Nghiên cứu didactic việc dẫn nhập chứng minh hình học ở lớp 7 trong môi trường tích hợp cabri ii plus

  • Số trang: 107 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 20 |
  • Lượt tải: 0
minhtuan

Đã đăng 15929 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hằng Nga NGHIÊN CỨU DIDACTIC VIỆC DẪN NHẬP CHỨNG MINH HÌNH HỌC Ở LỚP 7 TRONG MÔI TRƯỜNG TÍCH HỢP CABRI II PLUS LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hằng Nga NGHIÊN CỨU DIDACTIC VIỆC DẪN NHẬP CHỨNG MINH HÌNH HỌC Ở LỚP 7 TRONG MÔI TRƯỜNG TÍCH HỢP CABRI II PLUS Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN CHÍ THÀNH Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 LỜI CẢM ƠN Lời đầu luận văn, tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến:  TS. Nguyễn Chí Thành, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi về mặt nghiên cứu khoa học cũng như mang lại niềm tin trong quá trình thực hiện luận văn này.  PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Đoàn Hữu Hải, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung và các quý thầy cô trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy những tri thức đồng thời truyền niềm hứng thú và niềm say mê đối với chuyên ngành Didactic Toán cho chúng tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.  PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot đã có những chỉ dẫn và định hướng cho luận văn cũng như những giải đáp giúp chúng tôi hiểu rõ hơn về Didactic Toán Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến:  Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT Thủ Thiêm, Quận 2, Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học cao học tại trường ĐHSP, đặc biệt là giai đoạn thực hiện luận văn.  Các bạn cùng lớp cao học Didactic Toán khóa 19 đã luôn chia sẻ và giúp đỡ cũng như động viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Cuối cùng, tôi xin dành những lời biết ơn sâu sắc nhất gửi đến gia đình thân yêu của tôi đã luôn động viên, hỗ trợ về mọi mặt để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Nguyễn Thị Hằng Nga MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .................................................................................................................... 3 MỤC LỤC.......................................................................................................................... 4 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT..................................................... 5 1. Ghi nhận ban đầu: ................................................................................................ 6 2. Câu hỏi xuất phát: ................................................................................................ 7 3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu: ............................................................................. 7 3.1. Quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức .................................................. 8 3.2. Quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức: .................................................. 8 3.3. Tổ chức toán học ................................................................................................. 8 3.4. Đồ án didactic ...................................................................................................... 9 3.5. Hợp đồng Didactic ............................................................................................... 9 4. Câu hỏi nghiên cứu: ........................................................................................... 10 5. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu: .......................................... 