Tài liệu Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học tính diện tích hình phẳng ở lớp 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hoàng Vũ NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH CỦA GIÁO VIÊN TRONG DẠY HỌC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ở LỚP 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hoàng Vũ NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH CỦA GIÁO VIÊN TRONG DẠY HỌC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ở LỚP 12 Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã truyền dạy những những kiến thức quý báu và đã tận tình chỉ dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Trần Lương Công Khanh đã nhiệt tình giảng dạy, giải đáp thắc mắc, giúp tôi tiếp thu tốt nhất kiến thức chuyên ngành Didactic Toán. Tôi xin chân thành cảm ơn: © Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau Đại học, ban chủ nhiệm và giảng viên khoa Toán - tin học trường ĐH Sư Phạm TP.HCM đã tạo mọi thuận lợi cho tôi trong suốt khóa học. © Ban giám hiệu và giáo viên các trường THPT Thủ Thiêm (Q.2), THPT Lê Quý Đôn (Q.3), Trung Học Thực Hành ĐHSP, THPT Hùng Vương, THPT Trần Khai Nguyên (Q.5), THPT Mạc Đĩnh Chi (Q.6), THPT Lê Thánh Tôn, THPT Ngô Quyền (Q.7), THPT Nguyễn Văn Linh (Q.8), THPT Nguyễn Du (Q.10), THPT Nguyễn Hiền, THPT Trần Quang Khải, THPT Trương Vĩnh Ký (Q.11), THPT Nguyễn Công Trứ (Q. Giò Vấp) và THPT Nguyễn Hữu Huân (Q.Thủ Đức) đã tạo điều kiện cho tôi thực dự giờ, quan sát nhiều tiết học và tiến hành các thực nghiệm cần thiết cho luận văn. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tha thiết đến gia đình và các bạn cùng khóa, những người luôn yêu mến, ủng hộ, chia sẻ và động viên tôi suốt quá trình học tập. Nguyễn Hoàng Vũ DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT BT Dthp GV GV-C GV-NC HS LL&PPDH NXB OTChIII Pthđgđ Pttđgđ Pttt SBT SBT-C SBT-NC SGK SGK-C SGK-NC SGV SGV-C SGV-NC THPT VD : Bài tập : Diện tích hình phẳng : Giáo viên : Giáo viên dạy chương trình chuẩn : Giáo viên dạy chương trình nâng cao : Học sinh : Lý luận và phương pháp dạy học : Nhà xuất bản : Ôn tập chương III : Phương trình hoành độ giao điểm : Phương trình tung độ giao điểm : Phương trình tiếp tuyến : Sách bài tập : Sách Bài tập Giải tích 12 : Sách Bài tập Giải tích 12 - Nâng cao : Sách giáo khoa : Sách Giải tích 12 : Sách Giải tích 12 - Nâng cao : Sách giáo viên : Sách Giáo viên Giải tích 12 : Sách Giáo viên Giải tích 12 - Nâng cao : Trung học phổ thông : Ví dụ MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT MỤC LỤC MỞ ĐẦU .......................................................................................................................... 1 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ......................................................... 1 2. Khung lý thuyết tham chiếu ..................................................................................... 3 3. Phương pháp nghiên cứu .......................................................................................... 4 4. Cấu trúc luận văn ...................................................................................................... 4 CHƯƠNG I. QUAN HỆ CỦA THỂ CHẾ VỚI DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ................ 5 1. Tổng hợp các kết quả nghiên cứu đã có về diện tích hình phẳng ............................ 5 1.1. Mối liên hệ giữa diện tích và tích phân trong lịch sử toán học ......................... 5 1.2. Mối liên hệ giữa diện tích và tích phân trong dạy học toán ở Việt Nam .......... 6 1.3. Một số quy tắc của hợp đồng thể chế liên quan đến diện tích hình phẳng ........ 6 2. Phân tích chương trình ............................................................................................. 7 3. Phân tích sách giáo khoa .......................................................................................... 8 3.1. Cấu trúc chương III. Nguyên hàm - Tích phân và Ứng dụng trong các sách giáo khoa hiện hành .................................................................................................. 