Nghiên cứu và ứng dụng phần mềm toán học trong dạy và học thống kê

  • Số trang: 13 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 280 |
  • Lượt tải: 0
thuvientrithuc1102

Đã đăng 15337 tài liệu

Mô tả:

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG 2 Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. TRẦN QUỐC CHIẾN HỒ THỊ LỆ SƯƠNG Phản biện 1: PGS.TS. NGUYỄN CHÁNH TÚ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG PHẦN MỀM TOÁN HỌC Phản biện 2: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG TRONG DẠY VÀ HỌC THỐNG KÊ Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 Luận văn ñược bảo vệ tại Hội ñồng bảo vệ chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 01 tháng 07 năm 2012. TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng, Năm 2012 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện Trường Đại học Sư Phạm,Đại học Đà Nẵng. 3 MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Môn Xác suất thống kê ñược ñánh giá là một môn khó với cả người dạy lẫn người học. Câu hỏi ñặt ra là: làm thế nào ñể việc dạy và học môn Xác suất thống kê trở nên thuận lợi hơn? Có hiệu quả hơn? Maple là một phần mềm Toán học có khả năng ứng dụng hầu hết các nội dung của môn Toán không những trong nhà trường phổ thông mà 4 - So sánh, ñối chiếu các tài liệu liên quan. - Thiết kế chương trình. 5. KẾT QUẢ DỰ KIẾN. - Sẽ trở thành một tài liệu tham khảo bổ ích cho người dạy và người học trong phần học thống kê thuộc môn học Toán kinh tế và Lý thuyết xác suất thống kê. 6. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ Ý NGHĨA THỰC TIỄN. còn trong các trường ñại học và cao ñẳng. Với khả năng tính toán, minh 6.1. Ý nghĩa khoa học. họa của mình, Maple là công cụ rất tốt, giúp cho giáo viên, học sinh và - Góp một phần nhỏ trong việc nghiên cứu maple ñể nhằm cải tiến sinh viên thuận lợi cho việc tìm hiểu và học tập môn Toán. Trên cơ sở ñó, tôi ñã chọn ñề tài “Nghiên cứu và ứng dụng phần mềm toán học trong dạy và học thống kê”. 2. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU. 2.1. Đối tượng. - Các tài liệu về xác suất thống kê và tài liệu về maple. phương pháp dạy học trong trường phổ thông, cao ñẳng và ñại học. 6.2. Ý nghĩa thực tiễn. - Vận dụng trong công việc giảng dạy của bản thân trong trường cao ñẳng. 7. THỤC NGHIỆM SƯ PHẠM. - Tính linh ñộng và mềm dẻo: người học bị thu hút bởi những 2.2. Phạm vi nghiên cứu. thông tin và quá trình xử lý thông tin trên máy tính, từ ñó truy tìm - Các ứng dụng của maple trong việc dạy thống kê. nguyên nhân vấn ñề. 3. MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ. - Tính hệ thống: người học có thể ñiều chỉnh nhận thức của 3.1. Mục tiêu. mình trong hệ thống kiến thức ñể nắm ñược vấn ñề, ñiều hòa những - Giúp người học nắm ñược các tính năng cơ bản của maple mâu thuẫn giữa sự hoang mang bối rối trước vấn ñề mới và tính tò và các ứng dụng của nó trong học phần thống kê. 3.2. Nhiệm vụ. - Hệ thống một số kiến thức cơ bản của xác suất thống kê và mò muốn khám phá. 8. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN. Ngoài phần mở ñầu, kết luận và tài liệu tham khảo trong luận maple ñể làm cơ sở cho việc nghiên cứu ứng dụng của maple trong văn gồm có các chương như sau : giảng dạy phần thống kê. CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. CHƯƠNG 2. GIỚI THIỆU VỀ MAPLE - Tổng hợp và phân tích theo cấu trúc logic của các tài liệu thu thập ñược. CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG MAPLE TRONG DẠY THỐNG KÊ 5 CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ 6 F ( x ) = FX ( x ) = P[X < x ], x ∈ ñược gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X. 1.1. XÁC SUẤT. Định nghĩa 1.1.3.3. Biến ngẫu nhiên X ñược gọi là biến ngẫu nhiên 1.1.1.Những khái niệm cơ bản về xác suất. rời rạc nếu tập hợp các giá trị của X có hữu hạn hoặc vô hạn ñếm Định nghĩa 1.1.1.1 Khi quan sát một hiện tượng tự nhiên hay làm ñược các phần tử. một thí nghiệm và chú ý ñến kết quả của hiện tượng hay thí nghiệm Bảng phân bố xác suất của X ñó. Khi ñó ta nói rằng ñã thực hiện một phép thử. - Kết quả ñơn giản nhất ñược gọi là biến cố sơ cấp. - Tập hợp gồm tất cả các biến cố sơ cấp ñược gọi là không gian các biến cố sơ cấp. Ta thường dùng: ω ñể ký hiệu biến cố sơ cấp; X x1 x2 … xi … P p1 p2 … pi … ở ñây xi ≠ x j , i ≠ j, pi > 0, ∑ pi = 1 Ω ñể ký hiệu không gian biến cố sơ cấp; A, B, C,… ñể ký hiệu biến cố. 1.1.2. Xác suất của biến cố. Định nghĩa 1.1.2.1.( Định nghĩa xác suất theo cổ ñiển) i Hàm phân phối xác suất của X lúc này ñược xác ñịnh bởi F ( x ) = ∑ P( X = xi ) = ∑ pi xi < x xi < x Giả sử phép thử có n biến cố ñồng khả năng có thể xảy ra, Định nghĩa 1.1.3.4. Biến ngẫu nhiên X ñược gọi là biến ngẫu nhiên trong ñó có m trường hợp ñồng khả năng thuận lợi cho biến cố A. liên tục nếu hàm phân phối của nó liên tục, tương ñương với tồn tại Khi ñó xác suất của A, ký hiệu P(A) ñược ñịnh nghĩa bằng công thức một hàm số f : → sau: P( A) = m n = 1.1.3. Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối. Định nghĩa 1.1.3.1 Cho không gian xác suất (Ω, F , P ) . Hàm số X :Ω→ F (t ) = soá tröôøng hôïp thuaän lôïi cho A soá tröôøng hôïp coù theå xaûy ra ñược gọi là biến ngẫu nhiên nếu X là hàm ño ñược trên σ - ñại số Borel, tức là ∀a ∈ , X −1 (ω )={ω ∈ Ω : X (ω ) < a} ∈ F . Định nghĩa 1.1.3.2 Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác ñịnh trên (Ω, F , P ) , nhận giá trị trên . Hàm số khả tích không âm sao cho với mọi t ∈ t ∫ , f ( x )dx −∞ trong ñó F(t) là hàm phân phối của X. Khi ñó, f(x) ñược gọi là hàm mật ñộ của X. 1.1.4. Phân vị mức xác suất α . Định nghĩa 1.1.4.1 Phân vị mức xác suất α của biến ngẫu nhiên liên tục X là số Xα sao cho P( X < Xα ) = α (*) 7 8 ∞ Xα Hệ thức (*) tương ñương với f ( x )dx = α ∫ Trong ñó Γ( x ) = ∫ u x −1e − u du gọi là hàm Gamma. 