Nghien_cuu_tinh_chat_cua_he_dao_dong_tat_dan_va_dao_dong_cuong_buc_ap_dung_boi_duong_hoc_sinh_gioi_va_hoc_sinh_on_thi_dai_hoc

  • Số trang: 40 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 16 |
  • Lượt tải: 0
dinhthithuyha

Đã đăng 3359 tài liệu

Mô tả:

Phần thứ nhất THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến: “Nghiên cứu tính chất của hệ dao động tắt dần và dao động cưỡng bức. Áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi và học sinh ôn thi đại học”. 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Nội dung đề tài được trích từ các chuyên đề mà tôi đã dùng để giảng dạy cho học sinh ôn thi đại học, học sinh các lớp chuyên lý và học sinh các đội tuyển HSG của tỉnh tham dự kì thi HSG quốc gia môn vật lý với mục tiêu là giúp học sinh có cách nhìn tổng quát nhất về hệ dao động tắt dần và dao động cưỡng bức trong cơ học dựa trên việc xây dựng hệ thống lý thuyết cơ bản. Vận dụng giải và phân tích các bài toán trong chương trình thi đại học, các bài toán trong chương trình thi HSG quốc gia, quốc tế tại trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định. Đồng thời nội dung của đề tài cũng có thể vận dụng cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi phổ thông và học sinh ôn thi đại học môn Vật lý tại các trường THPT nói chung. 3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ năm 2009 đến năm 2014. 4. Tác giả: Họ và tên: Vũ Đức Thọ Năm sinh: 1974 Nơi thường trú: số 41 đường Phùng Chí Kiên- Khu ĐTM Hòa Vượng. Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ vật lý. Chức vụ công tác: Hiệu trưởng. Nơi làm việc: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định. Địa chỉ liên hệ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định- 76 đường Vị Xuyên- Phường Vị Hoàng- TP Nam Định. Điện thoại: Cơ quan: 03503.667788 Mobile: 0913005356 Email: vuductholhp@gmail.com 5. Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định. Địa chỉ: 76 đường Vị Xuyên- Phường Vị Hoàng- TP Nam Định. Điện thoại: 03503.640297 Fax: 03503667788 3 MỞ ĐẦU 1. Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến Một trong những vấn đề rất dễ nhận thấy trong các câu khó của đề thi đại học trong những năm gần đây là yêu cầu học sinh từ những nội dung lí thuyết cơ bản trong sách giáo khoa, sử dụng các phép suy luận, những tính toán hợp lý để đưa ra những lời giải cho bài toán. Tuy nhiên những nội dung kiến thức trong sách giáo khoa là rất ngắn gọn, gần như tóm tắt các kết quả cơ bản của các vấn đề lý thuyết cũng như thực nghiệm vì vậy rất khó để học sinh cũng như giáo viên hiểu sâu sắc các vấn đề để vận dụng trong giảng dạy và học tập. Hơn nữa trong kì thi học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế bộ môn vật lý thì việc giáo viên và học sinh phải hiểu được sâu sắc được các vấn đề lý thuyết của chương trình đại học đại cương trên cơ sở đó vận dụng giải các bài toán là bắt buộc. Đối với bộ môn vật lý thì việc sử dụng thí nghiệm trong quá trình dạy học là hết sức cần thiết. Tuy nhiên đây là một nhiệm vụ đặc biệt khó khăn với nhiều nguyên nhân: thiết bị thí nghiệm còn thiếu thốn và chưa đồng bộ; việc lắp ráp và tiến hành các thí nghiệm đòi hỏi nhiều thời gian trong khi thời gian nghỉ chuyển giữa hai tiết là không đủ, rất nhiều thí nghiệm cần phải có thời gian thực hiện, chưa kể không đảm bảo thành công ngay… Bên cạnh đó, một nguyên nhân rất quan trọng là năng lực thí nghiệm của giáo viên trên thực tế cũng còn nhiều hạn chế. Sự hạn chế đó thể