8 3.2. Diện tích hình thang cong trong các sách giáo khoa hiện hành ........................ 8 3.2.1. Diện tích hình thang cong trong sách Giải tích 12 ..................................... 8 3.2.2. Diện tích hình thang cong trong sách Giải tích 12 - Nâng cao ................... 9 3.2.3. Nhận xét .................................................................................................... 10 3.3. Diện tích hình phẳng trong các sách giáo khoa hiện hành .............................. 10 3.3.1. Diện tích hình phẳng trong sách Giải tích 12 ........................................... 10 3.3.2. Diện tích hình phẳng trong các sách Giải tích 12 - Nâng cao .................. 12 3.3.3. Nhận xét .................................................................................................... 13 3.3.4. Diện tích hình phẳng trong các bài đọc thêm ........................................... 14 4. Các tổ chức toán học gắn liền với diện tích hình phẳng ........................................ 15 4.1. Các tổ chức toán học trong SGK-C và SBT-C ................................................ 15 4.1.1. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số .................................................................... 15 4.1.2. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 2 : Tính tỉ số diện tích của hai hình phẳng........................................................................................................... 17 4.1.3. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 3 : Tính diện tích đa giác ....... 18 4.1.4. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 4 : So sánh diện tích của hai hình phẳng........................................................................................................... 18 4.1.5. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 5 : Tính diện tích hình thang cong bằng giới hạn.............................................................................................. 19 4.1.6. Nhận xét .................................................................................................... 20 4.2. Các tổ chức toán học trong SGK-NC và SBT-NC .......................................... 22 4.2.1. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số ..................................................................... 22 4.2.2. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 6 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của ba hàm số....................................................................... 23 4.2.3. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 7 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong ............................................................................... 25 4.2.4. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 8 : Tìm giá trị của tham số để diện tích hình phẳng bằng S > 0 cho trước ....................................................... 26 4.2.5. Nhận xét .................................................................................................... 27 5. Kết luận chương I ................................................................................................... 29 CHƯƠNG II. NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH CỦA GIÁO VIÊN TRONG DẠY HỌC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ............................................................................... 32 1. Thực tế giảng dạy diện tích hình phẳng ở chương trình chuẩn .............................. 32 1.1. Phân tích các tổ chức didactic ......................................................................... 33 1.2. Nhận xét ........................................................................................................... 50 2. Thực tế giảng dạy diện tích hình phẳng ở chương trình nâng cao ......................... 50 2.1. Phân tích các tổ chức didactic ......................................................................... 51 2.2. Nhận xét ........................................................................................................... 69 3. Kết luận chương II .................................................................................................. 70 CHƯƠNG III. THỰC NGHIỆM ................................................................................... 73 1. Mục tiêu thực nghiệm ............................................................................................. 73 2. Đối tượng thực nghiệm........................................................................................... 73 3. Nội dung thực nghiệm ............................................................................................ 74 3.1. Phân tích tiên nghiệm ...................................................................................... 74 3.2. Phân tích hậu nghiệm....................................................................................... 79 4. Kết luận chương III ................................................................................................ 86 KẾT LUẬN .................................................................................................................... 88 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................. 91 PHỤ LỤC 1 MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Khi thực hiện tiểu luận hợp đồng didactic liên quan đến diện tích hình phẳng năm 2011, chúng tôi đã tiến hành một thực nghiệm như sau: Chúng tôi yêu cầu 50 HS lớp 12A14 và 12A18 trường THPT Trần Khai Nguyên, Q.5 (chương trình chuẩn) giải bài toán “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong ( H ) : y = 2 và x ( P ) : y = x 2 + 2 x − 1 .” Kết quả: 50/50 HS tham gia thực nghiệm sử dụng chiến lược “đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân” để giải bài toán trên và đưa ra lời giải tương tự lời giải sau: Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và (P): 2 = x2 + 2x − 1 ( x ≠ 0) x ⇔ x3 + 2x2 − x − 2 = 0  x = −2 ⇔  x = ±1 Khi đó: 1 2 2 ∫−2 x − x − 2 x + 1 dx −1 1 2 2 2 = ∫ − x − 2 x + 1 dx + ∫ − x 2 − 2 x + 1 dx x x −2 −1 −1 1 2 2 = ∫ ( − x 2 − 2 x + 1)dx + ∫ ( − x 2 − 2 x + 1)dx x x −2 −1 S=  x3 2  =  2 ln x − − x + x  3   −1 −2 1  x3 2  +  2 ln x − − x + x  3   −1 = 3 − 2 ln 2 1 Nhận xét: Lời giải trên là một lời giải sai. 1 Có 17 đáp số khác nhau, trong đó đáp số 3 − 2 ln 2 có tần suất cao nhất (13/50). 2 Nguyên nhân: HS đã áp dụng sai phạm vi hợp thức của định lí “Nếu f ( x ) liên tục b và không đổi dấu trên đoạn [a;b] thì ∫ a 1 ∫ −2 f ( x ) dx = b ∫ f ( x )dx .” Dễ thấy, tích phân a 2 2 − x 2 − 2 x + 1 dx không tồn tại vì hàm số y = không liên tục trên đoạn [–2;1]. x x Mặt khác, có thể giải bài toán trên bằng chiến lược “dùng đồ thị”. Cụ thể, nếu vẽ hai đồ thị (H) và (P) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có: Dựa vào đồ thị, ta thấy hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị (H) và (P) chỉ nằm trong đoạn [–2;–1]. Và do đó, lời giải mong đợi của bài toán trên như sau: −1 −1 5 2 x3 S = ∫ ( − x 2 − 2 x + 1)dx =(2 ln x − − x 2 + x ) = − 2 ln 2 . x 3 −2 3 −2 Bình luận: Việc HS học chương trình chuẩn không xét tính liên tục của các hàm số trên đoạn [–2;1] cũng như không xác định hình phẳng trước khi tính diện tích đã dẫn đến sai lầm trong bài toán trên. Điều này khiến chúng tôi thắc mắc: Liệu HS học chương trình nâng cao có gặp sai lầm tương tự? Để giải đáp thắc mắc này, chúng tôi tiến hành một thực nghiệm tương tự với 50 HS lớp 12A2 và 12A4 trường THPT Trương Vĩnh Ký, Q.11 (chương trình nâng cao). Thực nghiệm diễn ra vào đầu tháng 2/2010. 