0 −∞ Như vậy, Xα là cận trên của tích phân sao cho tích phân bằng α (hay Xα là vị trí cạnh phải của hình thang cong sao cho diện tích hình thang cong bằng α ). Mặc khác, từ hệ thức (*) suy ra F ( Xα ) = α hay Xα = F −1 (α ) . χn . 2 Ký hiệu X Định nghĩa 1.1.5.5 (Phân phối Student). Biến ngẫu nhiên liên tục X ñược gọi là có phân phối Student n bậc tự do nếu nó có hàm mật ñộ  n +1 n +1   x2 − 2 2  1+ fn ( x ) =    , ∀x ∈ n n nπ Γ   2 1.1.5. Một số phân phối xác suất quan trọng. Γ Định nghĩa 1.1.5.1 (Phân phối nhị thức) Định nghĩa 1.1.5.2 (Phân phối Poisson). Định nghĩa 1.1.5.3 (Phân phối chuẩn). Biến ngẫu nhiên X ñược gọi là có phân phối chuẩn với các tham số µ ,σ (σ > 0) (còn viết X N (µ ,σ ) ), nếu hàm mật ñộ của 2 Ký hiệu X T ( n) 1.1.6. Các tham số ñặc trưng của biến ngẫu nhiên. Định nghĩa 1.1.6.1 Giả sử X là một biến ngẫu nhiên xác ñịnh trên nó có dạng f (x) = 1 e − ( x −µ ) 2σ 2 ,x∈ 2 σ 2π Phân phối N(0,1) còn ñược gọi là phân phối chuẩn chính tắc, khi ñó hàm mật ñộ của nó có dạng f (x) = 1 2π e − x 2 2 ,x∈ Định nghĩa 1.1.5.4 (Phân phối khi bình phương). Biến ngẫu nhiên liên tục X ñược gọi là có phân phối khi bình phương n bậc tự do nếu có hàm mật ñộ. E ( X ) = ∫ X dP Ω là kì vọng (hay giá trị trung bình của X). Định nghĩa 1.1.6.2 Giả sử X là biến ngẫu nhiên và tồn tại E(X). Khi ñó, ñại lượng D ( X ) = E ( X − E ( X )) 2 hữu hạn ñược gọi là phương sai của X. Định nghĩa 1.1.6.3 Giả sử X là biến ngẫu nhiên và tồn tại D(X). Khi ñó ñại lượng  −1 − 1 x 2 e 2 neáu x > 0  n  n f (x) =  2 2 Γ   2   0 neáu x ≤ 0 n một không gian xác suất (Ω, F , P ) , ta gọi số x σ (X ) = D( X ) ñược gọi ñộ lệch chuẩn của X. Định nghĩa 1.1.6.4 Mod của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu Xmod là giá trị của biến ngẫu nhiên mà tại ñó phân phối ñạt giá trị lớn nhất. 9 10 Định nghĩa 1.6.5 Med (số trung vị) của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu Xmed là giá trị của biến ngẫu nhiên mà tại ñó giá trị của hàm phân 1 1 phối bằng , nghĩa là F ( X med ) = . 2 2 1.2. THỐNG KÊ. 1.2.1. Lý thuyết mẫu. 1.2.3. Ước lượng. Bài toán ước lượng khoảng ñối với biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Ước lượng khoảng kỳ vọng của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. o Trường hợp phương sai ñã biết. 1.2.2 Các tham số ñặc trưng. Định nghĩa 1.2.2.1 Giả sử cho (X1, X2, …, Xn) là mẫu ngẫu nhiên từ Chọn thống kê U = ( X − µ ). n phân phối F(x). Ta gọi : Thực hiện phép thử ñể có mẫu cụ thể ( x1 , x2 ,..., xn ) , tính ñược x , ta X 1 + X 2 + ... + X n X = n = 1 n n ∑X i i =1 là trung bình mẫu. Định nghĩa 1.2.2.2 Giả sử cho (X1, X2, …, Xn) là mẫu ngẫu nhiên từ phân phối F(x). Ta gọi S (X ) = 2 1 n 2 n ∑(X i − X) i =1 là phương sai chưa ñiều chỉnh và gọi S (X ) = '2 1 n −1 ∑(X i tìm ñược khoảng ước lượng của kỳ vọng là ( x − ε ; x + ε ) . Với ñộ chính xác ε =  Với ε =  S' = S α . 2 ( X − µ ). n S' N (0,1) (x − ε ; x + ε ) . − X) phân phối F(x). Ta gọi 2 1− n ≥ 30 . Chọn thống kê U = Định nghĩa 1.2.2.3 Giả sử cho (X1, X2, …, Xn) là mẫu ngẫu nhiên từ S .U n o Trường hợp phương sai chưa biết. i =1 là phương sai có ñiều chỉnh. S= σ Khi ñó, ta cũng tìm ñược khoảng ước lượng của kỳ vọng là 2 n N (0,1) σ '2 là ñộ lệch tiêu chuẩn mẫu và ñộ lệch tiêu chuẩn ñiều chỉnh mẫu. S' .U 1− n α 2 n < 30 . Chọn thống kê T = ( X − µ ). n S' T (n − 1) Thực hiện phép thử ñể có mẫu cụ thể ( x1 , x2 ,..., xn ) , tính ñược x , ta tìm ñược khoảng ước lượng của kỳ vọng là ( x − ε ; x + ε ) . Với ε = s' n T 1− α 2 (n − 1) 11 12 Wα ñược gọi là miền bác bỏ, α ñược gọi là mức ý nghĩa của Ước lượng khoảng phương sai của biến ngẫu nhiên có phân phối kiểm ñịnh. chuẩn. Thực hiện phép thử ñối với mẫu ngẫu nhiên ( X 1 , X 2 ,..., X n ) , o Trường hợp kỳ vọng ñã biết. ta ñược mẫu cụ thể ( x1 , x2 ,..., xn ) . Tính giá trị của θ$ tại 2 nSo Chọn thống kê χ = 2 σ χ (n) 2 2 ( x1 , x2 ,..., xn ) , ta ñược θ o = θ$ ( x1 , x2 ,..., xn ) ( θ o ñược gọi là giá trị Trong ñó : χ 2 (n) là phân phối khi bình phương bậc tự do n. So2 = 1 n ∑ (X n i =1 1 n ∑ (x n i =1 i Nếu θ o ∈ Wα thì bác bỏ giả thiết Ho, và thừa nhận giả thiết − µ )2 .ni i Thực hiện phép thử ñể có mẫu cụ thể so2 = quan sát). ( x1 , x2 ,..., xn ) , H1 . tính ñược − µ )2 , ta tìm ñược khoảng khoảng ước lượng phương sai là (σ 12 , σ 22 ) . Với σ 1 = 2 nso2 χ 2 α ( n) 1− , σ2 =  Trường hợp 1 : D( X ) = σ 2 ñã biết và n ≥ 30 (hoặc n<30, X có 2 phân phối chuẩn). o Trường hợp kỳ vọng chưa biết. (n − 1)S Chọn thống kê χ 2 = σ '2 Chọn thống kê U = χ 2 (n − 1) 2 Thực hiện phép thử ñể có mẫu cụ thể ( x1 , x2 ,..., xn ) , tính ñược s ta '2 tìm ñược khoảng khoảng ước lượng phương sai là (σ 1 , σ 2 ) . 2 Với σ 12 = (n − 1)s' 2 χ 2 α ( n − 1) 1− , σ 22 = 2 2 (n − 1)s' 2 χ α2 ( n − 1) 2 1.2.4. Kiểm ñịnh giả thiết. 1.2.4.1. Các khái niệm chung về kiểm ñịnh, giả thiết thống kê. o Miền bác bỏ, các sai lầm và mức ý nghĩa của kiểm ñịnh giả thiết. Với α bé tùy ý cho trước (α ∈ (0, 01; 0, 05) ) ta tìm miền Wα sao cho P (θ$ ∈ Wα ) = α . o Bài toán kiểm ñịnh giả thiết về kì vọng. Giả sử biến ngẫu nhiên X có E ( X ) = µ chưa biết. Ta ñưa ra bài toán ñể kiểm ñịnh là  χ α2 ( n) 2 1.2.4.2. Bài toán kiểm ñịnh giả thiết của biến ngẫu nhiên.  H o : µ = µo với mức ý nghĩa α .  H1 : µ ≠ µo ( >, <) nso2 2 Nếu θ o ∉ Wα thì chấp nhận giả thiết Ho. ( X − µ 0 ). n σ Nếu Ho ñúng thì U có phân phối chuẩn tắc, tức U N (0,1) Với mức ý nghĩa α cho trước, ta tìm ñược miền bác bỏ Wα theo các giả thiết ñối lập H1 sau : Nếu H1 : µ ≠ µ o thì Wα = (−∞; −U 1− α ) U (U 2 1− α , +∞) . 2 Nếu H1 : µ < µ o thì Wα = (−∞; −U1−α ) . Nếu H1 : µ > µ o thì Wα = (U1−α , +∞) Trong ñó Uγ là phân vị chuẩn tắc với mức ý nghĩa γ . Với mẫu cụ thể, ta tính ñược giá trị quan sát là U o = ( x − µ 0 ). n σ . 13 14 Kết luận : Nếu Uo ∈ Wα thì bác bỏ giả thiết Ho, chấp nhận H1. Với mẫu cụ thể, ta tính ñược giá trị quan sát là To = Nếu Uo ∉ Wα thì chấp nhận giả thiết Ho, bác bỏ H1.  D( X ) = σ 2 chöa bieát n ≥ 30 ( X − µ 0 ). n o Bài toán kiểm ñịnh giả thiết về phương sai. S' Chọn thống kê χ 2 = N (0,1) (n − 1)S ' σ o2 Với mức ý nghĩa α cho trước, ta tìm ñược miền bác bỏ Wα giống Nếu Ho ñúng thì χ 2 có phân phối trường hợp 1. Với mức ý nghĩa Với mẫu cụ thể, ta tính ñược giá trị quan sát là U o = ( x − µ 0 ). n s ' . các giả thiết ñối lập H1 sau : Nếu H1 : σ 2 ≠ σ o2 thì Wα = (−∞; χ 2 α ( n − 1)) U ( χ 2 1− 1− α ( n − 1), +∞ ) . 2 Nếu H1 : σ 2 > σ o2 thì Wα = ( χα2 ( n − 1), +∞) . Trong ñó χγ2 (n − 1) là phân vị khi bình phương với mức ý nghĩa γ ( X − µ 0 ). n và (n-1) bậc tự do. ' Nếu Ho ñúng thì T có phân phối Student với n-1 bậc tự do, tức T (n − 1) . Với mức ý nghĩa α cho trước, ta tìm ñược miền bác bỏ Wα theo các giả thiết ñối lập H1 sau : Nếu H1 : µ ≠ µ o thì Wα = (−∞; −T 1− α ( n − 1)) U (T 2 1− α ( n − 1), +∞ ) . 2 Nếu H1 : µ < µ o thì Wα = (−∞; −T1−α ( n − 1)) . Nếu H1 : µ > µ o thì Wα = (T1−α ( n − 1), +∞) . Trong ñó Tγ (n − 1) là phân vị Student với mức ý nghĩa γ và (n-1) bậc tự do. α cho trước, ta tìm ñược miền bác bỏ Wα theo Nếu H1 : σ 2 < σ o2 thì Wα = (−∞; χ 21−α ( n − 1)) .  D ( X ) = σ 2 chöa bieát  Trường hợp3 :  n < 30, X coù phaân phoái chuaån T χ 2 χ 2 (n − 1) . 2 Kết luận : giống trường hợp 1. S . Nếu To ∉ Wα thì chấp nhận giả thiết Ho, bác bỏ H1. Nếu Ho ñúng thì U có phân phối chuẩn tắc, tức U Chọn thống kê T = s' Kết luận : Nếu To ∈ Wα thì bác bỏ giả thiết Ho, chấp nhận H1.  Trường hợp 2 :  Chọn thống kê U = ( x − µ 0 ). n Với mẫu cụ thể, ta tính ñược giá trị quan sát là χ o2 = (n − 1)s'2 σ o2 Kết luận : Nếu χ o2 ∈ Wα thì bác bỏ giả thiết Ho, chấp nhận H1. Nếu χ o2 ∉ Wα thì chấp nhận giả thiết Ho, bác bỏ H1. . 15 16 CHƯƠNG 2 GIỚI THIỆU VỀ MAPLE arccot(x), sinh(x), cosh(x), tanh(x), cotanh(x), arcsinh(x), arccosh(x), arctanh(x), arccotanh(x). 