Tài liệu Nhóm biến đổi và định lý burnside

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ THƯƠNG NHÓM BIẾN ĐỔI VÀ ĐỊNH LÝ BURNSIDE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ THƯƠNG NHÓM BIẾN ĐỔI VÀ ĐỊNH LÝ BURNSIDE Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. ĐÀM VĂN NHỈ Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời nói đầu 1 1 Lý thuyết nhóm 4 1.1 Quan hệ tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Khái niệm nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Định lý Lagrange và các hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Các định lý đồng cấu nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Tác động nhóm lên một tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Tác động nhóm lên một tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2 Một vài ví dụ về tác động nhóm . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Nhóm giải được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5 Nhóm các phép thế-Nhóm đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6 Biểu diễn nhóm hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6.1 Một vài khái niệm trong Đại số tuyến tính . . . . . . . . . . 22 1.6.2 Phép biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6.3 Đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3 2 Định lý Burnside 31 2.1 Bổ đề Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Định lý Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.1 Một vài kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.2 Định lý Burnside về nhóm giải được . . . . . . . . . . . . . 35 ii 2.3 Vận dụng trong Toán sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.1 Bài toán tô màu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.2 Giải bằng căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.3 Một vài bài toán chưa có lời giải . . . . . . . . . . . . . . . 44 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 1 Lời nói đầu Trong lý thuyết số, người ta quan tâm đến sự biểu diễn mỗi số ra thành tích các số nguyên tố. Trong lý thuyết nhóm hữu hạn, người ta quan tâm đến chuỗi hợp thành gồm các nhóm con của nó. Mỗi nhóm hữu hạn G có một chuỗi hợp thành dạng {e} = G0 E G1 E G2 E · · · E Gk−1 E Gk = G trong đó mỗi nhóm thương Gi+1 /Gi là nhóm đơn với i = 0, 1, . . . , k − 1 và Định lý Jordan-Hölder kết luận rằng, hai chuỗi hợp thành là tương đương. Vấn đề đặt ra: Phân loại tất cả các nhóm đơn hữu hạn và xác định tất cả các cách xây dựng các nhóm khác nhóm đơn. Vấn đề này dẫn đến những nghiên cứu nhóm đơn hữu hạn vào cuối thế kỷ 19. Tiếp theo các công trình của nhà toán học người Đức Otto Hölder và nhà toán học người Mỹ Frank Nelson Cole, nhà toán học người Anh Willian Burnside đã tìm ra tất cả các nhóm đơn hữu hạn cấp nhỏ hơn hoặc bằng 1092 vào năm 1895. Đặc biệt, ông đã chứng minh được rằng, nhóm với cấp là tích của hai hoặc ba số nguyên tố là giải được. Định lý Burnside có vai trò quan trọng trong Lý thuyết nhóm qua việc phân lớp các nhóm đơn hữu hạn. Nhiều nhà toán học rất quan tâm đến kết quả này. Việc phân lớp được hoàn thành vào năm 1980. Đi liền với Định lý Burnside là phỏng đoán về nhóm đơn hữu hạn không abel với cấp là một số chẵn. Hơn 50 năm sau, vào năm 1963 phỏng đoán này đã được chứng minh bởi hai nhà toán học Mỹ Walter Feit và John Griggs Thompson. Định lý Burnside rất quan trọng trong Lý