Tài liệu Nguyên lý không chắc chắn donoho stark đối với một số biểu diễn thời gian tần số (lv01874)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ LÝ NGUYÊN LÝ KHÔNG CHẮC CHẮN DONOHO-STARK ĐỐI VỚI MỘT SỐ BIỂU DIỄN THỜI GIAN - TẦN SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ LÝ NGUYÊN LÝ KHÔNG CHẮC CHẮN DONOHO-STARK ĐỐI VỚI MỘT SỐ BIỂU DIỄN THỜI GIAN - TẦN SỐ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Bùi Kiên Cường HÀ NỘI, 2016 Lời cảm ơn Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Phòng Sau đại học, Khoa Toán và Tổ Giải tích cùng các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 06 năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Lý i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 06 năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Lý ii Mục lục Mở đầu 1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Cấu trúc luận văn 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian hàm 1.1.1 1.2 1.3 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Không gian Lp , các bất đẳng thức trong không gian Lp , công thức tích chập . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Không gian hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Không gian hàm suy rộng D0 (Ω) . . . . . . . . . . 6 1.1.4 Không gian các hàm giảm nhanh S(Rn ) . . . . . 8 1.1.5 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S 0 (Rn ) . 9 1.1.6 Các toán tử cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Biến đổi Fourier của các hàm thuộc L1 (Rn ) và S(Rn ) 11 1.2.2 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng . . . . . . . . 16 Biểu diễn thời gian - tần số . . . . . . . . . . . . . . . . 17 iii iv 1.4 1.3.1 Nguyên lý không chắc chắn . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn STFT . . . . . . 20 1.3.3 Ảnh phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.4 Một số phân bố thời gian - tần số quan trọng . . 27 1.3.5 Lớp phân bố Cohen . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Toán tử địa phương hóa thời gian - tần số . . . . . . . . 32 2 Nguyên lý không chắc chắn Donoho-Stark đối với một số biểu diễn thời gian - tần số 2.1 34 Nguyên lý không chắc chắn đối với các toán tử địa phương hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 So sánh với nguyên lý không chắc chắn của Donoho-Stark 43 2.3 Nguyên lý không chắc chắn Donoho-Stark và nguyên lý không chắc chắn địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 Bảng kí hiệu và viết tắt N : Tập hợp các số tự nhiên. N∗ : Tập hợp các số nguyên dương. |α| : Bậc của đa chỉ số α, n X |α| = αi , α = (α1 , ..., αn ) ∈ N∗ . i=1 R : Tập hợp các số thực. Rn : Không gian Ơclit n chiều. C : Tập hợp các số phức. z, |z| : Số phức liên hợp, mô đun của số phức z. Dα f : Đạo hàm cấp α của f , Dα f = (−1)|α| ∂ α f . ∂ α u : Đạo hàm riêng cấp α của u, (∂ α u)(ϕ) = (−1)|α| u(∂ α ϕ). C ∞ : Không gian các hàm khả vi vô hạn. C0∞ (Ω) : Tập hợp các hàm khả vi vô hạn giá compact. C0 (Rn ) : Không gian các hàm liên tục có giá compact. D(Ω) : Không gian các hàm cơ bản. S(Rn ) : Không gian các hàm giảm nhanh. v vi S 0 (Rn ) : Không gian các hàm tăng chậm. Tx f : Phép tịnh tiến theo x của hàm f , Tx f (t) = f (t − x). Mω f : Sự điều biến theo ω của hàm f , Mω f (t) = e2πit.ω f (t). f ∗ : Phép đối hợp của f , f ∗ (x) = f (−x). fe : Phép đối xứng của f , fe(x) = f (−x). f ∗ g : Tích chập của f và g, Z (f ∗ g)(x) = f (y)g(y − x)dy. Rn fˆ, F(f ) : Biến đổi Fourier của hàm f . F −1 (f ), fˇ : Biến đổi Fourier ngược của hàm f . F, fˆ : Liên hợp của biến đổi Fourier f . X a f (x) : Toán tử nhân, X a f (x) = xa f (x).  span A : Bao tuyến tính của tập A. Ap : Hằng số Babenko-Beckner,  1/p 1/2 p Ap = . (p0 )1/p0 Vg f : Biến đổi Fourier thời gian ngắn của hàm f đối với hàm cửa sổ g, Z Vg f (x, ω) = f (t)g(t − x)e−2πit.ω dt. Rn Lp : Không gian các hàm đo được Lebesgue, có chuẩn Lp hữu hạn. Z  p1 kf kLp (Ω) = |f (x)|p dx . Ω vii Tσ : Toán tử giả vi phân với biểu trưng σ, Z −n/2 eix.ξ σ(x, ξ)ϕ̂(ξ)dξ, ϕ ∈ S(Rn ). Tσ ϕ(x) = (2π) Rn Tσ∗ : Liên hợp hình thức của toán tử Tσ . W ig(f ) : Phân bố Wigner của hàm f . W ig(f, g) : Phân bố Wigner chéo của hàm f và g. Qσ f : Lớp phân bố Cohen. SP ECg f, Spg f : Ảnh phổ của hàm f đối với hàm cửa sổ g. qφ,ψ (f, g) : Ảnh phổ tổng quát của hàm f, g đối với hàm cửa sổ φ, ψ. Tσ : Toán tử giả vi phân với biểu trưng σ. AF : Toán tử giả vi phân Kohn-Nirenberg với biểu trưng F . W F : Toán tử Weyl với biểu trưng F . LFφ,ψ : Toán tử địa phương hóa với biểu trưng F , Z F Lφ,ψ f (x) = F (z)(f, φz )L2 ψz (x)dz, f ∈ S(Rn ). Rn χ[a,b] : Hàm đặc trưng trên [a, b]. ϕa (x) : Là hàm Gauss với ϕa (x) = e− πx2 a . Ta : Phép biến đổi tọa độ không đối xứng với Ta f (x, t) = f (t, t − x). Ts : Phép biến đổi tọa độ đối xứng với   t t Ts f (x, t) = f x + , x − . 2 2 viii f ⊗ g : Tích ten sơ của hàm f và g, (f ⊗ g)(x, t) = f (x)g(t). B(L2 (Rn )) : Là C ∗ - đại số của tất cả những toán tử bị chặn từ L2 (Rn ) vào L2 (Rn ). k · k∗ : Chuẩn trong B(L2 (Rn )). |Ω| : Độ đo Lebesgue của tập Ω ⊂ Rn h·, ·i : Tích "vô hướng" của cặp đối ngẫu (·, ·) : Tích vô hướng của không gian Hilbert I. Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Nguyên lý không chắc chắn là một bất đẳng thức diễn tả sự hạn chế về việc "tập trung" đồng thời của hàm và biến đổi Fourier của nó. Nói rõ hơn, là sự hạn chế về sự tập trung một biểu diễn thời gian - tần số đối với bất kỳ một tín hiệu nào. Donoho và Stark đã đưa ra khái niệm ε− tập trung xác định bởi: Cho trước ε ≥ 0, một hàm f ∈ L2 (Rn ) được gọi là ε− tập trung trên một tập đo được U ⊂ Rn nếu Z 1/2 |f (x)|2 dx ≤ ε kf k2 . Rn \U Với khái niệm này, thì nguyên lý không chắc chắn Donoho-Stark được biết đến là bất đẳng thức cho bởi định lý sau Định lý 0.1 (Donoho-Stark). Giả sử rằng f ∈ L2 (Rn ), f 6= 0 là εT − tập trung trên T ⊂ Rn và fˆ là εΩ − tập trung trên Ω ⊂ Rn với T, Ω là đo được trên trong Rn , và εT , εΩ ≥ 0, εT + εΩ < 1. Khi đó |T ||Ω| ≥ (1 − εT − εΩ )2 . (1) Trong bài báo [2], các tác giả đã mở rộng sự ảnh hưởng của nguyên lý không chắc chắn Donoho-Stark theo hai hướng. Thứ nhất, cải tiến ước lượng các hằng số Donoho-Stark có trong vế phải của (1). Thứ hai, các giả thiết