Tài liệu Nghiên cứu phân phối xác suất ổn định và ứng dụng trong thống kê

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ --------------------------- BÙI QUẢNG NAM NGHIÊN CỨU PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ỔN ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỐNG KÊ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ --------------------------- BÙI QUẢNG NAM NGHIÊN CỨU PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ỔN ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỐNG KÊ Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học 62 46 01 06 Mã số: LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. PGS TS Hồ Đăng Phúc 2. TS Vũ Ba Đình HÀ NỘI - 2016 LỜI CAM ĐOAN Nghiên cứu sinh xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của nghiên cứu sinh. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Các dữ liệu tham khảo có trích dẫn đầy đủ. Nghiên cứu sinh Bùi Quảng Nam LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của các thầy PGS. TS. Hồ Đăng Phúc và TS. Vũ Ba Đình. Nghiên cứu sinh xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với các thầy vì sự tận tình trong hướng dẫn nghiên cứu, sự chặt chẽ và kỹ lưỡng của các thầy trong giảng dạy và tình cảm của các thầy dành cho nghiên cứu sinh trong cuộc sống. Nghiên cứu sinh xin gửi lời cảm ơn Viện Công nghệ thông tin, Phòng Đào tạo, Viện Khoa học và Công nghệ Quân sự, nơi nghiên cứu sinh đã học tập nghiên cứu từ năm 2011 đến nay. Nghiên cứu sinh xin gửi lời cảm ơn Phòng Xác suất và Thống kê toán học, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, đã giúp đỡ nghiên cứu sinh rất nhiều trong quá trình học tập và hoàn thành luận án tiến sĩ. Nghiên cứu sinh xin gửi lời cảm ơn Bộ môn Toán, Khoa Khoa học cơ bản, Học viện Phòng không – Không quân đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để nghiên cứu sinh có thể hoàn thành quá trình học tập. Trong thời gian học tập và hoàn thành luận án nghiên cứu sinh đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ và góp ý của GS. TS. Nguyễn Văn Hữu, TS. Nguyễn Hồng Hải, PGS. TS. Tô Văn Ban, TS. Nguyễn Văn Hùng, TS. Nguyễn Hắc Hải, … Nghiên cứu sinh xin chân thành cảm ơn các thầy về sự giúp đỡ quý báu đó. Nghiên cứu sinh xin gửi lời cảm ơn tới tất cả các thầy cô, gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã góp ý, ủng hộ, động viên và giúp đỡ nghiên cứu sinh trong quá trình học tập và hoàn thành luận án. Bùi Quảng Nam MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT …………………………………………… DANH MỤC CÁC BẢNG ……………………………………………………………………….…………… DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ ……………………………………………….…………… MỞ ĐẦU …………………………………………………………………………………………………………….….… Chương 1. TỔNG QUAN VỀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ỔN ĐỊNH ……..… 1.1. Định lý giới hạn trung tâm .……………………………………………………………………..…..… 1.2. Định lý giới hạn trung tâm suy rộng và phân phối xác suất ổn định ….. 1.3. Độ đo xác suất trên không gian metric ……………………………..…………………..…… 1.4. Kiến thức cơ sở về độ đo xác suất trên nón lồi ………...…………….………………… 1.5. Khái niệm cơ sở về độ đo ngẫu nhiên ……………………………….……………...………… 1.6. Hàm biến đổi chính quy …………………………………….……………….………………………..… Chương 2. ĐỘ ĐO XÁC SUẤT TRÊN NÓN LỒI VÀ ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN ỔN ĐỊNH CHẶT …………………………………………………………………………………..…. 2.1. Các độ đo xác suất ổn định chặt và nửa ổn định chặt trên nón lồi …..….. 2.2. Miền hút và miền nửa hút ……………………………………………….…………………………..… 2.3. Đặc trưng của các độ đo ngẫu nhiên ổn định ……………………………..…………..… 2.4. Miền hút của các độ đo ngẫu nhiên ổn định …………………..………………………..… Chương 3. ỨNG DỤNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ỔN ĐỊNH TRONG PHÂN TÍCH TÍN HIỆU ĐỊNH VỊ GPS …………………………………………………………… 3.1. Một số phương pháp ước lượng tham số của phân phối ổn định …...…… 3.2. Tiêu chuẩn kiểm định Kolmogorov – Smirnov …………………………..…………… 3.3. Nghiên cứu đặc tính của số liệu tín hiệu định vị GPS bằng tiêu chuẩn kiểm định Kolmogorov - Smirnov …………………………………………………….…...……………. 3.4. So sánh kết quả phân tích số liệu theo giả thiết phân phối ổn định và giả thiết phân phối chuẩn …..…………………………………………………………………………………… KẾT LUẬN ……………………………………………………………………………….………………………...……… DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ ……………… TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………..……………………………...……………………………… PHỤ LỤC 1 ………..………………………………………………………………………….…………………………… PHỤ LỤC 2 ………..……………………………………………………………………………….……………………… PHỤ LỤC 3 ………..………………………………………………………………………………….…………………… Trang i iv v 1 7 8 10 16 19 27 31 33 33 46 56 61 72 77 80 82 88 95 97 98 101 109 110 i DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT a, an , b, br , r , s, t , u , v Các số thực (chữ cái in thường) a, u, x Các độ đo không âm trên S (chữ cái in đậm)  Số mũ đặc trưng của phân phối ổn định BK Xích ma đại số các tập Borel trong K BS Xích ma đại số các tập Borel trong S  Tham số độ lệch của phân phối ổn định  Tập các số phức C (S ) Không gian các hàm thực liên tục và bị chặn trên S  Tham số tỷ lệ (thang đo) của phân phối ổn định  Độ đo phổ của độ đo ngẫu nhiên chia được vô hạn dK Khoảng cách Kolgomorov DA(  ) Miền hút của độ đo ngẫu nhiên  DStA(  ) Miền hút chặt của độ đo xác suất  DStSA(r ,  ) Miền r - nửa hút chặt của độ đo xác suất   Tham số định vị của phân phối ổn định  ( e) Độ đo xác suất tập trung tại phần tử trung lập e của K  (0) Độ đo xác suất tập trung tại đỉnh 0 của K A Biên của tập A e Phần tử trung lập của nón lồi K E( X ) Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X F Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên Fˆn Hàm phân phối thực nghiệm của n quan sát F( S ) Lớp các hàm đo được Borel trên S ii Fc ( S ) Lớp các hàm trong F ( S ) liên tục với giá compact F Xích ma đại số các tập con của   (t ), t   Hàm đặc trưng  ( x), x   Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên chuẩn tắc  ( x), x    Hàm phân phối Fréchet với số mũ ổn định  i, j , k , m, n Các số tự nhiên I (a ,  ) Độ đo ngẫu nhiên chia được vô hạn với độ đo phổ  K Ký hiệu nón lồi K̂ Tập tất cả các đặc trưng K Tập con của K̂ tách K K Tập của tất cả các đặc trưng trong K {K n } Dãy các tập con compact của S L(  , g ) Biến đổi Laplace của độ đo ngẫu nhiên  trên S m( S ) Lớp các độ đo Radon không âm trên S mb ( S ) Lớp các độ đo hữu hạn địa phương trên S M (S ) Xích ma đại số các tập con của m( S )  ,  ,G Độ đo dương (hoặc độ đo xác suất)  n Tích chập của n độ đo xác suất  n  ,n  Dãy các độ đo thuộc m( S )  Tập các số tự nhiên p, pn , p0 , q, qn Độ đo xác suất  pn  Dãy các độ đo xác suất P (K ) Tập các độ đo xác suất xác định trên K P (S ) Tập các độ đo xác suất xác định trên ( S , BS ) iii (S ) Tập các độ đo ngẫu nhiên trên S  Tập các số thực  Tập các số thực lớn hơn hoặc bằng 0  Tập các số thực nhỏ hơn hoặc bằng 0 S Không gian metric khả ly đầy đủ Sn Tổng của n biến ngẫu nhiên St S Tập các độ đo xác suất  - ổn định chặt St ( , r ) SS Tập các độ đo xác suất ( , r ) - nửa ổn định chặt S ( ) Nửa nhóm con của nhóm nhân (  , ) Ta Toán tử co của các độ đo với hệ số co a  0 Tn Biến ngẫu nhiên Kolmogorov Triv( K ) Tập các độ đo xác suất tập trung tại {0, e}  K Var ( X ) Phương sai của biến ngẫu nhiên X X 1 ,..., X n , Y , Y1 , Y2 Biến ngẫu nhiên  Không gian mẫu ( , F , P ) Không gian xác suất  ( x), x   ,0 Hàm phân phối Weibull với số mũ ổn định  0 Đỉnh của nón lồi K hoặc độ đo đồng nhất bằng 0 trên S w Ký hiệu sự hội tụ yếu  Dấu tích chập iv DANH MỤC CÁC BẢNG Trang Bảng 3.1. Số liệu thu được từ tín hiệu vệ tinh …………………………………..…...… 77 Bảng 3.2. Một số giá trị tới hạn của phân phối Kolmogorov-Smirnov 82 Bảng 3.3. Kiểm định Kolmogorov – Smirnov với vĩ độ và kinh độ ….. 83 Bảng 3.4. Bảng tính giá trị Tn theo các tham số của phân phối ổn định 86 Bảng 3.5. Bảng so sánh các giá trị hàm phân phối xác suất …….………….. 87 Bảng 3.6. Liên hệ giữa cỡ mẫu tối thiểu theo độ tin cậy và khoảng tin cậy …….…..…………………………………………………………………………………… 89 Bảng 3.7. Liên hệ giữa khoảng tin cậy theo cỡ mẫu tối thiểu và độ tin cậy …..…………………………………………………………………………………...…..… 90 Bảng 3.8. Liên hệ giữa độ tin cậy theo cỡ mẫu tối thiểu và khoảng tin cậy ..…………………………………………………………………………………...…..…... 91 v DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ Trang Hình 3.1. Phân phối thực nghiệm của sai số vĩ độ và đường cong phân phối chuẩn ……………………………………………………………………...…...… 84 Hình 3.2. Đồ thị hàm mật độ của phân phối chuẩn và phân phối ổn định …………………………………………………………………………………………..…….… 92 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Khi tiến hành đo đạc các đại lượng như khoảng cách, chiều cao, độ sâu, khối lượng, hàm lượng, nồng độ hóa học, điện áp, điện trở, nhiệt độ, … người ta đều không tránh khỏi các sai số. Các sai số đó có nguồn gốc rất khác nhau, do các đặc tính vật lý của phương tiện đo cũng như của đối tượng được đo, do các điều kiện của môi trường cũng như do đặc điểm chủ quan của con người. Các sai số thường được chia thành phần sai số hệ thống và phần sai số ngẫu nhiên. Sai số hệ thống là phần sai số có thể xác định được chính xác quy luật tất định và có thể kiểm soát được. Trong khi đó, sai số ngẫu nhiên là phần chưa biết chính xác quy luật tất định hoặc do các yếu tố hoàn toàn ngẫu nhiên gây ra. Trong nhiều trường hợp, sai số ngẫu nhiên được tích hợp từ các sai số thành phần khác nhau, do vậy theo Định lý giới hạn trung tâm, người ta thường coi các sai số ngẫu nhiên có phân phối chuẩn và dựa vào đó để tìm cách khống chế hoặc làm giảm các sai số, với một trong những giải pháp là tiến hành đo nhiều lần và lấy giá trị trung bình của các lần đo làm giá trị báo cáo cho giá trị cần đo. Tuy nhiên, trên thực tế không phải phép đo nào cũng có sai số với phân phối chuẩn. Do vậy, việc dùng các công cụ của phân phối chuẩn để xác định khoảng tin cậy của phép đo sau khi lấy giá trị trung bình sẽ có thể dẫn đến kết luận không chính xác, sai lệch nhiều so với thực tế. 1.2. Một trong các lớp phân phối rộng hơn phân phối chuẩn là lớp phân phối ổn định. Đây là lớp phân phối cũng thỏa mãn Định lý giới hạn trung tâm suy rộng, là cơ sở lý thuyết cho việc tăng độ chính xác của phép đo thông qua 2 việc lấy giá trị trung bình của nhiều lần đo làm giá trị báo cáo cho phép đo, xác định chính xác số lần đo tương ứng với độ tin cậy cho trước. Vì vậy, việc đưa ra các kết quả nghiên cứu về lý thuyết các phân phối ổn định (và mở rộng của chúng là các phân phối nửa ổn định) và vận dụng các kết quả đó vào nghiên cứu các công cụ phân tích thống kê tương ứng là rất quan trọng. 1.3. Trong Quốc phòng việc xử lý và phân tích thông tin là vấn đề rất quan trọng. Một trong các vấn đề cần quan tâm là công tác phân tích tín hiệu định vị GPS cho phép xác định được vị trí của địch, giúp ta xây dựng được các phương án bảo vệ cũng như tiêu diệt mục tiêu. Trong các phép đo đạc sử dụng máy định vị GPS, ra đa,… người ta đều không tránh khỏi các sai số. Việc xác định phân phối xác suất của sai số đo sẽ giúp xây dựng được phương pháp xác định vị trí mục tiêu với độ chính xác cần thiết, với số lần đo ít nhất. Như vậy, việc nghiên cứu sâu hơn về các vấn đề liên quan đến phân phối xác suất ổn định trên các cấu trúc tổng quát hơn các không gian tuyến tính, cụ thể là trên các nón lồi hoặc trên các nón lồi đặc biệt của không gian các độ đo dương, cũng là những đề tài thực sự có ý nghĩa khoa học. Mặt khác, việc sử dụng lý thuyết các phân phối xác suất ổn định vào nghiên cứu xử lý thống kê đối với dữ liệu tín hiệu định vị GPS, rada, điện tử, … cũng là những chủ đề cần quan tâm. Với các lý do trên, chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: Nghiên cứu phân phối xác suất ổn định và ứng dụng trong thống kê. 2. Mục đích nghiên cứu Mục tiêu thứ nhất của luận án này là đưa ra hiểu biết sâu hơn về các đặc tính, đặc trưng của phân phối xác suất ổn định và nửa ổn định trên nón lồi, cung cấp thêm các kết quả mới về lớp phân phối xác suất đó. Đồng thời 3 nghiên cứu các mối liên hệ giữa miền hút – miền nửa hút và giữa miền hút – miền nửa hút với phân phối xác suất tương ứng. Mục tiêu thứ hai của luận án là đưa ra các đặc trưng về tính ổn định của các độ đo ngẫu nhiên, liên hệ giữa tính ổn định với tính biến đổi chính quy đối với các độ đo ngẫu nhiên. Mục tiêu thứ ba của luận án là áp dụng phương pháp kiểm định giả thuyết của Kolmogorov – Smirnov về sự phù hợp của hàm phân phối xác suất, phương pháp ước lượng tham số đối với phân phối ổn định của Nolan với sự hỗ trợ của phần mềm SPSS, STABLE, MAPLE và EXCEL để khẳng định số liệu tín hiệu định vị của hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) có phân phối ổn định và không có phân phối chuẩn. Từ đó đưa ra mối liên hệ giữa khoảng tin cậy, độ tin cậy tương ứng với cỡ mẫu tối thiểu, khi lấy giá trị trung bình làm giá trị báo cáo của phép đo. 3. Đối tượng nghiên cứu Phân phối xác suất ổn định trên nón lồi và áp dụng lý thuyết các phân phối xác suất ổn định vào nghiên cứu xử lý thống kê đối với dữ liệu tín hiệu định vị GPS. 4. Phạm vi nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu các đặc trưng của phân phối xác suất ổn định và nửa ổn định trên nón lồi liên quan đến miền hút và miền nửa hút của chúng. Nghiên cứu các đặc trưng của độ đo xác suất trên không gian các độ đo dương (như một trường hợp đặc biệt của nón lồi) liên quan đến tính ổn định và tính biến đổi chính quy. Mặt khác, áp dụng lý thuyết các phân phối xác suất ổn định và tiêu chuẩn kiểm định Kolmogorov – Smirnov vào nghiên cứu xử lý thống kê đối với dữ liệu tín hiệu định vị GPS. 4 5. Phương pháp nghiên cứu Để đạt được mục tiêu nghiên cứu, nghiên cứu sinh sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau: a) Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến các kết quả đã có về Định lý giá trị trung tâm suy rộng, phân phối xác suất ổn định, nửa ổn định; các mối quan hệ giữa biến ngẫu nhiên (hoặc độ đo xác suất) với tính ổn định và nửa ổn định trên không gian tuyến tính; tính biến đổi chính quy liên hệ với miền hút của phân phối xác suất ổn định trong không gian hữu hạn chiều. b) Nghiên cứu các kết quả đã có về phân phối xác suất ổn định trên nón lồi, từ đó xác định các công cụ thích hợp cho việc nghiên cứu lý thuyết phân phối xác suất trên nón lồi cũng như trên không gian các độ đo dương như trường hợp đặc biệt của nón lồi. c) Nghiên cứu tài liệu về Giải tích điều hòa; Lý thuyết độ đo ngẫu nhiên; Lý thuyết các độ đo xác suất trên không gian metric, để trang bị công cụ thích hợp cho việc nghiên cứu lý thuyết xác suất trên nón lồi. d) Nghiên cứu tài liệu về lý thuyết thống kê liên quan đến các phương pháp ước lượng và kiểm định, chuẩn bị các công cụ phục vụ cho phần nghiên cứu ứng dụng. e) Thu thập một bộ số liệu tín hiệu định vị bằng hệ thống định vị toàn cầu GPS. f) Nghiên cứu một số phương pháp ước lượng các tham số của biến ngẫu nhiên có phân phối ổn định. Tìm hiểu các phần mềm STABLE, SPSS và MAPLE và vận dụng các phần mềm đó vào phân tích số liệu định vị GPS. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Ý nghĩa khoa học: a) Nghiên cứu này góp phần làm phong phú hơn các kết quả và sự hiểu biết về phân phối xác suất ổn định và nửa ổn định trên cấu trúc trừu tượng 5 hơn không gian tuyến tính là nón lồi, đưa ra mối liên hệ giữa các đặc trưng của phân phối xác suất ổn định và nửa ổn định trên nón lồi liên quan đến miền hút và miền nửa hút của chúng. b) Xác định được mối quan hệ giữa tính ổn định và tính biến đổi chính quy của các độ đo xác suất trên không gian các độ đo dương. c) Giới thiệu cách áp dụng lý thuyết phân phối xác suất ổn định và tiêu chuẩn kiểm định Kolmogorov – Smirnov vào nghiên cứu xử lý thống kê đối với dữ liệu tín hiệu định vị GPS. Ý nghĩa thực tiễn: Luận án có thể được sử dụng làm tài tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và các nhà nghiên cứu trong ứng dụng lý thuyết phân phối xác suất ổn định vào phân tích thống kê. Kết quả của nghiên cứu này có thể vận dụng trong Quốc phòng để xác định chính xác vị trí mục tiêu với cỡ mẫu tối thiểu và độ tin cậy cho trước, phục vụ cho việc ra quyết định và tiêu diệt mục tiêu, nhất là trong thời đại chiến tranh công nghệ cao như hiện nay. 7. Cấu trúc của luận án Ngoài phần mở đầu; kết luận; danh mục các công trình khoa học đã công bố; tài liệu tham khảo; phụ lục, luận án được trình bày trong ba chương. Chương 1 giới thiệu Định lý giới hạn trung tâm suy rộng liên quan đến khái niệm phân phối xác suất ổn định; trình bày các kiến thức cơ sở phục vụ cho nghiên cứu trong các chương sau, bao gồm các nội dung về độ đo xác suất trên không gian metric; khái niệm cơ sở của độ đo xác suất trên nón lồi và độ đo ngẫu nhiên; tính biến đổi chính quy của các hàm số. Trên cơ sở các kiến thức về phân phối xác suất ổn định trên đường thẳng thực được trình bày trong Chương 1, Luận án tiếp tục phát triển theo hai hướng. Hướng thứ nhất nghiên cứu lý thuyết trong Chương 2, phát triển 6 các kiến thức về phân phối ổn định lên cấu trúc trừu tượng của các nón lồi. Hướng thứ hai là nghiên cứu ứng dụng trong Chương 3, áp dụng các kiến thức về phân phối ổn định trên đường thẳng thực vào giải quyết bài toán thực tế liên quan đến dữ liệu định vị GPS, có tiềm năng ứng dụng vào các vấn đề trong khoa học quốc phòng. Chương 2 trình bày một số kết quả nghiên cứu về tính ổn định và nửa ổn định của các độ đo xác suất trên nón lồi, cho thấy các số mũ ổn định và nửa ổn định của độ đo xác suất là các số dương nếu và chỉ nếu phần tử trung lập của nón lồi trùng với đỉnh của nón; một độ đo xác suất là ổn định (hoặc nửa ổn định) nếu và chỉ nếu miền hút (miền nửa hút) của nó là khác trống. Đồng thời chương này còn trình bày một số kết quả về đặc trưng của độ đo ngẫu nhiên ổn định chặt và các tính chất của độ đo ngẫu nhiên thuộc vào miền hút chặt của độ đo ngẫu nhiên ổn định chặt, liên hệ với tính biến đổi chính quy của phép biến đổi Laplace và của độ đo ngẫu nhiên đó. Chương 3 trình bày phương pháp ước lượng tham số của phân phối xác suất ổn định; phương pháp kiểm định giả thuyết thống kê Kolmogorov – Smirnov về sự phù hợp đối với phân phối xác suất ổn định và một số kết quả ứng dụng lý thuyết phân phối xác suất ổn định vào nghiên cứu số liệu tín hiệu định vị GPS. Cụ thể, các kết quả đó đã chỉ ra rằng số liệu tín hiệu định vị GPS có phân phối xác suất ổn định với số mũ ổn định nhỏ hơn 2, mà không có phân phối chuẩn. Từ đó, xác định được mối quan hệ đúng đắn giữa độ rộng của khoảng tin cậy, độ tin cậy và cỡ mẫu tối thiểu khi lấy giá trị trung bình làm giá trị báo cáo cho phép đo, điều này cần thiết cho việc xác định chính xác vị trí của mục tiêu qua tín hiệu định vị GPS. 7 Chương 1 TỔNG QUAN VỀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ỔN ĐỊNH Chương này giới thiệu tổng quan về chủ đề Định lý giới hạn trung tâm và Định lý giới hạn trung tâm suy rộng liên quan đến khái niệm phân phối xác suất ổn định; trình bày một số kiến thức cơ sở phục vụ cho nghiên cứu trong các chương sau như: độ đo xác suất trên không gian metric; độ đo xác suất trên nón lồi; độ đo ngẫu nhiên; tính biến đổi chính quy của các hàm số. Các kết quả trong chương này đều được trích dẫn từ các tài liệu tham khảo, do đó không trình bày phần chứng minh. Lý thuyết xác suất là một ngành Toán học hiện đại, các kết quả trong lĩnh vực này đã có ứng dụng trong rất nhiều ngành, giúp khám phá các quy luật của các ngành đó khi có tác động của các yếu tố ngẫu nhiên. Trong quốc phòng, xác suất thống kê cũng là một công cụ nghiên cứu quan trọng, được sử dụng để phân tích và xử lý số liệu, xây dựng các mô hình toán học phù hợp, đánh giá hiệu suất chiến đấu, độ chính xác của các loại vũ khí, khí tài, độ an toàn của các công trình, khả năng bảo mật thông tin, … Lý thuyết xác suất ra đời vào nửa cuối thế kỷ 17 ở nước Pháp. Hai nhà Toán học vĩ đại của nước Pháp đó là Blaise Pascal (1623 - 1662) và Pierre de Fermat (1601 - 1665) đã trao đổi thư từ với nhau để bàn về một số bài toán liên quan đến trò chơi may rủi. Những bài toán này và các phương pháp giải chúng có thể xem là những nghiên cứu đầu tiên của lý thuyết xác suất. Tuy nhiên trước đó, ở Italia các nhà Toán học Cardano (1501 – 1576), Pacioli (1445 – 1509), Tartaglia đã giải một số bài toán riêng lẻ trong trò chơi may rủi. Có lẽ Cardano và Huygens (1629 – 1695) là những người đầu tiên viết 8 sách về xác suất (sách của Cardano xuất bản năm 1563 và sách của Huygens công bố năm 1657). Lịch sử thực sự của lý thuyết xác suất bắt nguồn từ các công trình James Bernoulli (1654 – 1705). Ông là người phát minh ra luật số lớn. Chính vì lý do đó, ngày nay Hội Xác suất Thống kê thế giới mang tên Bernoulli. De Moivre (1667 – 1754) là tác giả của Định lý giới hạn trung tâm (trường hợp đối xứng), một trong những thành tựu quan trọng nhất của xác suất. Năm 1812, P.S. Laplace (1749 – 1827) công bố cuốn sách “Theorie Analytique des Probabilities” (Lý thuyết giải tích của xác suất). Cuốn sách này được xem là một đóng góp to lớn của Laplace trong xác suất. Ông là tác giả của Định lý giới hạn trung tâm (trường hợp không đối xứng), và là người đầu tiên áp dụng lý thuyết xác suất vào các vấn đề liên quan tới sai số quan sát. 1.1. Định lý giới hạn trung tâm Định lý giới hạn trung tâm là một nội dung nghiên cứu chủ đạo xuyên suốt quá trình ra đời và phát triển của Lý thuyết Xác suất, đóng vai trò quan trọng không những đối với nội tại Lý thuyết Xác suất mà còn đối với Lý thuyết Thống kê và được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học. Có thể coi Định lý Moivre - Laplace đưa ra năm 1812 là khởi thủy của các định lý giới hạn trung tâm [5]. Định lý 1.1.1. [5, Định lý 2.1] Nếu { X n } là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối Bernoulli với tham số p  (0;1) , S n  X 1  ...  X n thì lim P{ n Sn  np  x} =  ( x ) x   , npq trong đó q  1  p và  ( x) là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên chuẩn tắc 9 1  ( x)  2 x e  t2 2 dt .  Trong định lý trên, X n là biến ngẫu nhiên nhận hai giá trị 0 và 1, tổng S n chính là số lần thành công trong số phép thử Bernoulli, tổng này là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức với hai tham số n và p . Như vậy, Định lý Moivre - Laplace cho thấy khi số lượng phép thử rất lớn, phân phối nhị thức sẽ xấp xỉ phân phối chuẩn. Các Định lý giới hạn trung tâm dưới đây là phiên bản mở rộng của Định lý Moivre - Laplace ra trường hợp các biến ngẫu nhiên nhận nhiều hơn hai giá trị. Định lý 1.1.2. [5, Định lý 9.1] Giả sử { X n } là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, với kỳ vọng E ( X n )  0 và phương sai Var ( X n )   n2   . Ký hiệu Sn  X1  ...  X n , Bn2   12  ...   n2 . Lúc đó, nếu với mọi   0 ta có 1 n lim 2   x 2dFX k ( x)  0 n B n k 1 | x| B n thì lim sup | P{ n x Sn  x}   ( x ) |  0 . Bn Định lý 1.1.3. [5, Hệ quả 9.2] Nếu { X n } là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối, kỳ vọng của X 1 là E ( X 1 )   và phương sai của X 1 là Var ( X1 )   2 hữu hạn thì với S n  X 1  ...  X n , ta có lim sup | P{ n x S n  n  x}  ( x) |  0 . n Định lý 1.1.4. [5, Định lý 6.5.1] Giả sử với mỗi n  1,2,... {X nk } là những biến ngẫu nhiên độc lập, Fnk là hàm phân phối của X nk . Để có điều kiện vô 10 cùng bé đều (tức là, max P | X nk |    0, n  ,   0 ) và phân phối của k 1 tổng i)  k X nk hội tụ yếu về phân phối chuẩn N (a, 2 ) cần và đủ là:  P | X nk |    0,   0 ; k ii) {  k iii) x 2 dFnk ( x) - ( | x|    xdF nk ( x)) 2 }   2 ,   0 ; | x|    xdF  nk ( x)  a,   0 . k | x|  Trong các Định lý giới hạn trung tâm trên đây đều đòi hỏi phương sai của các biến ngẫu nhiên X n là hữu hạn. Cụ thể, Định lý 1.1.3 khẳng định nếu phương sai  2 của các biến ngẫu nhiên cùng phân phối X n tồn tại thì với các dãy hằng số chuẩn hóa an  1 2  n ; bn  n 2 ,  n dãy tổng chuẩn hóa an Sn  bn sẽ hội tụ theo phân phối đến biến ngẫu nhiên chuẩn tắc. Một câu hỏi được đặt ra là trong trường hợp  2 không hữu hạn có tồn tại các hằng số an , bn để tổng chuẩn hóa an Sn  bn hội tụ theo phân phối đến một biến ngẫu nhiên không suy biến nào đó hay không? Nếu tồn tại các hằng số an , bn và biến ngẫu nhiên Y như vậy thì Y có phân phối gì? Câu trả lời là khi đó biến ngẫu nhiên Y có phân phối ổn định. Các vấn đề đó liên quan đến Định lý giới hạn trung tâm suy rộng và lớp các phân phối xác suất ổn định. 1.2. Định lý giới hạn trung tâm suy rộng và phân phối xác suất ổn định Năm 1980 J. Z. Jurek [12] đã giới thiệu kết quả nghiên cứu về các độ đo xác suất ổn định trên không gian Euclid. Năm 1968 R. Jajte [10] đã công bố một số kết quả khác về phân phối ổn định trên không gian Hilbert. Năm