10 6. Tổ chức luận văn: .............................................................................................. 11 Chương 1: PHÂN TÍCH KHÁI NIỆM SUY LUẬN, CHỨNG MINH Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC BÁC HỌC ............................................................................................................ 12 1.1. Khái niệm dẫn nhập trong luận văn: .................................................................. 12 1.2. Tìm hiểu bước đầu về khái niệm suy luận trong toán học: ................................ 12 1.3. Tìm hiểu về việc dạy học Định lý và Chứng minh: ........................................... 19 Chương 2: QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG “DẪN NHẬP CHỨNG MINH HÌNH HỌC” ............................................................................................................................... 24 2.1. Tóm tắt một số kết quả của các luận văn khóa trước: ....................................... 24 2.2. Phân tích chương trình và phân tích quan hệ thể chế với đối tượng “dạy học định lý” liên quan đến việc dẫn nhập chứng minh hình học lớp 7: .................................................. 32 Chương 3: THỰC NGHIỆM .................................................................................. 91 3.1. Mục đích thực nghiệm: ...................................................................................... 91 3.2. Đối tượng và thời gian thực nghiệm: ................................................................. 91 3.3. Chuẩn bị kiến thức cho thực nghiệm: ................................................................ 91 3.4. Nội dung thực nghiệm: ...................................................................................... 91 3.5. Phân tích tiên nghiệm: ....................................................................................... 92 3.5.1. Biến didactic: ................................................................................................. 92 3.5.2. Các chiến lược và cái có thể quan sát: ........................................................... 93 3.6. Phân tích hậu nghiệm: ....................................................................................... 97 Kết luận: ....................................................................................................................... 99 PHỤ LỤC ....................................................................................................................... 102 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT SGK ............................................ Sách giáo khoa SBT ............................................. Sách bài tập SGV ............................................ Sách giáo viên GV ............................................... Giáo viên HS ............................................... Học sinh CT ............................................... Chương trình THCS .......................................... Trung học cơ sở CL ............................................... Chiến lược MỞ ĐẦU 1. Ghi nhận ban đầu: • Ở bậc tiểu học và lớp 6, học sinh chỉ tiếp cận với hình học mang tính trực quan (gọi tắt là hình học trực quan):  Tập dùng các dụng cụ như thước kẻ, êke, thước đo độ, compa,…  Làm việc trên “hình vẽ”: dựa trên hình vẽ và các thao tác đo đạc, tính toán,…. để phát hiện và kiểm chứng lại các tính chất của một hình cũng như nhận dạng một hình hình học dạng tổng thể. • Ở lớp 7, hình học mang tính suy diễn (gọi tắt là hình học suy diễn) bắt đầu được đưa vào:  Phải thông qua suy luận và chứng minh mới đưa ra các nhận xét về tính chất của hình  Tiếp cận “hình”: hình chỉ mang tính đại diện cho một lớp các hình, đồng thời là phương tiện trực giác giúp tạo hướng đi trong quá trình