Nghiên cứu nghiệm soliton của các phương trình trường chuẩn yang-mills

  • Số trang: 48 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 13 |
  • Lượt tải: 0
dinhthithuyha

Đã đăng 3359 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM HỮU HOÀNG CHIẾN NGHIÊN CỨU NGHIỆM SOLITON CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG CHUẨN YANG - MILLS Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN THUẬN HÀ NỘI - 2014 1 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Thuận, thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, động viên em trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn. Em xin cảm ơn các thầy, cô giáo trong Bộ môn Vật lý lý thuyết, Khoa Vật lý, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Trường Đại học Tây Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và những tình cảm quý báu mà gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã dành cho tôi. Hà Nội, tháng năm 2014 Học viên Phạm Hữu Hoàng Chiến 2 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 5 Tính cấp thiết của đề tài 5 Mục đích nghiên cứu của đề tài 6 Phương pháp nghiên cứu 6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 6 CHƯƠNG 1. NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS-HIGGS 8 1.1. Nghiệm soliton của trường Yang-Mills SU(2) thuần túy 8 1.1.1. Các phương trình của trường Yang-Mills SU(2) thuần túy 8 1.1.2. Một số dạng nghiệm 9 1.1.2.1. Các nghiệm riêng hằng số 9 1.1.2.2. Các nghiệm tổng quát 10 1.2. Nghiệm soliton của hệ Yang-Mills-Higgs 11 1.2.1. Trường Higgs và sự phá vỡ đối xứng tự phát 11 1.2.2. Các phương trình trường trong hệ Yang-Mills-Higgs 12 1.2.3. Một số dạng nghiệm 12 1.2.3.1. Nghiệm monopole từ ‘t Hooft-Poliakov 12 1.2.3.2. Nghiệm dyon 15 1.2.3.3. Nghiệm Singleton 16 CHƯƠNG 2. NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS VỚI NGUỒN NGOÀI ĐỐI XỨNG CẦU 19 2.1. Tham số hóa vectơ của nhóm SU(2) 19 2.2. Các phương trình Yang-Mills tĩnh khi có nguồn ngoài 19 2.3. Nghiệm của các phương trình Yang-Mills tĩnh với nguồn ngoài yếu có định hướng Su(2) cho trước 25 2.3.1. Nguồn dạng xuyên tâm 25 2.3.2. Nghiệm của các phương trình Yang-Mills tĩnh với nguồn yếu có định hướng SU(2) cho trước 28 2.3.3. Năng lượng của trường Yang-Mills với nguồn ngoài yếu 31 CHƯƠNG 3. HẠT YANG-MILLS TRONG TRƯỜNG SINGLETON 3.1. Các phương trình Wong mở rộng 32 32 3 3.2. Đối xứng Lorentz định xứ và bài toán hạt trong trường Yang-Mills tựa Schwarzschild (Schwarzschild-like) 33 3.3. Chuyển động của hạt trong trường Singleton tựa Schwarzschild 34 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 PHỤ LỤC A 44 PHỤ LỤC B 46 4 MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của đề tài Mô hình chuẩn và các hướng mở rộng khác nhau của mô hình này đã cho phép mô tả hiện tượng luận phong phú của các tương tác cơ bản trong tự nhiên. Cùng với việc khai thác các ứng dụng hiện tượng luận về tương tác dựa trên các mô hình chuẩn, một hướng nghiên cứu khác thu hút sự quan tâm lớn, đó là nghiên cứu các tính chất cơ bản của lý thuyết trường chuẩn không Abel (còn gọi là lý thuyết trường Yang-Mills) như là các hệ động lực học phi tuyến. Vật lý toán phi tuyến là lĩnh vực được phát triển mạnh mẽ trong những năm gần đây. Như đã biết, các phương trình phi tuyến là đối tượng nghiên cứu của vật lý toán phi tuyến, lĩnh vực mà về công cụ và các đặc trưng khác xa vật lý toán truyền thống. Một trong những đặc điểm quan trọng là sự tồn tại các nghiệm soliton của các phương trình trường phi tuyến. Nó có thể mô tả như các sóng đơn lẻ dạng như bó sóng hoặc xung. Soliton bảo toàn dạng theo thời gian và sự bảo toàn này liên quan đến bản chất topo của nghiệm, nghĩa là các nghiệm được phân thành những lớp có topo khác nhau và đặc trưng topo (chỉ số topo) của nghiệm là tích phân chuyển động. Soliton là đối tượng nghiên cứu của nhiều lĩnh vực vật lý như: quang học phi tuyến, vật lý hạt cơ bản, vũ trụ học, vật lý chất rắn,… Đối với lý thuyết trường của các hạt cơ bản, người ta thấy rằng, ngay ở mức độ cổ điển (chưa lượng tử hóa) hoặc ở gần đúng chuẩn cổ điển, các soliton của các phương trình trường phi tuyến đã có dạng gần đúng như các hạt: mật độ năng lượng trường là hữu hạn, tập trung trong miền không gian và dịch chuyển theo thời gian. Các nghiệm soliton được nghiên cứu nhiều phải kể đến là các soliton của lý thuyết Yang-Mills hoặc lý thuyết Yang-Mills-Higgs trong không gian Mincopxki (nghiệm Wu-Yang, monopole ‘t Hooft-Polyakov, dyon Julia-Zee, nghiệm Bogomolny-Prasad-Sammerfield), hay trong không gian Euclid (nghiệm instanton),… Các nghiên cứu theo hướng này hiện vẫn tiếp tục phát triển và thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết [1-7]. Các kết quả nghiên cứu có nhiều ứng dụng vật lý. Chẳng hạn như, monopole từ không Abel không những có ý nghĩa quan trọng đối với các mô hình thống nhất các tương tác của các hạt cơ bản, mà nó còn liên quan đến những quá trình lạm phát của vũ trụ ở giai đoạn rất sớm. Thậm chí nó còn ảnh 5 hưởng đến quá trình tiến hóa của vũ trụ. Hay như việc phát hiện ra instanton của các phương trình trường phi tuyến là một trong những kết quả gây ấn tượng nhất của lý thuyết yang-Mills cổ điển. Sự tồn tại của instanton có thể liên hệ với hiệu ứng đường ngầm trong không gian Mincopxki giữa các chân không khác nhau [8]. Để giải thích sự cầm tù quark người ta cho rằng khi mật độ instanton đủ lớn, có thể có sự chuyển pha từ trường chuẩn không khối lượng tới trường chuẩn có khối lượng. Khi đó liên kết Yang-Mills là lớn giữ cho các quark ở bên trong các hadron. Ngành soliton học nghiên cứu các tính chất của các soliton cùng các khả năng ứng dụng của chúng đang trở thành một lĩnh vực vật lý phát triển mạnh trong những năm gần đây. Trên đây là một số nhận xét về vai trò và tầm quan trọng của các soliton khi nghiên cứu lý thuyết trường Yang-Mills. Qua đó cho thấy việc nghiên cứu đề tài: Nghiên cứu nghiệm soliton của các phương trình trường chuẩn Yang-Mills, mang tính cập nhật, có ý nghĩa khoa học và thực tiễn. 2. Mục đích nghiên cứu của đề tài  Nghiên cứu một số dạng nghiệm soliton của các phương trình trường chuẩn Yang- Mills với nhóm chuẩn SU(2) khi không có nguồn ngoài và khi có nguồn ngoài, ý nghĩa vật lý của các nghiệm tìm được.  Khảo sát một số tính chất về chuyển động của hạt Yang-Mills SU(2) trong một số cấu hình trường soliton. 3. Phạm vi nghiên cứu của đề tài Chỉ xét một số dạng nghiệm soliton của các phương trình trường chuẩn YangMills không phụ thuộc thời gian với nhóm chuẩn SU(2). 4. Phương pháp nghiên cứu  Sử dụng các phương pháp thông dụng khi nghiên cứu lý thuyết trường: Phương pháp giải tích, lý thuyết nhóm, tính số,…  Ứng dụng một số phương pháp nghiên cứu mới trong phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến: phương pháp ansatz, phương pháp tham số hóa vectơ,… 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài  Góp phần làm sáng tỏ hơn ý nghĩa của các nghiệm soliton khi nghiên cứu lý thống nhất các tương tác cơ bản. 6  Trong chừng mực nào đó, đóng góp vào sự phát triển của lý thuyết các phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến. 6. Cấu trúc của đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, đề tài gồm ba chương. Chương 1: Nghiệm soliton của hệ Yang-Mills-Higgs. Chương 2: Nghiệm soliton của hệ Yang-Mills với nguồn ngoài đối xứng cầu. Chương 3: Hạt Yang-Mills trong trường Singleton 7 Chương 1 NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS-HIGGS Trong chương này chúng tôi khảo sát một số dạng nghiệm soliton của hệ YangMills-Higgs với nhóm chuẩn SU(2) và ý nghĩa vật lý của các nghiệm tìm được. 1.1. NGHIỆM SOLITON CỦA TRƯỜNG YANG-MILLS SU(2) THUẦN TÚY 1.1.1. Các phương trình của trường Yang-Mills SU(2) thuần túy Mật độ Lagrangian của trường chuẩn Yang-Mills thuần túy với nhóm chuẩn SU(2) có dạng: 1 L   Fa Fa , 4 (1.1) a b c Fa  �Wa  �  F  g  abcW W (1.2) ở đây: a là tenxơ cường độ trường, W là thế chuẩn Abel (thế Yang-Mills),  ,  0,1, 2,3 là các chỉ số không - thời gian, a, b, c 1, 2,3 là các chỉ số của nhóm SU(2). Mật độ Lagrangian (1.1) thì bất biến đối với phép biến đổi chuẩn SU(2) định xứ. Từ mật độ Lagrangian này, sử dụng phương trình Lagrange-Euler, ta dễ dàng nhận được các phương trình chuyển động của trường Yang-Mills SU(2) thuần túy:  � Fa  g  abcWb Fc  0. (1.3) Từ phương trình (1.3) ta thấy có hai đặc trưng quan trọng của lý thuyết chuẩn không Abel không có trong lý thuyết điện từ: Thứ nhất, các phương trình chuyển động của trường là phi tuyến đối với thế chuẩn. Thứ hai, thế chuẩn không Abel xuất hiện tường minh trong phương trình chuyển động của trường. Từ những đặc trưng này người ta cho rằng, thế chuẩn không Abel đóng vai trò cơ bản hơn thế trong lý thuyết chuẩn Abel. Ít nhất điều này là đúng ngay a trong sự trình bày của lý thuyết đã chứa trực tiếp thế chuẩn không Abel W . Trong � � hình thức luận điện từ, người ta có thể làm việc chỉ với các cường độ trường E và B . 8 Vấn đề không đơn giản như vậy khi nhóm chuẩn là không Abel. Chẳng hạn, hai thế Yang-Mills là chuẩn không tương đương có thể cho các cường độ trường Yang-Mills giống nhau. 1.1.2. Một số dạng nghiệm Cho đến nay người ta vẫn chưa đưa ra được phương pháp giải tổng quát các phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến. Sau đây chúng tôi sử dụng phương pháp ansatz để giải các phương trình vi phân này. Giả sử rằng các trường chuẩn là xuyên tâm, chúng tôi sử dụng ansatz Wu-Yang [9] : � ra W0a  J  r , gr Wi a   aij (1.4) � j r � 1 K  r  � , � gr � � ở đây J  r  , K  r  là các hàm của r, còn r a là vectơ đơn vị. Khi thế ansatz này vào (1.3), ta nhận được hệ hai phương trình vi phân phi tuyến liên kết r 2 J ''  2 JK 2 , (1.5) r 2 K ''  K  K 2  J 2  1 , trong đó J '' , K '' là các đạo hàm bậc hai theo r. 1.1.2.1. Các nghiệm riêng hằng số Có ba nghiệm hằng số của hệ phương trình (1.5). Hai trong chúng là K  1, J  0 và K  1, J  0. (1.6) a a Đây là các nghiệm chân không với cường độ trường F  0 ( W  0 cho trường hợp a đầu, còn đối với trường hợp thứ hai thì W là chuẩn thuần túy). Nghiệm hằng số không tầm thường là K  0, J  A  const. (1.7) Khi thế (1.7) vào (1.4), ta được: � � r rj W  a A, Wi a   aij gr gr a 0 9 (1.8) a Do thành phần không gian  Wi  của thế Yang-Mills SU(2) (1.8) có dạng tương tự như thế của một điện tích điểm trong trường tĩnh điện, nên ta có thể coi (1.8) tương ứng 1 g với thế chuẩn của một monopole từ điểm với từ tích có độ lớn qm  . 1.1. 2.2. Các nghiệm tổng quát Hệ phương trình (1.5) có hai nghiệm tổng quát sau: K  r  r , J  r   �i   r coth  r  1 , sinh  r (1.9) và K  r  A , Ar  1 i J  r  � , Ar  1 (1.10) ở đây  , A là các hằng số tích phân, i là đơn vị ảo. Các hàm K  r  , J  r  của (1.10) có kì dị tại r  r0  1/ A. Nghiệm (1.9) thì khác với nghiệm Prasad-Sommerfield một đơn vị ảo [10]. Từ nghiệm (1.9) chúng tôi thấy rằng, khi  � 0 thì hàm   K  r  � 1, J  r  � 0 và thế chuẩn SU(2) trở thành chân không Wa  0 . Trường hợp  �0, nghiệm (1.9) đều tại r = 0 (vì tại các hàm K  r   1, J  r   0 ). Nghiệm này có � a a tích topo n = 1, như chúng ta thấy từ điều kiện biên W0 = r i g tại r  �. Nghiệm (1.10) có dạng tương tự nghiệm Schwarzschild trong lý thuyết tương đối tổng quát. Khi thế (1.10) vào (1.4), chúng tôi nhận được: � i r j � Ar � W0a  �r , Wi a   aij 1 . � � gr  Ar  1 gr � Ar  1 � � a (1.11) Các thế này có kì dị tại r = 0 và r0  1/ A. Tính kì dị của thế chuẩn không Abel tại r = 0 thì cũng giống như tính kì dị của thế Coulomb gây bởi một điện tích điểm tại r = 0 trong hình thức luận điện từ cổ điển. Còn tính kì dị của thế chuẩn không Abel tại r0  1 dường như biểu lộ sự giam cầm tích chuẩn SU(2). Một hạt mang tích chuẩn A SU(2) đi vào miền r  1 thì không thể rời khỏi trong miền này. A 10 Dễ dàng thấy rằng các nghiệm (1.9) và (1.10) là tự đối ngẫu, bởi vì các cường độ trường Eia , Bia thỏa mãn phương trình: Bia  �iEia , (1.12) 1 Eia  F0ai , Bia    ij k F jka . 2 (1.13) trong đó: 1.2. NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS-HIGGS 1.2.1. Trường Higgs và sự phá vỡ đối xứng tự phát Trường Yang-Mills SU(2) liên kết với một tam tuyến Higgs được xác định bởi mật độ Lagrangian: 2 � 1 a  1 1 �m 2  L   F Fa   Da   D a    �   2 �, 4 2 4 � � (1.14) a trong đó F cho bởi phương trình (1.2), còn Da là đạo hàm hiệp biến của trường Higgs. Nó có dạng: Da  �a  g abcWbc . (1.15) Số hạng cuối cùng ở vế phải của mật độ Lagrangian (1.14) đóng vai trò như thế Higgs. Vì vậy ta đặt: 2 � 1 �m 2 U      �   2 �,  2  aa . 4 � � (1.16) Trong lý thuyết cổ điển này có sự vi phạm bất biến chuẩn SU(2) định xứ, do sự xuất hiện thế Higgs trong mật độ Lagrangian (1.14). Trường Higgs phải khác không ở vô hạn để thế năng tại đó bằng không. Như vậy, nghiệm vật lý bất kỳ phải thỏa mãn điều kiện �m a � � � ��a �a �a r , r r  1, r � �. � � (1.17) Điều này thì tương tự như sự phá vỡ đối xứng tự phát trong lý thuyết trường lượng tử, ở đấy người ta cho trường Higgs một giá trị kỳ vọng chân không khác không  a  �0. Nếu a �0 tại vô hạn, điều này dẫn đến sự phá vỡ bất biến chuẩn SU(2) định xứ theo nghĩa, một nghiệm bất kỳ thỏa mãn điều kiện (1.17) không bất biến đối 11 với nhóm chuẩn SU(2) toàn cục. Tuy nhiên nghiệm này bất biến đối với nhóm con U(1) của nhóm chuẩn SU(2). 1.2.2. Các phương trình trường trong hệ Yang-Mills-Higgs Từ mật độ Lagrangian (1.14), sử dụng phương trình Lagrange-Euler, chúng tôi tìm được các phương trình chuyển động của trường chuẩn SU(2) liên kết với một tam tuyến Higgs. Chúng có dạng:  � Fa  g abc � Fb Wc   Db  c � , � � (1.18) �  Da   g abc  Db  Wc  m 2a  a 2 . (1.19) Giả sử trường chuẩn và trường Higgs là xuyên tâm, để tìm nghiệm của các phương trình trên ta sử dụng ansatz Wu-Yang [9]: �� 1 K  r � Wi a   aij rj � , � � gr � � W0a  r a �  a  ra J  r , gr (1.20) H  r , gr � ở đây r a là bán kính vectơ đơn vị, K  r  , J  r  , H  r  là các hàm chỉ phụ thuộc vào r. Nếu chỉ quan tâm tới các nghiệm tĩnh thì tất cả các đạo hàm theo thời gian trong các phương trình (1.18), (1.19) sẽ bằng không. Khi thế ansatz (1.20) vào các phương trình (1.18), (1.19), chúng tôi nhận được hệ ba phương trình vi phân phi tuyến liên kết (phụ lục A): r 2 K ' '  K  K 2  H 2  J 2  1 , r 2 J ' '  2 JK 2 , (1.21) � 2 H 2 � 2 2 r H H� 2K  m r  2 � . g � � 2 '' Những dấu phẩy phía trên các hàm trường trong hệ phương trình (1.21) chỉ đạo hàm theo r. Hệ phương trình (1.21) chỉ có thể giải được chính xác trong một số trường hợp đơn giản. 1.2.3. Một số dạng nghiệm 12 1.2.3.1. Nghiệm monopole từ ‘t Hooft-Poliakov a Khi thành phần thời gian của trường chuẩn SU(2) bằng không ( W0 = 0, hay hàm J  r   0 ), hệ phương trình (1.21) viết lại là: r 2 K ''  K  K 2  H 2  1 , � 2 H 2 � r2 H ''  H � 2K  m2 r 2  2 � . g � � (1.22) Khi đó ansatz (1.14) đưa về dạng: � � 1 K  r  � Wi a   aij r j � , � � gr � W0a  0, �  a  ra (1.23) H  r . gr Hệ phương trình vi phân phi tuyến (1.22) chỉ giải được chính xác khi các hằng số m 2  0,   0, còn khi m 2 �0,  �0 thì chỉ giải được bằng phương pháp số. ‘t Hooft và Poliakov đã độc lập tìm được nghiệm của các phương trình chuyển động (1.22) khi m và  khác không. Nghiệm này được gọi là monopole ‘t Hooft-Poliakov [11, 12]. Các đặc tính của nghiệm là  Wa và  a không kì dị ở mọi nơi.  Thành phần tầm xa của nghiệm tương ứng với trường điện từ của một monopole từ tĩnh.  Nghiệm có năng lượng hữu hạn và ổn định. Ta xét nghiệm thỏa mãn điều kiện biên ở khoảng cách lớn  r � � của hệ phương trình (1.22) là K  r  � Are gmr /   , (1.24)  (1.25) H  r  � gm /  r  Be  2 r , � (1.26) Wi a �  aij r j / gr , �  a � ra � m /   Be  � 13 2r � , � (1.27) trong đó A, B là các hằng số. Từ (1.24) ta thấy, đại lượng gm /  có ý nghĩa là khối lượng của thành phần không gian của trường chuẩn. Nếu gọi Mw là khối lượng của   thành phần không gian của trường chuẩn thì M W  gm /  . Theo (1.26) thì Wi a : 1/ r , điều này cho thấy thành phần không gian của trường chuẩn có dạng của một monopole từ điểm không Abel. Nghiệm thỏa mãn điều kiện biên ở khoảng cách nhỏ  r � 0  của hệ phương trình (1.22) là K  r  � 1  gCr 2 , (1.28) H  r  � gDr 2 , (1.29) � Wi a �  aij r j Cr , � (1.30) (1.31)  a � r a Dr , trong đó C và D là các hằng số. Các phương trình (1.28) - (1.31) cho thấy các hàm K  r  , H  r  cũng như các thế Wi a ,  a không kì dị tại r = 0. Bây giờ chúng tôi giải thích lý do tại sao các nghiệm tìm được trên đây được giải thích như là monopole từ. Khi khảo sát các nghiệm cổ điển của lý thuyết Yang-Mills, người ta thấy rằng thành phần tầm xa trong các nghiệm tĩnh của lý thuyết Yang-Mills tương ứng với nhóm chuẩn U(1) định xứ không bị phá vỡ. Vì vậy người ta có thể xem thành phần tầm xa như là một trường điện từ. Để làm điều này cần phải xây dựng một định nghĩa thích hợp cho tenxơ cường độ trường điện từ trong lý thuyết (1.14). Định nghĩa này phải bất biến đối với phép biến đổi chuẩn SU(2). ‘t Hooft đã đưa ra tenxơ bất biến chuẩn [11]: G  � A  �  A  � 1  abc a  �b   �  c  , g (1.32) được đồng nhất với tenxơ cường độ trường điện từ. Trong phương trình (1.32) thì: � � A  a Wa , a  a /  , 14 (1.33) a ở đây A là thành phần không khối lượng của thế chuẩn W . Dễ dàng thấy rằng với � � ansatz đối xứng cầu (1.20) thì a  ra , phương trình (1.32) cho kết quả: G0i  0 (trường hợp hàm J  r   0) Gij   � 1  r ijk k . gr 2 (1.34) (1.35) Biểu thức (1.35) chính là cường độ từ trường của một monopole từ điểm với từ tích có độ lớn: qm  1 . g (1.36) 1.2.3.2. Nghiệm dyon Các monopole từ mang điện tích được gọi là dyon. Để monopole từ mang điện a tích thì trong ansatz Wu-Yang (2.1) thành phần thời gian của trường chuẩn  W0  phải khác không. Khi m 2 �0,  �0 hệ phương trình (1.21) chỉ có thể giải được bằng phương pháp số. Xét trường hợp trường Higgs không có khối lượng, hệ phương trình (1.21) đưa về dạng: r 2 K ' '  K  K 2  H 2  J 2  1 , r 2 J ' '  2 JK 2 , (1.37) r 2 H ' '  2 HK 2 . Khi thế W0a �0, thì F0ai  Eia �0, vì vậy điện trường được bổ sung vào từ trường của monopole từ. Prasad-Sommerfield đã tìm được nghiệm chính xác của hệ phương trình (1.37), nó có dạng [10]: K  r   Cr / sinh  Cr  , (1.38) J  r   sinh � Cr coth  Cr   1� , � � (1.39) H  r   cosh � Cr coth  Cr   1� , � � (1.40) ở đây C ,  là các hằng số. Các nghiệm (1.38) - (1.40) được gọi là nghiệm chính xác dyon Julia-Zee. 15 Trường hợp C �0 nghiệm (1.38) tương ứng với sự phá vỡ đối xứng SU(2) định  Cr xứ, bởi vì: khi r � � thì K  r  � Cre . Như vậy C là khối lượng của hai thành phần trường Yang-Mills, nó nhận được khối lượng qua sự phá vỡ đối xứng chuẩn định xứ. Khi C � 0 thì K � 1, J � 0, H � 0, nghiệm (1.38) - (1.40) trở thành nghiệm chân a không  W  0, a  0  . Năng lượng của dyon cho bởi các nghiệm (1.38) - (1.40) được xác định bằng cách lấy tích phân thể tích của thành phần thời gian - thời gian của tenxơ năng - xung lượng: T   F  a F a  D  a D  a  g  L, (1.41) nghĩa là E� T 00 d 3 x 2 2 2 2 ' ' � �� 4 � '2  K  1 J 2 K 2  rJ  J  H 2 K 2  rH  H  �  2 �K   2    dr. � g 0� 2r 2 r 2r 2 r2 2r 2 � � (1.42) Khi thế (1.38) - (1.40) vào (1.42) và lấy tích phân, chúng tôi nhận được: E 4 C cosh 2 . 2 g (1.43) 1.2.3.3. Nghiệm Singleton Từ việc so sánh sự tương ứng giữa lý thuyết tương đối tổng quát và lý thuyết Yang-Mills, Singleton đã tìm được một dạng nghiệm chính xác khác của hệ phương trình (1.37). Nghiệm này có dạng tương tự nghiệm Schwarzshild trong lý thuyết tương đối tổng quát [13]: K  r  Ar , Ar  1 (1.44) J  r  B , Ar  1 (1.45) H  r  C , Ar  1 (1.46) ở đây A là hằng số tùy ý, còn B và C là các hằng số thỏa mãn điều kiện C 2  B 2  1. Vì vậy, nếu chỉ có thành phần không gian của trường chuẩn và trường Higgs thì 16 K  r  Ar 1 , H  r  � . Ar  1 Ar  1 (1.47) Còn nếu chỉ có trường chuẩn thuần túy (không có trường Higgs) thì K  r  Ar i , J  r  � . Ar  1 Ar  1 (1.48) Nghiệm (1.48) trùng với nghiệm (1.10), điều này là hiển nhiên vì khi không có trường Higgs thì mật độ Lagrangian (1.14) đưa về mật độ Lagrangian (1.1). Sau đây chúng tôi sẽ xét chi tiết các tính chất và ý nghĩa của nghiệm Singleton. Do có sự tương tự giữa nghiệm Singleton của lý thuyết Yang-Mills-Higgs và nghiệm Schwarzschild của lý thuyết tương đối tổng quát, nên người ta cho rằng có mối liên hệ giữa trường Yang-Mills và trường hấp dẫn. Các hàm trường K  r  , J  r  , H  r  có kì dị tại r0  1/ A. Trường chuẩn không Abel SU(2) và trường Higgs cho bởi ansatz (1.20) tương ứng với các nghiệm (1.44) - (1.46) có kì dị tại r  0, và r0  1/ A. Tính kì dị của trường chuẩn không Abelian và của trường Higgs tại r = 0 thì cũng tương tự như tính kì dị của thế Coulomb của một điện tích điểm trong hình thức luận điện từ trường cổ điển. Từ các phương trình (1.2), (1.13) và (1.20), chúng tôi tìm được các biểu thức xác định cường độ điện từ trường không Abel (phụ lục B): ' � � �J ��a �i JK � ai �a �i � r r    r r , � � �� � r2 � �r � � � � � (1.49) � 1 �K 2  1 �a �i K ' � ai �a �i � B  � 2 r r  �  r r � . � g�r r � � � (1.50) 1 E  g a i a i Khi thế (1.44) - (1.46) vào (1.49) và (1.50), chúng tôi nhận được: Eia   Bia  1 g �B  1  2 Ar  �a �i � BAr � ai �a �i � r r    r r , �2 � � 2 2 � 2 r Ar  1 r Ar  1 � �     � � � � � 1 � 1  2 Ar �a �i Ar � ai �a �i � r r    r r , �2 � � � 2 2 2 g� r Ar  1 r Ar  1 � �     � � � (1.51) (1.52) Điện trường không Abel và từ trường không Abel có kì dị tại r = 0 và r0  1/ A. Do tính kì dị của các thế chuẩn cũng như tính kì dị của cường độ điện từ trường không Abel tại r0  1/ A, người ta cho rằng nghiệm của Singleton có ý nghĩa trong việc giải 17 thích cơ chế giam cầm các tích chuẩn SU(2). Một hạt mang tích chuẩn SU(2) đi vào miền r0  1/ A sẽ bị giữ lại trong miền này. Cũng tương tự như việc xác định năng lượng của dyon Julia-Zee, năng lượng của nghiệm Singleton (1.44) - (1.46) cũng được xác định bởi tích phân: E� T 00 d 3 x 2 2 2 2 ' ' � �� 4 � '2  K  1 J 2 K 2  rJ  J  H 2 K 2  rH  H  �  2 �K      dr. � g rc � 2r 2 r2 2r 2 r2 2r 2 � � (1.53) Chú ý rằng, cận dưới của tích phân (1.53) được lấy từ khoảng cách tùy ý rc  r0  1 . A Điều này được làm để tránh kì dị tại r  0, r0 . Khi thế các nghiệm (1.44) - (1.46) vào (1.53) và tích phân ta được: E  2 Arc  1 . 2 2 B  C 2  1 3 2  g rc  Arc  1 (1.54) Khi sử dụng điều kiện C 2  B 2  1, biểu thức (1.54) đưa về dạng: E 4 C 2  2 Arc  1 . g 2 rc  Arc  1 3 (1.55) Trong trường hợp riêng, nếu chỉ có trường Higgs và thành phần không gian của a a trường chuẩn (nghĩa là Wi �0 còn W0  0 do B = 0 dẫn đến J  r   0 và C 2  1 ), biểu thức năng lượng lúc này có dạng: E 4  2 Arc  1 . g 2 rc  Arc  1 3 (1.56) Nếu chỉ có trường chuẩn thuần túy, không có trường Higgs thì năng lượng của nghiệm (1.50) bằng không. Vì vậy nghiệm (1.50) là tự đối ngẫu. Nếu như nghiệm Singleton là đáng tin cậy để giải thích cơ chế giam cầm các tích chuẩn SU(2), thì hàm Lagrangian phải luôn chứa trường Higgs. Đối với giả thiết này, trường Higgs không chỉ quan trọng trong cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát mà còn có ý nghĩa trong việc giải thích cơ chế giam cầm các tích chuẩn không Abel. 18 Chương 2 NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS VỚI NGUỒN NGOÀI ĐỐI XỨNG CẦU Trong chương này chúng tôi khảo sát các phương trình Yang-Mills với nguồn ngoài tĩnh, đối với nhóm chuẩn SU(2). Bằng cách sử dụng phương pháp tham số hóa vectơ, chúng tôi chứng minh được rằng trong trường hợp nguồn ngoài yếu và có dạng đối xứng cầu, nghiệm của bài toán có thể tìm được dưới dạng tường minh biểu diễn qua nguồn có định hướng SU(2) cho trước. 2.1. THAM SỐ HÓA VECTƠ CỦA NHÓM SU(2) Các phương trình Yang-Mills là các phương trình phi tuyến liên kết phức tạp. Khi giải các phương trình này đôi khi người ta sử dụng phương pháp tham số hóa vectơ các phép biến đổi chuẩn định xứ để đưa các phương trình Yang-Mills về dạng đơn giản hơn. Sau đây chúng tôi trình bày phương pháp tham số hóa vectơ của nhóm SU(2). Xét nhóm unita không Abel đơn giản nhất: nhóm SU(2), biểu thức hàm số mũ cho ma trận của các phép biến đổi chuẩn hữu hạn U �SU  2  có dạng [14] �1 � �1 � � � �� � U U �  � exp � ia a � exp � i   � , �� �2 � �2 � (2.1) trong đó a là các thông số thực của nhóm,  a là các ma trận Pauli, a = 1, 2, 3. Khai triển hệ thức (2.1) thành chuỗi � 2 � 4 � 3 � 5 � � � � �� � 1  i   � 1  1  �� � 1  � U�  � � 1   ...� � �    ...� . � 2! 2 4! 2 2 3! 2 5! 2 �� � � � � �  � � � � 19 (2.2) Suy ra: � �   �� i �� � U�  � cos  sin . 2 2 2 �� (2.3) Khi thực hiện một số phép biến đổi lượng giác đơn giản, ta có thể đưa biểu thức (2.3) về dạng �� 1 � �� U�  � ��  �  �  tg 2 �  1  tg ��  1  i  � 2 1  � � U� � , � �� (2.4) 2 2 ở đây: � �    �  �  tg . 2 (2.5) �  gọi là vectơ tham số đối với nhóm SU(2). Từ biểu thức (2.5) dễ dàng nhận được: � �  2     arctg , 2 2 � �   tg    tg , 2 2 � 0 � ��. (2.6) � Biểu thức (2.1) viết dưới dạng vectơ tham số  là � � � arctg  � � ��� U U � � i �   � . � � exp � �� � �  � � � � (2.7) Sự lựa chọn các tham số của nhóm SU(2) dưới dạng  �2     ,   tg ,   1, 2 ‫��ٮ‬ 20 (2.8)
- Xem thêm -