Tài liệu Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới trong Cn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI −−−−−−−−− VŨ VIỆT HÙNG NGƯỠNG CHÍNH TẮC CỦA HÀM CHỈNH HÌNH VÀ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI TRONG Cn Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Lê Mậu Hải PGS. TS. Phạm Hoàng Hiệp Hà Nội - 2015 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận án này do chính tác giả thực hiện tại Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Lê Mậu Hải và PGS. TS. Phạm Hoàng Hiệp; kết quả của Luận án là mới, đề tài của Luận án không trùng lặp và chưa được công bố trong bất cứ công trình của ai khác. Tác giả Vũ Việt Hùng Lời cảm ơn Trước tiên, bằng tất cả sự kính trọng của mình, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới GS. TSKH. Lê Mậu Hải và PGS. TS. Phạm Hoàng Hiệp - những Người Thầy đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn khoa học giúp tôi hoàn thành Luận án này tại Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Tôi đã vô cùng may mắn thường xuyên nhận được sự chỉ dẫn khoa học nghiêm túc cùng với sự chia sẻ, động viên khích lệ để có được sự tự tin và lòng đam mê ngay từ chặng đường đầu tiên của sự nghiệp nghiên cứu khoa học của mình. Được sinh hoạt và làm việc thường xuyên cùng một tập thể khoa học nghiêm túc, tôi vô cùng cảm ơn các thầy cô, các bạn đồng nghiệp và toàn thể các thành viên của Seminar Lý thuyết hàm Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Chính tại đây, ngoài sự chỉ dẫn, góp ý trực tiếp của các thành viên seminar đối với đề tài nghiên cứu, tôi còn có cơ hội trang bị cho mình về phương pháp nghiên cứu và những hiểu biết sâu sắc hơn về nhiều vấn đề toán học. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn tới GS. TSKH. Nguyễn Văn Khuê - một nhà khoa học, một Người Thầy lớn luôn tận tâm đào tạo các thế hệ khoa học chuyên ngành, trong đó có thế hệ khoa học trẻ chúng tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Xuân Hồng với những góp ý rất có ý nghĩa trong quá trình phát triển Luận án của mình. Tôi xin trân trọng cảm ơn Tập thể lãnh đạo và Hội đồng Khoa học Viện Nghiên cứu Cao cấp về Toán đã hai lần tài trợ và trưng dụng tôi làm việc tại Viện. Đó là những khoảng thời gian quý giá để từ đó tôi có cơ hội hoàn thành một trong những bài báo khoa học nằm trong danh mục công trình của Luận án. Đồng thời, một bài báo khác được sử dụng trong luận án cũng đã may mắn được Quý Viện tuyển chọn và trao giải thưởng công trình toán học năm 2013 nằm trong Chương trình trọng điểm quốc gia về phát triển toán học giai đoạn 2010 - 2020. Tôi xin cảm ơn Trường Đại học Tây Bắc, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội và các đơn vị chức năng đã tạo cho tôi mọi điều kiện thuận lợi về mặt quản lý nhà nước trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin tỏ lòng tri ân đối với những người thầy, những đồng nghiệp, gia đình và bạn bè thân thích là những điểm tựa tinh thần vững chắc, đã giúp đỡ, động viên, khích lệ, chia sẻ những khó khăn và luôn đồng hành cùng sự tiến bộ trưởng thành để hình thành nên sự nghiệp của cá nhân tôi. Hà Nội, tháng 08 năm 2015 Vũ Việt Hùng Mục lục Mở đầu 3 Tổng quan 10 1 Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình trong Cn 1.1 Ngưỡng chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.1.1 Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới . . 20 1.1.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.1.3 Một định nghĩa tương đương cho ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 20 23 Tập mức của hàm chỉnh hình nhiều biến và chứng minh giả thuyết ACC trong C2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.2.1 Diện tích của tập mức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.2.2 Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và thể tích của tập mức . . . 33 1.2.3 Chứng minh giả thuyết ACC trong C2 . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2 Một số đặc trưng của lớp Em (Ω) và áp dụng 41 2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2 Hàm m-điều hòa dưới và toán tử m-Hessian phức . . . . . . . . . . . . . . 41 Hàm m-điều hòa dưới và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.1 1 2 2.2.2 Toán tử m-Hessian phức trên lớp các hàm m-điều hòa dưới bị chặn địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3 Tính chất địa phương của lớp Em (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4 Một số đặc trưng của lớp Em (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.5 Áp dụng cho mở rộng đánh giá tính bị chặn dưới cho ngưỡng chính tắc trong lớp Em (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3 Nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới 73 3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Chứng minh một nguyên lý so sánh cho ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 75 Kết luận và kiến nghị 88 Danh mục các công trình sử dụng trong luận án 90 Tài liệu tham khảo 91 Phụ lục 97 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Một trong những bài toán cổ điển đồng hành cùng quá trình phát triển của Giải tích toán học đó là bài toán liên quan đến tính khả tích. Các vấn đề liên quan đến tính khả tích đặt ra thường là để trả lời các câu hỏi: Hàm đã cho có khả tích hoặc khả tích địa phương hay không ? Với tham số liên quan như thế nào thì hàm phụ thuộc tham số ấy là khả tích ? Tính khả tích địa phương tại một điểm có mối liên hệ như thế nào đối với tính chất của hàm tại điểm đó ? v.v... Trong lý thuyết Hình học Đại số và Giải tích phức, tính khả tích địa phương của hàm số có liên quan chặt chẽ tới tính kì dị của hàm tại điểm đã cho. Khi xét tính khả tích địa phương hàm 1 ,c |f |2c > 0 tại điểm 0, với f là hàm chỉnh hình trên Cn sao cho f (0) = 0 thì rõ ràng chính giá trị c lại cung cấp cho ta nhiều thông tin hữu ích về tính chất của hàm f . Chúng ta có thể đặt ra vấn đề tổng quát là: Với những giá trị nào của t ∈ R thì hàm |f |t khả tích địa phương tại 0 ? Xuất phát từ thực tế hiển nhiên là nếu t0 là số thực thỏa mãn yêu cầu trên thì với mọi t < t0 hàm |f |t đều khả tích địa phương. Một cách tự nhiên, điều này lại dẫn tới bài toán nghiên cứu về giá trị tới hạn của t, là giá trị mà kể từ khi vượt qua nó hàm |f |t không còn khả tích địa phương nữa. Giá trị tới hạn nói trên của t được gọi là ngưỡng chính tắc của hàm f tại 0 và kí hiệu là cf (0). Khái niệm ngưỡng chính tắc được đưa ra và nghiên cứu đầu tiên trong lý thuyết Hình học Đại số. Kể từ đó, vấn đề này đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Giống như số LeLong, ngưỡng chính tắc có mối quan hệ mật thiết với mức độ kì dị của hàm tại một điểm nên việc nghiên cứu tính kì dị của một siêu mặt trong rất nhiều trường hợp khác nhau có thể thông qua nghiên cứu ngưỡng chính tắc của hàm. Hơn nữa ngưỡng chính tắc còn có nhiều tính chất và ứng dụng quan trọng trong lý thuyết Hình học Đại số, chẳng hạn ứng dụng trong chứng minh sự tồn tại của metric Kähler - Einstein trên các đối tượng hình học quan trọng. Đây cũng là vấn đề được nhiều nhà toán học trong nước và trên thế giới quan tâm và nghiên cứu như V. Shokurov, V. Alexeev, J-P. Demailly, J. Kollár, M. 4 Mustata, D. H. Phong, J. Sturm, J. McKernan, Y. Prokhorov, H. Skoda, L. M. Hải, P. H. Hiệp, . . . Có thể thấy, cùng với sự ra đời, phát triển và hoàn thiện của lý thuyết về ngưỡng chính tắc thì Giả thuyết ACC (xem trong mục Tổng quan) về dãy ngưỡng chính tắc đóng một vai trò trung tâm. Đây là giả thuyết được đưa ra và nghiên cứu trong Hình học Đại số dưới nhiều dạng và cách tiếp cận khác nhau. Từ năm 1992 đến năm 2000 Giả thuyết ACC đã được chứng minh cho một số trường hợp đặc biệt của số chiều không gian và được chứng minh trong trường hợp số chiều không gian tùy ý vào năm 2010. Tuy nhiên, tất cả những kết quả nêu trên đều chứng minh thuần túy bằng lý thuyết Hình học Đại số. Một vấn đề khác cũng được quan tâm nghiên cứu là tính bị chặn trên và chặn dưới của ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới và hàm chỉnh hình. Có thể nói tới một trong những kết quả quan trọng là của H. Skoda được cho trong tài liệu [76], trong đó tác giả đã đưa ra đánh giá về tính bị chặn trên và dưới đối với cϕ (x) của hàm đa điều hòa dưới ϕ thông qua số Lelong ν(ϕ, x) của hàm này tại x. Việc thiết lập đánh giá chặt hơn của H. Skoda trên đây có thể nói tới kết quả của J-P. Demailly và P. H. Hiệp trong [29] mà ở đó các tác giả đã cải thiện và cho một đánh giá chặt hơn của H. Skoda trên lớp hàm e E(Ω)một lớp con của lớp hàm đa điều hòa dưới. Mặt khác, trong thời gian gần đây, việc mở rộng lớp hàm đa điều hòa dưới đã được một số tác giả nghiên cứu như Z. Blocki, S. Dinew, S. Kolodziej, A. S. Sadullaev, B. I. Abullaev, L. H. Chinh, . . . Đặc biệt năm 2012, trong công trình [23], L. H. Chinh dựa theo ý tưởng của U. Cegrell đã đưa ra lớp hàm Em (Ω). Một câu hỏi đặt ra là liệu đánh giá của J-P. Demailly và P. H. Hiệp còn đúng cho lớp hàm Em (Ω)- lớp mở rộng thực sự của lớp E(Ω) hay không? Hơn nữa, có thể thấy rằng lớp hàm Em (Ω) được đưa ra bởi L. H. Chinh cho đến nay mới chỉ dừng lại ở việc xây dựng và tồn tại, việc nghiên cứu các đặc trưng quan trọng của lớp hàm này cũng như việc mô tả rõ ràng hơn về lớp này vẫn là một vấn đề cần tiếp tục được quan tâm nghiên cứu. Cuối cùng, vì một số trở ngại về công cụ và kỹ thuật cho nên việc tính ngưỡng chính tắc của các hàm đa điều hòa dưới nói chung vẫn là một bài toán chưa được giải quyết triệt để hoặc chưa có một ý tưởng về phương pháp đánh giá hữu hiệu nào, thay vì tìm 5 cách tính ngưỡng chính tắc, để thu được những thông tin cần thiết. Chẳng hạn, có thể kể đến trong một số ít các công trình của T. Kuwata, J. Kollár, J. Igusa, . . . các tác giả mới chỉ hạn chế việc tính ngưỡng chính tắc cho một số lớp hàm cơ bản (xem [46], [54], [55], [59], [60], . . . ). Như vậy một câu hỏi tự nhiên tiếp theo được đặt ra đó là: Không nhất thiết phải tính ngưỡng chính tắc của hai hàm đã cho, chúng ta vẫn có thể so sánh ngưỡng chính tắc của chúng hay không ? Những hàm như vậy cần thỏa mãn giả thiết gì ? Đối với các hàm đa điều hòa dưới, với điều kiện nào chúng ta có thể so sánh ngưỡng chính tắc của chúng ? Những vấn đề nêu ra trên đây chính là nội dung nghiên cứu của đề tài Luận án: Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới trong Cn . Việc giải quyết các vấn đề nêu ra chắc chắn sẽ đóng góp những kết quả quan trọng và có ý nghĩa trong quá trình nghiên cứu hoàn thiện về ngưỡng chính tắc, đối với cả hai mặt định tính và định lượng, trong lý thuyết Giải tích hàm. 2. Mục đích nghiên cứu của Luận án Từ những kết quả quan trọng đã có về ngưỡng chính tắc cho các lớp hàm chỉnh hình và lớp hàm đa điều hòa dưới và những kết quả về lớp hàm m-điều hòa dưới được nghiên cứu gần đây, chúng tôi đã đặt ra một số mục đích nghiên cứu cho Luận án như sau: - Tìm ra mối quan hệ giữa ngưỡng chính tắc cf (0) và tính chất hình học của tập không điểm {f = 0} của hàm chỉnh hình f . - Tìm cách chứng minh Giả thuyết ACC của V. Shokurov, J-P. Demailly và J. Kollár bằng một phương pháp khác với phương pháp đã áp dụng chứng minh cho một số trường hợp về số chiều không gian. - Chỉ ra một số tính chất địa phương và một đánh giá ngưỡng chính tắc cho lớp hàm Em (Ω)- lớp hàm rộng hơn lớp hàm đa điều hòa dưới. - Tìm ra các đặc trưng quan trọng và các mô tả của lớp hàm Em (Ω). - Tìm các điều kiện khác nhau để có thể so sánh ngưỡng chính tắc của hai hàm đa điều hòa dưới. 6 - Tìm cách chứng minh hoặc mở rộng các kết quả đã có bằng kĩ thuật của Giải tích phức về ngưỡng chính tắc; Nghiên cứu các tính chất của tập mức (chẳng hạn diện tích, thể tích, . . . ) của hàm chỉnh hình một biến cũng như nhiều biến; nghiên cứu điều kiện dừng của ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình tương ứng với các độ đo khác nhau (chẳng hạn độ đo Lebesgue, độ đo Borel, . . . ). Tính toán cụ thể ngưỡng chính tắc đối với một số lớp hàm chỉnh hình, . . . - Cố gắng mở rộng hoặc nêu ra hướng mở rộng các kết quả nghiên cứu trong trường hợp có thể thực hiện được. 3. Đối tượng nghiên cứu - Các tính chất và kết quả cơ bản về ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình cũng như hàm đa điều hòa dưới, hàm m- điều hòa dưới. - Toán tử m-Hessian phức và sự xác định của nó trên Em (Ω)- lớp con của lớp hàm mđiều hòa dưới và các tính chất của các lớp hàm này. - Các lớp hàm chỉnh hình, hàm đa điều hòa dưới hay lớp hàm m- điều hòa dưới và các đánh giá cho ngưỡng chính tắc của chúng. - Các điều kiện có thể so sánh ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới. 4. Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong nghiên cứu toán học cơ bản với công cụ và kỹ thuật truyền thống của lý thuyết chuyên ngành Giải tích hàm và Giải tích phức. - Tổ chức seminar, trao đổi, thảo luận, công bố các kết quả nghiên cứu theo tiến trình thực hiện đề tài Luận án, nhằm thu nhận các xác nhận về ý nghĩa và tính chính xác khoa học của các kết quả nghiên cứu trong cộng đồng các nhà khoa học chuyên ngành trong và ngoài nước. 5. Những đóng góp của Luận án Luận án đã đạt được các mục đích nghiên cứu đề ra. Kết quả của Luận án đóng góp làm giàu thêm cho hệ thống các kết quả, phương pháp, công cụ và kỹ thuật nghiên cứu 7 liên quan đến ngưỡng chính tắc và hàm chỉnh hình, hàm đa điều hòa dưới trong Lý thuyết Giải tích phức thông qua các kết quả chính sau đây: - Chứng minh Giả thuyết ACC cho trường hợp n = 2 bằng công cụ giải tích phức. - Đưa ra và chứng minh được mối quan hệ giữa ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình nhiều biến f và tập không điểm {f = 0} của nó. - Chứng minh tính chất địa phương của lớp hàm Em (Ω). - Đưa ra và chứng minh các đặc trưng giải tích cho lớp hàm Em (Ω). - Chứng minh một mô tả hình học cho tập mức trên đối số Lelong của hàm đa điều hòa dưới trong lớp Em (Ω). - Mở rộng và chứng minh các đánh giá về tính bị chặn dưới của ngưỡng chính tắc của J-P. Demailly và P. H. Hiệp đã chứng minh cho lớp hàm đa điều hòa dưới trong lớp hàm Em (Ω) cũng như các lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn ngoài một tập bỏ qua được với cùng một cận dưới. - Chứng minh một nguyên lý so sánh mạnh hơn của P. H. Hiệp đối với các hàm đa điều hòa dưới thông qua giả thiết khác, cụ thể dưới giả thiết về độ đo Monge-Ampère. - Đưa ra được một số công cụ, kỹ thuật và phương pháp nghiên cứu để đạt được mục đích nghiên cứu đã đề ra. - Đưa ra một số hướng nghiên cứu tiếp theo của đề tài Luận án. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của Luận án Kết quả khoa học của Luận án góp phần hoàn thiện lý thuyết liên quan đến ngưỡng chính tắc và hàm chỉnh hình, hàm đa điều hòa dưới trong Lý thuyết Giải tích phức. Về mặt phương pháp, Luận án góp phần đa dạng hóa và làm giàu thêm hệ thống các công cụ và kỹ thuật nghiên cứu chuyên ngành, áp dụng cụ thể trong đề tài của Luận án và các chủ đề tương tự. 7. Cấu trúc của luận án Cấu trúc của Luận án được trình bày theo đúng quy định cụ thể đối với luận án tiến sỹ của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, bao gồm các phần: Mở đầu, Tổng quan, các chương 8 trình bày các kết quả nghiên cứu, Kết luận, Danh mục công trình trong luận án, Tài liệu tham khảo và Phụ lục. Nội dung chính của Luận án gồm ba chương có tên và nội dung tóm tắt như sau: Chương 1. Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình trong Cn Phần đầu của Chương này chúng tôi dành cho việc trình bày các khái niệm và các tính chất cơ bản về ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới, hàm chỉnh hình và một số kiến thức cơ bản thiết yếu đối với các nội dung trình bày sau đó trong Luận án. Phần lớn nội dung còn lại của Chương trình bày các kết quả nghiên cứu chính đã đạt được, cụ thể chúng tôi phát biểu và chứng minh mối quan hệ giữa ngưỡng chính tắc và tập mức của hàm chỉnh hình nhiều biến và chứng minh Giả thuyết ACC bằng một phương pháp mới với các công cụ của giải tích phức nhiều biến trong trường hợp số chiều không gian n = 2. Chương 2. Một số đặc trưng của lớp Em (Ω) và áp dụng Trong Chương 2 chúng tôi đi sâu vào các vấn đề sau đây: Chứng minh tính chất địa phương cho lớp hàm Em (Ω); Phát biểu và chứng minh về một số tính chất đặc trưng giải tích của lớp hàm này cũng như một số tính chất hình học của tập mức trên đối với hàm thuộc lớp đã cho; Cuối cùng như một hệ quả của tính chất địa phương, chúng tôi chứng minh và mở rộng bất đẳng thức về tính bị chặn dưới của ngưỡng