Nguyên hàm và tích phân

  • Số trang: 9 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 28 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN 1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Bảng các nguyên hàm : ∝ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶; 𝑥 𝑥 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛𝑎 + 𝐶 ; 𝑑𝑥 𝒄𝒐𝒔2 𝑥 ∝+1 (𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = dx x2  k 𝑑𝑥 + 𝐶(∝≠ −1) ; 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶 ; = 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝐶 ; ∝ 1/  𝑥 ∝+𝟏 𝑑𝑥 𝒔𝒊𝒏2 𝑥 (𝑎𝑥 + 𝒃)∝+𝟏 𝑎(∝ +1) = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 ; 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶 ; = −𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝐶 ; + 𝐶(∝≠ −1) ; 1 𝑓 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶; 𝑎 cos⁡ (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 =  ln x  x 2  k  C;2/  x 2  kdx  1 𝑎 sin⁡ (𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 x 2 k x  k  ln x  x 2  k  C 2 2 I.Nguyên hàm của hàm số lượng giác: sin5 x sin6 x  C . 5 7 2cos9 x cos 7 x cos11 x   C 2/  sin5 xcos 6 xdx    (1  cos 2 x)2 cos 6 xd cos x  9 7 11 2 1  1  cos 2 x  1  cos 2 x 4 2 3/  sin xcos xdx    dx   (1  cos 2 x)(1  cos 2 2 x)dx  . 2 2 8   1  1  cos 4 x 1  cos 2 x cos6 x  1  sin2 x sin4 x sin6 x   3 1  cos 2 x   cos 2 x dx  1   cos 4 x  dx  2 x          8  2 16   2 2  32  2 2 6   1/ 4 3 4 2  sin xcos xdx   sin x(1  sin x)dsinx  4/  cos xsin8xdx  4  sin8x(3cos x  cos3x)dx  8  3(sin9x  sin7 x)  sin11x  sin5x dx 3 1 1 1  cos9 x 3cos7 x cos11x cos5 x       C . 8 3 7 11 5  dx d cos x 1 1 1 1 cosx  1        C  ln tan( x / 2)  C 5/  dx  ln 2 sin x 1  cos x 2  cos x  1 cos x  1  2 cosx  1 2sin x  3cosx a(3sinx  4cosx)  b(3cosx  4sinx) 6 17 d (3sinx  4cosx) dx   dx    dx   6/  3sinx  4cosx 3sinx  4cosx 25 25 3sinx  4cosx 6  x  ln 3sinx  4cosx  C . 25 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN 2 7/ dx cos xdx 1 (sinx  cosx)  (sinx  cosx) 1   dx   x  ln sinx  cosx   C .  