chứng minh hình học Vậy đã có sự thay đổi cơ bản khi chuyển từ hình học bậc tiểu học và lớp 6 sang hình học lớp 7. Liệu học sinh có nhận thấy nhu cầu và vai trò của hình học suy diễn không? • Nhận thức được khó khăn của học sinh, sách giáo khoa và sách bài tập Toán lớp 7 (2001) đã xây dựng các hoạt động thể hiện sự quan tâm đến bước chuyển tiếp trên. Cụ thể có khá nhiều hoạt động được sách giáo khoa đưa vào theo tiến trình: Đo đạc, quan sát → Dự đoán → Chứng minh. Tuy nhiên pha dự đoán với vai trò kết nối còn các hạn chế sau:  Thực hiện trên một hình  Sau khi thực nghiệm, dự đoán dễ dàng được đưa ra và được khẳng định. Do đó, không tạo sự nghi ngờ ở học sinh, tức là không tạo được nhu cầu “hợp thức hóa bằng suy luận” • Thể chế mong đợi như vậy, nhưng trên thực tế, liệu giáo viên đang giảng dạy Toán lớp 7 có quan tâm đến vấn đề chuyển tiếp trên hay không? Có quan tâm đến việc phải xây dựng một tình huống nối khớp như thế nào hay không? • Trong thời đại công nghệ thông tin bùng nổ và ngày càng phát triển, các phần mềm hỗ trợ cho việc dạy và học Toán ngày càng phong phú, thân thiện và hiệu quả, trong đó phải kể đến phần mềm hình học động Cabri II Plus với rất nhiều tiện ích:  Cabri II Plus tạo ra các hình vẽ, các hình một cách chính xác  Sự tương tác được với hình cho phép học sinh đưa ra các dự đoán và tìm hướng chứng minh, cũng như mở rộng bài toán gốc. Với tính ưu việt về sự tương tác, phần mềm Cabri II Plus được dùng ra sao để hạn chế phần nào các khó khăn của học sinh khi bắt đầu làm quen hình học suy diễn? 2. Câu hỏi xuất phát: Từ những ghi nhận ban đầu trên, chúng tôi nhận thấy cần thiết phải trả lời các câu hỏi sau: Q’1: Sự chuyển tiếp từ hình học trực quan đến hình học suy diễn được trình bày như thế nào trong chương trình Toán hình học lớp 7 hiện hành (SGK, SBT, SGV (2001))? Cách trình bày này tác động như thế nào đến học sinh khi bắt đầu làm quen với hình học suy diễn? Q’2: Những hoạt động nối khớp “thực nghiệm và lý thuyết” trong Hình học lớp 7 (2001) có tạo được hiệu quả thực sự trong việc chuyển tiếp không? Q’3: Tính tương tác của phần mềm Cabri II Plus có lợi ích gì? Đặc tính đó có tác động như thế nào trong việc dẫn nhập chứng minh hình học ở lớp 7? Q’4: So với môi trường truyền thống, việc dẫn dắt học sinh vào bài toán suy luận sẽ có những thay đổi như thế nào khi có sự kết hợp với môi trường Cabri II Plus? Q’5: Một tình huống dạy học “dẫn nhập chứng minh hình học”, đảm bảo được sự nối khớp giữa hình học trực quan và hình học suy diễn đòi hỏi những yêu cầu nào? Với sự hỗ trợ của Cabri II Plus, có thể xây dựng được tình huống nào như vậy không? 3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu: Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi lý thuyết của Didactic Toán, cụ thể: • Lý thuyết nhân chủng học • Đồ án didactic • Hợp đồng didactic Chúng tôi chọn Lý thuyết nhân chủng học làm cơ sở để tiến hành nghiên cứu mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân với đối tượng được chọn. Đồng thời tìm hiểu các tổ chức toán học nào có thể được khai thác thêm bằng phần mềm Cabri II Plus. Chúng tôi quan tâm đến: Đối tượng: liên quan đến sự chuyển tiếp “hình học trực quan – hình học suy diễn” Thể chế: dạy học Toán hình học lớp 7 hiện hành Đồ án didactic cho phép chúng tôi xây dựng một tiểu đồ án didactic, nhằm mục đích trả lời câu hỏi Q’5 và giúp học sinh tiếp cận đối tượng mới trong môi trường có sự hỗ trợ của Cabri II Plus. Chúng tôi trình bày tóm tắt những khái niệm đó và cố gắng làm rõ tính thỏa đáng của sự lựa chọn phạm vi lý thuyết của mình. 3.1. Quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức Một đối tượng là một cái gì đó tồn tại, ít nhất đối với một cá nhân. Quan hệ cá nhân của một cá nhân