BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRẦN THỊ NHẬT NGUYÊN
NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG RIÊNG
CỦA TẤM LÀM BẰNG VẬT LIỆU
CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN
Chuyên nghành : Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp
Mã số
: 60.58.20
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT
Đà Nẵng – Năm 2013
Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Lê Ngọc Thạch
Phản biện 1: GS.TS. Phạm Văn Hội
Phản biện 2: TS. Nguyễn Xuân Toản
Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt
nghiệp thạc sĩ kỹ thuật họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 28
tháng 9 năm 2013.
Có thể tìm hiểu luận văn tại:
− Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng
− Trung tâm học liệu, Đại học Đà Nẵng
1
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết và ý nghĩa thực tiễn của đề tài
Vật liệu có cơ tính biến thiên là một loại composite thế hệ mới
với chức năng được biến đổi thông minh theo chiều dày kết cấu để
phù hợp với các yêu cầu cụ thể của người sử dụng. Đặc tính kháng
nhiệt nổi bật của loại vật liệu này giúp cho nó trở thành sự lựa chọn lý
tưởng cho các kết cấu thường xuyên làm việc trong các môi trường
nhiệt độ rất cao và chịu sự truyền nhiệt lớn như: các thiết bị luyện
kim, các thiết bị trong lò phản ứng hạt nhân và các bộ phận của máy
bay, tên lửa, … Tuy nhiên, dù có tầm quan trọng rất lớn trong ứng
dụng thực tế, các nghiên cứu về ứng xử cơ học của các loại kết cấu
được chế tạo từ vật liệu có cơ tính biến thiên nói chung vẫn còn hạn
chế.
LÜnh vùc h¹t nh©n
(Nhiªn liÖu h¹t, t−êng plasma
trong lß ph¶n øng nhiÖt h¹ch)
LÜnh vùc kh«ng gian
(bé phËn cña tªn löa, khung
m¸y bay kh«ng gian)
FGMs
LÜnh vùc truyÒn th«ng
( Sîi quang häc, chÊt b¸n dÉn)
LÜnh vùc y häc
( X−¬ng, da nh©n t¹o, nha khoa)
C¸c lÜnh vùc kh¸c
( VËt liÖu x©y dùng, cöa kÝnh,
dông cô thÓ thao..)
LÜnh vùc n¨ng l−îng
( M¸y ph¸t nhiÖt ®iÖn, c¶m biÕn)
Hình 2. Các ứng dụng tiềm năng của vật liệu FGM
2
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là tìm hiểu tổng quan về vật liệu và kết
cấu làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên; hệ thống hóa các hệ thức,
phương trình cơ bản của bài toán tấm trên cơ sở lý thuyết tấm bậc
nhất của Reissner-Mindlin để tính toán tần số dao động riêng cho tấm
chế tạo từ vật liệu có cơ tính biến thiên. Chương trình tính toán bằng
ngôn ngữ lập trình MAPLE sẽ được xây dựng để khảo sát số các bài
toán nhằm rút ra các nhận xét, kết luận bổ ích đối với các kỹ sư thiết
kế.
3. Phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Tấm chữ nhật, tựa khớp trên chu vi làm
bằng vật liệu có cơ tính biến thiên.
Nội dung nghiên cứu: Tính toán tần số dao động riêng, khảo sát
ảnh hưởng của các tham số kích thước và vật liệu đến tần số dao động
riêng.
Phương pháp nghiên cứu trong luận văn là phương pháp giải
tích trên cơ sở ứng dụng phần mềm MAPLE
4. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm phần mở đầu, 3 chương chính và kết luận:
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết và ý nghĩa thực tiễn của đề tài
2. Mục tiêu nghiên cứu
3. Phương pháp nghiên cứu
Chương 1. Vật liệu có cơ tính biến thiên – các hệ thức cơ bản
1.1 Lý thuyết tấm cổ điển của Kirrchhoff
3
1.2 Lý thuyết tấm bậc nhất của Reisener-Mindlin
1.3 Kết luận chương 1
Chương 2. Phân tích dao động riêng của tấm vật liệu có cơ tính
biến thiên theo lý thuyết tấm bậc nhất của Reisener-Mindlin
2.1 Các giả thiết – Các phương trình quan hệ
2.2 Lời giải giải tích
2.3 Kết luận chương 2
Chương 3. Kết quả số và Bình luận
KẾT LUẬN
4
CHƯƠNG 1.
VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN – CÁC HỆ THỨC
CƠ BẢN
1.1. ĐẶC TRƯNG CƠ HỌC CỦA VẬT LIỆU FGM
1.1.1. Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGMs)
Vật liệu có cơ tính biến thiên - FGMs - là một loại composite,
có tính chất dị hướng và các đặc tính vật liệu biến đổi liên tục từ mặt
này sang mặt khác.
Hình 1.1 Cắt ngang tấm vật liệu cơ tính biến thiên
(mô tả sự thay đổi mật độ vật liệu theo chiều dày) .
Bảng 1.1 .Tính chất của một số vật liệu thành phần sử dụng làm tấm
vật liệu cơ tính biến thiên (FGMs)
Các tính chất
Vật liệu
E(
α[0 C −1 ]
GPa)
ρ (kg/m3)
υ
Kim loại (Al)
70
23.10-6
2702
0,3
Gốm (Al2O3)
380
7,2.10-6
3800
0,3
Gốm (ZrO2)
200
10.10-6
5700
0,3
5
1.1.2. Mô hình tấm của vật liệu
y
ϑx
h/2
v0
z
b
h/2
h
Vz = Vm+ (Vc- Vm)( 21 + hz )p
x
u0 ϑy
a
w0
z
b
y
V
z=
2
V
m
1
+
c
(-)
+
zh
p
)
x
a
h
h
z
2
/
Hình 1.2. Tấm FGM – Hệ trục tọa độ và kích thước
z
1.1.3. Thuộc tính của vật liệu FGM
Hình 1.3. Biến thiên môđun đàn hồi của tấm FGM (Al/Al2O3) theo
chiều dày
1.2. LÝ THUYẾT TẤM CỔ ĐIỂN KIRCHHOFF– LOVE
1.2.1. Các giả thiết
Đoạn thẳng pháp tuyến trước biến dạng là thẳng và vuông góc
với mặt trung bình, sau biến dạng vẫn thẳng và vuông góc với mặt
trung bình và có độ dài không đổi.
6
1.2.2. Chuyển vị và biến dạng
a. Trường chuyển vị
u = −z
∂w0
;
∂x
(1.6a)
v = −z
∂w0
;
∂y
(1.6b)
w = w0 ( x, y ) ;
(1.6c)
b. Quan hệ biến dạng – độ cong
εx =
∂2w
∂u
= − z 20
∂x
∂x
(1.7a)
εy =
∂2 w
∂v
= − z 20
∂y
∂y
(1.7b)
γxy =
∂ 2 w0
∂u ∂v
+
= −2 z
∂y ∂x
∂x∂y
(1.7c)
1.2.3. Trường ứng suất – các thành phần ứng lực
a. Trường ứng suất
σx =
E
Ez ∂ 2 w
∂2w
(
ε
+
υε
)
=
−
(
+
υ
);
x
y
1 − υ2
1 − υ 2 ∂x 2
∂y 2
(1.9a)
σy =
E
Ez ∂ 2 w
∂2w
(
ε
+
υε
)
=
−
(
+
υ
);
y
x
1 − υ2
1 − υ 2 ∂y 2
∂x 2
(1.9b)
τ xy =
E
Ez ∂ 2 w
γxy = −
(
);
2(1 + υ)
(1 + υ) ∂x∂y
(1.9c)
7
b. Các thành phần của ứng lực
M x = − D(
∂2w
∂2 w
+
υ
)
∂x 2
∂y 2
M y = − D (υ
∂2w ∂2w
+
)
∂x 2 ∂y 2
M xy = M yx = − D(1 − υ)
(1.11)
∂2w