1  tanx  sinx  cosx 2  sinx  cosx 2 4sinx ( sinx  cosx)  ( sinx  cosx) d ( x   / 4) dx  2 dx   2 ( sinx  cosx)3 d (sinx  cosx) 3 2  (sinx  cosx)3   (sinx  cosx) cos ( x   / 4) 2  tan( x   / 4)  (sinx  cosx)  C . dx dx d ( x / 2) 9/    2 2 3  5sinx  3cosx 6cos ( x / 2)  10sin( x / 2)cos( x / 2) cos ( x / 2)(3  5tan( x / 2)) dtan( x / 2) 1  3  5tan( x / 2)  5 ln 3  5tan( x / 2)  C . dx dx dtan( x / 2) 10/    2 2 2 7cosx  6sinx  9 16cos ( x / 2)  12sin( x / 2)cos  2sin ( x / 2) tan ( x / 2)  6tan( x / 2)  8  1 1 1 1 tan( x / 2)  4    C. dtan( x / 2)  ln 2  tan( x / 2)  4 tan( x / 2)  2  2 tan( x / 2)  2 8/ sin2 x sin2 x dx tan3 x 2 dx   tan xdtanx  C .  cos 4 x  cos 2 x cos 2 x  3 12/  tan3 xdx   (tan3 x  tanx  tanx)dx   tanx(tan 2 x  1)dx   sinxdx / cosx  (tan2 x) / 2  ln cosx  C . 11/ 13/  cot 4 xdx   (cot 4 x  cot 2 x  cot 2 x  1  1)dx   cot 2 x(cot 2 x  1)dx   (cot 2 x  1)dx   dx  (cotx)3 / 3  cotx  x  C . dx dx dx cot ( x / 2   / 8)     C . 14/  2  sinx  cosx 2  2cos( x   / 4) 2 2sin 2 ( x / 2   / 8) 2 sin3 x  sinx sin3 x  sinx cotx 3 3 15/  cotxdx   dx   3 cot 2 xcotxdcotx   cot 5 / 3 xdcotx  cot 8 / 3 x  C . 3 3 2 sin x sin x sin x 8 4 dx tanxdx    tan3 / 4 xdtanx  4 4 tanx  C . 16/  2 4 tanxcos x sin3 xcos5 x sinx  cosx 3 17/  3 dx   ( sinx  cosx)1/ 3 d (sinx  cosx)  (sinx  cosx)2 / 3  C . 2 sinx  cosx 2 cos 2 xdx 1 dsin2 x 1 d (t  2)  1   (t  sinx  cosx  2)  18/  ( sinx  cosx  2)3 2  ( sinx  cosx  2)3 2  t3 t 2 1 1 dt   C.  t3 t2 t cosxdx dsinx 1 dsinx 2u 3     C ( sinx  sinu ) . 19/   2 2 4 2 2  4cos 2 x 2 2 6  8sin x 3/ 4  sin x 1  sin2 x dx 2sinxcosx dx    dx  tanx  2ln cosx  C . 20/  2 2 cos x cos x cos 2 x dx dx (1  tan 2 x)3 dtanx t 4 3t 2 1 3 1 3    ( t  3 t  3 t  t ) dt    3ln t  C . 21/   sin3 xcos5 x  cos8 xtan3 x  tan3 x 4 2 2t 2 3 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN 3 3sinx  4cosx 3dcosx 4dsinx 2 2 22/  3sin x  4cos xdx   3  cos x   4  sin x    ln 2  sinx  3t  C (cosx  3tant ) . 2  sinx 23/  2 2 3d ( 3tant ) 1   1    dsinx 2 3  3tan t  2  sinx 2  sinx  cosx  cos3 xdx( x  0; / 2)   cosxdcosx  2cos3/ 2 x / 3  C . cos 2 xdx 1 cos 2 xdx 1 cos 2 (t   / 3) 1  1     sinx  3cosx 2  sin( x   / 3) 2  sint dt  8   sint  2 3cost  2sint  dt   1 t ln tan  2 3sint  2cost   C (t  x   / 3) .  8 2  24/ tdt /(b 2  a 2 ) a 2cos 2 x  b 2 sin2 x (a  b )    C. 25/  t b2  a 2 a 2cos 2 x  b2 sin2 x cosx  sinx d ( sinx  cosx) dtant dt  t dx       ln tan(  )  C (tant  sinx  cosx) . 