Tài liệu Nghiên cứu, tìm hiểu các công cụ toán học dùng cho vật lý nói chung và vật lý lý thuyết nói riêng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC TRẦN THỊ THU HÀ NGHIÊN CỨU, TÌM HIỂU CÁC CÔNG CỤ TOÁN HỌC DÙNG CHO VẬT LÝ NÓI CHUNG VÀ VẬT LÝ LÝ THUYẾT NÓI RIÊNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƠN LA, NĂM 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC TRẦN THỊ THU HÀ NGHIÊN CỨU, TÌM HIỂU CÁC CÔNG CỤ TOÁN HỌC DÙNG CHO VẬT LÝ NÓI CHUNG VÀ VẬT LÝ LÝ THUYẾT NÓI RIÊNG Chuyên ngành: Vật lý KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn: TS. Khổng Cát Cƣơng SƠN LA, NĂM 2014 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện khóa luận này em đã nhận được sự chỉ bảo hướng dẫn tận tình của Thầy giáo - Tiến sĩ Khổng Cát Cương, sự giúp đỡ tạo điều kiện của thầy cô giáo trong khoa Toán – Lý - Tin cũng như sự động viên ủng hộ của các bạn sinh viên K51 Đại học sư phạm Vật lý. Đồng thời, việc hoàn thành khóa luận đã nhận được sự giúp đỡ, tạo điều kiện về cở sở vật chất, tài liệu, thời gian của Phòng đào tạo đại học, Phòng KHCN và HTQT, Thư viện và một số phòng ban, khoa trực thuộc trường Đại học Tây Bắc. Nhân dịp này cho em được bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và các đơn vị ban ngành nói trên đã tạo điều kiện thuận lợi để em có thể hoàn thành khóa luận này. Sơn La,tháng 5 năm 2014 Người thực hiện đề tài Trần Thị Thu Hà MỤC LỤC PHẦN I. MỞ ĐẦU .............................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài .............................................................................................. 1 2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 1 3. Đối tượng nghiên cứu ...................................................................................... 2 4. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................ 2 5. Cấu trúc khóa luận........................................................................................... 2 PHẦN II. NỘI DUNG ........................................................................................ 3 CHƢƠNG 1. PHÉP BIỂN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES ....................................................................................................... 3 1.1. Gradient của trƣờng vô hƣớng ................................................................... 3 1.1.1. Khái niệm trường vô hướng ....................................................................... 3 1.1.2. Gradien của trường vô hướng..................................................................... 3 1.2.Dive của trƣờng vectơ ................................................................................... 6 1.2.1. Khái niệm trường vecto-đường vectơ ........................................................ 6 1.2.1.1. Trường vecto-đường vecto ....................................................................... 6 1.2.1.2. Thông lượng của trường vecto qua một mặt ............................................ 7 1.2.2. Dive của trƣờng vectơ ............................................................................... 9 1.2.2.1. Dive của trường vectơ .............................................................................. 9 1.2.2.2. Trường hình ống: ................................................................................... 11 1.2.2.3. Ý nghĩa vật lý của dive .......................................................................... 12 1.3 .Rota của trƣờng vectơ................................................................................ 12 1.3.1. Lưu thông trường vectơ theo chu tuyến ................................................... 12 1.3.2. Rota của trường vectơ ............................................................................... 13 1.3.3. Định lý Stokes dưới dạng vecto ................................................................. 15 1.3.4. Ý nghĩa vật lý của rota ............................................................................. 15 1.4. Các phép toán đối với dive và rote ........................................................... 15 1.5.Toán tử nabla và toán tử vi phân cấp 2 .................................................... 17 1.5.1.Toán từ nabla: ............................................................................................ 17 1.6. Các định lí tích phân .................................................................................. 18 KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 .................................................................................. 19 CHƢƠNG 2.PHÉP BIỂN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG 20 2.1. Hệ tọa độ cong ............................................................................................ 20 2.1.1. Định nghĩa ................................................................................................. 20 2.1.2. Các ví dụ.................................................................................................... 21 2.1.2.1. Hệ tọa độ cực ......................................................................................... 21 2.1.2.3Hệ tọa độ cầu ........................................................................................... 22 2.1.3.Hệ tọa độ cong trực giao .......................................................................... 22 2.1.3.1.Khái niệm ................................................................................................ 22 2.1.3.2.Hệ số Lame .............................................................................................. 23 2.1.3.3. Hệ tọa độ cong trực giao ,điều kiện cần và đủ để hệ tọa độ cong trực giao ......24 2.1.4. Các toán tử gradient,dive,rota,laplace trong hệ tọa độ cong trực giao .....27 2.1.4.1. Gradient của trường vô hướng trong hệ tọa độ cong trực giao ............ 27 2.1.4.2. Dive của trường vecto trong hệ tọa độ cong trực giao .......................... 29 2.1.4.3. Rota của trường vecto trong hệ tọa độ cong trực giao .......................... 32 2.1.4.4. Biểu thức toán tử Laplace trong hệ tọa độ cong trực giao .................... 35 KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 .................................................................................. 36 CHƢƠNG 3. BÀI TẬP ..................................................................................... 37 PHẦN 3. KẾT LUẬN ........................................................................................ 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 46 PHẦN I. MỞ ĐẦU 1.Lý do chọn đề tài Tính chất cơ bản của vật lý học là thực nghiệm. Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của vật lý học một cách chính xác ta phải sử dụng các phương pháp toán học. Phương pháp toán học dã được sử dụng rất lâu trong vật lý. Nó là sự giao thoa giữa toán học và vật lý học. Toán học là một công cụ hỗ trợ hữu ích giúp phát triển các môn khoa học khác và đặc biệt đóng vai trò hết sức quan trọng trong vật lý học. Những quy luật đơn giản đã được vật lý cổ điển giải quyết một cách trọn vẹn. Nhưng những quy luật vĩ mô thì vật lý cổ điển bất lực. Cùng với điều đó thì toán học ngày càng phát triển kể cả bề rộng lẫn bề sâu. Vì thế một ngành vật lý mới đã ra đời có tên vật lý lý thuyết để giải quyết những vấn đề chưa được giải quyết. Sử dụng phương pháp toán học tìm ra các quy luật mới. Những quy luật này tổng quát hơn quy luật đã biết, đoán trước được những mối quan hệ giữa những hiện tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát được. Nó tìm được những quy luật tổng quát nhất, phản ánh được nhiều bản chất vật lý của nhiều hiện tượng xét một cách tổng quát hơn. Các phương pháp toán học dùng cho vật lý học rất hiện đại và phong phú, nó thuộc một khối kiến thức lớn với nhiều ngành như: hàm phức, hàm thực, các phương trình vi phân. Các kiến thức ấy rất cần thiết cho sinh viên khi ra trường và có nhu cầu nâng cao trình độ sau này. Chọn đề tài: “Nghiên cứu, tìm hiểu các công cụ toán học dùng cho vật lý nói chung và vật lý lý thuyết nói riêng”, tôi muốn giúp giải quyết một cách đơn giản nhất các bài toán của vật lý sử dụng các công cụ toán học cần thiết được nhắc đến trong đề tài này. 2.Mục đích nghiên cứu -Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng trong nghiên cứu vật lý một cách linh hoạt. -Tìm hiểu phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes. 1 -Tìm hiểu phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong, đặc biệt là hai hệ tọa độ thường gặp trong vật lý: hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu. 3.Đối tượng nghiên cứu -Các phép biến đổi Laplace và ý nghĩa của chúng. 4.Phương pháp nghiên cứu -Vật lý lý thuyết. -Phương pháp giải tích toán học. -Đọc tài liệu và tra cứu. 5.Cấu trúc khóa luận Đề tài nghiên cứu gồm: -Chương 1:Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes. -Chương 2:Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong. -Chương 3: Bài tập. 2 PHẦN II. NỘI DUNG CHƢƠNG 1. PHÉP BIỂN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES 1.1. Gradient của trƣờng vô hƣớng 1.1.1. Khái niệm trường vô hướng Trường vô hướng là một phần của không gian mà mỗi điểm M của nó ứng vơi một giá trị của một đại lượng vô hướng nào đó f(M). Cho một trường vô hướng có nghĩa là một hàm vô hướng u = f(M) có giá trị phụ thuộc vào từng điểm M của miền V. Trong tọa độ Descartes Oxyz ta có: U = f( M ) = f (x,y,z) Ví dụ 1: Ta xét sự phân bố nhiệt độ trong một vật thể nào đó. Tại mỗi điểm được cho tương ứng với một đại lượng vô hướng, đó là nhiệt độ tại điểm này. Ví dụ 2: Xét một vật thể rắn không đồng chất, mật độ  phụ thuộc vào từng điểm của vật và ta có trường mật độ  (M) của vật thể. Khi đó mật độ điểm M đã cho là giới hạn : m v 0 V Trong đó m là khối lượng của miền nhỏ bao quanh điểm M, còn V là thể tích lim của miền này. Nếu mật độ của vật thể tại tất cả các điểm là như nhau thì vật thể được coi là đồng nhất, còn ngược lại là không đồng nhất. 1.1.2. Gradien của trường vô hướng Ta xét trường vô hướng u = f(x,y,z) và tính đạo hàm của u theo vectơ j Người ta gọi đạo hàm theo hướng của vectơ j tại điểm M là đạo hàm theo cung bất kì đi qua M và tiếp xúc với j . Đạo hàm riêng vectơ i , và đạo hàm u là đạo hàm theo hướng x u u là đạo hàm theo hướng của vectơ j , đạo hàm là y z 3 đạo hàm theo hướng vectơ k . Trước hết ta hãy tìm cosin theo hướng của vectơ j a cos  = 2 b , cos  = 2 a b c 2 , cos  = a b c 2 2 2 c a b c 2 2 2 do đó : u = j u u u .a  .b  .c x y z a b c 2 2 2 (1.1) Trong biểu thức( 1.1), tử số là tích vô hướng của vectơ j và vectơ có tọa độ là ( u u u , , ). Gọi vectơ này là gradien của u và kí hiệu gradu: x y z Gradu = u u u .i  . j  .k (1.2) x y z do đó: u gradu. j = j j hay là: u gradu . j .cos( gradu, j )  j j vậy: u  gradu .cos( gradu, j ) (1.3) j Ta thấy vế phải của (1.3) là hình chiếu của gradu lên hướng j . Từ đây ta suy ra đạo hàm tại điểm M theo hướng gradu là lớn nhất. Như vậy gradu j là vectơ hướng của nó hàm u tăng theo hướng lớn nhất. 3 2 y Ví dụ 1: Cho trường vô hướng x xuất phát từ M(1 , 2 , 1) theo hướng nào z hàm u tăng nhanh nhất. 4 Giải: 2 2 3 u u u y y gradu  .i  . j  .k  3x i  2 x j x y z z z 3 2 xy k 2 z Gradu tại M: Gradu = 12i  4 j  4k . Đạo hàm theo hướng gradien tức là: u  j max = 12  4  (4) 2 2 2 = 176  13,3 Ví dụ 2: Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với parabonic z = x2 +y2 tại M(2 , 1 , 5). Mặt đã cho có thể coi như mặt mức của hàm u = z - x2 -y2 bởi vì: Gradu = 2 xi  2 y j  1k cho nên: gradu/ M = 4i  2 j  k 0 do đó phương trình mặt phẳng tiếp xúc của parabonic đã cho tại M có dạng: -4 ( x - 2) - 2 (y - 1) + 1(z - 5) = 0 hay: - 4x - 2y + z + 5 = 0 1.1.3.Các tính chất của gradien Gradien có tính chất quan trọng sau đây mà ta có thể sử dụng để chứng minh các công thức vật lý: a, Grad(u + v) = grad u + grad v (1.4) b. grad(u.v) = ugradv + vgradu (1.5) u vgradu-ugradv c,grad ( ) = (1.6) 2 v v 1.1.4. Ý nghĩa vật lý của gradien Từ (1.3) ta thấy gradien của một đại lượng vô hướng cho ta một vectơ, nên trong vật lý tường dùng phương pháp trong đó tính một đại lượng vô hướng ( không đơn trị) một cách đơn giản hơn, nhưng gradien của nó lại cho ta một đại 5 lượng vật lý thực dưới dạng vectơ đơn thể đo trên thực nghiệm. Thí dụ trong điện động lực học người ta tính thế vô hướng  ( không đơn trị), nhưng E = grad  là cường độ điện trường có thể đo trên thực nghiệm. 1.2.Dive của trƣờng vectơ 1.2.1. Khái niệm trường vectơ-đường vectơ 1.2.1.1. Trường vectơ-trường vectơ Trong vật lý ta tiếp xúc với các trường vectơ như trường lực, trường từ hay trường điện từ như E = grad  nêu ở trên. Để biểu diễn hình học trường vectơ ta dùng các đường vectơ, là các đường trong không gian mà các điểm của nó vecto A nằm dọc theo tiếp tuyến của trường tại điểm này. Nếu trường vectơ là trường lực hấp dẫn, thì các đường vectơ ( được gọi là các đường lực) là các tia xuất phát từ các gốc tọa độ. Trong trường gradien A = grad  đường vectơ của trường là đường mà khi chuyển động dọc theo nó, đại lượng u tăng với vận tốc lớn nhất. Để tìm vecto của trường A = P(x , y , z) i + Q( x , y , z ) j + R(x , y , z) k Ta tiến hành như sau: Giả sử phương trình tham số của trường vectơ là: x = x (t), y = y( t ), z = z( t ) khi đó vectơ tiếp xúc tại điểm tùy ý của đường này có dạng: j x y z i j k t t t Theo định nghĩa của trường vectơ, vectơ này đồng phương với vectơ của trường tại điểm (x , y , z). Vì thế hình chiếu lên các trục tọa độ của vectơ này tỉ lệ với nhau. dx dy dz dt dt dt   (1.7) P ( x, y, z ) Q( x, y, z ) R( x, y, z ) gọi giá trị chung của các tỉ sổ trên là  (x , y , z) ta có: 6 dx   ( x, y, z , t ) P( x, y, z ); dt dy   ( x, y, z , t )Q( x, y, z ); ( 1.8) dt dz   ( x, y, z , t ) R( x, y, z ); dt Chú ý : Vì hàm  (x , y , z ,t) được chọn tùy ý nên phương trình của đường vectơ là không đồng nhất. Ví dụ: Ta xét trường hấp dẫn sinh ra bởi chất điểm sinh ra từ gốc tọa độ. Khi đó các đường vectơ là các tia xuất phát từ gốc tọa độ, vì thế ống vectơ trong trường này có dạng hình nón với đỉnh ở gốc tọa độ. 1.2.1.2.Thông lượng của trường vectơ qua một mặt -Khái niệm thông lượng của trường vectơ: Ta xét một mặt trơn, hữu hạn S đặt trong một trường vectơ A nào đó. Ta chọn trên mặt này một hướng xác định và gọi đó là hướng dương, hướng ngược lại ta gọi là hướng âm. Ta nói mặt như vậy được gọi là mặt định hướng. Ta kí hiệu vectơ pháp tuyến đơn vị tại điểm M của mặt S sao cho vectơ này hướng từ âm sang dương là vectơ n . Vị trí vectơ n phụ thuộc vào vị trí điểm M trên mặt. Xét hàm f(M) = ( A,n ) được xác định tại mọi điểm của mặt S Nếu A = P i + Q j + R k và các góc chỉ phương của veato tương ứng với  ,  ,  tức là n = cos  i + cos  j + cos  k R cos thì f(M) = P cos  + Q cos  +  , hàm này liên tục trên mặt S, do đó tồn tại tích phân của hàm f(M) trên mặt S. Tích phân này được gọi là thông lượng của trường vectơ qua mặt S và được kí hiệu bằng  :    ( A, n)ds   ( P cos  Q cos   R cos  )dS (1.9) S Chú ý: Khi thay đổi hướng của mặt S ta thay đổi dấu của thông lượng 7 Nếu mặt S là mặt kín thì ta thường định hướng như sau: hướng bên ngoài của mặt là hướng dương , hướng bên trong của mặt là hướng âm. -Ý nghĩa vật lý của thông lượng của trường vectơ: Trong trường hợp thủy động học, thông lượng qua mặt được dịnh hướng bằng khối lượng chất lỏng chảy qua mặt này trong một đơn vị thời gian. Ta xét trường hợp mặt kín S. Nếu thông lượng qua S là mặt dương điều này có nghĩa là lượng chất lỏng chảy qua từ một phần không gian được giới hạn bởi mặt S lớn hơn lượng chất lỏng chảy vào nó. Ngược lại nếu thông lượng âm thì lượng chảy vào S lớn hơn lượng chảy ra từ S. Ví dụ1: Cho trường vecto: A  ( x  y)i  ( y  x) j  zk Tính thông lượng của trường này qua bề mặt của hình cầu bán kính 1 với tâm tại gốc tọa độ. Giải : Trong trường hợp này pháp tuyến tại điểm bất kỳ của mặt S hướng theo bán kính vectơ tại điểm này. Vì thế vectơ pháp tuyến đơn vị: n = R = xi  y j  zk R 2 do x  y  z 2 = 1 đối với mọi điểm nằm trên mặt cầu đã cho. 2 như vậy: ( A, n) = (x + y)x + (y - x)y + zz = x 2 2 y z vì thế thông lượng bằng:  ( A, n)dS   ( x S S 2  y  z )ds   ds  s  4 2 2 S Ví dụ 2:Tính thông lượng của trường lực hút A  mR 3 qua mặt cầu bán kinh a với tâm tại gốc tọa độ. R Giải: Ta thấy n = R do đó: R 8 2 (A,n) = (  mR R 3 R , R )= =- m a 2 cho nên:    ( A, n)ds   ( S m m a a S )ds   2 2  ds   S m a 4 a  4 m 2 2 Ví dụ 3: Tính thông lượng của trường vectơ A = (-y, x, 0) qua phần mặt cầu x2+y2+z2=a2 nằm trong góc tọa độ thứ nhất( x  0, y  0, z  0 ) định hướng theo pháp tuyến hướng ra phía ngoài mặt cầu. Giải Ta tính thông lượng của trường vectơ theo tích phân mặt loại 2     ydydz  xdzdx S Trước hết ta xét phương trình tham số của mặt cầu. x = a sin  cos  y = a sin  sin  z = a cos  trong đó: 0   ,   ta có:  2  ( y, z ) 2 2  a cos sin  ( , )  ( z , x) 2  a sin  sin  ( , ) 2 thay vào các biểu thức trên ta có:   (a 0  0  3 sin  cos sin   a sin  cos sin  )d  0 3 3 3 2  2 1.2.2.Dive của trƣờng vectơ 1.2.2.1. Dive của trường vectơ Dive (divergent) của trường vectơ A tại điểm M là giới hạn của tỉ số thông lượng qua mặt kín bao quanh M và thể tích của miền được giới hạn bởi bề mặt này 9  ( A.n) ds Div A = lim V M S (1.10) V Những điểm của trường vectơ tại đó dive mang dấu dương được gọi là điểm nguồn. Những điểm mà tại đó dive mang dấu âm được gọi là những điểm hút. Giả sử trường vectơ: A  Pi  Q j  Rk trong đó P , Q, R là những hàm vô hướng có đạo hàm cấp 1, 2 liên tục thì: Div  ( A, n)ds A = lim V M s  ( P cos  Q cos   R cos  )ds  lim S V M V (1.11) V trong đó:  ,  ,  là những góc chỉ phương của pháp tuyến ngoài. Theo công thức Ostrogradski ta đưa tích phân mặt về tích phân 3 lớp: P Div A = lim Q R  ( x  y  z )dV v v  M V (1.12) Theo định lý giá trị trung bình ,trong miền V,ta tìm được một điểm M sao cho: P Q R P Q R  ( x  y  z )dV ( x  y  z )/ M .V 0 V 0 vì thế: P Div A = lim v v M khi v  M thì R )dV z  lim( v m V M tb  M Div A = Q  ( x  y  vì thế: P Q R   (1.13) x y z từ công thức: (1.12) và (1.13) ta có: 10 P Q R   )/ x y z M tb tb  ( A, n)ds   div AdV =(1.14) s v Như vậy thông lượng của trường vecto A qua bề mặt kín bằng tích phân ba lớp của div A trên miền mà bề mặt này giới hạn. Chú ý rằng công thức này chỉ được nghiệm đúng trong trường hợp khi div A liên tục bên trong miền V. Ví dụ 1:Tính thông lượng của trường vectơ : A  ( x  y)i  ( y  x) j  zk Qua mặt cầu đơn vị tâm tại gốc tọa độ. Giải div A = ( x  y ) ( y  z ) z   3 x y z như vậy thông lượng:    ( A, n)ds   divAdV   3dV  3V  3.4 / 3  4 s v V 1.2.2.2.Trường hình ống Nếu tại tất cả các điểm của miền G nào đó dive của trường A bằng 0, thì ta nói A là trường hình ống trong miền này. Ví dụ 1: Cho trường hấp dẫn F =  m R 3 trong miền G nào đó không chứa R gốc tọa độ. Hãy tính dive F . Giải Bằng cách tính trực tiếp ta thấy rằng : Div F =0 Tại điểm bất kì khác gốc tọa độ. Vậy F là trường hình ống trong miền G. Bây giờ ta tính dive tại gốc tọa độ. Ta thấy thông lượng qua mặt cầu bán kính a bằng 4   m , tỉ số thông lượng và thể tích hình cầu chứa bên trong bề mặt này bằng: 4 m 3 m  3 4 3 a  3 a 11 theo định nghĩa: (div F )  lim 3 m (0,0,0) a 3   a 0 1.2.2.3. Ý nghĩa vật lý của dive Phép tính dive có nhiều ứng dụng trong vật lý như tính thông lượng của một trường theo vectơ (1.14).Ngoài ra, qua biến dổi của tích phân khi tính thông lượng người ta còn dẫn đến phương trình Maxwell trong điện động lực học div D =  (1.15) trong đó D là vectơ cảm ứng điện từ ,còn  là mật độ điện tích tự do. 1.3. Rota của trƣờng vectơ 1.3.1. Lưu thông trường vectơ theo chu tuyến Ta xét trường vectơ: A  Pi  Q j  Rk Và chu tuyến đóng nằm trong trường này. Ta gọi tích phân đường:  Pdx  Qdy  Rdz (1.16) là lưu thông của trường vectơ A theo chu tuyến . Ta hiểu ngầm rằng lưu thông phụ thuộc không chỉ vào A và phụ thuộc vào cả hướng của chu tuyến , mà còn . Khi thay đổi hướng của đường cong, lưu thông thay đổi dấu. Ví dụ 1: Nếu A là trường lực, thì lưu thông của trường theo chu tuyến bằng công khi dịch chuyển chất điểm trong trường lực dọc theo chu tuyến . Ta hiểu rằng lưu thông không chỉ phụ thuộc vào A và , mà