Mô tả:
DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN
1
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Bảng các nguyên hàm :
∝
𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶;
𝑥
𝑥
𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎
𝑥 𝑑𝑥 =
𝑙𝑛𝑎 + 𝐶 ;
𝑑𝑥
𝒄𝒐𝒔2 𝑥
∝+1
(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 =
dx
x2 k
𝑑𝑥
+ 𝐶(∝≠ −1) ;
𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶 ;
= 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝐶 ;
∝
1/
𝑥 ∝+𝟏
𝑑𝑥
𝒔𝒊𝒏2 𝑥
(𝑎𝑥 + 𝒃)∝+𝟏
𝑎(∝ +1)
= 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 ;
𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶
𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶 ;
= −𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝐶 ;
+ 𝐶(∝≠ −1) ;
1
𝑓 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶;
𝑎
cos
(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 =
ln x x 2 k C;2/ x 2 kdx
1
𝑎
sin
(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶
x 2
k
x k ln x x 2 k C
2
2
I.Nguyên hàm của hàm số lượng giác:
sin5 x sin6 x
C .
5
7
2cos9 x cos 7 x cos11 x
C
2/ sin5 xcos 6 xdx (1 cos 2 x)2 cos 6 xd cos x
9
7
11
2
1
1 cos 2 x 1 cos 2 x
4
2
3/ sin xcos xdx
dx (1 cos 2 x)(1 cos 2 2 x)dx
.
2
2
8
1
1 cos 4 x
1 cos 2 x
cos6 x
1
sin2 x sin4 x sin6 x
3
1
cos
2
x
cos
2
x
dx
1
cos
4
x
dx
2
x
8
2
16
2
2
32
2
2
6
1/
4
3
4
2
sin xcos xdx sin x(1 sin x)dsinx
4/
cos xsin8xdx 4 sin8x(3cos x cos3x)dx 8 3(sin9x sin7 x) sin11x sin5x dx
3
1
1
1 cos9 x 3cos7 x cos11x cos5 x
C .
8 3
7
11
5
dx
d cos x
1
1
1
1 cosx 1
C ln tan( x / 2) C
5/
dx ln
2
sin x
1 cos x
2 cos x 1 cos x 1
2 cosx 1
2sin x 3cosx
a(3sinx 4cosx) b(3cosx 4sinx)
6
17 d (3sinx 4cosx)
dx
dx dx
6/
3sinx 4cosx
3sinx 4cosx
25
25 3sinx 4cosx
6
x ln 3sinx 4cosx C .
25
DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN
2
7/
dx
cos xdx
1 (sinx cosx) (sinx cosx)
1
dx
x ln sinx cosx C .
1 tanx sinx cosx 2
sinx cosx
2
4sinx
( sinx cosx) ( sinx cosx)
d ( x / 4)
dx
2
dx
2 ( sinx cosx)3 d (sinx cosx)
3
2
(sinx cosx)3
(sinx cosx)
cos ( x / 4)
2
tan( x / 4) (sinx cosx) C .
dx
dx
d ( x / 2)
9/
2
2
3 5sinx 3cosx
6cos ( x / 2) 10sin( x / 2)cos( x / 2)
cos ( x / 2)(3 5tan( x / 2))
dtan( x / 2)
1
3 5tan( x / 2) 5 ln 3 5tan( x / 2) C .
dx
dx
dtan( x / 2)
10/
2
2
2
7cosx 6sinx 9
16cos ( x / 2) 12sin( x / 2)cos 2sin ( x / 2)
tan ( x / 2) 6tan( x / 2) 8
1
1
1
1 tan( x / 2) 4
C.
dtan( x / 2) ln
2 tan( x / 2) 4 tan( x / 2) 2
2 tan( x / 2) 2
8/
sin2 x
sin2 x dx
tan3 x
2
dx
tan
xdtanx
C .
cos 4 x cos 2 x cos 2 x
3
12/ tan3 xdx (tan3 x tanx tanx)dx tanx(tan 2 x 1)dx sinxdx / cosx (tan2 x) / 2 ln cosx C .
11/
13/
cot
4
xdx (cot 4 x cot 2 x cot 2 x 1 1)dx cot 2 x(cot 2 x 1)dx (cot 2 x 1)dx dx
(cotx)3 / 3 cotx x C .
dx
dx
dx
cot ( x / 2 / 8)
C .
14/
2 sinx cosx
2 2cos( x / 4)
2 2sin 2 ( x / 2 / 8)
2
sin3 x sinx
sin3 x sinx cotx
3
3
15/
cotxdx
dx 3 cot 2 xcotxdcotx cot 5 / 3 xdcotx cot 8 / 3 x C .
3
3
2
sin x
sin x
sin x
8
4
dx
tanxdx
tan3 / 4 xdtanx 4 4 tanx C .
16/
2
4
tanxcos x
sin3 xcos5 x
sinx cosx
3
17/ 3
dx ( sinx cosx)1/ 3 d (sinx cosx) (sinx cosx)2 / 3 C .
2
sinx cosx
2
cos 2 xdx
1
dsin2 x
1 d (t 2) 1
(t sinx cosx 2)
18/
( sinx cosx 2)3 2 ( sinx cosx 2)3 2
t3
t 2
1 1
dt
C.
t3
t2 t
cosxdx
dsinx
1
dsinx
2u
3
C
(
sinx
sinu ) .
19/
2
2
4
2
2 4cos 2 x
2
2
6 8sin x
3/ 4 sin x
1 sin2 x
dx
2sinxcosx
dx
dx tanx 2ln cosx C .
20/
2
2
cos x
cos x
cos 2 x
dx
dx
(1 tan 2 x)3 dtanx
t 4 3t 2
1
3
1
3
(
t
3
t
3
t
t
)
dt
3ln
t
C .
21/
sin3 xcos5 x cos8 xtan3 x
tan3 x
4
2
2t 2
3
DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN
3
3sinx 4cosx
3dcosx
4dsinx
2
2
22/
3sin x 4cos xdx 3 cos x 4 sin x
ln
2 sinx
3t C (cosx 3tant ) .
2 sinx
23/
2
2
3d ( 3tant )
1
1
dsinx
2
3 3tan t
2 sinx 2 sinx
cosx cos3 xdx( x 0; / 2) cosxdcosx 2cos3/ 2 x / 3 C .
cos 2 xdx
1
cos 2 xdx
1 cos 2 (t / 3)
1 1
sinx 3cosx 2 sin( x / 3) 2 sint dt 8 sint 2 3cost 2sint dt
1
t
ln tan 2 3sint 2cost C (t x / 3) .
8
2
24/
tdt /(b 2 a 2 )
a 2cos 2 x b 2 sin2 x
(a b )
C.
25/
t
b2 a 2
a 2cos 2 x b2 sin2 x
cosx sinx
d ( sinx cosx)
dtant
dt
t
dx
ln tan( ) C (tant sinx cosx) .
26/
cost
4 2
2 sin2 x
1 ( sinx cosx)2
1 tan 2t
sin x cos xdx
27/
28/
2
2
tan2 x cot 2 x 2dx( x (0; / 4)) (cotx tanx)dx
sin2 xdx
2sinxdsinx
2cos 2 x
dx ln sin2 x C .
sin2 x
2
2
d 1 3sin2 x
1 3sin2 x C .
