Tài liệu Nghiên cứu didactic việc dạy học hàm số và phương trình chứa tham số trong môi trường casyopée ở bậc trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Tấn Phú NGHIÊN CỨU DIDACTIC VIỆC DẠY HỌC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ TRONG MÔI TRƯỜNG CASYOPÉE Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Tấn Phú NGHIÊN CỨU DIDACTIC VIỆC DẠY HỌC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ TRONG MÔI TRƯỜNG CASYOPÉE Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN CHÍ THÀNH Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Trước hết, tôi xin cảm ơn TS. Nguyễn Chí Thành đã tận tình hướng dẫn tôi từng bước trên con đường nghiên cứu khoa học của mình. Mặc dù thầy ở rất xa nhưng thầy luôn quan tâm, động viên, chỉ dẫn tôi những lúc gặp khó khăn. Điều đó giúp tôi thêm nghị lực để hoàn thành luận văn này. Không có gì hơn, kính chúc thầy và giá đình thật nhiều sức khỏe và có nhiều niềm vui trong cuộc sống. Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Vũ Như Thư Hương…đã dạy cho chúng tôi những lý thuyết cơ bản về didactic Toán, những kiến thức và lời khuyên quý báo mà quý thầy cô đã dành cho chúng tôi. Tôi cũng cảm ơn Ban Giám đốc Trung tâm Giáo dục thường xuyên và Kĩ thuật tổng hợp hướng nghiệp Đức Hòa đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học. Đồng thời tôi cũng xin cảm ơn Ban giám hiệu, và thầy cô tổ Toán Trường THPT Hậu Nghĩa, Trường THPT An Ninh đã tạo điều kiện cho tôi tiến hành thực nghiệm. Sẽ thật là thiếu sót nếu không nhắc đến gia đình và vợ của tôi đã chấp nhận xa tôi và thay tôi gánh vác chuyện gia đình để tôi yên tâm theo suốt khóa học. Tôi cầu mong tất cả có nhiều sức khỏe và niềm vui trong cuộc sống. Lê Tấn Phú MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1 1. Đặt vấn đề và câu hỏi xuất phát ................................................................. 1 2. Các công cụ lý thuyết và đặt lại vấn đề theo công cụ lý thuyết ................. 3 3. Cấu trúc luận văn ....................................................................................... 6 Chương 1: ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ KÍ HIỆU CHỮ TRONG ĐẠI SỐ, THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ............ 7 1. Điều tra khoa học luận kí hiệu chữ trong Đại số ....................................... 7 2. Điều tra khoa học luận về tham số, phương trình chứa tham số.............. 11 3. Hàm số ..................................................................................................... 16 4. Kết luận chương 1.................................................................................... 17 Chương 2: NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ HÀM SỐ CHO BẰNG BIỂU THỨC CHỨA THAM SỐ ........................................................... 19 1. Hàm số cho bằng biểu thức chứa tham số trong SGK ............................. 20 2. Các tổ chức toán học liên quan đến phương trình chứa tham số và hàm số cho bằng biểu thức chứa tham số ........................................................ 21 2.1. Các KNV T1 “ Giải và biện luận” .................................................... 22 2.2. Các KNV T 2: “Tìm các giá trị tham số” trong phương trình hoặc trong hàm số thỏa điều kiện nào đó .................................................................. 36 3.3. Các KNV T 3 : “Chứng minh”........................................................... 46 3.4. KNV T 4 : “Tìm điểm cố định của hàm số y = f(x,m)” ...................... 46 3.5. NV T 5 : “Tìm quỹ tích điểm” của họ đương cong phụ thuộc thuộc tham số 52 3. Kết luận chương 2.................................................................................... 60 Chương 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ............................................. 64 1. Đối tượng và hình thức tổ chức và nội dung thực nghiệm ...................... 