về ε− tập trung khi chuyển sang nghiên cứu về toán tử có thể 1 2 khai thác dưới dạng tác động của một toán tử tập trung. Đây là những kết quả nghiên cứu rất mới, lý thú, có ý nghĩa khoa học và thực tiễn cao. Bởi vậy, được sự giúp đỡ, hướng dẫn của TS Bùi Kiên Cường, tôi lựa chọn đề tài: "Nguyên lý không chắc chắn Donoho-Stark đối với một số biểu diễn thời gian - tần số" để bước đầu thực hành nghiên cứu khoa học và làm luận văn tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu + Hệ thống hóa được những kiến thức cơ bản của giải tích thời gian - tần số. + Trình bày các kết quả nghiên cứu gần đây về mở rộng nguyên lý không chắc chắn Donoho-Stark. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Làm một báo cáo tổng quan thể hiện đầy đủ mục đích nghiên cứu, nội dung và phương pháp nghiên cứu. Báo cáo có thể là một tài liệu tham khảo tốt cho những người quan tâm về lý thuyết biểu diễn thời gian - tần số, về mở rộng nguyên lý không chắc chắn Donoho-Stark. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Biểu diễn thời gian - tần số, nguyên lý không chắc chắn. + Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài nước liên quan đến các đối tượng nghiên cứu. 3 5. Phương pháp nghiên cứu + Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm, phương pháp nghiên cứu lý thuyết để tiếp cận vấn đề. + Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới. 6. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm hai chương, cụ thể gồm các chương như sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương 2: Nguyên lý không chắc chắn Donoho-Stark đối với một số biểu diễn thời gian - tần số. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Một số không gian hàm Không gian Lp , các bất đẳng thức trong không gian Lp , công thức tích chập Định nghĩa 1.1. Cho không gian E và một độ đo µ trên một σ− đại số F các tập con của E. Họ tất cả các hàm f có lũy thừa bậc p (1 ≤ p < ∞) của modun khả tích trên E, có nghĩa là: Z |f |p dµ < ∞, E được gọi là không gian Lp (E, µ). Khi p = ∞, kí hiệu L∞ (E, µ) là không gian các hàm bị chặn cốt yếu trên E, tức là f ∈ L∞ (E, µ) ⇔ ∃M > 0 sao cho |f (x)| ≤ M, với hầu khắp x ∈ E.  Số kf kL∞ = esssup |f (x)| là số dương nhỏ nhất trong các số M x∈E thỏa mãn |f (x)| ≤ M hầu khắp x ∈ E. được gọi là chuẩn của f trong L∞ (E, µ). 4 5 Định lý 1.1. Với p ∈ [1, ∞], Lp (E, µ) là không gian Banach với chuẩn Z  p1 p kf kLp = |f (x)| dx . E và kf kL∞ = esssup |f (x)| , (khi p = ∞). E Hệ quả 1.1. Nếu một dãy {fn } hội tụ trong Lp (E, µ) thì nó chứa một dãy con {fnk } hội tụ hầu khắp nơi. Định lý 1.2. Nếu µ (E) < ∞ và 1 ≤ p ≤ q < ∞ thì 1 1 kf kp ≤ kf kq (µ (E)) p − q và Lq (E, µ) ⊂ Lp (E, µ) ⊂ L1 (E, µ) . Hệ quả 1.2. Không gian Lp (E, µ) tách được. Định lý 1.3 (Bất đẳng thức Hölder). Giả sử (E, F, µ) là một không gian độ đo. Nếu f, g là những hàm đo được xác định trên E và p, q là hai số thực sao cho 1 < p < ∞ và p1 + 1q = 1 thì: Z  1q  p1 Z Z |f g| dµ ≤ |g|q dµ . |f |p dµ E E (1.1) E Định lý 1.4 (Bất đẳng thức Minkowski). Nếu f, g là những hàm đo được xác định trên E và p là số thực sao cho 1 ≤ p <∞ thì: Z  p1 Z  p1 Z  p1 |f + g|p dµ ≤ |f |p dµ + |g|p dµ . E E (1.2) E Định lý 1.5 (Bất đẳng thức Young). Giả sử f ∈ L1 (Rn ) và g ∈ Lp (Rn ) R thì tích phân Rn f (x − y) g (y) dy là tồn tại hầu khắp nơi theo x ∈ Rn . Nếu giá trị của tích phân này được ký hiệu bởi (f ∗ g)(x) thì (f ∗ g) ∈ Lp (Rn ) và kf ∗ gkp ≤ kf k1 .kgkp . (1.3) Định nghĩa 1.2. Cho f ∈ L1 (Rn ) và g ∈ Lp (Rn ) với 1 ≤ p ≤ ∞. Khi R đó ta gọi hàm số (f ∗ g) (x) = Rn f (x − y) g (y) dy là tích chập của hai hàm f và g. 6 1.1.2 Không gian hàm cơ bản Với Ω là một tập con mở của Rn , chúng ta có: Định nghĩa 1.3. Không gian các hàm cơ bản được kí hiệu là D(Ω), là không gian gồm tất cả các hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω). Các hàm thuộc D(Ω) được gọi là hàm thử (hay hàm cơ bản). Định nghĩa 1.4. Dãy {ϕj }∞ j=1 các hàm trong D(Ω) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ D(Ω) nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: 1. Có một tập compact K ⊂ Ω mà suppϕj ⊂ K, j = 0, 1, 2, ... 2. lim sup |Dα ϕj (x) − Dα ϕ(x)| = 0, với mọi α ∈ Nn . j→∞ Khi đó ta viết là ϕj → ϕ khi j → ∞ trong D(Ω). Ở đây với mọi đa chỉ số α = (α1 , α2 , ...αn ) ∈ Nn ký hiệu ∂αn ∂α1 ∂α2 Dα ϕ = D1α1 D2α2 ...Dnαn ϕ = (−i)|α| ∂x α1 α ... n ϕ. ∂xα ∂x 2 n 1 2 Định lý 1.6. Không gian D(Ω) là đầy đủ. 1.1.3 Không gian hàm suy rộng D0 (Ω) Định nghĩa 1.5. Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω) được gọi là một hàm suy rộng trong Ω. Không gian tất cả các hàm suy rộng trong Ω được kí hiệu là D0 (Ω). Hàm suy rộng còn được gọi là phân bố. Hàm suy rộng f ∈ D0 (Ω) tác động lên mỗi ϕ ∈ D(Ω) được viết là hf, ϕi. Nhận xét 1.1. Tính liên tục và tuyến tính của hàm suy rộng f ∈ D0 (Ω) được hiểu như sau: 1. Tính tuyến tính: Với mọi ϕ, ψ ∈ D(Ω), với mọi λ, µ ∈ C ta có: hf, λϕ + µψi = λhf, ϕi + µhf, ψi. 7 2. f liên tục khi và chỉ khi với mỗi tập compact K ∈ Ω, tồn tại Cj > 0 và N ∈ Z+ sao cho:  |f (ϕ)| ≤ C sup |Dα ϕ(x)| , |α| ≤ N . K Ví dụ 1.1. Hàm Dirac δ : ϕ → hδ, ϕi = ϕ(0), ϕ ∈ D(Ω) là hàm suy rộng thuộc D(Ω). Định nghĩa 1.6. (Đạo hàm của hàm suy rộng). Cho f ∈ D0 (Ω), α = (α1 , α2 , ..., αn ) ∈ Nn . Đạo hàm cấp α của hàm suy rộng f trong Ω kí hiệu bởi Dα f , là ánh xạ từ D(Ω) vào C được xác định như sau: Dα f : ϕ 7→ (−1)|α| hf, Dα ϕi, ϕ ∈ D(Ω), |α| = α1 + α2 + ... + αn . Định lý 1.7 (Công thức Leibniz). Cho u ∈ D0 (Ω), f ∈ C ∞ (Ω) và α ∈ Zn+ thì: Dα (f u) = X α β≤α β Dβ f Dα−β u, trong đó        α α1 α2 αn n! = ... = , khi β ≤ α. β β1 β2 βn β!(α − β)! Định nghĩa 1.7. Cho fk , f ∈ D0 (Ω), k = 1, 2, .... Ta nói rằng, dãy 0 {fk }∞ k=1 hội tụ đến f trong D (Ω) khi k tiến ra vô cùng nếu: lim hfk , ϕi = hf, ϕi, với mọi ϕ ∈ D(Ω). k→∞ Kí hiệu: D0 _ lim fk = f . k→∞ Định lý 1.8. Không gian các hàm suy rộng D0 (Ω) là đầy đủ. 8 1.1.4 Không gian các hàm giảm nhanh S(Rn ) Định nghĩa 1.8. Không gian các hàm giảm nhanh, kí hiệu S(Rn ) là tập hợp được xác định bởi:    S(Rn ) = ϕ ∈ C ∞ (Rn ) | xα Dβ ϕ(x) ≤ cα,β , ∀x ∈ Rn , ∀α, β ∈ Zn+ cùng với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau: n n Dãy {ϕk }∞ k=1 trong S(R ) được gọi là hội tụ đến ϕ ∈ S(R ) nếu:   lim sup xα Dβ ϕk (x) − xα Dβ ϕ(x) = 0, ∀α, β ∈ Zn+ . k→∞ x∈Rn Kí hiệu: S_ lim ϕk = ϕ. k→∞ Chú ý 1.1. 