Tài liệu Nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát trên trường

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH TRƯƠNG HỮU DŨNG NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT TRÊN TRƯỜNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2011 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH TRƯƠNG HỮU DŨNG NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT TRÊN TRƯỜNG Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI XUÂN HẢI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2011 Mục lục Mục lục ............................................................................................. i Lời cảm ơn .................................................................................... iii Bảng kí hiệu ................................................................................... iv Lời mở đầu ...................................................................................... v Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị ..................................................... 1 1.1.Nhóm tuyến tính tổng quát trên trường ............................................1 1.2. Phép co sơ cấp .....................................................................................2 Chương 2 : Nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát trên một trường ....................................................................................................... 4 2.1. Lưới và nhóm con lưới .......................................................................4 2.2. Lưới đồng dạng ...................................................................................6 2.3. Lưới tối đại ........................................................................................10 2.4. Lưới trên vành đơn...........................................................................13 2.5. Ma trận chứa trong chuẩn hóa tử ...................................................17 2.6. Các bổ đề về phép co sơ cấp ............................................................18 2.7. Nhóm con chứa nhóm các ma trận đường chéo ............................28 2.8. Chuẩn hóa tử của nhóm con D-lưới trên một trường ...................31 Kết luận ......................................................................................... 36 Tài liệu tham khảo........................................................................ 38 Chỉ mục.......................................................................................... 39 Lời cảm ơn Trước tiên, tôi xin gửi lời cám ơn đến tất cả các thầy cô trong Khoa Toán - Tin, trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh, nhất là các thầy cô trong tổ bộ môn Toán, những người đã tận tình dạy dỗ chúng tôi trong suốt quá trình học đại học cũng như cao học. Chính những kiến thức mà chúng tôi học được từ các thầy cô trong suốt những năm qua là nền tảng