1
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Hè 2009
NGUYỄN VĂN NĂM - LÊ HOÀNG NAM
THPT Lê Hông Phong ( Đồng Nai) – THPT Lê Quý Đôn (Đà Nẵng)
vannamlhp – mylove288
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
1
2
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG
A. LÝ THUYẾT
1. CÔNG THỨC NEWTON:
Cho 2 số thực a, b và số nguyên dương n thì:
a b
n
n
Cnk a n k b n Cn0 a n Cn1a n 1b ... Cnnb n
k 0
a b
n
n
k
n
1 Cnk a n k b n Cn0 a n Cn1a n 1b ... 1 Cnnb n
k 0
2. Tính Chất
a. Số các số hạng của công thức là n 1
b. Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị
thức: n n k n
c. Số hạng tổng quát của nhị thức là: Tk 1 Cnk a n k b k
n
(Đó là số hạng thứ k 1 trong khai triển a b )
d. Các hệ số nhị thức các đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau.
e. 2n Cnn Cnn 1 ... Cn0
n
f. 0 Cn0 Cn1 ... 1 Cnn
g. Tam giác Pascal:
n 01
n 111
n 2121
......................................................................
n k 1..................Ckm 1Ckm
n k 1Ckm1......................1
.......................................................................
Với Ckm1 Ckm Ckm1
0
a b 1 a b #0
1
a b a b
2
a b a 2 2ab b 2
3
a b a3 3a 2b 3ab 2 b3
...........................................................................
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
2
3
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
3. Một số khai tiển hay sử dụng:
n
n
2n 1 1 Cnk Cn0 Cn1 ... Cnn
k 0
n
n
k
n
0 1 1 1 Cnk Cn0 Cn1 ... 1 Cnn
k 0
n
n
1 x Cnk x n k Cn0 Cn1 x n 1 ... Cnn x 0
k 0
n
n
k
n
1 x 1 Cnk x n k Cn0 x 0 Cn1 x1 ... 1 Cnn x n
k 0
n
n
k
n
x 1 1 Cnk x n k Cn0 Cn1 x n 1 ... 1 Cnn x 0
k 0
4. Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức NEWTON
n
1. Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có
i
n
C
với i là các số tự
i 1
nhiên liên tiếp.
n
2. Trong biểu thức có
thì ta dùng đạo hàm i
i
n
i i 1 C
i 1
n
Trong biểu thức có
i k C
i
n
thì ta nhân hai vế với x k , rồi lấy đạo hàm.
i 1
n
Trong biểu thức có
k
a C
i 1
n
Trong biểu thức có
1
i
n
thì ta chọn giá trị của x a thích hợp.
i
n
i 1 C
thì ta lấy tích phân xác định trên a; b thích
i 1
hợp.
n
n
Nếu bài toán cho khai triển x a x b Cni x a
n i
i 1
i
n
xb Cni x
a n i ib
i 1
thì hệ số của x là C sao cho phương trình a n i b.i m có nghiệm i
m
i
n
Cni đạt MAX khi k
n 1
n 1
n
hay k
với n lẻ, k với n chẵn.
2
2
2
Việc nhận biết các dấu hiệu này sẽ giúp cho chúng ta giải quyết tốt những dạng toán liên
quan đến nhị thức NEWTON, đặt biệt là trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng.
B. CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ SỐ NHỊ THỨC
1. Bài toán tìm hệ số trong khai triển NEWTON
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
3
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
4
Ví dụ 1.1: (D(H Thủy lợi cơ sở II, 2000) Khai triển và rút gọn đa thức:
9
10
14
Q x 1 x 1 x ... 1 x
Q x a0 a1 x ... a14 x14
Ta được đa thức:
Xác định hệ số a9 .
Giải
10
14
Hệ số x trong các đa thức: 1 x 1 x ... 1 x lần lượt là: C99 , C105 ,..., C149
9
9
Do đó: a9 C99 C109 ... C149
1
1
1
1
1 10 10.11 10.11.12 .10.11.12.13 10.11.12.13.14
2
6
24
20
11 55 220 715 2002 3003
1 2
6
A2 x Ax2 C x3 10
2
x
Ví dụ 1.2(ĐHBKHN- 2000) Giải bất phương trình:
Giải
Điều kiện: x là số nguyên dương và x 3
Ta có: bất phương trình tương đương với
2 x 1 2 x x 1 x 6 x 2 x 1 10
2
3! x
2 x 2 x 1 x x 1 x 2 x 1 10
3x 12 x 4
Vì x nguyên dương và x 3 nên x 3.4
10
Ví dụ 1.3: Tìm hệ số x16 trong khai triển x 2 2 x
Giải
Ta có: x 2 2 x
10
10
10 k
2 x
C10k x 2
k
k 0
10
k
10
C10k x 20 2 k x k 2 C10k x 20 k 2
k 0
k
k 0
Ta chọn: 20 k 16 k 4
Hệ số x16 trong khai triển là: C104 3360
1
Ví dụ 1.4: Tìm hệ số x1008 trong khai triển x 2 3
x
Giải
Số hạng thứ k 1 trong khai triển:
Tk 1 C
k
2009
2 2009 k
x
2009
k
1
k
4018 5 k
3 C2009 x
x
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
4
5
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Ta chọn: 4018 5k 1008 k 602
602
Hệ số của x1008 trong khai triển là C2009
Ví dụ 1.5:(ĐH KA 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển đa thức của
1 x 2 1 x
Giải
8
8
8
k
k
i
Cách 1: Ta có f x C8k x 2 1 x C8k x 2 k 1 Cki x i .
