Tài liệu Nghiên cứu phương pháp số giải phương trình đạo hàm riêng dạng eliptic

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC BÒI NGÅC N‹M NGHI–N CÙU PH×ÌNG PHP SÈ GIƒI PH×ÌNG TRœNH „O H€M RI–NG D„NG ELIPTIC LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2013 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1 „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC BÒI NGÅC N‹M NGHI–N CÙU PH×ÌNG PHP SÈ GIƒI PH×ÌNG TRœNH „O H€M RI–NG D„NG ELIPTIC LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Chuy¶n ng nh : TON ÙNG DÖNG M¢ sè 60 .46 .01 .12 : NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC: TS. NG THÀ OANH THI NGUY–N - 2013 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2 LÍI CAM OAN Luªn v«n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa Oanh TS. °ng Thà . Tæi xin cam oan c¡c k¸t qu£ ÷ñc tr¼nh b y trong luªn v«n l  do tæi tü l m d÷îi sü h÷îng d¨n cõa gi¡o vi¶n h÷îng d¨n v  khæng sao ch²p tø b§t ký luªn v«n n o ¢ ÷ñc cæng bè tr÷îc ¥y. T¡c gi£ Bòi Ngåc N«m Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3 LÍI CƒM ÌN Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n khoa håc cõa TS. °ng Thà Oanh. Em xin ÷ñc tä láng c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi Cæ v· sü gióp ï nhi»t t¼nh º em ho n th nh luªn v«n n y. Ti¸p theo em xin ÷ñc c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, nìi em ¢ nhªn ÷ñc mët håc v§n sau ¤i håc c«n b£n. Xin c£m ìn gia ¼nh, çng nghi»p ¢ c£m thæng, chia s´, õng hë v  gióp ï trong thíi gian em håc cao håc v  ho n th nh luªn v«n. Cuèi còng em xin chóc sùc khäe c¡c th¦y cæ gi¡o v  çng nghi»p. Em xin ch¥n th nh c£m ìn! Th¡i Nguy¶n, ng y 20 th¡ng 05 n«m 2013. Ng÷íi vi¸t Luªn V«n Bòi Ngåc N«m Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4 Möc löc 1 MËT SÈ KI˜N THÙC BÊ TRÑ 8 1.1 H» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . 1.2 Mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè truy¸n t½nh 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Chu©n cõa ma trªn, chu©n cõa vectì 1.2.2 8 9 . . . . . . . 9 Ph÷ìng ph¡p Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Ph÷ìng ph¡p Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.4 Ph÷ìng ph¡p truy uêi ba ÷íng ch²o . . . . . . 14 Khæng gian Hilbert v  b i to¡n y¸u . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Khæng gian vectì . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2 Khæng gian chu©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.3 Khæng gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.4 Khæng gian câ t½ch væ h÷îng . . . . . . . . . . . . 18 1.3.5 Khæng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.6 Phi¸m h m trong khæng gian Hilbert . . . . . . . 19 1.3.7 B i to¡n y¸u trong khæng gian Hilbert . . . . . . 22 1.3.8 T½nh g¦n óng nghi»m cõa b i to¡n y¸u . . . . . 24 1.3.9 Sü hëi tö v  sai sè . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 PH×ÌNG PHP SAI PH…N V€ PH×ÌNG PHP PH†N TÛ HÚU H„N 28 2.1 2.2 Kh¡i ni»m mð ¦u v· ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n . . . . . . . 28 2.1.1 B i to¡n câ gi¡ trà ban ¦u . . . . . . . . . . . . 28 2.1.2 B i to¡n bi¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Ph÷ìng ph¡p sai ph¥n gi£i b i to¡n hai chi·u . . . . . . 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.1 Ph¡t biºu b i to¡n 2.2.2 L÷îi sai ph¥n v  h m l÷îi Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu . . . . . . . . . . . . . http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 49 5 2.3 2.2.3 B i to¡n sai ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2.4 Ph÷ìng ph¡p Seidel co d¢n . . . . . . . . . . . . 57 2.2.5 Ph÷ìng ph¡p ti¸t ki»m khèi l÷ñng t½nh . . . . . . 60 Ph÷ìng ph¡p ph¦n tû húu h¤n gi£i b i to¡n Poisson . . 63 . 63 2.3.1 B i to¡n Dirichlet dèi vîi ph÷ìng tr¼nh Poisson 2.3.2 Ph÷ìng ph¡p ph¦n tû húu h¤n trong tr÷íng hñp Ω l  chú nhªt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.3.3 Tr÷íng hñp mi·n a gi¡c khæng chú nhªt . . . . . 74 2.3.4 Tr÷íng hñp bi¶n cong 81 . . . . . . . . . . . . . . . 3 THÛ NGHI›M SÈ 83 3.1 C¡c b÷îc gi£i b i to¡n 3.2 Ch÷ìng tr¼nh thû nghi»m 3.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 84 So s¡nh ph÷ìng ph¡p FD v  ph÷ìng ph¡p FEM tr¶n mi·n h¼nh chú nhªt . . . . . . . . . . . . . . 86 3.2.2 Ph÷ìng ph¡p FEM tr¶n mi·n câ h¼nh håc phùc t¤p 87 3.2.3 C¡c h m cì b£n cõa ch÷ìng tr¼nh: . . . . . . . . K¸t luªn T i li»u tham kh£o Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu 96 97 98 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 6 MÐ †U Nhi·u hi»n t÷ñng khoa håc v  kÿ thuªt d¨n ¸n c¡c b i to¡n bi¶n cõa ph÷ìng tr¼nh vªt lþ to¡n. Gi£i c¡c b i to¡n â ¸n ¡p sè b¬ng sè l  mët y¶u c¦u quan trång cõa thüc ti¹n. Trong mët sè ½t tr÷íng hñp, thªt ìn gi£n vi»c â câ thº l m ÷ñc nhí v o nghi»m t÷íng minh cõa b i to¡n d÷îi d¤ng c¡c cæng thùc sì c§p, c¡c t½ch ph¥n ho°c c¡c chuéi h m. Cán trong ¤i a sè tr÷íng hñp kh¡c, °c bi»t l  èi vîi c¡c b i to¡n câ h» sè bi¸n thi¶n, c¡c b i to¡n phi tuy¸n, c¡c b i to¡n tr¶n mi·n câ h¼nh håc phùc t¤p th¼ nghi»m t÷íng minh cõa b i to¡n khæng câ, ho°c câ nh÷ng r§t phùc t¤p. Trong nhúng tr÷íng hñp â vi»c t½nh nghi»m ph£i düa v o c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i g¦n óng. Hi»n nay câ nhi·u ph÷ìng ph¡p gi£i sè b i to¡n n y nh÷: Ph÷ìng ph¡p sai ph¥n húu h¤n, ph÷ìng ph¡p ph¦n tû húu h¤n, ph÷ìng ph¡p ph¦n tû bi¶n, ph÷ìng ph¡p khæng l÷îi, v.v. Méi ph÷ìng ph¡p câ ÷u v  nh÷ñc iºm ri¶ng. Nëi dung cõa luªn v«n l  t¼m hiºu v  c i °t thû nghi»m ph÷ìng ph¡p sai ph¥n húu h¤n v  ph÷ìng ph¡p ph¦n tû húu h¤n. K¸t qu£ thû nghi»m cõa chóng tæi cho th§y: - Tr¶n c¡c mi·n h¼nh chú nhªt ph÷ìng ph¡p sai ph¥n húu h¤n d¹ d ng hìn ph÷ìng ph¡p ph¦n tû húu h¤n, sai sè cõa ph÷ìng ph¡p sai ph¥n húu h¤n nhä hìn ph÷ìng ph¡p ph¦n tû húu h¤n. - Tr¶n c¡c mi·n h¼nh håc phùc t¤p v  c¡c h m câ ký dà. ph÷ìng ph¡p ph¦n tû húu h¤n thüc hi»n d¹ d ng hìn. Luªn v«n gçm ph¦n mð ¦u, ba ch÷ìng nëi dung ch½nh, k¸t luªn v  t i li»u tham kh£o. Ch÷ìng 1 tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v· h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh, mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh, khæng gian Hillbert v  b i to¡n y¸u, mët sè b i to¡n tø thüc t¸ d¨n ¸n ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng d¤ng elliptic. Ch÷ìng 2: Giîi thi»u c¡c ki¸n thùc chu©n bà cho vi»c nghi¶n cùu k¸t Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 7 qu£ ch½nh cõa luªn v«n. Tr÷îc h¸t tr¼nh b y kh¡i ni»m mð ¦u v· ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n, sau â tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p sai ph¥n gi£i b i to¡n hai chi·u v  ph÷ìng ph¡p ph¦n tû húu h¤n gi£i b i to¡n poisson. Ch÷ìng 3: C i °t ch÷ìng thû nghi»m tr¶n mi·n h¼nh chú nhªt, h¼nh L v  mi·n a gi¡c. Dò ¢ r§t cè g­ng, nh÷ng ch­c ch­n nëi dung ÷ñc tr¼nh b y trong luªn v«n cán nhúng thi¸u sât nh§t ành, em r§t mong nhªn ÷ñc sü gâp þ cõa c¡c th¦y cæ gi¡o v  c¡c b¤n º b£n b¡o c¡o n y ÷ñc ho n thi»n hìn. Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 8 Ch÷ìng 1 MËT SÈ KI˜N THÙC BÊ TRÑ 1.1 H» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh X²t vi»c gi£i h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh n ph÷ìng tr¼nh    a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = a1n+1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = a2n+1 ... ...   an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = ann+1 n ©n: (1.1.1) aij , (i, j = 1, n) l  nhúng sè ¢ bi¸t, gåi l  c¡c h» sè cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1.1.1); ain+1 , (i = 1, n) công l  nhúng sè ¢ bi¸t, gåi l  v¸ ph£i cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1.1.1); xi (i = 1, n) l  c¡c ©n sè ph£i t¼m. trong â: Ta kþ hi»u:  a11  a21 A =  ... an1  a12 ... a1n a22 ... a2n   ... an2 ... ann l  ma trªn h» sè cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1.1.1).    a1n+1 x1  a2n+1   x2  b =  ..  v  x =  ..   . . ann+1 xn l  vectì v¸ ph£i v  vectì ©n sè cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1.1.1). H» ph÷ìng tr¼nh (1.1.1) câ thº vi¸t gån d÷îi d¤ng: Ax = b Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu (1.1.2) http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 9 N¸u ma trªn h» sè A khæng suy bi¸n, ngh¾a l :     det(A) =    a11 a21 ... an1      6= 0   a12 ... a1n a22 ... a2n ... an2 ... ann th¼ h» ph÷ìng tr¼nh (1.1.1) câ duy nh§t nghi»m. 1.2 Mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè truy¸n t½nh 1.2.1 Chu©n cõa ma trªn, chu©n cõa vectì Chu©n cõa ma trªn A = (aij ) l  mët sè thüc kþ hi»u ||A||, thäa m¢n nhúng i·u ki»n sau: a kAk ≥ 0 (vîi ||A|| = 0 ⇔ A = 0) b kα.Ak = |α| . kAk , α c kA + Bk ≤ kAk + kBk d kA.Bk ≤ kAk . kBk l  mët sè thüc (vîi || − A|| = ||A||) Ng÷íi ta th÷íng dòng ba chu©n ma trªn sau: P kAk1 = max j |aij | (chu©n cët) i ! 12 kAk2 = P |aij |2 (chu©n Ìclit) |aij | (chu©n h ng) ij kAk∞ = max i P j 1.2.2 Ph÷ìng ph¡p Gauss Þ t÷ðng cõa ph÷ìng ph¡p khû Gauss l  khû d¦n c¡c ©n º ÷a h» ban ¦u v· h» ma trªn tam gi¡c tr¶n b¬ng c¡c ph²p bi¸n êi t÷ìng ÷ìng nh÷: - êi ché 2 ph÷ìng tr¼nh b§t ký. Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 10 - Nh¥n v o mët ph÷ìng tr¼nh b§t ký vîi mët sè kh¡c khæng. - Cëng v o mët ph÷ìng tr¼nh mët tê hñp tuy¸n t½nh cõa mët sè ph÷ìng tr¼nh kh¡c. Nh÷ vªy ph÷ìng ph¡p Gauss gçm 2 qu¡ tr¼nh: - Qu¡ tr¼nh thuªn: ÷a h» v· d¤ng tam gi¡c tr¶n. - Qu¡ tr¼nh ng÷ñc: Gi£i h» tam gi¡c tr¶n tø d÷îi l¶n. a) Qu¡ tr¼nh thuªn: º vi¸t cho gån h» ta x²t h» a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = a1,n+1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = a2,n+1 (1.2.1) ..................................................... an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = an,n+1 v  °t (0) aij = aij B÷îc 1: (i = 1, ..., n; j = 1, ..., n + 1). Dòng ph÷ìng tr¼nh ¦u ti¶n º khû tr¼nh cán l¤i: Gi£ sû a11 6= 0 x1 trong n−1 ph÷ìng (ta luæn câ ÷ñc i·u n y b¬ng c¡ch êi ché hai ph÷ìng tr¼nh). + Chia hai v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh thù nh§t cho a11 ta câ ÷ñc ph÷ìng tr¼nh x1 + b12 x2 + ... + b1n xn = b1,n+1 (0) (0) (j = 2, ..., n + 1). + Cëng v o ph÷ìng tr¼nh thù i cõa h» (1.2.1) (0) sau khi ¢ nh¥n vîi −ai1 (i=2,...,n) ta ÷ñc: vîi (1.2.2) b1j = a1j /a11 ph÷ìng tr¼nh (1.2.2) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) a22 x2 + a23 x3 + ... + a2n xn = a2,n+1 a32 x2 + a33 x3 + ... + a3n xn = a3,n+1 (1.2.3) ................................................ (1) (1) (1) (1) an2 x2 + an3 x3 + ... + ann xn = an,n+1 vîi (1) (0) (0) aij = aij − ai1 b1j (i = 2, ..., n; j = 2, ..., n + 1). Nh÷ vªy sau b÷îc 1 ta thu ÷ñc ph÷ìng tr¼nh (1.2.2) v  h» (1.2.3). B÷îc 2: Dòng ph÷ìng tr¼nh ¦u ti¶n trong (1.2.3) khû x2 trong c¡c ph÷ìng tr¼nh cán l¤i t÷ìng tü nh÷ ¢ l m trong b÷îc 1.Qu¡ tr¼nh ÷ñc Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 11 ti¸p töc nh÷ vªy. K¸t qu£ sau b÷îc thù m ta thu ÷ñc h»: xm + bm,m+1 xm+1 + ... + bm,n xn = bm,n+1 (m) (m) (m) am+1,m+1 xm+1 + ... + am+1,n xn = am+1,n+1 ............................................... (m) (m) an,m+1 xm+1 + ... + a(m) n,n xn = an,n+1 vîi: (m−1) bmj = amj (m) (m−1) /amm , (m−1) (j = m + 1, ..., n + 1) (m−1) − aim aij = aij Cuèi còng, sau n bmj , (i = m + 1, ..., n; j = m + 1, ..., n + 1) b÷îc khû ta thu ÷ñc h» ph÷ìng tr¼nh vîi ma trªn tam gi¡c tr¶n sau ¥y: x1 + b12 x2 + ... + b1n xn = b1,n=1 x2 + ... + b2n xn = b2,n+1 (1.2.4) ................................ xn = bn,n+1 C¡c h» sè ÷ñc t½nh theo cæng thùc: (m−1) bmj = amj (m) (m−1) aij = aij (m−1) /amm , (m = 1, ..., n; j = m + 1, ..., n + 1) (m−1) − aim bmj , (i = m + 1, ..., n; j = m + 1, ..., n + 1) (1.2.5) (m−1) C¡c ph¦n tû amm (m = 1, ..., n) ÷ñc gåi l  c¡c ph¦n tû trö hay c¡c ph¦n tû chõ ¤o. b) Qu¡ tr¼nh ng÷ñc: Gi£i h» (1.2.4) tø d÷îi l¶n xn = bn,n+1 xk = bk,n+1 − Khèi l÷ñng t½nh to¡n: n X bkj xj , (k = n − 1, ..., 1) (1.2.6) j=k+1 D¹ th§y r¬ng sè ph²p to¡n nh¥n, chia v  trø º thüc hi»n qu¡ tr¼nh thuªn (1.2.5) l : n X [(n − m + 1) + 2 (n − m − 1) (n − m)] = m=1 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu n X [k + 2k (k − 1)] k=1 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 12 = n X
2k 2 − k = n(n + 1)(4n − 1)/6 k=1 n(n − 1). 3 2 Gauss l  (4n + 9n − 7n)/6 Sè ph²p to¡n º thüc hi»n qu¡ tr¼nh ng÷ñc l  Do â, têng sè ph²p to¡n cõa ph÷ìng ph¡p hay cï 2n3 /3 n khi Nhªn x²t 1: õ lîn. Trong qu¡ tr¼nh thuªn ta ph£i thüc hi»n ph²p chia cho ph¦n tû trö. N¸u nâ b¬ng 0 th¼ qu¡ tr¼nh khæng thüc hi»n ÷ñc. Ngo i ra n¸u câ trà tuy»t èi nhä th¼ khi chia cho nâ sai sè l m trán s³ lîn, do â câ thº l m gi£m ë ch½nh x¡c cõa nghi»m t¼m ÷ñc. º kh­c phöc khâ kh«n tr¶n ng÷íi ta th÷íng dòng ph÷ìng ph¡p Gauss vîi ph¦n tû trö câ trà tuy»t èi lîn nh§t trong cët. Khi â thuªt to¡n gi£i h» ph÷ìng tr¼nh b¬ng ph÷ìng ph¡p Gauss câ thº tâm t­t nh÷ sau: Thuªn: m  = 1, ...,  nn   o  (m−1)   (m−1)  r ºarm  = max aim  , m ≤ i ≤ n Vîi - T¼m - N¸u (m−1) arm =0 . h» suy bi¸n. - Trong tr÷íng hñp (m−1) arm 6= 0: N¸u r=m th¼ ta giú nguy¶n thù tü c¡c ph÷ìng tr¼nh, cán n¸u kh¡c th¼ c¦n êi ché hai ph÷ìng tr¼nh thù v  m. - T½nh bmj , am ij theo c¡c cæng thùc (1.2.5). Ng÷ñc: T½nh r xn , xn−1 , ..., x1 theo cæng thùc (1.2.6). Nhªn x²t 2: Trong ph÷ìng ph¡p khû Gauss ta sû döng c¡c ph²p bi¸n êi l¶n ma trªn nh÷ chia mët h ng cho mët sè kh¡c khæng, êi ché hai h ng, trø i mët h ng mët h ng kh¡c nh¥n vîi mët sè. Do â, ành thùc cõa ma trªn A câ thº t½nh theo cæng thùc: (0) (0) detA = (−1)k a11 a22 ...a(n−1) nn trong â k l  sè l¦n êi ché c¡c h ng. 1.2.3 Ph÷ìng ph¡p Jacobi Ax = b trong d¤ng chi ti¸t: X aii xi + aij xj = bi , i = 1, 2, ..., n Ta vi¸t h» ph÷ìng tr¼nh j6=i Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (1.2.7) 13 Khi â xu§t ph¡t tø mët x§p x¿ x(0) b§t ký câ thº t½nh c¡c th nh ph¦n cõa c¡c x§p x¿ ti¸p theo cõa h» tø ph÷ìng tr¼nh: (k+1) aii xi + X (k) aij xj = bi , i = 1, 2, ..., n, k = 0, 1, 2, ... (1.2.8) j6=i ∀i, aii 6= 0. Khi â tø (1.2.8) ta ÷ñc: X aij (k) bi (k+1) xi =− xj + , i = 1, 2, ..., n, a aii j6=i ii Gi£ sû k = 0, 1, 2, ... (1.2.9) C¡ch t½nh c¡c x§p x¿ li¶n ti¸p cõa h» theo cæng thùc tr¶n ch½nh l  ph÷ìng ph¡p l°p Jacobi. ành lþ 1.2.1. N¸u tçn t¤i mët sè 0 < q < 1 sao cho: n X ∀i = 1, 2, ..., n, |aij | ≤ q |aii | (1.2.10) j6=i j=1 th¼ ph÷ìng ph¡p l°p Jacobi gi£i h» ph÷ìng tr¼nh Ax = b hëi tö vîi b§t ký x§p x¿ ban ¦u x(0) v  èi vîi sai sè ta câ c¡c ¡nh gi¡: qk (k) (0) (1) x − x ≤ x − x , k = 0, 1, 2, ... ∞ ∞ 1−q q (k) (k) x − x ≤ x − x(k−1) , k = 0, 1, 2, ... ∞ ∞ 1−q trong â x l  nghi»m óng cõa h». Nhªn x²t 1: (1.2.11) (1.2.12) Câ tr÷íng hñp khæng thº ¡p döng ph÷ìng ph¡p Jacobi ngay cho h» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho, m  ph£i thüc hi»n vi»c êi chê c¡c ph÷ìng tr¼nh º ÷ñc h» vîi ma trªn ch²o trëi. Th½ dö,ta êi ché h ng 1 v  h ng 2 cu£ ma trªn: " Nhªn x²t 2: 1 3 1 5 1 −1 2 1 6 # " → 5 1 −1 1 3 1 2 1 6 N¸u trong khæng gian vectì ÷ñc x¡c ành bði kxk1 = kSk1 = max 1≤j≤n Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu n P |xi | Rn # ta sû döng chu©n th¼: i=1 n X i=1 P |Sij | = max 1≤j≤n |aij | i6=j |aij | http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ||.||1 cõa 14 Do â ta công câ k¸t qu£ t÷ìng tü ành lþ (1.2.1), trong â thay cho i·u ki»n (1.2.10) l  i·u ki»n tçn t¤i ∀j = 1, ..., n, 0 < q1 < 1 n X sao cho: |aij | ≤ q1 |aii | (1.2.10'.) j6=i i=j v  trong c¡c ¡nh gi¡ (1.2.11), (1.2.12) thay cho chu©n k.k∞ l  chu©n k.k1 . 1.2.4 Ph÷ìng ph¡p truy uêi ba ÷íng ch²o X²t h» ph÷ìng tr¼nh ch²o sau: Ax = f , trong â ma trªn A câ d¤ng ba ÷íng c1 −b1 0  −a2 c2 −b2 .... A=  0 0 0 0 0 0  ... ... 0 0  0 0    (1.2.13) ... −bn+1 ... −an cn C¡c ph÷ìng tr¼nh cõa h» câ thº vi¸t trong d¤ng:  c1 x1 − b1 x2 = f1 , −ai xi−1 + ci xi − bi xi+1 = fi , (i = 2, ..., n − 1)  −an xn−1 + cn xn = fn , Gi£ sû ci 6= 0(i = 1, ..., n). . Tø ph÷ìng tr¼nh thù nh§t cõa h» rót ra x1 = b1 /c1 x2 + f1 /c1 Th¸ biºu thùc tr¶n v o ph÷ìng tr¼nh thù hai khi biºu di¹n cõa x2 qua x3 . (1.2.14) (1.2.15) i=2 ta rót ra ÷ñc V¼ th¸ ta s³ i t¼m nghi»m cõa h» (1.2.2) trong d¤ng xi = αi xi+1 + βi (1.2.16) αi , βi l  c¡c h» sè c¦n x¡c ành. Muèn vªy th¸ biºu thùc xi−1 = αi−1 xi + βi−1 v o ph÷ìng tr¼nh thù i − 1(i ≥ 2) ta thu ÷ñc biºu di¹n cõa xi qua xi+1 trong â xi = bi fi + ai βi−1 xi+1 + ci − ai αi−1 ci − ai αi−1 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 15 So s¡nh biºu di¹n n y vîi (1.2.15) ta rót ra: αi = bi fi + ai βi−1 , βi = (i = 2, ..., n − 1) ci − ai αi−1 ci − ai αi−1 (1.2.17) º þ ¸n (1.2.15) ta câ: α1 = b1 f1 , β1 = c1 c1 (1.2.18) Nh÷ vªy, theo cæng thùc (1.2.17), (1.2.18) ta l¦n l÷ñt t½nh ÷ñc c¡c h» αi , βi , (i = 1, ..., n − 1). Khi i = n − 1 cæng thùc (1.2.16) xn−1 = αn−1 xn + βn−1 . Th¸ biºu thùc n y v o ph÷ìng tr¼nh cuèi sè cho ta cõa h» (1.2.14) ta t¼m ÷ñc: xn = ¥y ch½nh l  βn fn + an βn−1 cn − an αn−1 t½nh theo cæng thùc (1.2.5). B¥y gií, sau khi bi¸t l¦n l÷ñt t½nh ÷ñc xi xn αi , βi , theo cæng thùc (1.2.15) ta s³ i = n − 1, n − 2, ..., 1. v  c¡c h» sè vîi Ph÷ìng ph¡p tr¼nh b y ð tr¶n º gi£i h» ph÷ìng tr¼nh vîi ma trªn ba ÷íng ch²o ÷ñc gåi l  ph÷ìng ph¡p truy uêi. Ph÷ìng ph¡p n y câ thº tâm l÷ñc l¤i bao gçm hai qu¡ tr¼nh sau: + Qu¡ tr¼nh truy uêi xuæi: T½nh αi = α1 = b1 c1 , bi fi + ai βi−1 , βi = ci − ai αi−1 ci − ai αi−1 + Qu¡ tr¼nh truy uêi ng÷ñc: °t β1 = f1 c1 , (i = 2, ..., n − 1) xn = βn , t½nh xi = αi xi+1 + βi , (i = n − 1, ..., 1). Khèi l÷ñng t½nh to¡n theo ph÷ìng ph¡p tr¶n cï 8n. Trong mët sè i·u ki»n nh§t ành ph÷ìng ph¡p tr¶n l  kh£ thi v  ên ành. ành lþ sau ¥y · cªp ¸n v§n · n y. ành lþ 1.2.2. Gi£ sû c¡c h» sè cõa ma trªn ki»n b1, an, ci 6= 0, (1.2.13) thäa m¢n i·u (i = 1, ..., n) v  |c1 | ≥ |b1 | , |cn | ≥ |an | , |ci | ≥ |ai | + |bi | , (i = 2, ..., n − 1), trong â câ ½t nh§t mët b§t ¯ng thùc ch°t. Khi â: ∆i = ci − aiαi−1 6= 0v  |αi| ≤ 1, (i = 2, ..., n). Chùng minh. V¼ |c1 | ≥ |b1 | = 6 0 n¶n |α1 | = |b1 | |c1 | ≤1 Khi â: |c2 − a2 α1 | ≥ |c2 | − |a2 | |α1 | ≥ |a2 | + |b2 | − |a2 | |α1 | Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 16 = |a2 | (1 − |α1 | + |b2 |) ≥ |b2 | > 0 ⇒ |c2 − a2 α1 | = 6 0 suy ra: |α2 | = Mët c¡ch t÷ìng tü, tø |b2 | ≤1 |c2 − a2 α1 | |α2 | ≤ 1 suy ra |α3 | ≤ 1, ..., |αi−1 | ≤ 1, (i = 2, ..., n) Suy ra |ci − ai αi−1 | ≥ |ci | − |ai | |αi−1 | ≥ |ai | + |bi | − |ai | |αi−1 | = |ai | (1 − |αi−1 | + |bi |)6/5/2013 ≥ |bi | > 0, ∀i Vªy ci − ai αi−1 6=, (i = 2, ..., n) 1.3 Khæng gian Hilbert v  b i to¡n y¸u 1.3.1 Khæng gian vectì Khæng gian vectì V tr¶n tr÷íng væ h÷îng K l  mët tªp c¡c èi t÷ñng, th÷íng gåi l  c¡c vectì, trong â câ x¡c ành hai ph²p to¡n: 1. Ph²p cëng: ùng vîi méi c°p ph¦n tû ph¦n tû cõa V, vi¸t l  x v  y cõa V x + y. 2. Ph²p nh¥n vîi væ h÷îng : Ùng vîi méi ph¦n tû k∈K câ x¡c ành mët câ c¡ch x¡c ành mët ph¦n tû thuëc V, vi¸t l  x ∈ V v  méi sè kx ho°c (xk), sao cho 8 t½nh ch§t sau ÷ñc thäa m¢n: x + y = y + x, ∀x, y ∈ V ii) x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ V iii) Tçn t¤i ε ∈ V sao cho ε + x = x + ε, ∀x ∈ V . Ph¦n tû ε gåi l  ph¦n tû trung háa cõa V . iv) Vîi méi x ∈ V tçn t¤i −x ∈ V sao cho x + (−x) = −x + x = θ . Ph¦n tû −x gåi l  ph¦n tû èi cõa x. v) k(x + y) = kx + ky, ∀x, y ∈ V, ∀k ∈ K vi) (k + l)x = kx + lx, ∀x ∈ V, ∀k, l ∈ K vii) k(lx) = (kl)x, ∀x ∈ V, ∀k, l ∈ K viii) 1x = x, ∀x ∈ V i) T¡m t½nh ch§t tr¶n gåi l  t¡m ti¶n · cõa khæng gian vectì Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 17 1.3.2 Khæng gian chu©n 1.3.2.1 ành ngh¾a Khæng gian chu©n, cán gåi l  khæng gian ành chu©n, l  mët khæng x ∈ V câ c¡ch x¡c ành mët thüc kþ hi»u l  kxk v  gåi l  chu©n cõa x, thäa m¢n ba t½nh ch§t: i) kxk ≥ 0, ∀x ∈ V : kxk = 0 ⇔ x = ε ii) kkxk = |k| . kxk , ∀x ∈ V, ∀k ∈ R iii) kx + yk ≤ kxk + kyk , ∀x, y ∈ V gian vectì V trong â ùng méi ph¦n tû sè Ba t½nh ch§t n y gåi l  ba ti¶n · cõa khæng gian chu©n. Tªp c¡c ph¦n tû cõa khæng gian vectì gian chu©n V gåi l  tªp n·n cõa khæng V. 1.3.2.2 Sü hëi tö tö Trong khæng gian chu©n x ∈ V (hay n → ∞, tùc l : tîi V ta x²t d¢y ph¦n tû câ giîi h¤n l  x ∈ V) n¸u d¢y {xn }. Nâi d¢y xn sè kxn − xk → 0 hëi khi ∀ε > 0 ∃N : n > N ⇒ kxn − xk < 0. xn → x Khi â ta vi¸t Ta nâi d¢y xn hëi tö n → ∞, hay ìn gi£n l  xn → x. trong V hay d¢y xn hëi tö n¸u tçn t¤i x ∈ V khi º xn → x. 1.3.2.3 Sü trò mªt Cho y∈T S ⊂ T ⊂ V. Nâi S trò mªt trong T n¸u èi vîi méi ph¦n tû ·u tçn t¤i mët d¢y Khi T =V ta nâi tªp S {yn ∈ S} trò mªt yn → y . trong V . º 1.3.2.4 Chu©n T÷ìng ÷ìng Trong mët khæng gian vectì l m n·n câ thº câ nhi·u c¡ch ành ngh¾a chu©n cho méi ph¦n tû x ∈ V. Khi â ta câ nhi·u khæng gian chu©n kh¡c nhau tr¶n còng mët khæng gian vectì n·n. k.k1 v  chu©n k.k2 l  t÷ìng ÷ìng n¸u tçn M2 sao cho: Ta nâi hai chu©n kh¡c nhau t¤i hai h¬ng sè d÷ìng M1 v  M1 kxk1 ≤ kxk2 ≤ M2 kxk1 , Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu ∀x ∈ V http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 18 Þ ngh¾a cõa kh¡i ni»m chu©n t÷ìng ÷ìng l : Khi mët d¢y ¢ hëi tö theo chu©n thù nh§t th¼ d¢y â công hëi tö theo chu©n thù hai v  ng÷ñc l¤i, ngh¾a l : kxn − xk1 → 0 ⇔ kxn − xk2 → 0 1.3.3 Khæng gian Banach * D¢y Cauchy V l  mët khæng gian chu©n . X²t d¢y d¢y Cauchy n¸u vîi måi nguy¶n d÷ìng N θ >0 {xn } ∈ V. Ta nâi d¢y {xn } l  cho tr÷îc bao gií công tçn t¤i mët sè º: n, m > N ⇒ kxn − xm k < θ Måi d¢y Cauchy câ khæng qu¡ mët giîi h¤n. Trong khæng gian chu©n V måi d¢y hëi tö ·u l  d¢y Cauchy. Nh÷ng khæng ph£i d¢y Cauchy n o công hëi tö. * Khæng gian Banach Mët khæng gian chu©n V trong â måi d¢y Cauchy ·u hëi tö gåi l  khæng gian chu©n Banach hay khæng gian ¦y. 1.3.4 Khæng gian câ t½ch væ h÷îng Trong khæng gian vectì x¤: V × V → R, V tr¶n tr÷íng sè thüc R, n¸u tçn t¤i mët ¡nh tùc l  ùng méi c°p (u, v) ∈ V × V , (u, v)v sao cho: (i) (u, v)v = (v, u)v ∀u, v ∈ V (ii) (u + w, v)v = (u, v)v + (w, v)v ∀u, v, w ∈ V (iii) (ku, v)v = k(u, v)v ∀u, v ∈ V, ∀k ∈ R (iv) (u, u)v ≥ 0 ∀u ∈ V (v) (u, u)v = 0 ⇔ u = 0 Th¼ ¤i l÷ñng (u, v)v gåi l  mët t½ch væ h÷îng trong câ c¡ch x¡c ành mët sè thüc kþ hi»u l  V gåi l  khæng gian câ t½ch væ h÷îng. ( th÷íng thay v¼ vi¸t vi¸t V (u, v)v khæng gian (u, v)). v  ta Chó þ: Trong khæng gian câ t½ch væ h÷îng ng÷íi ta chùng minh ÷ñc b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz sau: |(u, v)v |2 ≤ (u, u)v .(v, v)v Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 19 1.3.5 Khæng gian Hilbert Khæng gian câ t½ch væ h÷îng V ta ÷a v o ành ngh¾a chu©n: kukV = th¼ V q (u, u)V trð th nh mët khæng gian chu©n. Khæng gian chu©n n y gåi l  khæng gian ti·n Hilbert. N¸u khæng gian ti·n Hilbert l  mët khæng gian chu©n ¦y th¼ nâ ÷ñc gåi l  khæng gian Hilbert. V Trong khæng gian Hilbert n¸u: (u, v)V = 0 ∀v ∈ V th¼ Chó þ: Khi â ta vi¸t b§t ¯ng thùc Cauchy-Shwart l : u=0 |(u, v)|V ≤ kukV kvkV 1.3.6 Phi¸m h m trong khæng gian Hilbert 1.3.6.1 Phi¸m h m v  phi¸m h m tuy¸n t½nh Ta nâi F l  mët phi¸m h m tr¶n V n¸u F ngh¾a l  ùng méi ph¦n tû V½ dö 1.3.1. v∈V V → R, F (v) ∈ R. l  mët ¡nh x¤: câ c¡ch x¡c ành mët sè T½ch ph¥n: Z b v (x) dx (1.3.1) a l  mët phi¸m h m tr¶n L2 (a, b) v¼ ùng méi v ∈ L2 (a, b) t½ch ph¥n (1.3.1) câ mët gi¡ trà x¡c ành. Cho h m sè f (x) ∈ L2 (a, b) ho n to n x¡c ành. T½ch ph¥n: Z b f (x) v (x) dx (1.3.2) a l  mët phi¸m h m tr¶n L2 (a, b) v¼ ùng méi v ∈ L2 (a, b) t½ch ph¥n (1.3.2) câ mët gi¡ trà x¡c ành. T½ch ph¥n: Z b f (x) [v (x)]2 dx (1.3.3) a l  mët phi¸m h m tr¶n L2 (a, b) v¼ ùng méi v ∈ L2 (a, b) t½ch ph¥n (1.3.3) câ mët gi¡ trà x¡c ành. Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/