Tài liệu Nghiên cứu didactic về công cụ vectơ trong hình học không gian lớp 11

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ____________________ NGUYỄN VŨ HOÀNG TRÂM NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ CÔNG CỤ VECTƠ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ____________________ NGUYỄN VŨ HOÀNG TRÂM NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ CÔNG CỤ VECTƠ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN. Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến Tiến sĩ Trần Lương Công Khanh, người đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn cô Lê Thị Hoài Châu, thầy Lê Văn Tiến, thầy Lê Thái Bảo Thiên Trung, những người đã tận tâm, nhiệt tình giảng dạy chúng tôi trong suốt khóa học. Xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh, các anh chị chuyên viên phòng sau đại học đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Cảm ơn tất cả các bạn trong khóa Didactic 21 đã giúp đỡ, chia sẽ những khó khăn, kinh nghiệm trong thời gian học tập và làm luận văn. Cuối cùng, con vô cùng biết ơn bố mẹ và những người thân trong gia đình đã luôn bên cạnh động viên và chia sẽ trong suốt quá trình con học tập và làm luận văn. 1 Mục lục Mục lục ........................................................................................................................... 1 Mở đầu ........................................................................................................................... 3 1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................................... 3 2. Phương pháp luận nghiên cứu ................................................................................ 4 3. Cấu trúc luận văn .................................................................................................... 5 Chương 1. Công cụ vectơ được thể hiện trong sách giáo khoa ................................. 7 1. Vai trò công cụ của vectơ trong dự định của tác giả sách giáo khoa ..................... 8 2. Vai trò công cụ của vectơ trong khối logos............................................................. 9 3. Vai trò công cụ của vectơ trong khối praxis ......................................................... 13 4. Kết luận. ................................................................................................................ 26 Chương 2. Công cụ vectơ trong tri thức soạn giảng và tri thức thực dạy ................. 28 1. Vai trò công cụ của vectơ trong tri thức soạn giảng và thực dạy ......................... 28 1.1. Liên quan đến công nghệ - lý thuyết .............................................................. 28 1.2. Liên quan tới kỹ thuật ..................................................................................... 30 1.3. Điều kiện ràng buộc để học sinh sử dụng công cụ vectơ. .............................. 34 1.4. Kết luận. .......................................................................................................... 35 2. Đánh giá của giáo viên đối với lời giải dùng kỹ thuật vectơ. ............................... 36 2.1. Giới thiệu thực nghiệm ................................................................................... 36 2.1.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................. 36 2.1.1.1. Thực nghiệm dành cho giáo viên ...................................................... 36 2.1.1.2. Thực nghiệm dành cho học sinh ....................................................... 36 2.1.2. Kế hoạch thực nghiệm ............................................................................. 36 2.1.2.1. Phiếu xin ý kiến giáo viên ................................................................. 36 2.1.2.2. Phiếu điều tra học sinh ...................................................................... 36 2.2. Phiếu xin ý kiến giáo viên ở trường phổ thông .............................................. 37 2.2.1. Phân tích tiên nghiệm............................................................................... 37 2.2.2. Phân tích hậu nghiệm ............................................................................... 39 2.2.2.1. Chấm điểm lời giải của học sinh ....................................................... 39 2.2.2.2. Nhận xét của giáo viên về lời giải ..................................................... 40  Lý do giáo viên chọn lời giải 2 .............................................................. 41 2.2.3. Kết luận .................................................................................................... 42 2.3. Phiếu điều tra học sinh .................................................................................... 43 2.3.1. Phân tích tiên nghiệm............................................................................... 43 2.3.1.1. Câu hỏi thực nghiệm ......................................................................... 43 2.3.1.2. Kiến thức liên quan ........................................................................... 43 2.3.1.3. Phân tích tiên nghiệm câu 1 .............................................................. 