X đối với một đối tượng tri thức O, kí hiệu là R(X,O), là tập hợp những tác động qua lại mà X có đối với O. R(X,O) cho biết X nghĩ gì về O, X hiểu O như thế nào, thao tác O ra sao. Đối tượng O trong nghiên cứu của chúng tôi là “dẫn nhập chứng minh hình học” 3.2. Quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức: Một cá nhân không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn phải ở trong ít nhất trong một thể chế. Vì vậy, việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X,O) phải được đặt trong thể chế I nào đó mà có sự tồn tại của X. Kí hiệu R(I,O) để chỉ tập hợp các ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O. Trong một thể chế I, quan hệ R(X,O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của R(I,O). Thể chế mà chúng tôi quan tâm ở đây là: Thể chế dạy học theo chương trình hiện hành (áp dụng trong năm học 2011-2012). Để làm rõ mối quan hệ R(I,O) và R(X,O) ta phải nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O. Hơn nữa, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho phép ta hình dung một số yếu tố của quan hệ cá nhân của chủ thể X tồn tại trong O, tức là quan hệ các nhân học sinh duy trì với O trong thể chế I. Vậy thế nào là “tổ chức toán học”? 3.3. Tổ chức toán học Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội. Do đó cũng cần thiết xây dựng mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Chevallard (1998) đã đưa ra khái niệm praxeologie. Mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T ,τ ,θ , Θ] , trong đó T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kĩ thuật cho phép giải quyết T , θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , Θ là lý thuyết giải thích cho θ , Θ còn gọi là công nghệ của công nghệ θ . 3.4. Đồ án didactic Theo Artigue M. (1988) và Chevallard Y. (1982), đồ án didactic là một tình huống dạy học được xây dựng bởi nhà nghiên cứu, là một hình thức công việc didactic tựa như công việc của người kỹ sư: nó dựa trên kiến thức khoa học thuộc lĩnh vực của mình để làm việc trên các đối tượng phức tạp hơn nhiều so với các đối tượng được sàng lọc của khoa học. Đồ án didactic cho phép thực hiện: - Một hoạt động trên hệ thống giảng dạy, dựa trên nghiên cứu didactic trước đó - Một kiểm chứng về những xây dựng lý thuyết được thực hiện bằng việc nghiên cứu, bằng việc thực hiện chúng trong một hệ thống giảng dạy. 3.5. Hợp đồng Didactic Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng dạy – học là sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối tượng đó. Nó là một tập hợp những quy tắc (thường không được phát biểu tường minh) phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên, về một tri thức được giảng dạy. Khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta “giải mã” các ứng xử của giáo viên và học sinh, tìm ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học. Theo A.Bessot và C.Comiti (2000), để thấy được hiệu ứng của các hợp động didactic, người ta có thể tiến hành như sau: - Tạo ra một sự biến loạn trong hệ thống giảng dạy, sao cho có thể đặt những thành viên chủ chốt (giáo viên, học sinh) trong một tình huống khác lạ được gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng. - Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại, bằng cách: o Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học o Phân tích các đánh giá của học sinh trong việc sử dụng tri thức o Phân tích những bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong các sách giáo khoa. Đặc biệt, ta có thể nhận ra một số yếu tố của hợp đồng didactic đặc thù cho tri thức bằng cách nghiên cứu những tiêu chí hợp thức hóa việc sử dụng tri thức, bởi vì việc sử dụng đó không chỉ được quy định bởi các văn bản hay bởi định nghĩa của tri