3 Kết quả: 35/50 HS sử dụng chiến lược “dùng đồ thị” và giải đúng bài toán trên. 11/50 HS sử dụng chiến lược “đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân” nhưng lập luận hàm số không liên tục trên đoạn [–1; 1] nên chỉ tính tích phân trên đoạn [–2; –1] và đưa ra đáp số đúng. 3/50 HS sử dụng chiến lược “đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân” nhưng không xét tính liên tục của hàm số trên đoạn [–2; 1] nên đưa ra đáp số sai. 1 HS không giải được bài toán trên. Bình luận: Việc HS học chương trình nâng cao sử dụng đồ thị để xác định hình phẳng hay xét tính liên tục của hàm số trên đoạn [–2; 1] đã giúp các em giải đúng bài toán trên. Tới đây, chúng tôi tự hỏi: Tại sao có sự khác biệt trong cách giải bài toán trên giữa HS học chương trình chuẩn và HS học chương trình nâng cao? Do chênh lệch trình độ HS? Hay là do lựa chọn của thể chế và của GV? Là những người nghiên cứu didactic toán để phục vụ cho việc dạy học toán ở trường THPT, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến hoạt động dạy học của GV trong thực tế. Do đó, chúng tôi quyết định chọn đề tài Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học diện tích hình phẳng ở lớp 12. Với đề tài đã chọn, chúng tôi đặt ra những câu hỏi xuất phát như sau: © Diện tích hình phẳng được xác định như thế nào trong chương trình và SGK? © Trong thực tế giảng dạy, GV làm thế nào để HS tính diện tích hình phẳng như chương trình và SGK mong đợi? 2. Khung lý thuyết tham chiếu Mục tiêu nghiên cứu của chúng tôi là trả lời hai câu hỏi nêu trên. Để trả lời câu hỏi thứ nhất, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic toán. Cụ thể, chúng tôi sử dụng các công cụ của lý thuyết nhân chủng học như: quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học, tổ chức didactic và chuyển hóa sư phạm, trong đó: - Thể chế I: thể chế dạy học toán lớp 12 của Việt Nam. - Đối tượng tri thức O: diện tích hình phẳng. 4 Với ngôn ngữ didactic, chúng tôi phát biểu lại hai câu hỏi xuất phát như sau: i. Trong thể chế I, đối tượng O được triển khai ra sao? Có những tổ chức toán học nào gắn với O? ii. GV đã thiết lập những tổ chức didactic nào để tiến hành giảng dạy các tổ chức toán học gắn với O? Có sự khác biệt nào giữa tổ chức toán học cần dạy và tổ chức toán học được dạy trong lớp học? 3. Phương pháp nghiên cứu Để đạt được mục tiêu nghiên cứu, chúng tôi tiến hành các phương pháp sau: - Trước hết chúng tôi tiến hành phân tích chương trình và SGK. Chúng tôi sẽ phân tích cả hai bộ sách Giải tích 12 và Giải tích 12 Nâng cao nhằm làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng diện tích hình phẳng. Các nghiên cứu này sẽ giúp chúng tôi tìm ra các yếu tố để trả lời các câu hỏi đặt ra ở trên, đồng thời đưa ra các câu hỏi nghiên cứu hay giả thuyết nghiên cứu. - Sau khi phân tích chương trình và SGK, chúng tôi tiến hành quan sát lớp học. Chúng tôi quan sát các tiết học diện tích hình phẳng ở hai lớp học (một lớp học chương trình chuẩn và một lớp học chương trình nâng cao). - Phần thực nghiệm sẽ giúp chúng tôi tìm ra các yếu tố để trả lời các câu hỏi nghiên cứu cũng như kiểm tra tính đúng đắn của giả thuyết nghiên cứu. Thực nghiệm sẽ được tiến hành dưới hình thức phát phiếu điều tra. Đối tượng thực nghiệm là giáo viên dạy toán lớp 12. 4. Cấu trúc luận văn Mở đầu Chương 1. Quan hệ của thể chế với diện tích hình phẳng Chương 2. Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học diện tích hình phẳng Chương 3. Thực nghiệm Kết luận Phụ lục. 5 CHƯƠNG I. QUAN HỆ CỦA THỂ CHẾ VỚI DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Mục tiêu của chương này là nghiên cứu quan hệ của thể chế với đối tượng diện tích hình phẳng nhằm trả lời các câu hỏi: © Diện tích hình phẳng được trình bày ra sao trong các SGK hiện hành? © Có những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến diện tích hình phẳng? Những kiểu nhiệm vụ nào chiếm ưu thế? Đối với mỗi kiểu nhiệm vụ, có những kĩ thuật nào để giải quyết? Kĩ thuật nào được ưu tiên? Để trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi tiến hành phân tích chương trình và các SGK hiện hành. Tài liệu phân tích của chúng tôi gồm có: Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (2006); Hướng dẫn thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 12 môn Toán (2008); các sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Giải