43 Biến dạy học ............................................................................................... 43 Những chiến lược có thể quan sát được trong câu 1 .................................. 43 2.3.1.4. Phân tích tiên nghiệm câu 2 .............................................................. 44 Biến dạy học ............................................................................................... 44 Những chiến lược có thể quan sát được trong câu 2 .................................. 44 2.3.2. Phân tích hậu nghiệm ............................................................................... 46 2.3.2.1. Phân tích hậu nghiệm câu 1 ............................................................... 46 Kết quả của học sinh. .................................................................................. 46 2 Phân tích kết quả thu được ......................................................................... 46 2.3.2.2. Phân tích hậu nghiệm bài toán 2 ....................................................... 47 Kết quả của học sinh ................................................................................... 47 Phân tích kết quả thu được ......................................................................... 48 2.3.3. Kết luận .................................................................................................... 48 3. Kết luận .............................................................................................................. 49 Kết luận ........................................................................................................................ 50 Tài liệu tham khảo ...................................................................................................... 52 Phụ lục .......................................................................................................................... 54 1. Lời giải bài tập 5, sách Hình học 11 nâng cao, trang 91 ..................................... 54 2. Các bài tập có thể dùng phương pháp vectơ nhưng tác giả không sử dụng ......... 54 3. Các kiểu nhiệm vụ trong nhóm 2 ........................................................................... 55 4. Phiếu xin ý kiến giáo viên ...................................................................................... 61 5. Phiếu thực nghiệm học sinh .................................................................................. 64 6. Kết quả của phiếu thực nghiệm học sinh. ............................................................. 65 7. Kết quả của câu 4 trong phiếu xin ý kiến giáo viên. ............................................. 66 3 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Sách Hình học 11 nâng cao có bài tập sau: Bài tập 5, trang 91 Trong không gian cho tam giác ABC. a) Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) thì có ba số x, y, z mà x + y + z = 1 sao     cho OM = x. OA + y. OB + z. OC với mọi điểm O.     b) Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian sao cho OM = x. OA + y. OB + z. OC , trong đó x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mp(ABC). Bài tập trên là một điều kiện cần và đủ để bốn điểm đồng phẳng phát biểu bằng ngôn ngữ vectơ. Nó cho thấy ngoài quan hệ vuông góc trong không gian, vectơ còn có thể can thiệp hiệu quả vào các quan hệ khác. Trong chương trình hiện hành, vectơ được giảng dạy ở lớp 10 (vectơ trong mặt phẳng) và lớp 11 (vectơ trong không gian). Đặc biệt ở lớp 11, vai trò công cụ của vectơ được nhấn mạnh: “Thông qua một số ví dụ và bài toán, giáo viên cần giúp học sinh thấy được vectơ và các phép toán vectơ có vai trò nhất định trong việc giải một số bài toán hình học không gian”. (Sách giáo viên hình học 11, trang 83). Đó là ý định của tác giả sách giáo khoa. Ý định này được thể hiện như thế nào trong phần bài học và phần bài tập của sách giáo khoa? Trong thực tế dạy học, giáo viên và học sinh thực hiện ý định đó như thế nào? Ở Việt Nam những năm gần đây, nhiều công trình nghiên cứu đã đề cập đến việc dạy và học khái niệm vectơ dưới những góc độ khác nhau: nghiên cứu didactic và khoa học luận việc dạy học vectơ ở Việt Nam và Pháp của Lê Thị Hoài Châu 1 (1997), nghiên cứu vai trò công cụ của vectơ trong dạy học một số khái niệm hình học của nhiều học viên cao học 2 từ 2002 đến 2011. Điều này vừa chứng tỏ tầm quan trọng của khái niệm vectơ trong chương trình toán trung học phổ thông, vừa mở ra hướng nghiên cứu tác động của vectơ (với tư cách là đối tượng hoặc công cụ) đến việc xây dựng một số khái niệm toán học khác. 1 Lê Thị Hoài Châu (1997), Étude didactique et épistémologique sur l’enseignement des vecteurs dans deux institution: la classe de dixième au Vietnam et la classe de seconde en Françe, luận án tiến sĩ, đại học Joseph Fourier, Grenoble I, Cộng hòa Pháp. 2 Sớm nhất là các luận văn của Võ Hoàng và Hoàng Hữu Vinh (khóa 11) và gần đây nhất là luận văn của Đỗ Thị Hoàng Linh (khóa 19). 4 Những vấn đề trên dẫn chúng tôi đến đề tài: “Nghiên cứu didactic về công cụ vectơ trong hình học không gian lớp 11”. 