Tài liệu Nguyên lý iđêan nguyên tố trong đại số giao hoán

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ CẨM VÂN NGUYÊN LÝ IĐÊAN NGUYÊN TỐ TRONG ĐẠI SỐ GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ CẨM VÂN NGUYÊN LÝ IĐÊAN NGUYÊN TỐ TRONG ĐẠI SỐ GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. ĐOÀN TRUNG CƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, ngày 14 tháng 06 năm 2016 Người viết luận văn Trần Thị Cẩm Vân i Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới TS. Đoàn Trung Cường (Viện Toán học Việt Nam), thầy là người trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau Đại học, quý thầy cô trong khoa Toán, các bạn học viên lớp cao học Toán k21b và k22 đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Qua đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình hoàn thành khóa học Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 14 tháng 06 năm 2016 Người viết luận văn Trần Thị Cẩm Vân ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mở đầu 2 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 1.2 Iđêan nguyên tố và iđêan cực đại . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Mối quan hệ giữa iđêan nguyên tố và iđêan cực đại . 3 1.1.2 Sự tồn tại iđêan nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . 5 Phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Nguyên lý iđêan nguyên tố 8 2.1 Họ iđêan và nguyên lý iđêan nguyên tố . . . . . . . . . . . 2.2 Ứng dụng của nguyên lý iđêan nguyên tố . . . . . . . . . . 17 2.3 8 2.2.1 Iđêan linh hóa tử điểm . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2 Iđêan cốt yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.3 Iđêan khả nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Phạm trù của môđun xyclic Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 37 Tài liệu tham khảo 38 1 Mở đầu Trong đại số giao hoán, về sự tồn tại iđêan nguyên tố có một số kết quả cơ bản thường gặp trong quá trình học đại số giáo hoán. Ví dụ. Định lý Cohen: Tồn tại iđêan nguyên tố trong vành giao hoán. Định lý [Ka2 , p.1].Cho S là tập đóng nhân trong vành giao hoán R, I là tập các iđêan không giao với S. Khi đó iđêan cực đại trong I luôn là nguyên tố. Ngoài ra có các kết quả khác của Herstein, Isaacs... Mặc dù rất quan trọng nhưng các kết quả này xuất hiện một cách rời rạc không hệ thống. Đó là lí do các tác giả Lam và Reyes tiến hành nghiên cứu một cách hệ thống các nguyên lý iđêan nguyên tố trong bài báo " A prime ideal in commutative algebra ", J.Algebra 319, (2008), 3006-3027. Mục đích của luận văn này là trình bày lại bài báo. Luận văn gồm 2 chương . Chương 1 được dành để trình bày các kiến thức cho Chương 2. Cụ thể hơn, chúng tôi trình bày các đặc trưng của iđêan nguyên tố, các kết quả liên quan đến sự tồn tại iđêan nguyên tố của Cohen, Herstein, Isaacs. Phần cuối của chương được dành để nhắc lại một vài kiến thức cơ sở về phạm trù. Nội dung chính của luận văn này trong Chương 2, nguyên lý iđêan nguyên tố. Cụ thể, đầu tiên chúng tôi trình bày họ iđêan và nguyên lý iđêan nguyên tố. Tiếp theo dựa và đó chúng tôi nêu ứng dụng nguyên lý iđêan nguyên tố trong iđêan linh hóa tử điểm, iđêan cốt yếu và iđêan khả nghịch. Cuối chương là phạm trù môđun xyclic. 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong toàn bộ luận văn, ta luôn xét R là vành giao hoán có đơn vị. Ở chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức về iđêan nguyên tố trong vành giao hoán. 1.1 Iđêan nguyên tố và iđêan cực đại Trong tiết này chúng tôi sẽ nhắc lại định nghĩa và một số đặc trưng của iđêan nguyên tố và iđêan cực đại. 1.1.1 Mối quan hệ giữa iđêan nguyên tố và iđêan cực đại Định nghĩa 1.1.1. Cho R là vành giao hoán và I là iđêan, I ⊆ Rvà I 6= R. Khi đó I là iđêan nguyên tố nếu xy ∈ I thì x ∈ I hoặc y ∈ I với mọi x, y ∈ R.Tập các iđêan nguyên tố được kí hiệu là Spec(R) được gọi là phổ iđêan nguyên tố của vành R. Ví dụ 1.1.2. 1. Trong Z, nZ là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi n = 0 hoặc n là số nguyên tố. 2. 0 là i đêan nguyên tố của vành Z. Định lý 1.1.3. (Định lý đặc trưng) Cho I là một iđêan của vành R. Khi đó I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi R/I là miền nguyên. Chứng minh. (⇒) Giả sử I là iđêan nguyên tố của R. Khi đó, R/I = {x + I | x ∈ R} là vành thương của R trên I. Vì I là iđêan nguyên tố 3 nên I 6= R và R/I có nhiều hơn một phần tử. Phần tử đơn vị của R/I là 1 + I. Do R/I là vành giao hoán nên R/I là vành giao hoán. Giả sử x + I, y + I ∈ R/I mà (x + I)(y + I) = 0 + I, do đó xy + I = 0 + I , khi đó xy ∈ I. Do I nguyên tố nên x ∈ I hoặc y ∈ I. Suy ra x + I = I hoặc y + I = I. Vì vậy R/I là vành giao hoán không có ước của 0 hay R/I là miền nguyên. (⇐) Giả sử R/I là miền nguyên, khi đó R/I có nhiều hơn một phần tử suy ra R 6= I. Giả sử x, y ∈ R và xy ∈ I suy ra xy + I = I hay (x + I)(y + I) = I = 0 + I. Vì R/I không có ước của 0 nên x + I = I hoặc y + I = I , do đó x ∈ I hoặc y ∈ I. Vậy I là iđêan nguyên tố. Định nghĩa 1.1.4. Cho R là một vành giao hoán, I là iđêan, I ⊆ R, I 6= R. Khi đó, I là iđêan cực đại của vành R nếu tồn tại iđêan J và I $ J thì J = R. Ví dụ 1.1.5. Vành Z6 có hai iđêan cực đại là 2Z6 = {0, 2, 4} và 3Z6 = {0, 3} Định lý 1.1.6. (Định lý đặc trưng) Cho I là một iđêan của vành R. Khi đó, I là iđêan cực đại khi và chỉ khi R/I là một trường. Chứng minh. (⇒) Giả sử R/I là một trường, do đó R/I có nhiều hơn một phần tử vì vậy R 6= I. Giả sử, J là một iđêan của R và J % I, khi đó tồn tại x0 ∈ J/I. Xét x0 + I ∈ R/I, vì x0 ∈ / I nên x0 + I khả nghịch tức là tồn tại x00 + I sao cho (x00 + I)(x0 + I) = x00 x0 + I = 1 + I hay 1 = x00 x0 + y với y ∈ I mà x0 ∈ I nên 1 ∈ I ⊆ J . Do đó, 1 ∈ J , suy ra J = R. Vậy I là iđêan cực đại. (⇐) Giả sử I là iđêan cực đại của R suy ra R 6= I. Do đó, R/I 6= 0. Vì R là vành giao hoán có đơn vị nên R/I cũng là vành giao hoán và có đơn vị là 1 + I. Giả sử, x + I ∈ R/I và x + I 6= I suy ra x ∈ / I. Xét iđêan J của R mà J = I + xR suy ra I ⊆ J và x ∈ J. Do I là cực đại nên 1R = y + xx1 ∈ J 4 suy ra 1 + I = (y + xx1 ) + I = xx1 + y + I = (x + I)(x1 + I). Suy ra x + I khả nghịch. Vậy R/I là một trường. Định lý 1.1.7. Trong một vành giao hoán R, mọi iđêan cực đại đều là iđêan nguyên tố. Chứng minh. Giả sử I là iđêan cực đại của R. Với mọi a, b ∈ R, giả sử ab ∈ I và a ∈ / I. Khi đó I + (a) cũng là một iđêan của R và I ( I + (a). Vì I là cực đại nên I + (a) = R. Khi đó, tồn tai các phần tử u ∈ I, v ∈ R sao cho 1 = u + va suy rb = bu + v(ba) ∈ I. Vậy I là iđêan nguyên tố. Điều ngược lại không đúng. Ví dụ 1.1.8. Trong vành Z, iđêan {0} là iđêan nguyên tố nhưng không phải iđêan cực đại vì 2Z là iđêan của Z và {0} ⊆ 2Z 6= Z. Định nghĩa 1.1.9. Cho F là họ các iđêan của R với R ∈ F. Khi đó: i) F 0 là phần bù của F ( gồm tất cả các iđêan của R ∈ / F ) và Max(F 0 ) là tập các phần tử cực đại của F 0 . ii) F 0 là họ M P (cực đại nên nguyên tố) nếu Max(F 0 ) ⊆ Spec(R) 1.1.2 Sự tồn tại iđêan nguyên tố Các kết quả về sự tồn tại iđêan nguyên tố trong vành giao hoán đều là kết quả quan trọng và cơ bản trong Đại số giao hoán. Trong phần này chúng tôi trình bày lại một số kết quả quan trọng trong số đó. Định lý 1.1.10. Trong một vành giao hoán iđêan nguyên tố luôn tồn tại. Định lý 1.1.11. (Định lý Cohen.) Cho S là tập đóng nhân. Luôn tồn tại iđêan nguyên tố sao cho P ∩ S 6= ∅ Định lý 1.1.12. (Định lý Herstein.) Cho R− môđun M khác 0. Giả sử I là iđêan tối đại trong các iđêan có dạng Ann(x) với x 6= 0 ∈ M. Khi đó I là nguyên tố. Định lý 1.1.13. (Định lý Isaacs.) Giả sử I là iđêan cực đại trong các iđêan không chính của vành R. Khi đó I là nguyên tố. 5 1.2 Phạm trù Lý thuyết phạm trù ra đời vào khoảng năm 1945. Có rất nhiều cách để định nghĩa một phạm trù. Định nghĩa mà ta đưa ra sau đây nhằm thích hợp cho những loại phạm trù quen biết như phạm trù các nhóm, các nhóm Abel và đặc biệt là các phạm trù môđun, loại phạm trù sau cùng này chính là động lực cho sự phát triển của lý thuyết phạm trù Định nghĩa 1.2.1. Một phạm trù K được cho bởi: (K1 ) Một lớp các vật Ob(K) mà mỗi phần tử của Ob(K) được gọi là một vật của phạm trù K.) (K2 ) Hai vật A, B tùy ý của Ob(K) luôn xác định một tập hợp M orK (A, B) gọi là tập hợp các cấu xạ từ vật A đến vật B sao cho với hai cặp khác nhau của các vật (A, B) 6= (C, D) thì: M orK (A, B) ∩ M orK (C, D) =  (K3 ) Với mỗi bộ ba (A, B, C) tùy ý các vật của Ob(K) luôn có một ánh xạ M orK (B, C) × M orK (A, B) 3 (a, b) → ba ∈ M orK (A, C). gọi là phép nhân , sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn: • Tính chất kết hợp: Với mọi a ∈ M orK (A, B), b ∈ M orK (B, C), c ∈ M orK (C, D) thì (ab)c = a(bc). • Có đồng nhất: Với mỗi vật A ∈ Ob(K) tùy ý luôn tồn tại một cấu xạ 1A ∈ M orK (A, A) gọi là phần tử đồng nhất sao cho a1A = 1B a = a, với mọi a ∈ M orK (A, B). Khi phạm trù K đã xác định trước thì để cho tiện ta viết M or(A, B) thay cho M orK (A, B) và kí hiệu M or(K) = ∪A , B ∈ Ob(K)M or(A, B). Ngoài ra ta cũng viết A ∈ K thay cho A ∈ Ob(K), Định nghĩa 1.2.2. Cho K là một phạm trù và G ⊆ K, G được gọi là phạm trù con của phạm trù K nếu G là phạm trù. 6 Ví dụ 1.2.3. 1) Phạm trù các nhóm Abel với Ob(A) là lớp tất cả các nhóm Abel và M or(A, B) = Hom(A, B) là tập hợp tất cả các đồng cấu nhóm từ nhóm Abel A vào nhóm Abel B . Tích các cấu xạ bằng ánh xạ hợp thành. 2) Phạm trù các R- môđun với Ob(M) là lớp các R-môđun và M or(M, N ) = Hom(M, N ) là tập các R- đồng cấu môđun. Tích các cấu xạ là hợp thành các R-đồng cấu. Ký hiệu là M(R). 3) Phạm trù các R-môđun xyclic với Ob(M) Là lớp các R-môđun xyclic và M or(M, N ) = Hom(M, N ) là tập các R- đồng cấu môđun xyclic. Tích các cấu xạ là hợp thành các R-đồng cấu môđun xyclix. Ký hiệu là Mc (R). 7 Chương 2 Nguyên lý iđêan nguyên tố 2.1 Họ iđêan và nguyên lý iđêan nguyên tố Chúng ta sẽ bắt đầu với hai định ngĩa rất quan trọng cần thiết cho luận văn này. Trong suốt các phần tiếp theo, chúng ta sử dụng các kí hiệu I
R để chỉ ra I là iđêan của vành (giao hoán) R. Với các tập con I, J, · · · ⊆ R, iđêan sinh bởi hợp của I, J, · · · được kí hiệu bởi (I, J, · · · ). Ví dụ, nếu a ∈ R và I, J
R , chúng ta có (I, J) = I + J và (I, a) = I + (a). Với I
R và A ⊆ R, chúng ta định nghĩa (I : A) là iđêan {r ∈ R : rA ⊆ I}. Kí hiệu Spec(R) và Max(R) kí hiệu cho tập các iđêan nguyên tố và tập các iđêan tối đại của vành R. Cho R là một vành giao hoán và F là một họ iđêan trong R, nghĩa là F là một tập hợp gồm các iđêan của R. Định nghĩa 2.1.1. Một họ iđêan F trong vành R chứa R được gọi là Oka nếu với mỗi iđêan I ⊆ R và phần tử a ∈ R sao cho (I, a), (I : a) ∈ F thì I ∈ F. Định nghĩa 2.1.2. Một họ iđêan F trong vành R chứa R được gọi là Oka mạnh nếu với các iđêan I, A ⊆ R sao cho (I, A), (I : A) ∈ F thì I ∈ F. Từ các định nghĩa trên ta sẽ chỉ ra mối liên hệ giữa hai họ Oka và Oka mạnh thông qua Bổ đề sau: 8 Bổ đề 2.1.3. Cho F là họ iđêan của R. Khi đó các phát biểu sau là đúng: 1. Nếu F là Oka mạnh thì F là Oka. 2. Nếu R là vành chính và F là Oka thì F là Oka mạnh. Chứng minh. 1. Giả sử F là họ iđêan Oka mạnh. Khi đó, theo định nghĩa 2.1.2 thì R ∈ F. Vậy để chứng minh F là Oka, ta cần chứng minh với mỗi iđêan I ⊆ R, nếu tồn tại a ∈ R sao cho (I, a), (I : a) ∈ F thì I ∈ F. Điều này là dễ dàng vì ta chỉ cần chọn A = (a) là iđêan chính. 2. Vì F là Oka nên R ∈ F. Theo giả thiết R là vành chính nên với mỗi iđêan A tồn tại phần tử a ∈ R sao cho aR = A. Do đó, nếu (I, a) = (I, A) ∈ F và (I : a) = (I : A) ∈ F thì do tính Oka của F nên I ∈ F. Vậy F là Oka mạnh. Từ Bổ đề trên ta suy ra trong trường hợp tổng quát thì điều ngược lại trong phát biểu 1 là không đúng. Tiếp theo ta trình bày các khái niệm sau. Định nghĩa 2.1.4. Một họ iđêan F trong vành R chứa R được gọi là Ako nếu với mỗi iđêan I ⊆ R và các phần tử a, b ∈ R sao cho (I, a), (I, b) ∈ F thì (I, ab) ∈ F. Định nghĩa 2.1.5. Một họ iđêan F trong vành R chứa R được gọi là Ako mạnh nếu với các iđêan I, B ⊆ R và phần tử a ∈ R sao cho (I, a), (I, B) ∈ F thì (I, aB) ∈ F. Bổ đề sau đây chỉ ra mối liên hệ giữa họ Ako và Ako mạnh. Bổ đề 2.1.6. Cho F là họ iđêan của R. Khi đó các phát biểu sau là đúng: 1. Nếu F là Ako mạnh thì F là Ako. 2. Nếu R là vành chính và F là Ako thì F là Ako mạnh. 9 Chứng minh. 1. Vì F là một họ Ako mạnh nên R ∈ F. Để chứng minh F là Ako, ta cần chứng minh: với I ⊆ R, nếu a, b ∈ R thỏa mãn (I, a), (I, b) ∈ F thì (I, ab) ∈ F. Điều này là hiển nhiên từ định nghĩa họ Ako mạnh và chọn B = bR. 2. Vì F là Ako nên R ∈ F. Ta cần chứng minh với mỗi iđêan I ⊆ R, nếu tồn tại a ∈ R và iđêan B ⊆ R sao cho (I, a), (I, B) ∈ F thì (I, aB) ∈ F. Thật vậy vì R là vành chính nên tồn tại b ∈ R sao cho B = bR. Do đó, từ định nghĩa họ Ako ta suy ra F là Ako mạnh. Tiếp theo, từ định nghĩa họ Oka và họ Ako ta có thể xây dựng một họ các iđêan nguyên tố trong vành R thông qua Định lý sau: Định lý 2.1.7. (Nguyên lý iđêan nguyên tố.) Cho một họ iđêan F, giả sử F là Oka hoặc Ako. Khi đó, mọi phần tử cực đại của F 0 đều là iđêan nguyên tố tức là Max(F 0 ) ⊆ Spec(R). Trong đó F 0 = {J ⊆ R là iđêan | J∈ / F}. Chứng minh. Giả sử F là Oka hoặc Ako và I ∈ Max F 0 . Ta cần chứng minh I là iđêan nguyên tố. Giả sử ngược lại I không là iđêan nguyên tố. Khi đó tồn tại a, b ∈ R sao cho ab ∈ I và a, b ∈ / I. Từ đó suy ra    (I, a) % I (I : a) % I   (I, b) % I. Do tính tối đại của I trong F 0 nên (I, a), (I : a), (I, b) ∈ F. Theo giả thiết F là Oka hoặc Ako nên I ∈ F (mâu thuẫn với I ∈ M axF 0 ). Vậy I là iđêan nguyên tố. Ký hiệu P.I.P là họ thỏa mãn nguyên lý iđêan nguyên tố. Tiếp theo là các định nghĩa về bán lọc, lọc và monoid 10 Định nghĩa 2.1.8. Cho F là họ các iđêan của R với R ∈ F. Ta nói i) F là bán lọc nếu với mọi I, J
R, I ⊇ J ∈ F thì I ∈ F. ii) F là một lọc nếu F là bán lọc và I, J ∈ F thì I ∩ J ∈ F. iii) F là monoid nếu với mọi I, J ∈ F thì IJ ∈ F. Định lý 2.1.9. Cho F là họ Oka hoặc Ako. Giả sử mọi dãy lồng nhau trong F 0 đều có chặn trên trong F 0 . Khi đó các phát biểu sau là đúng: 1) Giả sử F0 là một bán lọc của iđêan trong R sao cho F0 ∩Spec(R) ⊆ F thì F0 ⊆ F. 2) Giả sử J ⊆ R là iđêan sao cho nếu P % J với P là iđêan nguyên tố thì P ∈ F. Khi đó, mọi iđêan chứa thực sự J đều nằm trong F. 3) Nếu Spec(R) ⊆ F thì mọi iđêan của R đều nằm trong F. Chứng minh. 1) Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử, F0 * F. Khi đó tồn tại I ∈ F0 và I ∈ / F. Xét Σ = {I 0 | I ⊆ I 0 , I 0 ∈ F}. Khi đó, Σ ⊂ F 0 và Σ thỏa mãn " Mọi dãy lồng nhau trong Σ đều có phần tử bị chặn trên trong Σ." Theo bổ đề Zorn ta có Σ có phần tử cực đại P nào đó. Vì vậy, P là phần tử cực đại của F 0 (Max(F 0 ) ⊂ Spec(R).) Theo nguyên lý iđêan nguyên tố ta có P là nguyên tố. Vì P ⊃ I và I ∈ F0 nên P ∈ F0 (do F0 là bán lọc). Theo giả thiết F0 ∩ Spec(R) ⊆ F nên P ∈ F. Điều này mâu thuẫn. Vậy F0 ⊆ F. 2) Đặt F0 = {J 0 | J 0 là iđêan chứa J}. Khi đó, F0 là bán lọc. Theo giả thiết F0 ∩ Spec(R) ⊂ F. Do đó theo 1), ta luôn có F0 ⊆ F. Vậy mọi iđêan chứa thực sự J đều nằm trong F. 3) Ta áp dụng phần chứng minh 2) trong trường hợp J = 0. Khi đó ta có Định lý quan trọng sau. Định lý 2.1.10. Cho một họ các iđêan F của R với R ∈ F và A, B, I, J là các iđêan tùy ý của vành R. Xét các phát biểu sau: (P1 ) F là một lọc monoid. (P2 ) F là monoid và thỏa mãn với J ⊆ F và I ⊇ J ⊇ I 2 thì I ∈ F. 11 (P3 ) Nếu I + A, I + B ∈ F thì I + AB ∈ F. (Q1 ) F là bán lọc monoid. (Q2 ) F là monoid và thỏa mãn với J ∈ F và I ⊇ J ⊇ I n (n > 1 bất kì) thì I ∈ F. (Q3 ) Với A, B ∈ F và AB ⊆ I ⊆ A ∩ B thì I ∈ F. (Q4 ) Cho A, B ∈ F và AB ⊆ I ⊆ A ∩ B với A/I là xyclic thì I ∈ F. (Q5 ) Cho A, B ∈ F và AB ⊆ I ⊆ A ∩ B với A/I, B/I là xyclic thì I ∈ F. (O4 ) Với I ⊆ J và J, (I : J) ∈ F thì I ∈ F. (O5 ) Với I ⊆ J và nếu J, (I : J) ∈ F và J/I là xyclic thì I ∈ F. Khi đó ta có biểu đồ sau đây (Q1 ) ⇒ (Q2 ) ⇒ m m (P1 ) ⇒ (P2 ) ⇒ (Q3 ) m (P3 ) ⇓ Oka mạnh m (O4 ) ⇒ (Q4 ) ⇒ (Q5 ) m m ⇒ Ako mạnh ⇒ Ako ⇓ ⇓ ⇒ Oka ⇒ P.I.P m ⇒ (O5 ) Hơn nữa, nếu F thỏa mãn (P3 ) thì F đóng với phép lấy tích và phép giao hữu hạn. Nghĩa là với mọi I1 , I2 , · · · , Ir ∈ F thì I1 I2 · · · Ir ∈ F và I1 ∩ I2 ∩ · · · ∩ Ir ∈ F. Chứng minh. 1) Trước tiên ta chứng minh Q1 ⇒ Q2 ⇒ Q3 ⇒ Q4 ⇒ Q5 . • Q1 ⇒ Q2 : Giả sử F là bán lọc monoid khi đó F là monoid. Xét J ∈ F và I là iđêan của R sao cho I ⊇ J ⊇ I n với n > 0. Vì F là bán lọc nên từ J ∈ F và I ⊇ J ta có I ∈ F. • Q2 ⇒ Q3 : Xét A, B ∈ F và I là iđêan của R sao cho AB ⊆ I ⊆ A ∩ B. Vì F là monoid nên AB ∈ F. Đặt J = AB ∈ F, khi đó I ⊇ J. Ta có, I 2 ⊆ (A ∩ B)(A ∩ B.) Mà A ∩ B ⊆ A và A ∩ B ⊆ B do đó I 2 ⊆ AB = J. Vì vậy, I 2 ⊆ J ⊆ I. Theo giả thiết Q2 ta có I ∈ F. 12 • Q3 ⇒ Q4 : Xét A, B ∈ F và I là iđêan của R sao cho AB ⊆ I ⊆ A∩B và A/I là xyclic. Vì có AB ⊆ B ⊆ A ∩ B nên I ∈ F. • Q4 ⇒ Q5 : Xét A, B ∈ F và I là iđêan của R sao cho AB ⊆ I ⊆ A∩B và A/I, B/I là xyclic. Vì AB ⊆ I ⊆ AB và A/I là xyclic nên theo Q4 ta có I ∈ F. 2) Ta chứng minh P1 ⇒ P2 ⇒ P3 ⇒ Ako mạnh ⇒ Ako ⇒ P.I.P . • P1 ⇒ P2 : Giả sử F là một lọc monoid. Xét J ∈ F và I là iđêan của R thỏa mãn I ⊇ J ⊇ I 2 . Do F là lọc và J ⊆ I, J ∈ F nên I ∈ F. • P2 ⇒ P3 : Xét A, B, I là các iđêan của R sao cho I + A, I + B ∈ F. Do F là monoid nên (I + A)(I + B) ∈ F. Đặt (I + A)(I + B) = J, khi đó J ∈ F và I + AB ⊆ J = (I + A)(I + B) ⊇ (I + AB)(I + AB). Từ giả thiết của P2 nên suy ra I + AB ∈ F. • P3 ⇒ Ako mạnh : Xét I, B là các iđêan của R và a ∈ R. Giả sử A = aR thì I + A, I + B ∈ F. Tù P3 ta có I + AB ∈ F do đó I + aB ∈ F. • Ako mạnh ⇒ Ako ⇒ P.I.P theo Định lý 2.1.7 và Bổ đề 2.1.6. • O4 ⇒ O5 : Xét I, J là các iđêan của R sao cho I ⊆ J và nếu J, (I : J) ∈ F và I/J là xyclic thì cần chứng minh I ∈ F. Theo O4 ta có J, (I : J) ∈ F và J = I + aR nên J/I là xyclic. Do vậy, I ∈ F. 3) Tiếp theo ta đi chứng minh hàng 1 ⇔ hàng 2 : • P1 ⇔ Q1 : Vì F là một lọc monoid nên F là một bán lọc monoid. Ngược lại, giả sử F là bán lọc monoid. Ta cần chứng minh F là lọc. Cho A, B ∈ F. Do F là monoid nên AB ∈ F. Vì AB ⊆ A ∩ B và F là bán lọc nên A ∩ B ∈ F. • Q2 ⇔ P2 : Cho F là monoid thỏa mãn J ∈ F và I là iđêan của R sao cho I ⊇ J ⊇ I 2 . Cần chứng minh I ∈ F. Thật vậy, theo Q2 ta có 13 I ⊇ J ⊇ I n . Cho n = 2 thì I ∈ F. Ngược lại, xét J ∈ F, và I là iđêan của R thỏa mãn I ⊇ J ⊇ I n . Giả sử I ∈ / F. Vì J + I = I ∈ / F và J +I n = J ∈ F nên tồn tại k lớn nhất để J +I k ∈ / F và J +I k+1 ∈ F. Mặt khác, J + I k ⊇ J + I k+1 ⊇ (J + I k )2 . Từ P2 , ta có J + I k ∈ F mâu thuẫn với J + I k ∈ / F. Vậy I ∈ F. • Q3 ⇔ P3 : Giả sử A, B ∈ F và I là iđêan của R sao cho AB ⊂ I ⊂ A ∩ B. Từ P3 ta có A = 0 + A ∈ F, B = 0 + B ∈ F. Do đó, AB = 0 + AB ∈ F. Hơn nữa, I + A = A ∈ F vàI + B = B ∈ F. Do đó I + AB ∈ F. Ngược lại, xét I, A, B là các iđêan của R sao cho I +A, I +B ∈ F. Ta có (I +A)(I +B) ⊆ I +AB ⊆ (I +A)∩(I +B.) Theo giả thiết Q3 nên I + AB ∈ F. • Q4 ⇔ Ako mạnh : Xét I, B là các iđêan của R, a ∈ R thỏa mãn I + aR, B 0 = I + B và A/I là xyclic. Ta có A, B 0 ∈ F. Mà AB 0 ⊂ I +aB ⊂ A∩B 0 . Từ giả thiết Q4 ta có I +aB ∈ F. Do đó Ako mạnh. Ngược lại, xét A, B ∈ F, I là iđêan của R thỏa mãn AB ⊆ I ⊆ A∩B và A/I là xyclic. Khi đóA = I + aR. Ta có AB = IB + aB ⊆ I do đóAB ⊆ I. Từ I + aR = A ∈ F và I + B = B ∈ F , vì Ako mạnh nên I + aB ∈ F.Vậy I ∈ F. • Q5 ⇔ Ako: Xét a, b ∈ R và I là iđêan của R thỏa mãn I + aR, I + bR ∈ F. Đặt A = I + aR và B = I + bR thì A/I, B/I là xyclic.Ta có A, B ∈ F mà AB = (I +aR)(I +bR) ⊆ I +abR ⊆ (I +aR)∩(I +bR). Theo Q5 suy ra I + abR ∈ F. Ngược lại, xét A, B ∈ F và I là iđêan của R thỏa mãn A = aR + I và B = bR + I. Khi đó, AB = (I + aR)(I + bR) ⊆ I + abR ⊆ (I + aR) ∩ (I + bR). Theo định nghĩa họ Ako suy ra (I, ab) ∈ F. 4) Tiếp theo ta chứng minh dòng 2 ⇒ 3. • P3 ⇒ Oka mạnh : Xét I, A là các iđêan của R thỏa mãn I +A ∈ F và I : A ∈ F. Đặt B = I : A thì B ⊃ I. Do vậy, I +B = B = I : A ∈ F. 14 Ta có I + A ∈ F và I + B ∈ F nên I + AB ∈ F. Mặt khác, I + AB = I + A(I : A) = I nên I ∈ F. • Ako ⇒ O4 : Xét a ∈ R và I là iđêan của R sao cho I + aR ∈ F và I : a ∈ F. Đặt B = I : a thì B ⊃ I và aB = a(I : a) ⊆ I. Mặt khác I + aR ∈ F và I + B = B = I : a ∈ F. Vì Ako mạnh nên I + aB ∈ F. Vậy I ∈ F. 5) Chứng minh dòng 3 ⇔ 4. • Oka mạnh ⇔ O4 : Xét I, J là iđêan của R, I ⊆ J thỏa mãn J, (I : J) ∈ F. Đặt J = (I, A) khi đó ta có (I, A) ∈ F. Mà (I : J) = (I : (I, A)) ∈ F. Do đó I ∈ F. Ngược lại, xét I, A là iđêan của R thỏa mãn (I, A) và (I : A) ∈ F. Đặt J = (I : A) khi đó ta có J ∈ F. Mà (I, A) = (I : (I, A)) = (I : J) ∈ F, do đó I ∈ F. • Oka ⇔ O5 : Xét I, J là iđêan của R sao cho I ⊆ J thỏa mãn J, (I : J) ∈ F và J = I + aR là xyclic. Đặt J = I + aR khi đó I + aR ∈ F. Mà I : J = I : (I + aR) = I : aR = (I : a) ∈ F. Do đó I ∈ F. Ngược lại, xét a ∈ R và I là iđêan của R thỏa mãn (I, a), (I : a) ∈ F. Đặt J = aR thì J/I là xyclic và J ∈ F. Mặt khác, (I : aR) = I : (I + aR) = (I : J) ∈ F. Vì vậy, I ∈ F. Mệnh đề 2.1.11. Gọi P là một trong các tính chất P1→3 , Q1→5 , O4→5 và ΣP = { các họ iđêan thỏa mãn P}. Khi đó, P đóng với phép giao, nghĩa T là với họ các họ {Fλ }λ∈Λ ⊂ ΣP thì λ∈Λ Fλ ∈ ΣP . Chứng minh. Từ Định lý trên ta chỉ cần xét P =00 Oka0 nghĩa là họ thỏa mãn tính chất O5 . Nhắc lai rằng, họ Fλ thỏa mãn O5 khi và chỉ khi với mọi T I ⊂ J sao cho I, I : J ∈ Fλ và J/I là xyclic thì I ∈ F. Đặt F = λ∈Λ Fλ và ta cần chứng minh F thỏa mãn O5 . Để chứng minh F thỏa mãn tính chất O5 ta cần xét I ⊂ J sao cho J/I là xyclic và I, I : J ∈ Fλ . Vì 15 F= T λ∈Λ Fλ nên J/I là xyclic và I, I : J ∈ Fλ với mọi λ. Mặt khác, Fλ T thỏa mãn O5 nên ta có I ∈ Fλ với mọi λ. Do vậy, I ∈ λ∈Λ Fλ = F. Hệ quả 2.1.12. Mọi họ iđêan trong R đều nằm trong một họ nhỏ nhất có tính chất P. Chứng minh. Xét một họ X = { họ các iđêan chứa F và có tính chất P}. Khi đó, các iđêan của R đều nằm trong X . T Gọi F = G∈X G. Do G có tính chất P nên theo mệnh đề trên ta có F có tính chất P. Ngoài ra ta còn có X ⊇ F và là họ nhỏ nhất có tính chất P. Mệnh đề 2.1.13. Cho tập X ⊂ Spec(R). Đặt F = {I là iđêan của R | I * P, với mọi P ∈ X }. Khi đó, F thỏa mãn P1 . Nói riêng, F là lọc Oka mạnh và lọc Ako mạnh. Chứng minh. Ta cần chứng minh F là bán lọc, tức là với I ⊂ J là các iđêan của R. Nếu I ∈ F thì J ∈ F. Thật vậy, I ∈ F khi và chỉ khi I * P với mọi P ∈ X . Do đó, J * P với mọi P ∈ X . Vì vậy, J ∈ F Tiếp theo, ta cần chứng minh F là monoid, tức là nếu I, J ∈ F thì IJ ∈ F. Giả sử, IJ ∈ / F, khi đó tồn tại P ∈ X sao cho IJ ⊆ P. Theo định lý tránh nguyên tố ta có, I ⊆ P hoặc I ∈ P. Khi đó, I ∈ / F hoặc J∈ / F. Điều này mâu thuẫn vì I, J ∈ F. Vậy F là monoid. Nhận xét 2.1.14. Cho F = {I là iđêan của R | I * P, với mọi P ∈ X }.Do đó F 0 = {I là iđêan của R với một P nào đó trong X }. Khi đó, X ⊂ F 0 . Ngoài ra, Max X = Max F 0 . Mệnh đề 2.1.15. Cho Y ⊂ Max(R). Đặt F = {I là iđêan của R | I ∈ / Y }. Khi đó, F có tính chất (P3 .) Đặc biệt, F là Ako và Oka mạnh. Chứng minh. Ta cần chứng minh nếu I + A, I + B ∈ F thì I + AB ∈ F. Giả sử, I +AB ∈ / F thì I +AB = m với m ∈ Y nào đó. Mà I +AB ⊆ I +A 16