quan trọng để tôi có hoàn thành được luận văn này trong hiện tại và có thể là một quá trình nghiên cứu khoa học lâu dài sau này. Hơn hết, tôi xin chân thành cám ơn thầy PGS.TS Bùi Xuân Hải là người đã trực tiếp hướng dẫn và khích lệ tôi trong suốt thời gian làm luận văn. Thầy đã giúp tôi tự tin hơn trong quá trình tìm hiểu cũng như đi sâu nghiên cứu về Toán học. Tôi cũng không quên sự ủng hộ nhiệt tình của các bạn cùng khóa đã giúp đỡ, cho tôi những lời khuyên và các tài liệu bổ ích trong việc học Toán. Xin gởi lời cám ơn đến người thân và gia đình, nhất là người mẹ - là người đã luôn động viên, tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành luận văn và người vợ - là người bạn đã hỗ trợ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Bảng kí hiệu R là một vành có đơn vị 1 GL(n,R)- nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên vành R K- là một trường GL(n,K)- nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên trường K D(n,K)- nhóm con các ma trận đường chéo T(n,K)- nhóm con các ma trận tam giác trên δ ij - kí hiệu Kronecker e=e k - ma trận đơn vị có cấp k eij - đơn vị ma trận, có 1 ở vị trí (i,j) và 0 ở các vị trí khác tij (α )= e + α eij - phép co sơ cấp (transvection) [ε1,..., ε n ] - ma trận đường chéo có ε i nằm ở vị trí (i,i) dij (ε ) - ma trận đường chéo với ε ở vị trí (i,i), ε −1 ở vị trí (j,j) và 1 ở các vị trí còn lại trên đường chéo chính d r ( ε )- ma trận đường chéo có ε ở vị trí (r,r) và 1 ở các vị trí (i,i)khác [a,b]=a−1b −1ab -giao hoán tử của a và b N G (H) - chuẩn hóa tử của H trong G σ = (σ ij ) - lưới các ideal của vành R M (σ ) - tập các ma trận vuông a=(a ij ) với a ij ∈ σ ij G(σ ) - nhóm con lưới của GL(n,R) N (σ ) - chuẩn hóa tử của G(σ ) trong GL(n,R) Lời mở đầu Năm 1976, Z.I. Borevich đã nghiên cứu dàn các nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát GL(n, K) trên trường K chứa nhóm con D(n, K) các ma trận đường chéo. Một điều rất thú vị là đối với mọi trường K thỏa |K| ≥ 7, dàn này hữu hạn và không phụ thuộc vào trường K. Hơn nữa, trong tất cả những trường hợp này các nhóm con T(n, K), D(n, K) đều thỏa một tính chất chung là: mỗi một nhóm con của nhóm GL(n, K) đều nằm giữa một nhóm con nào đó và chuẩn hóa tử của nó. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày lại một cách chi tiết một bài báo của Borevich (xem [4]). Đây là bài báo đầu tiên, đặt nền móng cho hướng nghiên cứu về cấu trúc các nhóm con trong nhóm tuyến tính trên vành chứa nhóm con các ma trận đường chéo. Cụ thể là trên vành nửa địa phương (semilocal ring), vành chính qui Von Newman. Từ việc trình bày chi tiết lại bài báo, chúng tôi mong muốn sẽ có thêm tài liệu tham khảo chi tiết hơn cho vấn đề này, giúp cho việc hiểu rõ hơn bài báo nhằm mục đích có hướng giải quyết cho bài toán mở của bài báo gốc. Nội dung Luận văn gồm 3 chương: Chương 1. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm về nhóm tuyến tính tổng quát trên trường, định nghĩa phép co sơ cấp và các tính chất của nó. Chương 2. Đây là nội dung chính của luận văn. Chúng tôi đưa ra khái niệm lưới và nhóm con lưới, chứng minh đẳng thức G = (σ ) GL (n, K ) ∩ ( e + M (σ ) ) trên trường K, tiếp theo là những khái niệm lưới đồng dạng, lưới tối đại, lưới trên vành đơn. Các khái niệm này giúp cho việc chứng minh Định lý 2.8.1 về việc mô tả chuẩn hóa tử của nhóm con D-lưới trên một trường. Sau đó, chúng tôi sẽ mô tả ma trận chứa trong chuẩn hóa tử qua Mệnh đề 2.5.1 và mô tả các phép co sơ cấp trong nhóm con trung gian H qua các Bổ đề 2.6.1 đến 2.6.5. Các mệnh đề và các bổ đề này làm cơ sở cho việc chứng minh Định lý 2.7.1: Cho K là trường | K |= ≥ 7, G GL (n,= K ), D D(n, K ), H là nhóm con bất kỳ của D ≤ H ≤ G . Khi đó tồn tại duy nhất D-lưới σ các ideal trong K sao cho G(σ ) ≤ H ≤ N (σ ) , trong đó N (σ ) = NG (G(σ )) . Cuối cùng là phần Kết luận và đề nghị bài toán mở. Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị 1.1.Nhóm tuyến tính tổng quát trên trường Cho K là trường. K* = K \{0}. M(n,K) là vành các ma trận vuông cấp n. a = (a ij ) ∈ M(n,K). E là ma trận đơn vị. GL(n,K) được gọi là nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên trường K, gồm tất cả các ma trận vuông khả nghịch hệ số trên K. Với mọi i,j = 1, …, n, e ij là ma trận có 1 ở vị trí (i,j) và 0 ở tất cả các vị trí khác, e ij được gọi là đơn vị ma trận. Kiểm tra trực tiếp ta được e neáu j = k eijekl =  il 0 neáu j ≠ k . Với mọi a = (a ij ), ta có a =∑ aij eij =0 ⇔ aij =0, ∀i, j. i, j Suy ra M(n,K) là không gian vectơ trên K với cơ sở là {e ij }. 1.2. Phép co sơ cấp Với mọi α ∈ K và i ≠ j , ta đặt tij (α )= e + α eij gọi là phép co sơ cấp (transvection). Với β ∈ K , ta có tij (α )tij ( β ) = (e + α eij )(e + β eij ) = e + α eij + β eij + αβ eije ji =e + (α + β )eij = tij (α + β ) Lấy β = −α , ta được tij (α )tij (−α ) =tij (0) =e ⇒ (tij (α ))−1 =tij (−α ) Suy ra tij (α ) ∈ GL (n, K ) . Bằng cách kiểm tra trực tiếp ta có được các mối quan hệ sau: ( E1) tij (α )tij= ( β ) tij (α + β ). ( E2 ) [tij (α ), tkl (β= )] e neáu j ≠ k , i ≠ l. ( E3 ) [tij (α ), t jk ( β )] = tik (αβ ) neáu i, j, k , i laø nhöõng chæ soá khaùc nhau. ( E4 ) σ t ji (α )σ −1 = tij (−εαε ), vôùi ε ∈ R* ,σ = tij (ε )t ji (−ε −1 )tij (ε ). Nếu n ≥ 3 thì (E 4 ) có thể được suy ra từ (E 1 )-(E 3 ). Với các phần tử ε1,..., ε n ∈ R* , ký hiệu [ε1,..., ε n ] là ma trận đường chéo có ε i nằm ở vị trí (i,i). Ta thấy [ε1,..., ε n ] là một phần tử của GL(n,R). Với i ≠ j , ký hiệu dij (ε ) là ma trận đường chéo có ε nằm ở vị trí (i,i), ε −1 nằm ở vị trí (j,j), và 1 ở các vị trí khác. Kiểm tra trực tiếp ta được các công thức sau: ( E5 ) d ji (ε ) =tij (ε )t ji (−ε −1 )tij (ε )tij (−1)t ji (1)tij (−1). ( E6 ) [ε1,..., ε n ]t ij (α ) = tij (ε iαε −j 1 )[ε1,..., ε n ]. ( E7 ) [η1,...,ηn ][ε1,...,ε n ] = [η1ε1,...,ηnε n ]. Cho= a (aij ) ∈ M (n, K ) . Việc nhân ma trận a về bên trái với một phép co sơ cấp tij (α ) tương đương với việc áp dụng phép biến đổi sau đây đối với a: (E) Thay dòng thứ i của ma trận a bởi dòng thứ i cộng với α "lần" dòng thứ j ( α được nhân về bên trái). Tương tự, việc nhân ma trận a về bên phải với một phép co sơ cấp tij (α ) tương đương với việc áp dụng phép biến đổi sau đây đối với ma trận a: (E') Thay cột thứ j của ma trận a bởi cột thứ j cộng với α "lần" cột thứ i ( α được nhân từ bên phải). Chương 2 : Nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát trên một trường 2.1. Lưới và nhóm con lưới Cho R là vành bất kỳ với đơn vị 1 và n ∈  . Xét bảng σ = (σ ij ),1 ≤ i, j ≤ n , gồm n2 các ideal hai phía σ ij của R. Bảng này được gọi là lưới các ideal của R có bậc n nếu σ irσ rj ⊆ σ ij , ∀i, j, r. (2.1) Lưới σ được gọi là D-lưới nếu σ ij= R, ∀i. Cho σ là lưới, ta kí hiệu M= (σ ) {a = (aij ) ∈ M(n,R): aij ∈ σ ij , ∀i,j} Do (2.1) nên M (σ ) là vành con của M(n,R). Ma trận đơn vị e ∈ M (σ ) ⇔ σ là D-lưới. Tập hợp e + M (σ= ) {e+ a: a ∈ M(σ )} là hệ nhân. Nếu σ là D-lưới thì M(σ )= e + M (σ ) . Trên tập tất cả các lưới bậc n các ideal của R ta định nghĩa quan hệ sau, cho các lưới σ và τ , ta viết σ ≤ τ nếu σ ij ⊆ τ ij , ∀i, j. Quan hệ này là quan hệ thứ tự bộ phận. Nếu lưới σ và τ là hai lưới thì σ ∩ τ= (σ ij ∩ τ ij ) cũng là một lưới. Định nghĩa 2.1.Cho σ là lưới bất kỳ các ideal của R có bậc n. Nhóm con lớn nhất của G = GL(n,R) nằm trong e + M (σ ) được gọi là nhóm con lưới của G ứng với lưới σ , và được kí hiệu là G(σ ) . Nếu σ là D-lưới thì G(σ ) được gọi là nhóm con D-lưới. Theo định nghĩa, a ∈ G(σ ) ⇔ a, a −1 ∈ e + M (σ ) . Mệnh đề 2.1. Cho K là trường. Khi đó G(σ ) = G ∩ (e + M (σ )) vôùi moïi löôùi σ , trong đó G = GL(n,K). Chứng minh. Với mọi a ∈ G ∩ (e + M (σ )) , ta cần chứng minh a−1 ∈ G ∩ (e + M (σ )) hay a −1 − e ∈ M (σ ) . Do a khả nghịch nên theo Định lý Cayley – Hamilton, ta có P a (a) = 0, (2.2) trong đó Pa (t ) =− ( 1)n t n + ... + a1t + a0 vôùi a0 =det a ≠ 0. Ta có a − e ∈ M (σ ) . Mặt khác, từ (2.2) ta có Pa (a) =− ( 1)n a n + ... + a1a + a0e =0. Suy ra a((−1)n a n + ... + a1e) = −a0e , nên a −1 = − 1 ((−1)n a n + ... + a1e). a0 Do đó a −1 = − 1 1 ((−1)n + ... + a1 )e − ((−1)n (a n −1 − e) + ... + a2 (a − e)). a0 a0 Đặt α= − 1 1 ((−1)n + ... + a1 ), b = − ((−1)n (a n −1 − e) + ... + a2 (a − e)). a0 a0 Ta có α ∈ K , b ∈ M (σ ) . Khi đó, a −1 =α e + b,α ∈ K , b ∈ M (σ ) . Từ đó suy ra a −1 − = e a −1(e − a) =(α e + b)(e − a) = α (e − a) + b(e − a) ∈ M (σ ). Vậy a−1 ∈ G ∩ (e + M (σ )) . 2.2. Lưới đồng dạng Cho R là vành, n ≥ 2 . Giả sử σ là một lưới các ideal bậc n trong vành R và π ∈ Sn .. Với mọi 1 ≤ i, j ≤ n, ta định nghĩa τ ij = σ π (i),π ( j ) . Khi đó τ = (τ ij ) cũng là một lưới bậc n và ta kí hiệu τ = σ π . Ta nói σ và τ là hai lưới đồng dạng nếu tồn tại π ∈ Sn sao τ = σ π . Với π ∈ Sn xét ma trận Pπ = (δ iπ ( j ) ) , trong đó δ kl là ký hiệu Kronecker. Nhận xét 2.2. 