chính tắc của hàm u trong hai lớp hàm Em (Ω) ∩ PSH(Ω) và PSH(Ω) ∩ L∞ (Ω \ E) với cùng một cận dưới, ở đó E là tập con đóng có độ đo Hausdorff bỏ qua được. Chương 3. Nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới Toàn bộ Chương này dành cho việc trình bày kết quả nghiên cứu về nguyên lý so sánh ngưỡng chính tắc. Trong phần đầu của Chương chúng tôi trình bày một số kết quả liên quan phục vụ cho chứng minh nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới. Từ đó, với điều kiện cho dưới dạng độ đo Monge-Ampère, chúng tôi đi chứng minh một nguyên lý so sánh khác đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới. 9 Cuối cùng, trong phần Kết luận và kiến nghị, chúng tôi đã điểm lại các kết quả nghiên cứu chính trình bày trong Luận án. Đây chính là sự khẳng định ý tưởng khoa học của đề tài Luận án đặt ra là đúng đắn và các kết quả nghiên cứu đạt được mục đích đề ra. Do đó, Luận án đã có những đóng góp cho khoa học chuyên ngành, có ý nghĩa khoa học và thực tiễn như đã nêu trong phần Mở đầu là hoàn toàn xác đáng. Để tiếp nối, trong Phần Kiến nghị chúng tôi mạnh dạn nêu ra một vài ý tưởng nghiên cứu tiếp theo phát triển đề đề tài của Luận án này. Chúng tôi hy vọng sẽ nhận được nhiều sự quan tâm và chia sẻ của đồng nghiệp giúp hoàn thiện các kết quả nghiên cứu. 10 Tổng quan 1. Vấn đề thứ nhất: Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và Giả thuyết ACC Khái niệm ngưỡng chính tắc được đưa ra và nghiên cứu đầu tiên trong lý thuyết Hình học Đại số, đây cũng là vấn đề được nhiều nhà toán học đã và đang tiếp tục nghiên cứu và đã đạt được nhiều kết quả quan trọng. Chẳng hạn như V. Shokurov, V. Alexeev, J-P. Demailly, J. Kollár, M. Mustata, D. H. Phong, J. Sturm, J. McKernan, Y. Prokhorov, H. Skoda, L. M. Hải, P. H. Hiệp, . . . (Xem [30], [35], [49], [51], [52], [53], [64], . . . ). Tổng hợp những kết quả trong các công trình quan trọng nói trên, có thể nói cho đến trước những năm 2000, những kết quả về ngưỡng chính tắc được đưa ra chủ yếu cho các hàm chỉnh hình, tuy nhiên cần lưu ý rằng nếu f là hàm chỉnh hình trên Cn thì log |f | là hàm đa điều hòa dưới, từ đó vào năm 2000, J-P. Demailly và J. Kollár (trong [30]) đã đưa ra khái niệm ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới tổng quát hơn, cụ thể như sau: Giả sử ϕ là một hàm đa điều hòa dưới trên Cn . Với mỗi tập compact K ⊂ Cn ta gọi ngưỡng chính tắc của ϕ trên K là số không âm cϕ (K) = sup{c ≥ 0 : e−2cϕ ∈ L1 trên một lân cận của K}. Từ định nghĩa trên, rõ ràng chúng ta chỉ cần quan tâm tới cực điểm ϕ = −∞ trên K. Đồng thời có thể thấy nếu f là hàm chỉnh hình, ta xét ϕ = log |f | thì ta thu được ngưỡng chính tắc cf (0) của f trên tập compact K = {0} như đã nêu trong phần Mở đầu của luận án. Hơn nữa, định nghĩa tổng quát trên đây cho ta một cách nhìn trực quan về con số cϕ (K), nó cho thấy ”ngưỡng” của các số thực dương c mà khi vượt qua ngưỡng đó, hàm e−2cϕ không khả tích trong bất kì lân cận nào của K, hay nói cách khác thể tích của hình trụ vô hạn xung quanh lân cận của K là vô hạn. Mục đích của chúng tôi đặt ra đó là đưa ra một định nghĩa tương đương cho ngưỡng chính tắc cϕ (K), đặc biệt là cf (0) với f là hàm chỉnh hình trong lân cận của 0 để từ đó có thể thuận tiện hơn cho quá trình nghiên cứu, đánh giá về ngưỡng chính tắc. Từ đó chúng tôi cũng đặt ra bài toán nghiên cứu mối quan hệ giữa ngưỡng chính tắc cf (0) và tính chất hình học của tập không điểm {f = 0}. 11 Mặt khác chúng ta đều biết rằng ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình nói riêng và hàm đa điều hòa dưới trên Cn nói chung có nhiều tính chất thú vị, có thể nói tới một trong những kết quả sau đây của J-P. Demailly và J. Kollár được chứng minh trong [30], mà từ đó gợi mở ra nhiều giả thuyết quan trọng về ngưỡng chính tắc, đặc biệt cho hàm chỉnh hình: Giả thuyết về tính nửa liên tục dưới: Giả sử f là hàm chỉnh hình khác không bất kì và K, L là các tập compact tùy ý cho trước sao cho L chứa K trong phần trong của nó. Khi đó với mọi ε > 0 đều tồn tại số thực δ = δ(f, ε, K, L) > 0 sao cho sup |g − f | < δ ⇒ cg (K) ≥ cf (K) − ε. L Từ kết quả trên, J-P. Demailly và J. Kollár trong [30] đã đưa ra Giả thuyết mạnh hơn được phỏng đoán như sau: Giả thuyết về tính nửa liên tục dưới mạnh: Giả sử f là hàm chỉnh hình khác không bất kì và K, L là các tập compact tùy ý cho trước sao cho L chứa K trong phần trong của nó. Khi đó tồn tại số thực δ = δ(f, K, L) > 0 sao cho sup |g − f | < δ ⇒ cg (K) ≥ cf (K). L Cũng trong [30], J-P. Demailly và J. Kollár đã tiếp tục đưa ra một phỏng đoán khác mang tên Giả thuyết mạnh về tính mở sau đây: Giả thuyết mạnh về tính mở: Giả sử U 0 b U b X là các tập compact tương đối trong đa tạp phức X và φ là hàm đa điều hòa dưới trên X sao cho e−φ khả tích trên U . Khi đó tồn tại ε = ε(φ, U, U 0 ) sao cho với mọi hàm đa điều hòa dưới ψ trên X Z kψ − φkL1 (U ) < ε ⇒ e−ψ dV < +∞. U0 Giả thuyết mạnh về tính mở trên đây từ khi ra đời đã trở thành một trong những Giả thuyết được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và cho đến năm 2013, B. Berndtsson trong công trình [12] đã giả quyết cơ bản Giả thuyết trên. 12 Lưu ý rằng, Giả thuyết về tính nửa liên tục dưới mạnh có thể suy ra từ (trong [30]) Giả thuyết ACC - một trong những tính chất đặc sắc của ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình trên Cn được phát biểu ngay sau đây. Trước hết, chúng ta kí hiệu HTn = {cf (0) : f chỉnh hình trong lân cận của điểm 0 ∈ Cn }. Một tính chất thú vị về HTn , chẳng hạn như trong [51], [54], [61], các tác giả đã chứng minh được HTn ⊂ Q ∩ [0, 1]. Bây giờ ta phát biểu Giả thuyết ACC được V. Shokurov, J-P. Demailly và J. Kollár đưa ra trong [54]: Giả thuyết ACC: Mọi dãy tăng trong HTn đều là dãy dừng (từ một chỉ số nào đó). Nói cách khác mọi dãy {cfj (0)}∞ j=1 ⊂ HTn thỏa mãn điều kiện cf1 (0) 6 cf2 (0) 6 · · · đều tồn tại j0 sao cho cfj0 (0) = cfj0 +1 (0) = · · · Giả thuyết ACC về dãy ngưỡng chính tắc được đưa ra và nghiên cứu đầu tiên trong Hình học Đại số dưới nhiều dạng và cách tiếp cận khác nhau. Giả thuyết này được chứng minh đầu tiên bởi V. Shokurov năm 1992 trong [73] với số chiều không gian n = 2 và với n = 3 bởi Alexeev trong [3] năm 1993, tiếp theo vào năm 2000, D. H. Phong và J. Sturm trong [70] chứng minh theo một cách khác trong trường hợp số chiều không gian n = 2. Cuối cùng, phải kể đến công trình [34] năm 2010 của ba tác giả T. Fernex, L. Ein và M. Mustata đã chứng minh kết quả trên cho trường hợp số chiều không gian là tùy ý. Điều đáng chú ý là tất cả những kết quả trên đều chứng minh bằng lý thuyết Hình học Đại số. Ngoài Giả thuyết ACC, có nhiều Giả thuyết thú vị khác về ngưỡng chính tắc, đặc biệt là ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình, có thể nói tới đó là Giả thuyết Gap và Giả thuyết AC sau đây. Trước hết, bắt nguồn từ tính chất cf (0) ∈ [0, 1] nên 1 không thể là giới hạn của một dãy giảm các phần tử của HTn , hơn thế nữa theo Giả thuyết ACC thì rõ ràng 1 không là giới hạn tăng của dãy các phần tử của HTn . Điều đó có nghĩa là: Với mỗi số chiều cố định n đều không tồn tại một phần tử nào của HTn trong khoảng (1 − εn , 1) với εn cố định nào đó. Khẳng định này chính là trường hợp đặc biệt của giả thuyết sau được gọi là Giả thuyết Gap mà phép chứng minh của giả thuyết này có thể xem trong [13], [52] và [53]. 13 Giả thuyết Gap: Với mọi n cố định, đều tồn tại số dương εn > 0 cố định sao cho HTn ⊂ (0, 1 − εn ). Điều chú ý là Giả thuyết Gap trên đây chỉ khẳng định sự tồn tại của εn , nhưng giá trị cụ thể của εn đến nay chưa xác định rõ ràng. Tuy nhiên chúng ta có kết quả định hướng sau đây trong [54] và [78]: Trên lớp hàm Gn = {f : f (z1 , . . . , zn ) = z1b1 + · · · + znbn , ∀b1 , . . . , bn ∈ N} thì εn = 1 , cn+1 −1 ở đó c1 = 2, ck+1 = c1 · · · ck + 1. Như vậy lớp Gn thỏa mãn Giả thuyết ACC và đối với lớp này các εn được xác định. Một điều đặc biệt là, với số chiều n = 1 thì rõ ràng ngoài phần tử 1 thì ε1 = 1 2 bởi HT 1 = { n1 }n∈N∗ , với n = 2 bởi các kết quả của T. Kuwata trong [59] và của J. Kollár trong [54] ta có ε2 = [50] ta có ε3 = 1 . 42 5 6 còn với n = 3 bởi các tính toán của J. Kollár trong Chúng ta có thể thấy εn trên lớp hàm Gn trùng với các giá trị cần tìm trên HT n với n = 1, 2, 3. Điều đó có thể dự đoán rằng giá trị εn nói trên là số tối ưu cho HT n tổng quát - Điều mà cho đến nay chúng ta vẫn chưa biết chính xác. Chúng ta tiếp tục với tập HT n , một trong những quan tâm khác đó là mối quan hệ giữa HT n và HT n−1 . Một lần nữa với tập Gn nói trên ta thấy rằng tập các điểm tụ của Gn chính là Gn−1 . Kết quả này cho ta thấy HT n có vô hạn điểm tụ trong tập Q ∩ [0, 1], hơn nữa nó cũng gợi ý cho ta giả thuyết sau gọi là Giả thuyết AC trong [54]: Giả thuyết AC: Tập các điểm tụ của HT n là HT n−1 \ 1. Có thể thấy Giả thuyết Gap trên đây là một dạng yếu hơn Giả thuyết ACC. Ngược lại có thể chứng minh rằng Giả thuyết Gap và Giả thuyết AC suy ra giả thuyết ACC. Hơn nữa, có thể chứng minh từ Giả thiết ACC cùng với Giả thuyết về tính nửa liên tục dưới (đã được chứng minh) suy ra Giả thiết về tính nửa liên tục dưới mạnh. Điều đó cho thấy Giả thuyết ACC mạnh hơn Giả thuyết về tính nửa liên tục dưới mạnh. Như vậy có thể nói rằng Giả thuyết ACC là giả thuyết mạnh hơn hầu hết những giả thuyết quan trọng về tập HT n . Có thể thấy từ các kết quả về ngưỡng chính tắc, các tác giả như trong các tài liệu [30], [34], [35], [51], [54], [70], [73], . . . đều dành nhiều mối quan tâm cho việc nghiên cứu tập HT n , trong đó đặc biệt là Giả thuyết ACC. 14 Cần nhấn mạnh lại rằng những kết quả đạt được cho tới nay về ngưỡng chính tắc đều được chứng minh bằng phương pháp Hình học Đại số. Khác với các phương pháp và công cụ đã chứng minh trước đó cho Giả thuyết ACC, mục đích tiếp theo của chúng tôi trong luận án đó là đưa ra một chứng minh mới cho Giả thuyết ACC bằng công cụ giải tích phức, trong một số trường hợp đặc biệt của số chiều không gian n. 2. Vấn đề thứ hai: Một số đặc trưng của lớp Em (Ω) và áp dụng cho việc đánh giá tính bị chặn dưới cho ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới Trong lý thuyết đa thế vị, toán tử Monge–Ampère là công cụ đóng vai trò trung tâm và xuyên suốt trong sự phát triển của lý thuyết này. Khái niệm về toán tử này được các nhà toán học tập trung nghiên cứu mạnh mẽ bắt đầu từ nửa sau của thế kỷ thứ XX theo hướng mô tả lớp con lớn nhất các hàm thuộc PSH(Ω) mà toán tử Monge–Ampère vẫn còn định nghĩa được như một độ đo Radon, không âm, liên tục trên dãy giảm. Năm 1975, Y. Siu đã chỉ ra trong [75] rằng không thể định nghĩa được (ddc u)n như một độ đo Borel chính quy đối với hàm đa điều hòa dưới bất kỳ u. Năm 1976 trong [5], E. Bedford và B. Taylor đã định nghĩa được toán tử (ddc .)n trên lớp các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương PSH(Ω) ∩ L∞ loc (Ω). Các kết quả cơ bản khác về lý thuyết đa thế vị liên quan đến vấn đề này có thể tìm thấy trong các tài liệu [6], [48], [56] và [57]. Tiếp tục theo hướng mở rộng miền xác định của toán tử Monge–Ampère phức nói trên, năm 1998, 2004 và 2008, trong các công trình [19], [20] và [21] U. Cegrell đã mô tả nhiều lớp con của PSH(Ω), trong đó có lớp E(Ω), với Ω là miền siêu lồi bị chặn trong Cn là lớp lớn nhất mà trên đó toán tử Monge–Ampère vẫn còn định nghĩa được như là một độ đo Radon đồng thời toán tử này vẫn liên tục trên dãy giảm. Trong thời gian gần đây, việc mở rộng lớp hàm đa điều hòa dưới cũng như nghiên cứu các toán tử vi phân trên các lớp hàm mở rộng này đã được một số tác giả nghiên cứu như Z. Blocki, S. Dinew, S. Kolodziej, A. S. Sadullaev, B. I. Abullaev, L. H. Chinh, . . . Cụ thể họ đã đưa ra và nghiên cứu lớp hàm m-điều hòa dưới và nghiên cứu toán tử m-Hessian phức trên lớp hàm này. Đồng thời họ cũng nghiên cứu toán tử này trên Cn và trên đa tạp Kähler compact. Các kết quả đạt được của Z. Blocki, S. Dinew, S. Kolodziej, A. S. 15 Sadullaev và B. I. Abullaev chủ yếu trên lớp hàm m-điều hòa dưới bị chặn địa phương. Các kết quả cơ bản về hàm m-điều hòa dưới và toán tử m-Hessian có thể xem trong [16], [31] và [72]. Việc mở rộng nghiên cứu toán tử m-Hessian phức trên lớp hàm không nhất thiết bị chặn địa phương được đưa ra và nghiên cứu trong thời gian gần đây đặc biệt phải kể tới kết quả của L. H. Chinh trong [23]. Dựa theo ý tưởng của U. Cegrell, L. H. Chinh đã đưa ra lớp hàm Em (Ω) mở rộng của lớp hàm m-điều hòa dưới bị chặn địa phương. Qua đó tác giả đã chứng minh sự tồn tại của toán tử m-Hessian phức Hm (u) = (ddc u)m ∧ β n−m trên lớp hàm Em (Ω) (xem Định nghĩa 2.2.8) hơn nữa toán tử này xác định như một độ đo Radon trên Ω. Tiếp tục vấn đề nghiên cứu cụ thể hơn về lớp Em (Ω), có thể thấy rằng lớp hàm Em (Ω) được đưa ra bởi L. H. Chinh cho đến nay mới chỉ dừng lại ở việc xây dựng và tồn tại, việc nghiên cứu các đặc trưng quan trọng của lớp hàm này cũng như việc hình dung rõ ràng hơn về lớp này vẫn là một vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu. Từ thực tiễn nói trên, trong luận án này, chúng tôi quan tâm nghiên cứu những tính chất cụ thể hơn của lớp Em (Ω) nhằm mục đích cho việc mô tả cũng như đưa ra các đặc trưng của lớp này. Từ đó áp dụng vào việc đánh giá ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới thuộc lớp này. Một vấn đề khác cũng được quan tâm khi nghiên cứu ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới đó là nghiên cứu định tính và định lượng đối với con số này, đặc biệt là đánh giá về tính bị chặn trên và chặn dưới của ngưỡng chính tắc cho các hàm đa điều hòa dưới và hàm chỉnh hình. Về mặt định tính, một trong những kết quả cơ bản như đã biết trong [30], J-P. Demailly và J. Kollár đã chứng minh tính nửa liên tục dưới của hàm x 7→ cϕ (x) trong tôpô chỉnh hình Zariski. Đồng thời chứng minh được nếu c < cϕ (K) và ψ hội tụ trong L1 tới ϕ thì e−2cψ hội tụ tới e−2cϕ trong L1 trong lân cận D của K. Đây là kết quả chính trong công trình [30] và có thể coi là một trong những đánh giá quan trọng về ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới, mà từ đó dẫn tới nhiều tính chất quan trọng về con số này. Về đánh giá định lượng, cụ thể là tính bị chặn trên và bị chặn dưới cho ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới có thể nói tới một trong những kết quả quan trọng của H. Skoda được cho trong các tài liệu [76], trong đó tác giả đã đưa ra các 16 các đánh giá về tính bị chặn trên và dưới đối với cϕ (x) của hàm đa điều hòa dưới ϕ thông qua số Lelong ν(ϕ, x) của hàm này tại x, cụ thể H. Skoda đã chứng minh 1 n ≤ cϕ (x) ≤ . ν(ϕ, x) ν(ϕ, x) Cho đến nay, có thể nói đây là một trong những đánh giá định lượng quan trọng nhất của cϕ (x), tuy nhiên bằng những ví dụ đơn giản có thể thấy đánh giá trên đây của H. Skoda là không chặt, vì thế việc tìm một đánh giá tốt hơn cho cϕ (x) là một bài toán định lượng quan trọng. Liên quan tới hướng nghiên cứu này phải kể tới kết quả của J-P. Demailly và P. H. Hiệp năm 2013 trong công trình [29] trên tạp chí danh tiếng Acta Math., các tác giả đã chứng minh và cải tiến tính bị chặn dưới của ngưỡng chính tắc cho hàm đa điều e hòa dưới ϕ trong lớp E(Ω) thông qua các số Lelong của (ddc ϕ)j tại 0 tốt hơn rất nhiều so với đánh giá của H. Skoda. Kết quả cho thấy đó là đánh giá chặt và tốt nhất cho tính bị e chặn dưới của ngưỡng chính tắc trên lớp E(Ω). Hơn nữa, đánh giá của J-P. Demailly và P. H. Hiệp còn có thể suy ra một số kết quả quan trọng được chứng minh trong [26], [32] và [33], cụ thể ta có cϕ (0) ≥ n X ej−1 (ϕ) j=1 ej (ϕ) , e0 (ϕ) = 1. e Lưu ý rằng, đánh giá của J-P. Demailly và P. H. Hiệp đúng trên lớp hàm E(Ω) - một lớp con các hàm đa điều hòa dưới. Mặt khác, như trên chúng ta đã biết việc mở rộng lớp hàm đa điều hòa dưới phải kể đến các kết quả quan trọng trong công trình [23] của L. H. Chinh năm 2012 đã đưa ra lớp hàm Em (Ω), đây là một lớp hàm mới xét trong lớp hàm điều hòa dưới rộng hơn đối với lớp các hàm đa điều hòa dưới. Một câu hỏi đặt ra đó là liệu đánh giá của J-P. Demailly và P. H. Hiệp còn đúng cho lớp hàm Em (Ω)- lớp mở rộng thực sự của lớp E(Ω) hay không? Hay có thể đưa ra một điều kiện đủ để chúng ta vẫn thu được đánh giá về tính bị chặn dưới cho ngưỡng chính tắc của J-P. Demailly và P. H. Hiệp hay không? Mặt khác, chúng ta cũng thường xuyên đặt câu hỏi tự nhiên rằng: Một hàm ϕ ∈ J (Ω) lớp các hàm nào đó trên miền Ω thì liệu mỗi miền D b Ω ta có ϕ ∈ J (D) hay không? Tính chất quan trọng này, có thể hiểu đơn giản là tính chất địa phương của lớp J (Ω). Rõ