3
3
cos 2 x 4sin2 x
1 3sin2 x
sin ( x a) ( x b) dx
dx
1
29/
(a b k )
cos( x a)cos( x b)
sin(a b) cos( x a)cos( x b)
sin( x a)
1
sin( x b)
1
cos( x b)
d ( x a)
d ( x b)
ln
C .
sin(a b) cos( x a)
cos( x b)
sin(a b) cos( x a)
cos ( x a) ( x b) dx
dx
1
(a b k )
30/
sin( x a)cos( x b)
2
cos(a b)
sin( x a)cos( x b)
cos( x a)
1
sin( x b)
1
sin( x a)
d ( x a)
d ( x b)
ln
C .
cos(a b) sin( x a)
cos( x b)
cos
(
a
b
)
cos
(
x
b
)
BÀI TẬP :
Tìm các nguyên hàm sau:
dx
cos xdx
sin4 xdx
dx
sin3xsin4 x
cos 3 xdx
sin3 xdx
;2 /
;3/
;4
/
;5/
dx
;6
/
;7
/
1 cosx tanx cot 2x
4cos 2 x 1 cosx cosx ;
cosx
3cosx 7 sinx
1 cos 2 x
cos3 xdx
sinx sin3 x
sinxdx
dx
dx
1 sin 2 x cos 2 x
8/ 2
;9 /
dx;10 /
;11/ 4 ;12 /
;13/
dx;
6
sin x sinx
cos 2 x
1 sin 2 x
sin x
cos x
sinx cosx
dx
4sin4 x
dx
tan 4 x
dx
dx
14 / 2
;15/
dx
;16
/
;17
/
dx
;18/
;19
/
2
3
1 cosx
sinxcos x cos 2x
sin2x 2sinx cosx 2;
sin xcos x
sin2 x sinx
sinx cosx
dx
20 /
dx;21/
dx;22 /
;23/ 6 1 cos 3 x sin xcos 5 x .
cos( x a)cos( x b)
1 3cosx
3 sin2 x
1/
DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN
4
24 /
dx
sinxdx
sinxcosxdx
.
;25/ tanxtan( a x) dx;26 /
;27 /
sinx cosx
sinx cosx
2 sin2 x
II.Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ:
1/
a
xdx
b
dx
x 1
C.
2x 1
dx
( x 1)(2 x 1) x 1 2 x 1 dx x 1 2 x 1 ln
𝑥𝑑𝑥
2𝑥 − 1 (3𝑥 + 4)
;
𝑑𝑥
;
𝑥 2 + 𝒂2
𝑑𝑥
𝑥 2 2𝑥 + 3
𝑑𝑥
;
;
𝑥 2 − 𝒂2
𝑑𝑥
2𝑥 − 3 (3𝑥 + 2)
dx
dx 2
1 1
1
1
x2
2/
C.
dt ln 2
x( x 2 2) 2 x 2 ( x 2 2) 4 t t 2
4 x 2
dx
dx10
1
dt
1 t (t 1)
1 1
1
dt
3/ 10
dt
2
10
10
2
2
2
10 x ( x 1) 10 (t 1)t 10 (t 1)t
x( x 1)
10 (t 1)t t 2
1 1 1 1
1 t 1 1
1
x10
1
dt
ln
C
ln
10 C .
2
10
10 t 1 t t
10
t
t
10 x 1 x 1
4/
x2 1
1 1/ x 2
d ( x 1/ x)
1 1
1
1
t 2
dx
dx
dt
ln
4
2
2
2
x 1 x 1/ x
( x 1/ x) 2 2 2 t 2 t 2 2 2 t 2 C .
4′)
5/
6/
7/
8/
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 ; 4")
𝑥𝟒 + 1
𝑑𝑥
𝑥 +1
𝟒
dx
d ( atant )
adt / cos2 t 1 1 cos2t
1
sin2 t
(
a
0)
dt
t
C.
( x2 a 2 )2
(a 2tan2t a2 )2 a 4 / cos4t a3 2
2 a3
2
x 2 dx
1 t 2 4t 4
1 1
1
4
(2 3x)10 27 t10 dt 27 2t 8 7t 7 9t 9 C (t 2 3x) .
x4 1
x4 x2 1 x2
dx
1 dx3
3
dx
dx
x6 1 x6 1
x2 1 3 x6 1 arctanx ( arctanx ) / 3 C .