1. Tương ứng π → Pπ xác định một đơn cấu từ S n vào GL(n, R). Chứng minh. Xét ánh xạ ϕ : Sn → GL (n, R) π  Pπ = (δ iπ ( j ) ) Ta sẽ chứng minh ϕ là đồng cấu. Ta có Pπ Pτ = (δ iπ ( j ) )(δ iτ ( j ) ) = (∑ δ iπ ( j )eij )(∑ δ kτ (l)ekl ) i, j kl n = ∑ ( ∑ δ iπ ( j )δ jτ (l) )eil. kl j =1 τ (l) j= Nếu= 0 , j0 1,..., n thì τ (l) ≠ j, ∀j ≠ j0 . Suy ra δ j τ (l) = 1 vaø δ jτ (l) = 0, ∀j ≠ j0 . 0 Do đó Pπ Pτ = ∑ δ iπ ( j )eil. 0 i,l = ∑ δ iπ (τ (l))eil. i,l = ∑ δ i,πτ (l)eil. i,l = Pπτ Từ đó ta có ) P= Pτ ϕ (π )ϕ (τ ). ϕ (πτ = πτ Pπ= Suy ra ϕ là đồng cấu. Tiếp theo ta sẽ chứng minh ϕ là đơn cấu. Giả sử ϕ (π ) = ϕ (τ ) , suy ra Pπ = Pτ , hay (δiπ ( j) ) = (δiτ ( j) ) . Do đó π (= j ) τ ( j ), ∀ j 1,..., n. = Suy ra π =τ Vậy ϕ là đơn cấu. Nhận xét 2.2.2 G(σ π ) = Pπ−1G(σ )Pπ đối với mọi lưới σ và mọi π ∈ Sn . Chứng minh. Theo chứng minh trên ta có Pπτ = Pπ Pτ Thay τ = π −1 , ta được Pπ P −= P −= P= id (δ= ij ) e. π 1 ππ 1 Suy ra Pπ−1 = P −1 . π Với mọi a ∈ G(σ ) , vì G(σ = ) (e + M (σ )) nên a =+ e b, b = (bij ) ∈ M (σ ), bij ∈ σ ij . Ta có Pπ−1aPπ = P (e + b)Pπ = e + P bPπ π −1 π −1 Đặt B = P bPπ . π −1 Ta có Bij (δ −1 b11 + ... + δ −1 bn1 )δ1π ( j ) + ... + (δ −1 b1n + ... + δ −1 bnn )δ nπ ( j ) . = iπ (1) iπ (n) iπ (1) iπ (n) Giả sử π ( j ) = k ,1 ≤ k ≤ n. Khi đó = Bij (δ −1 b1k + ... + δ −1 bnk ). iπ (1) iπ (n) Giả= sử i π −1( p),1 ≤ p ≤ n. Khi đó Bij == b pk bπ (i)π ( j ) ∈ σ π (i)π ( j ) = (σ π )ij . Từ đó Pπ−1aPπ = e + B ∈ (e + M (σ π )) ∩ G = G(σ π ), ∀a ∈ G(σ ). Suy ra Pπ−1G(σ )Pπ ⊆ G(σ π ). Tương tự ta chứng minh được Pπ G(σ π )Pπ−1 ⊆ G(σ ). Hay G(σ π ) ⊆ Pπ−1G(σ )Pπ . Vậy G(σ π ) = Pπ−1G(σ )Pπ . đối với mọi lưới σ và mọi π ∈ Sn . Ký hiệu N (σ ) là chuẩn hóa tử của G(σ ) trong GL(n,R). Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.2. Cho σ là một D-lưới bậc n trong R và π ∈ Sn . Khi đó ma trận Pπ nằm trong N (σ ) nếu và chỉ nếu σ π = σ . Đặt P(σ ) ={Pπ |π ∈ Sn ,σ π =σ }. Khi đó ta có P(σ )G(σ ) ⊆ N (σ ). Chứng minh. Nếu σ π = σ thì G(σ ) = Pπ−1G(σ )Pπ . Suy ra Pπ ∈ N (σ ). Ngược lại, nếu Pπ ∈ N (σ ) thì Pπ−1G(σ )Pπ = G(σ ). Do chứng minh trên ta đã có G(σ π ) = Pπ−1G(σ )Pπ nên G(σ ) = G(σ π ) Phản chứng, giả sử σ π ≠ σ . Khi đó, tồn tại i,j sao cho (σ π )ij ≠ σ ij . Do đó tồn tại α ∈ σ ij ,α ∉ (σ π )ij . Xét ma trận a = tij (α ). Ta có a ∈ G(σ ) và a ∉ G(σ π ) (mâu thuẫn với G(σ ) = G(σ π ) ). Vậy σ π = σ . Nhận xét 2.2.4 i) (σ π )τ = σ πτ . Thật vậy, π) πτ = ((σ π )τ )ij (σ= τ (i)τ ( j ) σ= πτ (i),πτ ( j ) (σ )ij ii) Pπ−1P(σ )Pπ = P(σ π ). Thật vậy, −1P(σ )P −1 Pπ= π {Pπ aPπ | a ∈ P(σ )} ={Pπ−1aPπ | a = Pτ ,τ ∈ Sn ,σ τ = σ} ={Pπ−1Pτ Pπ | τ ∈ Sn ,σ τπ = σπ} −1 = {P | τ ∈ Sn ,(σ π )π τπ = σπ} − 1 π τπ τ ={P | τ 0 ∈ Sn ,(σ π ) 0 = σπ} τ0 = P(σ π ). iii) Pπ−1N (σ )Pπ = N (σ π ). Thật vậy, 1N (σ )P −1 Pπ−= π {Pπ aPπ |a ∈ N(σ )} ={Pπ−1aPπ | a −1G(σ )a=G(σ )} =N(σ π ). −1 −1 −1 −1 −1 −1 = [Vì ( Pπ−1aPπ )−1G(σ )(Pπ−1aPπ ) P= π a Pπ Pπ G(σ )Pπ Pπ aPπ Pπ a G(σ )aPπ π −1 = P= π G(σ )Pπ G(σ ).] iv) Cho π ∈ Sn bất kỳ, từ i), ii), iii) ta có hai đẳng thức N (σ ) = P(σ )G(σ ) và N (σ π ) = P(σ π )G(σ π ) tương đương với nhau. 2.3. Lưới tối đại Ký hiệu I là lưới đơn vị, nghĩa là lưới mà trong đó mọi phần tử đều bằng R. Trên tập tất cả các lưới bậc n các ideal của R ta định nghĩa quan hệ sau, cho các lưới σ và τ , ta viết σ ≤ τ nếu σ ij ⊆ τ ij , ∀i, j. Quan hệ này là quan hệ thứ tự bộ phận. Ta nói lưới σ là một lưới tối đại nếu σ ≠ I và không tồn tại một lưới τ nào thỏa mãn σ < τ < I. Giả sử µ là một ideal cho trước và 1 ≤ r ≤ n − 1. . Định nghĩa τ = (τ ij ) như sau: τ ij = µ nếu i > r và j ≤ r còn τ kl = R tại mọi vị trí khác. Khi đó, τ là một D-lưới và ký hiệu nó là τ (r , µ ) . Thật vậy, ta sẽ chứng minh τ ikτ kj ⊆ τ ij với mọi i, j, k. • Giả sử i > r và j ≤ r thì τ ij = µ . Nếu k ≤ r thì = τ ik µ= vaø τ kj R. Suy ra τ ikτ kj= µ R= µ= τ ij . Nếu k > r thì = τ kj µ= vaø τ ik R. Suy ra τ ikτ kj= Rµ= µ= τ ij . • Trường hợp còn lại τ ij = R. Suy ra τ ikτ kj ⊆ R = τ ij . Vậy trong mọi trường hợp ta đều có τ ikτ kj ⊆ τ ij với mọi i, j, k hay τ là lưới. Do đó, theo cách xác định τ ta có τ là D-lưới. Mệnh đề 2.3. Nếu µ là một ideal tối đại của R và 1 ≤ r ≤ n − 1 thì τ (r , µ ) là lưới tối đại. Chứng minh. Giả sử τ (r , µ ) ≤ σ ≤ I và τ (r , µ ) ≠ σ ta chứng minh σ = I . Ta chỉ cần chứng minh σ ij = R với mọi i > r và j ≤ r. Thật vậy, ta có τ ij= µ ⊂ σ ij và τ ij ≠ σ ij . Do µ tối đại nên σ ij = R. Còn lại = R τ kl ⊆ σ kl nên σ kl = R. Vậy σ = I . Định lý 1. Lưới σ là tối đại khi và chỉ khi σ đồng dạng với một lưới τ (r , µ ) trong đó 1 ≤ r ≤ n − 1 và µ là một ideal tối đại nào đó. Chứng minh. Nếu σ đồng dạng với một lưới τ (r , µ ),1 ≤ r ≤ n − 1, µ là một ideal tối đại nào đó thì σ tối đại. Giả sử σ là lưới tối đại. Vì σ ≠ I nên tồn tại ideal tối đại µ chứa ideal σ ij nào đó ( ) của lưới σ . Xét σ ij + µ là lưới khác I và σ = (σ ij ) ≤ (σ ij + µ ) . Do σ là lưới tối đại nên = σ (σ= ij ) (σ ij + µ ). Nếu σ ij ⊆ µ thì ta có µ ⊆ σ ij + µ = σ ij ⊆ µ . Suy ra σ ij = µ . Nếu σ ij ⊄ µ thì ta có µ ⊆ σ ij + µ vaø µ ≠ σ ij + µ . Do µ tối đại nên σ ij + µ = R. Suy ra σ ij = σ ij + µ = R. Vậy mỗi ideal σ ij của lưới σ hoặc bằng R hoặc bằng µ . Vì σ ≠ I nên tồn tại ideal bên ngoài đường chéo chính của σ không phải là ideal đơn vị R. Do đó khi thay các ideal σ ii trên đường chéo chính bởi R, ta được một D-lưới khácđơn vị và chứa σ . Do σ tối đại nên D-lưới này bằng σ . Như vậy, mọi lướitối đại đều là Dlưới. Trong lưới σ , ideal tối đại µ có mặt trong cột thứ nhất [vì nếu trong cột thứ nhất không có µ , mà cột thứ l có µ , ta sẽ dùng phép thế (1 l) để chuyển µ về cột thứ nhất] và ideal đơn vị R cũng có mặt trong cột thứ nhất σ11 = R . Ta ký hiệu i 1 = 1, i 2 , …, i r là chỉ