64 2. Phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm thực nghiệm của giáo viên 71 3. Phân tích tiên nghiệm các thực nghiệm học sinh .................................... 76 4. Phân tích hậu nghiệm các thực nghiệm của học sinh .............................. 82 4.1. Phân tích hậu nghiệm thực nghiệm B ............................................... 82 4.2. Phân tích hậu nghiệm thực nghiệm C ............................................... 87 5. Kết luận chương 3.................................................................................... 98 KẾT LUẬN CHUNG ................................................................................ 100 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................ 103 PHỤ LỤC .................................................................................................. 106 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT HH: Hình học SGK : Sách giáo khoa SGV: Sách giáoviên SBT: Sách bài tập GV: Giáo viên HS: Học sinh TCTH: Tổ chức toán học THPT: Trung học phổ thông PT: Phương trình KNV: Kiểu nhiệm vụ MT: Môi trường ĐS: Đại số HH: Hình học 1 MỞ ĐẦU 1. Đặt vấn đề và câu hỏi xuất phát Trong quá trình phát triển toán học, Đại số kí hiệu được hình thành và phát triển trong quá trình tìm kiếm những biện pháp tổng quát để giải các bài toán cùng kiểu. Những biện pháp đó thường là lập và giải phương trình. Với việc hình thành các kí hiệu, đặc biệt là kí hiệu chữ trong Đại số và hình thành lí thuyết tập hợp sau đó, đã làm cho cách diễn đạt trong toán học hết sức tiện lợi, rõ ràng. Việc tính toán trên số cụ thể chuyển sang tính toán hình thức trên chữ đã giúp Đại số nghiên cứu các tính chất tổng quát của hệ thống số và những phương pháp tổng quát các bài toán bằng phương trình. Các phương pháp giải thường được trình bày theo một quy trình mang tính thuật toán. Chính việc sử dụng kí hiệu chữ trình bày nội dung toán học theo phương diện cú pháp 1 nên có lúc phương diện ngữ nghĩa2 bị xem nhẹ. Đồng thời, một kí hiệu chữ trong Đại số có thể có nhiều nghĩa và vai trò khác nhau. Ví dụ như trong một phương trình, chữ đóng vai trò ẩn, chữ đóng vai trò tham số; a + b chỉ vai trò là một quy trình (cộng a với b) cùng lúc chỉ một kết quả (tổng của a và b); dấu đẳng thức có vai trò chỉ một kết quả, hoặc một quan hệ tương đương. Vậy câu hỏi đặt ra là: Chữ trong Đại số có những vai trò nào? Theo Phan Thị Hằng (2002), “ […] vai trò và ý nghĩa của kí hiệu chữ biểu hiện rất phong phú, đa dạng: khi thì biểu thị một số tự nhiên, khi thì giữ vai trò là ẩn, khi thì giữ vai trò như một chữ số của một số có nhiều chữ số .v.v. Chính sự phức tạp này có thể gây nên những khó khăn và sai lầm khi học sinh phải giải quyết những tình huống trong đó có sự tham giá của các kí hiệu chữ.” ([8], tr 61). Dựa trên kết quả đó chúng tôi tự đặt ra câu hỏi như sau: Học sinh gặp khó khăn nào khi giải một bài toán có kí hiệu chữ quy định là tham số? 1 “Phương diện cú pháp (syntaxic) của toán học là mặt xem xét cấu trúc hình thức và sự biến đổi hình thức những biểu thức toán học, sự làm việc theo những quy tắc xác định và nói riêng là sự làm việc theo thuật giải.” ([10], tr.80]) 2 Phương diện ngữ nghĩa (semantic) của toán học là mặt xem xét nội dung của những mệnh đề toán học và nghĩa của những cách đặt vấn đề toán học.” ([10], tr.80]) 2 Quá trình dạy - học, luôn đòi hỏi phải có sự tương tác, nhất là trong môi trường có tích hợp công nghệ như phần mềm dạy học, Internet… Theo didactic “Chủ thể học bằng cách thích nghi (đồng hóa và điều ứng) với môi trường, nơi tạo ra những mâu thuẫn, khó khăn và mất cân bằng.” Theo Brousseau ,“Trong tình huống didactic, môi trườnglà hệ thống đối kháng với học sinh, tức là cái làm thay đổi tình trạng của kiến thức theo cách mà học sinh không kiểm soát được.” Các yếu tố hình thành nên môi trườngcó thể là vật chất hoặc phi vật chất. Hiện nay, có rất nhiều phần mềm dạy-học môn Toán ở bậc THPT, trong đó có phần mềm Casyopée. Casyopée là phần mềm dạy học hàm số do Lagrange (2002) và nhóm nghiên cứu thuộc trung tâm nghiên cứu Didactic Diddirem (nay là trung tâm nghiên cứu Didactic LDAR Đại học Paris VII) phát triển. Một đặc trưng nổi bật của phần mềm này là có hai môđun đại số và môđun hình học động và kết nối chặt chẽ với nhau. Đây là phần mềm duy nhất nghiên cứu quan hệ hàm có sự tích hợp của hai mođun đại số và hình học. - Trong môđun đại số: Các hàm số với biến số thực là trung tâm nghiên cứu của Casyopée. Casyopée cung cấp phương tiện để tạo ra các tập số thực có điều kiện (mô hình hóa tham số bằng thanh trượt thay đổi giá trị) mà các hàm, biểu thức xác định trên nó. Casyopée cho phép tính toán, biến đổi hình thức chứa kí hiệu chữ là tham số. Cần nhấn mạnh thêm các kĩ năng tính toán, khảo sát hàm số… đều được chương trình tự động thực hiện. Và đồ thị hàm số sẽ tự thay đổi theo sự thay đổi giá trị của tham số. - Trong mô đun hình học: Có các công cụ dựng các đối tượng mới dựa trên cơ sở đối tượng đã có (như trung điểm của đoạn thẳng, giao điểm của hai đường thẳng, của đường thẳng và đường tròn). Khi thay đổi vị trí của điểm di động, các đối tượng trên vẫn bảo toàn cấu trúc của nó. Nhờ khả năng này mà HS có thể phát hiện ra một số tính chất của hình, quỹ tích của điểm… khi dịch chuyển điểm. Xác định được miền xác định và công thức tính các đại lượng như diện tích, độ dài …, và tuỳ theo giá trị biến do người dùng tự chọn (theo quy ước riêng của Casyopée), nó chuyển các biểu thức này thành các hàm số trên môđun đại số. Nhờ khả năng này, nó kiểm tra mối quan hệ giữa hai đại lượng biến thiên có là quan hệ hàm hay không ? Qua một số tính năng của Casyopée mà chúng tôi trình bày ở trên, chúng tôi nhận 3 thấy Casyopée tỏ ra thích hợp thiết kế môi trường dạy-học có tích hợp Casyopée thể hiện sự thay đổi giá trị của tham số. Môi trường đó nhằm tạo điều kiện thuận lợi để giải quyết KNV chứa tham số trong môi trường Casyopée hoặc hỗ trợ kĩ thuật giải quyết KNV chứa tham số trong môi trường truyền thống. Điều đó sẽ khắc phục khó khăn khi học sinh giải quyết KVN chứa tham số trong chủ đề phương trình và hàm số bậc THPT. Câu hỏi chúng tôi đặt ra là: Những KNVchứa tham số nào giải được trong môi trường Casyopée? Và môi trường Casyopée khắc phục khó khăn nào khi học sinh giải bài toán chứa tham số trong môi trườngtruyền thống? 2. Các công cụ lý thuyết và đặt lại vấn đề theo công cụ lý thuyết 2.1. Quan hệ thể chếvới một tri thức Lý thuyết nhân học trong didactic dựa vào ba thuật ngữ ban đầu không định nghĩa là đối tượng, cá thể, thể chế. Khi một cá thể X thâm nhập vào một thể chế I mà trong đó tồn tại một đối tượng tri thức O, mối quan hệ cá nhân R(X, O) của X với O được hình thành. Cá thể X và hệ thống các quan hệ cá nhân R(X, O) được gọi là cá nhân. Thông qua mối quan hệ cá nhân R(X, O), cá nhân trở thành một chủ thể của thể chế I. “Trong didactic, vấn đề trung tâm là vấn đề nghiên cứu mối quan hệ thể chế, các điều kiện và những hiệu ứng của nó. Việc nghiên cứu mối quan hệ cá nhân cũng là một vấn đề của khoa học sư phạm, cơ bản về mặt thực hành nhưng thứ yếu về mặt khoa học luận3” [Chevallard (1989), tr 93]. 2.2. Tổ chức praxélogic, tổ chức toán học Theo lý thuyết nhân học trong didactic, mỗi hoạt động bất kỳ của con người đều nhằm hoàn thành một nhiệm vụ t nào đó. Nhiều nhiệm vụ t có thể xếp vào một kiểu nhiệm vụ T nếu chúng được giải quyết bằng cùng một kỹ thuật τ. Công nghệ θ là những 3 Khoa học luận (tiếng Pháp: épistémologie, tiếng Anh: epistemology) nghiên cứu về lịch sử, phương pháp và nguyên lý của các ngành khoa học. Cộng đồng Pháp ngữ có xu hướng xem khoa học luận là một nhánh của triết học về các khoa học trong khi cộng đồng Anh ngữ xem khoa học luận là nhận thức luận. 4 gì cho phép nghĩ đến, tạo ra hoặc lý giải cho kỹ thuật t. Đến lượt mình, công nghệ θ được giải thích, biện minh bằng lý thuyết Θ. Bộ bốn phần tử [T/t/θ/Θ] gọi là một praxéologie, vốn được cấu thành bởi hai từ Hy Lạp là praxis (thực hành) và logos (lý lẽ, lập luận). Thật vậy, trong một praxéologie, khối [T/ t] thuộc về thực hành và khối [θ/Θ] thuộc về lý lẽ, lập luận. Nếu T là một kiểu nhiệm vụ toán học thì praxéologie liên quan sẽ gọi là một tổ chức toán học. Việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với một đối tượng tri thức O (đối tượng toán học) có thể thực hiện qua việc phân tích các tổ chức toán học gắn liền với O. 2.3. Hợp đồng didactic Hợp đồng didactic là sự mô hình hóa của nhà nghiên cứu về quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên và học sinh đối với tri thức toán học được giảng dạy, là tập hợp các quy tắc (thường là ngầm ẩn) phân chia và giới hạn trách nhiệm của giáo viên và học sinh đối với tri thức toán học này. Chúng tôi sử dụng hợp đồng dạy học trong nghiên cứu của mình bởi vì hợp đồng dạy học là một công cụ để nghiên cứu một số sai lầm của học sinh mà nguồn gốc của những sai lầm đó là do những quan hệ ngầm ẩn giữa các thành phần trong hệ thống dạy học. Đặc biệt hơn, trong điều kiện có một bộ SGK như nước ta hiện nay thì hợp đồng dạy học còn có thể cho thấy một phần ảnh hưởng của SGK lên quan niệm của học sinh về đối tượng tri thức O nào đó. 2.4. Cách đặt vấn đề sinh thái học Cách đặt vấn đề sinh thái học sẽ giúp làm rõ những điều kiện và ràng buộc cho phép sự tồn tại và tiến triển của mỗi đối tượng, cũng như của mối liên hệ giữa chúng, bởi vì như Chevallard (1989b) đã nói : “[… ] một đối tượng tri thức O không tồn tại độc lập trong một thể chế mà nó có mối quan hệ tương hỗ và thứ bậc với các đối tượng khác trong cùng thể chế. Những đối tượng này đặt điều kiện và ràng buộc cho sự tồn tại của nó trong thể chế. Nói cách khác, các đối tượng này hợp thành điều kiện sinh thái cho cuộc sống của đối tượng tri thức O trong thể chế đang xét.” Chúng tôi phát biểu lại các vấn đề đặt ra ban đầu bằng thuật ngữ của các công cụ lý thyết đã lựa chọn như sau: 5 Q1. Kí hiệu chữ trong Đại số phổ thông có những vai trò nào? Đặc trưng của tham số trong phương trình chứa tham số và hàm số cho bằng biểu thức chứa tham số? Q2. Tham số gây ra những khó khăn nào khi học sinh giải quyết kiểu nhiệm vụ chứa tham số trong chủ đề phương trình và hàm số ở bậc THPT? Q3. Trong chủ đề phương trình và chủ để hàm số ở bậc THPT, môi trường Casyopée giải quyết được những KNV chứa tham số nào, Casyopée khắc phục những khó khăn nào của học sinh khi giải quyết KNV chứa tham số trong môi trường truyền thống? Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp nghiên cứu được sử dụng trong luận văn này chủ yếu tìm ra những khó khăn, chướng ngại4 do tham số gây ra khi học sinh giải một bài toán chứa tham số trong chủ đề phương trình và hàm số. Những khó khăn, chướng ngại nói chung và chướng ngại khoa học luận5 nói riêng có thể là một trong các nguyên nhân gây sai lầm6 ở học sinh. Do đó, để tìm hiểu các khó khăn, chướng ngại đó chúng tôi tiến hành quy trình như sau: Tìm hiểu khoa học luận kết hợp với phân tích thể chế, tìm hiểu tính năng phần mềm Casyopée sử dụng để giải quyết một số KNV chứa tham số phát hiện khó khăn hình thành giả thuyết, câu hỏi thực nghiệm kiểm chứng giả thuyết. Việc tìm hiểu khoa học luận, chúng tôi tham khảo các luận văn, luận án, tài liệu lịch sử toán học mà tôi hiện có. Phân tích thể chế chỉ liên quan đến lớp 10 và 12 ở Việt Nam (do chủ đề hàm số và phương trình lượng giác ở lớp 11 không có các bài tập chứa tham số) nên chúng tôi phân Không phải mọi khó khăn đều được xem là chướng ngại. “Sai lầm không chỉ đơn giản do thịếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra…, mà còn là một hậu quả một kiến thức trước đây đã từng có ích, đem lại thành công nhưng bây giờ tỏ ra sai hoặc đơn giản là không còn thích hợp nữa. Những sai lầm thuộc loại này không phải thất thường hay không dự đoán được, Chúng tạo thành chướng ngại. Trong hoạt động của giáo viên cũng như trong hoạt động của học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần xây dựng nên nghĩa của kiến thức thu nhận được.” ([2], tr57) 5 Kiến thức sai là cần thịết cho học tập: con đường đi của học sinh phải trải qua việc xây dựng (tạm thời) từ một số kiến thức sai, bởi vì việc ý thức được đăc trưng sai lầm này sẽ là yếu tố cấu thành nên nghĩa của kiến thức mà ta muốn xây dựng cho học sinh. Brousseau gọi những điểm buộc phải trải qua này là chướng ngại khoa học luận, nhấn mạnh vai trò của chúng trong lịch sử phát triển các kiến thức. ( [2], tr 59 ) 6 Học thuyết hành vi coi sai lầm chỉ là phản ánh của sự thịếu hiểu biết hay sự vô ý. Học thuyết kiến thịết gán cho sai lầm và nhận ra sai lầm một vai trò có tính xây dựng trong hoạt động nhận thức. Didactic đã liên kết được quan điểm kiến thịết và định đề của phái Bachelar – định đề khẳng định trong lịch sử các bộ môn khoa học, sai lầm không phải là một sự kiện thứ yếu xảy ra trong một quá trình: nó không nằm ngoài kiến thức mà chính là biểu hiện của kiến thức.” ([2], tr 57) 4 6 tích sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Toán 10, 12 hiện hành. Thực nghiệm, chúng tôi tiến hành ở lớp 10 và 12. 3. Cấu trúc luận văn Chương 1: ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ KÍ HIỆU CHỮ TRONG ĐẠI SỐ, THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH Chương 2: NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ HÀM SỐ CHO BẰNG BIỂU THỨC CHỨA THAM SỐ Chương 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC 7 Chương 1: ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ KÍ HIỆU CHỮ TRONG ĐẠI SỐ, THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ Mục đích chương này nhằm trả lời câu hỏi Q1. Kí hiệu chữ trong Đại số phổ thông có những vai trò nào? Đặc trưng của tham số trong phương trình chứa tham số và hàm số cho bằng biểu thức chứa tham số? 1. Điều tra khoa học luận kí hiệu chữ trong Đại số 1.1. Sơ lược lịch sử hình thành và phát triển kí hiệu trong Đại số7 Theo kết quả nghiên cứu trong luận án Tiến sĩ của Nguyễn Ái Quốc (2006) “Về mặt lịch sử, đại số ra đời nhằm giải quyết một số “bài toán số học” và can thiệp như một công cụ giải các bài toán thuộc các lĩnh vực khác. Năm 1842, G.H.F.Nesselman đã phân loại sự phát triển lịch sử của phong trào ký hiệu đại số thành ba Giai đoạn: “Giai đoạn 1: “Hùng biện” (trước Diophante 325-410) đặc trưng bởi việc sử dụng ngôn ngữ thông thường để giải quyết một số dạng đặc biệt bài toán, và thiếu vắng cho việc biểu thị các biến số. Đại số hùng biện biểu thị lời giải của một bài toán mà không dùng bất kỳ một sự viết tắt hay ký hiệu nào cả. Giai đoạn 2: “Rút âm từ” (từ thời Diophante đến cuối thế kỷ XVI): Diophante đã đưa vào việc sử dụng viết tắt để chỉ các đại lượng chưa biết. Đại số “rút âm từ” sử dụng một số viết tắt tốc ký cho một số phép toán, đại lượng, và các quan hệ mà đuợc sử dụng thường xuyên hơn. Giai đoạn 3: “Đại số ký hiệu” (từ thời F.Viète trở đi): “Các chữ cái cũng được sử dụng để chỉ các đại lượng: do đó có thể biểu thị các nghiệm “tổng quát”, và sử dụng đại số như một công cụ để chứng minh các quy tắc tính toán” ([18], tr.5). “Trong chỉ thảo thư Rinda cổ Ai Cập (khoảng 2000 năm trước CN), trong đó đại lượng chưa biết được gọi bằng một từ có nghĩa là “ một đống, một mớ” và được kí hiệu bằng một chữ hình tượng tương ứng. Người Ai Cập cổ xưa trình bài cả đề bài và lời giải 7 Đại số là một trong các nhánh lâu đời của Toán học. Hiện nay lĩnh vực Đại số rất rộng lớn. Ở đây, chúng tôi chỉ đề cập đến Đại số phổ thông 8 của bài toán bằng lời và chỉ cho những thí dụ cụ thể bằng số. Các nhà nhà toán học phương Đông thời trung cổ trình bày tất cả các phép toán bằng lời. Sự tiến bộ sau này của Đại số bắt đầu có được chỉ sau khi kí hiệu thuận tiện được sử dụng phổ cập để biểu thị các phép toán. Quá trình tiến bộ đó diễn ra rất chậm chạp và quanh co.” ([24], tr 243-244) Diophante đã dùng i ( chữ cái đứng đầu từ Hi Lạp ϊδus (izos) có nghĩa là “ bằng nhau”) để chỉ sự bằng nhau. Diophante đã viết ẩn số x và các lũy thừa bằng các ký hiệu − − sau: s’ để chỉ ẩn số, δ v chỉ bình phương của ẩn số, x v chỉ lập phương của ẩn số. Bên − phải ẩn số hay lũy thừa của nó Diophante ghi hệ số, chẳng hạn 2x được viết là δ x v β 5 (trong đó β =2). Như vậy, kí hiệu chữ được dùng để chỉ ẩn số và để ghi các số với dấu gạch ngang trên đầu, chẳng hạn α =1, β =2,…Việc sử dụng chữ s’ để chỉ đại lượng chưa biết là do từ Arập Shei (nghĩa là đồ vật), viết theo tiếng La tinh là xei, rồi rút gọn dần thành x. Vài thế kỉ sau, người Ấn độ đưa vào các kí hiệu chữ khác nhau để chỉ ẩn số và để chỉ bình phương, chẳng hạn 3x2 + 10x. Theo cách viết của BrakhmaguPTa (thế kỉ thứ 7) có dạng như sau: ia va 3 ia 10 (ia là ẩn số , va là bình phương). Đến thế kỉ 15, nhà bác học Pháp N.Chuquet và nhà bác học Ý L.Pacioli dùng kí hiệu p (là chữ đầu của plus có nghĩa là cộng ) để chỉ phép cộng và dùng ký hiệu m (là chữ đầu của minus có nghĩa là trừ ) để chỉ phép trừ. Vào cuối thế kỉ 15, trong một số sách toán đã xuất hiện dấu + và -, và cho biết thêm rằng các dấu đó đã được sử dụng từ lâu trong thực tiễn thương mại để biểu thị thừa và thiếu trọng lượng. Các dấu còn lại (lũy thừa, căn, dấu ngoặc,…) được nhanh chóng đưa vào và được mọi người thừa nhận. Trước cải cách của F.Viète, trong đại số và số học gần như không có quy tắc chung, người ta chỉ xét những ví dụ bằng số. Một giáo trình Toán sơ cấp thời đó rất khó, vì người ta cho rất nhiều quy tắc riêng thay vì một quy tắc chung. Một bước tiến quan trọng trong sự phát triển hệ kí hiệu toán học là việc F.Viète (1591) là người đầu tiên bắt đầu viết các bài tập của mình dưới dạng tổng quát, bằng cách kí hiệu các đại lượng chưa biết bằng nguyên âm a, e, i,…, và những đại lượng đã 9 biết bằng phụ âm b, c, d,…, rồi nối lại bằng những dấu phép toán của thời ấy. Như vậy, lần đầu tiên xuất hiện những công thức chữ rất đặc trưng cho Đại số. Điều đó phép viết các phương trình đại số với các hệ số tùy ý và thao tác với chúng. Để chỉ các ẩn số Vìète dùng các nguyên âm a, e… Nhà bác học Pháp R. Descartes (1637) đã cho các kí hiệu đại số có bộ mặt như hiện nay khi kí hiệu các ẩn số, biến số bằng các chữ cái la tinh cuối cùng x, y, z và các đại lượng đã cho tùy ý bằng các chữ cái đầu a, b, c cũng như các lũy thừa bằng a2, a3 …Các kí hiệu của R.Descartes có ưu điểm hơn hẳn các kí hiệu trước kia, do đó nhanh chóng được thừa nhận rộng rãi. Đến giữa thế kỉ 17, sự phát triển kí hiệu trong đại số đến cơ bản đã hoàn thành. Sử dụng chữ không chỉ biểu thị ẩn mà còn biểu thị tất cả những đại lượng. Sự diễn đạt trong đại số trong Đại số đã xảy ra sự chuyển biến: bằng lời viết tắt các từ đưa ra các kí hiệu hoàn thiện các kí hiệu Sự phát triển của Đại số kí hiệu, đặc biệt là kí hiệu chữ và các phép toán trên những kí hiệu đó đã thúc đẩy sự ra đời quan điểm coi đại lượng toán học là đại lượng biến thiên ( thế kỉ 16-17), trong đó biến thiên liên tục của một đại lượng nào đó thường tương ứng với sự biến thiên liên tục của một đại lượng khác, là hàm của nó, đó là nét đặc trưng của giải tích toán học. Vậy, sự phát triển kí hiệu nói chung và kí hiệu chữ nói riêng và đưa vào sử dụng kí hiệu ấy đã thúc đẩy sự phát triển các lĩnh vực mới của toán học, đặc biệt là sự chuẩn bị ra đời của Giải tích. “Việc đưa vào kí hiệu và thực hiện các phép toán trên chữ thay thế cho bất kì những số cụ thể nào có ý nghĩa cực kì quan trọng. Không có công cụ đó- ngôn ngữ các công thức-không thể có được sự phát triển của toán học.”([24], tr 245). 1.2. Vai trò của chữ trong Đại số Theo Booth (1984), Kieran (1991), “ […] Trong số học chữ dùng để chỉ các đơn vị đo hay chỉ các sự vật. Chẳng hạn 5g để chỉ một khối nặng 5g. Khi chuyển sang đại số các chữ dùng để chỉ các số, và biểu thức 5g có thể được giải thích 5*g trong đó g chỉ một số.”(dẫn theo Nguyễn Ái Quốc, 2006) Kucheman (1981) đã đưa ra một sự phân loại các vai trò của chữ, trong đó ông phân biệt: 10 “ - Chữ được gán giá trị: người ta thay bằng một giá trị số - Chữ không được xem xét: chữ không biết đến trong tính toán - Chữ chỉ đối tượng cụ thể: chữ là một nhãn - Chữ chỉ ẩn số đặc thù: chữ chỉ một số chưa biết cần tìm - Chữ chỉ một số được khái quát hóa: chữ có thể nhận được nhiều giá trị - Chữ chỉ biến số: chữ được sử dụng trong ngữ cảnh hàm số” ([18], tr.6). Theo nghiên cứu của Phan Thị Hằng (2002), “ Khi nghiên cứu quy chế về nghĩa của các ký hiệu chữ, Grugean (1995) đã chỉ ra rằng: Trong số học, các chữ đã hiện diện, chúng được dùng để chỉ các đơn vị đo hoặc các đối tượng, chẳng hạn 12m có thể chỉ 12 mét hoặc chỉ 12 môtô (chữ m được dùng như một nhãn hiệu). Việc chuyển sang đại số kéo theo một sự mở rộng về nghĩa: các chữ bây giờ được dùng để chỉ các số, 12m cũng sẽ có nghĩa là 12 lần số mét, m chỉ một số và với danh nghĩa đó chúng được đưa vào để tính toán […] Như vậy, quy chế về nghĩa của các chữ phụ thuộc vào ngữ cảnh cụ thể chứ không bị rút gọn vào ý nghĩa nhãn hiệu. Đối với học sinh, sự thay đổi quy chế này không hề được làm rõ, hơn thế nữa nó được khắc sâu bởi một chuỗi các cách viết cũng như bởi các phương tiện tranh luận thông thường kiểu như: để làm cho học sinh hiểu rằng 2 x + 3x = 5 x người ta gợi ý rằng hãy nghĩ đến x như nghĩ về những quả táo, điều này càng củng cố thêm cách hiểu các số thiên về ý nghĩa nhãn hiệu. Vì vậy, bước chuyển từ quan niệm này sang quan niệm khác có thể hình thành một chướng ngại quan trọng đối với học sinh.” ([8], tr 11) Theo Phan Thị Hằng (2002), “Vai trò và ý nghĩa của kí hiệu chữ biểu hiện rất phong phú, đa dạng: khi thì biểu thị một số tự nhiên, khi thì giữ vai trò là ẩn, khi thì giữ vai trò như một chữ số của một số có nhiều chữ số .v.v. Chính sự phức tạp này có thể gây nên những khó khăn và sai lầm khi học sinh phải giải quyết những tình huống trong đó có sự tham gia của các kí hiệu chữ.” ([8], tr 61) . Từ các kết quả nghiên cứu trên, chúng tôi rút ra một số đặc trưng của kí hiệu chữ trong Đại số như sau: - Kí hiệu chữ giữ nhiều vai trò khác nhau: chữ là một nhãn, chữ được gán giá trị, chữ chỉ một số được khái quát hóa, chữ chỉ ẩn số, chữ chỉ biến số… 11 - Vai trò và ý nghĩa của kí hiệu chữ rất đa dạng và phụ thuộc vào ngữ cảnh sử dụng. - Về mặt lịch sử, kí hiệu chữ dùng để biểu thị một giá trị chưa biết trước khi nó dùng để biểu thị một tập hợp các giá trị. - Trong dạy học đại số, dùng kí hiệu chữ biểu thị ẩn số xuất hiện trước khi dùng kí hiệu chữ biểu thị biến số. - Bước chuyển từ quan niệm này sang quan niệm khác trên cùng một kí hiệu chữ có thể hình thành chướng ngại đối với học sinh. - Về mặt khoa học luận, việc chuyển từ quan niệm đại lượng không đổi  quan niệm đại lượng biến thiên là một chướng ngại. Tiếp theo chúng tôi sẽ hiểu xem tham số được hiểu như thế nào? 2. Điều tra khoa học luận về tham số, phương trình chứa tham số 2.1. Tham số Trong chương trình toán phổ thông, có hai loại tham số: Tham số trong phương trình chứa tham số, nó có bản chất là hằng số bất kì cho trước hay tham số có bản chất là “số cố định tạm thời”. Sự thay đổi của tham số làm biến đổi đến sự tồn tại và giá trị nghiệm của phương trình. Tham số trong phương trình tham số của đường thẳng, đường tròn, Elips, mặt phẳng… . Nó có bản chất là biến trung gian. Sự thay đổi tham số dẫn tới sự thay đổi tọa độ của điểm, có sự tương ứng một một giữa tọa độ điểm với giá trị tham số. Tham số thay đổi nhưng điểm vẫn thuộc đường,mặt… Ở đây chúng tôi nghiên cứu tham số theo quan điểm thứ nhất. Tham số (tham biến hay thông số) là một khái niệm“paramathématique8” : có tên nhưng chưa được định nghĩa chính xác về mặt toán học. Sau đây là một số mô tả về tham số: Trong cuốn Dictionnaire des mathématiques đã viết: “Tham số (danh từ) là thuật ngữ 8 “Chevallard (1985) phân biệt ba loại khái niệm toán học: khái niệm toán học (notion mathématique) là khái niệm có tên, có định nghĩa; khái niệm cận toán học (notion paramathématique) là khái niệm có tên nhưng không được định nghĩa); khái niệm tiền toán học (notion protomathématique) là khái niệm không có tên, không có định nghĩa nhưng được dùng một cách ngầm ẩn. ([2], tr 59) 12 không được định nghĩa rõ ràng, được sử dụng ngược với ẩn số, để chỉ các hệ số hay các đại lượng nào đó mà người ta muốn biểu đạt một mệnh đề hay các nghiệm của một hệ phương trình theo chúng.” ([7], tr 5). Theo X.M.Nikolxki (2002), “ Tham số là đại lượng mà giá trị của nó dùng để phân biệt các phần tử của một tập hợp nào đó. Thí dụ: Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc, tập hợp các đường tròn bán kính 1 trên mặt phẳng Oxy được xác định bởi PT ( x − a) 2 + ( y − b) 2 = 1. Lấy a = 3, b = 4 chẳng hạn, ta tách ra được từ tập hợp đó một đường tròn hoàn toàn xác định có tâm (3;4), do đó a, b là các tham số của đường tròn trong tập hợp được xét”.([25, tr139]) Theo Nguyễn Bá Kim (1994), “[…] trong dạng phương trình ax = b thì các biến a, b có vai trò khác về căn bản so với biến x . Biến x là biến cần được biểu thị qua các biến còn lại, còn các biến dùng để biểu thị dạng của phương trình nên còn gọi là biến chỉ dạng hay tham biến”. ([10], tr 63-64) Trong các cách trình bày trong các tài liệu trên cho ta thấy không có tiêu chí thống nhất về tham số. - Tham số có chức năng xác định các phần tử của tập hợp. - Tham số được xem là hằng số tùy ý hay là số cố định tạm thời. Như vậy, tham số vừa có tính cố định (hằng số) vừa có tính tự do (tùy ý). Chúng tôi gọi đó là “tính chất kép: cố định- tự do” của tham số - Phân biệt tham số với biến số và ẩn số có thể dựa vào: o Quy ước phô bày kí hiệu chữ (x, y, ..là ẩn, m, n.. là tham số) o Ngữ nghĩa o Quy ước phô bài kết hợp với ngữ nghĩa. Trong thể chế Việt Nam, do tham số là một khái niệm “paramathématique” nên không là đối tượng nghiên cứu của toán học. Để hiểu rõ hơn bản chất của tham số, ta có thể nghiên cứu những đối tượng mà trong đó tham số xuất hiện thường xuyên. Đối tượng được xem là mảnh đất thuật lợi cho tham số xuất hiện là phương trình, hàm số. Tiếp theo, ta tìm hiểu tham số trong phương trình chứa tham số và hàm số cho bằng biểu thức chứa tham số. 13 2.2. Khái niệm phương trình Trong nhà trường phổ thông, khái niệm phương trình được nhìn ở cả hai phương diện: phương diện cú pháp và phương diện ngữ nghĩa. a. Phương diện cú pháp Theo quan điểm“cú pháp”, phương trình được xem như một dãy kí hiệu có một dạng nhất định, và từ đó có khả năng nghiên cứu được cấu trúc của dãy kí hiệu trừu xuất khỏi những nội dung cụ thể. “Phương trình là hai biểu thức nối với nhau bởi dấu = ; trong các biểu thức đó có một hoặc nhiều biến, gọi là ẩn.” ( [24], tr.295.) Theo Dương Quốc Việt (2007), “Ta kí hiệu x = ( x1 ,...xn ). Khi đó biểu thức f ( x1 ,..., xn ) được viết gọn là f ( x) . Hai biểu thức toán học chứa biến x được nối với nhau bởi dấu bằng, f ( x ) = g ( x ) , được gọi là một phương trình”. ([20], tr 144) b. Phương diện ngữ nghĩa Khái niệm phương trình còn có thể được hiểu theo phương diện“ngữ nghĩa”. Phương diện này coi phương trình như một hàm mệnh đề. Ví dụ: “Giả sử cho y = f(x) và y = g(x) là các hàm số mà giáo hai miền xác định của chúng là M. Ta gọi hàm mệnh đề “Số trị của f(x) và g(x) bằng nhau” xác định trên M là một phương trình và kí hiệu là f(x) = g(x). Tập M được gọi là miền xác định của phương trình đó.” ( [10], tr 61) Cần chú ý rằng, nếu triệt để tuân theo quan điểm cú pháp thì không thể nói phương trình là một hàm mệnh đề mà chỉ có thể nói phương trình biểu thị một hàm mệnh đề. 2.3. Phương trình chứa tham số Đầu tiên, ta tìm hiểu xem phương trình tham số được hình thành như thế nào trong lịch sử? “Vào thế kỷ 16, F.Viète (1540-1603) tìm ra phương pháp tổng quát để biểu diễn nghiệm của một họ phương trình mà ông gọi là phương pháp tham số hóa. Ví dụ dưới đây của Vandebrouck không chỉ minh họa cho phương pháp của F.Viète mà còn nêu lên vấn đề đưa khái niệm tham số vào trường trung học phổ thông. 14 Mỗi phương trình dưới đây có bao nhiêu nghiệm thực? x2 = 2x + 1 (1) x2 = 2x – 2 (2) x2=2x – 1 (3)