( x3 x)dx
(1 1/ x 2 )dx
d ( x 1/ x )
dt
1
t2
x6 4 x4 4 x 2 1 x3 1/ x3 4( x 1/ x) ( x 1/ x)3 ( x 1/ x) t (t 2 1) 2 ln t 2 1 C .
BÀI TẬP:
Tìm các nguyên hàm sau:
1/
dx
x3dx
x2 1
x 2 dx
( x 2 1)dx
x 2001dx
;2
/
;3/
dx
;4
/
;5/
;6
/
( x 2 k )2 x 4 x 2 1
( x 1)5 ( x2 5x 1)( x 2 3x 1) (1 x 2 )1002 .
x9 3x5
DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN
5
III. Nguyên hàm của các hàm số có chứa ẩn dưới dấu căn thức:
1/
x 1
(t 3 1) / 3 1 2
1 4
1 t5 2
dx
t dt (t 2t )dt t C (t 3 3x 1) .
3
t
3
3 5
3x 1
xdx
(t 2 1)tdt 1
1 t3 t 2
(
t
1)
tdt
C (t 2 x 1) .
1 2 x 1 2(1 t ) 2
2 3 2
x3dx
(t 2 2)tdt t 3
3/ 2
2t C (t x2 2) .
t
3
x 2
2/
(3t 2dt ) / 4 3 t 2 1 1
3
1
3 t2
3 4
dt
t
1
dt
t
ln
t
1
C (t x 1) .
1 3 x4 1 1 t
4
t 1
4
t 1
4 2
dx
x 1 x 1
1
5/
dx ( x 1)3 / 2 ( x 1)3 / 2 C .
2
3
x 1 x 1
t3 t 2
dx
dt 6
t 3dt
1
2
6
6/
6
6
t
t
1
dt
6
t ln t 1 C (t x ) .
3
2
3
t t
t 1
t 1
x x
3 2
x3dx
4/
tdt
1 1
1
1 t 1
1
x2 1 1
2
C ln
C .
7/
dt ln
(t 1)t 2 t 1 t 1
2 t 1
2
x x2 1
x2 1 1
dx
( x 1)dx
tdt
1 1
1
1 t 1
8/
2
dt ln
C.
(t 1)t 2 t 1 t 1
2 t 1
( x 1) x 2 2 x 2
( x 1) 2 x 2 2 x 2
dx
dsinx
cosxdx
...
9/
2
sinx cosx
sinx cosx
x 1 x
dx
datant
costdt sint
2 C.
10/
a2
a
( a 2 x 2 )3
(a 2 a 2tan2t )3
dx
11/
cot 3t cot 5t
1 x2
costdsint
2
2
dx
cot
t
(1
cot
t
)
dcott
C .
sin6t
x6
5
3
dx
12/
x
13/
( x 1)
2x x2
d (1/ t )
dt
2t 1 C 2 / x 1 C .
1 2 1
2t 1
t t t2
dx
3 2x x
2
4 /( x 1) 1
d (1/ t 1)
dt
4t 1
C
C .
2
2
1
2
1 2
4t 1
3 2 2 1
t
t
t
t
1 x
1 cos 2t
dx
dcos 2 2t tant.4cos 2t.sin2tdt 8 sin 2tcos 2tdt 2 (cos 4t 2cos 2t 1)dt
1 cos 2t
1 x
0,5sin4t 2sin2t 2t C .
14/
BÀI TẬP:
Tìm các nguyên hàm sau:
DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN
6
dx
dx
xdx
x 2dx
1 x x2
1/ x 4 x dx;2 /
;3/
;4 /
;5/
;5'/
dx
(1 x 2 )3 / 2
2 x 1 4 x 1 1 x 1 x2
2 x 2 x
1 x2
x3dx
dx
dx
x3dx
dx
.
6/
;7 /
;8/
;9 / (1 x 2 )3 dx;10 /
;11/
3 2
x 1 x2
(2 x 2 1) x 2 1
( x x 2 1)2
x 1
(1 x n ) n 1 x n
2
2
IV. Nguyên hàm của các hàm số mũ và hàm số Lôgarít:
dx
de x
1 1
1 x 1
ex
de
ln
C.
e x 2 e x (e x 2) 2 e x e x 2
2 ex 2
e x dx
(e x 3)3 / 2 d (e x 3) 2(e x 3)1/ 2 C 2 / e x 3 C .
2/
x
3
(e 3)
1/
e2 x dx
e x de x
1
3/ x
x
x
1 de x ln(e x 1) e x C .
e 1
e 1
e 1
dx
1
de2 x
1 1
1 2x 1
e2 x
4/ 2 x
2x 2x
2x 2x
de
ln
C .
e 3 2 e (e 3) 6 e
e 3
6 e2 x 3
5/
(e
6/ e
7/
e x dx
x
1) e 1
x
3 x 1
2tdt
2d 2tanu
2du 2u C ( e x 1 2tanu ) .
2
(t 2)t
2tan u 2
2
t 2 1 2 t
2
2
dx e d
te dt et (t 1) C e
3
3
3
3
e x dx
e x e x
t
e x dx
e2 x 1
dtant
tan 2t 1
3 x1
( 3 x 1 1) C .
dt
ln tan( / 4 t / 2) C (t arctane x ) .
cost
e x 1e x dx
t.2tdt
1
x
2
2 1 2
dt 2(t u ) C (t e 1 tanu ) .
x
e
t 1
t 1
x 2
x
(1 e )
e dx
dx dx
x t C (t arctane x ) .
9/
2x
2x
1 e
1 e
ln x 3ln x 1
t 2 1 2
2 4 2
2 t5 t3
10/
dx
.t. tdt (t t )dt C (t 3ln x 1) .
x
3
3
9
9 5 3
e x 1dx
8/
11/
dx
ex 1
d (2ln t )
dt
t
ex
1 1
2
2
dt
2ln
C
2ln
C .
t 1
t (t 1)
t 1
t t 1
ex 1
V. Tìm nguyên hàm theo phương pháp tính từng phần:
1/ Các nguyên hàm dạng: xdf ( x) , ví dụ: xsin2 dx;
2/ Các nguyên hàm dạng:
f ( x)dx , ví dụ: ln
2
xdx
xsinx
2
;
xtan
xdx
;
cos 2 x dx .
sin2 x
xdx; ln( x x 2 k )dx; ln 2 ( x x 2 k )dx;
DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN
7
3/ sinx ln(1 cosx) dx ln(1 cosx) d (1 cosx) (1 cosx)1 ln(1 cosx) C .
4/ cosx ln(1 cosx) dx ln(1 cosx) dsinx sinxln(1 cosx) x sinx C .
5/ F sin(ln x)dx xsin(ln x) cos(ln x) dx xsin(ln x) xcos(ln x) F
F x sin(ln x) cos (ln x) / 2 C .
1 x
x2 1 x
x2
x2 1 x
1 x 1
6/ x ln
dx ln
dx ln
x ln
C.
2
1 x
2 1 x
1 x
2 1 x
2 x 1
1/ cos 2 x
dx cosx ln(tanx) ln tan( x / 2) C .
tanx
8/ e x cosxdx ex ( sinx cosx) / 2 C; ex sinxdx ex ( sinx cosx) / 2 C .
7/ sinx ln(tanx)dx cosx ln(tanx) cosx
9/
xe x
xe x
ex
x
1
x
dx
xe
d
(
x
1)
e
dx
C .
( x 1)2
x 1
x 1
10/
x ln( x x 2 k )
dx ln( x x 2 k )d x 2 k x 2 k ln( x x 2 k ) x C .
x k
1
dx
dx
dx x
dx
x
1
11/ 2
2
2
C .
dx 2
ln x
ln x
ln x ln x
ln x
ln x
ln x ln x
1 sinx x
e x dx
12/
e dx
e xtan( x / 2)dx e x dtan( x / 2) tan( x / 2)de x e xtan( x / 2) C .
2
1 cosx
2cos ( x / 2)
2
BÀI TẬP:
Tìm các nguyên hàm sau:
1/
xcosxdx
ln( sinx)
x sinx
x 2e x dx
3 x2
2x
2
;2
/
cos
(ln
x
)
dx
;3/
x
e
dx
;4
/
e
sin
xdx
;5/
dx
;6
/
dx
;7
/
sin2 x
1 cosx
( x 2)2 .
(1 sinx)2
VI. Một số tích phân đặc biệt:
1/ Nếu f(x) là một hàm liên tục trên đoạn 0; thì: xf ( sinx)dx
1
0
1
2 0
f ( sinx)dx .
xsinxdx
dcosx
dt
2
VD:
.
arctant
2
2
2
1
cos
x
2
1
cos
x
2
1
t
2
2
4
4
4
1
0
0
1
2/ Nếu f(x) là một hàm liên tục trên đoạn 0;1 thì:
/2
0
/2
f ( sinx)dx
0
f (cosx)dx .
DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN
8
/2
Áp dụng:
0
sinn xdx
sinn x cos n x
/2
/2
0
cos n xdx
1
n
n
sin x cos x 2
cosxdx
;
n
sinx cosx 4
n
n
0
/2
(sin n x cos n x)dx
;
sin n x cos n x
4
0
/2
(
/2
n
n
0
sinxdx
sinx n cosx
/2
n
sinx cosx )dx
n
0
(sin x cos x)dx 0 .
n
n
0
a
3/ Nếu f(x) là một hàm liên tục và lẻ trên đoạn a; a thì:
f ( x)dx 0 .
a
a
Áp dụng: ln
2 n 1
/3
( x x 1).x dx 0;
2
2m
a
1/ 2
ln
n 1
1/ 2
tan
2 n 1
/3
x.x dx 0; x 2 n1cos m xdx 0;
a
/4
x
a
2m
/4
1 x
e e
x 3x 7 x 5 x 1
dx
.cos m xdx 0; x x cos m xdx 0;
dx
2.
2
2
1 x
e
e
cos
x
cos
x
1
/ 4
/ 4
1
x
7
5
4/ Nếu f(x) là một hàm liên tục và chẵn trên đoạn a; a thì:
3
a
a
a
f ( x)dx
f ( x)dx
1 bx
0
Áp dụng:
/2
cos 3 xdx
a/
x
1
2
/ 2
/2
cos xdx (1 sin x)dsinx 2 / 3 .
3
2
0
1
0
1
e e
dx (e x e x )dx (e x e x ) e 1/ e .
x
o
1 3
1
0
1
b/
x
/2
x
/2
sin4 xcos5 x
c/
dx
x
1
e
/ 2
/2
1
sin xcos xdx t
4
5
0
4
(1 t 2 )2 dt 1/ 9 2 / 7 1/ 5 8/ 315 .
0
a T
5/ Nếu f(x) là một hàm liên tục và tuần hoàn với chu kì T > 0 thì:
a
200
Áp dụng:
0
200 2
0
f ( x)dx f ( x)dx .
0
2
2
0
0
0
1 cosxdx 100 1 cosxdx 100 2 cos( x / 2) dx 200 2 cost dt
/2
T
costdt
costdt
200 2(1 1) 400 2 .
/2
2
x p / 2 dx
x
VII.Một số bài toán lẻ: 1/
;2 /
dx;3/
p2
1 x
4 x
0
/2
ln(1 x)
x sinx
dx;5/
dx .
2
x 1
1 cosx
0
1
ln(tanx)dx;4 /
0
9
DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN
- Xem thêm -