thuyết nhóm. Việc tìm hiểu và chứng minh lại Định lý này là có ý nghĩa đối với những ai quan tâm đến Lý thuyết nhóm. Vấn đề tiếp theo luận văn quan tâm là bài toán tô màu xuất hiện trong các kì thi đại học, học sinh giỏi cấp quốc gia hay quốc tế. Nhiều bài toán tổ hợp liên quan tới 2 các đối tượng khác nhau, chẳng hạn: dùng hai màu để tô ba đỉnh của tam giác ABC. Do A, B, C phân biệt nên việc xác định số cách tô màu là dễ dàng. Nếu ta coi ba đỉnh của tam giác là ba điểm trắng như nhau thì việc tính số cách tô màu là không dễ dàng. Với bài toán liên quan đến quan hệ tương đương, việc giải quyết cho tất cả các phần tử thuộc lớp thông qua một phần tử đại diện. Chính vì vậy luận văn đặt vấn đề vận dụng Toán cao cấp vào nghiên cứu một số bài toán tổ hợp. Đề tài trong luận văn cũng quan tâm đến việc chứng minh Bổ đề Burnside để từ đó xác định lời giải cho bài toán tô màu. Đề tài của luận văn quan tâm là nghiên cứu Bổ đề Burnside, Định lý Burnside trong Lý thuyết nhóm và vận dụng các kết quả đạt được vào Toán sơ cấp qua bài toán tô màu và phương trình giải được bằng căn thức. Luận văn này trình bày lại một số kết quả về lý thuyết nhóm, Bổ đề Burnside và Định lý Burnside chủ yếu theo tài liệu [1] ,[2] và [5]. Luận văn được chia ra làm hai chương. Chương 1 gồm sáu mục. Mục 1.1 trình bày về quan hệ tương đương. Trong Mục 1.2 tập trung nhắc lại khái niệm nhóm, nhóm con chuẩn tắc. Trong mục này chúng tôi đã chứng minh Định lý Lagrange về mối quan hệ giữa cấp của nhóm và cấp của nhóm con, Định lý 1.3 và Hệ quả 1.2, Hệ quả 1.3. Mục 1.3 được dành để viết về khái niệm tác động nhóm lên một tập. Mục 1.4 đã chứng minh hai kết quả về nhóm giải được, Định lý 1.11 và Định lý 1.12. Mục 1.5 trình bày về nhóm các phép thế, nhóm đối xứng. Cuối cùng là Mục 1.6, tập trung trình bày về biểu diễn nhóm hữu hạn. Chương 2 gồm ba mục. Mục 2.1 tập trung chứng minh Bổ đề Burnside. Mục 2.2 chứng minh lại Định lý Burnside qua việc vận dụng hai bổ đề. Mục 2.3 trình bày một vài ví dụ về việc vận dụng Bổ đề Burnside vào bài toán tô màu và vận dụng Định lý Burnside vào phương trình giải được qua căn thức. Luận văn đã chỉ ra những đa thức bậc 6 4 giải được bằng căn. Trong thời gian sưu tầm tài liệu, làm đề cương và viết luận văn, tôi đã nhận được sự góp ý và chỉ dẫn tận tình của người hướng dẫn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy của mình, PGS.TS. Đàm Văn Nhỉ. Nhân đây, tôi cũng xin chân thành cảm ơn Khoa Toán - Tin, Khoa Sau đại học Trường Đại học Khoa học - Đại học 3 Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập của tôi. Tôi cũng xin được cảm ơn sự nhiệt tình giảng dạy của các giảng viên trong suốt thời gian tôi học tập. Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Hải An - Hải Phòng đã luôn tạo điều kiện tốt cho tôi công tác và học tập, để tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập của mình. Cuối cùng, tôi xin gửi những lời cảm ơn đặc biệt nhất tới đại gia đình, vì những động viên khích lệ giúp tôi hoàn thành luận văn này. Thái Nguyên, ngày 10 tháng 4 năm 2015 Trần Thị Thương Học viên Cao học Toán lớp B, khóa 06/2013-06/2015 Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Email: [email protected] 4 Chương 1 Lý thuyết nhóm 1.1 Quan hệ tương đương Giả thiết tập X 6= ∅. Tích DesCarte X × X được định nghĩa như sau: X × X = {(x, y)|x, y ∈ X}. Định nghĩa 1.1. Tập con S của X × X được