k 0
k 0
i 0
i 0
0 i k 8
i
k 4
Vậy ta có hệ số của x8 là 1 C8k Cki thỏa 2k i 8
i 2
i,k N
k 3
0
2
Hệ số của x8 là: 1 C84C40 1 C83C32 238
Cách 2: Ta có:
3
4
f x C80 ... C83 x 2 1 x C84 x 2 1 x ... C88 x 2 1 x
8
Nhận thấy: x8 chỉ có trong các số hạng:
Số hạng thứ tư: C83 x 2 1 x
3
4
Số hạng thứ năm: C84 x 2 1 x
Với hệ số tương đương: A8 C83C32 C84C40 238
Ví dụ: 1.6:(ĐH SPQN 2000) Xác định hệ số x 3 trong khai triển hàm số
10
P x 1 2 x 3x 2 theo lũy thừa của x
Giải
Ta có: P x 1 2 x 3x
2 10
10
1 x 2 3 x
2
3
10
10 10
C100 C101 x 2 3 x C102 x 2 2 3x C103 x 3 2 3x ... C10
x 2 3x
Nhận thấy rằng hệ số x 3 chỉ xuất hiện trong:
2
3
3
C102 x 2 2 3 x C103 x 3 2 3 x C102 4 x 2 12 x3 9 x 4 C103 x 3 2 3 x
Hệ số x 3 trong khai triển của P x là: 12C102 C103 .8 540 960 1500
Ví dụ 1.7: Tìm hệ số của x16 trong khai triển thành đa thức của
16
f x 1 x 2 1 x 2
Giải
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
5
6
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
n
16
2
i
Xét khai triển: f x C
i 1
k
16
C
k 0
k
x 2 1 x 2
16
k
16 k
k
i
i
1 C16k x 2 k 1 Cki x 2 i 1 C16k Cki x 2 k i
k 0
i 0
k 0 i 0
i 0 k 8
0 i k 16 i 1 k 7
k 1
Vậy ta có hệ số của x16 là 1 C16k Cki thỏa k i 8
i 2 k 6
i,k N
i 3 k 5
i 4 k 4
Vì vậy hệ số của x16 trong đa thức là: C168 C80 C167 C71 C166 C82 C165 C83 C164 C84 258570
Ví dụ 1.8: Tìm hệ số của số hạng x 101 y 99 trong khai triển 2 x 3 y
200
Giải
Ta có: 2 x 3 y
200
2 x 3 y
200
200
k
C200
2x
200 k
3 y
k
k 0
200
k
k
1 C200
.2 200 k .3k. x 200k . y k
k 0
200 k 101
Ta chon:
k 99
k 99
99
99
99
Vậy hệ số cần tìm là: 1 C200
.299.399 C200
.299.399
Ví dụ 1.9: (ĐH HCQG, 2000)
12
1
a) Tìm hệ số x trong khai triển x
x
8
n
b) Cho biết tổng tấc cả các hệ số của khai triển nhị thức x 2 1 bằng 1024 . Hãy tìm
hệ số a a N * của số hạng ax12 trong khai triển đó. ((ĐHSPHN, khối D, 2000) )
Giải
k
a) Số hạng thứ k 1 trong khai triển là: ak C x
k 12 k
12
1
k 12 2 k
0 k 12
C12 x
x
Ta chọn 12 2k 8 k 2
Vậy số hạng thứ 3 trong khai triển chứa x8 và có hệ số là: C122 66
n
n
b) Ta có: 1 x 2 Cnk x 2 n Cnk Cn1 x 2 ... Cnk x12 2 k
k 0
n
Với x 1 thì: 2 Cn0 Cn1 ... Cnn 1024
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
6
7
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
2n 210 n 10
Do đó hệ số a (của x12 ) là: C106 210
c)
Ví dụ 1. 10: (D(H Khối A- 2006) Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị
n
1
thức NEWTON của 4 x 7 biết rằng C21n 1 C22n 1 ... C2nn 1 220 1 ( n nguyên
x
k
dương và Cn là tổ hợp chập k của n phần tử)
Giải
0
1
n
Từ giả thiết suy ra: C2 n 1 C2 n 1 ... C2 n 1 220 1
Mặt khác: C2kn 1 C22nn11k ,k ,0 k 2n 1 , nên:
1
C20n 1 C21n 1 ... C2nn 1 C20n 1 C21 n 1 ... C22nn11 2
2
2 n 1
Từ khai triển nhị thức của: 1 1 suyra :
C20n 1 C21n 1 ... C22nn11 1 1
2 n 1
2
2 n 1
3
1, 2
22 n 220 n 10
3
10
n
n
10 k
k
1