∂x∂y
Qx h / 2 τ xz
= ∫ dz
Qy − h / 2 τ yz
(1.12)
c. Phương trình vi phân độ võng của mặt trung bình
∂4w
∂4 w
∂4w p
+
2
+
=
∂x 4
∂x 2 ∂y 2 ∂y 4 D
hay:
∇4 w =
p
D
(1.16)
1.2.4. Điều kiện biên
1.3. LÝ THUYẾT TẤM REISSNER - MINDLIN
1.3.1. Các giả thiết
Pháp tuyến vẫn thẳng và có chiều dài không đổi, có thể không
còn vuông góc với mặt trung bình. Với biến dạng bé, vẫn coi εz =0
1.3.2. Trường chuyển vị
u ( x, y, z ) = u0 ( x, y ) + zφx ( x, y )
(1.18a)
v( x, y, z ) = v0 ( x, y ) + zφy ( x, y )
(1.18b)
w( x, y, z ) = w0 ( x, y )
(1.18c)
1.3.3. Trường biến dạng
{ε} = {εm } + {εu }
8
∂uo
ε o xx ∂x
o ∂vo
εm = ε yy =
o ∂y
ε xy ∂u
∂
v
o
+ o
∂x
∂y
(1.20)
∂φx
ε u xx
∂x
k x
u
∂φy
εu = ε yy = z k y = z
u
∂y
k
ε
xy
∂φ ∂φy
xy
x+
∂x
∂y
(1.21)
∂wo
+ φx
o
γxz γ xz ∂x
γc = = o =
∂
w
γ
yz γ yz o + φy
∂y
(1.22)
1.3.4. Các thành phần ứng suất - Ứng lực
a. Trường ứng suất
σ xx
E
σ yy =
2
1− υ
σ
xy
o
1 υ
1 υ
0 ε xx
0 k x
E
0 ε o yy +
.z υ 1
0 k y
υ 1
2
1− υ
1 − υ ε o
1 − υ k xy
0 0
xy
0 0
2
2
(1.24a)
9
o
σ xz 1 − υ E γ xz
.
.
=
2 1 − υ 2 γ o yz
σ yz
(1.24b)
b. Các thành phần ứng lực
h /2
Đặt ( A, B, C ) =
∫
(1, z , z 2 )
− h /2
E
dz
1 − υ2
M x
1 υ
1 υ
0 ε xx0
0 k xx
0 ε 0yy + C υ 1
0 k yy (1.25)
M y = B υ 1
1 − υ ε xy0
1 − υ k xy
M xy
0 0
0 0
2
2
Nx
1 υ
1 υ
0 ε xx0
0 k xx
0
0 ε yy
0 k yy
N y = A υ 1
+ B υ 1
1 − υ ε xy0
1 − υ k xy
N xy
0 0
0 0
2
2
(1.26)
h
0
2 σ
Qx
xz 1 − υ γxz
=
k
.
=
k
.
D
∫h σ yz 2 γ0yz
Qy
−
2
Trong đó: k - hệ số hiệu chỉnh cắt
1.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
(1.27)
10
CHƯƠNG 2.
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA TẤM BẰNG VẬT
LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN
2.1. PHƯƠNG TRÌNH QUAN HỆ NỘI LỰC – BIẾN DẠNG
CHO TẤM REISSNER - MINDLIN
Ứng suất trong tấm bằng vật liệu FGM
N x A11
N y = A12
N 0
xy
A12
A11
0
0 ε xx0 B11
0 ε 0yy + B12
A66 γxy0 0
B12
B11
0
∂φx
∂x
0
∂
φ
y
0
∂y
B66
∂φ ∂φy
x +
∂x
∂y
(2.1a)
M x B11
M y = B12
M 0
xy
D44
Qx
= k.