gọi là một quan hệ hai ngôi trong X. Nếu (x, y) ∈ S thì ta nói x có quan hệ S với y và viết xSy. Định nghĩa 1.2. Giả thiết X 6= ∅ và S 6= ∅ là một quan hệ hai ngôi trong X. Quan hệ S được gọi là một quan hệ tương đương trong X nếu nó thỏa mãn ba điều kiện sau đây: (1) (Phản xạ) Với mọi x ∈ X có xSx. (2) (Đối xứng) Với mọi x, y ∈ X, nếu có xSy thì cũng có ySx. (3) (Bắc cầu) Với mọi x, y, z ∈ X, nếu có xSy, ySz thì có xSz. Khi S là một quan hệ tương đương trong X thì ta thường ký hiệu ∼ thay cho S. Đặt C(x) = {y ∈ X|y ∼ x} và gọi nó là một lớp tương đương với x làm đại diện. Dễ dàng chỉ ra các tính chất sau: Mệnh đề 1.1. Giả sử ∼ là quan hệ tương đương trong X. Khi đó (1) Với mọi x ∈ X có x ∈ C(x). 5 (2) Với mọi y, z ∈ C(x) có y ∼ z và y ∼ x, z ∼ x. (3) Với mọi x, y ∈ X, có hoặc C(x) ∩ C(y) = ∅ hoặc C(x) = C(y). (4) Tập thương X/ ∼ là tập các lớp tương đương không giao nhau. Ví dụ 1.1. Chứng minh rằng không tồn tại ánh xạ f : Z → {1, 2, 3} thỏa mãn f (x) 6= f (y) với mọi x, y ∈ Z sao cho |x − y| ∈ {2, 3, 5}. Bài giải. Không hạn chế có thể giả thiết f (0) = 1 và f (5) = 2. Vì 5 − 2 = 3 và 2 − 0 = 2 nên f (2) = 3. Vì 7 − 2 = 5 và 7 − 5 = 2 nên f (7) 6= f (2), f (7) 6= f (5). Vậy f (7) = 1. Vì 3 − 0 = 3 và 5 − 3 = 2 nên f (3) = 3, f (3) = f (2). Tóm lại, ánh xạ f : Z → {1, 2, 3} thỏa mãn f (0) = 1, f (2) = 3, f (3) = 3, f (5) = 2, f (7) = 1. Với mọi n ∈ Z có n + 1 − n = 1 ∈ / {2, 3, 5} nên f (n + 1) = f (n). Vì hàm hằng f không thỏa mãn f (7) = 1 6= 2 = f (5) nên không thể có ánh xạ f thỏa mãn đầu bài. Ví dụ 1.2. Với bất kỳ số tự nhiên n tập nghiệm nguyên của hai phương trình x2 +y 2 = n và x2 + y 2 = 2n có cùng lực lượng. Bài giải. Xây dựng một song ánh từ tập nghiệm này sang tập nghiệm kia qua (x, y) 7→ x+y x−y (x + y, x − y) và ngược lại (x, y) 7→ ( , ). 2 2 1.2 1.2.1 Khái niệm nhóm Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương Trước tiên, ta nhắc lại một số khái niệm và ký hiệu về nhóm. Định nghĩa 1.3. Tập G 6= ∅ với phép toán G × G → G, (x, y) 7→ x.y được gọi là một nhóm nếu nó thỏa mãn ba điều kiện sau: (1) (x.y).z = x.(y.z) với mọi x, y, z ∈ G. 6 (2) Có phần tử e ∈ G, được gọi là đơn vị, thỏa mãn e.x = x.e = x với mọi x ∈ G (3) Với mỗi x ∈ G có phần tử x0 ∈ G để x.x0 = x0 .x = e. Do tính duy nhất của x0 cho mỗi x nên x0 được ký hiệu qua x−1 và được gọi là phần tử nghịch đảo của x. Nhóm G được gọi là một nhóm giao hoán hay nhóm abel nếu x.y = y.x với mọi x, y ∈ G. Để đơn giản, nhiều khi thay cho tích x.y ta viết đơn giản xy và đôi khi để biết phép toán hai ngôi trong nhóm G ta cũng thường viết (G, .). Định nghĩa 1.4. Cho hai nhóm (G, .) và (G0 , ◦). Ánh xạ φ : G → G0 được gọi là một đồng cấu nếu φ(xy) = φ(x) ◦ φ(y) thỏa mãn cho mọi x, y ∈ G. Đồng cấu φ được gọi là một đẳng cấu nếu nó là một song ánh. Định nghĩa 1.5. Cho nhóm G. Lực lượng của G, ký hiệu |G|, được gọi là cấp của G. Nếu |G| < ∞ thì G được gọi là nhóm hữu hạn. Nhóm cấp ps , ở đó p là số nguyên tố và s ∈ N∗ được gọi là một p-nhóm. Giả thiết nhóm G có cấp ps m, trong đó p là số nguyên tố và p 6 |m. Nhóm con cấp ps của nhóm G được gọi là p-nhóm con Sylow. Định nghĩa 1.6. Tập con H khác rỗng của nhóm G thỏa mãn x.y ∈ H và x−1 ∈ H, khi x, y ∈ H, được gọi là một nhóm con của G. Nhóm con A của nhóm G được gọi là một nhóm con chuẩn tắc của G nếu xax−1 ∈ A với mọi a ∈ A, x ∈ G. Giả thiết A là một nhóm con của nhóm G. Ta ký hiệu hai tập sau: xA = {xa|a ∈ A}, Ax = {ax|x ∈ A}. Tập xA được gọi là lớp ghép trái của A trong X; Tập Ax được gọi là lớp ghép phải của A trong G. Ký hiệu tập thương của G trên A qua G/A = {xA|x ∈ G}. Tiếp tục, định nghĩa quan hệ ∼ trong nhóm G như sau: Với x, y ∈ G, quan hệ x ∼ y nếu x−1 y ∈ A. Bổ đề 1.1. Quan hệ ∼ trong G là một quan hệ tương đương. 7 Chứng minh. Vì e ∈ A nên x−1 x = e ∈ G. Vậy x ∼ x với mọi x ∈ G. Giả sử x, y ∈ G thỏa mãn x ∼ y. Khi đó x−1 y ∈ A. Vì A cũng chính là một nhóm nên
−1 y −1 x = x−1 y ∈ A. Do vậy y ∼ x. Cuối cùng, giả sử x, y, z ∈ G thỏa mãn x ∼ y và y ∼ z. Khi đó x−1 y, y −1 z ∈ A và ta có x−1 z = x−1 y.y −1 z ∈ A. Từ đây suy ra x ∼ z. Tóm lại, quan hệ ∼ trong G là một quan hệ tương đương. Hệ quả 1.1. Với x, y ∈ G, xA = yA khi và chỉ khi x−1 y ∈ A. Chứng minh. Kết quả được suy ra từ Bổ đề 1.1. Bổ đề 1.2. Với quan hệ tương đương ∼ trong G, mỗi lớp C(x) = xA với x ∈ G. Chứng minh. Thật vậy, vì ∼ là một quan hệ tương dương theo Bổ đề 1.1 nên ta có các lớp C(x). Lấy y ∈ C(x). Khi đó x ∼ y và ta có x−1 y ∈ A. Vậy, tồn tại a ∈ A để x−1 y = a. Từ đây suy ra y = xa ∈ xA. Do y được lấy tùy ý nên C(x) ⊂ xA. Lấy y ∈ xA. Khi đó có a ∈ A để y = xa. Vậy x−1 y = a ∈ A hay y ∼ x và suy ra y ∈ C(x). Do y được lấy tùy ý nên C(x) ⊃ xA. Tóm lại C(x) = xA. Định lí 1.1. Nhóm con A là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G khi và chỉ khi xA = Ax với mọi x ∈ G. Chứng minh. Giả thiết A là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Lấy y = xa ∈ xA. Vì A là một nhóm con chuẩn tắc nên xax−1 ∈ A. Vậy có b ∈ A để xax−1 = b và suy ra y = xa = bx ∈ Ax. Do y được láy tùy ý từ xA nên xA ⊂ Ax. Tương tự có xA ⊃ Ax. Tóm lại, xA = Ax với mọi x ∈ G. Ngược lại, Giả thiết xA = Ax với mọi x ∈ G. Với x ∈ G, a ∈ A có xa ∈ xA = Ax và như vậy, tồn tại b ∈ A để xa = bx hay xax−1 = b ∈ A. Điều này chỉ ra A là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Định lí 1.2. Với nhóm con chuẩn tắc A của nhóm G, ánh xạ G/A × G/A → G/A, (xA, yA) 7→ xyA là một phép toán hai ngôi và tập thương G/A = {xA|x ∈ G} cùng phép toán hai ngôi trên lập thành một nhóm. Nhóm này được gọi là nhóm thương của G trên A. 8 Chứng minh. Kết quả có được từ Bổ đề 1.2 và Định lý 1.1. Có nhiều nhóm con quan trọng được sinh ra bởi một tập con của G. Giả sử A là một tập con khác rỗng của nhóm G. Chuẩn tắc hóa của A trong G là một nhóm con của G được định nghĩa bằng NG (A) = {x ∈ G|xax−1 ∈ A, ∀ a ∈ A}. Tâm hóa của A trong G là một nhóm con của G được định nghĩa bằng CG (A) = {x ∈ G|xa = ax, ∀ a ∈ A}. Tâm của G là một nhóm con của G được định nghĩa bằng Z(G) = {x ∈ G|xa = ax, ∀ a ∈ G}. Chú ý rằng, Z(G) = CG (G) và Z(G) là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Cấp của phân tử x ∈ G là số tự nhiên dương nhỏ nhất r để xr = e. Nếu ta ký hiệu nhóm cyclic do x sinh ra qua < x > thì ta có ngay < x >= {e, x, . . . , xr−1 } và r = | < x > |. Chú ý, cấp của e bằng 1. 