còn cả hướng của chu tuyến . Khi thay đổi hướng của đường cong, lưu thông thay đổi dấu. Ví dụ 2: Nếu A là trường lực, thì lưu thông của trường theo chu tuyến bằng công khi dịch chuyển chất điểm trong trường lưu dọc theo chu tuyến . Giả sử đường cong cho dưới dạng tham số: x=  (t) , y=  (t), z =  (t) với 12 t 0  t T như vậy ,để tính lưu thông trường vectơ ta có thể áp dụng công thức Stockes:     P R Q P  R Q   Pdx  Qdy  Rdz  S ( y  z )cos  ( z  x )cos  ( x  y )cos  ds     (1.18) trong trường hợp đặc biệt: Q P  Pdx  Qdy   ( x  y )ds (1.19) s 1.3.2.Rota của trường vectơ Trong không gian oxyz cho bề mặt S nào đó. Ta xét trường vectơ: A  Pi  Q j  Rk trong đó: P, Q, R và các đạo hàm riêng cấp 1 của nó liên tục tại điểm M 0  S và trong lân cận diểm M 0 Trên bề mặt S, ta vẽ chu tuyến đóng bao quanh điểm M 0 rồi chọn một hướng xác định trên chu tuyến này và tính:  Adl và diện tích  của bề mặt S được giới Tỉ số lưu thông theo chu tuyến hạn bởi chu tuyến trên được gọi là mật độ lưu thông trung bình  Adl  Chú ý: Trong một số tài liệu, tích phân đường:  Pdx  Qdy  Rdz  Adl ta gọi giới hạn: lim M  0 lim M0   Pdx  Qdy  Rdz   là mật độ lưu thông tại điểm M 0 trên mặt S. Ta có:  R Q  lim được gọi là lưu số.  P R   Q P     y  z  cos   z  x  cos   x  y  cos  d  dian 0 13   R Q    Q P   P R   c os    c os    c os      x y   z x   y z     / = lim  M = TB dian 0  R Q   P R   Q P   y  z  cos   z  x  cos   x  x  cos / M       0 như vậy : A  Pi  Q j  Rk , n =cos  i  cos j  cos k thì mật độ lưu thông tại điểm M 0 theo hướng n bằng:  R Q   P R   Q P   c os    c os    y z   z x   x  x  cos / M   0 biểu thức trên là tích vô hướng của vecto n và vectơ n ( R Q P R Q P  )i  (  ) j  (  )k y z z x x y Vectơ này chỉ phụ thuộc vào trường vectơ đã cho A ta kí hiệu rot A . Như vậy mật độ lưu thông của trường vectơ A theo hướng n bằng rot A . n rota của trường vectơ A rot A = ( R Q P R Q P  )i  (  ) j  (  )k (1.20) y z z x x y Có giá trị hoàn toàn xác định(về độ lớn,về hướng) tại mỗi điểm của trường đã cho, do đó, rota lập thành trường vectơ mới. Biểu thức (1.20) cũng có thể viết dưới dạng định thức như sau: Rot A = i j k  x  y  (1.21) z P Q R Ví dụ 1: Tính rota của trường vectơ A cho bởi biểu thức: 14 A= x 2 2   2  y i y z 2  j   z  x k 2 2 Giải: Theo công thức (1.3.2.2) ta nhận được: rot A =  2z  i   2x  j   2y  k Nói riêng tại (0,0,1): rot A =-2 i Ví dụ 2: Xét trường vận tốc tại các điểm vật thể rắn quay với vận tốc góc không đổi W 0 quanh trục Oz Giải Ta đã biết trường này được cho bởi công thức,ta vận dụng các công thức phần lí thuyết để giải quyết bài tập một cách linh hoạt nhất. 1.3.3.Định lý Stokes dưới dạng vectơ  Adl   rot Ads s trong đó rot A là hình chiếu của vectơ rot A lên pháp tuyến của mặt S Như vậy, lưu thông của trường vecto theo chu tuyến đóng bằng thông lượng của rot A của trường này trên bề mặt với biên là chu tuyến . 1.3.4.Ý nghĩa vật lý của rota Từ rot A có nghĩa là xoáy,cho nên nó mô tả nhiều hiện tượng điện từ quan trọng như rota thông thường của trường H thì sinh ra dòng điện mật độ j Rot H = j (1.22) Còn rota của thông lượng trường điện từ E thì sinh ra sự biến thiên của vecto cảm ứng từ B theo thời gian Rot E =- B (1.23) t Các phương trình (1.22) và (1.23) là các phương trình Maxwell. 1.4: Các phép toán đối với dive và rota a,Dive và rota của vectơ hằng số bằng không: 15