D45
Qy
B12
B11
0
0 ε xx0 C11
0
0 ε yy
+ C12
0
B66 γxy 0
C12
C11
0
∂φx
∂x
0
∂
φ
y
0
∂y
C66
∂φ ∂φy
x+
∂x
∂y
(2.1b)
D45 γxz0
D55 γ yz0
(2.1c)
2.2. PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG THEO CHUYỂN VỊ
Hệ phương trình cân bằng động
δu :
∂N x ∂N xy
∂ 2u
∂ 2φ
+
= I 0 20 + I1 2x
∂x
∂y
∂t
∂t
(2.3a)
11
δv :
∂N y
δφx :
∂y
∂N xy
+
∂x
= I0
∂ 2 φy
∂ 2 v0
+
I
1
∂t 2
∂t 2
(2.3b)
∂M x ∂M xy
∂ 2u
∂ 2φ
+
+ Qx = I1 20 + I 2 2x
∂x
∂y
∂t
∂t
δφy :
∂M y
δw0 :
∂y
∂M xy
+
∂x
(2.3c)
2
+ Qy = I1
∂ φy
∂ 2 v0
+ I2 2
2
∂t
∂t
∂Qx ∂Qy
∂2w
+
= I0 20
∂x
∂y
∂t
(2.3d)
(2.3e)
2.3. LỜI GIẢI NAVIER
u0 ( x, y, t ) = u0 mn cos αx sin βy.eiωt
(2.5a)
v0 ( x, y, t ) = v0 mn sin αx cos βy.eiωt
(2.5b)
w0 ( x, y, t ) = w0 mn sin αx sin βy.eiωt
(2.5c)
φx ( x, y, t ) = φ0 xmn cos αx sin βy.eiωt
(2.5d)
φy ( x, y, t ) = φ0 ymn sin αx cos βy.eiωt
(2.5e)
Với α = mπ / a ; β = nπ / b ; ω : tần số dao động riêng
Thay các thành phần chuyển vị trong (2.5a-e) vào hệ phương
trình cân bằng theo chuyển vị (2.4a-e), nhờ trợ giúp của phân mềm
toán học MAPLE ta nhận được hệ sau:
12
s11
s21
s31
s41
s51
s12
s22
s32
s42
s52
s13
s23
s33
s43
s53
s14
s24
s34
s44
s54
s15
I0
0
s25
s35 − ω2 0
s45
I1
s55
0
0
I0
0
0
I1
0
0
0
I1
I0
0
0
0
I2
0
0 u0 mn 0
I1 v0 mn 0
0 w0 mn = 0
0 φ0 xmn 0
I 2 φ0 ymn 0
Cũng bằng phần mềm Maple, giải bài toán tìm trị riêng của
phương trình (2.6), [S] - λ [M] = 0, ta nhận được tần số dao động
riêng của tấm với vật liệu cơ tính biến thiên FGM (xem Phụ lục kèm
theo).
2.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
13
CHƯƠNG 3.
VÍ DỤ SỐ VÀ NHỮNG NHẬN XÉT
3.1. VÍ DỤ 3.1: KHẢO SÁT BIẾN THIÊN CỦA MÔ ĐUN ĐÀN
HỒI KÉO NÉN E(Z) DỌC THEO CHIỀU DÀY TẤM VỚI CÁC
QUI LUẬT KHÁC NHAU
3.1.1. Vật liệu P-FGM
Hình 3.2. Biến thiên của mô đun đàn hồi kéo (nén) trong tấm P-FGM
14
3.1.2. Vật liệu E-FGM
Hình 3.3. Biến thiên của mô đun đàn hồi kéo (nén) trong tấm E-FGM
3.1.3. Vật liệu S-FGM
Hình 3.4. Biến thiên của mô đun đàn hồi kéo (nén) trong tấm S-FGM
15
3.2. VÍ DỤ 3.2
3.2.1. Ví dụ 3.2a. Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính
ρc
của tấm
Ec
toán tần số dao động không thứ nguyên ω = ω.h.
FGM (Al/Al2O3), điều kiện biên khớp.
Kích thước tấm vuông: a = b; chiều dày h
Với m; n = 1;2
Bảng 3.1. Tần số dao động không thứ nguyên ω tấm vuông FGM
(Al/Al2O3) với chỉ số hàm mật độ thể tích p và a/h thay đổi
a/h
20
(m, n)
m=1
n=1
10
m=1
n=1
m=1
n= 2
Mô hình
p=0
p =0,5
p =1
p=4
p = 10
Luận văn
0,0148
0,0125
0,0113
0,0098
0,0094
FSDT [4]
0,0146
0,0124
0,0112
0,0097
0,0093
HSDT [3]
0,0148
0,0125
0,0113
0,0098
0,0094
FSDT - LV
0,02%
0,01%
0,01%
0,01%
0,01%
Luận văn
0,0577
0,0490
0,0442
0,0382
0,0366
FSDT [4]
0,0568
0,0482
0,0435
0,0376
0,0359
HSDT [3]
0,0577
0,0490
0,0490
0,0381
0,0364
FSDT - LV
0,09%
0,08%
0,48%
0,06%
0,07%
Luận văn
0,1376
0,1173
0,1059
0,0911
0,0867
FSDT[4]
0,1354
0,1154
0,1042
-
0,0850
16
5
HSDT [3]
0,1377
0,1174
0,1059
0,0903
0,0856
FSDT - LV
0,22%
0,19%
0,17%
0,08%
0,07%
Luận văn
0,2112
0,1805
0,1631
0,1397
0,1324
m=1
FSDT [4]
0,2055
0,1757
0,1587
0,1356
0,1284
n=1
HSDT [3]
0,2113
0,1807
0,1631
0,1378
0,1301
FSDT - LV
0,56%
0,48%
0,44%
0,41%
0,4%
Luận văn
0,4618
0,3978
0,3604
0,3049
0,2856
[3]
0,4623
0,3989
0,3607
0,2980
0,2771
Sai lệch
0,05%
0,11%
0,03%
0,69%
0,85%
Luận văn
0,6676
0,5779
0,5245
0,4405
0,4097
[3]
0,6688
0,5803
0,5254
0,4284
0,3948
0,12%
0,24%
0,09%
1,21%
1,49%
m=1
n=2
m=2
n=2
HSDT
HSDT
Sai lệch
3.2.2. Ví dụ 3.2b. Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính
toán tần số dao động không thứ nguyên ω = ω.h.
FGM (Al/ZrO2)
- Kích thước a = b, chiều cao h
- Tỷ số a/h = ( 10 ; 5; 10; 20); p = ( 0; 1; 2; 3; 5)
- Hệ số Poison: ν = 0,3; (m × n) = (1 × 1)
ρm
của tấm
Em
17
Bảng 3.2. Tần số dao động không thứ nguyên ω tấm FGM (Al/ZrO2)
của luận văn và các tác giả khác khi chỉ số hàm mật độ thể tích p và
a/h thay đổi
p=0
Mô
hình
Luận
p=1
a/h =
a/h =
a/h =
10
10
20
a/h = 5
a/h = 5
p =2
p=3
p =5
0,4618 0,0577 0,0158 0,2276 0,2264 0,2276 0,2291
văn
FSDT[4] 0,4618 0,0576 0,0158 0,227
0,2249 0,2254 0,2265
HSDT[3] 0,4623 0,0577 0,0152 0,2169 0,2178 0,2193 0,2206
FSDTLV
0,00%
0,01% 0,00%
0,06% 0,15% 0,22%
0,26%
3.3. VÍ DỤ 3.3: ẢNH HƯỞNG CỦA TỶ SỐ KÍCH THƯỚC A/H
VÀ CHỈ SỐ HÀM MẬT ĐỘ THỂ TÍCH P ĐẾN TẦN SỐ DAO
ĐỘNG KHÔNG THỨ NGUYÊN CỦA TẤM FGM (A L /A L 2O 3)
Kích thước b/a = 2, chiều cao h, tỷ số a/h = (2..100)
Hàm mật độ thể tích p (0..500)
Hệ số Poison: ν = 0,3; (m; n) = (1;1)
18
Bảng 3.3. Tần số dao động không thứ nguyên ω của tấm FGM khi
chỉ số hàm mật độ thể tích p và tỷ số a/h thay đổi
a/h
p
2
5
10
20
50
100
0
1,3113
0,6882
0,3652
0,1856
0,0746
0,0372
0,5
1,1348
0,5864
0,3098
0,1573
0,0632
0,0316
1
1,0300
0,5295
0,2794
0,1418
0,0569
0,0286
2
0,9299
0,4803
0,2539
0,1289
0,0518
0,0259
5
0,8499
0,4506
0,2400
0,1221
0,0491
0,0246
10
0,8050
0,4335
0,2320
0,1182
0,0475
0,0238
20
0,7617
0,4109
0,2199
0,1121
0,0451
0,0226
30
0,7393
0,3974
0,2124
0,1082
0,0435
0,0218
50
0,7164
0,3828
0,2042
0,1040
0,0418
0,0209
100
0,6947
0,3685
0,1962
0,0998
0,0401
0,0201
200
0,6819
0,3600
0,1913
0,0973
0,0391
0,0196
500
0,6734
0,3543
0,1881
0,0957
0,0384
0,0192
- Xem thêm -
.PDF 
26 
53 
88 