thức, bởi vì việc sử dụng đó không chỉ được quy định bởi các văn bản hay bởi định nghĩa của tri thức mà còn phụ thuộc vào tình huống vận dụng tri thức, vào những ước định được hình thành (trên cơ sở mục tiêu didactic) trong quá trình giảng dạy. Việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng didactic là cần thiết để chuẩn bị cho tương lai, giáo viên phải xem xét đến quá khứ mà hợp đồng hiện hành là dạng thể hiện thực tế của nó. Phá vỡ hợp đồng là nguyên tắc chủ đạo để có sự tiến triển mong đợi. 4. Câu hỏi nghiên cứu: Trong khung lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi trình bày lại các câu hỏi xuất phát thành các câu hỏi định hướng nghiên cứu như sau: Q1: Quan hệ thể chế với đối tượng liên quan đến sự chuyển tiếp từ hình học trực quan đến hình học suy diễn có đặc điểm gì? Các tổ chức Toán học nào được trình bày trong chương trình lớp 7 hiện hành? Q2: Hình trong hình học suy diễn có những thay đổi nào? Chức năng của Cabri II Plus đối với việc dạy học dẫn nhập chứng minh hình học là gì? Những kiểu nhiệm vụ nào sẽ được khai thác thêm trong môi trường Cabri II Plus, khi đó sẽ thêm những kỹ thuật và công nghệ mới nào? Q3: Một tình huống dạy học “dẫn nhập chứng minh hình học” cần đạt những yêu cầu gì? Có thể xây dựng được tình huống như vậy trong môi trường tích hợp Cabri hay không? 5. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu: Mục đích nghiên cứu: tìm câu trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu: • Phân tích chương trình, phân tích SGK, SBT, SGV Toán lớp 7 (2001): phân tích quan hệ thể chế, tìm các tổ chức Toán học liên quan đến hình học trực quan–hình học suy diễn và sự chuyển tiếp. Từ đó hình thành các giả thuyết và hợp đồng (nếu có). • Tìm hiểu Cabri II Plus: cách thao tác thực hiện, đặc điểm nổi bật của Cabri, tìm và phân tích các kiểu nhiệm vụ có thể khai thác khi dùng kết hợp Cabri. Từ đó thiết kế một tình huống dẫn nhập chứng minh hình học. • Thực nghiệm:  Thực nghiệm 1: kiểm chứng giả thuyết và các hợp đồng được đưa ra  Thực nghiệm 2: dùng chức năng tương tác của Cabri để điều chỉnh mối quan hệ cá nhân của học sinh và một tính chất 6. Tổ chức luận văn: Cấu trúc của luận văn gồm phần mở đầu và 3 chương: Phần mở đầu, gồm: những ghi nhận ban đầu, các câu hỏi xuất phát, phạm vi lý thuyết tham chiếu, câu hỏi nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn. Chương 1 nhằm tìm hiểu các khái niệm, các con đường suy luận, chứng minh; đồng thời tìm hiểu về hình hình vẽ và hình hình học. Từ đó, để nhận thấy chương trình dạy học lớp 7 tiếp cận chứng minh như thế nào. Chương 2 nhằm trả lời cho Q1, Q2. Qua đó, chúng tôi xây dựng các quy tắc hợp đồng và giả thuyết nghiên cứu Chương 3 nhằm trả lời cho Q3 Chương 1: PHÂN TÍCH KHÁI NIỆM SUY LUẬN, CHỨNG MINH Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC BÁC HỌC 1.1. Khái niệm dẫn nhập trong luận văn: 1.1.1. Dẫn nhập chứng minh hình học là gì? Theo chúng tôi, đó là hoạt động có vai trò hình thành cho học sinh các kỹ năng: tự khám phá, tự dự đoán, tự tìm hướng chứng minh và tự đánh giá kết quả. 1.1.2. Nếu kết hợp Cabri thì vai trò dẫn nhập thể hiện như thế nào? • Củng cố niềm tin cho học sinh ở những tính chất được SGK thừa nhận (đo đạc  dự đoán  không chứng minh, có những tính chất được đưa vào không trải qua một pha nào)  Có thể dùng Cabri xây dựng tình huống dạy học đủ các pha (tạo cơ hội rèn luyện các kỹ năng trên). • Tạo tình huống mà pha dự đoán gây nghi ngờ (tức là cho nhiều kết quả) để hs thấy được vai trò của suy luận (hai hình vẽ trên giấy của cùng một học sinh cho hai kết quả khác nhau, hoặc hình vẽ của hai học sinh cho hai kết quả khác nhau  dùng Cabri để cho hs thao tác nhiều lần vẫn cho một kết quả  tạo nghi ngờ về hình vẽ của hs: đo đạc là chưa chính xác nên phải tìm cách lập luận và tạo hướng để chứng minh: một kết quả lặp đi lặp lại khi hình vẽ được thay đổi, đó chính là kết quả cần chứng minh). • Tạo ra các gợi ý trong chứng minh (hình phẳng đảm bảo đầy đủ tính chất nếu hình vẽ chính xác, quan sát hình cảm nhận được một kết quả nào đó cần cho kết quả sau cùng, cứ như vậy theo một tiến trình quy nạp sẽ tìm được cách chứng minh, ở lớp 7 các bước lập luận thường ngắn). 1.2. Tìm hiểu bước đầu về khái niệm suy luận trong toán học: Dựa theo nghiên cứu của tác giả trong [22], chúng tôi tóm tắt được các kết quả sau: 1.2.1. Suy luận: 1.2.1.1. Định nghĩa: Suy luận là rút ra mệnh đề mới từ một hoặc nhiều mệnh đề đã có Sơ đồ: Mệnh đề cũ (Tiền đề) Suy luận Mệnh đề mới (Kết luận) Ví dụ: Tiền đề: Nếu tam giác có 3 cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều Trong mỗi tam giác đều, mỗi góc bằng 600 ABC là tam giác có 3 cạnh bằng nhau Kết luận: ABC có A= B=  C= 600 1.2.1.2. Quy tắc suy luận: a) Suy luận không hợp logic: Suy luận không hợp logic là suy luận theo một quy tắc nào đó nhưng ta có thể chỉ ra được trường hợp các tiền đề đều đúng mà kết luận lại sai Ví dụ: Tiền đề 1: Nếu hai góc là đối đỉnh thì hai góc đó bằng nhau Tiền đề 2: Hai góc đã cho là bằng nhau Kết luận: Hai góc đó đối đỉnh Gọi P là mệnh đề “hai góc là đối đỉnh” Q là mệnh đề “hai góc bằng nhau” Khi đó, suy luận theo cấu trúc: Suy luận này theo quy tắc Tiền đề 1: P ⇒ Q Tiền đề 2: Q Kết luận: P P ⇒ Q, Q P Xét P sai, Q đúng thì P ⇒ Q đúng, ta có hai tiền đề P ⇒ Q và Q đúng nhưng kết luận P sai. Do đó đây là suy luận không hợp logic b) Suy luận hợp logic: Suy luận hợp logic là suy luận theo một quy tắc nào đó, nếu các tiền đề đều đúng thì kết luận cũng phải đúng. Khi đó kết luận được gọi là kết luận logic của các tiền đề Ví dụ: Tiền đề 1: Nếu hai góc là đối đỉnh thì hai góc đó bằng nhau Tiền đề 2: Hai góc đã cho là đối đỉnh Kết luận: Hai góc đó bằng nhau Gọi P là mệnh đề “hai góc là đối đỉnh” Q là mệnh đề “hai góc bằng nhau” Khi đó, suy luận theo cấu trúc: Suy luận này theo quy tắc Tiền đề 1: P ⇒ Q Tiền đề 2: P Kết luận: Q P ⇒ Q, P Q Ta có P ⇒ Q đúng mà P đúng nên Q đúng. Vậy kết luận đúng. Do đó đây là suy luận hợp logic. Khi đó, ta nói Q là kết luận logic của tiền đề P ⇒ Q và P 1.2.1.3. Suy luận diễn dịch (suy diễn): a) Định nghĩa: Suy luận diễn dịch là suy luận theo những quy tắc tổng quát, xác định rằng nếu tiền đề đúng thì kết luận rút ra cũng phải đúng Suy luận diễn dịch là suy luận hợp logic Ví dụ: Tiền đề: Mọi tam giác cân đều có hai góc ở đáy bằng nhau F ( x) Dạng ∀x , với x là tam giác cân MNP là tam giác cân tại M Kết luận: MNP có  N = P dạng F ( ∆MNP ) Suy luận này là suy luận diễn dịch với quy tắc tổng quát là: Tiền đề: ∀x, F ( x ) Kết luận: F ( a ) với a là một giá trị xác định của x b) Quan hệ đúng sai giữa tiền đề và kết luận logic: Ví dụ: Xét quy tắc: P ⇒ Q, P Q Khi đó ta có mệnh đề: ( P ⇒ Q ) ∧ P ⇒ Q luôn đúng Thật vậy, Nếu P ⇒ Q đúng và P đúng thì ( P ⇒ Q ) ∧ P đúng nên Q đúng Nếu P ⇒ Q sai hoặc P sai thì nên ( P ⇒ Q ) ∧ P ⇒ Q đúng ( P ⇒ Q ) ∧ P sai nên ( P ⇒ Q ) ∧ P ⇒ Q đúng Giả sử C là kết luận logic của các mệnh đề A và B, tức là mệnh đề A ∧ B ⇒ C luôn đúng. Ta có: + C sai thì A sai hoặc B sai + A sai hoặc B sai thì không xác định được chân trị của C c) Một số quy tắc suy luận quan trọng: • Quy tắc kết luận: P ⇒ Q, P Q Đây là quy tắc suy luận rất phổ biến. Thường người ta lược bớt một số tiền đề trong suy luận. Ví dụ: P ⇒ Q : nếu một tam giác là tam giác cân thì tam giác đó có hai góc ở đáy bằng nhau P : tam giác ABC là tam giác cân tại A Q: tam giác ABC có B =  C • Quy tắc kết luận ngược: P ⇒ Q, Q P Ví dụ: P ⇒ Q : nếu một tam giác là tam giác đều thì tam giác đó có ba