26/  cost 4 2 2  sin2 x 1  ( sinx  cosx)2 1  tan 2t sin x cos xdx 27/  28/  2 2 tan2 x  cot 2 x  2dx( x  (0;  / 4))   (cotx  tanx)dx   sin2 xdx  2sinxdsinx  2cos 2 x dx  ln sin2 x  C . sin2 x 2 2 d 1  3sin2 x  1  3sin2 x  C .  3 3 cos 2 x  4sin2 x 1  3sin2 x sin ( x  a)  ( x  b) dx dx 1 29/  (a  b  k )   cos( x  a)cos( x  b) sin(a  b)  cos( x  a)cos( x  b)  sin( x  a)  1 sin( x  b) 1 cos( x  b) d ( x  a)   d ( x  b)   ln C .  sin(a  b)  cos( x  a) cos( x  b)  sin(a  b) cos( x  a) cos ( x  a)  ( x  b) dx dx  1 (a  b   k )   30/   sin( x  a)cos( x  b) 2 cos(a  b) sin( x  a)cos( x  b)  cos( x  a)  1 sin( x  b) 1 sin( x  a) d ( x  a)   d ( x  b)   ln C .  cos(a  b)  sin( x  a) cos( x  b) cos ( a  b ) cos ( x  b )  BÀI TẬP : Tìm các nguyên hàm sau: dx cos xdx sin4 xdx dx sin3xsin4 x cos 3 xdx sin3 xdx ;2 /  ;3/  ;4 / ;5/ dx ;6 / ;7 /  1  cosx  tanx  cot 2x  4cos 2 x  1  cosx cosx ; cosx 3cosx  7 sinx 1  cos 2 x cos3 xdx sinx  sin3 x sinxdx dx dx 1  sin 2 x  cos 2 x 8/  2 ;9 /  dx;10 /  ;11/  4 ;12 /  ;13/  dx; 6 sin x  sinx cos 2 x 1  sin 2 x sin x cos x sinx  cosx dx 4sin4 x dx tan 4 x dx dx 14 /  2 ;15/ dx ;16 / ;17 / dx ;18/ ;19 / 2 3  1  cosx  sinxcos x  cos 2x  sin2x  2sinx  cosx  2; sin xcos x sin2 x  sinx sinx  cosx dx 20 /  dx;21/  dx;22 /  ;23/  6 1  cos 3 x sin xcos 5 x . cos( x  a)cos( x  b) 1  3cosx 3  sin2 x 1/  DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN 4 24 /  dx sinxdx sinxcosxdx . ;25/  tanxtan( a  x) dx;26 /  ;27 /  sinx  cosx sinx cosx 2  sin2 x II.Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ: 1/  a xdx b  dx x 1 C. 2x  1 dx  ( x  1)(2 x  1)    x  1  2 x  1 dx   x  1   2 x  1  ln 𝑥𝑑𝑥 2𝑥 − 1 (3𝑥 + 4) ; 𝑑𝑥 ; 𝑥 2 + 𝒂2 𝑑𝑥 𝑥 2 2𝑥 + 3 𝑑𝑥 ; ; 𝑥 2 − 𝒂2 𝑑𝑥 2𝑥 − 3 (3𝑥 + 2) dx dx 2 1 1 1  1 x2 2/    C.   dt  ln 2 x( x 2  2)  2 x 2 ( x 2  2) 4   t t  2  4 x 2 dx dx10 1 dt 1 t  (t  1) 1  1 1    dt   3/  10  dt  2 10 10 2 2 2  10 x ( x  1) 10  (t  1)t 10  (t  1)t x( x  1) 10   (t  1)t t 2  1  1 1 1 1  t  1 1 1  x10 1    dt  ln   C  ln  10   C .   2    10  10  t  1 t t  10  t t 10  x  1 x  1 4/ x2  1 1  1/ x 2 d ( x  1/ x) 1  1 1  1 t 2 dx  dx    dt  ln   4 2 2 2  x  1  x  1/ x  ( x  1/ x)  2 2 2   t  2 t  2  2 2 t  2  C . 4′) 5/ 6/ 7/ 8/ 𝑥2 + 1 𝑑𝑥 ; 4") 𝑥𝟒 + 1 𝑑𝑥 𝑥 +1 𝟒 dx d ( atant ) adt / cos2 t 1 1  cos2t 1  sin2 t  ( a  0)    dt  t   C.  ( x2  a 2 )2  (a 2tan2t  a2 )2  a 4 / cos4t a3  2 2 a3  2  x 2 dx 1 t 2  4t  4 1  1 1 4   (2  3x)10  27  t10 dt  27  2t 8  7t 7  9t 9   C (t  2  3x) . x4  1 x4  x2  1  x2 dx 1 dx3 3 dx  dx    x6  1  x6  1  x2  1 3  x6  1  arctanx  ( arctanx ) / 3  C . ( x3  x)dx (1  1/ x 2 )dx d ( x  1/ x ) dt 1 t2  x6  4 x4  4 x 2  1   x3  1/ x3  4( x  1/ x)   ( x  1/ x)3  ( x  1/ x)   t (t 2  1)  2 ln t 2  1  C . BÀI TẬP: Tìm các nguyên hàm sau: 1/  dx x3dx x2  1 x 2 dx ( x 2  1)dx x 2001dx ;2 / ;3/ dx ;4 / ;5/ ;6 /  ( x 2  k )2  x 4  x 2  1  ( x  1)5  ( x2  5x  1)( x 2  3x  1)  (1  x 2 )1002 . x9  3x5 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN 5 III. Nguyên hàm của các hàm số có chứa ẩn dưới dấu căn thức: 1/  x 1 (t 3  1) / 3  1 2 1 4 1  t5 2  dx   t dt   (t  2t )dt    t   C (t  3 3x  1) . 3 t 3 3 5 3x  1  xdx (t 2  1)tdt 1 1  t3 t 2    ( t  1) tdt      C (t  2 x  1) .  1  2 x  1  2(1  t ) 2  2 3 2  x3dx (t 2  2)tdt t 3 3/  2    2t  C (t  x2  2) . t 3 x 2 2/  (3t 2dt ) / 4 3 t 2  1  1 3  1  3 t2 3 4   dt  t  1  dt   t  ln t  1    C (t  x  1) .    1  3 x4  1  1  t   4 t 1 4  t  1 4 2  dx x 1  x 1 1 5/   dx  ( x  1)3 / 2  ( x  1)3 / 2   C . 2 3 x 1  x 1  t3 t 2  dx dt 6 t 3dt 1   2 6 6/    6  6 t  t  1  dt  6    t  ln t  1   C (t  x ) .   3 2    3 t t t 1 t 1 x x  3 2  x3dx 4/ tdt 1  1 1  1 t 1 1 x2  1  1  2    C  ln C . 7/   dt  ln (t  1)t 2   t  1 t  1  2 t 1 2 x x2  1 x2  1  1 dx ( x  1)dx tdt 1  1 1  1 t 1 8/    2    dt  ln C.  (t  1)t 2  t  1 t  1  2 t 1 ( x  1) x 2  2 x  2 ( x  1) 2 x 2  2 x  2 dx dsinx cosxdx    ... 9/  2 sinx  cosx sinx  cosx x  1 x dx datant costdt sint    2 C. 10/  a2 a ( a 2  x 2 )3 (a 2  a 2tan2t )3 dx 11/   cot 3t cot 5t  1  x2 costdsint 2 2 dx    cot t (1  cot t ) dcott     C .  sin6t  x6 5   3 dx 12/ x 13/  ( x  1) 2x  x2  d (1/ t ) dt     2t  1  C   2 / x  1  C . 1 2 1 2t  1  t t t2 dx 3  2x  x 2  4 /( x  1)  1 d (1/ t  1) dt 4t  1    C   C . 2 2 1 2 1 2 4t  1 3   2  2  1 t t t t 1 x 1  cos 2t dx   dcos 2 2t    tant.4cos 2t.sin2tdt  8 sin 2tcos 2tdt  2 (cos 4t  2cos 2t  1)dt 1  cos 2t 1 x  0,5sin4t  2sin2t  2t  C . 14/  BÀI TẬP: Tìm các nguyên hàm sau: DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN 6 dx dx xdx x 2dx 1  x  x2 1/  x 4  x dx;2 /  ;3/ ;4 /  ;5/  ;5'/  dx (1  x 2 )3 / 2 2 x  1  4 x  1  1  x  1  x2 2 x  2 x 1  x2 x3dx dx dx x3dx dx . 