Ta có số hạng tổng quát của nhị thức 4 x 7 C10k x 4 x 7 C10k x11k 40
x
k 0
k 0
26
k
Hệ số của x là C10 với k thỏa mãn 11k 40 26 k 6
Vậy hệ số của x 26 là C106 210
Ví dụ 1.11: (ĐHKT HN- 1998) Tìm hệ số đứng trước x5 trong khai triển biểu thức
4
5
6
sau đây thành đa thức: f x 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1
7
Giải
4
4
2 x 1 C4k 2 x
4 k
k 0
Ta xét các khai triển sau:
2 x 1
6
6
C6k 2 x
k 0
Nhận xét: Số hạng chứa x
5
5
5
; 2 x 1 C5k 2 x
5 k
k 0
6 k
7
7
; 2 x 1 C7k 2 x
7 k
k 0
4
của 2 x 1 là 0
5
5
6
5
7
5
Số hạng chứa x5 của 2 x 1 là C50 2 x
Số hạng chứa x5 của 2 x 1 là C61 2 x
Số hạng chứa x5 của 2 x 1 là C52 2 x
5
5
5
Vậy hệ số cần tìm là: 0 C50 2 x C61 2 x C72 2 x 896
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
7
8
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Ví dụ 1.12( Khối D- 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n 3 là hệ số của x 3n 3
n
n
trong khai triển thành đa thức của x 2 1 x 2 . Tìm n để a3n 3 26n
Giải
Cách 1: Ta có
x
2
n
1 Cn0 x 2n Cn1 x 2 n 2 Cn2 x 2 n 4 ... Cnn
n
x 2 Cn0 x n 2Cn1 x n 1 2 2 Cn2 x n2 ... 2 n Cnn
Dễ thấy với n 1,n 2 không thỏa mãn điều kiện bài toán.
Với n 3 thì x 3n 3 x 2 n x n 3 x 2n 2 x n1
n
n
Vì vậy hệ số của x 3n 3 trong khai triển thành đa thức của x 2 1 x 2 là:
2n 2n 2 3n 4
a3n 3 26n
26n n 5
n 7 ( Loai )
2
Vậy n 5 là giá trị cần tìm thỏa mãn điều kiện bài toán ( n nguyên dương).
3
Cách 2: Xét khai triển:
n
n k 2 k n i 1 i
1
3n
1
x
Cn Cn 2
2
x
k 0 x i 0 x
n
n
x 3n Cnk 2 k x k Cni x 2i
i 0
k 0
i 0
k 3
Trong khai triển lũy thừa của x là 3n 3 2i k 3
i 1
k 1
Nên của hệ số của x 3n 3 là:
n 5
2n 2n 2 3n 4
a3n 3 26n
26n
n 7 ( Loai )
3
2
Vậy n 5 là giá trị cần tìm thỏa mãn điều kiện bài toán ( n nguyên dương).
x 2
n
n
2
x 2 1 x3n 1
x
n
Ví dụ: 1.13( Khối A- 2002)Cho khai triển nhị thức:
n
n
x
x 1
x 1
x21
0
1
3
2
x 2 Cn x Cn x 2
n 1
x 1
3x
3x
n 1
2
. 2 ... Cn x . 2
n 1
3x
C 2
n
n
n
( n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó Cn3 5Cn1 và số hạng thứ tư
bằng 20n . Tính n và x .
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
8
9
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Giải
Điều kiện: n N và n 3
n!
n!
Ta có: Cn3 5Cn1
5
3! n 3 !
n 1!
n n 1 n 2
5n n 2 3n 28 0
6
n 7 (Nhận) n 4 (loại)
7
x
7
x 1
x 1
Với n 7 ta có: x 2 2 3 C7k x 2
k 0
7 k
3x
2
7
3
4
x21 3x
Vậy số hạng thứ tư trong khai triển trên là: C x 2 35.22 x 2.2 x
2x2 x
x 2
Kết hợp với giả thiết ta được: 35.2 .2 140 2 4 x 4
3
7
n
1
x
Ví dụ 1.14: Tìm x biết rằng trong khai triển của nhị thức: 2 x 2 2 có tổng 2 số
hạng thứ 3 và thứ 5 bằng 135 , còn tổng 3 hệ số của 3 số hạng cuối bằng 22
Giải
22 x 1 22 2 x 9
C 2 2 x n 2 .21 2 x C 4 2 x n 4 135
n
Từ giải thiết ta có: n
n n 1
n 1 22
Cnn 2 Cnn 1 Cnn 22
2
t 4
x 1
2 2 x 22
1 2 x
4
2
1
x 1
t
2
t
9
2
t
t
t
2
x
0
2 2
2
2
t
n n 42 0
n 6
n 7( Loai)
1
Vậy x 1, là giá trị cần tìm.
2
17
1
Ví dụ 1.15: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển: 1 x
5
Giải
17
17
1
1
Xét khai triển: 1 x C17k
5
5
k 0
k
k
k
1 k
x k 0,1, 2,...,17
5
x ak
1 k k 1 k 1 k 1
C17 C17
ak ak 1 5
5
Ta có ak đặt max
k
k 1
ak ak 1 1 k 1
k 1
C
5 17 5 C17
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
9
10
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
17!
17!
5 k !17 k ! k 1!16 k !
5k 5 17 k
2k 3
17!
17!
18 k 5k
5
k !17 k !
k 1!18 k !
2
1
Với k 2 thì hệ số là: C172 5.44
5
1
Với k thì hệ số là: C173 5.44
5
3
3
1
Vậy hệ số lớn nhất là: C 5.44
5
Từ Ví dụ trên ta đi đến bài toán tổng quát sau:
3
17
Ví dụ: 1.15.2 Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức NEWTON của a bx
n
n
Phương pháp giải: Xét khai triển a bx có số hạng tổng quát Cnk a n k b k x k
Ta đặt: uk Cnk a n k b k ,0 k n ta được dãy số uk . Việc còn lại là đi tìm số hạng lớn
nhất của dãy ta làm như sau:
u
Giải bất phương trình k 1 tìm được k0 uk0 uk0 1 ... un
uk 1
u
Giải bất phương trình k 1 tìm được k0 uk1 uk1 1 ... u0
uk 1
Từ đó ta có số hạng lớn nhất của dãy là max uk0 ,uk1
Tuy nhiên để đơn giản chúng ta có thể làm như sau:
uk uk 1
k0
Giải hệ bất phương trình uk uk 1
Suy ra hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức NEWTON là Cnk0 a n k0 b k0
Ví dụ 1.16: (HVKTQS, 2000) Khai triển đa thức
12
P x 1 2 x a0 a1 x ... a12 x12
Tìm max a0 , a1 , a2 ..., a12
Giải
12
12
k
Cách 1: Xét khai triển: 1 2 x C12k 112 k 2 x
k 0
k
12
k
ak C 2 k 0,1, 2,...,12 1
Xét bất đẳng thức: ak ak 1
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
10
11
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
C12k 2k C12k 1 2k 1
12!2k
12!2k 1
k !12 k ! k 1!11 k !
1
2
23
2
3k 23 k
7 0 k 7 k Z
12 k k 1
3
3
Áp dụng 1 cho k 0,1, 2,...,12 ta được: a0 a1 ... a7 a8 a9 ... a12
max a0 , a1 , a2 ..., a12 a8 C128 .218 126720
Cách 2: Gọi ak là hệ số lớn nhất của khai triển suy ra: ak ak 1
Từ đây ta có được hệ bất phương trình:
1
2
k 12 k 1
2k C12k 2k 1 C12k 1
23
25
k
k 8
k k
k 1 k 1
1
2
3
3
2 C12 2 C12
12 k k 1
max a0 , a1 , a2 ..., a12 a8 C128 .218 126720
Ví dụ 1.17: Tìm hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển và rút gọn tổng sau:
4
5
15
f x 1 x 1 x ... 1 x
Giải
12
16
1 1 x
1 x 1 x
Vì tổng f x có 12 số hạng nên ta có: f x 1 x
1 1 x
x
4
4
16
Hệ số của số hạng chứa x 4 là hệ số của số hạng chứa x5 trong 1 x
Vậy hệ số cần tìm là: C165 4368
Đối với dạng toán này ta có phương pháp giải sau:
Bài toán tìm hệ số chứa x k trong tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân với công bội q 1 là:
S n u1 u2 ... un u1
1 bx
m2
... 1 bx
tiên của cấp số nhân với u1 1 bx
m 1
và công bội q 1 bx
Xét tổng S x 1 bx
m 1
1 q2
1.9
1 q
m n
như là tổng n số hạng đầu
Áp dụng công thức 1.9 ta được:
n
S x 1 bx
m 1
1 1 bx
1 bx
1 1 bx
m n 1
Suy ra hệ số của số hạng chứa x k trong S x là tích giữa
x k 1 trong khai triển 1 bx
m n 1
1 bx
m 1
1 bx
bx
m 1
1
và hệ số của số hạng chứa
b
.
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
11
12
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Ví dụ 1.18: Tìm hệ số của số hạng chứa x và rút gọn tổng sau:
2
S x 1 x 2 1 x ... n 11 x
n 1
n 1 x
n
Giải
Ta có: S x 1 x 1 2 1 x ... n 11 x
n 2
n 1 x
2
f x 1 x 1 2 1 x 3 1 x ... n 11 x
2
3
Đặt: F x 1 x 1 x 1 x ... 1 x
n 1
n 2
1 x
n 1
n 1 x
n 1
n
S x f x xf x
F ' x f x
Suy ra hệ số của số hạng chứa x của S x bằng tổng của số hạng chứa x và không
chứa x của f x bằng tổng của số hạng chứa x và hai lần hệ số của số hạng chứa x 2
của F x
n 1
n
Tổng F x có n số hạng F x 1 x
1 1 x
1 x 1 x
1 1 x
x
Suy ra hệ số của số hạng chứa x của F x Cn21
Suy ra hệ số của số hạng chứa x 2 của F x Cn31
Vậy hệ số cần tìm là: Cn21 2Cn31
n n 1 2n 1
6
2. Bài toán tìm số hạng trong khai triển NEWTON
Ví dụ 2.1: Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển: 2 3x
25
Giải
20
Số hạng thứ 21 trong khai triển là: C2520 25 3 x C2520 25320 x 20
10
Ví dụ 2.2 Tìm số hạng chứa chứa x 28 trong khai triển x 3 xy
Giải
10 k
Số hạng tổng quát trong khai triển là: Tk 1 C10k x 3
xy
k
C10k x30 2 k y k
Số hạng chứa x 28 ứng với: 30 2k 28 k 1
Vậy số hạng cần tìm là: C101 x 29 y
Ví dụ 2.3
a. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau x 3 xy
b. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau x 4 x
21
1
3
xy
2
20
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
12
13
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Giải
a. Khai triển x 3 xy
20
có 21 1 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số hạng
thứ 11 và 12
11
10
Số hạng thứ 11 : C21
x3
11
Số hạng thứ 12 : C21
x3
10
xy
10
b. Khai triển x 4 x
1
3
xy
2
10 43 10
C21
x y
11
xy
10 41 11
C21
x y
20
có 20 1 21 số hạng. Nên số hạng đứng giữa là số
10
10
7
65
20
2
21
10 4
10 6
3
3
hạng thứ 1 16 : C20
x
xy
C
x
y
20
2
( Với x là ký hiệu phần nguyên của x nghĩa là số nguyên lớn nhất không vượt quá x ).
10
Ví dụ 2.4 Tìm số hạng chứa x 3 trong khai triển 1 x 1 x
Giải
Cách 1: Xét khai triển
10
1 x 1 x
2
3
10
C100 C101 x 1 x C102 x 2 1 x C103 x 3 1 x ... C1010 x10 1 x
Nhận thấy: x 3 chỉ có trong các số hạng:
2
Số hạng thứ ba: C102 x 2 1 x C102 x 2 2 x3 x 4
3
Số hạng thứ tư: C103 x 3 1 x C103 x 3 3 x 4 3x 5 x 6
Vậy số hạng cần tìm là: 2C102 x 3 C103 x 3 210 x 3
Cách 2: Số hạng tổng quát trong khai triển là: C10k x k 1 x
k
Số hạng chứa x 3 ứng với: 2 k 3
2
Với k 2 ta được: C102 x 2 1 x nên số hạng chứa x 3 là: 2C102 x 3
3
Với k ta được: C103 x 3 1 x nên số hạng chứa x 3 là: C103 x 3
Vậy số hạng cần tìm là: 2C102 x 3 C103 x 3 210 x 3
Ví dụ 2.5:(ĐH Khối D- 2004) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
7
1
f x 3 x 4 với x 0
x
Giải
k
7
Số hạng tổng quát trong khai triển: Tk 1 C
Ứng với số hạng không chứa x ta có:
x
3
7 k
k
7 7
k
1
k 3 12
C
x
k N ,k 7
7
4
x
7 7
k 0 k 4
3 12
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
13
14
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển f x là: C74 35
Ví dụ 2.6:(ĐHQG HN 2000)Tìm hệ số không chứa x trong khai triển:
17
1
4 3
3 2 x x 0
x
Giải
Số hạng tổng quát trong khai triển:
17 k
2
Tk 1 C x 3
k
17
3 k 2 k 34
3 3
k
34
x Với 0 k 17,k Z
17 k 34
3
C17k x 4
C17k x 12
17 k 34
0k 8
12
3
Vậy số hạng cần tìm là số hạng thứ 9 trong khai triển và có giá trị là: C178 24310
Đến đây ta phải tìm k sao cho
Ví dụ 2.7:(CĐGT – TH&TT- Đề 2- 2004) Số hạng chứa a,b và có số mũ bằng nhau
a
trong khai triển: 3
b
b
3
a
21
Giải
a
Ta có số hạng ổng quát cảu khai triển: 3
b
21
k
21
k
3
k
6
C a .b a
k 0
k 21
6
.b
21 k
2
21
k
21
C a
3 k 21
6
.b
21
b
3
a
1
1
13 16
6
2
a
.
b
a
.
b
21
63 4 k
3
k 0
3k 21 63 4k
k 84
6
6
Vậy hệ số của số hạng chứa a và b có số mũ bằng nhau trong khai triển là: C1221 293930
Để số mũ của a và b bằng nhau
n
28
3
15
Ví dụ 2.8 :(ĐHSP Khối A, 2000) Trong khai triển x x x x 0 . Hãy tìm
n
n 1
n2
số hạng không phụ thuộc vào x , biết rằng: Cn Cn Cn 79
Giải
Từ giả thiết ta có: Cnn Cnn 1 Cnn 2 791 n
n n 1
79
2
n 2 n 156 0 n 12
12
28
Ta có số hạng tổng quát trong khai triển x 3 x x 15 là:
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
14
15
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
k
4 k 28 k
48 k
16
16
285
k
k
3 15
C x x
. x C12 x
C12 x 15
48
Số hạng này không phụ thuộc vào x16 k 0 k 5
15
5
Vậy số hạng cần tìm là: C12 792
k
12
3
12 k
n
x2
y2
3
Ví dụ: 2.9: Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển 2
, x, y 0,n N *
2
y
x
Biết tổng tấc cả các hệ số trong khai triển này bằng: 4096
Giải
Trước tiên ta đi tìm n thông qua giả thiết đã cho: Có thể trình bày theo hai cách sau
n
Cách 1: Ta có: 1 x a0 a1 x ... an x n 4096* Trong đó: ak Cnk
Với x 11 2n a0 a1 ... an 4096 212 n 12
Cách 2: Tổng tấc cả các hệ số trong khai triển là:
n
Cn0 Cn1 ... Cnn 4079 Cn0 212
k 0
n
Cn0 1
n k
n
.1k 212 1 1 12 2n 12 n 12
k 0
12
5
32
2 7
x2
x3
y2
y2
5 x
3
3
Vậy số hạng thứ 6 trong khai triển 2
là:
C
792
12 2
2
2
y
x
y
y x
Ví dụ 2.10:( ĐH SPHN- 2001) Cho khai triển nhị thức:
10
1 2
9
10
x a0 a1 x ... a9 x a10 x .
3 3
Hãy tìm số hạng ak lớn nhất.
Giải
10
1
1 n
1
10
k
1 2
Ta có: x 10 1 2 x 10 C10k 2 x ak 10 C10k 2k
3
3 k 0
3
3 3
k k
k 1 k 1
a ak 1
C 2 C10 2
Ta có ak đạt max k
1k0 k
k 1 k 1
C10 2 C10 2
ak ak 1
2k10!
2k10!
2
1
k ! 10 k ! k 1 ! 9 k !
22
10 k k 1 19
k
k
k
3
3
2 10!
2 10!
2 2
k !10 k ! k 1!11 k ! k 11 k
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
15
16
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
k 7 k N ,k 0,10
Vậy maxak a7
27 7
C10
310
1000
Ví dụ 2.11:(Đề nghị Olimpic 30- 4)Tìm số hạng lớn nhất trong khai triển: 1 0, 2
k 1
Ta có: Số hạng thứ k : Tk C1000
0.2
k 1
Giải
1 k 1
k 1 C1000
5
1 k
C1000
5k
1 k 2
Số hạng thứ k 1 : Tk 1 k 2 C1000
5
1000!
1
1000!
k 1 1 k
.
C
C
1000 5 1000
Tk Tk 1
k 1 !1001 k ! 5 k !1000 k !
1000!
1000!
Tk Tk 1
1 C k 1 C k 2
1 .
1000
1000
5 k 1 !1001 k ! k 2 !1002 k !
5
1
1
1001 k 5k
1002 k 5k 5 1001
1007
k
k 167
1
6
6
5k 1001 k
1002 k
5 k 1
Số hạng thứ k 1 : Tk 1
Vậy maxTk
1 166
C1000
5
166
10
1 3
Ví dụ 2.12: Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển
5
2
Giải
10
1 1
2 3
1 k
1
2
5
1 3
Số hạng tổng quát trong khai triển:
5 C10 2 5
32
2
2
k
2 N
k 0
Số hạng hữu tỉ (số hạng thứ k) trong khai triển thỏa:
k N ,0 k 10
k 6
k N
3
1 0
1
Với k 0 số hạng hữu tỉ là
C10
32
32
1 k 3 2 2625
Với k 6 số hạng hữu tỷ là
C10 2 .5
32
2
2625
1
Vậy số hạng cần tìm là:
và
2
32
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) 16
10
k
2
k
3
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
17
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Phương pháp:
n
k
n
n k
k
k
n
m
p
r
q
Số hạng tổng quát trong khai triển là a b C a b C a b ( a,b là hữu
tỉ)
m
p N
Giải hệ phương trình
k N ,0 k n k0
r N
q
Số hạng cần tìm là: Cnk0 a n k0 b k0
Ví dụ: Trong khai triển
3 4 5
10
có bao nhiêu số hạng hữu tỉ.
Giải
Số hạng tổng quát trong khai triển:
124 k
124
k
1
1
k
k
124
124
62
12
14
k
k 2
k
4
2 4
3 5 3 5 C124 3
. 5 1 C124 3 .5
k 0
k 0
Số hạng hữu tỉ (số hạng thứ k) trong khai triển thỏa
k
62
N
2
i N
i N
0 k 124
k N
k
0 k 124 0 i 31 i 0,1,...,31
4
4 N
k 4i
k 4i
k N
0 k 124
Vậy có 32 số hạng hữu tỉ
4
10
Ví dụ: Có bao nhiêu số hạng nguyên trong khai triển:
3
7 5 96
36
Giải
Với 0 k 36 ta có số hạng nguyên tổng quát trong khai triển:
C36k
36 k
3
7
.
5
96
k
12
C36k 7
k
3
k
.2k 5
k 15
k k
Số hạng nguyên 12 , N 0 k 36 k 0,15,30
3 5
k Z
Bài Tập Áp Dụng
Bài 1:(ĐH TK- 2002) Gọi a1 , a2 ,..., a11 là các hệ số trong khai triển sau:
x 1 x 2 x11 a1 x10 a2 x 9 ... a11 .
Hãy tính hệ số a5
Bài 2: Tìm hệ số của số hạng trong các khai triển nhị thức NEWTON sau:
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
17
18
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
12
1
a) Hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển 4 2 x5
x
16
b) Hệ số của số hạng chứa x16 trong khai triển 1 x 2 1 x 2
5
10
c) Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển x 1 2 x x 2 1 3x (Khối D- 2007)
n
d) Hệ số của số hạng chứa x9 trong khai triển x 3 3x 2 2 . Biết
An4
24
3
n 4
An 1 Cn
23
3
4
e) Hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai triển f x 1 2 x 1 2 x ... 1 2 x
22
20
f) Hệ số của x 5 y 3 z 6t 6 trong khai triển đa thức: x y z t (Đề 4 “TH&TT”- 2003)
Bài 3:(TTĐH- Đề 3-2009- Thầy Nguyễn Tất Thu Tìm hệ số x8 trong khai
n
triển x 2 2 , biết An3 Cn1 8Cn2 49
Bài 4:(TTĐH- Đề 1-2009- Thầy Nguyễn Tất Thu) Tìm hệ số của x 6 trong khải triển
x
2
n
x 1 thành đa thức. Trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn:
C21n 1 C22n1 ... C2nn1 220 1.
Bài 5(TTĐH 2009- Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An)Xác định hệ số của x11 trong
khai triển đa thức
x
2
2
n
3x
3
1
n
biết:
k
C22nn 3C22nn1 ... 1 3k C22nn k ... 32 n C20n 1024
Bài 6 Tìm các số hạng trong các khai triển sau:
17
1
a) Số hạng thứ 13 trong khai triển:
4 x 3 , x 0
3 2
x
n
b) Số hạng thứ 3 trong khai triển 2 x 2 . Biết rằng:
n
3n Cn0 3n 1 Cn1 3n 2 Cn2 ... 1 Cnn
Bài 7 Tìm hệ số không phụ thuộc vào x trong các khai triển
12
50
16
1
1
1
a) x 3
b) 3 2 x 3 x
c) 1
x3
3 2
4
2
x
x
x
Bài 8 Tìm các số hạng không chứa x trong các khai triển sau:
1
a) x 12
x
12
60
1
b) 3 x 4
x
c) 1 x 2 x 4
8
n
1
d) x Biết số hạng thứ ba lớn hơn số hạng thứ hai bằng 35
x
7
Bài 9 Đặt: 1 x x 2 x 4 = a0 a1 x ... a28 x 28
a) Tính: a3
b) Tính: S a0 a1 a2 ... a28
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
18
19
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
c) Tính: S a0 a1 a2 ... a28
n
1
Bài 10:(LAISAC) Khai triển P x x 3 2 ta được
2x
3n
3 n 5
3 n 10
P x a0 x a1 x
a2 x
... Biết rằng ba hệ số đầu a0 , a1 , a2 lập thành một cấp số
cộng. Tính số hạng chứa x 4
Bài 11: Trong khai triển của
243
200
có bao nhiêu số hạng có hệ số là hữu tỉ?