2.1. CÁC THAO TÁC ĐẦU TIÊN. 2.1.2.3. Hằng. 2.1.1. Nhập biểu thức. Pi  Dữ liệu : Maple cho phép nhập ba loại dữ liệu là lệnh, công thức và văn bản.  Thực hiện lệnh : Mỗi lệnh trong Maple phải kết thúc bởi dấu chấm phẩy (;) hoặc dấu hai chấm (:). π infinity ∞ exp(1) e gamma hằng số Euler γ 2.1.2.4. Tính toán giá trị thập phân của biểu thức. Nhấn Enter ñể thực hiện lệnh trên dòng con trỏ.  Hàm evalf(,[]) trả về giá trị thập phân của Nếu lệnh kết thúc bằng dấu (;) thì kết quả hiển thị trên màn . Tham số tùy chọn nếu có, sẽ xác ñịnh số chữ số hình. phần thập phân. Nếu lệnh kết thúc bằng dấu (:) thì kết quả không hiển thị trên  Biến Digits là biến hệ thống ấn ñịnh số chữ số có nghĩa. màn hình.  Ký hiệu % chỉ biểu thức cuối cùng. Nhấn Shift+Enter ñể nối lệnh với các dòng lệnh tiếp theo. 2.2. PHÉP GÁN VÀ TÍNH TOÁN 2.2.1. Định danh. 2.1.2. Toán tử, hàm và hằng. 2.1.2.1. Toán tử cơ bản. Maple có thể làm việc với: Ký hiệu Toán tử Ví dụ + Số thực, số phức + cộng 2+3 + Hàm và thủ tục - trừ 2-3 + Tập hợp, danh sách, bảng * nhân 2*3 / chia 2/3 ! giai thừa 2! 2.2.2. Phép gán. Ký hiệu Ident là biến và Expr là biểu thức. Phép gán giá trị biểu thức Expr cho biến Ident như sau: 3 ^ hoặc ** lũy thừa 2 iquo hia phần nguyên iquo(17,3)=5 irem chia modulo irem(17,3)=2 2.1.2.2. Hàm số cơ bản. exp(x), ln(x), log10(x), log[b](x), round(x), trunc(x), frac(x), sqrt(x), abs(x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), Ident:=Expr  Từ khóa: là ñịnh danh riêng không ñược sử dụng khác. 2.2.3. Biến tự do và biến ràng buộc. Các biến trong Maple có hai trạng thái: tự do (chưa sử dụng) hoặc ràng buộc (ñã ñược gán biểu thức). 17  Lệnh restart khởi tạo lại ngữ cảnh, giải phóng các biến (tất 18 2.4. HÀM TRONG MAPLE. cả các biến ñã sử dụng trở thành tự do). 2.4.1. Hàm 1 biến. 2.2.4. Sử dụng dấu nháy. 2.4.2. Hàm nhiều biến. 2.3. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN. 2.4.3. Phân biệt hàm và biểu thức. 2.3.1. Hàm khai triển expand.  Hàm subs(x=a,p): gán giá trị x:=a cho biểu thức p, trong ñó p + Khai triển các biểu thức ña thức. là biểu thức theo biến tự do x. + Khai triển các hàm lượng giác của n.x theo hàm ñối số x. 2.4.4. Chuyển ñổi hàm và biểu thức. 2.3.2. Hàm phân tích factor.  Hàm unapply(p,x,…) trả về hàm ñược gán giá trị biểu thức p Hàm factor phân tích biểu thức thành thừa số. theo biến x,… Chính xác hơn, hàm factor phân tích biểu thức ña thức thành 2.5. ĐỐI TƯỢNG TRONG MAPLE. thừa số sinh bởi các hệ số của nó. 2.5.1. Các biểu thức cơ bản. 2.3.3. Hàm normal. 2.5.1.1. Kiểu +, * và ^. Hàm Normal tối giản các phân thức hữu tỉ. Khác với hàm factor, hàm normal không tối giản phân thức phi hữu tỉ. 2.3.4. Hàm simplify. Hàm simplify là lệnh ñơn giản biểu thức. 2.3.4.1. Dạng simplify (,
- Xem thêm -