góc đều bằng 600 Q : tam giác ABC có góc A ≠ 600 P : tam giác ABC không là tam giác đều • Quy tắc bắc cầu: P ⇒ Q, Q ⇒ R P⇒R P ⇒ Q : nếu tam giác có 3 cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều Q ⇒ R : nếu một tam giác là tam giác đều thì tam giác đó cân và có 1 góc 600 P ⇒ R : nếu tam giác có 3 cạnh bằng nhau thì tam giác đó cân và có 1 góc 600 • Phép quy nạp hoàn toàn: Sơ đồ: Cho M là tập hợp gồm hữu hạn các phần tử a 1 , a 2 ,… , a n Tiền đề: a 1 có tính chất P P(a 1 ) a 2 có tính chất P P(a 2 ) …. …. a n có tính chất P P(a n ) Kết luận: Tất cả phần tử của M đều có tính chất P ∀a ∈ M , P ( a ) Đặc trưng: Đây là quy tắc suy luận hợp logic. Quy tắc này dùng để rút ra kết luận dựa trên tất cả các trường hợp (hữu hạn) • Phép quy nạp toán học: Xét hàm mệnh đề P(n) với n là số tự nhiên khác 0. Để rút ra kết luận P(n) đúng với mọi n thì không thể dùng phép quy nạp hoàn toàn ở trên (do tập số tự nhiên là tập vô hạn phần tử). Trong trường hợp này, phép quy nạp toán học thường được dùng đến. Sơ đồ: Tiền đề 1: P(n) đúng với n=1 Tiền đề 2: Nếu P(n) đúng với n=k thì P(n) đúng với n=k+1 Kết luận: P(n) đúng với mọi n Đặc trưng: Đây là quy tắc suy luận hợp logic. d) Các quy tắc suy luận có các tiền đề dạng S_P: Tiền đề Ký hiệu về tập hợp Mọi S đều là P S⊂P Một số S là P S∩P ≠∅ Mọi S đều không là P S∩P = ∅ Một số S không là P S∪P ≠ P 1.2.1.4. Suy luận nghe có lý: a) Định nghĩa: Suy luận nghe có lý là suy luận không theo một quy tắc tổng quát nào. Các tiền đề dù đúng thì kết luận được rút ra cũng không chắc đúng. Kết luận của suy luận nghe có lý chỉ mang tính dự đoán, giả thiết. b) Phép quy nạp không hoàn toàn: Sơ đồ: Cho A là tập hợp gồm hữu hạn các phần tử a 1 , a 2 , …., a n , là tập con thực sự của tập B Tiền đề: a 1 có tính chất P P(a 1 ) a 2 có tính chất P P(a 2 ) …. …. a n có tính chất P P(a n ) Kết luận: Tất cả phần tử của B đều có tính chất P ∀a ∈ B, P ( a ) Đặc trưng: Các tiền đề xác định trên tập A, trong khi lại rút ra kết luận cho các phần tử của tập B. Do đó: • Kết luận có thể đúng, có thể sai. Khi tập B vô hạn thì tính đúng của kết luận càng cao nếu tập A gồm càng nhiều phần tử. • Có thể rút ra nhiều kết luận khác nhau phụ thuộc vào việc xem A là tập con của tập B nào. c) Phép tương tự: Tương tự nghĩa là giống nhau. Hai đối tượng gọi là tương tự nếu có nhiều tính chất giống nhau (đường tròn và mặt cầu); có vai trò giống nhau (đường thẳng và mặt phẳng); …. Sơ đồ: Tiền đề 1: a có tính chất P Tiền đề 2: b tương tự a Kết luận: b có tính chất P hoặc b có tính chất tương tự tính chất P Đặc trưng: Tùy theo phương diện tương tự mà người ta quan tâm, sẽ có nhiều kết luận khác nhau được rút ra. Các kết luận của phép tương tự chỉ mang tính phỏng đoán. Với phân tích trên, chúng tôi đặt ra câu hỏi: Những kiểu suy luận nào được chương trình lựa chọn giảng dạy cho học sinh lớp 7? 1.2.2. Chứng minh: 1.2.2.1. Chứng minh: • Giả sử C là kết luận logic của tiền đề A, B; tức là nếu A và B đúng thì C cũng phải đúng. Khi đó ta nói C đã được chứng minh. • Chứng minh mệnh đề C phải nêu rõ: + C là kết luận logic của các tiển đề + Các tiền đề trên phải đúng Thông thường để chứng minh mệnh đề C ta xuất phát từ 1 mệnh đề đã được thừa nhận hoặc chứng minh tính đúng đắn (định nghĩa, tiên đề, định lý đã biết, ….), dùng một dãy các suy luận để chứng minh các mệnh đề trung gian, sau đó mới chứng minh mệnh đề C. Khi đó, phép chứng minh một mệnh đề là một dãy các mệnh đề (định nghĩa, tiên đề, định lý đã biết, giả thiết, kết luận logic của một số mệnh đề đứng trước mệnh đề đó….) • Sơ đồ chứng minh C: A ∧ B ⇒ C 1 ⇒ …. ⇒ C (A và B là các mệnh đề đúng hoặc giả thiết) A ∧ B đúng nên C đúng Ví dụ: Điểm M nằm trên tia phân giác của góc xOy thì cách đều hai cạnh của góc đó Tiền đề: a) Tia phân giác của một góc chia góc thành hai góc có sđ bằng nhau. b) OM là tia phân giác góc AOB c)  AOM =  BOM d) Nếu cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông này bằng với cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau e) Hai tam giác AOM và BOM vuông, cạnh huyền OM chung f) Nên ∆ AOM = ∆ BOM g) Hai tam giác bằng nhau có các cạnh và các góc tương ứng bằng nhau h) MA = MB (kết luận) a ) ∧ b) ⇒ c ) c ) ∧ d ) ∧ e) ⇒ f ) f ) ∧ g ) ⇒ h) 1.2.2.2. Bác bỏ: • Bác bỏ mệnh đề là xác đỉnh rằng mệnh đề đó sai • Bác bỏ mệnh đề P bằng cách: xuất phát từ việc lấy mệnh đề P và các mệnh đề đã được thừa nhận hoặc chứng minh đúng làm tiền đề, theo các quy trắc suy luận, rút ra kết luận logic Q; Q sai thì P sai • Sơ đồ bác bỏ P: P ∧ R ⇒ Q1 ⇒ .... ⇒ Q (P là mệnh đề cần bác bỏ, R là mệnh đề đúng hoặc giả thiết) Q sai nên P ∧ R sai, mà R đúng. Do đó, P sai. Đặc biệt nếu mệnh đề cần bác bỏ có dạng ∀x, F ( x ) thì ta chỉ cần đưa ra một giá trị a của x sao cho P(a) sai (đưa ra phản ví dụ) 1.2.2.3. Chứng minh phản chứng: • Chứng minh mệnh đề Q bằng phản chứng là tìm cách bác bỏ Q Đặc biệt, nếu xuất phát từ Q rút ra kết luận logic sai mà kết luận sai này là phủ định của giả thiết (sai là do trái với giả thiết) thì trong trường hợp này phép chứng minh bằng phản chứng gọi là phép chứng minh trực tiếp mệnh đề phản đảo của mệnh đề đã cho. Một câu hỏi nữa nảy sinh trong nghiên cứu là: Chứng minh là yêu cầu quan trọng và cần thiết của hình học suy diễn. Vậy những hình thức chứng minh nào (hoặc những hình thức nhen nhóm của chứng minh nào) xuất hiện trong chương trình lớp 7? Việc bác bỏ một mệnh đề sai hay nói cách khác là tìm cách phủ định một mệnh đề có được thể chế quan tâm hay không? 1.3. Tìm hiểu về việc dạy học Định lý và Chứng minh: Tìm hiểu [23], chúng tôi cũng có được một số ghi nhận sau: 1.3.1. Mục đích của việc dạy học định lý: • Nhận thức được tầm quan trọng và sự cần thiết của suy luận, chứng minh trong Toán học • Hình thành và phát triển kỹ năng chứng minh • Xây dựng kỹ năng tìm hiểu mối liên hệ giữa các định lý và vận dụng vào việc chứng minh Nhìn chung việc dạy học định lý ở trường trung học phải đảm bảo các yêu cầu trên, tuy nhiên mức độ yêu cầu có sự thay đổi phù hợp với trình độ phát triển của học sinh theo từng lứa tuổi. Trong giai đoạn đầu THCS, khi mà khái niệm định lý và chứng minh định lý bắt đầu được đưa vào thì mục đích 1 được chương trình đặc biệt quan tâm, với mong muốn tách rời học sinh khỏi quan điểm chỉ dựa vào thực nghiệm để kết luận. Sau giai đoạn chuyển tiếp giữa hình học trực quan và hình học suy diễn thì mục đích 2 và 3 được đặt ra với mức độ cao hơn cùng các bài toán phức tạp hơn. 1.3.2. Tiến trình dạy học định lý: 1.3.2.1. Tiến trình Thực nghiệm – Suy luận: • Tiến trình này dựa trên quan điểm rằng hoạt động thực nghiệm và hoạt động suy luận luôn có mối quan hệ biện chứng với nhau. • Tiến trình này gồm các bước: B1: Nghiên cứu thực nghiệm B2: Phỏng đoán B3: Khẳng định hoặc bác bỏ phỏng đoán (chứng minh) B4: Phát biểu thành định lý nếu phỏng đoán là đúng B5: Củng cố và vận dụng định lý Tiến trình này thể hiện một quá trình hình thành và phát triển của một định lý, trong đó bước 3 đóng vai trò là cầu nối từ hoạt động thực nghiệm ở bước 1, 2 sang hoạt động suy luận ở bước 4, 5. Do đó, với rất nhiều ưu điểm, tiến trình còn tạo được ở học sinh rất nhiều kỹ năng cần thiết cho việc nghiên cứu khoa học. Yếu tố dẫn nhập được khai thác rất hiệu quả nếu việc dạy học định lý được thực hiện theo tiến trình này, học sinh tiến hành quan sát, thực nghiệm; tự khám phá và đưa ra các dự đoán; tự mò mẫm tính đúng sai của dự đoán; tự tìm tòi phương hướng chứng minh; thể chế hóa, khái quát hóa định lý.
- Xem thêm -