Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Nghiên cứu một số phương trình tích phân giải được...

Tài liệu Nghiên cứu một số phương trình tích phân giải được

.PDF
85
258
76

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC NGUYỄN QUỐC HƯNG NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN GIẢI ĐƯỢC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Sơn La, năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN GIẢI ĐƯỢC Chuyên ngành: Giải Tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn: TS. VŨ VIỆT HÙNG Sơn La, năm 2017 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy TS.Vũ Việt Hùng, người đã định hướng nghiên cứu và hướng dẫn tận tình em, giúp đỡ em về tài liệu nghiên cứu cũng như động viên em có nghị lực hoàn thành khóa luận này. Trong quá trình làm khóa luận, em cũng đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Lý -Tin, đặc biệt là các thầy cô trong tổ bộ môn Giải tích, Phòng QLKH & QHQT, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc, các bạn sinh viên lớp K54 ĐHSP Toán. Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viên của quý thầy cô, bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành đề tài này. Nhân dịp này em xin được bày tỏ lòng biết ơn về những sự giúp đỡ quý báu nói trên. Sơn La, tháng 5 năm 2017 Người thực hiện Sv: Nguyễn Quốc Hưng Mục lục Mở đầu 3 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Không gian định chuẩn và không gian Banach . . . . . . . . . . . 6 1.2 Không gian thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Không gian khả li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Ba nguyên lý cơ bản của Giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5.1 Nguyên lý bị chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5.2 Định lý ánh xạ mở và đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . 11 1.5.3 Định lý Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Một số kiến thức liên quan toán tử tuyến tính liên tục . . . . . . . 13 1.6 2 Phương trình tích phân 14 2.1 Phân loại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1 Phương trình tích phân Fredholm loại 2 . . . . . . . . . . . 14 2.1.2 Phương trình Fredholm loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.3 Phương trình Voltera loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.4 Phương trình Voltera loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.5 Một số bài toán dẫn tới phương trình tích phân . . . . . . . 18 Toán tử tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 1 2.2.1 Toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2 Không gian Hilbert và hệ trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.3 Toán tử tích phân Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Phương trình tích phân hạch đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4 Phương trình tích phân với nhân suy biến . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Phương trình liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.6 Phương trình tích phân với nhân tử bé . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6.1 Nguyên lý ánh xạ co trong không gian metric . . . . . . . 46 2.6.2 Phương trình tích phân với nhân tử bé . . . . . . . . . . . . 46 2.6.3 Phương trình tích phân với nhân trực giao . . . . . . . . . 54 2.6.4 Giải phương trình Fredholm ứng dụng liên tục phổ . . . . 55 2.7 Phương trình Fredholm với nhân tổng quát . . . . . . . . . . . . . 61 2.8 Phương trình Voltera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.8.1 Phương trình Voltera loại 2, phương pháp xấp xỉ liên tiếp 64 2.8.2 Giải phương trình Voltera loại 2 bằng phương pháp toán tử 74 Kết luận 81 Tài liệu tham khảo 82 2 MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Nhiều vấn đề toán học ( phương trình vi phân với điều kiện ban đầu hay điều kiện biên ), cơ học, vật lý dẫn đến các hàm chứa biến nằm dưới dấu tích phân. Những loại phương trình đó được gọi là phương trình tích phân. Phương trình tích phân được xem như là một công cụ toán học hữu ích trong nhiều lĩnh vực nên được quan tâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác nhau. Nó có ứng dụng rộng rãi không chỉ trong toán học mà còn trong nhiều ngành khoa học khác, ví dụ như nghiên cứu phương trình tích phân với các điều kiện xác định hoặc để giải quyết một số vấn đề vật lý mà phương trình vi phân không thể mô tả được như hiện tượng khuếch tán, hiện tượng truyền,... Vì vậy việc nghiên cứu phương trình tích phân đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết toán học. Với mong muốn nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn các phương trình tích phân. Đồng thời đóng góp thêm một số lời giải cho các bài toán liên quan, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài " Nghiên cứu một số phương trình tích phân giải được " để làm khóa luận tốt nghiệp Đại học. 2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Khóa luận tập trung nghiên cứu các vấn đề sau: - Nghiên cứu một số phương trình tích phân có thể giải được. - Vận dụng một số phương pháp giải phương trình tích phân để giải một số bài tập liên quan. 3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Nghiên cứu một số phương trình tích phân có thể giải được. 4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Tìm hiểu khái quát các khái niệm cơ bản của giải tích hàm, các phương trình 3 tích phân có thể giải được. - Làm rõ các phương pháp giải các phương trình tích phân có thể giải được. 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến thức. - Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày cũng như seminar với tổ bộ môn. 6. TÍNH MỚI VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA KHÓA LUẬN 6.1. Tính mới mẻ của khóa luận: Đây là một vấn đề khá mới đối với bản thân trong giải tích. Đồng thời đây cũng là một vấn đề còn chưa được tiếp cận nhiều đối với các bạn sinh viên ĐHSP Toán hiện nay. 6.2. Hướng phát triển của khóa luận: Nghiên cứu và tổng hợp, thống kê các phương trình tích phân có thể giải được. 7. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA KHÓA LUẬN Khóa luận đã nêu ra được các phương pháp giải cho một số loại phương trình tích phân và các bài tập liên quan. 8. CẤU TRÚC KHÓA LUẬN Với mục đích như vậy khóa luận này được chia thành 2 chương với những nội dung chính sau đây: Chương 1: Nội dung chương này em trình bày một số kiến thức quan trọng của giải tích hàm như các khái niệm về không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian thương, không gian hữu hạn chiều... Ba nguyên lí cơ bản của giải tích hàm: Nguyên lí bị chặn đều, Định lí ánh xạ mở và đồ thị đóng, Định lí Hahn - Banach cùng với các kết quả liên quan được sử dụng cho chứng minh chương 2. 4 Chương 2: Trình bày nội dung chính của đề tài, trình bày một số loại phương trình tích phân giải được và phương pháp giải các phương trình đó. Đồng thời là một số bài toán có liên quan. 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày một số kiến thức quan trọng của giải tích hàm như không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian hữu hạn chiều,..., ba nguyên lí cơ bản của giải tích hàm cùng với một số kết quả quan trọng phục vụ chương 2. 1.1 Không gian định chuẩn và không gian Banach Định nghĩa 1.1. Hàm ρ xác định trên không gian vector E được gọi là một chuẩn trên E nếu ρ thỏa mãn các điều kiện sau: 1) ρ( x ) > 0 với mọi x ∈ E và ρ( x ) = 0 ⇒ x = 0, 2) ρ(λx ) = |λ|ρ( x ) với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ E, 3) ρ( x + y) ρ( x ) + ρ(y) với mọi x, y ∈ E. Khi ρ thỏa mãn các điều kiện 2) và 3), còn điều kiện 1) thay bởi điều kiện: 1’) ρ( x ) 0 với mọi x ∈ E, thì ρ được gọi là một nửa chuẩn trên E. Định nghĩa 1.2. Không gian vector E cùng với chuẩn ρ xác định trên E được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn. Một không gian tuyến tính định chuẩn thường gọi ngắn gọn là không gian định chuẩn. Khi E là không gian định chuẩn với chuẩn ρ thì với mỗi x ∈ E ta viết 6 ρ( x ) = || x || và gọi số || x || là chuẩn của vector x. Định nghĩa 1.3. Không gian tuyến tính định chuẩn E được gọi là không gian Banach nếu E cùng với metric sinh bởi chuẩn trên E là một không gian metric đầy. Định nghĩa 1.4. Tập con X trong không gian định chuẩn E được gọi là: a) Tập bị chặn nếu sup{|| x || x ∈ X } < +∞. b) Tập hoàn toàn bị chặn nếu Với mọi ε > 0 tồn tại tập hữu hạn A ⊂ E sao cho (∀ x ∈ X )(∃y ∈ A)| x − y < ε ⇔ x ⊂ B(y, ε) y∈ A Tập con hữa hạn A ⊂ E thỏa mãn b) được gọi là một ε- lưới hữu hạn của X. c) Tập compact nếu mọi dãy { xn } ⊂ X có một dãy con { xnk } hội tụ tới một phần tử x ∈ X. Mệnh đề 1.5. Nếu F là không gian con của không gian định chuẩn E thì bao đóng F của F cũng là không gian con của E. Chứng minh. Thật vậy, rõ ràng F = ∅. Cho x, y ∈ F, α, β ∈ K. Khi đó, tồn tại các dãy { xn } ⊂ F, {yn } ⊂ F để xn → x, yn → y. Suy ra dãy {αxn + βyn } là dãy phần tử của F hội tụ đến αx + βy nên αx + βy ∈ F. Định lý 1.6. Giả sử f là phiếm hàm tuyến tính trên không gian định chuẩn E. Khi đó f liên tục khi và chỉ khi ker f là không gian con đóng của E. Chứng minh. Điều kiện là tầm thường. Ngược lại, giả sử ker f là đóng. Vì f = 0 nên tồn tại e ∈ E sao cho f (e) = 1. Do ker f là đóng và e ∈ ker f , tồn tại r > 0 để / B(e, r ) ∩ ker f = ∅, ở đây B(e, r )z = { x ∈ E : x − c < r } = e + B(0, r ). Khi đó f ( B(0, r )) ⊂ {λ ∈ K : |λ| < 1}. Thật vậy nếu trái lại, tồn tại x0 ∈ B(0, r ) để | f ( x0 )| và vậy thì e − 1. Do đó − x0 ∈ B(0, r ) f ( x0 ) x0 ∈ B(e, r ) ∩ ker f . Trái giả thiết B(e, r ) ∩ ker f = ∅. Như vậy f ( x0 ) 7 sup{| f ( x )| : x r} 1. Điều này mâu thuẫn với | f ( x0 )| sup{| f ( x )| : x 1} 1. Suy ra 1 < +∞ r Chứng tỏ f liên tục trên E. Định nghĩa 1.7. Cho E, F là các không gian định chuẩn trên trường K. Khi đó E, F vừa là không gian vector vừa là không gian metric sinh bởi chuẩn trên E, E. 1.2 Không gian thương Cho E là không gian định chuẩn và M là không gian con đóng của E. Ký hiệu E/M là tập thương của E theo quan hệ ∼ xác định bởi: x, y ∈ E : x ∼ y ⇔ x − y ∈ M. Khi đó E/M = { x + M : x ∈ E} và quan hệ bằng nhau trên E/M xác định bởi: x + M = y + M ⇔ x − y ∈ M. Dễ dàng kiểm tra được rằng E/M là không gian vector với các phép toán vector xác định theo các phép toán giữa các phần tử đại diện của các phần tử của E/M. ( x + M) + (y + M) := ( x + y) + M, λ( x + M) := λx + M. Ta sẽ chứng tỏ công thức sau xác định một chuẩn trên E/M: x + M = dist( x, M) = inf{ x − y : y ∈ M}. Chú ý rằng do M là không gian con của E nên y ∈ M ⇔ −y ∈ M, vì thế đẳng thức sau đúng: dist( x, M ) = inf{ x + y : y ∈ M}. Định lý 1.8. E/M là không gian định chuẩn với chuẩn xác định bởi công thức x + M = dist( x, M) = inf{ x − y : y ∈ M }. Ngoài ra nếu E là Banach thì E/M cũng là Banach. 8 Định nghĩa 1.9. Không gian định chuẩn E/M được gọi là không gian thương của không gian định chuẩn E theo không gian con đóng M. 1.3 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều Định lý 1.10. Mọi không gian định chuẩn n chiều trên K, (n 1), đều đẳng cấu với không gian Euclide n- chiều Kn . Chứng minh. : Xem [1]. Hệ quả 1.11. Mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều là không gian Banach. Chứng minh. Cho E là không gian định chuẩn m chiều, m ∈ N. Khi đó, theo định lý 1.10 tồn tại phép đẳng cấu ϕ : E → K m . Giả sử { xn }n 1 là dãy Cauchy bất kỳ trong E, khi đó với mọi số ε > 0 cho trước , tồn tại số tự nhiên n sao cho: (∀k, l ∈ N∗ )(k, l N ⇒ x k − x l < ε ), suy ra với mọi k, l ∈ N∗ : (k, l N ⇒ ϕ( xk ) − ϕ( xi ) = ϕ( xk = xl )|| chứng tỏ dãy { ϕ( xn )}n 1 ϕ . xk − xl < ϕ ε) là dãy Cauchy trong Km . Do Km là không gian Banach nên tồn tại giới hạn lim ϕ( xn ) = y0 ∈ Km . Lại do ϕ−1 liên tục nên tồn tại giới n→∞ hạn: lim xn = lim ϕ−1 ( ϕ( xn )) = ϕ−1 (y0 ) ∈ E. n→∞ n→∞ Như vậy, mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ nên E là không gian Banach. 1.4 Không gian khả li Định nghĩa 1.12. Không gian định chuẩn E gọi là khả li nếu E có một tập con đếm được trù mật trong E. 9 1.5 Ba nguyên lý cơ bản của Giải tích hàm Trong mục này trình bày ba định lí quan trọng xem như những nguyên lí của Giải tích hàm. Đó là nguyên lí bị chặn đều, định lí ánh xạ mở và đồ thị đóng và quan trọng nhất phải kể đến định lí Hahn- Banach và một số hệ quả quan trọng của nó. 1.5.1 Nguyên lý bị chặn đều Định lý 1.13. (Nguyên lý bị chặn đều). Mọi nửa chuẩn liên tục trên không gian Banach E nếu bị chặn điểm thì bị chặn đều. Chứng minh. Cho { pα }α∈ J là họ nửa chuẩn liên tục, bị chặn điểm trên không gian Banach E: C ( x ) = sup{ pα ( x ) : α ∈ J } < +∞ với mọi x ∈ E Với mỗi n 1 đặt An = { x ∈ E : pα ( x ) p−1 ((−∞; n]) α n với mọi α ∈ J } = α∈ J Do pα : E → R liên tục và mỗi khoảng (−∞; n] là tập đóng trong R nên p−1 ((−∞; n]) α đóng trong E, do đó An = α∈ J p−1 ((−∞; n]) là tập đóng trong E. Mặt khác nếu α x ∈ E thì theo giả thiết C ( x ) < +∞ nên tồn tại số tự nhiên n ∈ N để C ( x ) đó x ∈ An . Như vậy E = n ∈N An . Theo định lý Baire, tồn tại n0 ∈ N và x0 ∈ An0 để B( x0 , r ) = x0 + B(0, r ) + B(0, r ) ⊂ An0 với r > 0 nào đó Suy ra, với mọi x ∈ E, || x || 1 Pα ( x ) = pα (rx ) r 1 và với mọi α ∈ J ta có: 1 [ pα ( x0 + rx ) + pα ( x0 )] r Vậy sup || pα || α∈ J n, khi n0 + C ( x0 ) < +∞ r 10 n0 + C ( x0 ) r Chứng tỏ họ { pα : α ∈ J } bị chặn đều. Định lý được chứng minh. 1.5.2 Định lý ánh xạ mở và đồ thị đóng Định nghĩa 1.14. Giả sử f : X → Y là ánh xạ giữa các không gian metric X và Y. Ta nói f là ánh xạ mở nếu ảnh f ( G ) của mọi tập mở G trong X là tập mở trong Y. Định lý 1.15. (Định lý ánh xạ mở). Mọi toàn ánh tuyến tính liên tục f : E → F từ không gian Banach E lên không gian Banach F đều là ánh xạ mở. Định lý 1.16. (Định lý đồ thị đóng). Mọi ánh xạ tuyến tính có đồ thị đóng giữa các không gian Banach đều liên tục. Chứng minh. Cho f : E → F là ánh xạ tuyến tính có đồ thị đóng từ không gian Banach E vào không gian Banach F. Do E × F là không gian Banach và Γ( f ) là đóng trong E × F nên Γ( f ) cũng là không gian Banach. Xét các ánh xạ tuyến tính liên tục p : Γ( f ) → E ( x, f ( x )) → x và q : Γ( f ) → F ( x, f ( x )) → x Rõ ràng p là song ánh tuyến tính liên tục từ Γ( f ) lên E. Vì mọi song ánh tuyến tính liên tục giữa các không gian Banach đều là đẳng cấu nên ánh xạ p−1 : E → Γ( f ) : x → ( x, f ( x )) là liên tục. Do tính liên tục của p−1 và q và do f = q ◦ p−1 , suy ra f liên tục. 1.5.3 Định lý Hahn-Banach Định lí Hahn - Banach thực. 11 Định lý 1.17. Giả sử F là không gian vector con của không gian vector thực E và p là nửa chuẩn trên E. Khi đó đối với phiếm hàm tuyến tính f : F → R thỏa mãn f (x) p( x ) với mọi x ∈ F đều tồn tại phiếm hàm tuyến tính f : E → R sao cho fˆ( x ) = f ( x ) với mọi x ∈ F và fˆ( x ) p( x ) với mọi x ∈ E Định lí Hahn - Banach phức. Định lý 1.18. (Hahn-banach). Giả sử F là không gian vector con của không gian vector phức E và p là một nửa chuẩn trên E. Khi đó, với mọi phiếm hàm tuyến tính phức f : F → C thỏa mãn | f ( x )| p( x ) với mọi x ∈ F Sau đây là một số hệ quả quan trọng của các định lí Hahn - Banach: Hệ quả 1.19. Giả sử F là không gian con của không gian định chuẩn ( thực hoặc phức ) E và f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên F. Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục fˆ trên sao cho fˆ| F = f và || fˆ|| = || f || Hệ quả 1.20. Giả sử F là không gian con đóng của không gian định chuẩn E và x◦ ∈ E\ F. Khi đó tồn tại f ∈ E để f | F = 0, || f || = 1 và f ( x◦ ) = dist( x◦ , F ) = in f {|| x◦ − y|| : y ∈ F } Hệ quả 1.21. Giả sử E là không gian định chuẩn và x ∈ E, x = 0. Khi đó tồn tại f ∈ E để f ( x ) = || x || và || f || = 1 12 1.6 Một số kiến thức liên quan toán tử tuyến tính liên tục Định nghĩa 1.22. Giả sử E và F là hai không gian vector trên cùng một trường K. Ánh xạ T : E → F gọi là tuyến tính nếu: T (αx + βy) = αT ( x ) + βT (y), ∀ x, y ∈ E, ∀α, β ∈ K Định nghĩa 1.23. Cho E là không gian định chuẩn xn → x◦ gọi là hội tụ mạnh ⇔ || xn − x◦ || −→ 0. Định nghĩa 1.24. Cho không gian định chuẩn E, f là ánh xạ. xn → x◦ gọi là hội tụ yếu ⇔ Với mọi f liên tục, f ( xn ) −→ f ( x◦ ). Định lý sau cho phép ta khẳng định L( E, F ) là một không gian định chuẩn. Định lý 1.25. L( E; F ) là không gian định chuẩn với chuẩn || f || xác định bởi công thức: || f || = sup{|| f ( x )|| : x ∈ E, || x || 1} Ngoài ra, nếu F là không gian Banach thì L( E, F ) cũng là không gian Banach. Định nghĩa 1.26. Cho E là không gian định chuẩn trên trường K. Ta kí hiệu E = L( E, K) và gọi E là không gian liên hợp tôpô của E. Mỗi phần tử của E gọi là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E. Định lý 1.27. Không gian định chuẩn E là đầy nếu mọi chuỗi trong nó hội tụ tuyệt đối là hội tụ. 13 Chương 2 Phương trình tích phân Chương này chúng tôi trình bày nội dung chính của khóa luận. Trước hết trong phần đầu chương, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về các phương trình tích phân, phân loại phương trình tích phân. Tiếp sau đó chúng tôi trình bày một số dạng phương trình tích phân giải được cùng phương pháp giải của nó. 2.1 Phân loại Trong mục này chúng tôi trình bày các định nghĩa và phân loại các phương trình tích phân thường gặp. 2.1.1 Phương trình tích phân Fredholm loại 2 Định nghĩa 2.1. Phương trình tích phân Fredholm loại 2 là phương trình tích phân có dạng b ϕ( x ) = f ( x ) + λ K ( x, s) ϕ(s)ds (2.1) a trong đó ϕ( x ) là hàm chưa biết, f ( x ), K ( x, s) là các hàm cho trước; x, s ∈ [ a, b], λ là tham số. Phương trình b ϕ( x ) = λ K ( x, s) ϕ(s)ds a 14 (2.2) được gọi là phương trình thuần nhất của phương trình tích phân Fredholm loại 2. Ví dụ 2.2. 1 e x−s ϕ(s)ds ϕ( x ) = f ( x ) + 0 1 e x−s ϕ(s)ds. = x2 + 0 với f ( x ) = x2 . Ví dụ 2.3. 1 ln| x − s| ϕ(s)ds + x ϕ( x ) = 0 kí hiệu K ( x, s) = ln| x − y| không bị chặn, tuy vậy (sau này ta sẽ biết); là phương trình Fredholm loại 2 , vì ln2 | x − y|dxdy < +∞ D Ví dụ 2.4. 1 ( x + s) ϕ(s)ds + 18x2 − 9x − 4 ϕ( x ) = 0 với f ( x ) = 18x2 − 9x − 4. 2.1.2 Phương trình Fredholm loại 1 Định nghĩa 2.5. Phương trình Fredholm loại 1 là phương trình tích phân có dạng b K ( x, s) ϕ(s)ds = f ( x ), λ là tham số λ a với ϕ(s), s ∈ [ a, b] là hàm chưa biết, f ( x ), K ( x, s), x, s ∈ [ a, b] là các hàm cho trước. Phương trình mà f = 0 được gọi là phương trình thuần nhất. 15 Ví dụ 2.6. Phương trình π ϕ( x ) = 1 + cos( x + s) ϕ(s)ds 0 là phương trình Fredholm loại 2. Ví dụ 2.7. Phương trình Fredholm loại 1 π x= cos( x + s) ϕ(s)ds 0 2.1.3 Phương trình Voltera loại 1 Định nghĩa 2.8. Phương trình Voltera loại 1 là phương trình tích phân có dạng x K ( x, s) ϕ(s)ds = f ( x ) λ (2.3) a trong đó ϕ(s) là hàm chưa biết, K ( x, s), f ( x ) là các hàm cho trước; phương trình mà f ( x ) = 0 được gọi là phương trình thuần nhất λ là tham số. Ví dụ 2.9. x 2 (s − x ) ϕ(s)ds. x = 0 2.1.4 Phương trình Voltera loại 2 Định nghĩa 2.10. Phương trình Voltera loại 2 là phương trình tích phân có dạng b ϕ( x ) = λ K ( x, s) ϕ(s)ds + f ( x ) a trong đó ϕ( x ) là hàm chưa biết, K ( x, s), f ( x ) là các hàm cho trước. Phương trình mà f ( x ) = 0 được gọi là phương trình thuần nhất, λ là tham số. Ví dụ 2.11. x (s − x ) ϕ(s)ds. ϕ( x ) = x + 0 16 Ví dụ 2.12. x (6x − 6s + 5) ϕ(s)ds. ϕ( x ) = 29 + 6x + 0 Nhận xét 2.13. i) Các phương trình tích phân trên còn được gọi là các phương trình tích phân tuyến tính là bởi tính chất tuyến tính của nó, hàm ϕ chưa biết chứa trong đó là tuyến tính. Một loạt các bài toán đưa đến phải xét các phương trình tích phân phi tuyến, chẳng hạn phương trình dạng b ϕ( x ) = λ K ( x, s) g ϕ(s), s ds + f ( x ). a hay b K ( x, s) g ϕ(s), s ds ϕ( x ) = λ a trong đó f , g, k là những hàm đã biết. Tuy vậy, chúng ta chỉ giới hạn trong việc xét các phương trình tuyến tính. ii) Rõ ràng các phương trình Voltera loại 1, loại 2 có thể xem là trường hợp đặc biệt của phương trình Fredholm loại 2, loại 1 tương ứng. Khi các phương trình sau này ta cho thêm điều kiện K ( x, s) = 0, ∀s > x ta thu được phương trình Fredholm chính là phương trình Voltera. iii) Lý thuyết các phương trình loại 1 phức tạp hơn lý thuyết các phương trình loại 2 mà lại không có nhiều ý nghĩa, vì vậy ta chỉ xét các phương trình loại 2. Mặt khác ta xét phương trình Voltera thành lớp riêng biệt bởi chúng có một số tính chất khác biệt mà các phương trình Fredholm tùy ý không có. iv) Trong khóa luận này, chúng tôi chủ yếu xét các phương trình Fredholm loại 2 vì phương trình loại 1 không có nhiều ý nghĩa. 17
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan