ∈ M. Khi đó môđun trái Hom R (M, R) được kí hiệu là M* và được gọi là môđun đối ngẫu của M. Giả sử M và M’ là các R−môđun tự do với các cơ sở hữu hạn tương ứng là B = {x 1 , x 2 , . . . , x n } và B’ = {x’ 1 , x’ 2 , . . . , x’ n }. Với α ∈ Hom R (M, M’), ta đặt x j = x’ 1 A 1j + x’ 2 A 2j + . . . + x’ n A mj với A ij ∈ R. Ma trận A = (A ij ) được gọi là ma trận của đối với cặp cơ sở B và B’. Ta kí hiệu ma trận này là M BB’ ( α ). Nếu M = M’ và B = B’ thì ma trận A được kí hiệu là M B ( α ). Ánh xạ M B : End R M → M n (R) α |→ M B ( α ) là một đẳng cấu vành. Nếu R là vành giao hoán thì hợp nối các ánh xạ det và M B cũng được kí hiệu là det : End R M → R và cũng gọi là định thức. Định thức này hoàn toàn không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở B. 1.1.3 Nhóm Cho nhóm G là một nhóm nhân với phần tử đơn vị 1. Nhóm con H của G là nhóm con thật sự nếu H ≠ G. Định nghĩa 1.1.11. Nhóm G gọi là nhóm đơn nếu G không có nhóm con chuẩn tắc thực sự khác 1. Nếu H 1 , H 2 , . . . , H n là các nhóm con của G thì ta kí hiệu H 1 .H 2 . . . . .H n là tập hợp H 1 .H 2 . . . . .H n = {h 1 .h 2 . . . h n }. Nếu X là tập con khác rỗng của G thì kí hiệu X là nhóm con của G sinh bởi tập X. Nếu X hữu hạn và G = < X > thì ta nói G là hữu hạn sinh. Định nghĩa 1.1.12. Cho H, K là các nhóm con của G. Ta nói H chuẩn hóa K hay K được chuẩn hóa bởi H, nếu ∀h ∈ H, hKh−1 = K. Nếu X là tập con khác rỗng và H là nhóm con của G thì H = {hxh−1 | h ∈ H, x ∈X } là nhóm con nhỏ nhất của G chứa X và được chuẩn hóa bởi H. Đặc biệt, G là nhóm con chuẩn tắc nhỏ nhất của G chứa X. Nó được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G sinh bởi tập X. Định nghĩa 1.1.13. Tâm hóa tử của tập X trong nhóm G là tập hợp C G (X) = {g ∈ G |gx = xg, ∀x ∈X }. Tâm hóa tử của G trong G được kí hiệu là CenG và gọi là tâm của G. Định nghĩa 1.1.14. Cho H là nhóm con của G. Khi đó tập N G (H) = {g ∈ G |gHg−1 = H} được gọi là chuẩn hóa tử của H trong G. Rõ ràng H  N G (H) ≤ G. Định nghĩa 1.1.15. Cho H và K là hai nhóm con của G. Với h ∈ H, k ∈K thì [h, k] = hkh−1k−1 được gọi là giao hoán tử của h và k. Nhóm con G được sinh ra bởi tất cả các giao hoán tử dạng được kí hiệu là [H, K]. [h, k] với h ∈ H, k ∈ K Vì [h, k] = [k, h]−1 nên [H, K] = [K, H]. Nhóm [G, G] được gọi là nhóm con hoán tử của G và kí hiệu là DG. 1.2 Nhóm tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính 1.2.1 Nhóm tuyến tính tổng quát GL(M) và các nhóm liên quan Cho M là R−môđun (phải). Mỗi phần tử của End R M được gọi là một phép biến đổi tuyến tính trên M. Định nghĩa 1.2.1. Nhóm tuyến tính tổng quát GL(M) của môđun M là nhóm tất cả các phép biến đổi tuyến tính khả nghịch của M. Với r∈ (CenR)∗, định nghĩa phép biến đổi tuyến tính r1 M như sau: r1 M (x) = xr, ∀x ∈ M. Rõ ràng r1 M ∈GL(M). Tập hợp RL(M) = {r1 M |r ∈ (CenR)∗} tạo thành một nhóm con chuẩn tắc của GL(M). Nếu M là một R−môđun trung thành thì tương ứng r → r1 M xác định một đẳng cấu (CenR)* ≅ RL( M ). Phép chiếu tự nhiên P M : GL(M) → GL(M)/RL(M) thông thường được kí hiệu là P và nhóm PGL(M) gọi là nhóm tuyến tính tổng quát xạ ảnh của M. Nếu G là một nhóm con của GL(M) thì PG  G/G ∩ RL(M). Nếu R là vành giao hoán và M là R−môđun tự do hạng hữu hạn thì ta định nghĩa nhóm tuyến tính đặc biệt SL(M) là nhóm con của nhóm GL(M) gồm các phần tử có định thức bằng 1. Rõ ràng SL(M) là nhóm con chuẩn tắc của GL(M) và ánh xạ định thức det : GL(M) → R* cảm sinh một đồng cấu nhóm GL(M)/SL(M) → R* . Đặt M(n, m, R) là nhóm cộng các ma trận cấp n×m với hệ tử thuộc R và M(n, n, R) ≡ M(n, R) ≡ M n (R) là nhóm cộng các ma trận vuông cấp n trên vành R. Định nghĩa 1.2.2. Nhóm tuyến tính tổng quát GL n (R) của vành R, n ≥ 1, là nhóm các ma trận vuông khả nghịch cấp n được xác định bởi GL n (R) = {a ∈ M n (R) | ∃b ∈ M n (R), ab = ba = I}. Nếu R giao hoán thì định nghĩa SL n (R) = {a ∈ GL n (R) |det(a) = 1}. Giả sử M là R−môđun tự do với cơ sở hữu hạn B gồm n phần tử. Khi đó hạn chế của đồng cấu vành M B : End R M → M n (R) lên GL(M) cho ta đồng cấu nhóm → M B : GL(M) GL n (R). Hạn chế của đồng cấu này lên RL(M) nhận được đồng cấu → RL(M) trong đó RL= n ( R) RL n (R), {rI | r ∈ (CenR) *.} Nếu R là vành giao hoán thì ta còn có SL(M) → SL n (R). Giả sử P: GL n (R) → GL n (R)/RL n (R). Khi đó, ta có: PGL(M)/PGL n (R). 1.2.2 Định nghĩa các phép co Xét phần tử v ∈ M và ρ ∈ M* = Hom R (M, R). Ta định nghĩa một đồng cấu τv , ρ ∈ End R (M) như sau: τv , ρ (x) = x + v ρ (x), ∀x ∈ M. Rõ ràng τv , ρ ∈ GL(M) khi và chỉ khi nó khả nghịch. Giả sử ρ (v) = 0. Khi đó ta có τv , ρ  τv , −ρ ( x) =τv , ρ [ x − vρ( x)] = x − vρ( x) + vρ[ x − vρ( x)] = x − vρ( x) + vρ( x) − vρ(v)ρ( x) = x. Tương tự ta cũng được τv , −ρ  τv , ρ (x) = x. Vậy τv , ρ khả nghịch với phần tử nghịch đảo là τv , −ρ . Định nghĩa 1.2.3. Đồng cấu dạng τv , ρ ≠ 1 M , với ρ (v) = 0 gọi là một phép co. Nếu τv , ρ ≠ 1 M , τv , ρ ∈ GL(M) và ρ (v) ≠ 0 thì τv , ρ được gọi là một phép dãn. ≠ 1. Giả sử v ∈ M là một phần tử unimodular và M = ⊕N. Xét phần tử s ∈ R, s Bây giờ, ta định nghĩa phần tử σ ∈ GL(M) như sau: σ v = vs, σ | N = 1 N . và định nghĩa ρ ∈ M* bằng cách đặt ρ v = s − 1, ρ |N = 0N. Khi đó ρ v ≠ 0 và với x = vr + y, r ∈ R, y ∈ N ta có: τv , ρ (x) = τv , ρ (vr + y) = vr + y + v ρ (vr + y) = vr + y + v ρ (vr) + v ρ (y) = vr + y + v(s − 1)r = vr + y + vsr − vr = vsr + y = σ (vr + y) = σ (x). Như vậy ta đã chứng tỏ σ là một phép dãn.  Mệnh đề 1.2.1. Cho τv , ρ là một phép co hoặc một phép dãn. Nếu ann(v) = 0 thì τv , ρ = 1 M khi và chỉ khi ρ = 0. Nếu ρ là toàn ánh thì τv , ρ = 1 M khi và chỉ khi v = 0. Chứng minh. Giả sử ann(v) = 0. Ta có: τv , ρ = 1 M ⇔ τv , ρ (x) = x + v ρ (x) = x, ∀x ∈ M ⇔ v ρ (x) = 0, ∀x ∈ M ⇔ ρ (x) = 0, ∀x ∈ M ⇔ ρ = 0. Giả sử ρ toàn ánh. Khi đó τv , ρ = 1 M ⇔ τv , ρ (x) = x + v ρ (x) = x, ∀x ∈ M ⇔ v ρ (x) = 0, ∀x ∈ M. Vì ρ toàn ánh nên tìm được x để ρ (x) = 1. Suy ra τv , ρ = 1 M ⇔ v = 0.  Dễ dàng kiểm chứng các phần tử dạng τv , ρ thỏa các tính chất sau đây: (a) τv , ρ τv , ϕ = τv , ρ+ϕ nếu ρ v = 0. (b) τv , ρ τu , ρ = τv +u , ρ nếu ρ u = 0. (c) τvr , ρ = τv , rρ . (d) σ τv , ρ σ −1 = τσv , ρσ với σ ∈ GL(M). −1 (e) τv , ρ τv , ρ = τu , φ nếu ρ u = v = 0. ϕ Nếu τv , ρ là một phép co thì theo (b), ( τv , ρ )m = τvm , ρ . Nói riêng, nếu đặc trưng của vành là ước số của m thì vm = 0 và do đó ( τv , ρ )m = 1 M . 1.2.3 Các phép co sơ cấp EB(M) và nhóm En(R) Xét môđun tự do hạng n với cơ sở tự do B ={x 1 , x 2 , . . . , x n } và { ρ 1 , ρ 2 , . . . , ρ n } là cơ sở đối ngẫu của M*. Phép co dạng τ x r , ρ với i ≠ j, r ∈ R được gọi là phép co sơ cấp ứng với cơ sở i j B. Kí hiệu E B (M) là nhóm con của GL(M) sinh ra bởi các phép co sơ cấp. Ta gọi E B (M) là nhóm tuyến tính sơ cấp. Định nghĩa 1.2.4. Với i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ n thì ta kí hiệu t ij (r), r ∈ R là ma trận dạng I + re ij , trong đó e ij là đơn vị ma trận, nghĩa là ma trận có 1 ở vị trí (i, j) và 0 ở tất cả vị trí khác. Ta gọi t ij (r) là ma trận sơ cấp của GL n (R). Rõ ràng t ij (r) là ma trận của τ x r , ρ trong cơ sở B. Ta định nghĩa nhóm ma trận i j sơ cấp E n (R) như sau Ánh xạ E n (R) = . M B : E B (M) τ xi r , ρ j → |→ E n (R) t ij (r) là một đẳng cấu vành. Nếu k < n và GL n (R) thì ta nhúng GL k (R) vào GL n (R) bằng cách sau: GL k (R)  → GL n (R) σ 0 σ | →  0 I Đồng nhất σ với ảnh của nó qua phép nhúng này, ta có thể xem GL k (R) là nhóm con của nhóm GL n (R). Nói riêng, GL 1 (R) có dạng  r 0   = GL1 ( R )  / r ∈ R   0 I   Rõ ràng GL1 ( R) ≅ R . Ta kí hiệu  r 0 [r ] =   0 I  Dễ thấy E k (R) ⊂ E n (R). Ngoài ra có thể kiểm chứng được rằng GL 1 (R) chuẩn hóa E n (R) trong GL n (R). Xét các phần tử sinh t ij (r) của nhóm E n (R). Bằng cách kiểm tra trực tiếp dễ dàng nhận thấy những mối liên hệ sau đây: (E1) t ij (r) t ij (s) = t ij (r + s); (E2) [t ij (r), t kl (s)] = I nếu j ≠ k, i ≠ l; (E3) [t ij (r), t jk (s)] = t ik (rs) nếu i, j, k là những chữ số khác nhau. Bằng cách kiểm tra trực tiếp ta còn nhận được mối liên hệ sau đây: (E4) σ t ji (r) σ −1 = t ij (−r) với ε ∈ R* và σ = t ij ( ε )t ji (− ε −1)t ij ( ε ). Lưu ý thêm rằng nếu n ≥ 3 thì (E4) có thể được suy ra từ (E1)-(E3). Với các phần tử ε 1 , ε 2 , . . . , ε n ∈ R , kí hiệu [ ε 1 , ε 2 , . . . , ε n ] là ma trận đường chéo có ε i nằm ở vị trí (i, i). Ta thấy [ ε 1 , ε 2 , . . . , ε n ] là một phần tử của GL n (R). Với i ≠ j, kí hiệu d ij ( ε ) là ma trận đường chéo có ε nằm ở vị trí (i, i), ε −1 nằm ở vị trí (j, j) và 1 nằm ở tất cả các vị trí còn lại. Khi đó, bằng cách kiểm tra trực tiếp ta nhận được các mối liên hệ sau đây: (E5) d ij ( ε ) = t ij ( ε )t ji (− ε −1)t ij ( ε )t ij (−1)t ji (1)t ij (−1); (E6) [ ε 1 , ε 2 , . . . , ε n ]t ij (r) = t ij ( ε i r ε −j 1 ) [ ε 1 , ε 2 , . . . , ε n ];