tích 12 và Giải tích 12 Nâng cao (mà chúng tôi lần lượt kí hiệu SGK-C, SBT-C, SGV-C, SGK-NC, SBT-NC, SGV-NC để thuận tiện cho việc trình bày). Ngoài ra, chúng tôi còn tham khảo luận văn Khái niệm diện tích trong dạy - học toán ở trung học cơ sở (2008) của tác giả Trần Đức Thuận, luận văn Nghiên cứu didactic về những khái niệm khó khăn của học sinh khi tiếp thu khái niệm tích phân (2002) và luận án tiến sĩ La notion d’intégrale dans l’enseignement des mathématiques au lycée: une étude comparative entre la France et le Vietnam (2006) của tác giả Trần Lương Công Khanh để kế thừa các kết quả nghiên cứu trước đó về diện tích hình phẳng. 1. Tổng hợp các kết quả nghiên cứu đã có về diện tích hình phẳng 1.1. Mối liên hệ giữa diện tích và tích phân trong lịch sử toán học Theo Trần Đức Thuận (2008), khái niệm diện tích gắn liền với ba bài toán: tính diện tích, so sánh diện tích và bài toán cầu phương, trong đó, bài toán tính diện tích được hình thành vì nhu cầu đo đạc ruộng đất để tính thuế từ thời cổ đại. 6 Theo Trần Lương Công Khanh (2002), trong lịch sử toán học, có rất nhiều nhà toán học tìm cách tính diện tích của các hình phẳng cụ thể bằng nhiều phương pháp khác nhau, trong đó phải kể đến phương pháp “vét cạn” của Archimède, phương pháp “phần tử không thể phân chia được” của Cavalieri… Cuối cùng, Newton và Leibniz đã độc lập đưa ra lời giải tổng quát của bài toán diện tích bằng ngôn ngữ tích phân. Như vậy, có thể xem bài toán diện tích hình phẳng là bài toán xuất phát của khái niệm tích phân. Ngược lại, từ khi ra đời, tích phân trở thành công cụ hiệu quả nhất để tính diện tích của một hình phẳng bất kì. 1.2. Mối liên hệ giữa diện tích và tích phân trong dạy học toán ở Việt Nam Theo Trần Lương Công Khanh (2006): “Mối liên hệ giữa diện tích, nguyên hàm và tích phân ở Việt Nam là một chiều theo sơ đồ: Nguyên hàm → Tích phân → Diện tích. Điều này có nghĩa là nguyên hàm phục vụ cho tính tích phân và tích phân phục vụ cho tính diện tích. Chiều ngược lại của các mũi tên không tồn tại trong phần bài tập mặc dù phần bài học có trình bày tích phân phụ thuộc cận trên 2 và mối liên hệ giữa diện tích biến thiên với nguyên hàm. Ở Pháp, mối liên hệ giữa nguyên hàm và tích phân là hai chiều. Nguyên hàm giúp tính tích phân và tích phân (phụ thuộc cận trên) cho phép tính nguyên hàm. Ngoài ra, biểu diễn hình học của tích phân cho phép tính tích phân nhờ diện tích. Mối liên hệ này không được thiết lập ở Việt Nam.” 3 1.3. Một số quy tắc của hợp đồng thể chế liên quan đến diện tích hình phẳng Theo Trần Lương Công Khanh (2006): Ở thể chế Việt Nam, HS phải tôn trong những quy tắc của hợp đồng didactic liên quan đến diện tích hình phẳng sau đây: Quy tắc RI 1 : Vẽ các đường biểu diễn hình phẳng 2 3 Khái niệm tích phân phụ thuộc cận trên không được trình bày trong các SGK hiện hành. Mục 1.2 và 1.3: bản dịch từ tiếng Pháp sang tiếng Việt do Trần Lương Công Khanh thực hiện. 7 Dựa vào biểu thức giải tích của các đường đã cho, HS vẽ trong cùng một hệ trục tọa độ hình biểu diễn các đường giới hạn hình phẳng cần tính diện tích. Nếu y = f1 ( x ) và y = f2 ( x ) là phương trình hai đường giới hạn hình phẳng đang xét trên đoạn [a;b], việc kiểm chứng bất đẳng thức ∀x ∈ [a; b], f1 ( x ) ≤ f2 ( x ) bằng hình vẽ là được phép. Quy tắc RI 2 : Xác định các cận tích phân Trong trường hợp giá trị của các cận tích phân không cho trước, HS phải tính chúng bằng phương pháp đại số bằng cách xem chúng là hoành độ giao điểm của các đường đang xét. Quy tắc RI 3 : Xác định hình phẳng cần tính diện tích - Hình phẳng cần tính diện tích là miền giới nội lớn nhất (không nhất thiết liên thông) có biên khép kín và được hợp thành chỉ từ các đường giới hạn hình phẳng. - Không có phần nào của các đường giới hạn hình phẳng lại nằm ở miền trong của hình phẳng. 2. Phân tích chương trình Nghiên cứu chương trình lớp 12, chúng tôi nhận thấy đối tượng diện tích hình phẳng xuất hiện ở chương III. Nguyên hàm - Tích phân và Ứng dụng. Nội dung chương này gồm có 3 chủ đề: Nguyên hàm; Tích phân và Ứng dụng hình học của tích phân. Đối với chủ đề tích phân, mức độ cần đạt bao gồm: + Về kiến thức: - Biết khái niệm diện tích hình thang cong. - Biết định nghĩa tích phân của hàm số liên tục bằng công thức Newton-Leibniz. - Biết các tính chất của tích phân. + Về kĩ năng: - Tính được tích phân của một số hàm số tương đối đơn giản bằng định nghĩa hoặc phương pháp tích phân từng phần. 8 - Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân. Đối với chủ đề Ứng dụng hình học của tích phân, mức độ cần đạt bao gồm: + Về kiến thức: Biết các công thức tính diện tích, thể tích nhờ tích phân. + Về kĩ năng: Tính được diện tích một số hình phẳng, thể tích một số vật thể tròn xoay nhờ tích phân. 3. Phân tích sách giáo khoa 3.1. Cấu trúc chương III. Nguyên hàm - Tích phân và Ứng dụng trong các sách giáo khoa hiện hành Sách Giải tích 12 Sách Giải tích 12 - Nâng cao §1. Nguyên hàm §1. Nguyên hàm §2. Tích phân §2. Một số phương pháp tìm nguyên hàm §3. Ứng dụng của tích phân trong §3. Tích phân hình học Bài đọc thêm: Tính gần đúng tích phân và khái Bài đọc thêm: Tính diện tích bằng niệm tổng tích phân giới hạn §4. Một số phương pháp tính tích phân Ôn tập chương III §5. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng §6. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể Ôn tập chương III 3.2. Diện tích hình thang cong trong các sách giáo khoa hiện hành Ở cả hai SGK, diện tích hình thang cong xuất hiện trong bài “Tích phân”. 3.2.1. Diện tích hình thang cong trong sách Giải tích 12 SGK-C định nghĩa hình thang cong như sau: “Cho hàm số y = f ( x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a;b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong (H. 47a).” ([3], 102) 9 Sau khi định nghĩa hình thang cong, SGK-C xét bài toán tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi một đường cong kín bất kì. SGK-C giải thích: “Bằng cách kẻ các đường thẳng song song với các trục tọa độ, ta chia D thành những hình thang cong nhỏ (H. 47b). Bài toán trên được đưa về tính diện tích của hình thang cong 4.” ([3], 102) Tiếp theo, SGK-C xây dựng công thức tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong y = x 2 , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 1 , từ đó suy ra công thức tính diện tích hình thang cong bất kì bằng công cụ nguyên hàm: S= (b) F (b) − F (a ) , trong đó F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ). Tới đây, SGK-C định nghĩa tích phân bằng công thức Newton-Leibniz. Trong phần nhận xét b) Ý nghĩa hình học của tích phân, SGK-C đưa ra công thức tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f ( x ) (với f ( x ) liên tục và không âm trên đoạn [a;b]), trục Ox và hai đường thẳng= x a= , x b (H. 47a) bằng tích b phân: S = ∫ f ( x )dx (*). a 3.2.2. Diện tích hình thang cong trong sách Giải tích 12 - Nâng cao 4 Nguyễn Thế Thạch (2008): “Một hình phẳng bất kì đều có thể chia thành một số hữu hạn hình thang cong. Do đó, diện tích của hình phẳng này bằng tổng diện tích các hình thang cong. Người ta chứng minh được rằng mọi hình phẳng bị chặn nằm trong mặt phẳng tọa độ Oxy có biên (chu vi) được giới hạn bởi các đường cong thuộc các dạng sau: © y = f ( x) , f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] © x = g ( y ) , g ( y ) liên tục trên đoạn [c; d]  x = ϕ (t ) 2 2 ©  , trong đó ϕ , ψ là các hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [α; β] và [ϕ’] + [ψ ’] ≠ 0, t ∈ [α; β] y ψ ( t ) =  đều có diện tích (khả phương).” ([7], 48) 10 SGK-NC cũng mở đầu bài “Tích phân” bằng cách đưa ra định nghĩa hình thang cong: “Cho hàm số y = f ( x) liên tục và lấy giá trị dương trên đoạn [a;b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong (phần tô đậm trong hình 3.1)”. ([5], 146) Tiếp theo, SGK-NC đặt ra bài toán 1: chứng minh diện tích S của hình thang cong được tính theo công thức= S F (b) − F (a ) , trong đó F là một nguyên hàm bất kì của f trên đoạn [a;b]. Sau khi chứng minh bài toán 1, SGK-NC định nghĩa khái niệm tích phân bằng công thức Newton-Leibniz. Sau đó, SGK-NC phát biểu lại bài toán 1 thành định lí 1. Định lí này tương ứng với nhận xét b) Ý nghĩa hình học của tích phân trong SGK-C. 3.2.3. Nhận xét Như vậy, cả hai SGK đều sử dụng bài toán tính diện tích hình thang cong để trình bày khái niệm tích phân. Và ngược lại, cả hai SGK đều cung cấp công thức (*) cho phép sử dụng tích phân để tính diện tích hình thang cong bất kì. Theo chúng tôi, cả hai SGK đều trình bày phần này khá hợp lí, mối liên hệ giữa diện tích và tích phân được triển khai đúng theo trình tự trong lịch sử toán học. 3.3. Diện tích hình phẳng trong các sách giáo khoa hiện hành Diện tích hình phẳng được trình bày ở bài §3. “Ứng dụng của tích phân trong hình học” trong SGK-C. Bài này trình bày hai ứng dụng hình học chủ yếu của tích phân: tính diện tích hình phẳng và tính thể tích vật thể tròn xoay. Còn trong SGK-NC, diện tích hình phẳng xuất hiện ở bài §5. “Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng”. 3.3.1. Diện tích hình phẳng trong sách Giải tích 12 Trong bài “§3. Ứng dụng của tích phân trong hình học”, diện tích hình phẳng được SGK-C trình bày ở phần I - Tính diện tích hình phẳng. Phần này, SGK-C không định nghĩa hình phẳng nói chung mà chỉ xét hai loại hình phẳng (tương ứng với hai đề mục): 11 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Theo SGV-C, “cách phân loại này chỉ dễ nhớ chứ chưa đầy đủ” ([4], 138). Hơn nữa, có thể coi hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành là trường hợp đặc biệt của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong. Đối với mỗi loại hình phẳng, SGK-C cũng không định nghĩa mà chỉ gọi tên để tiện xây dựng công thức tính diện tích. SGK-C xây dựng công thức tính diện tích hai loại hình phẳng kể trên theo trình tự: b - Nhắc lại công thức tính diện tích hình thang cong: S = ∫ f ( x )dx . a - Suy ra công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f ( x ) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng= x a= ,x b trong trường hợp f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈[a; b]: S= b ∫ (− f ( x ))dx a - Tổng quát thành công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong b và trục hoành: S = ∫ f ( x ) dx. a - Sử dụng công thức tính diện tích hình thang cong để suy ra công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số f1 ( x ), f2 ( x ) liên tục và hai đường thẳng x = a, f1 ( x ) ≥ f2 ( x ) ≥ 0 ∀x ∈[a;= b] : S x = b khi b ∫ ( f ( x ) − f ( x ) ) dx 1 2 (3). a - Tổng quát thành công thức tính diện tích phẳng giới hạn bởi hai đường cong: = S b ∫ a f1 ( x ) − f2 ( x ) dx (4) 12 Tiếp đó, SGK-C đưa ra chú ý: “Khi áp dụng công thức (4), cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Muốn vậy, ta giải phương trình f1 ( x) − f 2 ( x) = 0 trên đoạn [a;b]. Giả sử phương trình có hai nghiệm c, d (c < d ). Khi đó, f1 ( x) − f 2 ( x) không đổi dấu trên các đoạn [a;c], [c;d], [d;b]. Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn c [a;c], ta có ∫ a c f1 ( x ) − f2 ( x ) dx =∫ [f1 ( x ) − f2 ( x )]dx ” ([3], 115-116) a Chú ý này được xem như yếu tố công nghệ để giải thích cho một kĩ thuật xử lí tích phân chứa giá trị tuyệt đối trong công thức (4) (mà chúng tôi tạm gọi là kĩ thuật “đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân”). SGV-C nhận định: “Kết quả này giúp cho việc tính diện tích hình phẳng theo công thức (4) SGK-C có thể bỏ qua việc xét dấu của f1 ( x) − f 2 ( x) ≠ 0 trên đoạn [a;b], có thể bỏ qua cả việc vẽ hình của hình phẳng này.” ([7], 140) 3.3.2. Diện tích hình phẳng trong các sách Giải tích 12 - Nâng cao SGK-NC cũng không đưa ra định nghĩa hình phẳng nói chung. Mặc dù không phân loại hình phẳng, SGK-NC giới thiệu công thức tính diện tích của hai loại hình phẳng: - Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng= x a= , x b. - Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y f= = ( x ) , y g ( x ) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng= x a= , x b 5. Về công thức tính diện tích, trước hết SGK-NC nhắc lại định lí 1 §3 và áp dụng công thức (*) để tính diện tích hình elip (hình phẳng giới hạn bởi elip x2 y2 + = 1, a2 b2 a > b > 0). Từ đó, SGK-NC tổng quát thành công thức tính diện tích hình phẳng giới 5 Chúng tôi nhận thấy SGK-NC dùng khái niệm “đồ thị hàm số” để gọi tên hình phẳng, trong khi SGK-C lại dùng khái niệm “đường cong”. Thật ra, “đường cong” mà SGK-C nói đến cũng chính là “đồ thị hàm số”. SGKNC thì phân biệt rất rõ ràng giữa “đồ thị hàm số” và “đường cong”. Do đó, để thuận tiện cho việc trình bày, từ đây về sau chúng tôi gọi tên hình phẳng theo SGK-NC. 13 hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng b = x a= , x b : S = ∫ f ( x ) dx (1) a Tiếp theo, SGK-NC cung cấp thẳng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn = bởi đồ thị của hai hàm số y f= ( x ) , y g ( x ) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng = x a= ,x = b: S b ∫ f ( x ) − g( x ) dx (2). a Tới đây, SGK-NC đưa ra chú ý: “Tương tự (bằng cách coi x là hàm của biến y), diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường cong = x g= ( y ), x h( y ) ( g, h là hai hàm liên tục trên đoạn [c;d]) và hai đường thẳng y = c, y=d là: d = S ∫ g ( y) − h( y)dy (3)” ([5], 167). c Chú ý này được xem như yếu tố công nghệ để giải thích cho một kĩ thuật khác để tính diện tích hình phẳng (mà chúng tôi tạm gọi là kĩ thuật “tính theo biến y”). Kĩ thuật này rất thích hợp để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong. 3.3.3. Nhận xét Cả hai SGK đều không đưa ra định nghĩa hình phẳng cũng như quy tắc xác định hình phẳng nói chung mà chỉ tập trung xây dựng công thức tính diện tích của hai loại hình phẳng: hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành; hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số. Với lượng lí thuyết ít ỏi như vậy, chúng tôi tự hỏi: Liệu có phải cả hai SGK đều thiên về thực hành sử dụng tích phân để giải quyết các bài toán diện tích hình phẳng hay không? Chú ý trang 115-116 SGK-C được xem như một yếu tố công nghệ giải thích cho kĩ thuật “đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân”. SGK-NC không có nội dung này. Trong khi đó, SGV-NC viết: “Để khử dấu giá trị tuyệt đối, ta giải phương trình f ( x) − g ( x) = 0 trên [a;b]. Giả sử phương trình có các nghiệm x1 , x2 ,…, xn với 14 a= x0 ≤ x1 < x2 < … < xn ≤ xn += b. Khi đó f ( x) − g ( x) không đổi dấu trên mỗi đoạn 1 [ xn ; xn +1 ]. Trên mỗi đoạn, ta có xi +1 ∫ f ( x) − g ( x)dx = xi Vậy = S (H ) n xi +1 i =0 xi xi +1 ∫ [f ( x) − g ( x)]dx . xi ∑ ∫ [f ( x) − g ( x)]dx . ” ([6], 206) Ngược lại, chú ý trang 167 SGK-NC được xem như một yếu tố công nghệ giải thích cho kĩ thuật “tính theo biến y”. SGK-C không có nội dung này nhưng SGV-C có viết: “Do vai trò của các trục tọa độ như nhau, nên có thể biểu diễn phương trình các đường giới hạn hình phẳng bởi các hàm số của biến y và công thức tích phân để tính diện tích tương ứng cũng theo biến y” ([4], 140). Nguyễn Thế Thạch (2008) cũng chú ý: “Khi tính diện tích hình phẳng, ta có thể đổi vai trò của x cho y, trong một số trường hợp sẽ giảm bớt số tích phân phải tính (tránh được chia miền diện tích)” ([7], 50). Việc các yếu tố công nghệ chỉ được giới thiệu trong các SGV khiến chúng tôi tự hỏi: Liệu GV có giảng dạy nó cho HS? 3.3.4. Diện tích hình phẳng trong các bài đọc thêm Ngay sau bài “§3. Ứng dụng của tích phân trong hình học”, SGK-C có bài đọc thêm “Tính diện tích bằng giới hạn”. Ngay từ tựa đề, ta có thể thấy một trong những mục đích của bài đọc thêm này là cung cấp cho học sinh một kĩ thuật khác nữa để tính diện tích hình thang cong: n “Xét lim ∑ f (ξi )( xi − xi −1 ) khi m ax( xi − xi −1 ) → 0 1≤i ≤ n i =1 (2) Người ta chứng minh được rằng nếu f ( x) liên tục trên đoạn [a ;b] thì giới hạn (2) tồn tại không phụ thuộc cách chia đoạn [a ;b] và cách lấy điểm ξi ∈ [xi − xi −1 ], i = 1, 2,..., n. Ta coi giới hạn ấy là diện tích của hình thang cong đã cho. n Vậy S lim ∑ f (ξi )( xi − xi −1 ) khi m ax( xi − xi −1 ) → 0 (3)” ([3], 123-124) = i =1 1≤i ≤ n