hiện cả ở mặt kĩ thuật lắp ráp và tiến hành các thí nghiệm lẫn phương pháp sử dụng các thí nghiệm đó trong giờ học sao cho tăng cường được hoạt động nhận thức tự chủ, sáng tạo của học sinh. Để khắc phục những khó khăn đó, việc xây dựng các nội dung lý thuyết vật lý bằng những giả thuyết và công cụ toán học. Phân tích các kết quả tìm được cũng là một giải pháp tốt để giúp học sinh nắm bắt các quá trình diễn biến của hiện tượng. Làm cho các em hiểu và nhớ được nội dung, kiến thức một cách sâu sắc hơn… Dao động tắt dần và dao động cưỡng bức là nội dung khó trong chương trình vật lý lớp 12, hơn nữa sách giáo khoa lại nêu rất tóm tắt vì vậy nếu chỉ đọc sách giáo khoa thì cả học sinh và giáo viên đều không hiểu rõ vấn đề. Khi vận dụng để giải các bài toán thi đại học học, đặc biệt là những bài toán thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế là hết sức khó khăn. Chưa kể đến việc mở rộng vận dụng trong các bài toán dao động điện và quang học sóng thì học sinh gần như không thể. Vì vậy 4 làm rõ các vấn đề về dao động tắt dần và dao động cưỡng bức là hết sức cần thiết. Vì những lí do đó tôi chọn đề tài “Nghiên cứu tính chất của hệ dao động tắt dần và dao động cưỡng bức. Áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi và học sinh ôn thi đại học”. 2. Cấu trúc đề tài bao gồm: Phần mở đầu Nội dung đề tài Chương I: Cơ sở lý thuyết của dao động tắt dần và dao động cưỡng bức. Chương II: Áp dụng lý thuyết cơ bản về dao động tắt dần giải một số bài toán thuộc chương trình thi đại học. Chương III: Áp dụng lý thuyết cơ bản về dao động cưỡng bức giải một số bài toán. Chương IV: Một số bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia và quốc tế. Chương V: Các bài tập vận dụng. Kết luận 5 PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA DAO ĐỘNG TẮT DẦN VÀ DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC I. DAO ĐỘNG TẮT DẦN 1.1. Khái niệm - Khi cho con lắc dao động trong môi trường có ma sát (hoặc lực cản) thì cơ năng của hệ sẽ mất dần, chuyển thành các dạng năng lượng khác, do đó biên độ dao động (tỉ lệ với căn bậc hai của năng lượng) cũng sẽ giảm dần theo thời gian. Dao động của con lắc sẽ tắt dần. Dao động tắt dần là dao động có biên độ giảm dần theo thời gian Sự giảm dần của biên độ dao động theo thời gian, gây ra do mất mát năng lượng của hệ dao động gọi là sự tắt dần của dao động 1.2. Phương trình của dao động tắt dần Xét vật dao động (ví dụ như con lắc lò xo) trong môi trường có lực cản. Thông thường, lực cản của môi trường tác dụng vật tỉ lệ với tốc độ ur r và ngược chiều chuyển động F c    v . Trong đó   0 là hệ số cản, phụ thuộc vào hình dạng, kích thước của vật và độ nhớt của môi trường. Hình vẽ 1 Chọn trục Ox trùng phương chuyển động. Phương trình chuyển động của vật chiếu theo phương Ox là  kx  x '  mx" hay x"   k x' x  0 m m (1.1) Ở đây chúng ta cần chú ý thành phần F = -kx chính là lực kéo về tác dụng lên vật và gây dao động. Đặt : 2   2 k ; 0  . m m thì phương trình (2.1) có thể viết: x"  2  x '  02 x  0 (1.2) Phương trình này gọi là phương trình vi phân của dao động tắt dần,  gọi là hệ số tắt dần, 0 là tần số góc riêng của vật. Ta sẽ tìm nghiệm của (1.2) dưới dạng : x(t )  e rt 6 trong đó r là một đại lượng không đổi. Thay biểu thức x(t) vào (1.2) và thực hiện việc lấy đạo hàm theo thời gian t và giản ước một thừa số khác không, ta đi đến một phương trình đại số ( gọi là phương trình đặc trưng) : r 2  2  r  02r  0  Hai nghiệm của phương trình đặc trưng là : r1,2    �  2  02 Bây giờ ta sẽ xét các trường hợp xảy ra: 1.3. Dao động tắt dần khi ma sát nhỏ (   0 ). Ta biến đổi:    2  02  i 2 02   2   i  , trong đó 2 i là số phức, được định nghĩa i 2   1.  là một đại lượng thực, dương:   02   2 . Khi đó : r1,2    �i Hình vẽ 2 Hai nghiệm của phương trình (1.2.2) là : x1  C1e    i  t và x2  C2e    i  t Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) là :  x  t   x1  x2  e   t C1e it  C2e it  (1.4) Áp dung công thức Ơle: ei  cos  isin  cho biểu thức trong dấu ngoặc của phương trình (2.3): C1e it  C2e it  A0cos  t    , trong đó A0 và  là hai hằng số được xác định từ điều kiện ban đầu. Tóm lại, với điều kiện lực cản không quá lớn thì dao động tắt dần có dạng : x  t   A0e   t cos  t    (1.5) Đồ thị ở hình vẽ 2 biểu diễn dao động tắt dần, các giới hạn trên và dưới của x được vẽ bằng các đường chấm chấm (đây chính là đồ thị hình 10.2a trang 48 SGK ban KHTN) *Nhận xét: Từ (1.5) ta có thể xem li độ biến đổi theo thời gian theo quy luật dạng cosin với tần số là  và biên độ giảm dần theo qui luật : A  t   A0e   t với A0 là biên độ cực đại tại thời điểm ban đầu. 7 2 2 “Chu kỳ” của dao động tắt dần : T    02   2 (1.6) So sánh với chu kỳ dao động riêng T 0 (chu kỳ dao động khi không có lực cản) T0  2 Ta thấy T > T0, điều này hoàn toàn phù hợp với thực tế vì khi có lực cản 0 thì dao động diễn ra chậm hơn. 1.3.1. Các đại lượng đặc trưng cho hệ dao động tắt dần khi ma sát nhỏ a. Thời gian lũy giảm: là khoảng thời gian mà sau đó biên độ của dao động tắt dần giảm e lần. A0e    A0 1 �  e  (1.7) b. Giảm lượng lôgarit tắt dần ( decrement logarit tắt dần): là đại lượng đo bằng logarit tự nhiên của tỷ số giữa các giá trị biên độ tại các thời điểm khác nhau một chu kỳ :   ln A t   T A t  T  (1.8) c. Hệ số phẩm chất của hệ dao động: được xác định bằng tích 2 với tỉ số của năng lượng E(t) của hệ dao động ở thời điểm t và độ lớn của độ giảm năng lượng này sau một chu kỳ Q  2 E (t ) E (t )  E (t  T ) (1.9) Vì năng lượng tỉ lệ với bình phương biên độ nên A2 (t ) 2 Q  2 2  A (t )  A2 (t  T ) 1 e 2 (1.10) Chú ý: khi ma sát là rất nhỏ    0  , dao động tắt dần rất chậm thì  1 e2 �2 . Khi đó Q �  Vì   � 02  2 0 (1.11)  0 T T0 nên Q � �  T0 2  (1.12) 1.3.2. Các đặc điểm của hệ dao động tắt dần khi ma sát nhỏ a. Dao động tắt dần không có tính tuần hoàn vì chuyển động lần sau không lặp lại hoàn toàn giống như chuyển động lần trước. 8 b. Li độ biến đổi theo quy luật dạng cosin với biên độ giảm dần theo thời gian, ta nói đó là quá trình giả tuần hoàn hay quá trình tắt yếu. 1.4. Quá trình biến đổi khi ma sát lớn (   0 ). 1.4.1. Phương trình chuyển động. Ta đặt q   2  02 (1.13) Khi đó : r1,2    �q (1.14) Nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) là :  x(t )  C1e r1t  C2e r2t  e   t C1e qt  C2e  qt  Trong đó C1, C2 là các hằng số xác định từ điều kiện ban đầu, q là một số thực. 1.4.2. Các đặc điểm của dao động tắt dần khi ma sát lớn - Đồ thị li độ theo thời gian có dạng như hình vẽ (đây chính là đồ thị hình 10.2c, 10.2d trang 48 SGK ban KHTN) - Khi ma sát lớn, chuyển động của vật gọi là phi tuần hoàn hay quá trình tắt mạnh. 1.5. Quá trình tới hạn (   0 ). - Khi   0 thì nghiệm tổng quát của phương trình (2.2) có dạng: x(t )   C1  C2t  e   t - Đồ thị li độ theo thời gian có dạng như hình vẽ. Như vậy li độ x trở về giá trị 0 nhanh hơn so với trường hợp tắt mạnh. 9 II. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC 2.1- Khái niệm Do lực cản của môi trường dao động sẽ tắt dần và sẽ mất hẳn. Để có thể duy trì dao động ta phải bù trừ sự tổn hao năng lượng của hệ dao động, tuy nhiên cần lưu ý là sự bù trừ này phải được thực hiện đúng nhịp với các dao động của hệ. Do vậy, ta phải tác động vào hệ một ngoại lực biến đổi theo thời gian theo qui luật điều hòa. Dao động như vậy gọi là dao động cưỡng bức. Vậy: dao động cưỡng bức là dao động của hệ dưới tác dụng của lực cưỡng bức tuần hoàn f = F0cost . Trong đó F0,  là biên độ và tần số của ngoại lực cưỡng bức. 2.2- Phương trình của dao động cưỡng bức Xét vật dao động (ví dụ như con lắc lò xo) trong môi trường có lực cản nhỏ với hệ số cản là   0 . Ta tác dụng thêm vào vật một lực cưỡng bức tuần hoàn f = F0cost . Chọn trục Ox trùng phương chuyển động. Phương trình chuyển động của vật chiếu theo phương Ox là  kx   x ' F0cost  mx" hay x"  F  k x '  x  0 cost m m m Đặt : 2  (2.1)  k ; 02  . thì phương trình (2.1) có thể viết: m m x"  2  x '  02 x  F0 cost m (2.2) Phương trình này gọi là phương trình vi phân của dao động cưỡng bức. Đó là một phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (có vế phải). Nghiệm tổng quát của nó bằng tổng của hai nghiệm : + Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất ( không có vế phải ) tương t ứng khi lực cản nhỏ là x1  A0e cos  t  1  (2.3). Trong đó   02   2 còn A0 và  là hai hằng số được xác định từ điều kiện ban đầu. + Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (2.2). Ta sẽ tìm nghiệm riêng dưới dạng : x  Acos  t    , trong đó A và  là các giá trị mà ta phải tìm. 2 Ta có: x '   A sin  t    ; x ''   A cos  t    . Thay vào (2.2) được: 10  A 2cos  t     2  A sin  t     02 Acos  t     F0 cost m � F � � A  02   2  cos  t     2 Acos � t    � 0 cost 2� m �  2.4  Vế trái của phương trình (2.4) là tổng của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số cũn là một dao động điều hòa x2  A2 cos  t  2  . Với A2  A  02   2   4  2  2 2 � � A  02   2  sin   2 A sin �   �  2   2 sin   2cos  2�  0 �  2 Và tan 2  �  �  0   2  cos  2  sin  A  02   2  cos  2  Acos �  � � 2� VT= VP � F0 � F0 � 2 2 2 2 2 A A  A     4    �   0 �2 2 2 2 2 2 m � m  0     4  � ��  2.5 �  2   2  sin   2cos 2   �tan 2   0 �  tan 0  0 2 2 � �tan 2    2   2    c os   2   sin    0  0  � � Thay (2.5) vào (2.3) ta được nghiệm riêng của phương trình thuần nhất là : x2  t   � � 2 cos � t  arctan � 2 2 � 0   2  � m  02   2   4  2  2 � � F0 � � �  2.6  � � � � � Nghiệm tổng quát của phương trình dao động cưỡng bức là : x2  A0e   t cos  t  1    � � 2  cos � t  arctan � 2 2 � 0   2  � m  02   2   4  2  2 � � F0 � � �  2.7  � � � � � Số hạng thứ nhất ở vế phải của nghiệm do có chứa exp(-t) nên mô tả dao động tắt dần và giảm rất nhanh theo thời gian, do đó sau giai đoạn quá độ ta có thể bỏ qua nó và chỉ giữ lại số hạng thứ hai của (2.7). Vậy ta có thể nói dao động cưỡng bức cũng là một dao động điều hòa với tần số  của ngoại lực. Biên độ cực 11 đại của dao động cưỡng bức tỷ lệ với biên độ của ngoại lực. 2.3. Các đặc điểm của dao động cưỡng bức : - Dao động cưỡng bức gồm hai giai đoạn : + Giai đoạn chuyển tiếp : xảy ra trong khoảng thời gian rất ngắn, khi đó dao động của hệ là tổng hợp của hai dao động : dao động tự do tắt dần của hệ và dao động cưỡng bức. Sau khoảng thời gian này thì dao động tự do tắt hẳn. + Giai đoạn ổn định : Vật thực hiện dao động điều hòa cưỡng bức theo phương trình x  Acos  t    . Trong đó A, được xác định từ (2.5). - Tần số góc của dao động cưỡng bức bằng tần số góc  của ngoại lực cưỡng bức. - Biên độ dao động cưỡng bức phụ thuộc vào biên độ F0 của ngoại lực cưỡng bức, phụ thuộc vào tần số ngoại lực, vào lực cản môi trường và phụ thuộc vào độ chênh lệnh giữa tần số  của ngoại lực và tần số riêng 0 của hệ. - Nếu     0 lớn , tức là  càng khác 0 thì biên độ dao động nhỏ. - Nếu  = 0 thì biên độ dao động đạt cực đại  cộng hưởng dao động. - Pha ban đầu của dao động cưỡng bức phụ thuộc vào đặc tính của hệ và tần số của ngoại lực cưỡng bức. 2.4. Hiện tượng cộng hưởng. Một điều rất quan trọng là biên độ của dao động cưỡng bức phụ thuộc vào tần số  của ngoại lực. Đồ thị sự phụ thuộc của A    như hình vẽ. Từ đồ thị ta thấy với một tần số nào đó của ngoại lực thì biên độ của dao động cưỡng bức sẽ đạt giá trị cực đại. Hiện tượng này gọi là hiện tượng cộng hưởng, còn tần số tương ứng gọi là tần số cộng hưởng. Tần số cộng hưởng được xác định từ điều kiện cực tiểu của biểu thức dưới dấu căn của (2.5) : y   02   2   4 2  2 min 2 2 2 2 Lấy đạo hàm theo  và cho bằng không, ta có : 4  0     8   0 Phương trình bậc ba này có nghiệm :   0 và   02  2 2 Nghiệm  = 0 ứng với cực đại của mẫu số, tức là cực tiểu của biên độ dao động cưỡng bức nên ta bỏ qua không xét đến. Chỉ giữ lại nghiệm duy nhất: đó là tần số cộng hưởng 12 ch  02  2 2  2.8  Thay giá trị vào tần số  của (2.5) ta tìm được biên độ dao động cực đại của dao động cưỡng bức là : Amax  F0 2m 02   2  2.9  F Khi   0 � Amax � 0 2m0 Từ (2.9) ta thấy lực cản của môi trường càng yếu ( càng nhỏ) thì biên độ cộng hưởng Amax càng lớn, khi không có lực cản ( = 0) thì Amax trở thành lớn vô cùng.. Hình vẽ trình bày đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của biên độ dao động cưỡng bức vào tần số của ngoại lực. Trong hình là ba đường cong cộng hưởng ứng với ba giá trị khác nhau của lực cản của môi trường. Ta thấy lực cản càng yếu thì đường cong cộng hưởng càng nhọn và tần số cộng hưởng càng gần giá trị  0 là tần số dao động riêng của hệ. 13 CHƯƠNG II ÁP DỤNG LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ DAO ĐỘNG TẮT DẦN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THUỘC CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC 1. Bài toán 2.1: Nghiên cứu dao động của con lắc lò xo nằm ngang, chịu tác dụng của lực ma sát trượt có hệ số ma sát là  . 1. Chứng minh thời gian thực hiện một dao động toàn phần là không đổi. 2. Xác định độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kỳ và xác định xem sau bao nhiêu chu kỳ vật sẽ dừng lại. 3. Xác định quãng đường vật đi được cho đến khi dừng lại. Lời giải: 1. Chọn gốc O tại vị trí lò xo có chiều dài tự nhiên, chiều dương từ trái qua phải (hình vẽ) 1.1. Trường hợp vật chuyển động từ trái qua phải: Khi vật có li độ x, phương trình động lực học được viết: kx   mg  mx " � x "  � x"  k x  g  0 m k  mg (x  )0 m k Đặt X  x   mg k � X "  x " . Ta đưa phương trình về dạng: X "  X  0 . k m Nghiệm phương trình: X  Acos(t  t ) � x  Acos(t  t )   mg k Với   k m 1.2. Trường hợp vật chuyển động từ phải qua trái. Khi đó lực ma sát đổi chiều Khi vật có li độ x, phương trình động lực học được viết: kx   mg  mx " � x "  Đặt X  x  k  mg k x   g  0 � x"  (x  )0 m m k  mg k � X "  x " . Ta đưa phương trình về dạng: X "  X  0 . k m Nghiệm phương trình: X  Acos(t  t ) � x  Acos(t  t )   mg k Với   k m Như vậy thời gian thực hiện một dao động toàn phần là T  14 2  2  m k không đổi. 2. Gọi A0 là biên độ ban đầu. Sau một nửa chu kỳ đầu tiên, biên độ là A1 • Áp dụng định lý động năng ta có   1 1 1 m 2 A12  m 2 A02   F  A1  A0  � m 2 A12  A02   F  A1  A0  2 2 2 � A  A0  A1  2F 2F  2 k m Vì F ,  là không đổi. Như vậy độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kỳ sẽ không đổi. Biên độ dao động giảm theo cấp số cộng. Sau n nửa chu kỳ, biên độ dao động là An  A0  n A  A0  n 2F . k Khi vật dừng lại thì An  0 � n  kA 0 kA 0  2F 2  mg c- Để tính quãng đường vật đi được cho đến khi dừng lại, ta áp dụng định lý biến thiên động năng. 1 1 m 2 An2  m 2 A02   F .s 2 2 m 2 A02 kA02  Khi vật dừng lại thì An  0 � s  2F 2  mg Bài toán 2.2: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,02 kg và lò xo có độ cứng 1 N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,1. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén 10 cm rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần. Lấy g = 10 m/s 2. Tốc độ lớn nhất vật nhỏ đạt được trong quá trình dao động là bao nhiêu? (Trích đề thi đại học Khối A năm 2010). Lời giải: 1. Cách giải thứ nhất: - Chọn gốc O tại vị lò xo có chiều dài tự nhiên, chiều dương từ trái qua phải (hình vẽ). Khi vật có li độ x, phương trình bảo toàn năng lượng được viết: 1 2 1 2 1 2 kA  mv  kx   mg  A  x  2 2 2 (Chú ý rằng đại lượng  mg  A  x  là công sinh ra để thắng công của lực ma 15 sát, nó bằng và ngược dấu với công của lực ma sát) 1 Vận tốc của vật cực đại khi Wd = mv 2 cực đại 2 1 1 1 Xét hàm số Wd  mv 2  kA2  kx 2   mg  A  x  2 2 2 � 1 2 �1 � kx   mgx  � kA2   mg A  Wd � 0 2 �2 � 2 �1 2 � Phương trình có nghiệm khi:     mg   2k � kA   mg A  Wd ��0 �2 �  Wd   mg  2 � Wd max  � vmax  �1 2 � � kA  mg A � �2 � 2k   mg  2 2k �1 � 1  � kA2   mg A � mvm2 ax �2 � 2 2 �kA2 � m  g   �  2 g A � k �m � Thay số ta được vmax  40 2 cm / s 2. Cách giải thứ hai: Trước hết ta có nhận xét rằng vận tốc cực đại thì gia tốc a  Khi đó Fdh  Fms � kx   mg � x  x0  dv  0. dt  mg k - Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho hai vị trí: vị trí biên và vị trí x0 1 2 1 2 1 kA  mvmax  kx02   mg  A  x0  2 2 2 1 1 1 2 2 2 � � mvm2 ax  k � A  x  2 x A  x  k A  x     0 0 0 0 �2 2 2 � � vmax   A  x0  k . Thay số ta được vmax  40 2 cm / s m 3. Cách giải thứ ba: - Do trong quá trình chuyển động cơ năng của con lắc giảm dần chuyển thành công sinh ra để thắng công của lực ma sát nên vận tốc con lắc lớn nhất (tương ứng với độngn năng cực đại) trong quá trình chuyển động sẽ xảy ra ở nửa chu kì đầu tiên. 16 - Gọi l : độ biến dạng của xo khi con lắc ở vị trí cân bằng động. Ta có k l   mg � l   mg k - Trong nửa chu kỳ đầu tiên con lắc chịu tác dụng của lực ma sát có phương, chiều và độ lớn Fms   mg không đổi. Như vậy nếu so sánh với con lắc lò xo thẳng đứng ta thấy trong nửa chu kỳ này chuyển động của con lắc giống như chịu tác dụng của “trọng lực hiệu dụng” F   mg . Như vậy con lắc sẽ “dao động điều k hoà” xung quang vị trí cân bằng động với biên độ A0  A  l , tần số góc   . m Vận tốc lớn nhất khi con lắc qua vị trí cân bằng: k  40 2 cm / s m vmax  A0   A  l  Bài toán 2.3: Vật nặng có khối lượng m nằm trên một mặt phẳng nhẵn nằm ngang, được nối với một lò xo có độ cứng k, lò xo được gắn vào bức tường đứng tại điểm A như hình vẽ. Vật m đang đứng yên và lò xo không biến dạng thì vật nặng bắt đầu chịu tác dụng của một lực không đổi F hướng theo trục lò xo như hình vẽ. Hãy tìm quãng đường mà vật nặng đi được và thời gian vật đi hết quãng đường ấy kể từ khi bắt đầu tác dụng lực cho đến khi vật dừng lại lần thứ nhất. (Trích đề thi HSG phổ thông Tỉnh Nam Định năm 2012). Lời giải: 1. Cách giải thứ nhất: Gọi l là độ biến dạng của lò xo khi vật nằm ở vị trí cân bằng. Ta có: F  k  l � l  F  1 k Chọn trục tọa độ hướng dọc theo trục lò xo, gốc tọa độ trùng vào vị trí cân bằng của vật sau khi đã có lực F tác dụng (hình vẽ). Khi vật có li độ x . Phương trình động lực học chiếu lên Ox được viết: k  l  x   F  mx ''  2 Từ (1) và (2) ta có : kx  mx " � x "   2 x  0 trong đó   k / m Nghiệm của phương trình x  Acos(t   ). 