Bài 12: Tìm hệ số lớn nhất trong các khai triển:
11
1001
a) 1 0.0001
b) 1 2x
21
1 2 x
c)
3
2
ÁP DỤNG NHỊ THỨC NEWTON ĐỂ CHỨNG MINH HỆ THứC VÀ TÍNH
TỔNG TỔ HỢP.
I. Thuần nhị thức Newton
C.
Dấu hiệu nhận biết: Khi các số hạng của tổng đó có dạng Ckn a n k b k thì ta sẽ dùng trực
n
tiếp nhị thức Newton: (a b) n C kn a n k b k . Việc còn lại chỉ là khéo léo chọn a,b
k 0
0
2
Ví dụ I.1: Tính tổng 316 C16
315 C116 314 C16
... C16
16
Giải
Dễ dàng thấy tổng trên có dạng như dấu hiệu nêu trên. Ta sẽ chọn a = 3, b = -1. Khi đó
tổng trên sẽ bằng (3 1)16 216
2
4
2000
Ví dụ I2: Chứng minh rằng C02001 32 C 2001
34 C 2001
... 32000 C 2001
22000 22001 1
Giải
Tương tự như trên, ta nghĩ ngay đến việc dùng nhị thức với a 1, b 3 :
2001
C02001 31 C12001 32 C 22001 33 C32001 34 C 42001 .... 32000 C 2000
4 2001
2001 (3 1)
Nhưng tổng cần tìm chỉ chứa các số hạng có Ck2001 với k chẵn nên ta phải triệt tiêu được
các số hạng “lẻ” bằng cách tính tổng khác với a 1, b 3
2001
C02001 31 C12001 32 C 22001 33 C32001 34 C 42001 .... 32000 C 2000
2 2001
2001 (3 1)
4 2001 2 2001
22000 2 2001 1
2
Từ ví dụ trên ta có được bài toán tổng quát sau:
Do đó tổng cần tìm là
Ví dụ I.3:(ĐH Hàng Hải- 2000) Chứng minh rằng:
2
2n 1
C02n 32 C 2n
34 C42 n ... 32n C2n
22n 1
2n 2
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
19
20
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
2n
0
2n
1
2n
2
2n
Giải
x
C22nn x 2 n 1
2 n 1 2 n 1
2n
2
1 x C x C x C x ... C
2n
1 x C20n x C21n x C22n x 2 ... C22nn 1 x 2n 1 C22nn x 2n 2
2n
2n
Lấy 1 2 ta được: 1 x 1 x 2 C20n C22n x 2 ... C22nn x 2 n
2n
2n
Chọn x 3 suy ra: 4 2 2 C20n C22n 32 ... C22nn 32 n
24 n 22 n
C20n C22n 32 ... C22nn 32 n
2
2n
2 22 n 1
C20n C22n 32 ... C22nn 32 n
2
2 2 n 1 22 n 1 C20n C22n 32 ... C22nn 32 n
ĐPCM
0
1
2
Ví dụ I.4: Tính tổng: S C2009
21131 C2009
21032 C2009
2933 ... C109 22 310 C109 21311
Giải
Để ý rằng bậc của 2 giảm dần từ 11 1 , bậc của 3 tăng dần từ 1 11 vì vậy ta cần
giảm bậc của 2và3 trong mỗi số hạng xuống 1 đơn vị
10
0
2
Vậy ta có: S 2.3 C2009
21030 C2009
2832 ... C109 2139 C109 20310 6 2 3 6.510
Ví dụ I.5 : Tính tổng:
0
1
2
2008 1 2008
S C2009
32009 C2009
32008 41 C2009
32007 4 2 ... C2009
3 4 42009
Giải
k
k
2008 k k
k
2008 k
4 C2008 3
Ta có: Tk 1 1 C2008 3
4 k
2009
k
k
S C2009
32009 k 4 3 4
2009
1
2009
1
k 1
Ví dụ I.6: Cho n là số nguyên dương và chẵn, chứng minh rằng:
1
1
1
2n 1
...
(*)
1! n 1 ! 3! n 3!
n 1!1! n !
Giải
n
Ta có: 1 1 C C C C ... 1 Cnn
n
0
n
1
n
2
n
3
n
n
Vì n chẵn n N nên 1 1
n
Suy ra : Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 ... 1 Cnn 0(**)
n!
n!
n!
(*)
...
2 n 1
1!
n
1
!
3!
n
3
!
n
1
!1!
Ta có:
C1n C3n C nn 1 2n 1
Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 ... Cnn 1 Cnn 0i
Từ * 0
1
2
3
n 1
n
n
Cn Cn Cn Cn ... Cn Cn (ii)
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
20
- Xem thêm -