6/  ;7 /  ;8/  ;9 /  (1  x 2 )3 dx;10 /  ;11/  3 2 x  1  x2 (2 x 2  1) x 2  1 ( x  x 2  1)2 x 1 (1  x n ) n 1  x n 2 2 IV. Nguyên hàm của các hàm số mũ và hàm số Lôgarít: dx de x 1 1 1  x 1 ex    de  ln C.  e x  2  e x (e x  2) 2   e x e x  2  2 ex  2 e x dx   (e x  3)3 / 2 d (e x  3)  2(e x  3)1/ 2  C  2 / e x  3  C . 2/  x 3 (e  3) 1/ e2 x dx e x de x  1  3/   x    x    x  1 de x  ln(e x  1)  e x  C . e 1 e 1  e 1  dx 1 de2 x 1  1 1  2x 1 e2 x 4/  2 x   2x 2x    2x  2x de  ln C .  e  3 2 e (e  3) 6  e e 3 6 e2 x  3 5/  (e 6/  e 7/ e x dx x  1) e  1 x 3 x 1 2tdt 2d 2tanu    2du  2u  C ( e x  1  2tanu ) . 2 (t  2)t 2tan u  2 2 t 2 1 2 t 2 2 dx   e d   te dt  et (t  1)  C  e 3 3 3 3 e x dx   e x  e x t  e x dx e2 x  1  dtant tan 2t  1  3 x1 ( 3 x  1  1)  C . dt   ln tan( / 4  t / 2)  C (t  arctane x ) . cost e x  1e x dx t.2tdt 1   x  2  2 1  2 dt  2(t  u )  C (t  e  1  tanu ) . x  e t 1  t 1 x 2 x (1  e ) e dx dx   dx    x  t  C (t  arctane x ) . 9/  2x 2x 1 e 1 e ln x 3ln x  1 t 2 1 2 2 4 2 2  t5 t3  10/  dx   .t. tdt   (t  t )dt      C (t  3ln x  1) . x 3 3 9 9 5 3  e x  1dx   8/ 11/  dx ex  1  d (2ln t ) dt t ex 1 1   2  2   dt  2ln  C  2ln C .  t 1 t (t  1) t 1  t t 1 ex  1 V. Tìm nguyên hàm theo phương pháp tính từng phần: 1/ Các nguyên hàm dạng:  xdf ( x) , ví dụ:  xsin2 dx;  2/ Các nguyên hàm dạng:  f ( x)dx , ví dụ:  ln 2 xdx xsinx 2 ; xtan xdx ;  cos 2 x dx . sin2 x  xdx;  ln( x  x 2  k )dx; ln 2 ( x  x 2  k )dx; DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN 7 3/  sinx ln(1  cosx) dx   ln(1  cosx) d (1  cosx)  (1  cosx)1 ln(1 cosx)  C . 4/  cosx ln(1  cosx) dx   ln(1  cosx) dsinx  sinxln(1 cosx)  x  sinx  C . 5/ F   sin(ln x)dx  xsin(ln x)   cos(ln x) dx  xsin(ln x)  xcos(ln x)  F  F  x  sin(ln x)  cos (ln x)  / 2  C . 1 x x2 1  x x2 x2 1  x 1 x 1 6/  x ln dx  ln  dx  ln  x  ln C. 2 1 x 2 1 x 1 x 2 1 x 2 x 1 1/ cos 2 x dx  cosx ln(tanx)  ln tan( x / 2)  C . tanx 8/  e x cosxdx  ex ( sinx  cosx) / 2  C;  ex sinxdx  ex ( sinx  cosx) / 2  C . 7/  sinx ln(tanx)dx   cosx ln(tanx)   cosx 9/ xe x xe x ex x 1 x dx   xe d ( x  1)    e dx  C .  ( x  1)2  x 1  x 1 10/ x ln( x  x 2  k )  dx   ln( x  x 2  k )d x 2  k  x 2  k ln( x  x 2  k )  x  C . x k 1  dx dx dx  x dx  x  1 11/   2   2    2  C . dx   2   ln x ln x ln x  ln x ln x  ln x  ln x ln x  1  sinx x e x dx 12/  e dx    e xtan( x / 2)dx   e x dtan( x / 2)   tan( x / 2)de x  e xtan( x / 2)  C . 2 1  cosx 2cos ( x / 2) 2 BÀI TẬP: Tìm các nguyên hàm sau: 1/  xcosxdx ln( sinx) x  sinx x 2e x dx 3  x2 2x 2 ;2 / cos (ln x ) dx ;3/ x e dx ;4 / e sin xdx ;5/ dx ;6 / dx ;7 /     sin2 x  1  cosx  ( x  2)2 . (1  sinx)2 VI. Một số tích phân đặc biệt:  1/ Nếu f(x) là một hàm liên tục trên đoạn 0;  thì:  xf ( sinx)dx    1 0 1  2 0 f ( sinx)dx . xsinxdx  dcosx  dt       2 VD:  .       arctant       2 2 2   1  cos x 2 1  cos x 2 1  t 2 2 4 4 4   1 0 0 1 2/ Nếu f(x) là một hàm liên tục trên đoạn 0;1 thì:  /2  0  /2 f ( sinx)dx   0 f (cosx)dx . DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN 8  /2  Áp dụng: 0 sinn xdx  sinn x  cos n x  /2   /2  0 cos n xdx 1  n n sin x  cos x 2 cosxdx   ; n sinx  cosx 4 n n 0  /2 (sin n x  cos n x)dx   ; sin n x  cos n x 4  0  /2 (  /2 n  n 0 sinxdx  sinx  n cosx  /2 n sinx  cosx )dx  n 0  (sin x  cos x)dx  0 . n n 0 a 3/ Nếu f(x) là một hàm liên tục và lẻ trên đoạn  a; a  thì:  f ( x)dx  0 . a a Áp dụng:  ln 2 n 1  /3 ( x  x  1).x dx 0; 2 2m a 1/ 2  ln n 1 1/ 2   tan 2 n 1  /3 x.x dx  0;  x 2 n1cos m xdx  0; a  /4 x a 2m  /4 1 x e e x  3x  7 x  5 x  1 dx .cos m xdx  0;  x  x cos m xdx  0;  dx   2. 2 2 1 x e  e cos x cos x 1  / 4  / 4 1 x 7 5 4/ Nếu f(x) là một hàm liên tục và chẵn trên đoạn  a; a  thì: 3 a  a a f ( x)dx   f ( x)dx 1  bx 0 Áp dụng:  /2 cos 3 xdx a/   x 1  2  / 2  /2  cos xdx   (1  sin x)dsinx  2 / 3 . 3 2 0 1 0 1 e e dx   (e x  e x )dx  (e x  e x )  e  1/ e . x o 1 3 1 0 1 b/ x  /2  x  /2 sin4 xcos5 x c/  dx  x 1  e  / 2  /2 1  sin xcos xdx   t 4 5 0 4 (1  t 2 )2 dt  1/ 9  2 / 7  1/ 5  8/ 315 . 0 a T 5/ Nếu f(x) là một hàm liên tục và tuần hoàn với chu kì T > 0 thì:  a 200 Áp dụng:  0  200 2   0 f ( x)dx   f ( x)dx . 0 2 2  0 0 0 1  cosxdx  100  1  cosxdx  100  2 cos( x / 2) dx  200 2  cost dt   /2  T  costdt    costdt   200 2(1  1)  400 2 .   /2  2 x p / 2 dx x VII.Một số bài toán lẻ: 1/  ;2 /  dx;3/ p2 1 x 4 x 0  /2 ln(1  x) x  sinx dx;5/  dx . 2 x 1 1  cosx 0 1  ln(tanx)dx;4 /  0 9 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN
- Xem thêm -