Nghiên cứu didactic về khái niệm cực trị của hàm số trong dạy học toán ở lớp 12

  • Số trang: 84 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 33 |
  • Lượt tải: 0
minhtuan

Đã đăng 15929 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phan Quang Thắng LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phan Quang Thắng Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất, sâu sắc nhất đến các Thầy, Cô Khoa Toán – Tin, lãnh đạo và các chuyên viên Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi hoàn thành chương trình học và luận văn này. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS Lê Thị Hoài Châu. Luận văn này sẽ không thể hoàn thành nếu không có sự hướng dẫn tận tình của Cô. Tôi cũng xin trân trọng cám ơn: - PGS.TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã bỏ công từ Pháp sang Việt Nam để góp ý hướng nghiên cứu đề tài và giải đáp những thắc mắc trong nghiên cứu Didactic Toán cho chúng tôi. - Ban giám hiệu và các đồng nghiệp tại Trường THPT Thủ Thiêm đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn này. - Các thành viên trong lớp Didactic Toán khóa 19 đã giúp đỡ tôi trong suốt khóa học. Và cuối cùng là vợ tôi, nếu không có em bên anh thì anh không thể hoàn thành luận văn này. Cảm ơn em! Phan Quang Thắng DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT SGV : Sách giáo viên. SGKC : Sách giáo khoa chuẩn 12. SGKNC : Sách giáo khoa nâng cao 12. GTLN : Giá trị lớn nhất . GTNN : Giá trị nhỏ nhất. MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1 1. Lý do chọn đề tài và những câu hỏi ban đầu: .....................................................1 2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu: .............................................................................2 2.1. Lý thuyết nhân chủng học: ...........................................................................2 2.2. Hợp đồng didactic: .......................................................................................4 3.Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - mục đích nghiên cứu: ...................................6 4. Phương pháp nghiên cứu:....................................................................................6 5. Cấu trúc của luận văn: .........................................................................................6 Chương 1 .....................................................................................................................8 KHÁI NIỆM CỰC TRỊ Ở BẬC ĐẠI HỌC ................................................................8 1.1. Khái niệm cực trị của hàm một biến: ...............................................................8 1.2. Thuật toán tìm cực trị của hàm một biến: ......................................................10 1.3. Các tổ chức toán học có liên quan: ................................................................14 1.4. Kết luận của chương 1: ..................................................................................16 Chương 2 ...................................................................................................................17 QUAN HỆ THỂ CHẾ ...............................................................................................17 VỚI KHÁI NIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ...........................................................17 2.1. Khái niệm cực trị của hàm số trong chương trình toán lớp 12 hiện hành:.....17 2.2. Đối tượng cực trị của hàm số trong sách giáo khoa chuẩn: ...........................19 2.2.1. Khái niệm cực trị của hàm số:.................................................................19 2.2.2. Thuật toán tìm cực trị của hàm số: ..........................................................22 2.2.3. Các tổ chức toán học: ..............................................................................28 2.2.4. Lớp các hàm số liên quan đến đối tượng cực trị của hàm số được xem xét: .....................................................................................................................35 2.3. Đối tượng cực trị của hàm số trong sách giáo khoa nâng cao: ......................36 2.3.1.Khái niệm cực trị của hàm số:..................................................................37 2.3.2. Thuật toán tìm cực trị của hàm số: ..........................................................38 2.3.3. Các tổ chức toán học: ..............................................................................44 2.3.4. Lớp các hàm số liên quan đến đối tượng cực trị của hàm số được xem xét: .....................................................................................................................47 2.4. Kết luận của chương 2: ..................................................................................48 Chương 3 ...................................................................................................................50 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM .............................................................................50 3.1. Thăm dò ý kiến của giáo viên: .......................................................................50 3.1.1. Phân tích a priori: ....................................................................................51 3.1.2. Phân tích a posteriori : ............................................................................52 3.2. Thực nghiệm dành cho học sinh: ...................................................................55 3.2.1. Nội dung các bài toán thực nghiệm: .......................................................55 3.2.2. Phân tích a priori : ...................................................................................58 3.2.2. Phân tích a posteriori : ............................................................................64 KẾT LUẬN CHUNG ................................................................................................71 TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................72 PHỤ LỤC ..................................................................................................................73 Phụ lục 1: Phiếu xin ý kiến của giáo viên .............................................................73 Phụ lục 2: Bài toán thực nghiệm học sinh.............................................................74 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài và những câu hỏi ban đầu: Khi nghiên cứu khái niệm cực trị của hàm số được trình bày trong sách giáo khoa nâng cao 12 (SGKNC), chúng tôi thấy SGKNC đã đưa ra bài toán tìm cực trị của hàm số f ( x ) = x . Để tìm cực trị của hàm số này, SGKNC đã trình bày như sau: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R. − x vôùi x < 0 Ta có f ( x ) =   x vôùi x ≥ 0 −1 vôùi x < 0 Do đó f '( x ) =  1 vôùi x > 0 (Hàm số f không có đạo hàm tại x = 0 ) Sau đây là bảng biến thiên : Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và giá trị cực tiểu của hàm số là f(0)=0. (trang 15) Trong bài toán này, hàm số f ( x ) = x đạt cực tiểu tại x = 0 vì hàm số này liên tục trên R và đạo hàm của hàm số đổi dấu từ + sang – khi qua x0 = 0 . Tuy nhiên nếu 2 − x vôùi x < 0 thì lại dẫn học sinh áp dụng cách làm này đối với hàm số f ( x ) =  − x − 1 vôùi x ≥ 0 − x 2 vôùi x < 0 −2 x vôùi x < 0 đến sai lầm. Hàm số f ( x ) =  có đạo hàm f '( x ) =  − x − 1 vôùi x ≥ 0 −1 vôùi x > 0 đổi dấu khi qua x0 = 0 nhưng lại không đạt cực trị tại x = 0 : y 4 3 2 1 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 Nguyên nhân dẫn đến sai lầm này là do thuật toán tìm cực trị mà SGKNC đã đưa ra chỉ áp dụng được đối với lớp các hàm số liên tục. Trong khi đó hàm số 2 − x vôùi x < 0 không liên tục tại x = 0 nên không thuộc phạm vi hợp thức f (x) =  − x − 1 vôùi x ≥ 0 của thuật toán. Từ những ghi nhận ban đầu này, chúng tôi đã đặt ra câu hỏi xuất phát: - Sách giáo khoa giải quyết ra sao khi tìm cực trị của hàm số không liên tục và học sinh có những công cụ gì để giải quyết các bài toán tìm cực trị của hàm số không liên tục?. 2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu: Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic toán, cụ thể là “Lý thuyết nhân chủng học” và khái niệm “Hợp đồng didactic”. Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày sơ lược một số khái niệm cơ bản 1 của “Lý thuyết nhân chủng học” và khái niệm “Hợp đồng didactic”. Đồng thời, chúng tôi cố gắng làm rõ tính thỏa đáng cho sự lựa chọn của mình. 2.1. Lý thuyết nhân chủng học: • Quan hệ cá nhân Một đối tượng O là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân X. Quan hệ cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O, R(X, O), là tập hợp những tác động qua lại mà X có thể có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về nó, … R(X, O) Những khái niệm này được trình bày trong cuốn sách song ngữ Việt – Pháp “Những yếu tố cơ bản của Didactic toán” của các tác giả Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến 1 chỉ rõ cách thức mà X biết O. Mỗi con người là một cá nhân, ở một thời điểm xác định của lịch sử của nó, và một tập hợp các mối quan hệ cá nhân với những đối tượng mà nó biết. Dưới quan điểm này, học tập là sự điều chỉnh mối quan hệ của một cá nhân X với O. Hoặc quan hệ này bắt đầu được thiết lập (nếu nó chưa từng tồn tại), hoặc quan hệ này bị biến đổi (nếu nó đã tồn tại). Sự học tập này làm thay đổi con người. • Quan hệ thể chế Một cá nhân X không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn luôn phải ở trong ít nhất một thể chế I. Từ đó suy ra việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X, O) phải được đặt trong một thể chế I nào đó có sự tồn tại của X. Hơn thế, giữa I và O cũng phải có một quan hệ xác định. Đối tượng O cũng không thể tồn tại độc lập trong bất cứ thể chế nào. Nói cách khác, O sống trong mối quan hệ chằng chịt với những đối tượng khác. O sinh ra, tồn tại và phát triển trong mối quan hệ ấy. Theo cách tiếp cận sinh thái (écologie) thì O chỉ có thể phát triển nếu nó có một lý do tồn tại (raison d’être), nếu nó được nuôi dưỡng trong những quan hệ, những ràng buộc ấy. Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I, O), để chỉ tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O. R(I, O) cho biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra sao, đóng vai trò gì trong I, … Phân tích sinh thái là một phân tích nhằm làm rõ quan hệ R(I, O) ấy. Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của R (I, O). Một câu hỏi được đặt ra là làm thế nào để vạch rõ quan hệ thể chế R(I, O) và quan hệ cá nhân R(X, O)? Lý thuyết nhân chủng học sẽ cung cấp cho chúng ta công cụ để thực hiện công việc đó. • Tổ chức toán học Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội. Do đó, cũng cần thiết xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Xuất phát từ quan điểm này mà Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxeologie. Theo Chavallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, τ , θ , Θ ], trong đó: T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T, θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , Θ là lí thuyết giải thích cho θ , nghĩa là công nghệ của công nghệ θ . Một praxeologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học (organisation mathématique). Theo Bosch.M và Chevallard.Y, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với một đối tượng tri thức O có thể được tiến hành thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O: “Mối quan hệ thể chế với một đối tượng […] được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm một vị trí nào đó trong thể chế này] phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định” Hơn thế, cũng theo Bosch. M và Chevallard Y, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của một chủ thể X (tồn tại trong I) với O, bởi vì: “Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên”. Như vậy, với những công cụ của Lý thuyết nhân chủng học chúng tôi có thể phân tích và làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học Toán ở Việt Nam với đối tượng tính toán đại số, đối tượng hàm số và hai đối tượng này có những quan hệ, ràng buộc nào; đồng thời, tìm hiểu rõ mối quan hệ cá nhân của học sinh với các đối tượng nêu trên. Điều này sẽ cho phép trả lời những câu hỏi ban đầu mà chúng tôi đã đặt ra. 2.2. Hợp đồng didactic: Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng dạy – học là sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối tượng đó. Nó là một tập hợp những quy tắc (thường không được phát biểu tường minh) phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên, về một tri thức toán học được giảng dạy. Hợp đồng chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các quyết định, các hoạt động và đánh giá sư phạm. Chính hợp đồng chỉ ra ở từng lúc vị trí tương hỗ của các đối tác đối với nhiệm vụ phải hoàn thành và chỉ rõ ý nghĩa sâu sắc của hoạt động đang được tiến hành, của các phát biểu hoặc những lời giải thích. Nó là quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà mọi sự học tập trong nhà trường phải trải qua. Để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng didactic, người ta có thể tiến hành như sau: • Tạo ra một sự biến loạn trong hệ thống giảng dạy, sao cho có thể đặt những thành viên chủ chốt (giáo viên, học sinh) trong một tình huống khác lạ được gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng bằng cách: – Thay đổi các điều kiện sử dụng tri thức. – Lợi dụng việc học sinh chưa biết vận dụng một số tri thức nào đó. – Tự đặt mình ra ngoài lĩnh vực tri thức đang xét hoặc sử dụng những tình huống mà tri thức đang xét không thể giải quyết được. – Làm cho giáo viên đối mặt với những ứng xử không phù hợp với điều mà họ mong đợi ở học sinh. • Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại bằng cách: – Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học. – Phân tích các đánh giá của học sinh trong việc sử dụng tri thức. – Phân tích các bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong SGK. Như vậy, việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng diadactic liên quan đến việc sử dụng các tính toán đại số trong nghiên cứu các vấn đề về hàm số sẽ cho phép chúng tôi “giải mã” các ứng xử của học sinh và tìm ra ý nghĩa của các hoạt động mà họ tiến hành. Tóm lại, việc đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của “Lý thuyết nhân chủng học” và khái niệm “Hợp đồng didactic” theo chúng tôi là thỏa đáng. 3.Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - mục đích nghiên cứu: Trong phạm vi didactic với các lý thuyết đã chọn, chúng tôi trình bày lại các câu hỏi nghiên cứu như sau: Q1: Khái niệm cực trị và thuật toán tìm cực trị được trình bày như thế nào ở bậc đại học ? Q2: Khái niệm cực trị và thuật toán tìm cực trị được trình bày như thế nào trong chương trình và sách giáo khoa giải tích 12 hiện hành ? Q3: Những quy tắc nào của hợp đồng dạy học được hình thành từ thể chế ? Nghiên cứu này nhằm giúp chúng tôi trả lời các câu hỏi đã nêu ở trên. 4. Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu các giáo trình đại học về khái niệm cực trị hàm một biến để trả lời câu hỏi Q1. - Phân tích chương trình và sách giáo khoa giải tích 12 hiện hành để trả lời cho câu hỏi Q2 và Q3. - Xây dựng một thực nghiệm để làm rõ mối quan hệ cá nhân của học sinh với khái niệm cực trị. 5. Cấu trúc của luận văn: Luận văn gồm phần mở đầu, phần nội dung gồm 3 chương và phần kết luận. - Chương I: Khái niệm cực trị ở bậc đại học. Trong chương này chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ những đặc trưng của khái niệm cực trị hàm một biến được trình bày trong giáo trình đại học. - Chương II: Quan hệ thể chế với khái niệm cực trị của hàm số. Trong chương này, chúng tôi sẽ xem xét khái niệm cực trị và thuật toán tìm cực trị được trình bày như thế nào trong chương trình cũng như sách giáo khoa hiện hành. Từ những phân tích và đánh giá có được chúng tôi sẽ đưa ra giả thuyết nghiên cứu liên quan tới hợp đồng didactic chi phối ứng xử của giáo viên và học sinh. - Chương III: Nghiên cứu thực nghiệm Trong chương này, chúng tôi sẽ cố gắng xây dựng một thực nghiệm nhằm kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu đã đưa ra ở chương 2. - Phần kết luận trình bày tóm lược các kết quả nghiên cứu được và những hướng nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận văn này. Chương 1 KHÁI NIỆM CỰC TRỊ Ở BẬC ĐẠI HỌC Trong chương này chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ những đặc trưng của khái niệm cực trị hàm một biến. Do không có điều kiện về thời gian và tư liệu, chúng tôi không tiến hành một phân tích khoa học luận lịch sử hình thành và phát triển của đối tượng này. Vì thế, để thực hiện nhiệm vụ trên, chúng tôi sẽ tham khảo giáo trình toán dùng ở bậc đại học. Lựa chọn này dựa trên sự thừa nhận là khoảng cách giữa tri thức bác học với tri thức trình bày trong các tác phẩm dùng ở bậc đại học thường không phải là quá lớn. Giáo trình đại học được chọn để tham khảo trong chương này là : • Giải tích toán học, tập 1, Vũ Tuấn – Phan Đức Thành – Ngô Xuân Sơn, Nhà xuất bản giáo dục, 1987. Lí do chúng tôi chọn giáo trình này là vì đây là giáo trình giải tích cổ điển được sử dụng nhiều trong các trường đại học sư phạm cũng như trong các trường đại học tổng hợp trước đây. Để thuận tiện cho việc trình bày, giáo trình này sẽ được chúng tôi kí hiệu là [a]. 1.1. Khái niệm cực trị của hàm một biến: Giáo trình [a] định nghĩa cực trị địa phương như sau: Cho hàm số f ( x) xác định trong khoảng (a; b) . Ta bảo rằng tại điểm c ∈ (a; b) hàm f ( x) có cực đại địa phương nếu tồn tại h > 0 đủ nhỏ sao cho với mọi x ∈ (c − h; c + h) và x ≠ c , ta có: f ( x ) < f (c ) Cực tiểu địa phương cũng được định nghĩa tương tự. Các điểm cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương được gọi chung là cực trị địa phương. (trang 153;154) Như vậy hàm số y = f ( x) đạt cực đại (cực tiểu) địa phương tại điểm c ∈ (a; b) là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trên lân cận (c − h; c + h) của điểm đó. Điểm cực đại địa phương được giáo trình [a] minh họa bằng đồ thị, qua đồ thị chúng ta có thể nhận thấy đó là điểm cao nhất của đồ thị hàm số trong lân cận (c − h; c + h) của điểm c . Liên quan đến cực trị địa phương tại những điểm hàm số khả vi (có đạo hàm), giáo trình [a] nêu bổ đề Phecma: Cho hàm số f xác định trong khoảng (a; b) , nếu f có cực đại (cực tiểu) địa phương tại điểm c ∈ (a; b) và nếu tồn tại f '(c) thì f '(c) = 0 . (trang 154) Bổ đề Phecma cho ta thấy điều kiện cần để một hàm số khả vi tại c đạt cực trị tại đó là f '(c) = 0 . Về cực trị tuyệt đối (giá trị lớn nhất, bé nhất), giáo trình [a] định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên tập X và có miền giá trị là tập Y . Nếu tập Y có số lớn nhất (max Y ) thì ta gọi số lớn nhất đó là cực đại tuyệt đối hay giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x) trên tập X Tương tự, nếu tập Y có số bé nhất (min Y ) thì ta gọi số bé nhất đó là cực tiểu tuyệt đối hay giá trị bé nhất của hàm số y = f ( x) trên tập X (trang 179;180) Cực trị địa phương là giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị bé nhất (GTNN) của hàm số trong một lân cận của điểm, cực trị tuyệt đối là GTLN hoặc GTNN của hàm số trên tập giá trị của nó. Định nghĩa chỉ yêu cầu hàm số xác định trên tập X , không bắt buộc phải liên tục trên X . 1.2. Thuật toán tìm cực trị của hàm một biến: Điều kiện cần để hàm số có cực trị được giáo trình [a] nêu thông qua bổ đề Phecma: Cho hàm số f xác định trong khoảng (a; b) , nếu f có cực đại (cực tiểu) địa phương tại điểm c ∈ (a; b) và nếu tồn tại f '(c) thì f '(c) = 0 (trang 154) Tiếp theo, khái niệm điểm dừng và điểm tới hạn của hàm số được định nghĩa: Giả sử y = f ( x ) là một hàm số liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trong một lân cận nào đó của điểm x0 ∈ (a; b) (có thể trừ điểm x0 ) Nếu tại điểm x0 hàm số y = f ( x) có đạo hàm và f '( x0 ) = 0 thì x = x0 là điểm dừng của hàm số. Nếu tại điểm x = x0 hàm số có đạo hàm bằng không hoặc hàm số không có đạo hàm thì điểm x = x0 được gọi là điểm tới hạn của hàm số. (trang 180;181) Điều kiện đủ để hàm số có cực trị địa phương được giáo trình [a] nêu thông qua hai định lí: Định lí 1:(trang 181) Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục trong một lân cận nào đó của điểm x0 , có đạo hàm trong lân cận đó (có thể trừ điểm x = x0 ) và x0 là một điểm tới hạn của hàm số. 1. Nếu f '( x) đổi dấu khi đi qua điểm x0 thì hàm số có cực trị địa phương tại điểm đó. Hơn nữa, nếu f '( x) > 0 với x < x0 và f '( x) < 0 với x > x0 thì y = f ( x) có cực đại địa phương tại x0 . Nếu f '( x) < 0 với x < x0 và f '( x) > 0 với x > x0 thì y = f ( x) có cực tiểu địa phương tại x0 . 2. Nếu f '( x) > 0 (hoặc f '( x) < 0 ) khi x > x0 và x < x0 thì hàm số y = f ( x) không có cực trị địa phương. Theo giáo trình [a], định lí 1 cho ta cách tìm cực trị địa phương tại điểm dừng hoặc trong trường hợp hàm số không có đạo hàm tại hữu hạn điểm và định lí chỉ áp dụng trong phạm vi các hàm số liên tục. Sau đó giáo trình [a] đưa ra hai thí dụ về tìm cực trị địa phương của hàm số: 2 Thí dụ 1:(trang 182) Tìm cực trị của hàm số f= ( x) x 3 ( x − 5) Đạo hàm của hàm số này là: 2 3 2 − 13 f '( x) = x + x ( x − 5) = 3 3 x2 + 2( x − 5) 5( x − 2) = 33 x 33 x Hàm số có hai điểm tới hạn là x = 0 (tại đó hàm số không có đạo hàm) và x = 2 (tại đó đạo hàm triệt tiêu). Dấu của đạo hàm f '( x) ở lân cận các điểm x = 0 và x = 2 được cho bởi bảng sau: x −∞ f '( x) 0 + +∞ 2 - 0 + Theo định lí vừa nêu, tại x = 0 hàm số có cực đại địa phương, tại x = 2 hàm số có cực tiểu địa phương. Giáo trình [a] minh họa điểm cực trị của hàm số trong thí dụ này bằng đồ thị: Qua đồ thị minh họa này chúng tôi nhận thấy, nếu hàm số đạt cực trị tại điểm dừng thì tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đó song song với trục hoành. Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm không có đạo hàm thị đồ thị của hàm số tại điểm đó bị “gãy”. Thí dụ 2:(trang 183) Tìm cực trị của hàm số f ( x= ) ( x − 1)3 Đạo hàm của hàm số này là: f '(= x) 3( x − 1) 2 Tại điểm x = 1 đạo hàm triệt tiêu nhưng vì f '( x) luôn luôn dương với mọi x ≠ 1 nên hàm số không đạt cực trị tại bất cứ điểm nào. Hàm số tăng nghiêm ngặt trên toàn trục số. Cực trị địa phương chỉ đạt tại các điểm tới hạn của hàm số. Muốn tìm cực trị địa phương của hàm số ta cần phải xét dấu đạo hàm bậc nhất. Nếu đạo hàm đổi dấu từ + sang - khi qua x0 thì hàm số đạt cực đại địa phương tại x0 ; nếu đạo hàm đổi dấu từ - sang + khi qua x0 thì hàm số đạt cực tiểu địa phương tại x0 ; nếu đạo hàm không đổi dấu khi qua x0 thì hàm số không đạt cực trị địa phương tại x0 . Thông qua thí dụ 2, giáo trình [a] đã cho thấy một phương pháp tìm cực trị, đó là sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Sau khi nêu định lí 1, giáo trình [a] đã nêu định lí 2 có sử dụng đạo hàm bậc cao để tìm cực trị địa phương của hàm số: Định lí 2: (trang 183) Giả sử hàm số y = f ( x) khả vi đến cấp n + 1 ở lân cận điểm x = x0 và f '( x0 )= f ''( x0 )= ...= f ( n −1) ( x0 )= 0 ; f ( n ) ( x0 ) ≠ 0 Khi đó: 1. Nếu n lẻ thì hàm số y = f ( x) không có cực trị tại điểm x = x0 2. Nếu n chẵn thì hàm số y = f ( x) có cực trị địa phương tại x = x0 . Hơn nữa, khi đó hàm số đạt cực tiểu địa nếu f ( n ) ( x0 ) > 0 và đạt cực đại địa phương nếu f ( n ) ( x0 ) < 0 . Giáo trình [a] nêu hai thí dụ sử dụng định lí tới đạo hàm bậc 4 và bậc 3: Thí dụ 1: (trang 184) Xét hàm số f ( x) =e x + e − x + 2cos x có đạt cực trị tại điểm x = 0 hay không? Ta thấy x = 0 là điểm dừng của hàm số này vì: f '( x) =e x − e − x − 2sin x ; f '(0) = 0 Hơn nữa: f ''( x) =e x + e − x − 2cos x ; f ''(0) = 0 f '''( x) =e x − e − x + 2sin x ; f '''(0) = 0 f (4) ( x) =e x + e − x + 2cos x ; f (4) (0) = 4 Hàm số đã cho có cực tiểu tại x = 0 ( n = 4 chẵn; f (4) (0) > 0 ). Thí dụ 2: Hàm số f ( x) = x3 có đạo hàm đến cấp hai triệt tiêu tại x = 0 ; nhưng f '''(0)= 6 > 0 nên f ( x) = x3 không có cực trị tại x = 0 . Tuy nhiên có nhưng hàm số có đạo hàm mọi cấp tại một điểm, nhưng tại điểm này mọi đạo hàm đều triệt tiêu. Trong trường hợp này, định lí 2 không cho ta kết luận gì về sự tồn tại của cực trị tại điểm đó. Giáo trình [a] đã đưa ra ví dụ:  − 12  x f ( x ) = e 0 vôùi x ≠ 0 vôùi x = 0 Hàm số này có đạo hàm mọi cấp bằng không tại điểm x = 0 . Định lí 2 không cho biết gì về cực trị của hàm số nhưng ta thấy ngay nó có cực tiểu tại x = 0 vì f ( x ) > 0 ∀x ∈ R \ {0} . Đối với lớp hàm không liên tục, chúng tôi không tìm thấy thuật toán tìm cực trị trong giáo trình này. Về cực trị tuyệt đối, giáo trình [a] đã nêu định lí về sự tồn tại GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn: Định lí Vâyest’rat thứ hai: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] thì nó đạt GTLN và GTNN trên đoạn đó. (trang 125) Thuật toán tìm cực trị tuyệt đối đối với lớp các hàm số liên tục được nêu như sau: 1. Tìm tất cả các cực đại (cực tiểu) địa phương của hàm số liên tục y = f ( x) trên đoạn [a; b] . 2. Tính giá trị của hàm số y = f ( x) tại các đầu mút của đoạn [a; b] (tức là tính f (a ) , f (b) ). 3. Tìm số lớn nhất (hay số bé nhất) trong các số trên. (trang 180) Từ thuật toán ta có thể suy ra hàm số chỉ đạt GTLN (GTNN) tại các điểm cực trị địa phương và các điểm đầu mút của đoạn. Thuật toán yêu cầu hàm số phải liên tục trên đoạn [a; b] . Như vậy đối với các hàm số không liên tục trên đoạn thì không áp dụng được thuật toán này. 1.3. Các tổ chức toán học có liên quan: Kiểu nhiệm vụ T1 : “ Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số y = f ( x ) ” Có bốn kĩ thuật là: Kĩ thuật τ 1ĐN : (sử dụng định nghĩa) Chứng minh f ( x ) > f ( x0 ) ( f ( x ) < f ( x0 ) ) với mọi x thuộc khoảng ( x0 − h; x0 + h) chứa x0 , x ≠ x0 . Khi đó x0 là điểm cực trị của hàm số. Công nghệ θ11 : Định nghĩa cực trị của hàm số.  − 12  x Ví dụ: f ( x ) = e 0 vôùi x ≠ 0 đạt cực tiểu tại x = 0 vì f ( x ) > 0 ∀x ∈ R \ {0} . vôùi x = 0 Kĩ thuật τ 1ĐĐ : (sử dụng tính đơn điệu) - Tính f '( x ) . Nếu f '( x ) > 0(< 0) ∀x ∈ D thì hàm số không có cực trị. Công nghệ θ12 : Định nghĩa cực trị của hàm số. Thí dụ 2:(trang 183) Tìm cực trị của hàm số f ( x= ) ( x − 1)3 .
- Xem thêm -