2. Phương pháp luận nghiên cứu Ý định nghiên cứu vai trò công cụ của vectơ trong sách giáo viên, sách giáo khoa và thực tế dạy học buộc chúng tôi phải quay lại các khái niệm tổ chức toán học và chuyển hóa sư phạm trong lý thuyết nhân học sư phạm của Chevallard (1985, 1989, 1992, 1998). Theo lý thuyết nhân học sư phạm, mỗi hoạt động bất kỳ của con người đều nhằm hoàn thành một nhiệm vụ t nào đó. Nhiều nhiệm vụ t có thể xếp vào một kiểu nhiệm vụ T nếu chúng được giải quyết bằng cùng một kỹ thuật τ. Công nghệ θ là những gì cho phép nghĩ đến, tạo ra hoặc lý giải cho kỹ thuật τ. Đến lượt mình, công nghệ θ được giải thích, biện minh bằng lý thuyết Θ. Bộ bốn phần tử [T/ τ/ θ/ Θ] gọi là một praxéologie, vốn được cấu thành bởi hai từ Hy Lạp là praxis (thực hành) và logos (lý lẽ, lập luận). Thật vậy, trong một praxéologie, khối [T/ τ] thuộc về thực hành và khối [θ/ Θ] thuộc về lý lẽ, lập luận. Nếu T là một kiểu nhiệm vụ toán học, praxéologie liên quan sẽ gọi là một tổ chức toán học. Khi nghiên cứu về chuyển hóa sư phạm, Ravel (2003) đặc biệt quan tâm đến tri thức soạn giảng: “Chúng tôi quan niệm tri thức soạn giảng của một giáo viên là tri thức do giáo viên này soạn ra từ những lựa chọn toán học và sư phạm của mình nhằm mục đích giảng dạy. Tri thức soạn giảng này nằm ở giao diện của hai “thế giới”: nó vừa đặc trưng cho hoạt động của giáo viên trước khi thực hiện tiết dạy, vừa là động lực của hoạt động dạy học trong tiết dạy” (Tài liệu đã dẫn, trang 107). Như thế, chúng ta có sơ đồ chi tiết dưới đây: Tri thức bác học Chuyển hóa sư phạm nội tại Tri thức cần dạy Tri thức soạn giảng Tri thức thực dạy Đứng trên quan điểm tổ chức toán học và chuyển hóa sư phạm, chúng tôi phát biểu lại câu hỏi ban đầu thành câu hỏi nghiên cứu như sau: 5 Q1. Khi soạn sách giáo khoa lớp 11, các tác giả dự định hình thành những vai trò công cụ nào của vectơ trong hình học không gian? Q2. Cấu trúc của sách giáo khoa lớp 11 thể hiện dự định đó như thế nào? Với các yếu tố công nghệ - lý thuyết trong sách giáo khoa, vectơ có thể giải quyết các kiểu nhiệm vụ nào của hình học không gian? Q3. Trong thực tế dạy học hình học không gian lớp 11, những vai trò công cụ nào của vectơ thường được giáo viên và học sinh huy động; những vai trò công cụ nào có thể huy động nhưng lại không được huy động? Khác với các luận văn trước chỉ khảo sát vai trò công cụ của vectơ trong việc giải quyết một số kiểu nhiệm vụ xác định, chúng tôi cho rằng vai trò công cụ của vectơ cần được xét trong một phạm vi rộng hơn: vectơ có thể được huy động để giải bài tập hoặc để chứng minh một số tính chất 3 toán học. Nói theo ngôn ngữ tổ chức toán học, vai trò công cụ của vectơ được thể hiện không chỉ trong khối praxis [T, τ] mà còn trong khối logos [θ, Θ]. Xuất phát từ nhận xét của hội đồng chấm luận văn các khóa trước về việc phát biểu không chặt chẽ giả thuyết nghiên cứu (dẫn đến việc tầm thường hóa giả thuyết nghiên cứu), chúng tôi mạnh dạn không phát biểu giả thuyết nghiên cứu trong luận văn này. Bù lại, chúng tôi cố gắng phát biểu các câu hỏi nghiên cứu, đi tìm những yếu tố trả lời các câu hỏi đó và đặt ra nhiều câu hỏi khác trong quá trình phân tích. Luận văn không đưa vào chỉ một thực nghiệm duy nhất. Trong suốt quá trình nghiên cứu, nhiều câu hỏi được đưa ra và chúng tôi sẽ tiến hành các thực nghiệm tương ứng hoặc các phân tích cần thiết để có thể trả lời các câu hỏi đã đặt. Để đi theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi dựa vào Castella và Jullien (1991): “Một biến quan trọng của mọi thực nghiệm là độ tốn kém [hay giá thành] của nó. Không hề vô ích khi nhắc lại rằng giá thành cao tự nó không bảo đảm cho chất lượng [của thực nghiệm], nghĩa là một thực nghiệm giá thành rất thấp có thể hoàn toàn đầy tính thuyết phục” (Tài liệu đã dẫn, trang 176). 3. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm hai chương, đặt giữa phần mở đầu và phần kết luận: Chúng tôi dùng từ tính chất để chỉ chung các mệnh đề toán học đúng. Trong sách giáo khoa, các mệnh đề này có thể được trình bày dưới dạng chú ý, tính chất, định lý…, thậm chí đôi khi không có tên loại cụ thể. 3 6 Phần mở đầu trình bày lý do chọn đề tài, phương pháp luận nghiên cứu và cấu trúc luận văn Chương 1. Công cụ vectơ trong tri thức cần dạy Nội dung chính của chương này là: - Phân tích sách giáo viên để xác định vai trò công cụ của vectơ trong dự định của tác giả sách giáo khoa. - Phân tích sách giáo khoa và sách bài tập để xác định vai trò công cụ có thể có và vai trò công cụ được ưu tiên của vectơ trong khối logos lẫn khối praxis. - Rút ra độ lệch giữa ý định của tác giả trong sách giáo viên với tri thức cần dạy trong sách giáo khoa, đặc biệt là giữa vai trò công cụ có thể có và vai trò công cụ được ưu tiên trong sách giáo khoa. Chương 2. Công cụ vectơ trong tri thức soạn giảng và tri thức thực dạy Kết quả của chương 1 giúp dự đoán những điều kiện và ràng buộc để giáo viên và học sinh lớp 11 huy động công cụ vectơ trong giải toán hình học không gian. Chương này khảo sát ý kiến giáo viên và học sinh để làm rõ vai trò công cụ của vectơ trong tri thức soạn giảng và tri thức thực dạy. Phần kết luận tóm tắt kết quả chính của luận văn và nêu hướng nghiên cứu mới. 7 Chương 1. Công cụ vectơ được thể hiện trong sách giáo khoa Trong chương trình toán trung học phổ thông, vectơ 4 được đưa vào với tư cách là đối tượng lẫn công cụ. Là một đối tượng, khái niệm vectơ được định nghĩa và hình thành những tính chất mà chương trình quy định. Là một công cụ, vectơ được sử dụng để chứng minh một số tính chất khác hoặc để giải bài tập. Khi tham gia vào việc xây dựng một định nghĩa hoặc chứng minh một tính chất toán học, vectơ có mặt trong khối logos [θ, Θ] và trở thành yếu tố công nghệ (hoặc yếu tố công nghệ - lý thuyết). Khi được huy động để giải bài tập, vectơ có mặt trong khối praxis [T, τ] và trở thành kỹ thuật (hoặc một phần của kỹ thuật). Chúng tôi sẽ chú ý đặc biệt đến những bài tập mà kết quả được sách giáo khoa khuyến khích sử dụng để giải một số bài tập khác. Khi đó, dù được trình bày trong khối praxis, những bài tập này có vai trò kép: chúng vừa là một thành phần tường minh của khối praxis do cách trình bày của sách giáo khoa, vừa là một thành phần của khối logos do vai trò công nghệ - lý thuyết của nó trong ứng dụng giải bài tập. Do đó, chúng tôi sẽ không phân tích vai trò công cụ của vectơ theo thứ tự “truyền thống” (phần bài học, phần bài tập) như một số luận văn trước đây đã làm vì cách phân loại này gặp trở ngại ít nhiều với những bài tập mang vai trò kép. Đổi lại, chúng tôi sẽ tiếp cận vai trò công cụ của vectơ theo hai hướng: vai trò công nghệ - lý thuyết, vai trò kỹ thuật. Chương này nghiên cứu vai trò công cụ của vectơ theo cách tiếp cận trên để trả lời các câu hỏi dưới đây: Q1. Khi soạn sách giáo khoa, các tác giả dự định hình thành những vai trò công cụ nào của vectơ? Q2. Cấu trúc của sách giáo khoa thể hiện dự định đó như thế nào? Với các yếu tố công nghệ - lý thuyết trong sách giáo khoa, vectơ có thể giải quyết các kiểu nhiệm vụ nào? Thuật ngữ vectơ ở đây được hiểu là vectơ hình học chứ không phải vectơ tổng quát trong không gian vectơ trên trường K. Nói theo ngôn ngữ không gian vectơ, vectơ được đề cập trong chương này là các phần tử của không gian các vectơ thông thường trên trường R với phép cộng các vectơ thông thường và phép nhân một số thực với một vectơ. 4 8 Để trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi chọn sách giáo viên và sách Hình học 11 nâng cao do Đoàn Quỳnh làm tổng chủ biên làm tư liệu phân tích chính vì hai lý do: vectơ trong không gian xuất hiện ở chương trình hình học lớp 11; hệ thống bài tập trong sách Hình học 11 nâng cao phong phú hơn trong sách Hình học 11 cơ bản. Trong trường hợp cần thiết, chúng tôi sẽ đối chiếu với sách Hình học 11 cơ bản, tham khảo thêm sách Bài tập Hình học 11 nâng cao, đề kiểm tra, đề thi học kỳ, đề thi tuyển vào đại học, cao đẳng để làm rõ những điều kiện và ràng buộc của công cụ vectơ trong chương trình hình học lớp 11. 1. Vai trò công cụ của vectơ trong dự định của tác giả sách giáo khoa Trong phân môn hình học 11, vectơ không được trình bày thành một chủ đề riêng mà được gắn vào chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc. 2. Ta chỉ dùng vectơ để giới thiệu quan hệ vuông góc mà không xét vectơ thành một chủ đề riêng. 3. Sau khi xây dựng quan hệ vuông góc nhờ vectơ, ta tiếp tục trình bày một số vấn đề Hình học theo phương pháp truyền thống. (Sách giáo viên, trang 79) Như vậy, vai trò công cụ của vectơ được các tác giả sách Hình học 11 nâng cao xác định rõ ràng: vectơ được đưa vào để phục vụ cho việc xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian. Sách giáo viên còn giải thích ưu thế của công cụ vectơ so với các công cụ khác: Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làm cho cách diễn đạt một số nội dung hình học được gọn gàng hơn. Mặt khác, các kiến thức về vectơ trong không gian còn dùng để xây dựng khái niệm tọa độ trong chương trình Hình học lớp 12, một công cụ hữu ích để giải nhiều bài toán Hình học. (Tài liệu đã dẫn, trang 79) Vectơ sẽ tham gia xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian ở mức độ nào, chỉ hiện diện trong khối logos hay tiếp tục can thiệp vào khối praxis? Sách giáo viên ghi rõ: Học xong chương này, học sinh phải đạt được các yêu cầu: 1. Bước đầu biết sử dụng vectơ vào việc thiết lập quan hệ vuông góc và giải một số bài toán hình học không gian. [...] (Tài liệu đã dẫn, trang 79) Như vậy, các tác giả sách Hình học 11 nâng cao đưa vectơ vào chương III nhằm phục vụ cho việc xây dựng quan hệ vuông góc và cung cấp cho học sinh một công cụ giải toán hình học không gian. Ưu thế của công cụ vectơ là giúp diễn đạt một số nội dung hình học lớp 11 gọn gàng hơn và còn được kế thừa để xây dựng khái niệm tọa độ ở hình học lớp 12. 9 Công cụ vectơ tham gia chứng minh những tính chất hình học nào, can thiệp vào những kiểu nhiệm vụ nào? Nó có ưu thế gì so với những công cụ khác? Để trả lời các câu hỏi này, chúng tôi sẽ phân tích sách Hình học 11 nâng cao để làm rõ vai trò công cụ của vectơ về mặt công nghệ - lý thuyết lẫn kỹ thuật. 2. Vai trò công cụ của vectơ trong khối logos Sách Hình học 11 nâng cao được chia thành ba chương: - Chương I. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng - Chương II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song - Chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian Cấu trúc này thể hiện đúng ý định mà các tác giả đã đề cập trong sách giáo viên: - Vectơ trong không gian không được trình bày thành một chương riêng như đã làm đối với vectơ trong mặt phẳng ở sách Hình học 10 nâng cao 5. - Ngược lại, vectơ trong không gian được đưa vào cùng một chương với quan hệ vuông góc trong không gian nhưng được trình bày ở đầu chương nhằm phục vụ cho việc xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian. Vì vậy, chúng tôi sẽ tập trung phân tích chương III của sách Hình học 11 nâng cao. Như đã trình bày ở đầu chương, chúng tôi phân biệt hai hình thức thể hiện của công cụ vectơ với tư cách là yếu tố công nghệ - lý thuyết: - vectơ tham gia vào việc xây dựng một định nghĩa hoặc chứng minh một tính chất được trình bày trong phần bài học; - vectơ biện minh cho một kỹ thuật được huy động để giải một bài tập 6. Đối với hình thức thể hiện thứ nhất, trong toàn chương III, vectơ chỉ tham gia duy nhất vào việc chứng minh định lý về điều kiện đủ để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Đây là một định lý cơ bản của quan hệ vuông góc nói chung và là định lý thường được sử dụng nhất khi chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Đối với hình thức thể hiện thứ hai, chúng tôi tìm thấy bài tập 5, trang 91, sách Hình học 11 nâng cao. Dưới đây, chúng tôi sẽ lần lượt phân tích cả hai hình thức thể hiện này. Chủ đề vectơ chiếm hai trong tổng số ba chương của sách Hình học 10 nâng cao: Vectơ; Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng; Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. 6 Về mặt bàn chất, một bài tập cũng là một tính chất toán học nhưng mức độ sử dụng không thường xuyên như các tính chất được trình bày trong phần bài học. 5 10 Định lý về điều kiện đủ để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P). (Sách Hình học 11 nâng cao, trang 97) Chứng minh (theo sách Hình học 11 nâng cao, trang 96) a P      Giả sử a, b, d lần lượt có các vectơ chỉ phương m , n , u . Do đó m , n d không cùng phương. Gọi c là đường thẳng bất kỳ nằm trong mặt phẳng b       (P) và có vectơ chỉ phương p . Vì m , n , p đồng phẳng và n , m    không cùng phương nên ta có hai hệ số x, y sao cho p = x. m + y. n . Do a và b cùng vuông góc              với d nên m . u = 0 và n . u = 0. Khi đó: u . p = u .(x. m + y. n ) = x. u . m + y. u . n = 0. Vậy, đường thẳng d vuông góc với đường thẳng c bất kì nằm trong mặt phẳng (P), nghĩa là đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P). Để đối chiếu, chúng tôi giới thiệu một cách chứng minh khác không dùng vectơ: Chứng minh (theo sách Hình học 11 chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000, trang 59-60). Giả sử đường thẳng c thuộc mặt phẳng (P) và gọi O d’ c a b P c’. M = O = N. d B là giao điểm của a và b. *Nếu c // a hoặc c // b thì do d⊥a và d⊥b nên d⊥c. *Nếu c không song song với a và b thì từ O kẻ d’ // A C d và c’ // c. Ta cần chứng minh d’ ⊥ c’. Trên c’ lấy điểm C khác O và kẻ qua C một đường thẳng cắt a và b lần lượt tại A và B khác O. Trên d’, về hai phía của O ta lấy hai đoạn OM = ON. Khi đó a và b là đường trung trực của đoạn thẳng MN  = nên AM = AN và BM = BN. Suy ra ∆MAB = ∆NAB (ba cạnh tương ứng bằng nhau) do đó MBC  . Ta có ∆MBC = ∆NBC (có một góc và hai cạnh kề tương ứng bằng nhau). Suy ra CM = CN. NBC Khi đó ∆CMN cân tại C có trung tuyến CO cũng là đường cao. Vậy d’ ⊥ c’ suy ra đường thẳng d vuông góc với đường thẳng c bất kỳ thuộc mặt phẳng (P), nghĩa là d vuông góc với mặt phẳng (P). Trong hai cách chứng minh trên, cách chứng minh thứ nhất ngắn gọn hơn, không đòi hỏi phải vẽ thêm nhiều đường phụ và gần như không phụ thuộc vào hình vẽ. Điều này cho thấy một ưu điểm của công cụ vectơ trong khối logos. Như đã nói ở trên, định lý về điều kiện đủ để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là mệnh đề duy nhất trong chương III được chứng minh bằng công cụ vectơ. Chứng minh này không những ngắn gọn hơn chứng minh không huy động vectơ mà còn phù hợp với tinh thần chương trình đã được xác định trong sách giáo viên: kiến thức về vectơ là cơ sở để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian. 11 Trong chương III, tồn tại hay không những tính chất toán học khác mà việc huy động công cụ vectơ sẽ cung cấp một chứng minh tốt hơn hoặc ít nhất cũng có giá trị như chứng minh không dùng vectơ? Việc phân tích sách giáo khoa cho chúng tôi câu trả lời khẳng định. Thật vậy, hai tính chất dưới đây có thể chứng minh bằng vectơ nhưng sách Hình học 11 nâng cao chỉ phát biểu (trang 97) mà không chứng minh: Tính chất 1. Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một đường thẳng a cho trước. (sách Hình học 11 nâng cao, trang 97) Tính chất 2. Có duy nhất một đường thẳng ∆ đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trước. (sách Hình học 11 nâng cao, trang 97) Dưới đây, chúng tôi nêu ra hai cách chứng minh cho mỗi tính chất trên: cách thứ nhất dựa vào chứng minh của sách Hình học 11 chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000 và không dùng vectơ, cách thứ hai do chúng tôi đề nghị và có huy động vectơ. Việc đưa vào lời giải thứ hai nhằm mục đích khẳng định sự tồn tại của lời giải dùng vectơ và cung cấp một phân tích đối chiếu giữa “sự sống” của công cụ vectơ trong khối logos với ý định của tác giả sách giáo khoa. Chứng minh tính chất 1. Cách 1 (không dùng vectơ) Dựng a’ đi qua O và a’ // a. Dựng hai mặt phẳng (R) và (Q) a’ R Q a phân biệt cùng đi qua O. Gọi b, c là hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (R) và (Q) cùng vuông góc với a’. Khi đó, a cùng vuông góc với b, c nên a’ ⊥ mp(b, c). Vậy mp(b, c) c P b O chính là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với a. Giả sử có một mặt phẳng (P) cũng đi qua O và vuông góc với a thì nó phải cắt mp(R) theo một giao tuyến đi qua O và vuông góc với a’, tức là giao tuyến b; tương tự (P) cũng cắt (Q) theo giao tuyến c. Vậy mp(P) ≡ mp(b, c). Ta có điều phải chứng minh. Chứng minh tính chất 1. Cách 2 (dùng vectơ)   Qua O, dựng hai vectơ pháp tuyến của đường thẳng a là OH , HB không cùng phương (H ∈ a). Khi đó a ⊥ (OHB). Vậy mp(OHB) chính là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với a.   Giả sử có một mặt phẳng (P) cũng đi qua O và vuông góc với a tại K. Khi đó OH ⊥ HK và            OK ⊥ HK . Do đó OH . HK = 0 và OK . HK = 0. Suy ra HK 2 = HK . HK = HK ( OK - OH ) = 0       ⇒ H ≡ K. Lấy C, D ∈ (P) và A ∈ (OHB). Giả sử DA = α DB + β DO + γ DH = α DB + δ DC (do    D, C, H, O đồng phẳng). Suy ra: DA , DB , DC đồng phẳng nên D, A, B, C cùng thuộc một mặt phẳng. Vậy mp(P) ≡ mp(OAB). Ta có điều phải chứng minh. Chứng minh tính chất 2. Cách 1 (không dùng vectơ) 12 Lấy đường thẳng a nằm trong mp(P), theo tính chất 1 có mp(Q) đi .O qua O và (Q) ⊥ a. Trong mặt phẳng (Q), ta kẻ đường thẳng ∆ đi qua Q điểm O và vuông góc với giao tuyến b của (P) và (Q). Vì a ⊥ (Q) và ∆ a P ∆ ⊂ (Q), nên a ⊥ ∆. Như vậy, ∆ ⊥ (P). Vậy có đường thẳng đi qua b một điểm O cho trước và vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trước. Nếu qua O còn có đường thẳng ∆’ khác với ∆ và vuông góc với (P) thì mp(∆, ∆’) cắt mp(P) theo giao tuyến c cùng vuông góc với ∆ và ∆’, do đó là điều vô lí. Suy ra điều phải chứng minh. Chứng minh tính chất 2. Cách 2 (dùng vectơ) O Gọi H là hình chiếu của O lên mp(P) và lấy hai điểm A, B khác H nằm trong mp(P). Khi đó OH ⊥ HB và OH ⊥ HA, suy ra OH ⊥ P A B H (P). Vậy có đường thẳng ∆ đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trước.   Giả sử qua O còn có đường thẳng ∆’ khác ∆ và vuông góc với mp(P) tại K. Khi đó OH ⊥ HK và         OK ⊥ HK . Do đó OH . HK = 0 và OK . HK = 0. Suy ra – HK . HK = 0 ⇒ HK 2 = 0 ⇒ H ≡ K. Suy ra điều phải chứng minh. Tại sao sách giáo khoa không chứng minh hoặc gợi ý chứng minh hai tính chất trên? Chúng tôi tìm thấy câu trả lời sau đây trong sách giáo viên: Vì lý do giảm tải nên sách giáo khoa lần này cho học sinh công nhận các tính chất 1 và 2 trong § 3, (các vấn đề này được trình bày khá kĩ trong các sách giáo khoa trước đây). (Tài liệu đã dẫn, trang 95) Như vậy, các tính chất 1 và 2 không được chứng minh vì lý do giảm tải. Đổi lại, tác giả gợi ý giáo viên xem lại chứng minh trong sách giáo khoa các thời kỳ trước, chẳng hạn chứng minh không dùng vectơ mà chúng tôi đã giới thiệu ở trên. Chúng tôi ghi nhận rằng chứng minh dùng vectơ không được sách giáo viên đề cập đến. Điều này có nghĩa là giáo viên có quyền quyết định không chứng minh hoặc chứng minh hai tính chất 1 và 2. Trong trường hợp muốn chứng minh, phương pháp không dùng vectơ là phương pháp duy nhất được sách giáo viên gợi ý. Dù với lý do gì, việc sách giáo khoa không chứng minh hai tính chất 1 và 2 đã bỏ qua một cơ hội chứng tỏ tính hữu ích của công cụ vectơ. Chúng tôi ghi nhận rằng việc sử dụng vectơ trong khối logos dường như được chính các tác giả tự hạn chế ở mức độ tối thiểu mặc dù sách giáo viên đã xác định ưu thế của công cụ vectơ so với các công cụ khác trong việc xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian. Đó là thực tế của tri thức cần dạy. Ở tri thức thực dạy, liệu vai trò công cụ của vectơ có tiếp tục bị hạn chế như vậy không? Giáo viên có chứng minh hai tính chất 13 1 và 2 không? Nếu có, họ có dùng công cụ vectơ không? Chúng tôi sẽ quay lại các câu hỏi này trong chương 2 khi phân tích ý kiến giáo viên về việc dạy hai tính chất trên. Liên quan đến hình thức thể hiện thứ hai (vectơ biện minh cho một kỹ thuật được huy động để giải một bài tập), sách Hình học 11 nâng cao đưa vào bài tập 5 dưới đây mà kết quả sẽ là một yếu tố công nghệ - lý thuyết để giải một số bài tập khác: Bài tập 5, sách Hình học 11 nâng cao, trang 91 Trong không gian cho tam giác ABC. a) Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) thì có ba số x, y, z mà x + y + z = 1 sao     cho OM = x. OA + y. OB + z. OC với mọi điểm O.     b) Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian sao cho OM = x. OA + y. OB + z. OC , trong đó x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mp(ABC). Bài tập này chính là điều kiện cần và đủ để bốn điểm đồng phẳng phát biểu bằng ngôn ngữ vectơ 7. Kết quả của bài tập có thể được sử dụng như yếu tố công nghệ - lý thuyết giúp giải quyết ba kiểu nhiệm vụ dưới đây mà chúng tôi liệt kê theo thứ tự xuất hiện trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc tài liệu khác: - T 1 . Chứng minh hoặc xác định một điều kiện (cần và đủ/ cần/ đủ) để một điểm thuộc một mặt phẳng. - T 2 . Chứng minh một đẳng thức về tỷ số giữa độ dài các đoạn thẳng. - T 3 . Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, đường thẳng và đường thẳng. Do bản chất toán học đã nêu của bài tập 5, vai trò công nghệ - lý thuyết của nó đối với kiểu nhiệm vụ T 1 là hiển nhiên nhưng đối với các kiểu nhiệm vụ T 2 , T 3 lại ít hiển nhiên hơn. Thật vậy, điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc một mặt phẳng sẽ biện minh cho kỹ thuật chứng minh một đẳng thức về tỷ số giữa độ dài các đoạn thẳng (hoặc tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng) như thế nào? Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi sẽ giới thiệu lần lượt các bài tập thuộc các kiểu nhiệm vụ T 1 , T 2 , T 3 và các kỹ thuật giải tương ứng, đồng thời khảo sát vai trò công cụ của vectơ trong khối praxis. 3. Vai trò công cụ của vectơ trong khối praxis Trong phần này, chúng tôi khảo sát sự can thiệp của vectơ với tư cách kỹ thuật (và do đó có yếu tố công nghệ - lý thuyết đi kèm) trong việc giải quyết các kiểu nhiệm vụ 7 Lời giải của bài tập được trình bày trong phụ lục. 14 trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc sách tham khảo, trong đó có ba kiểu nhiệm vụ T1, T2, T3 đã đề cập ở trên. T 1 . Chứng minh hoặc xác định một điều kiện (cần và đủ/ cần/ đủ) để một điểm thuộc một mặt phẳng. Bài tập 6, sách Hình học 11 nâng cao, trang 91 Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = a.SA’, SB = b.SB’, SC = c.SC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3. Lời giải mong đợi (của sách giáo viên Hình học 11 nâng cao, trang 90) Vì A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = a.SA’, SB = b.SB’, SC = c.SC’ nên SA  + SB + SC = a SA' + b SB' + c SC ' . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì SG = 1 ( SA + 3  a c b SB + SC ). Vậy SG = SA' + SB' + SC ' . Mp(A’B’C’) đi qua G khi và chỉ khi bốn điểm 3 3 3 a b c G, A’, B’, C’ đồng phẳng, nên theo bài tập 5 nêu trên, điều đó xảy ra nếu và chỉ nếu + + = 3 3 3 1 tức là a + b + c = 3. Trong lời giải trên, vai trò công nghệ của bài tập 5 được sách giáo viên xác định tường minh qua nhóm từ “theo bài tập 5 nêu trên”. Liên quan đến vai trò công nghệ này, chúng tôi có hai nhận xét: - Không chỉ huy động bài tập 5 như một yếu tố công nghệ trong sách giáo viên, các tác giả còn tạo thuận lợi cho học sinh sử dụng bài tập 5 để giải bài tập 6 thông qua việc bố trí bài tập 6 nằm ngay sau bài tập 5 trong sách giáo khoa. - Bài tập 5 không được đưa vào phần bài học như một tính chất. Bài tập 6 là bài tập duy nhất trong sách giáo khoa sử dụng bài tập 5 như một yếu tố công nghệ. Các bài tập khác có huy động bài tập 5 đều nằm trong sách bài tập. Điều này cho thấy các tác giả đưa bài tập 5 vào phần bài tập sách giáo khoa nhằm giới thiệu một yếu tố công nghệ để giải quyết kiểu nhiệm vụ T 1 mà vẫn không làm tăng dung lượng phần bài học. Do đó, chúng tôi tự hỏi rằng kỹ thuật liên kết với yếu tố công nghệ của bài tập 5 có được giáo viên và học sinh ưu tiên sử dụng hay không trong hai kiểu nhiệm vụ T 2 và T 3 dưới đây: T 2 . Chứng minh một đẳng thức về tỷ số giữa độ dài các đoạn thẳng. Bài tập 4, sách bài tập Hình học 11 nâng cao, trang 114 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mp(P) bất kì không đi qua S, cắt các cạnh SA SC SB SD bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại các điểm A 1 , B 1 , C 1 , D 1 . Chứng minh rằng: + = + . SA1 SC1 SB1 SD1 Để đối chiếu, chúng tôi giới thiệu dưới đây hai lời giải của bài tập này. Lời giải thứ nhất là lời giải mong đợi, trích từ sách bài tập, huy động bài tập 5 như một yếu tố công nghệ. Lời giải thứ hai do chúng tôi đề nghị, không huy động công cụ vectơ, dài hơn lời giải thứ nhất. Việc đưa vào lời giải thứ hai nhằm mục đích làm rõ tính ưu việt của lời giải thứ nhất. Lời giải thứ nhất (lời giải mong đợi theo sách bài tập Hình học 11 nâng cao, trang 139)         S Vì ABCD là hình bình hành nên SA + SC = SB + SD hay SD         SA SD = d. SD1 (a, b, c, d là các số lớn hơn 1). Khi đó: SB = a + c, + SB1  SD = b + d. Ta có SD1 = SD1 + SA1 d d C1 A D B SC1 1  . SD = B1 SC 1  D1 A1 = SA + SC – SB . Đặt SA = a. SA1 , SB = b. SB1 , SC = c. SC1 , C   1 ( SA + SC – SB ) = d   (a. SA1 + c. SC1 + a  c  b  . SA1 + . SC1 – . SB1 . Mặt khác, các điểm A 1 , B 1 , C 1 , D 1 thuộc mặt phẳng, nên từ d d d  b. SB1 ) = a đẳng thức đó suy ra SA Như vậy: SA1 + d + SC SC1 c d = b – = 1 tức là a + c = b + d. d SB SB1 + SD SD1 . Lời giải thứ hai (do chúng tôi đề nghị) S D1 A1 B1 A1 ∆1 ∆2 C1 O1 O1 C1 M \\ A D A S d C \\ O N O B E C Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD và O 1 là giao điểm của đường thẳng SO với mp(P). Dựng ∆ 1 đi qua O, song song với d và cắt SA tại M, cắt SC tại N. Dựng ∆ 2 đi qua A, song song với d và cắt SC tại E. ∆CAE có O là trung điểm AC và ON // AE nên N là trung điểm CE. ∆SAE có MN // AE nên MA SM = NE SN SA1 và ∆SMN có A 1 C 1 // MN nên SM = SC1 SN . Suy ra MA = SA1 NE SC1 . Do đó: MA SA1 = NC SC1 (do N là trung điểm CE) (*). ∆SMN có A 1 C 1 // MN nên SA – MA SA1 = SC SC1 + NC SC1 + SO SO1 SA SA1 – = SN SC1 MA SA1 = = SM SA1 SC SC1 + . Suy ra 2 SA SA1 SO SO1 (do *). Vậy = SN SC1 SA SA1 + + SM SC SC1 SA1 =2 = SC + CN SO SO1 SC1 (1). + 16 Tương tự ta cũng có: SB SB1 Từ (1) và (2) ta suy ra + SD =2 SD1 SA SA1 + SC SC1 = SO SO1 SB SB1 (2). + SD SD1 . Trong lời giải mong đợi, bài tập 5 đóng vai trò công nghệ, biện minh cho phương trình ràng buộc n, giúp đi đến hệ thức cần tìm. Sự can thiệp này thể hiện ở lập luận A 1 , B 1 , C 1 , D 1 thuộc mặt phẳng, nên từ đẳng thức đó suy ra a c b + – = 1 tức là a + c d d d = b + d. Lập luận này dựa vào điều kiện cần để một điểm thuộc một mặt phẳng đã được phát biểu và chứng minh trong bài tập 5. Như vậy, trong kiểu nhiệm vụ T 2 , bản chất vai trò công nghệ của bài tập 5 là điều kiện cần để một điểm thuộc một mặt phẳng. Điều kiện cần này cho phép suy ra một hệ thức ràng buộc các hệ số trong biểu diễn tuyến tính các vectơ và khi đặc biệt hóa, ta được một đẳng thức về tỷ số giữa độ dài các đoạn thẳng. Trong lời giải thứ hai, ta phải dựng thêm đường phụ, sử dụng các tính chất của hình chóp, đường trung bình của tam giác và một số tính chất khác để thu được đẳng thức về tỷ số độ dài các đoạn thẳng. T 3 . Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, của hai đường thẳng Bài tập. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Mặt phẳng (P) đi qua A và tâm của các hình vuông A’B’C’D’ và B’C’CB. Xác định vị trí giao điểm E của đường thẳng C’B’ với mặt phẳng (P). Bài tập trên được chúng tôi trích ra từ sách tham khảo. Giống như đã thực hiện đối với T 2 , chúng tôi giới thiệu dưới đây hai lời giải của bài tập này. Lời giải thứ nhất là lời giải mong đợi, không huy động công cụ vectơ. Lời giải thứ hai do chúng tôi đề nghị dựa trên yếu tố công nghệ của bài tập 5. Việc đưa vào lời giải thứ hai nhằm mục đích làm rõ tính ưu việt của lời giải sử dụng công cụ vectơ. Lời giải thứ nhất (lời giải mong đợi) K E B' A' C' O1 M F Gọi O 1 , O 2 lần lượt là tâm của các hình vuông A’B’C’D’, B’C’CB . Đầu tiên, ta tìm giao điểm K của O 1 O 2 với mặt phẳng (A’ADD’). Gọi F là trung điểm của A’D’ và O 3 là tâm của hình D' O2 vuông AA’D’D. Khi đó O 1 , O 2 , O 3 , F cùng thuộc một mặt phẳng trung trực của AD. Do đó O 1 O 2 và O 3 F cắt nhau tại K. B A O3 C N Gọi M là giao điểm của AK và A’D’. Khi đó, giao điểm E của đường thẳng C’B’ với mặt phẳng (P) chính là giao điểm của hai D đường thẳng MO 1 và B’C’. Gọi N là giao điểm của EO 2 và BC. 17 Vậy AMEN là thiết diện cần dựng. Do (A’B’C’D’) ∩ (AMEN) = ME, (ABCD) ∩ (AMEN) = AN, (A’B’C’D’) // (ABCD) ⇒ AN // ME và (A’D’DA) ∩ (AMEN) = MA, (B’C’CB) ∩ (AMEN) = EN, (A’D’DA) // (B’C’CB) ⇒ AM // EN. Suy ra AMEN là hình bình hành. Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương và O 2 , O 3 lần lượt là tâm của hình vuông B’C’CB, AA’D’D nên O 2 O 3 = A’B’ và O 2 O 3 // A’B’. Mặt khác ∆D’B’A’ có FO 1 là đường trung bình nên MO 1 // A’B’ và A’B’ = 2FO 1 . Suy ra FO 1 // O 2 O 3 và O 2 O 3 = 2FO 1 . Khi đó KF = FO 3 = Do ∆AA’D’ có FO 3 là đường trung bình nên FO 3 = 1 2 AA’ nên KF = FO 3 = Do hai tam giác vuông AA’M, KFM đồng dạng với nhau nên ta có 1 2 MA’ ⇒ A'M MD' = 1 2 MF MA' = 1 2 1 2 KO 3 . AA’. FK AA' = 1 2 ⇒ MF = . Trong hình vuông A’B’C’D’ có O 1 là tâm nên EC’ = A’M và B’E = MD’. Vậy đường thẳng C’B’ cắt mp(P) tại điểm E thỏa Lời giải thứ hai (do chúng tôi đề nghị) .E B’  C’ O1 A’  = B'O1 + B'O2 – D 1  2 A'M MD' = 1 2  Đặt B'E = n B'C' . Gọi O 1 , O 2 lần lượt là tâm của các hình vuông A’B’C’D’, B’C’CB. Khi đó O 1 , O 2 lần lượt là trung điểm của A’C’  C  =      và BC’. Suy ra B'C' + B'A' = 2 B'O1 và B'C' + B'B = 2 B'O2 . O2 A B'E  D’ B EC'      Khi đó 2 B'O1 + 2 B'O2 = 2 B'C' + B'A' + B'B ⇔ 2 B'O1 +       2 B'O2 = 2 B'C' + B'A (do B’BAA’ là hình vuông). Suy ra B'C'   B'A . Khi đó B'E = n B'C' = n B'O1 + n B'O2 – cùng thuộc một mặt phẳng nên n + n – 1 2 n = 1. Suy ra n =  Vậy đường thẳng C’B’ cắt mp(P) tại điểm E thỏa B'E = 2 3 1  n B'A . Do E, A, O 1 , O 2 2 . 2  B'C' . 3 Trong bài tập trên, lời giải sử dụng vectơ ngắn hơn nhiều so với lời giải còn lại. Đối với lời giải huy động công cụ vectơ, bài tập 5 đóng vai trò công nghệ, biện minh cho phương trình ràng buộc n, giúp xác định được giao điểm cần tìm: E ∈ (AO 1 O 2 ) ⇒ n + n – 1 n = 1. Lập luận này cũng dựa vào điều kiện cần để một điểm thuộc một mặt 2 phẳng đã được phát biểu và chứng minh trong bài tập 5. Như vậy, trong kiểu nhiệm vụ T 3 , bản chất vai trò công nghệ của bài tập 5 là điều kiện cần để một điểm thuộc một