1.2.2 Định lý Lagrange và các hệ quả Trong phần này chúng ta chứng minh một vài kết quả quan trọng về lý thuyết nhóm. Giả sử A là một nhóm con của nhóm hữu hạn G. Chỉ số của A trong G, ký hiệu qua |G : A| hoặc ind(A), được định nghĩa bằng |G/A|. Định lí 1.3. [Lagrange] Với nhóm con A của nhóm hữu hạn G ta luôn có |G| = |A||G : A|. Chứng minh. Giả thiết G là nhóm hữu hạn cấp n = |G| và A là nhóm con của G với m = |A| và k = |G : A|. Với mỗi x ∈ G ta định nghĩa ánh xạ fx : A → xA, a 7→ xa. Hiển nhiên, ánh xạ fx là một toàn ánh. Từ xa = xb suy ra a = b. Vậy fx còn là một đơn ánh. Do vậy, fx là một song ánh và suy ra m = |A| = |xA|. Vì các xA = C(x) 9 là tách biệt theo Mệnh đề 1.1 nên G được phân ra thành k lớp phân biệt và mỗi lớp đều chứa đúng m phần tử. Do vậy |G| = mk = |A||G : A|. Hệ quả 1.2. Cấp của mỗi phần tử thuộc nhóm hữu hạn G là một ước số của n = |G|. Chứng minh. Xét nhóm con A sinh ra bởi phần tử a. Cấp của a bằng |A|. Vì |A| là một ước của |G| theo Định lý 1.3 nên cấp của phàn tử A thuộc nhóm hữu hạn G là một ước số của n = |G|. Hệ quả 1.3. [Cauchy] Với nhóm abel hữu hạn G và số nguyên tố p chia hết cấp n = |G| luôn có phần tử của G cấp p. Chứng minh. Quy nạp theo cấp n của nhóm G. Lấy phần tử x ∈ G, x 6= e. Nếu n = p thì G là nhóm cyclic cấp p với phần tử sinh là x theo Định lý 1.3. Vậy x có cấp p. Bây giờ giả thiết n > p và tất cả các nhóm con của G đều có cấp nhỏ hơn n và xét những nhóm con với cấp chia hết cho p. Ta chỉ ra những nhóm con như vậy sẽ có phần tử cấp p. Trước tiên, xét trường hợp cấp m của phần tử x chia hết cho p. Khi đó m = | < x > | = kp. Vậy e = xm = (xk )p . Từ đây suy ra | < xk > | = p và xk có cấp p. Tiếp theo, xét trường hợp cấp m của phần tử x không chia hết cho p. Đặt A =< x > và thấy ngay |A| > 1. Vì G là nhóm abel nên A là nhóm con chuẩn tắc của G. Theo Định lý 1.3, ta có |G/A| < |G|. Hơn nữa, ta còn có |G/A| chia hết cho p. Vì G/A là một nhóm abel, theo Định lý 1.2, với cấp r, r < |G|. Theo giả thiết quy nạp, G/A chứa phần tử cấp p, chẳng hạn yA. Do vậy y p ∈ A. Vì y ∈ / A nên < y p >6=< y > . Theo Định lý 1.2, cấp | < y p > | chia hết cấp | < y > |. Từ đây suy ra cấp |y| chia hết cho p. Trở lại trường hợp trên, ta có phần tử của G với cấp p theo giả thiết quy nạp. Ví dụ 1.3. Xét  tập tất cả các song ánh  f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3}. Biểu diễn mỗi 1 2 3  hay đơn giản (f (1)f (2)f (3)). Dễ dàng chỉ song ánh f qua  f (1) f (2) f (3) ra rằng tất cả có 6 song ánh và chúng lập thành một nhóm không giao hoán cấp 10  6 = 2.3. Phần tử đơn vị e =    1 2 3 3 2 1   ,  1 2 3 2 1 3 1 2 3 1 2 3    . Các phần tử cấp 2 là     ; Các phần tử cấp 3 là  1 2 3 2 3 1    và  1 2 3 1 3 2 1 2 3 3 1 2  ,  . k2π + Ví dụ 1.4. Xét tập tất cả các căn bậc 10 của đơn vị G = {zk |zk = cos 10 k2π i sin , k = 1, 2, . . . , 10}. Với phép nhân các số phức, G là một nhóm giao hoán 10 cấp 10 = 2.5. Phần tử đơn vị e = z10 = cos 2π + i sin 2π = 1. Một phần tử cấp 2 k2π k2π + i sin với là z5 = cos π + i sin π = −1. Các phần tử cấp 5 là zk = cos 10 10 k2π k2π k = 2, 4, 6, 8. Các phần tử cấp 10 là zk = cos + i sin với k = 1, 3, 7, 9. 10 10 1.2.3 Các định lý đồng cấu nhóm Cho hai nhóm G và G0 . Giả sử f : G → G0 là một đồng cấu. Ký hiệu Ker(f ) = {g ∈ G|f (g) = e2 } = f −1 (e2 ) Im(f ) = {f (g)|g ∈ G}. Bổ đề 1.3. Cho f : G → G0 là một đồng cấu nhóm. Giả sử A là một nhóm con của nhóm G và B là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G0 . Khi đó (1) f (A) là một nhóm con của nhóm G0 . (2) f −1 (B) là một nhóm con chuẩn tắc của G. Chứng minh. (1) Giả sử a, b ∈ f (A). Khi đó có x, y ∈ A để a = f (x), b = f (y). Từ đó ab−1 = f (x)f (y −1 ) = f (xy −1 ) ∈ f (A) vì xy −1 ∈ A. Bởi vậy, ảnh f (A) của nhóm con A là một nhóm con của G0 . (2) Trước tiên ta chỉ ra f −1 (B) là một nhóm con của nhóm G. Giả sử