1. Hàm ϕ ∈ C ∞ (Rn ) là giảm nhanh, nghĩa là với mọi α, β ∈   Zn+ tồn tại cα,β sao cho xα Dβ ϕ(x) ≤ cα,β , với mọi x ∈ Rn khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau thỏa mãn: a) Với mỗi m ∈ Z+ , β ∈ Zn+ có: m    2 Dβ ϕ(x) ≤ cm,β , ∀x ∈ Rn 1 + |x| hay b) Với mỗi m ∈ Z+ có:  m X   2 β  1 + |x| D ϕ(x) ≤ cm , ∀x ∈ Rn . |β|≤m 2. Với mỗi α ∈ Zn+ , phép toán đạo hàm Dα là ánh xạ tuyến tính liên tục từ S(Rn ) vào S(Rn ). 3. Với mỗi λ, µ ∈ C, ϕk , ψk , ϕ, ψ ∈ S(Rn ), k = 1, 2... nếu S_ lim ϕk = ϕ, S_ lim ψk = ψ k→∞ k→∞ thì S_ lim (λϕk + µψk ) = λϕ + µψ. k→∞ 4. Tập C0∞ (Rn ) trù mật trong không gian S(Rn ). Định lý 1.9. Không gian S(Rn ) là đầy đủ. 9 1.1.5 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S 0 (Rn ) Định nghĩa 1.9. Cho hàm suy rộng f ∈ D0 (Rn ). Hàm suy rộng f được gọi là hàm suy rộng tăng chậm nếu tồn tại một số tự nhiên m và một số dương C sao cho:  m X 2 |hf, ϕi| ≤ C sup { 1 + |x| |Dα ϕ(x)|}, với mọi ϕ ∈ D(Rn ). x∈Rn |α|≤m Không gian các hàm suy rộng tăng chậm là không gian véctơ gồm tất cả các hàm suy rộng tăng chậm, được kí hiệu là S 0 (Rn ). Nhận xét 1.2. Không gian hàm suy rộng tăng chậm S 0 (Rn ) là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S(Rn ). Định nghĩa 1.10. Cho fk , f ∈ S 0 (Rn ), k = 1,2,... Dãy {fk }∞ k=1 được gọi là hội tụ trong S 0 (Rn ) đến hàm f ∈ S 0 (Rn ), kí hiệu: S 0 _ lim fk = f , k→∞ nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: 1. Có một số tự nhiên m và một số dương C sao cho: m X  2 |Dα ϕ(x)|}, với mọi ϕ ∈ S(Rn ). |hfk , ϕi| ≤ C sup { 1 + |x| x∈Rn |α|≤m 0 n 2. Dãy {fk }∞ k=1 là hội tụ trong D (R ) đến f . Ví dụ 1.2. Cho v ∈ L1,loc (Rn ) và |v(x)| ≤ ChxiN với N ∈ N∗ nào đó.   1 Khi đó v ∈ S 0 (Rn ). Ở đây hxi = (1 + x2 ) 2 . Chứng minh. Thật vậy: Z  Z   |hv, ϕi| =  vϕdx ≤ N |v(x)| |ϕ(x)| dx Rn  ≤ Csup hxiN +n+1 |ϕ(x)| |x ∈ Rn Z hxi−n−1 dx Rn ≤ C 0 pN +n+1 (ϕ), ∀ϕ ∈ S. (1.4) 10 Trong đó pN (ϕ) = sup 1 + |x|2
N2 P Rn |Dα ϕ(x)| . |α|≤N Từ tính tuyến tính của v và bất đẳng thức nêu trên, ta suy ra v liên tục. Do đó v ∈ S 0 (Rn ). Định nghĩa 1.11. Cho u là một hàm suy rộng tăng chậm, với mọi đa chỉ số α, đạo hàm của u kí hiệu ∂ α u được xác định bởi: (∂ α u) (ϕ) = (−1)|α| u(∂ α ϕ), ϕ ∈ S(Rn ). Nhận xét 1.3. Đạo hàm ∂ α u cũng là một hàm suy rộng tăng chậm. Nếu ϕk ⊂ S(Rn ) sao cho ϕk → 0 trong S(Rn ) thì ∂ α ϕk → 0 trong S(Rn ) khi k → ∞. Do đó (∂ α u) (ϕk ) → 0 khi k → ∞. Vậy (∂ α u) : S 0 (Rn ) → S 0 (Rn ) là ánh xạ tuyến tính liên tục. Định lý 1.10. Không gian S 0 (Rn ) là đầy đủ. Nhận xét 1.4. Chúng ta có S(Rn ) ⊂ Lp (Rn ) ⊂ S 0 (Rn ), với 1 ≤ p ≤ ∞. 1.1.6 Các toán tử cơ bản Định nghĩa 1.12. Với x, ω, y, t ∈ Rn và f ∈ S(Rn ) ta định nghĩa các toán tử sau đây: 1. Phép tịnh tiến theo x của f , kí hiệu Tx f (t) là một "sự dịch chuyển thời gian" được xác định bởi: Tx f (t) = f (t − x). 2. Sự điều biến theo ω của f , kí hiệu Mω f được xác định bởi: Mω f (t) = e2πitω f (t). 3. Phép đối hợp của f , kí hiệu f ∗ được định nghĩa bởi: