Tài liệu Nghiên cứu khe năng lượng của trạng thái siêu dẫn bằng lí thuyết nhiễu loạn mới

BỘ GIÁO DỤC 1VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 LÊ THỊ HỒNG THỦY NGHIÊN CỨU KHE NĂNG LƯỢNG CỦA TRẠNG THÁI SIÊU DẪN BẰNG LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN MỚI Chuyên ngành: Vật lý chất rắn Mã số: 60 44 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Người hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Thị Minh Hạnh HÀ NỘI, 2013 2 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Ban chủ nhiệm và thầy cô giáo khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Đặc biệt tôi vô cùng cảm ơn tới Tiến sĩ Phạm Thị Minh Hạnh đã tận tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, những người đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả LÊ THỊ HỒNG THỦY 3 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả LÊ THỊ HỒNG THỦY 4 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa........................................................................................ 1 Lời cảm ơn............................................................................................ 2 Lời cam đoan........................................................................................ 3 Mục lục................................................................................................. 4 MỞ ĐẦU.............................................................................................. 6 NỘI DUNG.......................................................................................... 8 Chương 1: TỔNG QUAN VỀ SIÊU DẪN.......................................... 8 1.1. Các đặc điểm cơ bản của trạng thái siêu dẫn............................. 8 1.1.1. Hiệu ứng Meissner, từ trường tới hạn ................................. 8 1.1.2. Hiệu ứng đồng vị................................................................. 9 1.2. Lý thuyết London ...................................................................... 10 1.3. Lý thuyết BCS............................................................................ 11 1.4. Lý thuyết Ginzburg – Landau.................................................... 16 1.5. Siêu dẫn loại I và siêu dẫn loại II.............................................. 20 1.6. Hiệu ứng Josephson.................................................................. 22 1.6.1. Hiệu ứng Josephson dừng…................................................ 24 1.6.2. Hiệu ứng Josephson không dừng......................................... 24 1.7. Siêu dẫn nhiệt độ cao................................................................. 25 Chương 2: LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN MỚI .................................. 27 2.1. Lý thuyết nhiễu loạn trong cơ học lượng tử ............................ 27 2.1.1. Phương trình Schrodinger ................................................. 27 2.1.2. Phương pháp nhiễu loạn .................................................... 28 2.1.3. Nhiễu loạn dừng không suy biến ....................................... 29 2.1.4. Nhiễu loạn dừng có suy biến ............................................. 34 2.2. Lý thuyết nhiễu loạn mới ......................................................... 36 5 2.2.1. Cơ sở toán học của lý thuyết nhiễu loạn mới ..................... 36 2.2.2. Dao động tử Fermion biến dạng –q .................................... 38 2.2.3. Thống kê Fermi – Dirac biến dạng –q ................................ 39 Chương 3: NGHIÊN CỨU KHE NĂNG LƯỢNG CỦA TRẠNG THÁI SIÊU DẪN BẰNG LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN MỚI .......... 43 3.1. Lý thuyết biến phân mới dựa trên dao động tử điều hòa biến dạng –q ............................................................................................... 43 3.2. Nghiên cứu khe năng lượng của trạng thái siêu dẫn bằng lý thuyết nhiễu loạn mới .......................................................................... 52 KẾT LUẬN.......................................................................................... 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................... 68 6 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Một đặc tính kỳ diệu của một số vật liệu là dưới một nhiệt độ nhất định (tùy theo từng chất) điện trở suất của vật liệu bằng không, độ dẫn điện trở nên vô cùng lớn. Đó là hiện tượng siêu dẫn. Hiện tượng lý thú này được phát hiện lần đầu tiên ở thủy ngân cách đây hơn một thế kỷ (năm 1911) ở vùng nhiệt độ gần không độ tuyệt đối (≤ 4,2 K). Sau này, tính chất siêu dẫn đã được tìm thấy ở hàng loạt kim loại, hợp kim và hợp chất. Ngoài đặc tính siêu dẫn, các nhà khoa học còn phát hiện thấy, với chất siêu dẫn từ trường bên trong nó luôn luôn bằng không … Các Fermion phải tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli, cũng chính nguyên lý này cùng với thống kê Fermi – Dirac đã được ứng dụng để giải thích các hiện tượng vật lý như hiện tượng siêu dẫn, siêu chảy... Hiện tượng kỳ lạ của chất siêu dẫn đó được lý giải bằng lý thuyết vi mô, theo đó, khác với các chất dẫn điện thông thường, ở trạng thái siêu dẫn, hiện tượng dẫn điện là do các cặp điện tử kết hợp với nhau và khi chuyển động tạo nên dòng điện, các cặp không bị mất mát năng lượng và điện trở suất bằng không. Đặc điểm đặc trưng quan trọng nhất của vật liệu ở trạng thái siêu dẫn là năng lượng kích thích một cặp electron có xung lượng và spin ngược chiều nhau để chuyển cặp electron này từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái thường luôn luôn lớn hơn một giới hạn 2∆ nào đó. 2∆ gọi là bề rộng của khe năng lượng trong lý thuyết siêu dẫn. Hiện tượng siêu dẫn đã được rất nhiều các nhà khoa học trên thế giới và trong nước quan tâm nghiên cứu cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm, và đã đạt được nhiều thành tựu to lớn. Sau thời gian học tập tôi nhận thấy nghiên cứu về hiện tượng siêu dẫn có ý nghĩa khoa học và ứng dụng cao, vì vậy tôi 7 chọn đề tài “Nghiên cứu khe năng lượng của trạng thái siêu dẫn bằng lý thuyết nhiễu loạn mới” làm đề tài nghiên cứu của luận văn thạc sĩ. 2. Mục đích nghiên cứu. Nghiên cứu một cách có hệ thống các tính chất và các đại lượng đặc trưng trạng thái siêu dẫn. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. Trong luận văn của mình, chúng tôi nghiên cứu về khe năng lượng, phương trình khe bằng lý thuyết nhiễu loạn mới: là lý thuyết dựa trên cơ sở dao động tử phi điều hòa được biểu diễn bằng dao động tử điều hòa biến dạng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. 4.1. Đối tượng nghiên cứu: - Trạng thái siêu dẫn. 4.2. Phạm vi nghiên cứu: - Vật liệu siêu dẫn và các lý thuyết vi mô về vật liệu siêu dẫn. 5. Phương pháp nghiên cứu. - Phương pháp giải tích toán học. - Phương pháp lý thuyết trường lượng tử. - Các phương pháp nghiên cứu của vật lý chất rắn. 6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài. - Xác định được phương trình khe năng lượng bằng lý thuyết nhiễu loạn mới. 8 NỘI DUNG Chương 1: TỔNG QUAN VỀ SIÊU DẪN Năm 1908, H.K. Onnes khởi xướng lĩnh vực vật lý nhiệt độ siêu thấp qua việc hóa lỏng Hêli trong phòng thí nghiệm ở Leiden (Hà Lan). Năm 1933, Meissner và Ochsenfield khám phá ra tính nghịch từ lý tưởng của chất siêu dẫn. Đến năm 1935 anh em nhà London đề xuất phương trình giải thích hiệu ứng này. Một bước tiến quan trọng về mặt lý thuyết xảy ra vào năm 1950 với lý thuyết Ginzburg – Landau. Lý thuyết này mô tả hiện tượng siêu dẫn thông qua tham số trật tự và cho chúng ta cách rút ra các phương trình London. Hiện tại sự hiểu biết của chúng ta trên phương diện lý thuyết về tính chất siêu dẫn chủ yếu dựa vào lý thuyết vi mô do J. Bardeen, L. Cooper và J. R. Schrieffer (BCS) đề xuất năm 1957. Năm 1986, đánh dấu bước phát triển vượt bậc trong quá trình tìm hiểu về chất siêu dẫn đó là tìm ra các chất siêu dẫn nhiệt độ cao. Lý thuyết BCS đã không giải thích được đầy đủ các tính chất của vật liệu này. Nó đòi hỏi sự ra đời của những lý thuyết mới hoặc ít nhất là sự mở rộng lý thuyết BCS. Vấn đề này đang là một đề tài thời sự đầy hấp dẫn các nhà khoa học [2], [6], [7]. 1.1. Các đặc điểm cơ bản của trạng thái siêu dẫn. 1.1.1. Hiệu ứng Meissner, từ trường tới hạn. Năm 1933, H.Meissner và R.Ochsenfeld phát hiện thấy: khi hạ nhiệt độ của một mẫu chất sang trạng thái siêu dẫn, các đường sức từ lập tức bị đẩy ra khỏi bên trong mẫu. Khi mẫu đang ở trạng thái siêu dẫn mà gài từ trường vào thì các đường sức từ cũng bị đẩy ra.Với tính chất đó chất siêu dẫn được coi là chất nghịch từ lý tưởng. Từ trường chỉ đâm xuyên vào mẫu ở độ sâu cỡ L  5.108  m  và cơ bản từ trường bị đẩy ra khỏi mẫu (hình 1.1) 9 Hình 1.1 Hiệu ứng Meissner Tính chất nghịch từ lý tưởng này của vật dẫn được giải thích như sau. Khi vật ở trạng thái siêu dẫn đặt trong từ trường ngoài yếu thì từ trường ngoài gây trên bề mặt của vật siêu dẫn một dòng siêu dẫn có mômen từ ngược chiều với từ trường ngoài làm cho cảm ứng từ bên trong vật ở trạng thái siêu dẫn bằng không. Khi tăng cường độ từ trường ngoài thì mật độ dòng siêu dẫn trên bề mặt vật siêu dẫn cũng tăng để cho cảm ứng từ ở bên trong vật ở trạng thái siêu dẫn luôn luôn bằng không. Nếu đặt vật ở trạng thái siêu dẫn trong từ trường ngoài đủ mạnh thì trạng thái siêu dẫn của vật bị phá vỡ và chuyển sang trạng thái thường. Khi đó từ trường ngoài không bị đẩy ra ngoài khối siêu dẫn mà xuyên qua toàn bộ vật dẫn. Từ trường H c cần thiết để chuyển từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái thường của vật siêu dẫn gọi là từ trường tới hạn. Độ lớn của từ trường tới hạn H c phụ thuộc vào nhiệt độ T theo công thức  T2  H c T   H c  0  1  2  .  Tc  (1.1) 1.1.2. Hiệu ứng đồng vị. Một đặc điểm quan trọng nữa của các chất siêu dẫn là hiệu ứng đồng vị. Giá trị quan trọng của hiệu ứng đồng vị là cho chúng ta một phương hướng mới tìm hiểu bản chất của các hiện tượng siêu dẫn. Thực nghiệm cho 10 thấy, rất nhiều chất siêu dẫn được chế tạo từ các đồng vị khác nhau của một nguyên tố có nhiệt độ tới hạn Tc khác nhau tuân theo qui luật, Tc  A1/2 , (1.2) trong đó A là khối lượng nguyên tử đồng vị. Hiệu ứng đồng vị khẳng định vai trò dao động của mạng tinh thể (tức phonon) trong việc tạo ra trạng thái siêu dẫn, cụ thể như sau. Do một electron gần mặt Fermi hút các ion mạng điện tích dương ở quanh nó mà tinh thể bị biến dạng để tập trung các điện tích dương về gần electron đã cho. Khi đó mật độ điện tích dương gần electron đó lớn hơn mật độ điện tích dương của tinh thể. Một electron khác cũng ở gần mặt Fermi chuyển động gần vùng có mật độ điện tích dương lớn sẽ hút vào vùng này và như vậy giữa hai electron đó (một electron đã cho, một electron chuyển động gần vùng có mật độ điện tích dương lớn) có một lực hút hiệu dụng nào đó. Lực này xuất hiện là do hai electron tương tác với các ion dao động trong mạng tinh thể. 1.2. Lý thuyết London. Theo lý thuyết Maxwell về trường điện từ thì chất siêu dẫn sẽ không đẩy từ trường ra khỏi nó nếu từ trường gài vào trước rồi mới hạ nhiệt độ để mẫu chuyển sang trạng thái siêu dẫn. Điều này hoàn toàn mâu thuẫn với hiệu ứng Meissner. Năm 1935, dựa trên mô hình hai chất lỏng của Gorter và Casimer, London đã đưa ra lý thuyết giải thích được hiệu ứng Meissner. Lý thuyết của họ dẫn ra hai phương trình, một mô tả tính dẫn điện lý tưởng và một mô tả tính nghịch từ lý tưởng,    mc  d J E  2  , n e dt  s   H  m    J , 0 ns e 2 (1.3) (1.4) 11   với ns là mật độ các điện tử siêu dẫn, J  ns e là mật độ dòng siêu dẫn, m, e là khối lượng và điện tích của điện tử, 0 là độ từ thẩm. Kết hợp (1.4) với     các phương trình Maxwell  H  0,   H  J .4 / c , ta dẫn ra được hiệu   ứng Meissner, H y  x   H y  0  exp   x / L  . (1.5) Ở đây bề mặt của mẫu siêu dẫn được chọn trùng với mặt phẳng Oyz ,  từ trường ngoài H / / Oy, L là độ xuyên sâu London, 1/2  m  . L   2   n e  0 s  (1.6)     Mặt khác nếu đưa vào thế vectơ A với 0 H    A thì ta có thể viết (1.4) thành  ns e 2  J  A. m (1.7)  Thực ra (1.4), (1.5) chỉ dùng trong trường hợp sự biến thiên của J và  A trong không gian là chậm. Trong chất siêu dẫn, chuyển động của hai điện tử không tương quan với nhau. Sự tương quan trong không gian của chuyển động hai điện tử được đặc trưng bởi khoảng cách 0 , nghĩa là nếu hai điện tử cách xa nhau một đoạn nhỏ hơn 0 thì chúng còn tương quan nhau. Phương trình (1.4), (1.5) chỉ áp dụng khi    0 đó chính là trường hợp của siêu dẫn loại II (hay còn gọi là siêu dẫn loại London). 1.3. Lý thuyết BCS. Năm 1957, Bardeen, Cooper và Schrieffer (BCS) đã đưa ra lý thuyết vi mô tiên đoán được nhiều tính chất của siêu dẫn ở nhiệt độ thấp. 12 Lý thuyết vi mô của họ dựa trên các luận điểm cơ bản sau: - Nếu các điện tử ở lân cận mặt Fermi có tương tác hút nhau dù là nhỏ, thì trạng thái cơ bản của hệ điện tử thông thường (tức là trạng thái mà mọi mức ở trong mặt Fermi đều bị chiếm, các mức ở ngoài đều trống và phổ của trạng thái kích thích là liên tục) không thể tồn tại bền vững được. Hiện tượng này gọi là hiện tượng Cooper. - Tương tác hút của các điện tử ở lân cận mặt Fermi có thể xảy ra do nhiều cơ chế. Một trong những cơ chế khả dĩ và hay gặp nhất ở đa số các chất siêu dẫn là sự tương tác của các điện tử qua trường phonon. - Khi xảy ra hiện tượng Cooper, tức là sự kết cặp điện tử thì trong phổ năng lượng sẽ xuất hiện khe năng lượng. Năm 1956, khi xét tương tác giữa hai điện tử trên mặt Fermi, Cooper cho rằng giữa chúng có lực hút, đặc trưng bởi thế V. Bằng tính toán trong gần đúng tương tác yếu, Cooper đã tìm được trị riêng năng lượng của hệ tính từ mức  F là  2  E  2D exp  , VD E   F   (1.8) trong đó D  EF  là mật độ trạng thái ở mức Fermi, D là tần số Debye. Kết quả này khẳng định trạng thái kết cặp luôn có năng lượng thấp hơn trạng thái cơ bản thông thường cho dù số hạng tương tác V nhỏ tùy ý. Điều này cho thấy trạng thái cơ bản thông thường kém bền so với trạng thái kết cặp Cooper. Khi xét đến nguyên nhân gây ra lực tương tác giữa các điện tử, lý thuyết BCS cho rằng trong các chất siêu dẫn tồn tại cơ chế tương tác giữa điện tử và phonon. 13 - (k+q) -k q k (k+q) Hình 1.2 Tương tác giữa hai điện tử do trao đổi phonon   Theo cơ chế này, một điện tử ở trạng thái  k phát ra phonon q và     chuyển sang trạng thái  (k  q ) . Điện tử còn lại k hấp thụ phonon q và   chuyển sang trạng thái (k  q ) (hình 1.2). Tương tác giữa hai điện tử gồm phần tương tác Colomb V c và tương tác do trao đổi phonon V ph . Lý thuyết lượng tử hóa lần hai chứng minh được, c   kk' V  e2  2 2  0 q  k FT  , (1.9)    q 2   2 M  (1.10) Vkph   2  , k' q  k   k '    2 2 q    1/2 trong đó  0 là năng lượng điện tử khi k  0 , k FT   3ne 2 / 2 F  0  và M q      biểu thị cường độ tương tác điện tử - phonon. Vậy năng lượng tương tác giữa hai điện tử là, 2 Vk k'  e  2 M q 2 2  0 q  k FT   2   q   2  . 2 2  k   k '     q        (1.11) 2 Rõ ràng Vk k' có thể âm nếu M q đủ lớn và   2   k   k '    2 2 q . Biểu thức trên giúp ta hiểu một cách định tính là       14 các kim loại Au, Ag , Cu có điện trở lý tưởng rất nhỏ nhưng không phải là 2 các chất siêu dẫn, vì nếu M q đủ nhỏ thì khó có thể làm cho Vk k' trở thành âm để gây ra hiện tượng Cooper. Cũng từ (1.11) nếu gọi D đặc trưng cho phổ phonon, thì sự kết cặp chỉ có thể xảy ra khi các điện tử không ở xa mức Fermi một khoảng lớn hơn D . Do đó với cùng một chất nhưng với các đồng vị có A khác nhau thì D sẽ khác nhau (vì q  A1/2 ), nghĩa là khoảng D để xảy ra lực hút là khác nhau. Kết quả là Tc sẽ phụ thuộc vào khối lượng đồng vị. Hiện tượng Cooper cũng dẫn đến sự xuất hiện khe năng lượng trong phổ của hệ lượng tử. Dựa trên cơ chế phonon, lý thuyết BCS đã xây dựng được biểu thức Hamiltonian của hệ dưới dạng,  1   H   k n Vph bb ,  k ,s    k , k ' k k 2 k ,k ' k ,s  (1.12) trong đó nk ,s là toán tử số hạt, bk , bk lần lượt là toán tử sinh và hủy một cặp    là thế tương tác điện tử - phonon Cooper ở trạng thái (k ,  k ) còn Vkph ,k ' (1.10). Hàm riêng  của toán tử Hamiltonian được viết dưới dạng,        b  0 ,   u  k k k  (1.13) k trong đó  k là trọng số của trạng thái có cặp Cooper, uk là trọng số của trạng thái không có cặp Cooper và chúng thỏa mãn phương trình  k 2  uk 2  1. Ở trạng thái cơ bản năng lượng nhận giá trị cực tiểu tương ứng với,        k  k 1 1 2 2    uk  1   , k  1   , 2 E k  2 E k          trong đó     (1.14) 15   E k   k      2 1/2   ,  2  k  k   Vkk ' k ' / 2 Ek ' .  (1.15) (1.16) k' Một cách gần đúng, ta xem khe năng lượng  k không phụ thuộc vào  hướng của véc tơ sóng k và chỉ khác không trong lân cận mặt Fermi:      k   0 khi  k   k '  D . (1.17.1)       k  0 cho các trường hợp còn lại. (1.17.2) Trong giới hạn tương tác yếu   D , giá trị khe năng lượng  bằng,  0  2D .exp  1/ VD  EF    1.76k BTc , (1.18)  0 chính là giá trị khe năng lượng ở nhiệt độ T  00 K , là năng lượng tối thiểu để kích thích một điện tử từ trạng thái cơ bản của siêu dẫn. Lý thuyết BCS còn tiên đoán trị số khe năng lượng  T  giảm xuống khi nhiệt độ tăng và khi ở gần nhiệt độ chuyển pha nó có dạng, 1/2  T ΔT  1.74 1-  ,T  Tc . Δ0  Tc  (1.19) Kết quả này của lý thuyết BCS hoàn toàn phù hợp so với thực nghiệm. Ngoài ra, lý thuyết BCS cũng giải thích tốt nhiều hiện tượng trong đó có cả hiện tượng điện trở bằng không và hiệu ứng Meissner. Nhiệt độ tới hạn Tc của các chất siêu dẫn được tiên đoán bởi lý thuyết BCS không vượt quá 300 K . Mặc dù rất thành công nhưng lý thuyết BCS vẫn bộc lộ những hạn chế và có thể bế tắc đối với một số sự kiện thực nghiệm. Chẳng hạn nó không 16 xét chi tiết phổ phonon trong tinh thể mà chỉ chọn một tần số Debye D (tần số cực đại của dao động mạng). Nó không xét đến các đặc điểm của sự phân bố các điện tử theo các mức năng lượng trong tinh thể tạo bởi các ion nằm ở các nút mạng mà thay phân bố đó bằng phân bố Fermi cho chất khí điện tử, còn môi trường thì không quan trọng. 1.4. Lý thuyết Ginzburg – Landau. Năm 1950, Ginzburg và Landau đã đưa ra lý thuyết hiện tượng luận mô tả rất tốt hiện tượng siêu dẫn. Thuyết Ginzburg – Landau (GL) dựa trên nền tảng là lý thuyết chuyển pha loại II của Landau, để mô tả quá trình chuyển pha, Landau đưa ra khái niệm tham số trật tự - là đại lượng vật lý có giá trị bằng không trong pha mất trật tự và khác không trong pha trật tự. Đối  với hiện tượng siêu dẫn, tham số trật tự là hàm sóng phức   r  ,     r     r  exp  i  , trong đó ns   2 (1.20) mang ý nghĩa là mật độ điện tử siêu dẫn,  là pha của tham số trật tự và là một đại lượng thực. Theo GL, trong trạng thái siêu dẫn, dòng điện tử siêu dẫn có khối lượng ms , điện tích es và mật độ ns thỏa mãn các hệ thức: ms  2me , es  2e, ns  1/ 2  ne , (1.21) trong đó me , e, ne lần lượt là khối lượng, điện tích và mật độ điện tử. Để mô tả tính chất nhiệt động của trạng thái siêu dẫn, Ginzburg và Landau đã dùng biểu thức năng lượng tự do Gibbs. Theo GL, ở lân cận dưới Tc , mật độ năng lượng tự do Gibbs s có thể được khai triển như một phiếm hàm địa phương của tham số trật tự  ,  2 H2  1 s    n     2   i  es A   , 2ms 8 2  4   (1.22) 17 H2 trong đó n là mật độ năng lượng tự do của trạng thái thường, là mật 8  2  1 i  es A  là động năng của 2ms  dòng siêu dẫn liên quan đến sự không đồng nhất của tham số trật tự  , A là  thế vectơ, H là từ trường ngoài,  và  là các hàm của nhiệt độ,  độ năng lượng của từ trường ngoài,  T   1 ,  0  0,  T    0  0 .  Tc   T    0  (1.23) Lấy đạo hàm của s   ở (1.22) đối với  , còn  giữ không đổi, ta được phương trình GL thứ nhất,  2  1 2 (1.24) i  es A .   .   .  .  0 . 2ms   Sử dụng hiệu chuẩn Colomb . A  0 và lưu ý năng lượng cũng cực        tiểu với thế vectơ A , trong đó B    A và 0 J    B ta tìm được   phương trình GL thứ hai,   * ies *  es2  2 0 J         A  . 2ms ms   (1.25) Hai phương trình (1.24) và (1.25) biểu thị mối liên hệ giữa tham số  trật tự  với thế vectơ A . Hai đại lượng này là nền tảng của lý thuyết GL. Từ hai phương trình GL ta có thể rút ra một số hệ quả quan trọng sau:  Đầu tiên là khái niệm lượng tử từ thông. Xét một vòng xuyến siêu dẫn  được đặt trong một từ trường ngoài B  0 . Từ (1.20) ta có       i  ei   r  . (1.26) Dòng toàn phần từ (1.25) chuyển thành  es 2  es2  2 0 J     A  . ms ms (1.27) 18 2 Chia (1.27) cho es2  / ms và lấy tích phân dọc theo đường cong kín ta được     ms 0 J    . dl    . dl  A (1.28)  .dl . es2   2 es2  Do tham số trật tự phải xác định đơn trị nên tích phân đường của pha  theo đường cong kín phải là bội số của 2     . dl  2 n ,  (1.29) với n nguyên. Ta viết lại (1.29) như sau:    ms 0 J  . dl  Adl   n0 , es2   2 (1.30) trong đó  0  h / es được gọi là đơn vị lượng tử từ thông. Nếu để ý đến định     lí Stoke  Adl   BdS  ta biến đổi (1.30) thành  ms 0 J  .dl    n 0 . (1.31) es2   2 Biểu thức này cho thấy từ thông toàn phần gửi qua hệ bị lượng tử hóa bằng nguyên lần  0 .  Thứ hai: lý thuyết GL cho ta một độ dài đặc trưng thứ nhất gọi là độ dài kết hợp GL  T    2ms T  1/2 . (1.32) Đại lượng này có thể thu được từ phương trình GL thứ nhất (1.24) khi ta xét đến sự phụ thuộc vào tọa độ của tham số trật tự ở gần bề mặt của chất siêu dẫn.  T  đặc trưng cho sự biến đổi của tham số trật tự  trong không gian. Giá trị của  tại T  00 K chính là 0 đã nói ở trên. 19 Gần nhiệt độ chuyển pha,  T  tiến đến không. Điều này dẫn đến  T  phân kì theo hàm Tc  T  1/2 ở gần điểm tới hạn. Đây cũng chính là đặc trưng chung của độ dài tương quan trong chuyển pha loại II.  Thứ ba, lý thuyết GL đưa ra một độ dài đặc trưng thứ hai gọi là độ xuyên sâu GL  ms c 2     4 es2  T   1/2   .  (1.33) Độ xuyên sâu  được rút ra từ phương trình GL thứ hai khi xét sự thâm nhập vào mẫu siêu dẫn của từ trường ngoài (Hình 1.3).  phụ thuộc vào nhiệt độ và phân kì theo hàm mũ Tc  T  1/2 ở gần điểm chuyển pha.  Thứ tư, lý thuyết GL chỉ ra mật độ dòng tới hạn J c mà tại đó trạng thái siêu dẫn của hệ bị phá vỡ. Từ phương trình GL thứ hai, ta rút ra được 3/2 8 2 Bc  0   T  Jc  1   . 3 30  0   Tc  S H0  H 0e  x /  Hz  x   O x Hình 1.3. Qui luật giảm theo hàm mũ của từ trường ngoài khi đi vào trong siêu dẫn với trường hợp    (1.34) 20 Rõ ràng dòng J c triệt tiêu khi hệ ở trạng thái tới hạn và đạt cực đại khi nhiệt độ T  0 , điều này là hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm. Tuy không giải thích được nguồn gốc vi mô song lý thuyết hiện tượng luận GL đã thành công trong việc giải thích nhiều tính chất cơ bản của hiện tượng siêu dẫn. Lý thuyết này đã giải quyết được hai đặc điểm nằm ngoài tầm với của lý thuyết London, đó là: (i) các hiệu ứng phi tuyến của từ trường 2 đủ mạnh làm thay đổi ns (hay  ) và (ii) sự thay đổi theo không gian của ns . Ngoài ra, lý thuyết GL cũng đã giải quyết được trạng thái trung gian của các chất siêu dẫn, trong đó các vùng siêu dẫn thường cùng tồn tại ở từ trường ngoài tới hạn H  H c . 1.5. Siêu dẫn loại I và siêu dẫn loại II. Khi đặt từ trường ngoài H lớn hơn giá trị tới hạn H c vào mẫu siêu dẫn, từ trường sẽ thấm qua mẫu và ở vùng này tồn tại một trạng thái “hỗn hợp” gồm từ trường và điện tử siêu dẫn. Ta sẽ khảo sát trạng thái này bằng việc xét một mặt phân cách giữa pha thông thường lấp đầy nửa không gian bên trái x  0 và pha siêu dẫn lấp đầy nửa không gian bên phải x  0 như ở hình 1.4. Ta biết rằng tham số trật tự siêu dẫn sẽ triệt tiêu tại bề mặt của mẫu và đạt giá trị xác định trong khoảng độ dài kết hợp  . Mặt khác, các dòng bề mặt chỉ xuất hiện ở lớp bề mặt dày  còn ở sâu trong mẫu siêu dẫn từ trường bị đẩy hoàn toàn. Ở đây ta chỉ xét ảnh hưởng của mặt phân cách lên năng lượng tự do, trong đó đại lượng quan trọng cần xác định là năng lượng bề mặt.