x, y ∈ f −1 (B). Khi đó a = f (x), b = f (y) thuộc B. Từ đó f (xy −1 ) = f (x)f (y)−1 = ab−1 ∈ B. Điều này kéo theo xy −1 ∈ f −1 (B). Do đó f −1 (B) là một nhóm con của nhóm G. Tiếp theo, ta chỉ ra f −1 (B) là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Với mọi 11 x ∈ f −1 (B) và mọi g ∈ G ta có f (x) ∈ B và do tính chuẩn tắc của B ta có f (g −1 xg) = f (g)−1 f (x)f (g) ∈ B. Điều này kéo theo g −1 xg ∈ f −1 (B). Vậy, f −1 (B) là một nhóm con chuẩn tắc của G. Hệ quả 1.4. Cho f : G → G0 là một đồng cấu nhóm. Khi đó (1) Im(f ) là một nhóm con của nhóm G0 . (2) Ker(f ) là một nhóm con chuẩn tắc của G. Định lí 1.4. Cho f : G → G0 là một đồng cấu nhóm. Khi đó G/ Ker(f ) ∼ = Im(f ). Chứng minh. Theo Hệ quả 1.4, K = Ker(f ) là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G và Im(f ) là nhóm con của nhóm G0 . Khi đó ta có nhóm thương G/K và định nghĩa ψ : G/K → Im(f ), gK 7→ f (g). Giả sử gK, hK ∈ G/K và gK = hK. Khi đó h−1 g ∈ K và ta có f (h−1 g) = e1 . Vậy f (g) = f (h) và suy ra ψ(gK) = ψ(hK). Do đó ψ là một ánh xạ. Giả sử gK, hK ∈ G/K. Ta có ngay ψ(gK.hK) = ψ(ghK) = f (gh) = f (g)f (h) = ψ(gK)ψ(hK). Như vậy, ψ là một đồng cấu nhóm. Ta thấy, khi ψ(gK) = ψ(hK) thì f (g) = f (h) và suy ra h−1 g ∈ K. Đều này suy ra gK = hK và kéo theo ψ là một đơn cấu. Hiển nhiên ψ là một toàn cấu. Tóm lại ψ là một đẳng cấu và ta có G/K ∼ = Im(f ). Định lí 1.5. Giả sử A và B là hai nhóm con của nhóm G và A là nhóm con của nhóm con NG (B). Khi đó AB ⊂ G, B là nhóm con chuẩn tắc của nhóm AB và A ∩ B là nhóm con chuẩn tắc của nhóm A. Hơn nữa, chúng ta còn có AB/B ∼ = A/(A ∩ B). 12 Chứng minh. Giả thiết A và B là hai nhóm con của nhóm G và A là nhóm con của nhóm con NG (B). Lấy a ∈ A và b ∈ B. Vì A là nhóm con của NG (B) nên aba−1 ∈ B và kéo theo ab = (aba−1 )a ∈ BA. Do vậy AB ⊂ BA. Tương tự ba = a(a−1 ba) ∈ AB. Vì vậy BA ⊂ AB và kéo theo AB = BA. Lấy x, y ∈ AB, trong đó x = a1 b1 , y = a2 b2 với a1 , a2 ∈ A và b1 , b2 ∈ B. Khi đó −1 xy −1 = a1 b1 b2−1 a2−1 . Vì AB = BA nên (b1 b−1 2 )a2 = a3 b3 với a3 ∈ A, b3 ∈ B. Do vậy xy −1 = a1 a3 b3 ∈ AB. Theo tiêu chuẩn nhóm con của G ta có AB là một nhóm con của nhóm G. Hệ quả 1.4, K = Ker(f ) là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G và Im(f ) là nhóm con của nhóm G0 . Do A và B đều là nhóm con của nhóm NG (B) nên dễ dàng suy ra AB là nhóm con của NG (B). Như vậy B là nhóm con chuẩn tắc của nhóm AB. Xét ánh xạ φ : A → AB/B, a 7→ aB. Dễ dàng kiểm tra φ là một dồng cấu nhóm. Hơn nữa, ta thấy ngay φ là một toàn cấu. Ta thấy ngay Ker(φ) = {a ∈ A|aB = B} = A ∩ B. Theo Định lý 1.4 ta có A ∩ B là nhóm con chuẩn tắc của nhóm con A và AB/B ∼ = A/(A ∩ B). Định lí 1.6. Giả sử A và B là hai nhóm con chuẩn tắc của nhóm G và B là nhóm con của nhóm con A. Khi đó A/B là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G/B và (G/B)/(A/B) ∼ = G/A. Chứng minh. Giả thiết A và B là hai nhóm con chuẩn tắc của nhóm G và B là nhóm con của nhóm con A. Lấy aB ∈ A/B và gB ∈ G/B. Khi đó gB.aB.(gB)−1 = gag −1 B ∈ A/B do A là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Xét ánh xạ ψ : G/B → G/A, gB 7→ gA. Giả sử g1 B, g2 B ∈ G/B sao cho g1 B = g2 B. Khi đó g2−1 g1 ∈ B. Vì B ⊂ A nên g2−1 g1 ∈ A. Do vậy g1 A = g2 A kéo theo ψ được xác định hoàn toàn. Dễ dàng kiểm tra ψ là một toàn cấu nhóm. Hơn nữa, ta thấy ngay Ker(ψ) = {gB ∈ G/B|gA = A} = {gB ∈ G/B|g ∈ A} = A/B. Theo Định lý 1.4 ta có (G/B)/(A/B) ∼ = G/A. Định lí 1.7. Giả sử N là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Khi đó có một song ánh giữa tập ác nhóm con A của nhóm G chứa nhóm con N và tập các nhóm con A/N 13 của nhóm G/N. Hơn nữa, với tất cả các nhóm con A và B của nhóm G chứa nhóm con N ta còn có (1) A ⊂ B khi và chỉ khi A/N ⊂ B/N. (2) Nếu A ⊂ B thì |B : A| = |B/N : A/N |. (3) < A, B >=< A/N, B/N > . (4) (A ∩ B)/N = (A/N ) ∩ (B/N ). (5) A là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G khi và chỉ khi A/N là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G/N. Chứng minh. Giả thiết A là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Xét ánh xạ φ : G → G/N, g 7→ gN. Hiển nhiên, φ là một đồng cấu nhóm. Giả sử A/N là nhóm con của nhóm G/N. Nếu ta lấy a ∈ A thì φ(a) = aN ∈ A/N và kéo theo A ⊆ φ−1 (A/N ). Tương tự, nếu lấy g ∈ φ−1 (A/N ) thì φ(g) ∈ A/N và có a ∈ A. Do vậy A = φ−1 (A/N ). Lấy g, h ∈ φ−1 (A/N ). Khi đó φ(gh−1 ) = φ(g)[φ(h)]−1 ∈ A/N và vì φ(g), φ(h) ∈ A/N nên gh−1 ∈ φ−1 (A/N ). Do vậy, theo tiêu chuẩn nhóm con có A là nhóm con của G. Ngược lại, ỉa sử A là một nhóm con của G chứa N. Với gN, hN ∈ φ(A) ta có gN.(hN )−1 = gN.h−1 N = gh−1 N ∈ φ(A) vì gh−1 ∈ A. Hơn nữa, ta cũng dễ dàng có φ(A) = A/N. Theo tiêu chuẩn nhóm con có A/N là nhóm con của G/N. Từ đó ta nhận được một song ánh giữa tập các nhóm con A của G chứa N và tập các nhóm con A/N của G/N. Các kết quả còn lại được chứng minh dễ dàng. 14 1.3 Tác động nhóm lên một tập 1.3.1 Tác động nhóm lên một tập Định nghĩa 1.7. Cho nhóm G và tập T. Một tác động nhóm của G lên T là một ánh xạ G × T → X, (x, t) 7→ x.t thỏa mãn điều kiện: (1) y.(x.t)=(yx).t với mọi x, y ∈ G, t ∈ T. (2) e.t = t với mọi t ∈ T. Với tác động nhóm của G lên T ta cũng gọi ngắn gọn T là G-tập. Chú ý rằng, một G-tập không nhất thiết phải là một nhóm. Xét quan hệ ∼ trong T. Với hai phần tử t, t0 ∈ T, ta định nghĩa t ∼ t0 nếu có x ∈ G để t0 = x.t. Kết quả sau đây sẽ chỉ ra ∼ là một quan hệ tương đương trong T. Bổ đề 1.4. Quan hệ ∼ trong T là một quan hệ tương đương. Chứng minh. Vì e ∈ G và e.t = t với mọi t ∈ T nên t ∼ t với mọi t ∈ T. Giả sử t, t0 ∈ T và t ∼ t0 . Khi đó tồn tại ∈ G để t0 = x.t. Vì x−1 ∈ G nên x−1 .t0 = x−1 .(x.t) = (x−1 x).t = e.t = t. Do vậy, ta nhận được t = x−1 .t0 hay t0 ∼ t. Cuối cùng, giả sử t, t0 , t” ∈ T thỏa mãn t0 ∼ t và t” ∼ t0 . Khi đó có x, y ∈ G để t0 = x.t, t” = y.t0 . Biến đổi t” = y.t0 = y.(x.t) = (yx).t và ta có t” = (yx).t. Từ đây suy ra t” ∼ t. Tóm lại, quan hệ ∼ trong T là một quan hệ tương đương. Với quan hệ tương đương ∼ trong tập T, ta ký hiệu một quỹ đạo của G chứa t ∈ T là lớp tương đương trong T : O(t) = {x.t|x ∈ G}. Ổn định hóa Gt của t ∈ T và Cố định hóa Fix(x) của x ∈ G là các tập Gt = {x ∈ G|x.t = t}, Fix(x) = {t ∈ T |x.t = t}. Tiếp theo, ta định nghĩa tác động nhóm của G lên chính nó bởi các liên hợp. Với x, y ∈ G định nghĩa G tác động nhóm lên chính nó qua x.y = xyx−1 . 15 Dễ dang kiểm tra, tác động này thỏa mãn các điều kiện ở trên của tác động nhóm. Hơn nữa, các Orbit của G với tác động nhóm vừa nêu ra được gọi là các lớp liên hợp của G. Ta cũng dễ dàng thấy Gt là một nhóm con của nhóm G. Định lí 1.8. [The Class Equation] Cho nhóm hữu hạn G. Giả sử x1 , x2 , . . . , xr là những phần tử đại diện của các lớp liên hợp phân biệt tương ứng của G thỏa mãn tất cả đều không nằm trong Z(G). Khi đó ta có đồng nhất thức |G| = |Z(G)| + r X |G : CG (xi )|. i=1 Chứng minh. Giả thiết G là một nhóm hữu hạn. Theo định nghĩa, nếu z ∈ Z(G) thì xzx−1 = z với mọi x ∈ G. Do vậy, tập {z} là một lớp liên hợp của G với đúng một phần tử. Do G là một nhóm hữu hạn nên tâm Z(G) của G là một nhóm con hữu hạn, chẳng hạn Z(G) = {e, z1 , . . . , zk }. Ký hiệu H1 , H2 , . . . , Hr là r lớp liên hợp phân biệt với phần tử đại diện x1 , x2 , . . . , xn , tương ứng, của nhóm G không chứa trong Z(G). Vì quan hệ liên hợp là tác động nhóm của G lên chính nó và nó cảm sinh một quan hệ tương đương trong G, nên các lớp lên hợp phân hoạch G. Vì vậy, chúng ta có công thức |G| = k X i=1 1+ r X j=1 |Hj | = |Z(G)| + r X |Hj |. j=1 Định nghĩa tương ứng φj : Hj → G/CG (xj ), yxj y −1 7→ yCG (xj ), với mỗi j, 1 6 j 6 r. Chú ý rằng, với y, z ∈ G thỏa mãn yxj y −1 = zxj z −1 ta có (z −1 y)xj (z −1 y)−1 = xj và suy ra z −1 y ∈ CG (xj ). Do vậy, yCG (xj ) = zCG (xj ) và ánh xạ φj đã được định nghĩa. Mặt khác, nếu yxj y −1 6= zxj z −1 ∈ Hj thì z −1 yxj 6= xj z −1 y và như vậy z −1 y ∈ / CG (xj ). Ta có yCG (xj ) 6= zCG (xj ) theo Hệ quả 1.1. Điều này chỉ ra φj là một đơn ánh. Ta cũng dẽ dàng thấy φj còn là một toàn ánh. Từ các kết quả đã chứng minh ta nhận được |Hj | = |G/CG (xj )| = |G : CG (xj )|. Tóm lại, ta nhận được đồng r P nhất thức |G| = |Z(G)| + |G : CG (xi )|. i=1 Hệ quả 1.5. [Sylow’s Theorem] Cho nhóm G với cấp bằng ps m, trong đó s ∈ N∗ và số nguyên tố p 6 |m. Khi đó G có một p-nhóm con Sylow. 16 Chứng minh. Quy nạp theo cấp |G|. Nếu |G| = 1 thì két luận là hiển nhiên. Giả sử kết luận đúng cho tất các các nhóm với cấp nhỏ hơn |G|. Xét trường hợp p||Z(G)|. Do Z(G) là một nhóm abel nên nhóm Z(G) có một nhóm con xiclic N cấpp theo Hệ quả 1.3, Định lý Cauchy. Vậy, theo Định lý Lagrange |G/N | = ps−1 m. Theo giả thiết quy nạp, nhóm G/N có p-nhóm con Sylow P cấp ps−1 . Từ đây suy ra sự tồn tại của nhóm con P 6 G chứa N để P = P/N. Như vậy, theo Định lý Lagrange P | = ps và P là p-nhóm con Sylow của G. Xét trường hợp p 6 ||Z(G)|. Theo phương trình lớp, Định lý 1.8, có |G| = |Z(G)| + r X |G : CG (xi )|, i=1 trong đó x1 , . . . , xr là những đại diện các lớp liên hợp khác nhau, không chứa trong Z(G), của G. Từ công thức này suy ra sự tồn tại của chỉ số i để p 6 ||G : CG (xi )| và suy ra |CG (xi )| = ps kvới k ∈ N và p 6 |k. Hơn nữa, ta còn có xi ∈ / Z(G) và suy ra CG (xi ) 6= G. Do vậy CG (xi )| < |G|. Theo giả thiết quy nạp,CG (xi ) có p-nhóm con Sylow P cấp ps . Nhóm con P là p-nhóm con Sylow của nhóm G. Hệ quả 1.6. Cho số nguyên tố p và số nguyên dương s. Nếu nhóm G có cấp ps thì Z(G) 6= {e}. Chứng minh. Giả sử G là một nhóm hữu hạn cấp ps . Gọi H1 , . . . , Hr là r lớp liên hợp phân biệt với phần tử đại diện x1 , x2 , . . . , xr , tương ứng, của nhóm G không r P chứa trong Z(G). Theo Định lý 1.8, ta có |G| = |Z(G)| + |G : CG (xi )|. Vì i=1 xj ∈ / Z(G) nên CG (xj ) 6= G với mỗi j = 1, 2, . . . , r. Vậy |G : CG (xj )| = 6 1. Theo Định lý 1.3, Định lý Lagrange, p phải chia hết |G : CG (xj )| với mỗi j = 1, 2, . . . , r. r P Vì p chia hết |G| và p chia hết |G : CG (xi )| nên p chia hết Z(G). Điều này chứng tỏ Z(G) 6= {e}. 1.3.2 i=1 Một vài ví dụ về tác động nhóm Ví dụ 1.5. Ký hiệu D3 = {ρ0 , ρ1 , ρ2 , µ1 , µ2 , µ3 } là nhóm hữu hạn sinh ra bởi ba phép k2π quay góc , k = 0, 1, 2, quanh tâm và ba phép đối xứng qua đường cao của một 3