17 F � �x  A sin    l   k � Điều kiện ban đầu : � � v   A cos   0 � �x � F �A  k � �  �   � 2 F m  cos( t ) k k 2 - Vật dao động điều hòa với chu kỳ T  2 m . Thời gian kể từ khi tác dụng k lực F lên vật đến khi vật dừng lại lần thứ nhất (tại ly độ cực đại phía bên phải) rõ ràng là bằng 1/2 chu kỳ dao động, vật thời gian đó là: t T m  . 2 k - Vật dao động với biên độ F/k, thời gian từ khi vật chịu tác dụng của lực F đến khi vật dừng lại lần thứ nhất là T/2 và nó đi được quãng đường bằng 2 lần biên độ dao động. Do đó, quãng đường vật đi được trong thời gian này là: S  2A  2F . k 2. Cách giải thứ hai: - Để giải bài toán này ta có nhận xét rằng, trong chuyển động của con lắc lò xo thẳng đứng, vật nặng luôn chịu tác dụng của trọng uu r lực P không đổi. Kết quả là vật sẽ dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng xác định bởi l  mg . k - Chuyển động của vật nhỏ trong bài toán hoàn toàn tương tự như con lắc lò xo thẳng đứng và chịu uur uu r tác dụng của “trọng lực hiệu dụng” P '  F . Kết quả là vật sẽ dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng xác định bởi l  F / k (nói cách khác ta có thể hình dung như quay mặt phẳng dao động của con lắc đi 900, tính chất chuyển động của con lắc hoàn toàn không thay đổi). - Bây giờ bài toán sẽ được hiểu đơn giản là từ vị trí cân bằng, đưa con lắc về vị trí mà lò xo có chiều dài tự nhiên rồi thả ra. Kết quả là con lắc sẽ dao động điều 18 hoà xung quanh vị trí cân bằng O với biên độ A  l  F m , chu kì T  2 . k k - Quãng đường mà vật nặng đi được cho đến khi vật dừng lại lần thứ nhất đúng bằng khoảng cách giữa hai vị trí biên s  2 A  2 F k - Thời gian vật đi hết quãng đường s kể từ khi bắt đầu tác dụng lực cho đến khi vật dừng lại lần thứ nhất bằng khoảng thời gian giữa hai lần vật qua vị trí biên T m t    . 2 k uu r Cách giải này không những đúng cho trường hợp F không đổi trong suốt quá trình dao động mà còn áp dụng trong một giai đoạn nhỏ, miễn là trong giai đoạn đó, hiện tượng vật lý xảy ra tương tự. Bài toán 2.4: Một lò xo nhẹ độ cứng k = 300N/m, một đầu cố định, đầu kia gắn quả cầu nhỏ khối lượng m = 0,15kg. Quả cầu có thể trượt trên dây kim loại căng ngang trùng với trục lò xo và xuyên qua tâm quả cầu. Kéo quả cầu ra khỏi vị trí cân bằng 2 cm rồi thả cho quả cầu dao động. Do ma sát quả cầu dao động tắt dần chậm. Sau 200 dao động thì quả cầu dừng lại. Lấy g = 10m/s 2. Hãy xác định hệ số ma sát μ. Lời giải: Gọi A0 là biên độ ban đầu. Sau một nửa chu kỳ đầu tiên, biên độ là A1 • Áp dụng định lý động năng ta có   1 1 1 m 2 A12  m 2 A02   F  A1  A0  � m 2 A12  A02    mg  A1  A0  2 2 2 � A  A0  A1  2F 2  mg  k m 2 Vì F ,  là không đổi. Như vậy độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kỳ sẽ không đổi. Độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ dao động A  T   4 mg k Biên độ dao động giảm theo cấp số cộng. Sau N chu kỳ, biên độ dao động là An  A0  N A  A0  4 N  mg . k 19 Khi vật dừng lại thì An  0 �   kA 0 4 Nmg Thay số với N = 200 ta tìm được   5.103 Bài toán 2.5: Một con lắc đơn dao động tắt dần dưới tác dụng của lực cản có độ lớn không đổi Fc và luôn ngược hướng chuyển động. Biết biên độ góc ban đầu là α0. Hãy xác định : 1. Độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kì. 2. Khoảng thời gian từ lúc vật bắt đầu dao động cho đến lúc vật dừng lại 3. Quãng đường vật đi được cho đến khi dừng lại. Lời giải: 1. Gọi biên độ sau một nửa chu kỳ đầu tiên là α1. Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có: 1 1 mgα l 12- mg α l 02= - F .s . c 2 2 Trong đó Fc là lực cản tác dụng vào quả cầu con lắc khi con lắc dao động tắt dần và s là quãng đường mà vật đi được sau một nửa chu kỳ đầu tiên. Ta có s = ℓ(α0 + α1). Khi đó 2F 1 1 2 mgα l 1-2 mg α l 0= - F (α l +α )0 , hay Δ1 = c 1 mg 2 2 (2.5.1). Gọi α2 là biên độ sau một nửa chu kỳ tiếp theo (hay là biên độ ở cuối chu kỳ đầu tiên). Ta có: 2Fc 1 1 2 Δ  = mgα l -22 mg α l 1= - F (α l +α ) , hay 2 1 2 mg 2 2 Từ (2.5.1) và (2.5.2) ta có  0 -  2 = (2.5.2). 4Fc . mg Vậy độ giảm biên độ góc dao động của con lắc sau một chu kì là: Δ =  0 -  2 = 4Fc . mg Độ giảm biên độ dao động của con lắc sau N chu kì là:  0 -  2N = 4NFc . mg Nếu sau N chu kì mà vật dừng lại thì α 2N = 0 hay số chu kì vật dao động được là: N = mgα 0 . 4Fc 20 Do một chu kì vật đi qua VTCB hai lần nên số lần vật đi qua VTCB cho đến lúc dừng lại là: n = 2N = mgα 0 . 4Fc Khoảng thời gian từ lúc vật bắt đầu dao động cho đến lúc vật dừng lại là: Δt = NT (Nếu coi dao động tắt dần có tính tuần hoàn với chu kỳ T = 2 2π = ω l ). g Để tính quãng đường vật đi được cho đến khi dừng lại: ta có thể áp dụng định 1 mgl  02 2 mg l  = F .s � s = luật bảo toàn năng lượng: . 0 c 2 2Fc Bài toán 2.6: Một con lắc dao động tắt dần chậm, cứ sau mỗi chu kỳ biên độ giảm 2%. Phần năng lượng của con lắc bị mất đi trong một dao động toàn phần là bao nhiêu? Lời giải: Gọi A là biên độ dao động của vật ở thừoi điểm t. Biên độ còn lại sau một chu kỳ là A’ = 0,98A. Khi đó năng lượng của vật giảm một lượng là:  1 1 2 1 W  kA 2  k  0,98A   kA 2 1  0,982 2 2 2  Tỉ lệ phần năng lượng bị mất sau một chu kỳ là: W 1  0,982  0,0396  3,96% 1 2 kA 2 21 CHƯƠNG III ÁP DỤNG LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN Bài 3.1: Một quả cầu có khối lượng m, có thể thực hiện một dao động điều hòa không tắt xung quanh điểm x = 0, với tần số riêng 0 . Tại thời điểm t = 0, khi quả cầu nằm ở trạng thái cân bằng, người ta đặt vào nó một ngoại lực cưỡng bức F  F0 cos t , trùng phương trục x. Tìm phương trình dao động cưỡng bức của quả cầu. Lời giải: Chọn trục Ox trùng phương chuyển động. Phương trình chuyển động của vật chiếu theo phương Ox là  kx  F0cost  mx" hay x"  Đặt : 02  F k x  0 cost m m F k . thì phương trình có thể viết: x"  02 x  0 cost m m (1) Đây là phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (có vế phải). Nghiệm tổng quát của nó bằng tổng của hai nghiệm : + Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất ( không có vế phải ) tương ứng là x1  A1cos  0t  1  (2). + Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (1). Ta sẽ tìm nghiệm riêng dưới dạng : x2  A2cos  t  2  , trong đó A2 và 2 là các giá trị mà ta phải tìm. 2 Ta có: x '   A2 sin  t  2  ; x ''   A2 cos  t  2  . Thay vào (1) được:  A2 2cos  t  2   02 A2cos  t   2   � A2  02   2  cos  t     F0 cost m F0 cost m F 0 Dùng phương pháp đồng nhất hệ thức được : A2  m  2   2 ;  2  0.  0  Nghiệm tổng quát của phương trình dao động cưỡng bức là : x  A1cos  0t  1   F0 cost m  02   2  - Điều kiện ban đầu: 22 (3)
- Xem thêm -